Likhetstecknets innebörd : En systematisk litteraturstudie om elevers förståelse och undervisningsmetoder äm-nade att utveckla elevers förståelse för likhetstecknet.

ÖREBRO UNIVERSITET Grundlärarprogrammet f-3 Matematik

Självständigt arbete i matematik, grundnivå 15 HP Termin 7, 2019

Likhetstecknets innebörd

- En systematisk litteraturstudie om elevers förståelse och undervisningsmetoder äm-nade att utveckla elevers förståelse för likhetstecknet.

Rebecca Landqvist

The meaning of the equality sign

- A systematic literature review on children´s understanding and teaching methods to develop children´s understanding of the equal sign.

Abstract

The aim of this systematic literature review is to research the most common understandings of the equal sign among children, and teaching methods found effective for developing their understanding. The database ERIC has been used to search for prior published research. Thirty studies are used as the result and foundation for the analysis. The result of this review indicates that there are more levels of understanding than the operational and relational meaning of the equality sign. Several methods to promote the students understanding of the equality sign has been found. They vary from how and when instructions are supposed to be delivered to how equivalence can be presented with symbols and other representations.

Key words: Teaching, mathematics, equality sign, children´s understanding, elementary school

Sammanfattning

Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att undersöka hur elever förstår likhets-tecknets innebörd samt skapa en överblick över undervisningsmetoder som enligt forskning kan anses gynna utvecklingen av elevers förståelse för likhetstecknet. Litteratursökningen utfördes i databasen ERIC. 30 artiklar har sammanställts och analyserats. Studiens resultat indikerar att elevers förståelse för likhetstecknet kan variera mellan flera nivåer mellan den dynamiska och statiska innebörden. Förståelseutvecklingen bör inte ses som rak och förutbestämd. Forsknings-fältet har bidragit med olika metoder lärare kan använda för att guida eleverna i deras lärande. Dessa innefattar både hur och när instruktioner kan ges för att bidra med lärande samt hur lik-heter framställs med hjälp av symboler och andra representationsformer.

Nyckelord: matematikundervisning, likhetstecknet, elevers förståelse, låg och mellansta-diet

Innehållsförteckning

Det sociokulturella perspektivet på lärande ... 4

Metod ... 6

Varför systematisk litteraturstudie ... 6

Etiska överväganden ... 6

Metod för datainsamling ... 7

Det manuella urvalet ... 8

Metod för övergripande analys och kartläggning. ... 10

Metod för fördjupad analys ... 11

Resultat ... 12

Övergripande resultat ... 12

Elevers förståelse för likhetstecknet. ... 14

Öppna utsagor och påståenden. ... 14

Olika symboler och representationsformer. ... 15

Ordningen på uppgifter. ... 16

Undervisning om olika lösningsstrategier. ... 16

Arbete före instruktion... 17

Förklara för sig själv. ... 18

Rörelser för att stärka instruktionerna. ... 18

Fördjupad analys ... 19

Elevers förståelse för likhetstecknets innebörd ... 19

Hur representationer av en statisk innebörd kan användas för att utveckla elevers förståelse. ... 22

Diskussion ... 28

Kort sammanfattning av huvudresultaten ... 28

Resultatdiskussion ... 29 Metoddiskussion ... 32 Konsekvenser för undervisning ... 33 Fortsatta studier ... 33 Referenser ... 35 Bilagor ... 39 Bilaga 1. Sökmatris ... 40

Bilaga 2. Öppna utsagor och påståenden ... 42

Bilaga 3. Andra symboler och representationsformer ... 44

Bilaga 4. Ordningen på uppgifter ... 48

Bilaga 5. Undervisning om olika lösningsstrategier ... 49

Bilaga 6. Arbete före instruktion ... 51

Bilaga 7. Förklara för sig själv ... 53

Bilaga 8. Rörelser för att stärka instruktionerna ... 54

1

Inledning

Det har sedan tusentals år tillbaka funnits ett behov av att räkna och att uttrycka den mate-matiska verksamheten med symboler (Sollervall, 2015). Den matemate-matiska utvecklingen är tätt kopplad till den samhälleliga, tekniska, digitala och sociala utvecklingen (Skolverket, 2018). Matematik finns i allt från naturen till industrin och den digitala världen, därav kan kunskaper i matematik anses viktiga för lärare såväl som för elever (Grevholm, 2014). Den matematiska verksamheten kan upplevas abstrakt (Sollervall, 2015), för att kunna föreställa sig abstrakta ting är det viktigt att ha en begreppslig grund att stå på (Grevholm, 2014). Matematiska sym-boler och räknesystem har uppfunnits i olika kulturer världen över för att tillgodose behovet av att utföra beräkningar och att kunna anteckna och spara dem. Detta gäller såväl handeln som att reglera egendom och utbyte av tjänster (Sollervall, 2015). Matematiska symboler som beteck-nar operationer eller relationer har utvecklats för att förenkla den matematiska verksamheten (Grevholm, 2014). En central symbol inom matematiken är likhetstecknet (=), vilket användes första gången år 1557 av Robert Recorde, och fick spridning i samband med boktryckarkons-tens uppkomst. Symbolen ersatte då orden ”lika med” som tidigare skrevs ut med ord. Likhets-tecknet uppkom för att beskriva två sidor som är lika. Ytterligare en vanlig tolkning av likhets-tecknet är emellertid att en beräkning ska utföras (Grevholm, 2014).

”Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse” (Skolverket, 2018, s.55) beskrivs av Skolverket (2017) som en grund för att skapa förståelse för algebra och det matematiska inne-håll som eleverna kommer att möta senare i skolan. Det är väsentligt att elever innehar kun-skaper i och om algebra för att kunna föra generella resonemang vid problemlösning och kunna använda matematiska modeller (Skolverket, 2017). Algebraisk kunskap kan beskrivas som ett sätt att uttrycka beräkningar på ett generellt sätt med hjälp av bokstäver som representerar okända eller godtyckliga tal. Det innefattar även en förståelse för likhetstecknets innebörd (Skolverket, 2017). Ett av kunskapskraven för elever i slutet av åk 3 lyder ”Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt” (Skolverket, 2018, s.60).

Trots att förståelse för likhetstecknets innebörd är en viktig faktor för elevers matematiska utveckling är det en vanligt förekommande svårighet hos elever i mötet med algebra (Grevholm, 2014). I en undersökning där elever i åk 1-6 fick uppgiften 8 + 4 = _+ 5 angav mindre än 10% av eleverna det rätta svaret 7. Två vanliga svar var istället 12 och 17. Resultatet av undersök-ningen tyder på att en stor del av eleverna kan ha missuppfattningar om likhetstecknets innebörd

2 (Sterner, 2012). Missuppfattning om likhetstecknets innebörd kan utöver att skapa problem med algebra även begränsa elevernas möjligheter att lära sig grundläggande aritmetiska idéer med förståelse (Sterner, 2012).

En som har möjlighet att guida elever till förståelse för olika matematiska begrepp och idéer är läraren. Därav är det av vikt att lärare innehar goda matematiska kunskaper (Grevholm, 2014; Sollervall, 2015). Ett sätt för lärare och lärarstudenter att utveckla ämneskunskaper och didaktiska kunskaper är genom att tillgodogöra sig forskning inom området. Att tillgodogöra sig didaktisk forskning kan även anses viktigt då all undervisning enligt lag skall vila på en vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet (SFS 2010:800). Därav blir det av intresse att ge-nom en systematisk litteraturstudie sammanställa forskning som behandlar vanligt förekom-mande uppfattningar av likhetstecknet hos elever, samt vilka undervisningsmetoder som anses vara effektiva vid undervisning gällande likhetstecknets innebörd. Förhoppningsvis kan den här studien bidra till att öka kunskap om elevers uppfattning av likhetstecknet. Samt att den kan komma att fungera som en sammanställning av undervisningsmetoder som existerande forsk-ning anser effektiva vid undervisforsk-ning om och med likhetstecknet, för att lärare ska kunna ta del av dessa metoder.

Syfte

Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att göra en kartläggning av forskningsfäl-tet gällande hur elever uppfattar likhetstecknets innebörd. Vidare är syfforskningsfäl-tet att undersöka och kartlägga undervisningsmetoder som kan användas för att skapa en förståelse för likhetsteck-nets innebörd som anses gynna elevers fortsatta matematiska utveckling.

Frågeställningar

Vilka vanliga uppfattningar av likhetstecknets innebörd återfinns enligt existerande forsk-ning hos elever i åldern 6-12 år?

Vilka undervisningsmetoder anses enligt forskningen vara effektiva för att undervisa om likhetstecknets innebörd?

3

Teoretisk bakgrund

I detta kapitel kommer de teoretiska utgångspunkter som ligger till grund för denna studie att presenteras. Först behandlas likhetstecknet och lärarens roll i undervisningen om likhets-tecknets innebörd. Vidare kommer det sociokulturella perspektivet på lärande att behandlas med fokus på symboler och språk som medierande redskap.

