Elever resonerar om
kommutativitet
En kvalitativ studie om hur elever resonerar kring och använder
kommutativitet i addition
KURS:Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp
PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 FÖRFATTARE:Malin Jansson
EXAMINATOR:Anna-Lena Ekdahl TERMIN:VT20
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare F-3, 15hp
School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning
mot arbete i förskoleklass och grundskolans årkurs F-3 VT20
SAMMANFATTNING
___________________________________________________________________________ Malin Jansson
Elever resonerar om kommutativitet: En kvalitativ studie om hur elever resonerar kring och använder kommutativitet i addition
Antal sidor: 31 ___________________________________________________________________________
Ett område inom matematik som elever arbetar mycket med i skolan är aritmetik, vilket innebär hur de fyra räknesätten fungerar och kan användas. Dessa räknesätt har olika egenskaper, en av dessa egenskaper, som innehas av addition och mutliplikation, är kommutativitet. Denna egenskap innebär att termers rumsliga placering inte har betydelse för summan. För att eleverna ska utveckla goda kunskaper inom aritmetik och algebra är det därför av vikt att de lär sig om den kommutativa egenskapen. För att kunna skapa goda förutsättningar för elever behöver vi som lärare veta mer om hur elever förstår kommutativitet. Syftet med studien är därför att utforska hur elever i lågstadieåldern resonerar om och använder kommutativitet.
I den här studien har elever i förskoleklassen upp till årskurs 3 intervjuats. Intervjuerna var semistrukturerade och individuella. Resultatet visar att när elever resonerar om kommutativitet, har några fokus på summan och några har fokus på termerna. I studien har det även framkommit att flertalet av eleverna övergeneraliserar kommutativitet och tillämpar egenskapen vid subtraktion, vilket överensstämmer väl med vad man sett i tidigare forskning. Elever använder olika beskrivningar när de resonerar om kommutativitet, där framförallt fyra var tydligt framträdande i studien: det spelar ingen roll vilken plats talen står på, de har bytt plats, de har vänt på siffrorna och de har bytt håll. Slutsatsen i studien är att förståelsen för kommutativitet är viktig för att tillförskaffa sig effektiva och användbara strategier i aritmetik.
___________________________________________________________________________ Sökord: matematik, kommutativitet, aritmetik, matematiska uttryck, räknelag, elev
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare F-3, 15hp
School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning
mot arbete i förskoleklass och grundskolans årkurs F-3 VT20
ABSTRACT
___________________________________________________________________________ Malin Jansson
Students reason about commutativity: a qualitative study of students discussing, and using commutativity in addition
Number of pages: 31 ___________________________________________________________________________
One area of mathematics that students learn in school is arithmetic, where the four operations are found. These operations have different properties. One of those properties, valid for addition and multiplication, is commutativity. For addition, commutativity means that the terms’ spatial position does not change the sum. For example, 5+2 is equal to 2+5. For students to develop their knowledge of arithmetic, it is important that they also learn about commutativity. Therefore, the aim of the study is to explore how student in primary school discuss and use commutativity in addition.
Interviews have been made with student in the preschool class to grade 3. The interviews were semi-structured and individual. It was found that the students reason about
commutativity in different ways, some focusing on the sum and some focusing on the terms. The study also shows that most students overgeneralize commutativity and apply it in subtraction which is in argument with findings from previous research. Students used different explanations when they described commutativity: the numbers spatial position doesn’t matter, they have changed place, the numbers are turned around and they have changed direction. The conclusion of the study is that understanding commutativity is important in providing effective and useful strategies in arithmetic.