Likhetstecknets innebörd

Matematiken kan ses som ett språk, med den säregna egenskapen att matematiskt språk kan processas. Det innebär att symboler kan byta plats och omvandlas enligt specifika regler (Sollervall, 2015). Därmed är det av vikt för en individs utveckling av förståelse för matema-tiska begrepp, att inneha en begreppslig grund att utgå ifrån (Grevholm, 2014). För att utveckla elevers begreppsliga kunskaper kan undervisning med olika representationsformer och varie-rande förklaringar vara ett alternativ (Grevholm, 2014; Sollervall, 2015). Det matematiska språ-ket är uppbyggt av symboler som tillkommit under olika perioder i historien för att förenkla den matematiska verksamheten och tillgodose olika behov (Grevholm, 2014).

Likhetstecknet uppfanns år 1557 för att ersätta orden ”lika med” för att beskriva två sidor som är lika, senare har det även kommit att tolkas som ”utför beräkningen” (Grevholm, 2014). Likhetstecknet kan därmed användas för att indikera att en beräkning ska utföras eller för att visa att två matematiska uttryck är lika (Sollervall, 2015). Likhetstecknet uttrycks ofta i tal som ”blir” eller ”är”. Beroende på hur det uttrycks så initierar det antingen att en räkneoperation skall utföras eller att båda sidorna om likhetstecknet har samma värde(Sollervall, 2015). Ett sätt att definiera likheter är att två uttryck är lika då de kan placeras på samma punkt på en tallinje (Sollervall, 2015). Likhetstecknet kan därmed uppfattas som dynamiskt eller statiskt (Grev-holm, 2014). Dynamisk då det förstås som att en beräkning ska utföras, detta innebär även uppfattningen att högerledet uppstår först efter att vänsterledet är uträknat, denna uppfattning kan knytas till den vanligaste formen av matematikuppgifter, a*b=__ (där a och b är tal och * ett av de fyra räknesätten). Statisk då det förstås som att det betecknar relationen mellan vänster-och högerled. Likhetstecknet uttrycker då att vänster- vänster-och högerled är ”lika”. Den senare upp-fattningen är viktig för att förstå och hantera ekvationer, då hela ekvationen bör hanteras som ett objekt och att vänsterledet och högerledet genom hela lösningen ska bibehålla ekvivalens (Grevholm, 2014).

Begreppen equivalence (ekvivalens) och mathematical equivalence används ofta i forsk-ningen om likhetstecknet. I denna studie kommer begreppet att användas som Twomey och

4 Jacob (2019) beskriver ekvivalens. ”Ekvivalens - vetskapen att två uttryck kan vara ekvivalenta även om de inte ser likadana ut” (Twomey & Jacob, 2019, s.90). Denna innebörd av ekvivalens kommer att användas då det är relevant för studien och liknande definitioner återfinns i forsk-ningsfältet. Begreppet ekvivalens kommer därmed syfta till likhet mellan vänster- och högerled.

En svårighet som ofta återfinns hos elever är förståelsen för likhetstecknets innebörd. De flesta elever uppfattar likhetstecknet som en uppmaning att utföra en räkneoperation (Grev-holm, 2014; Sterner, 2012). Denna förståelse kan skapa svårigheter för elever gällande förstå-else för aritmetiska idéer och i mötet med algebra (Sterner, 2012). Kunskapen om likhetsteck-nets innebörd kan beskrivas som en av grunderna för den matematik elever kommer att möta senare (Skolverket, 2017). Algebraisk kunskap är väsentligt inom olika delar av matematiken, exempelvis när elever ska använda matematiska modeller och göra generella resonemang vid problemlösning. Algebraisk kunskap inkluderar en statisk förståelse för likhetstecknet, kun-skapen om likhetstecknet som en symbol som utrycker en relation mellan uttrycken på vänster och höger sida om likhetstecknet (Grevholm, 2014). Att förstå skillnaden på ekvivalenta och identiska uttryck kan vara en svårighet. Exempelvis kan elever ha svårt att förstå att uttrycken 5+3=4+4 är ekvivalenta, men har närmare till att acceptera att 8=8. Att förstå denna princip är grunden till att förstå och hantera ekvationer (Twomey & Jacob, 2019).

Det sociokulturella perspektivet på lärande

Ett sociokulturellt perspektiv på lärande kommer att fungera som den teoretiska utgångs-punkten i denna studie. I stora drag handlar det sociokulturella perspektivet på lärande och utveckling om hur människor approprierar medierande redskap. Att appropriera ett medierande redskap innebär att utveckla kulturella förmågor, så som räkna, läsa, skriva, resonera abstrakt, lösa problem. Appropriering är det sociokulturella begreppet för lärande. För att lärande ska ske erfordras stöd från en lärare eller en mer kompetent kamrat genom processen scaffolding för att appropriera nya kunskaper. Scaffolding är en process där läraren eller en mer kompetent kamrat möter eleven i fråga i dennes närmaste proximala utvecklingszon och därifrån bygger vidare på elevens kunskaper. Den närmaste proximala utvecklingszonen är den zon där det ele-ven kan nu och det som är nästa steg i kunskapsutvecklingen möts. Människan lär sig hela tiden men för att appropriera vetenskapliga begrepp som för en person är abstrakta är det av vikt att få dem förklarade för sig, för att kunna ta till sig dem och göra dem till ett medierande redskap. (Säljö, 2014)

5 Mediering innebär användandet av verktyg eller redskap för att förstå och agera i omvärl-den. Säljö (2014) beskriver att Vygoskij lyfte fram betydelsen av språkliga och materiella red-skap. Språkliga redskap kan benämnas som mentala redred-skap. Inom denna kategori av medier-ande redskap ingår symboler, tecken och teckensystem som används för att kommunicera och tänka. Intressant för denna studie är medierande redskap så som räknesystem, siffror, begrepp och matematiska tecken men också materiella redskap som kan vara medierande för att appro-priera innebörden av likhetstecknet. Säljö (2014) skriver att Vygotskij ansåg språk som det främsta redskapet. Med språk menades ett flexibelt teckensystem som kan användas för att ut-trycka sig, förstå världen och fördjupa förståelse. Språket möjliggör kommunikation om om-världen och etablering av en gemensam förståelse. Språk anses vara ett dynamiskt och ständigt utvecklingsbart teckensystem som samspelar med andra uttrycksformer (Säljö, 2014).

Denna studie intresserar sig för att finna metoder för att underlätta elevers appropriering av likhetstecknets innebörd, därav blir det av intresse att undersöka vilka medierande redskap som kan användas för att möjliggöra appropriering av likhetstecknet. En balansvåg och en gungbräda lyfter Sollervall (2015) fram som modeller som kan symbolisera likheter genom att de kan visa jämvikt eller balans. Dessa kan därmed fungera som medierande redskap med syftet att appropriera förståelse för likhetstecknets statiska innebörd. Medierande redskap är vidare relevant för föreliggande studie då likhetstecknet kan ses som ett medierande redskap då det är en symbol som kan användas för att kommunicera och tänka (Grevholm, 2014).

6

Metod

I detta kapitel återges metoden för hur denna studie genomförts, från utarbetning av söks-träng till analys av det insamlade materialet.

Varför systematisk litteraturstudie

En systematisk litteraturstudie som forskningsansats lämpar sig då denna studie syftar till att göra en övergripande kartläggning av hur elever förstår likhetstecknet och undervisnings-metoder som kan användas för att stärka elevers förståelse för likhetstecknets innebörd. Då likhetstecknet är centralt inom matematik över hela världen och inte är en ny företeelse så kan det antas området är tillräckligt beforskat sedan tidigare för att en systematisk litteraturstudie ska kunna genomföras. Litteratursökningen gav efter det manuella urvalet 30 artiklar, vilka bidrar till att studiens syfte och frågeställningar kan besvaras.

Etiska överväganden

Att göra etiska överväganden och följa god forsningssed är väsentligt för all typ av forsk-ning. Vad gäller en systematisk litteraturstudie ställs det krav på hur litteraturstudien genomförs samtidigt som den forskningen som ingår i studien ska vara av god kvalitet. Etiska övervägan-den gällande urval och presentation av resultat är av stor vikt. För att undvika oredlighet i litte-raturstudien väljs artiklar utan några förutfattade meningar om vad studien kommer leda fram till. Vidare presenteras alla vetenskapliga artiklar som ingår i denna studie och metoden för tillvägagångssättet av denna systematiska litteraturstudie presenteras tydligt (Eriksson Barajas et al., 2013).