___________________________________________________________________________ Key words: mathematics, commutativity, arithmetic, student
Innehållsförteckning
1 Inledning 1
2 Bakgrund 2
2.1 Aritmetik och algebra 2
2.2 Kommutativitet 2
2.3 Kommutativitet i styrdokument 4
2.4 Tidigare forskning 4
3 Syfte och frågeställningar 6
4 Metod 7
4.1 Urval och avgränsningar 7
4.2 Uppgiftsdesign 8 4.3 Datainsamling 9 4.4 Analys 9 4.5 Uppsatsens tillförlitlighet 11 4.6 Forskningsetik 12 4.7 Metoddiskussion 13 5 Resultat 15 5.1.1 Fokus på termerna 15 5.1.2 Fokus på summan 16
5.2 Kommutativitet när summan är presenterad 17
5.2.1 Elever som ser sambandet 17
5.2.2 Elever som inte ser sambandet 18
5.3 Vilka generaliseringar gör eleverna? 20
5.4 Elevers beskrivningar av begreppet kommutativitet 22
6 Resultatdiskussion 25
6.1 Elevers användning av kommutativitet 25
6.2 Elevers beskrivningar av begreppet kommutativitet 27
6.3 Elevers generaliseringar av kommutativitet 28
6.4 Fortsatt forskning 29
7 Referenser 30
Bilaga 1: intervjuguide 32
1
1 Inledning
Matematikkunskaper används dagligen av människor. Det sker bland annat vid inköp, vid matlagning eller om vi ska ta oss en viss sträcka och vill veta hur lång tid det tar. I kursplanen för matematik står det att “Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer” (Skolverket, 2019, s. 54). För att kunna använda sig av matematiska kunskaper i vardagslivet är det viktigt att elever i tidig ålder får en bra introduktion till matematikens värld. Det ligger ett ansvar hos läraren att koppla samman den matematik som beskrivs i skolan med vardagslivet för att eleverna ska kunna överföra sina kunskaper i vardagliga situationer. En egenskap inom addition som enkelt kan kopplas samman med vardagslivet är kommutativitet. Denna egenskap syftar till att termernas ordning i en addition inte påverkar summan, då denna fortfarande blir densamma. Det här gäller exempelvis vid inköp då ordningen som varorna läggs in i kassaapparaten inte spelar någon roll, summan blir densamma oavsett i vilken ordning varorna skannas.
I en förberedande litteraturstudie som genomfördes med en studiekamrat (Jansson & Karlsson, 2019) granskades studier som tidigare undersökt elevers förståelse av kommutativitet. Av resultatet från litteraturstudien har det visat sig att elever besitter en viss förståelse för kommutativitet i addition innan de börjar skolan. Baserat på egna tidigare erfarenheter, bland annat från min verksamhetsförlagda utbildning, VFU, har jag kunnat urskilja att vissa elever besitter kunskap om kommutativitet, utan att de verkar ha fått undervisning specifikt om detta. Elevers förståelse av kommutativitet är dock ett område där det inte verkar finnas så mycket forskning. Framförallt saknas forskning som är inriktad mot skolelever i lägre åldrar här i Sverige. Det är därför intressant att se hur svenska elevers förståelse för kommutativitet ser ut. I denna studie har det undersökts hur elever resonerar kring kommutativa uttryck samt om det är någon skillnad i elevens resonemang beroende på om den får se summan av ett additionsuttryck eller inte. Då vissa matematikböcker, bland annat Favorit matematik 1A (Ristola et al., 2012), introducerar begreppet kommutativitet i addition kan det därför vara intressant om elever som har använt den boken har befäst ordet kommutativitet och om de kan beskriva dess innebörd.
2
2 Bakgrund
2.1 Aritmetik och algebra
Aritmetik är det område inom matematiken som bland annat omfattar de fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division (Aritmetik, u.å.). Genom att ha en god kunskap om dessa räknesätt underlättar det för elever att räkna med flyt (Löwing, 2017). En annan del inom matematiken är algebra. Algebran kan bland annat anses syfta till generaliserad aritmetik vilket innefattar matematiska strukturer och relationer, det vill säga olika räknelagar, exempelvis den kommutativa lagen (Blanton et al. 2015). När algebra introduceras i tidiga åldrar kallas den ibland för ”early algebra”, där det framförallt handlar om att upptäcka och beskriva relationer, mönster och strukturer i matematiska uttryck (Kieran et al., 2016). Den generaliserade aritmetiken är något underrepresenterad i den svenska skolalgebran, framförallt i de tidigare skolåren. Det förekommer till exempel inte ord som generalisera eller generalisering i den nuvarande kursplanen för matematik (Bråting & Madej, 2017; Skolverket, 2019). Inte desto mindre har didaktisk forskning pekat ut generaliserad aritmetik som ett värdefullt redskap i arbetet med early algebra (Kieran et al., 2016)
2.2 Kommutativitet
De fyra räknesätten har olika egenskaper såsom kommutativitet, associativitet och distributivitet. Kommutativa lagen, eller kommutativitet, är ingen lag i den bemärkelsen att den bestämmer vad man får och inte får göra, utan beskriver en egenskap. Två av räknesätten, addition och multiplikation, lyder under denna egenskap (McIntosh, 2008). Denna studie fokuserar på egenskapen kommutativitet i addition.
Kommutativitet är en viktig egenskap i addition och multiplikation då den innebär att två tal kan adderas respektive multipliceras i vilken ordning som helst utan att summan respektive produkten påverkas (McIntosh, 2008). En generell regel för kommutativitet kan därför beskrivas som a + b = b + a i addition respektive 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 i multiplikation (Löwing, 2017; McIntosh, 2008).
När elever räknar addition används framförallt någon av följande tre strategier: räkna alla,
räkna från första termen och räkna från största termen (Löwing, 2017; McIntosh, 2008). Räkna
alla innebär att eleven räknar en i taget tills alla är räknade. Har eleven plockmaterial framför sig räknar alltså eleven varje del som finns tills alla har blivit räknade. Att räkna från den första termen innebär att eleven räknar från den term som står först i uttrycket och räknar sedan tillkommande term, exempelvis 3+6, eleven börjar räkna från 3. Räkna från största termen
3
innebär istället att eleven räknar från den term som är störst i uttrycket, med exemplet 3+6 börjar eleven räkna från 6. För att elever ska kunna gå vidare från att räkna alla till att räkna från första termen och räkna från största termen kan det vara en god idé att använda konkret material (McIntosh, 2008). Plockmaterial kan läggas fram på bordet för att visa ett matematiskt uttryck, exempelvis 3+6 (figur 1a). Eleven får då titta på den ena gruppen först och lägga antalet på minnet samtidigt som den andra gruppen är övertäckt (figur 1b). Därefter får eleven se nästa hög och lägga till dessa på det första antalet, då är istället den första högen övertäckt (figur 1c). Eftersom eleven inte har möjlighet att se alla delar samtidigt kan hen inte räkna föremålen ett och ett, utan måste istället räkna från den första termen eller den största termen beroende på vilket tal som visas (ibid.).
Figur 1: Konkret plockmaterial visas där grupperna, termerna, täcks över.
Räkna från största termen är en strategi som bygger på kommutativitet och den används redan
i tidig ålder av en del elever då de, oberoende av vilken term som kommer först, väljer att räkna från den största termen (Hansen et al., 2015). Det här underlättar räknandet då det är mer effektivt att börja från den största termen och sedan räkna upp därifrån. I exemplet 3+6 är det mer effektivt att börja på 6 och räkna upp med de resterande 3, vilket ger 7, 8, 9. Utgår eleven istället från den första termen behöver 6 läggas till, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Det här är inte lika effektivt, speciellt inte vid större tal. Det kan möjligtvis anses att störst-först-strategin är viktig att undervisa om då eleverna utvecklar mer effektiva strategier, men även för att utveckla förståelse för kommutativitet. Sammanfattningsvis kan det nämnas att alla räkneoperationer som utförs vid addition har stöd i räknelagar och räkneregler. I addition är det framförallt kommutativitet och associativitet som utgör den viktigaste grunden. Ju tidigare elever blir medvetna om dessa regler och lagar desto enklare blir det för dem att lära sig mer matematik. Med hjälp av kunskapen kan eleverna förenkla sina beräkningar, till exempel genom att använda kommutativitet och räkna 14+3 istället för 3+14.
För att matematik ska kunna diskuteras på ett korrekt sätt bör rätt termer användas (Löwing, 2017). I addition bör därför den ”hemmagjorda termen” plussa undvikas. I en operation med addition, exempelvis 5+2, är 5 och 2 termer. Resultatet av beräkningen kallas för summa. Dock
4
menar författaren att elever i de första skolåren inte behöver använda sig av begrepp som kommutativ, men att de på ett informellt sätt ska kunna förstå innebörden i det (ibid.). Trots det används termen kommutativitet i addition i ett populärt svenskt läromedel redan i årskurs 1 (Ristola et al., 2012).
2.3 Kommutativitet i styrdokument
I nuvarande styrdokument, Lgr 11, nämns inte räknelagarna explicit (Skolverket, 2019). I kursplanen för matematik, under centralt innehåll för årskurs 1-3, finns kunskapsområdet
taluppfattning och tals användning. Där beskrivs att elever ska ges möjlighet att utveckla
kunskap om de fyra räknesättens egenskaper och deras samband (ibid.). Eftersom det inte framgår vilka egenskaper som ska undervisas om är det upp till varje lärare att tolka innehållet. Räknesättens egenskaper består bland annat av kommutativitet, associativitet och distributivitet. Därför kan en tolkning vara att kommutativitet ska undervisas om då det är en egenskap i addition.