Ett kvalitetskrav på forskningen som ingår i denna studie är att de ska vara peer reviewed (vetenskapligt granskade). Litteratursökningen som är grunden i denna studie genomförs i da-tabasen Educational Resources Information Center (ERIC). I ERIC finns det olika alternativ att bocka i för att begränsa sökresultaten. I denna studie användes inkluderingskriterierna peer re-view och academic journals. Vid sökning i ERIC är det viktigt att välja att enbart visa referenser som är vetenskapligt granskade då den databasen innehåller forskning av olika kvalitet. Med inkluderingskriteriet peer reviewed iklickat vid sökningen så halverades i stort sett sökresultatet jämfört med när även icke vetenskapligt granskade referenser visades. Ett annat sätt att försöka säkerställa kvaliteten på forskningen som inkluderas är att avgränsa till att endast innefatta

aka-7 demiska tidskriftsartiklar i studien. En akademisk tidskriftsartikel garanterar att det är primär-publicering av forskning, att den är vetenskapligt granskad och att den finns tillgänglig i olika databaser (Eriksson Barajas et al., 2013).

Metod för datainsamling

Datainsamling har skett genom sökning i databasen ERIC som är en bred internationell databas med forskning gällande utbildningsvetenskap och psykologi (Eriksson Barajas et al., 2013). Sökprocessen redovisas i form av en tabell i bilaga 1. I tabellen redovisas de sökningarna som visar på skillnader i antalet sökträffar samt de sökningar som fört arbetet fram till den slutgiltiga söksträngen. Vad gäller tid för publicering så gjordes ingen begränsning då likhets-tecknet inte är ett nytt begrepp, därav kan det vara av intresse att ha med forskning oavsett när den är publicerad för att få en större bredd.

När syfte och frågeställningar för studien hade arbetats fram utarbetades sökord och vidare en söksträng som kunde användas för att hitta artiklar som är relevanta för studien. Då sök-ningen sker i en internationell databas, där de flesta artiklarna är skrivna på engelska så utarbe-tades en söksträng på engelska. Detta avgränsar då även resultatet till artiklar skrivna på eng-elska. Det första steget blev att hitta centrala begrepp i syftet och frågeställningarna. Därefter följde steg två som innebar att hitta motsvarande termer på engelska. För att hitta synonymer genomfördes olika fritextsökningar i ERIC och thesaurus. De centrala begreppen i denna studie utifrån syfte och frågeställning är likhetstecknet, låg- och mellanstadiet och undervisningsme-toder. Utöver dessa begrepp tillfördes andra relevanta begrepp för att avgränsa resultaten till det område som studien intresserar sig för. Ett sådant begrepp är matematik, det är av vikt för att inrikta sökningen på matematikundervisning. Vid sökningen har de booleska operatorerna AND och OR använts för att rikta in sökningen mot studiens syfte. Även trunkeringar (*) har använts på vissa ord för att få med alla möjliga varianter av ändelser på orden (Eriksson Barajas et al., 2013).

Litteratursökningen genomfördes genom upprepade fritextsökningar i ERIC. Den första sökningen som gjordes bestod av orden equal och sign, och gav 247 vetenskapligt granskade träffar. Vid denna sökning handlade flera av träffarna om teckenspråk. Då användes funktionen frassökning med hjälp av citationstecken för att orden equal och sign ska finnas intill varandra i artiklarna. Då gavs endast 51 sökträffar. Detta blev få träffar för en systematisk litteraturstudie, för att få med fler varianter av begreppet likhetstecknet/equal sign användes trunkering enligt följande ”equal* sign” detta medförde att träffar som innehåller ”equal sign” såväl som ”equa-lity sign” eller ”equals sign”, då blev sökresultatet 79 träffar. Nästa begrepp som testades i

8 sökningen blev math, även då användes en trunkering enligt följande ”math*” för att få med olika ändelser av ordet, så som mathematic och mathematical. En sökning på enbart math* gav 129,793 sökträffar.

Sedan sattes de två senare sökningarna ihop till en söksträng ”equal* sign” AND math*. Fortfarande med kravet att träffarna skall vara peer reviewed erhölls återigen 79 träffar. Detta kan anses vara aningen för få sökträffar, genom att titta på några av artiklarnas ämnesord och abstrakt hittades ordet equivalence (ekvivalens). Vidare testades att lägga in det i söksträngen som blev följande (”equal* sign OR equivalenc*) AND math*. Denna sökning gav 432 peer reviewed sökträffar i ERIC. Även ordet equality lades till i sökningen som då blev (”equal* sign OR equivalenc* OR equality) AND math* då gavs 625 träffar.

Vid en snabb bläddring genom titlarna i denna sökning upptäcktes att ett antal artiklar be-handlade antingen jämställdhet eller matematik på en högre nivå än vad som är relevant för denna studie. Till söksträngen tillfördes då begrepp för att rikta in resultaten mot undervisning och undervisningsmetoder dessa blev (teach* OR learn* OR strateg* OR method* OR instru*). Vidare tillfördes följande sökord med målet att avgränsa sökresultaten mot låg- och mellansta-diet (young* OR elementary OR primary OR pupil* OR child*). Då det i en del artiklar stod elementary education eller elementary school likväl som primary school eller primary educat-ion, valdes det att enbart skriva elementary och primary för att inkludera båda varianterna. Även arithmetic och algebra lades till enligt följande (math* OR arithmetic OR algebra) då det utö-kade sökträffarna något jämfört med enbart math*.

Den slutliga söksträngen blev som följande ("equal* sign" OR "equality sign" OR equiva-lenc* OR equalit* ) AND (educ* OR teach* OR learn* OR method* OR strateg* OR instruc*) AND (math* OR arithmetic OR algebra) AND (young OR elementary OR primary OR pupil OR child*). Den gav 316 peer reviewed sökträffar I ERIC. Ytterligare avgränsades sökning till att enbart generera referenser som är artiklar i akademiska journaler. Antalet sökträffar slutade då på 275 st.

Det manuella urvalet

Det manuella urvalet inleddes med att alla titlar lästes igenom, många gånger blev det nöd-vändigt att även läsa abstrakt och ämnesord för att kunna avgöra huruvida artikeln uppfyller studiens inkluderingskriterier eller inte. Inkluderingskriterierna presenteras i tabellen nedan (ta-bell 1). Den första screeningen resulterade i 109 artiklar.

9 Tabell 1. Inkluderingskriterier för manuellt ural

Beståndsdel Inkluderingskriterier

Område Matematikundervisning.

Likhetstecknet eller ekvivalens.

Undervisningsmetoder och/eller elevers förståelse för likhetstecknets inne-börd eller ekvivalens.

Artiklar som behandlar bråk (fractions) eller geometri exkluderas.

Metod Ingen begränsning.

Deltagare Elever och lärare i låg- och mellanstadiet.

Publikation Vetenskapligt granskade akademiska tidskriftsartiklar. Ingen avgränsning på publikationsår.

Inkluderingskriterierna utformades med syfte att artiklar relevanta för studien ska inklude-ras och de irrelevanta ska exkludeinklude-ras. För att artiklarna ska anses relevanta utifrån syfte och frågeställningar i denna systematiska litteraturstudie skall de handla om matematikundervisning för elever i åldern 6-12 år. Mer specifikt ska de behandla elevers förståelse för likhetstecknets innebörd eller undervisningsmetoder inom området. För att hålla sig inom ramarna för detta arbete har artiklar som handlar om matematiska bråk eller geometri uteslutits då det skulle in-nefatta fler problemområden och inte känns relevant i denna studie.

Ett andra urval inleddes sedan för att gallra bort artiklar som inte är av intresse för studien. Detta gjordes genom läsning av abstrakten till de 109 artiklar som valts ut i det första urvalet. En noggrann genomläsning av abstrakten resulterade i att 30 artiklar valdes ut till den övergri-pande kartläggningen. Ett ytterligare kriterium i detta urval var att abstraktet skulle gå att sam-manställa i tabellen i bilaga 2-9. Det skulle alltså gå att utläsa svar på majoriteten (3/4) av dessa frågor/punkter:

• _{Hur motiveras studien?} • Syfte/forsknings-fråga(or) • Metodval

• _{Slutsatser och resultat}

Detta inkluderingskrav skapades för att en enhetlig sammanställning och kartläggning skulle gå att genomföra. Detta medförde som sagt att många referenser föll bort och eventuellt kan relevant forskning ha fallit bort. En kategori som exkluderades var publikationer som inte

10 var vetenskapliga artiklar, exempelvis handledningar eller rapporter från konferenser. Fler or-saker till exkludering efter genomläsning av abstrakt var att det framkom tydligare att vissa artiklar ej behandlade det område denna studie riktar in sig på, exempelvis visade sig en del rikta in sig på en målgrupp som ej är relevant i detta fall. Några artiklar verkade inte specifikt rikta in sig på likhetstecknets innebörd och exkluderades därav.

Metod för övergripande analys och kartläggning.

Kartläggningen inleddes med en sammanställning av de 30 utvalda artiklarna. Utifrån ab-strakten sammanställdes dessa i en tabell med kolumner enligt punkterna ovan. Sedan tog ana-lysen vid och tabellen kom sedan att sorteras efter kategorier och underkategorier, en tabell per underkategori skapades för att förenkla en överblick över resultatet.

Analysen av de 30 samanställda artiklarna utgick från en induktiv innehållsanalysmetod av abstrakt. Genom att mönster, teman och kategorier söktes utifrån innehållet i abstrakten. Utifrån datasammanställningen skapades två huvudkategorier med utgångspunkt i forsknings-frågorna, Elevers förståelse för likhetstecknet och Undervisningsmetoder som kan utveckla

ele-vers förståelse för likhetstecknets innebörd. Huvudkategorin Eleele-vers förståelse för likhetsteck-nets innebörd innefattar de sex artiklar som tolkades ha huvudsyftet att undersöka elevers

för-ståelse för likhetstecknets innebörd snarare än en att testa en undervisningsmetod. Huvudkate-gorin Undervisningsmetoder som kan utveckla elevers förståelse för likhetstecknet, delades in i två övergripande teman: Hur representationer av en statisk innebörd kan användas för att

utveckla elevers förståelse och Hur instruktioner kan anpassas för att utveckla elevers förstå-else. Under dessa teman placerades de olika artiklarna baserat på vilken typ av undervisning de

behandlar. En del artiklar skulle kunna gå in under flera kategorier men de har placerats i den som anses stämma bäst överens med det artikeln fokuserar på. Kategorin hur representationer av en statisk innebörd kan användas för att utveckla elevers förståelse avses de olika sätt elever möter likhetstecknets innebörd på, till exempel genom aritmetiska utsagor eller genom jämfö-relse med symboler för olikhet. Kategorin Hur instruktioner kan anpassas för att utveckla

ele-vers förståelse avses de artiklar som behandlar effekten av när eller hur elever får instruktioner,

exempelvis vilka effekter rörelser har vid genomgång av likhetstecknets innebörd eller huruvida det är effektivast att arbeta på egen hand innan genomgång eller tvärt om. I resultatavsnittet presenteras och beskrivs samtliga kategorier och teman tydligare.

11

Metod för fördjupad analys

En fördjupad analys av forskningsfältet har skett genom att sex artiklar har valts ut till att representera forskningsfältet. Två artiklar under kategorin undersöker elevers förståelse för lik-hetstecknet och två artiklar under vart och ett av temana hur representationer av en statisk in-nebörd kan användas för att utveckla elevers förståelse och hur instruktioner kan anpassas för att utveckla elevers förståelse valdes ut. De utvalda artiklarna har sedan djupanalyserats. För det första har syftet varit att skapa en djupare bild av hur forskningen gått till. För det andra för att skapa en djupare bild av elevers förståelse för likhetstecknet eller den undervisningsmetod som studien arbetat med och huruvida denna inverkat på elevers förståelse för likhetstecknets innebörd. De utvalda artiklarna ämnar ge en bred bild av de undervisningsmetoder som ingår under vart och ett av temana.

12

Resultat

Nedan följer en presentation av resultatet av den föreliggande systematiska litteraturstu-dien. Resultatet har även presenterats i form av en kartläggning i tabellform i bilaga 2-9. Det inleds med en överblick av resultatet i form av en tabell och illustration. Sedan ges en övergri-pande genomgång av elevers förståelse för likhetstecknet följt av övergriövergri-pande beskrivningar av innehållet i de olika kategorierna. Dessa ger förslag på möjliga tillvägagångssätt för att ut-veckla elevers förståelse för likhetstecknets innebörd.

Övergripande resultat

I detta avsnitt presenteras en övergripande bild av resultatet utifrån huvudkategorier och underka-tegorier. Flertalet artiklar som placerats under huvudkategorin, undervisningsmetoder för att ut-veckla elevers förståelse för likhetstecknets innebörd, innehåller förslag på undervisningsme-toder som skulle kunna generaliseras till inlärningen av andra matematiska begrepp eller kon-cept. Studierna har genomförts med syfte att utveckla elevers förståelse för likhetstecknets in-nebörd och ekvivalens och har därmed ansetts relevanta för denna studie. I det övergripande resultatet presenteras innehållet i de olika kategorierna. Tabellen nedan redovisar hur många artiklar som ingår i varje kategori.

Tabell 2. Antal artiklar i kategorierna

Kategorier Antal artiklar

Elevers förståelse för likhetstecknets innebörd 6

Hur representationer av en statisk innebörd kan användas för att utveckla ele-vers förståelse

Öppna utsagor och påståenden 4

Andra symboler och representationsformer 8

Ordningen på uppgifter 1

Hur instruktioner kan anpassas för att utveckla elevers förståelse

Undervisning om olika lösningsstrategier 2

Arbete före instruktion 4

Förklara för sig själv 2

Rörelser för att stärka instruktionerna 3

Illustrationen nedan ämnar symbolisera forskningsresultatet. Längst till vänster återfinns den dynamiska förståelsen för likhetstecknet, vilken innebär att det tolkas som att en beräkning ska utföras. Längst till höger återfinns den statiska förståelsen för likhetstecknet vilket innebär

13 en förståelse att likhetstecknet symboliserar relationen mellan två uttryck av samma värde. Till höger om den dynamiska förståelsen finns de två teman som skapats under undervisningsme-toder symboliserade. Ifrån dem går det sedan pilar med de olika undervisningsmeundervisningsme-toderna i de två temana. Pilarna symboliserar de olika underkategorier med undervisningsmetoder som skapats. De symboliseras av pilar för att visa att dessa metoder är ämnade att utveckla elever från en dynamisk mot en statisk förståelse för likhetstecknet. Resultatet av studien har visat att elevers förståelse kan utvecklas genom fler stadier än direkt från dynamisk till statisk uppfatt-ning. Rittle-Johnson, Matthews, Taylor och McEldoon (2011) anser att förståelsen för likhets-tecknet kan ses som ett kontinuum och lyfter fram fyra olika stadier som hållpunkter för be-dömning av elevers uppfattning. Dessa kommer att presenteras vidare i den fördjupade ana-lysen.

14

Figur 1. Egen illustration över teman och underkategorier.

Elevers förståelse för likhetstecknet. Under sammanställning och kartläggning av artik-larna som ingår i forskningsfältet i denna studie har två övergripande förståelser för likhets-tecknet varit framträdande. Den vanligast förekommande hos elever synes vara en dynamisk förståelse för likhetstecknet. Ett genomgående resultat i artiklarna är att flertalet eleverna fast-nar i en dynamisk förståelse men att det är eftersträvansvärt att eleverna ska tillgodogöra sig en statisk förståelse för likhetstecknet. En dynamisk förståelse innebär att likhetstecknet ses som en uppmaning att utföra en beräkning och kan då bytas ut mot orden ”blir lika med” (Rittle-Johnson, Matthews, Taylor & McEldoon, 2011). En elev som innehar en statisk förståelse för likhetstecknet tolkar symbolen som att den betyder ”är lika med” (Rittle-Johnson et al., 2011). Alla 30 artiklar indikerar att en statisk förståelse för likhetstecknet är den önskade och mer utvecklade uppfattningen. Detta framkommer genom att undervisningsmetoderna ämnar ut-veckla eleverna från en dynamisk till en statisk förståelse för likhetstecknet, eller att de vill utveckla elevernas förståelse för likheter och ekvivalens. Rittle-Johnson et al (2011, s.0) defin-ierar ekvivalens på följande sätt ”Mathematical equivalence, typically represented by the equal sign, is the principle that two sides of an equation represent the same value”. Förståelse för ekvivalens i denna bemärkelse ingår i en statisk förståelse för likhetstecknets innebörd (McNeil, 2008; McNeil, Fyfe, Petersen, Dunwiddie & Brletic-Shipley, 2011; McNeil, Fyfe & Dunwid-die, 2015; Powell, Driver & Julian, 2015,).

Öppna utsagor och påståenden. Av de 30 artiklarna som utgör forskningsfältet för denna studie placerades fyra i denna kategori som innefattar undervisning om likhetstecknets innebörd genom öppna utsagor och påståenden. Alla fyra artiklarna i denna kategori är interventionsstu-dier som är genomförda på elever i USA i åk 2-3. En studie genomfördes på elever med mate-matiksvårigheter. Studierna genomfördes på mellan 51 och 166 elever. Eleverna som deltog i studierna delades in i olika grupper och kontrollgrupper.

Alla fyra studierna testade huruvida elevernas förståelse för likhetstecknet och ekvivalens gynnas av att möta aritmetiska utsagor som skiljer sig från det de är vana vid att operationen står till vänster om likhetstecknet och summan till höger, ex. 5+7=12 (McNeil, 2008; McNeil, Fyfe, Petersen, Dunwiddie & Brletic-Shipley, 2011; McNeil, Fyfe & Dunwiddie, 2015; Powell, Driver & Julian, 2015). Elevers förståelse för likhetstecknets innebörd kan stärkas genom att de får koma i kontakt med öppna utsagor och påståenden där likhetstecknet kan placeras med räkneoperationen till höger och summan till vänster eller med en operation på varje sida t.ex.