I kommentarmaterialet (Skolverket, 2017) lyfts det fram att en god taluppfattning är grundläggande för att elever ska kunna utveckla kunskaper i matematik. Elever ska succesivt få möta tal och olika beräkningar för att fördjupa förståelsen av tal och de olika räknesätten (ibid.). Det framgår även att eleverna ska kunna göra effektiva beräkningar och att de ska ha kunskaper om hur räknesätten förhåller sig till varandra. Eleverna behöver dessutom få lära sig vilka räknesätt som är mest effektiva i olika situationer (ibid.). Då styrdokumenten ämnar ganska stort utrymme för tolkning kan det därför skilja sig åt vad eleverna får lära sig beroende på hur deras lärare uppfattar och förhåller sig till innehållet.
2.4 Tidigare forskning
Utifrån tidigare forskning har det framkommit att många elever har en viss förförståelse för kommutativitet redan när de börjar skolan (Canobi et al., 2002; Hansen et al., 2015). I den studie som Canobi et al. (2002) genomförde testades förståelsen hos barn i förskolan och elever årskurs 1. Båda grupperna klarade kommutativa uppgifter, men skoleleverna visade ett bättre resultat. I en annan studie (Hansen et al., 2015) deltog elever som fått formell undervisning och elever som inte fått någon formell undervisning om kommutativitet delta. Resultatet visade att det inte fanns någon skillnad i förståelsen av kommutativitet, oavsett om eleverna har fått undervisning om det eller inte (ibid.).
En studie gjord av Bermejo och Rodriguez (1993) fokuserade på par av kommutativa uttryck där elever i åldrarna 5-8 år skulle uppskatta om uttrycken gav samma summa. De använde sig
5
av par av kommutativa uttryck där summan var presenterad och där den inte var presenterad. Resultatet visade att eleverna hade lättare för att tillämpa kommutativitet när summan inte var presenterad (ibid.). Till skillnad från tidigare presenterade studier menar Baroody och Gannon (1984) i sin studie att elever inte använder kommutativitet spontant innan skolåldern utan att det krävs undervisning om det. Denna slutsats drogs då eleverna inte noterade att kommutativa par gav samma summa.
I en studie (Warren, 2003) där elevers, i åldrarna 11-14 år, kommutativa resonemang och kunskap undersöktes visade resultatet att flera elever uppmärksammade att egenskapen gick att tillämpa i addition och multiplikation. Det som ansågs oroväckande var att många elever även applicerade kommutativitet i subtraktion och division. Dock fanns det elever som kunde förklara varför kommutativitet inte går att tillämpa i subtraktion, där negativa tal kopplades in. Slutsatsen i studien var att eleverna hade en begränsad kunskap inom aritmetik som i sin tur leder till en begränsad kunskap i algebra. Warren (2003) menar att det behöver finnas en balans i undervisningen där eleverna får möta matematiska relationer och dess likheter och skillnader samt att det diskuteras mer på ett vardagligt språk.
Det har även genomförts studier (Baroody & Gannon, 1984; Canobi et al., 1998) där det undersöktes hur elever i åldrarna 5-9 respektive 6-8 år använde och förklarade egenskapen kommutativitet. Av resultaten framkom det att eleverna använde sig av andra ord för att förklara kommutativitet vilket indikerar på att de har begreppsförståelsen men att de inte kan själva
ordet kommutativitet. I en annan studie utförd av Hurst (2017) skulle elever lösa kommutativa
uppgifter och argumentera för sitt svar. Endast 10 av 545 deltagande elever kunde argumentera för sitt svar, men de nämnde inte ordet kommutativitet utan beskrev egenskapen med andra ord. Det fanns även 13 elever som nämnde kommutativitet, men som inte kunde förklara vad det innebär. Resultatet indikerar att de har fått höra termen, men inte utvecklat en förståelse för innebörden (ibid.).
6
3 Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att undersöka hur elever i tidiga skolår resonerar kring och använder kommutativitet i addition. Detta syfte vill jag uppnå genom att besvara följande frågor:
• Hur beskriver elever i förskoleklass och årskurs 1-3 kommutativa uttryck? • Vilka generaliseringar av kommutativitet gör eleverna?