15 12=5+7, 5+7=4+__ (McNeil, 2008; McNeil et al., 2011; McNeil et al., 2015; Powell et al., 2015). Eleverna i studierna fick träffa på denna typ av uppgifter genom exempelvis modifierade matematikböcker och genomgångar. Samtliga studier visade att de elever som fått möta på denna typ av öppna utsagor och påståenden visade en djupare förståelse för ekvivalens och likhetstecknets innebörd (McNeil, 2008; McNeil et al., 2011; McNeil et al., 2015; Powell et al., 2015).

Olika symboler och representationsformer. Denna kategori består av åtta artiklar som behandlar hur förståelsen för likhetstecknets innebörd och ekvivalens kan utvecklas med hjälp av olika representationsformer och symboler som betecknar en relation mellan vänster- och högerled. Representationsformerna och forskningsmetoderna varierar mellan studierna. De be-handlar symboliska och icke-symboliska representationer. Alla är genomförda på elever i låg eller mellanstadiet, varav Warren och Cooper (2009) har gjort en longitudinell inventionsstudie som har följt 220 elever från åk 2 till och med åk 6. Majoriteten av de andra har genomförts genom att olika grupper har fått ta del av olika undervisning och sedan har deras resultat jäm-förts med varandra och en kontrollgrupp.

Hattikudur och Alibali (2010) undersökte effekten av att jämföra likhetstecknet med sym-bolerna för större än och mindre än (>,<). Då dessa symboler symboliserar relationen mellan vänster- och högerled antogs de kunna bidra till att uppfatta likhetstecknet som en symbol som även det beskriver relationen mellan uttrycken. En grupp fick dessa tre tecken förklarade för sig, en annan grupp fick olika beskrivningar av likhetstecknet som en statisk symbol, den tredje gruppen fungerade som kontrollgrupp. Resultatet blev att de två första grupperna presterade bättre på eftertestet än kontrollgruppen, samt att den första gruppen lärde sig innebörden av tre symboler under samma tid som de andra eventuellt lärde sig om endast likhetstecknets inne-börd. De konstaterar utifrån eftertestet att det kan vara fördelaktigt att använda sig av jämförel-ser mellan matematiska symboler vid inlärning av matematiska koncept (Hattikudur & Alibali, 2010).

Resterande artiklar testar effekten av olika representationsformer som inte innebär det ma-tematiska symbolspråket för att främja en statisk förståelse för likhetstecknet. Sherman och Bisanz (2009) testade huruvida svårigheterna att förstå ekvivalens sitter i de matematiska sym-bolerna. De kom fram till att undervisning med icke-symboliska representationsformer kan främja förståelsen för ekvivalens. Detta ledde till att eleverna kunde förstå öppna utsagor repre-senterade med symboler (Sherman & Bisanz, 2009). Driver och Powell (2019) kom fram till att elever presterade bättre när de löste uppgifter av typen 3+4=__+5 representerade med bilder

16 eller historier än med symboler. Chow och Wehby (2019) testade huruvida genomgång med eller utan matematiska symboler var främjande för elevers utveckling av en statisk förståelse för likhetstecknet. Oavsett representationsform så fick alla elever samma verbala instruktioner. Genomgången utan matematiska symboler visade sig ha en bättre effekt på elevers lärande (Chow & Wehby, 2019). Kurz (2013) lyfter fram användning av en balansvåg där mitten repre-senterar likhetstecknet som ett hjälpmedel att skapa förståelse för likheter och algebraisk kun-skap. De menar att detta kan ske genom att eleverna experimenterar med vad som händer när innehållet i vågskålarna förändras (Kurz, 2013). Två artiklar var inriktade på lästal i relation till undervisning om likhetstecknets innebörd. Båda studierna resulterade i att elevers förståelse för ekvivalens och möjligheter att lösa uppgifter kopplade till likheter så som öppna utsagor främ-jades till följd av undervisning där lästal var inkluderade (Barlow & Harmon, 2012; Powell & Fuchs (2010).

Ordningen på uppgifter. En av artiklarna i forskningsfältet (McNeil, Chesney, Matthews, Fyfe, Petersen, Dunwiddie, & Wheeler, 2012) utgår ifrån en studie utförd på 104 elever i åldern 8 år. Studien testade huruvida ordningen på aritmetiska uppgifter påverkar förståelsen för ek-vivalens. Eleverna i studien fick antingen öva på uppgifter ordnade i grupper med lika stora summor eller uppgifter grupperade med en ökande summa där den första termen förblev den-samma. Den tredje gruppen fungerade som en kontrollgrupp utan extra träning. Resultatet i studien visade att eleverna som fick öva på uppgifter grupperade efter samma summor erhöll en bättre förståelse för ekvivalens än de andra grupperna (McNeil et al., 2012).

Undervisning om olika lösningsstrategier. Två studier i forskningsfältet undersökte ef-fekten av att få ta del av olika lösningsstrategier i samband olika typer av feedback. Alibali (1999) undersökte mönster i hur elevers lösningsstrategier för att lösa uppgifter kopplade till ekvivalens förändras till följd av olika typer av instruktioner och feedback. Elevers strategier uttryckta via kroppsspråk och tal bedömdes före och efter en intervention. Interventionen gick ut på att eleverna antingen fick feedback på exakthet, feedback och instruktioner om en princip, analogi eller procedur eller ingen input alls. Resultatet på studien visade att de elever som fick instruktioner var mest benägna att utveckla nya strategier. De flesta eleverna visade en gradvis utveckling, men det förekom även de elever som gjorde en abrupt förändring av sina lösnings-strategier. En abrupt förändring sågs mest hos de elever som tillgodosågs med en procedurba-serad undervisning eller de elever som inte hade en stor variation av lösningsstrategier innan interventionen (Alibali, 1999).

17 Brown och Alibali (2018) undersökte effekterna av tillgång till alternativa strategier och feedback för strategiförändring vid undervisning om ekvivalens. Denna studie genomfördes på 106 elever i åldern 7-10 år. Precis som den tidigare studien så utvärderades elevernas strategier före och efter en intervention. Interventionen gick ut på att eleverna fick ta del av fyra alterna-tiva strategier för att lösa uppgifter som handlar om ekvivalens, varav två var korrekta och två inkorrekta. En del fick endast utföra ett kontrolltest. Resultatet visade att exponering för alter-nativa strategier ledde till större förändring av elevers lösningsstrategier samt bättre prestation i ett problemlösningstest. Effekten av feedback testades genom att några elever fick feedback på sina existerande strategier, medan andra inte fick det. Huruvida feedback gav önskad eller oönskad effekt berodde på tidigare kunskaper och elevernas självförtroende för sina existerande strategier (Brown & Alibali, 2018).

Arbete före instruktion.Studierna i denna kategori undersöker om det ger mest effekt på elevers förståelse för ekvivalens att starta med genomgång eller med att eleverna före genom-gång får testa på att lösa uppgifter som behandlar förståelse för ekvivalens på olika sätt. Dessa studier har genomförts på elever i åk 2-4. Alla studierna är genomförda i USA och en författare, Rittle-Johnson har deltagit i samtliga. Ytterligare två författare, Fyfe och DeCaro är delaktiga i tre studier vardera. Att det är i stort sett samma författare i alla artiklarna kan minska bredden i kategorin. Dock erhålls en viss bredd då de är utförda på olika sätt och visar på olika resultat på effekten av utforskande och instruktioner.

Den första studien, Fyfe, DeCaro och Rittle-Johnson (2014), har utfört ett randomiserat experiment där elever antingen har fått ta del av en genomgång om innebörden av ekvivalens före eller efter att de fått lösa och förklara uppgifter där kunskaper om ekvivalens behöver an-vändas eller kan utvecklas. Denna studie visade att det var mer gynnsamt at ta del av begrepps-liga instruktioner före uppgiftslösning än tvärt om, både vad gäller procedur och elevers egna förklaringar av hur de gått till väga (Fyfe et al., 2014). I den andra studien, DeCaro och Rittle-Johnson (2012) fick elever lösa uppgifter med öppna utsagor (ex. 3+5=4+__) före eller efter en genomgång om innebörden av begreppet ekvivalens. Resultatet i denna studie blev motsatt mot den första och visade det mer gynnande för lärandet med utforskande arbete före genomgång (DeCaro & Rittle-Johnson, 2012). Den tredje studien Fyfe, Rittle-Johnson och DeCaro (2012) testade samma teori som föregående studie i en klassrumskontext. Resultatet i denna gav att en arbetsgång där elever får arbeta med uppgifter före instruktioner fungerade i de fall eleverna gavs möjlighet att lägga till kunskaper från instruktionerna i efterhand. Detta testades genom

18 att eleverna efter genomgången fick gå tillbaka till sina tidigare besvarade uppgifter och revi-dera de som de själva ansåg felaktiga. I den fjärde studien Loehr, Fyfe och Rittle-Johnson (2014) fick eleverna arbeta med 12 matematiksagor som uppmanade elever att använda kun-skaper om ekvivalens utan någon genomgång av innebörden av ekvivalens. Eleverna fick sedan olika typer av feedback. Resultatet i denna studie visade att effekten av att arbeta utforskande och effekten av feedback berodde på elevernas tidigare kunskap (Loehr et al., 2014).