7
4 Metod
I den här studien har kvalitativa intervjuer genomförts där elever i förskoleklassen upp till årskurs 3 har intervjuats enskilt. De intervjuer som genomfördes var semistrukturerade vilket bland annat innebar att en intervjuguide följdes (Bryman, 2018). Fördelen med en semistrukturerad intervju är att frågorna inte behöver ställas i en viss ordning utan kan anpassas utifrån varje samtal. Om intervjuaren vill anknyta till något som den intervjuade har sagt finns det dessutom utrymme att ställa frågor som inte funnits med i intervjuguiden. Dessa faktorer möjliggör en flexibilitet i intervjun vilket i sin tur kan skapa bättre möjligheter att få fram information till de frågeställningar som ska besvaras (ibid.). Den intervjuguide (se bilaga 1) som användes i denna studie bestod av ett antal huvudfrågor med några eventuella följdfrågor. Nya frågor kompletterades under intervjun baserat på elevernas svar, dessa har dock inte inkluderats i intervjuguiden.
4.1 Urval och avgränsningar
Valet av skola har gjorts utifrån ett bekvämlighetsurval där intervjupersonerna har valts ut utifrån ett målstyrt urval. Bekvämlighetsurval innebär att ett urval görs där enheterna, intervjupersonerna, finns lättillgängliga för forskaren (Bryman, 2018). I det här fallet har jag sedan tidigare haft kontakt med en skolenhet som lämpade sig för undersökningen. Det målstyrda urvalet innebär att intervjupersoner valts ut som ansetts vara lämpliga utifrån de forskningsfrågor som finns samt de urvalskriterier som framtagits (ibid.). Urvalet av intervjupersonerna gjordes utifrån två kriterier.
• Eleven ska kunna uttrycka sig verbalt och förståeligt på svenska.
• Eleven ska ha fått grundläggande undervisning om räknesätten addition och subtraktion. Då studien syftar till att undersöka hur elever från förskoleklassen upp till årskurs 3 generaliserar och använder kommutativitet valdes ett antal elever från varje årskurs ut. Undersökningen avgränsades till elva elever, tre från varje årskurs, bortsett från förskoleklassen där endast två elever deltog. Bortfallet i förskoleklassen beror på att samtyckesblanketter från vårdnadshavare ej återlämnades, därmed kunde enbart två elever delta. I årskurs 1-3 fanns det totalt 20 elever som kunde delta, av dessa lottades tre deltagare fram från varje klass. I studien finns det 11 intervjuer att tillgå då ett bortfall skedde i årskurs 1. Det fanns fortfarande möjlighet att intervjua ytterligare en elev från årskurs 1, vilket valdes för att få ett tätare resultat. Alla som deltog i studien uppfyllde urvalskriterierna ovan.
8
4.2 Uppgiftsdesign
En intervjuguide (bilaga 1) skapades där frågor togs fram som var kopplade till studiens forskningsfrågor. Frågorna i intervjuguiden ställdes sedan i samband med att par av kommutativa och icke-kommutativa kort visades. Dessa kort skapades med inspiration från variationsteorin. En grundtanke i variationsteorin är att du inte kan veta vad något är utan att veta vad det inte är (Lo, 2014). Därför används just icke-kommutativa par för att eleverna ska kunna resonera om när kommutativitet gäller och inte gäller. Lo (2014) skriver vidare att det inte går att urskilja likheter utan att erfara vad skillnaderna är, därför är det viktigt att visa vad något inte är för att eleverna ska kunna urskilja likheterna. För att säkerställa att dessa kort fungerade och var relevanta genomfördes en pilotstudie med en elev i årskurs 2 där även intervjuguiden testades. Små justeringar gjordes och de slutgiltiga kommutativa korten kom att se ut på följande sätt (figur 2). Ett högre talområde än bara ensiffriga tal valdes för att undvika uttryck som eleverna eventuellt redan hade automatiserat, exempelvis 7+2.
Kort 1 Kort 2 Kort 3 Kort 4 Kort 5 Kort 6 5+38 38+5 5+38 38+5 5-38 38-5 5+17 17+5 5+17 17+5 5-17 17-5 26+5 5+26 11+5 5+11 72+5 5+72 44+5=49 5+44= 63+5=68 5+63= 57+5=62 5+57= Figur 2: Korten som presenterades för eleverna.