Förklara för sig själv. Två artiklar har undersökt huruvida det är givande att förklara för sig själv för att skapa en statisk uppfattning av likhetstecknet. Eleverna som medverkat i studi-erna gick i åk 2-5 respektive åk 3-5.

Rittle-Johnson (2006) undersökte om det kan bidra till bestående förbättringar i lyckad transfer att förklara för sig själv. Det undersöktes om det är effektivare i samband med uppfin-ning av en procedur eller i samband med instruktioner. Resultatet visade att transfer av elevers kunskaper gynnades av att de uppmanades att förklara för sig själva. Att förklara för sig själv och få instruktioner hjälpte eleverna att både lära sig och komma ihåg procedurer. Ingen av dem ledde till någon större konceptuell kunskapsutveckling (Rittle-Johnson, 2006). Den andra stu-dien Matthews och Rittle-Johnson (2009) inriktade sig på att undersöka om konceptuella eller procedurinriktade instruktioner påverkar kvaliteteten på elevers egna förklaringar när de ska lära sig att lösa uppgifter som 7+3+9=7+__. Detta skedde genom två experiment och resultatet av studien var att konceptuella instruktioner ledde till att elever kunde förklara för sig själva med högre kvalitet. Dock hittades ingen effekt av att uppmanas till att förklara för sig själv i samband med konceptinriktade instruktioner (Matthews & Rittle-Johnson, 2009).

Rörelser för att stärka instruktionerna. Tre artiklar undersökte inverkan av rörelser eller gester i samband med undervisning om likhetstecknets innebörd och ekvivalens. Artiklarna har riktat in sig på att antingen undersöka varför rörelser effektiviserar instruktioner (Cook & Gol-din-Meadow, 2006), hur inlärningen över tid påverkas av att observera gester (Cook, Duffy & Fenn, 2013) eller huruvida att guida en elevs rörelser kan ge en försenad effekt på lärande (Brooks & Goldin-Meadow, 2016).

Kort sagt gav alla tre studierna resultatet att det är gynnande med rörelser vid inlärning av likhetstecknets innebörd och ekvivalens. Cook och Goldin-Meadow (2006) kom i deras studie fram till att elever som får ta del av instruktioner där rörelser används är mer benägna att pro-ducera egna rörelser när de ska lösa liknande uppgifter senare. Dessa elever presterade bättre på ett eftertest än de elever som fick ta del av instruktioner utan rörelser. Cook et al. (2013)

19 kom även de fram till att elever lärde sig bättre om undervisaren använde sig av handrörelser för att förtydliga instruktioner om likhetstecknets statiska innebörd. Det medförde även att ele-verna bättre kunde överföra kunskaperna till svårare uppgifter. I Brooks och Goldin-Meadow (2016) fick elever först lära sig antingen relevanta eller irrelevanta rörelser för ekvivalens. De uppmanades sedan att utföra dessa rörelser innan de fick lösa uppgifter innan de slutligen fick instruktioner om vad ekvivalens innebär. Resultatet visade att eleverna som fick lära sig rele-vanta rörelser presterade bättre än de andra i ett test efter genomgången av ekvivalens. Deras slutsats är att relevanta rörelser kan så frön till kunskaper som kan utvecklas efter explicita instruktioner om begreppet (Brooks & Goldin-Meadow, 2016).

Fördjupad analys

I detta avsnitt görs en fördjupad analys av forskningsfältet med hjälp av sex artiklar. Det inleds med en fördjupning i elevers förståelse för likhetstecknet där flera olika uppfattningar och betydelser av likhetstecknet lyfts fram utifrån två utvalda artiklar. Vidare analyseras undervisningsmetoderna som har framkommit i resultatet utifrån temana hur representationer av en statisk innebörd kan användas för att utveckla elevers förståelse och hur instruktioner kan anpassas för att utveckla elevers förståelse. Detta sker utifrån två artiklar under varje tema och effekterna av olika modifieringar av undervisningen lyfts fram.

Elevers förståelse för likhetstecknets innebörd. Två artiklar har valts ut till representan-ter för forskningsfältet för att beskriva hur elever uppfattar likhetstecknets innebörd. Johnson et al. (2011) och Molina, Castro och Castro (2009) valdes ut till en djupläsning. Rittle-Johnson et al. (2011) utförde en studie genom en construct modeling-ansats för att undersöka elevers förståelse för ekvivalens i studien ingick 175 elever i åk 2-6. Molina et al. (2009) är baserad på en ett år lång studie genomförd i en spansk klass med 26 elever (varav ett bortfall) i åldern åtta och nio år.

Rittle-Johnsons et al. (2011) studie genomfördes genom att elever fick utföra två tester med två veckors mellanrum, granskning av läromedel och intervjuer med lärarna. Eleverna fick alltså inte genomgå någon förändring i matematikundervisningen utan syftet var att testa deras kunskaper och förståelse utan modifieringar i undervisningen. Ett bedömningsmaterial för att bedöma och upptäcka systematiska förändringar i elevers förståelse för ekvivalens utformades. Med syfte att representera det kontinuum av kunskap som elever är tänkta att utvecklas genom mot kunskaper och förståelse för ekvivalens och likhetstecknets statiska innebörd (Rittle-John-son et al., 2011).

20 Fyra förståelsenivåer användes att förtydliga olika steg av utvecklingen. Dessa är främst baserade på vilka typer av matematiska uppgifter som eleverna behärskar. Dessa stadier bör dock inte ses som separata kunskapsnivåer utan ett sätt att sätta ord på olika nivåer inom kon-tinuumet. De fyra nivåerna som utvecklades är rigid operational, flexible operational, basic

relational samt comparative relational. Nivå ett, rigid operational kan liknas vid det som i

andra studier benämns som en dynamisk förståelse för likhetstecknet. Den innebär att eleven endast har kan hantera påståenden och öppna utsagor med strukturen a+b=c och att de definierar likhetstecknet som en symbol med dynamisk innebörd. Nivå två, flexible operational, innebär att eleverna har utvecklat förståelsen till att även kunna hantera påståenden och öppna utsagor med räkneoperationen till höger om likhetstecknet och påståenden utan någon operation ex. c=a+b eller a=a. Nivå tre, basic relational innebär att eleverna kan hantera matematiska påstå-enden och öppna utsagor med räkneoperationer på båda sidor om likhetstecknet, exempelvis a+b=c+d eller a+b-c=d+e. Den tredje nivån innefattar även att eleverna kan känna igen och ange en definition av likhetstecknets statiska innebörd. Nivå fyra, comparative relational är den högsta nivån i denna modell och innebär att elever kan lösa och uppskatta matematiska påstå-enden och öppna utsagor genom att jämföra vänster- och högerled. Detta inkluderar kunskapen om att ekvivalens fortfarande råder om samma operation utförs på båda sidor om likhetstecknet. Vidare innebär det att eleverna värderar en statisk definition av likhetstecknet som den bästa definitionen (Rittle-Johnson et al., 2011).

Resultatet av testerna visade på en progression i elevers förståelse för likhetstecknets inne-börd och förmåga att lösa och värdera olika uppgifter, över årskurserna. De uppgifter eleverna fick möta i testerna visade sig vara lämpliga då elevernas resultat sprider sig från nivå ett till nivå fyra. Resultatet indikerar dock att kunskapen inte är åldersbunden då det fanns elever även i åk 2 som visade på en statisk förståelse. Det diskuterades att elevers nivåer kan bero på expo-neringen för likhetstecknet som en statisk symbol. Det visade sig också att olika typer av upp-gifter, olika tal eller begrepp kan ha betydelse för hur väl eleverna förstår likhetstecknets inne-börd. Ett exempel på detta är att när eleverna ombads att bedöma olika definitioner av likhets-tecknet så var eleverna var mer benägna att bedöma ”The equal sign means two amounts are the same” som en bra definition av likhetstecknet än de var att bedöma ” The equal sign means the same as” som en bra definition. De menar att elever kan ha uppnått förståelse för vissa aspekter av den statiska förståelsen innan de bemästrar en fullständig statisk förståelse för lik-hetstecknet (Rittle-Johnson et al., 2011).