I studien används par av kommutativa uttryck samt par av icke-kommutativa uttryck. Det förstnämnda är uttryck med addition, exempelvis 5+38 och 38+5. Icke-kommutativa uttryck är i detta fall framställda med subtraktion, exempelvis 5-38 och 38-5. Två uttryck skapar därför ett par som då antingen är kommutativt eller icke-kommutativt.
Kort 1 och 3 innehåller båda par av kommutativa uttryck, 5+38 och 38+5, samt 5+17 och 17+5. Här är talen invarianta, men uttryckens placering varierar. Det som skiljer korten åt är talen i de två olika kommutativa paren. I variationsteoretiska termer innebär detta en generalisering. En generalisering innebär att en irrelevant aspekt varierar för att visa på hur den intressanta aspekten kan förekomma i olika situationer (Mårtensson, 2015). På kort 5 finns tre par av kommutativa uttryck som tillsammans skapar en generalisering. I dessa uttryck är räknesättet addition invariant medan paren av kommutativa uttryck varierar för varje ny rad. Anledningen till att addition hålls invariant är för att den kommutativa egenskapen ska kunna visas på flera sätt, här med hjälp av nya tal. Även på kort 6 finns en generalisering. Det som skiljer generaliseringen på kort 6 från kort 5 är att likhetstecknet samt summan finns presenterad i den vänstra spalten medan summan är borttagen från uttrycken till höger. Syftet med att summan
9
var presenterad på det ena uttrycket var för att kunna urskilja om eleverna kopplar samman de kommutativa uttrycken och således svarar samma summa utan att behöva räkna samman talen i högerspalten. Dessutom möjliggör det en koppling till studien av Bermejo och Rodriguez (1993) där liknande uppgifter med kommutativa par användes. På kort 2 och 4 skapas istället en kontrast där par av kommutativa uttryck och par av icke-kommutativa uttryck visas. Kontrast innebär att visa vad något är, i det här fallet kommutativitet, genom att visa vad något inte är (Lo, 2014). Även här är det talen som varierar mellan kort 2 och 4 samt räknesätten mellan raderna, det för att visa på kontrast.
Under intervjuerna visades ett kort i taget där eleven ombads att beskriva likheter och skillnader som de kunde se mellan uttrycken, både horisontellt och vertikalt. Alla intervjuer inleddes med att kort 1 visades och följdes av kort 2. Därefter varierade ordningen som korten visades i beroende på vart elevernas resonemang förde samtalet. Alla intervjuer avslutades dock med kort 6 samt en diskussion där de fick berätta om de har arbetat med liknande uppgifter i skolan och om läraren då har benämnt ordet kommutativitet, alternativt kommutativa lagen. Eleverna fick slutligen fundera över när kommutativitet gäller och inte. Genom denna fråga fick eleverna möjlighet att göra kopplingar till alla räknesätt, och inte bara addition.
4.3 Datainsamling
Intervjuerna genomfördes på den skola eleverna gick på och totalt intervjuades 11 elever i årskurserna förskoleklass till årskurs 3. Eleverna intervjuades enskilt och under intervjuerna fick eleverna se kort med kommutativa respektive icke-kommutativa uttryck (se figur 2). Intervjuerna spelades in som ljudupptagningar med hjälp av en mobiltelefon. Dessa ljudupptagningar kompletterades med anteckningar. Anteckningarna syftade till sådant som inte kunde fångas på ljudupptagningen, exempelvis gester där eleverna pekade på de kommutativa uttrycken. Ljudfilerna transkriberades sedan ordagrant, med undantag för samtal som inte hörde till studien. Vid transkriberingen inkluderades även anteckningarna, dessa skrivna inom parenteser i textmaterialet. Transkriberingen omfattar totalt 43 sidor intervjutext och är baserat på ljudupptagningar och anteckningar.
4.4 Analys
Den intervjudata som samlats in har följt en kvalitativ innehållsanalys, men har även inspirerats av tidigare examensarbetens tillvägagångssätt (Englund Eriksson, 2016; Holm, 2018). En kvalitativ innehållsanalys innebär att man söker efter bakomliggande teman i materialet (Bryman, 2018).
10
Det första som gjordes inför analysen var att transkribera intervjumaterialet. Genom att ha materialet nedskrivet blir det lättare att genomföra en noggrann analys av innehållet (Bryman, 2018). I transkriberingarna avidentifierades eleverna och benämndes istället med bokstäver, Elev A-K (se tabell 1).
Tabell 1: Deltagande elever i studien.
Elev Årskurs A Förskoleklass B Förskoleklass C Årskurs 1 D Årskurs 1 E Årskurs 1 F Årskurs 2 G Årskurs 2 H Årskurs 2 I Årskurs 3 J Årskurs 3 K Årskurs 3
Transkriberingarna lästes igenom en gång för att se innehållet i sin helhet samtidigt som ljudfilerna spelades upp, det för att försäkra mig om att ljud och text stämde överens. Därefter lästes materialet igenom en gång till och i samband med det antecknades delar som var intressanta för resultatet i förhållande till forskningsfrågor som tagit fram i studien. Dessa anteckningar låg sedan till grund för en färgkodning där elevers användning av kommutativitet samt beskrivningar av kommutativitet framstod som övergripande kategorier. Genom färgkodningen kunde innehållet fokuseras mot det som var relevant för studien och därmed krympte materialet något i samband med att annan data togs bort. Som ett nästa steg granskades färgkodningen på nytt där mer specifika kategorier synliggjordes utifrån likheter i elevsvaren. Under temat användning av kommutativitet markerades det om elever uppfattade kommutativitet i addition, samt hur de resonerade om det vid subtraktion. Det markerades även om eleven använde kommutativitet när summan var presenterad. I materialet framkom det även att elever gjorde kopplingar till andra räknesätt och därför markerades även det. Slutligen
11
markerades även hur eleverna beskrev kommutativitet. Det färgkodade materialet innehöll då fem olika kategorier som i sin tur granskades ytterligare.
Materialet lästes på nytt och skillnader och likheter markerades inom varje kategori för att tydliggöra olika drag i elevernas resonemang. I denna process färgkodades det detaljerat där det bland annat blev tydligt om en elev hade använt kommutativitet i subtraktion, hur de beskrev kommutativitet och eventuella metoder de använde sig av. Utifrån dessa detaljerade färgkodningar kunde materialet analyseras och jämföras för att sedan skrivas samman till ett resultat.
4.5 Uppsatsens tillförlitlighet
Vid kvalitativa och kvantitativa undersökningar finns två kriterier att ta hänsyn till, validitet och reliabilitet. Vid kvalitativa undersökningar finns det dock de som menar att man bör frångå dessa och istället använda det alternativa kriteriet tillförlitlighet (Bryman, 2018). Kriteriet
tillförlitlighet kan i sin tur delas upp i fyra delkriterier: trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet
och möjlighet att styrka och konfirmera (Lincoln & Guba, 1985).
Trovärdighet innebär att forskaren har säkerställt att undersökningen har utförts i enlighet med
de regler som finns (Bryman, 2018). En viktig del för att studien ska uppfattas som trovärdig är att deltagarna har kunnat ta del av resultatet och haft möjlighet att ge förslag på korrigeringar. Deltagarna ska därmed kunna ge sitt godkännande på att forskaren har uppfattat verkligheten på ett korrekt sätt (ibid.). I denna studie har jag följt de riktlinjer som jag har fått från Jönköping University samt litteratur som beskriver viktiga aspekter att ta hänsyn till vid forskning. Den andra punkten har däremot inte följts då jag inte har haft någon kontakt med deltagarna i efterhand och de har därför inte kunnat ge några synpunkter på resultatet. Studien kan därmed i vart fall anses ha en medelstark trovärdighet då den uppnår det första kravet men inte det andra.
Det andra delkriteriet, överförbarhet, liknar den kvantitativa metodens generaliserbarhet och syftar på hur resultatet kan överföras i andra situationer och miljöer (Bryman, 2018). Samtidigt skriver Bryman (2018) att forskning med kvalitativa resultat tenderar att vara kontextuellt unika och inkludera deltagare med gemensamma egenskaper. Undersökningarna handlar således om djup snarare än bredd (ibid.). Det här kriteriet har jag tagit hänsyn till genom att ge täta beskrivningar av studiens alla delar, således kan läsaren själv avgöra om resultatet är överförbart. För en ytterligare ökad överförbarhet skulle det behöva finnas ett större antal deltagare, även på andra skolenheter.