21 En dynamisk uppfattning av likhetstecknet är starkt sammankopplad med typiska aritme-tiska uppgifter där det till vänster om likhetstecknet finns en operation och till höger om lik-hetstecknet ska svaret på uträkningen skrivas ex. 7+3=__ (Rittle-Johnson et al., 2011). Majori-teten av de felaktiga svar som angivits i test av med öppna utsagor som inte följer den aritme-tiska normen beror på att eleverna har en dynamisk förståelse för likhetstecknet. Detta visades genom att de ofta använt sig av metoder som ”add up the numbers”, ”add all” eller ”add to equal” (Rittle-Johnson et al., 2011). Add all innebär att likhetstecknet förstås som att alla tal i utsagan ska adderas. Add to equal innebär att likhetstecknet förstås som att endast de tal som står innan likhetstecknet ska adderas (Rittle-Johnson et al., 2011).

Den spanska studien (Molina et al., 2009) genomfördes under ett år med elever i en och samma klass. Studien bestod av sex entimmes sessioner med varierande mellanrum. Under dessa sessioner fick eleverna genomföra individuella uppgifter, test, helklassdiskussioner, gruppdiskussioner och individuella intervjuer. Fokuset på uppgifterna var att lösa öppna utsagor och avgöra om påståenden var sanna eller falska. Uppgifterna baserades på olika aritmetiska lagar så som den kommutativa lagen för addition och att den inte gäller vid subtraktion, exem-pelvis 10+4=4+10 eller 15-6=6-15. Eleverna kunde således lösa uppgifterna genom att utföra beräkningar eller använda sig av relationellt tänkande (relational thinking). Genom uppgifter av detta slag och efterföljande diskussioner kunde forskarna ana hur elevernas förståelse för likhetstecknets innebörd ser ut (Molina et al., 2009). Precis som Rittle-Johnson et al. (2011) hittade Molina et al. (2009) tecken på att elevernas förståelse har en tendens att variera mellan olika tillfällen och uppgifter samt beroende på om de ombads att verbalisera sina tankar. Detta kan innebära att eleverna är någonstans mellan en dynamisk och statisk förståelse och att ut-vecklingen sker över tid i olika stadier utan förutbestämd ordning (Molina et al., 2009; Rittle-Johnson et al., 2011). Resultatet i denna studie skilde sig något från andra studier inom området då uppemot 20 av 25 elever visade på en avancerad förståelse för likhetstecknets innebörd under tre sessioner. Det diskuteras att resultatet kan bero på läraren eller att eleverna under experi-mentets gång fått ta del av liknande uppgifter samt att de blivit uppmanade att använda sig av relationellt tänkande (Molina et al., 2009).

Molina et al. (2009) presenterar elva olika betydelser för likhetstecknet i sin litteraturge-nomgång. Dessa betydelser är tagna ifrån vilken betydelse elever eller läromedel sätter på lik-hetstecknet. I resultatet av studien har de identifierat att eleverna använder sig av fyra olika betydelser av likhetstecknet för att lösa uppgifter. De två första betydelserna kan kopplas till en dynamisk förståelse för likhetstecknet. De betydelserna innebär att en räkneoperation ska

utfö-22 ras eller att likhetstecknet uttrycker en handling. De två andra betydelserna innebär att likhets-tecknet uttrycker antingen numerical sameness eller numerical equivalence. numerical

same-ness beskrivs som att ett uttryck som innehåller samma siffror på båda sidor om likhetstecknet

kan tolkas som ekvivalent, ett exempel är: 23=32. Numerical equivalence innebär att vänster och höger sida om likhetstecknet är uttryck med samma värde. Eleverna kunde använda och acceptera flera olika betydelser av likhetstecknet utan att de verkade förvirrade. Detta gäller även för samma typ av räkneuppgifter, den betydelse de använde sig av kunde skilja sig om uppgiften innehöll subtraktion eller addition. Vidare analyserades elevernas förståelse för lik-hetstecknet utifrån vilka betydelser de använde sig av. Tre nivåer återfanns hos eleverna: dyna-misk förståelse, instabil förståelse samt avancerad förståelse. Elevernas förståelse klassades grundat på hur frekvent de svarade rätt på olika typer av uppgifter med räkneoperationer på ingen, en eller båda sidor om likhetstecknet. Den avancerade förståelsen inkluderar förståelse för numerisk ekvivalens (Molina et al., 2009).

De elever som ansågs ha en avancerad förståelse för likhetstecknets innebörd löste alla typer av matematiska påståenden och öppna utsagor som de blev tilldelade. Detta innefattar öppna utsagor och påståenden där det fanns en operation på vänster, höger eller ingen sida av likhetstecknet. De elever som visade en instabil förståelse för likhetstecknets innebörd använde både betydelsen att en operation ska utföras och betydelsen numerisk ekvivalens. Exempelvis angav en elev svaret 17 i både 8+4=_+5 och 14+_=13+4 men angav en korrekt lösning, 12, på uppgiften 13-7=_-6. Detta kan tolkas som att eleven har svårigheter att tolka vissa påståenden som relationer mellan vänsterledet och högerledet. Den tredje och lägsta nivån av förståelse hör samman med en dynamisk förståelse för likhetstecknet. Denna förståelse yttrar sig genom att eleven enbart använder någon av de två betydelser som uttrycker att en operation ska utföras eller att det uttrycker en handling. Den dynamiska förståelsen för likhetstecknet visade en elev genom att anta att ett av talen till höger om likhetstecknet skulle representera lösningen till den vänstra sidan. Eleven tolkade exempelvis 75+23=23+75 som falskt eftersom summan av 75+23 varken är 75 eller 23 (Molina et al., 2009).

Hur representationer av en statisk innebörd kan användas för att utveckla elevers förståelse. Till en fördjupad analys har först en artikel av McNeil et al. (2015) valts ut. Syftet med artikeln är att testa om det med hjälp av modifierad aritmetik går att förbättra elevers för-ståelse för ekvivalens. Detta genomfördes genom ett randomiserat experiment med endast ef-tertest. Olika klasser i två olika delar av USA genomförde experimentet. Eleverna som deltog i experimentet blev slumpmässigt tilldelade en av två matematikböcker. Detta gjorde att elever i

23 samma klassrum utan deras vetskap hade olika böcker. Skillnaden mellan matematikböckerna var att den ena innehöll modifierade aritmetiska uppgifter och den andra aritmetiska standard-uppgifter. Eleverna som deltog i experimentet befann sig i sin ordinarie klassrumsmiljö med respektive lärare. Lärarna hade tilldelats manus över genomgången vilket bidrog med att alla elever fick ta del av samma instruktioner inför lektionerna. Eleverna arbetade i dessa böcker i 15 minuter åt gången två gånger i veckan i 12 veckor. Uteslutning av ett förtest motiverades med att tidigare studier visat att ett sådant kan vara en bidragande faktor till elevers förbättring inom förståelsen för ekvivalens.

Det som skilde sig i undervisning var hur de aritmetiska uppgifterna var skrivna i böckerna, utöver det såg de likadana ut. Uppgifterna i boken med aritmetiska standarduppgifter som ele-verna vanligtvis möter i skolan hade alla likhetstecknet till höger om operationen. Detta gällde såväl när uppgifterna var representerade med bilder, där de exempelvis skulle räkna antalet fåglar och skriva hur många maskar som behövdes för att mata dem. Såväl som i uppgifter skrivna med matematiska symboler så som 3+4=7. I den modifierade boken hade majoriteten av uppgifterna likhetstecknet till vänster om operationen. Det okända talet varierade mellan att vara summan eller en av termerna. Det fanns alltid endast en operation på ena sidan av likhets-tecknet. I början av den modifierade boken var likhetstecknet ibland utbytt mot statiska begrepp så som ”equals” eller ”equals to”. Båda böckerna hade en stegrande utveckling i svårighetsgrad på uppgifterna och de senare lektionerna innehöll endast uppgifter representerade med symbo-ler (McNeil et al., 2015).

Resultatet av experimentet testades genom ett antal tester i direkt sammankoppling till att experimentet var utfört och i slutet av skolåret ungefär ett halvår senare. Testerna innefattade ekvationslösning, ekvationsavkodning och att definiera likhetstecknet. För att bedöma elever-nas förmåga i ekvationslösning fick de genomföra ett papper och penna-test med 12 uppgifter där en tredjedel var otraditionella additionsuppgifter med operationen till höger om likhetsteck-net. Två tredjedelar av uppgifterna hade operationer på båda sidorna om likhetstecklikhetsteck-net. Elever-nas uppfattning bedömdes genom att se hur de utfört uppgifterna, huruvida eleverna till exem-pel adderat alla siffrorna och ignorerat likhetstecknet. De senare uppgifterna med operationer på bägge sidor hade ingen av grupperna mött tidigare. Ekvationsavkodning testades genom att eleverna fick se fyra ekvivalensproblem (ex. 4+5=3+__) i fem sekunder vardera. Efter varje visning skulle de försöka återskapa den öppna utsagan på sitt papper. Ett vanligt fel var att göra om det till en typisk aritmetisk uppgift (ex. 4+5+3=__) detta tolkades som att eleverna hade konceptuella missuppfattningar. För att testa elevernas förmåga att definiera likhetstecknet fick

24 de svara på tre frågor, (a) vad heter denna matematiska symbol? (b) Vad betyder denna mate-matiska symbol? och (c) kan den betyda något annat? Eleverna utförde även ett standardiserat test där de skulle utföra så många additioner de hann på en minut för att testa deras

computat-ional fluency (beräkningsflyt) (McNeil et al., 2015).

Resultaten i testerna visade att de elever som använt den modifierade boken var mindre benägna att fastna i dynamiska mönster så som operation=svar än den andra gruppen. De ele-verna presterade bättre i alla avseenden gällande den konceptuella förståelsen i både eftertesten och det senarelagda uppföljningstestet än kontrollgruppen. Eleverna i den modifierade gruppen angav en statisk definition av likhetstecknet i större utsträckning än kontrollgruppen. Andelen elever som angav en statisk definition av likhetstecknet var 19 % jämfört med 12% i eftertestet. I uppföljningstestet kunde en större skillnad urskiljas där var andelen 23% jämfört med 11% som definierade likhetstecknet statiskt. I det testet som testade beräkningsflyt kunde inga sig-nifikanta skillnader urskiljas i elevernas resultat (McNeil et al., 2015).

Trots att resultaten inte är uppseendeväckande så visar studien på att den modifierade boken har gett eleverna en bättre konceptuell förståelse för ekvivalens utan att de har fått någon undervisning utöver uppgifterna i boken. Ytterligare en bidragande faktor till att skillnaden i resultaten inte är större kan bero på att detta har utspelat sig under en begränsad tid och vid sidan av deras ordinarie matematikundervisning som uteslutande består av typiskt aritmetiska uppgifter. Slutsatsen av studien är att små förändringar i den ordinarie matematikundervis-ningen kan bidra till en konceptuell förståelse för ekvivalens vilken kan hindras om eleverna endast möter standard aritmetiska uppgifter (McNeil et al., 2015).

Den andra studien som valts ut till representant i detta tema är Hattikudur och Alibali (2010). De undersökte huruvida det kan gynna elevers förståelse för likhetstecknet som en sta-tisk symbol att få undervisning som jämför likhetstecknet med symbolerna för mindre än och större än. Det finns en del likheter och skillnader mellan Hattikudur och Alibali (2010) och McNeil et al. (2015). Till skillnad från McNeil et al. (2015) så genomförde Hattikudur och Alibali (2010) sin studie utanför en klassrumskontext och inkluderade ett förtest för att se skill-nader i elevernas prestationer innan och efter en genomgång.

Hattikudur och Alibali (2010) genomförde studien på 106 elever i åk 3 och 4 från sex olika skolor i USA. Eleverna blev slumpmässigt indelade till att ingå i olika undervisningsmetoder. Dessa innebar (a) jämförande, få instruktioner om likhetstecknet samt symbolerna för mindre än (<) och större än (>), (b) endast undervisning om likhetstecknet och (c) kontrollgrupp utan undervisning om någon av symbolerna. Tillvägagångssättet innebar att eleverna individuellt fick en halvtimme med en av forskarna i antingen ett labb eller i ett litet rum på skolan, alla

25 tillfällen filmades med videokamera. Först fick de genomföra ett förtest. Sedan gavs en genom-gång utifrån ett av de tre tidigare nämnda förhållandena. I nästa steg fick de genomföra 20 övningsuppgifter innan de till sist fick genomgå ett eftertest.

De elever som fick undervisning genom jämförelse mellan de olika symbolerna, fick under genomgången i tur och ordning lära sig om de tre symbolerna mindre än, större än och likhets-tecknet. Eleverna som fick undervisning om enbart likhetstecknet fick en lika lång genomgång av tre olika statiska förklaringar av likhetstecknet. Den tredje gruppen fick ett lika långt under-visningstillfälle där alla tre symbolerna var uteslutna (Hattikudur & Alibali, 2010).

Det som testades var konceptuell förståelse, problemavkodning och problemlösning. Tes-terna innefattade olika delar, varav några liknade de som McNeil et al. (2015) använde. Den delen som testade huruvida eleverna med ord kunde definiera likhetstecknet bestod av samma frågor som McNeil et.al (2015). Skillnaden var att i denna studie, Hattikudur och Alibali (2010), höll forskaren upp en bild av likhetstecknet och frågade eleven dessa frågor med ord och ele-verna bads berätta för dem. Frågorna var exakt samma i båda studierna. När eleele-verna fick dessa frågor efter genomgången så visade 74% av eleverna som fått jämförande undervisning på en statisk förståelse medan likhetsteckengruppen gjorde 57% av eleverna det. Endast 22% av ele-verna i kontrollgruppen visade en statisk förståelse för likhetstecknet (Hattikudur & Alibali, 2010).

Förtestet började med att eleverna fick lösa fyra ekvivalensproblem med formen a+b+c=a+__ eller a+b+c=__+c. Alla elever lyckades lösa uppgifterna och även ge forskaren en förklaring på hur de kommit fram till lösningen. Alla eleverna visade därmed kunskap om hur man löser denna typ av uppgifter redan innan lektionen. Även i denna studie testades elevernas förmåga att återge öppna utsagor efter att de sett dem i 5 sekunder var. Det fortsatte med tre uppgifter som testar deras konceptuella förståelse, en definieringsuppgift, en symbolsorterings-uppgift, en påståendesorteringsuppgift. I eftertestet lades även uppgifter med symbolerna för olikhet till (Hattikudur & Alibali, 2010).

Resultatet i Hattikudur och Alibali (2010) visar att det kan vara av värde att låta elever möta andra symboler som betecknar en relation mellan två uttryck för att skapa förståelse för likhetstecknets statiska innebörd. Detta då de elever som fick undervisning genom jämförelse av symbolerna visade en högre konceptuell förståelse för likhetstecknet som en statisk symbol än de elever som enbart fick undervisning om likhetstecknet som en statisk symbol. Båda grup-perna presterade dock bättre än kontrollgruppen.

26 Hur instruktioner kan anpassas för att utveckla elevers förståelse. Artiklarna i detta tema berör huruvida det har effekt på elevers förståelse för likhetstecknets innebörd när eller hur instruktioner ges. Två studier har valts ut till att representera detta tema.

Den första är Loehr et al. (2014) som undersökte huruvida det bidrar till mest lärande att starta med genomgång av likhetstecknets innebörd eller att låta eleverna arbeta med uppgifter inom ämnet före genomgång. Detta genomfördes genom två experiment, med mindre korrige-ringar till det andra experimentet. Korrigekorrige-ringarna skedde för att gruppen som fick arbeta med uppgifter före genomgång skulle kunna visa ett mer rättvist resultat. Studierna genomfördes på elever i åk 2 i olika skolor i USA. Studiens design var förtest-intervention-eftertest, där eleverna blev slumpmässigt indelade i grupper där de antingen fick arbeta enligt modellen instruktion-lösa problem eller instruktion-lösa problem-instruktion. Studiens syfte var att testa sin hypotes i en klass-rumskontext i lågstadiet, därav skedde alla delarna i klassrum som eleverna var vana vid.

Förtestet ägde rum några dagar innan interventionen och genomfördes på 20 minuter, testet liknade de tester som Hattikudur och Alibali (2010) och McNeil et al. (2015) genomförde på eleverna i sina studier. Det som testades var elevernas konceptuella förståelse för likhetstecknet och elevers ekvationskunskaper. Likt de andra studierna bads eleverna att definiera likhetsteck-net, denna gång som sista uppgift i uppgiftshäftet (Loehr et al., 2014).

Interventionen pågick i 60 minuter där eleverna antingen fick börja med att utföra ett antal uppgifter eller med att få en genomgång om likhetstecknet som en beteckning av relationen mellan uttrycken till höger och vänster om det. Instruktioner om procedurer uteslöts då det kan hindra eleverna från att ta till sig de konceptuella instruktionerna. Efter det fick eleverna ge-nomföra ett mellantest. Slutligen fick de som börjat med att lösa uppgifter ta del av en genom-gång och de som börjat med genomgenom-gång fick genomföra samma uppgifter som den andra grup-pen. Eftertestet genomfördes dagen efter interventionen och tog 30 minuter. I stora drag liknade detta förtestet (Loehr et al., 2014).

Då det första experimentet inte visade någon fördel till att senarelägga genomgången spe-kulerade forskarna att det kunde bero på att eleverna inte fick någon möjlighet att använda sig av kunskaperna de tillägnat sig under genomgången förrän dagen efter vid eftertestet. Detta då det i tidigare studier som genomförts med elever ensamma med forskaren har visat sig vara en fördel att arbeta utforskande innan genomgång. Skillnaden är att eleverna då fått feedback på, och betts förklara sina lösningar för forskaren. Med detta i åtanke valde de att genomföra ett nytt experiment på andra skolor men med elever i samma ålder som den tidigare (Loehr et al., 2014).