12 Pålitlighet syftar till att forskaren säkerställer att alla moment i processen redogörs, så som
problemformulering, urval och beslut rörande analysen (Bryman, 2018). Utöver dessa punkter kan även kollegor granska och bedöma kvalitén på procedurerna. I arbetet med pålitlighet ingår även en bedömning av hur korrekta slutsatserna är (ibid.). Min bedömning är att den här studien kan anses vara pålitlig då alla steg har presenterats och resultatet har jämförts med forskning och funnits vara i god överensstämmelse med vad som där pekas ut. Processen har även granskats av studiekamrater och en handledare. Dock kan det vara svårt att replikera studien då den sociala miljön ofrånkomligt skiljer sig åt mot den miljö som fanns i denna studie, det kan i sin tur påverka resultatet.
Det sista delkriteriet är möjlighet att styrka och konfirmera och handlar om att forskaren ställer sig objektiv till sin forskning (Bryman, 2018). Trots att jag har haft en tidigare personlig relation till skolenheten och intervjupersonerna har jag undvikit personliga värderingar genom att lotta fram deltagare. Jag har dessutom försökt hålla mig objektiv i analysprocessen för att resultatet i studien inte ska påverkas av min förförståelse av elevernas kunskap och vid intervjun höll jag mig neutral till de svar eleverna gav.
4.6 Forskningsetik
Under arbetets gång har forskningsetiska aspekter tagits hänsyn till, framförallt det grundläggande individskyddet. Det grundläggande individskyddet består av informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2002). Informationskravet innebär att forskningsdeltagarna är informerade om undersökningens syfte samt annan information som är lämplig att veta innan de väljer att medverka. Samtyckeskravet hänvisar till att deltagarna själva väljer om de vill medverka eller inte. Dock måste deltagare under 15 år ha godkännande av vårdnadshavare (ibid.). Dessa krav har jag förhållit mig till genom att skicka hem samtyckesblanketter (se bilaga 2) som beskrivit hur studien genomförs och vad den är inriktad mot. Vårdnadshavare har skrivit under sitt godkännande och eleverna blev informerade om att deltagandet är frivilligt. Inför varje intervjutillfälle frågade jag återigen eleven om den ville vara med och informerade att han/hon hade rätt att avbryta sin medverkan när som helst under intervjun.
Det tredje kravet, konfidentialitetskravet innebär att personerna i undersökningen ska kunna hållas anonyma och att personuppgifter förvaras så att obehöriga ej kan ta del av dem (ibid.). Genom att avidentifiera eleverna och namnge dem med bokstäver istället för namn har jag tagit hänsyn till kravet. Det sista kravet, nyttjandekravet hänvisar till att den insamlade data om
13
enskilda personer endast får användas för forskningsändamål (ibid.). Det här gjordes genom det brev som skickades ut (bilaga 2).
4.7 Metoddiskussion
Intervjuerna genomfördes på en tidigare bekant skolenhet där det fanns möjlighet att intervjua elever i olika årskurser. Då alla deltagare gick på samma skola fanns möjligheten att intervjua flera elever under samma dag. Intervjuerna gjordes på skolan vilket bidrog till att eleverna var avslappnade i miljön. Det negativa var att det fanns störningsmoment då personer ibland kom in och störde samt att elever som hade rast höll till precis utanför fönstret. Det här ledde till att både jag och de deltagande eleverna blev störda till och från. Att använda skolmiljön ses ändå som en fördel då eleverna eventuellt inte hade varit lika bekväma i en miljö de inte känner till sedan tidigare.
Att intervjua 11 elever tar tid, framförallt när ljudinspelningarna transkriberades. Det skriftliga materialet bestod totalt av 43 sidor text. Materialet har bearbetats i flera omgångar och har komprimerats i samband med att icke-relevant data togs bort. Då det fanns störningsmoment i bakgrunden finns risken att delar av det inspelade materialet är svårtolkat. Dessa delar har därför bearbetats flera gånger för att försäkra mig om att transkriberingen motsvarar det eleverna har sagt. Det har varit en rimlig mängd elever att intervjua i denna studie då det är en mindre studie som pågår under en kort tidsperiod. Hade studien varit mer omfattande hade fler elever kunnat intervjuats och den data som hade samlats in hade kanske haft högre trovärdighet. Det finns alltid en risk med att intervjua yngre elever då det inte är säkert att alla kan föra ett matematiskt resonemang och sätta ord på hur de tänker. Av det material som samlats in för studien har det visat sig att de flesta elever kunnat sätta ord på sina tankar och således kunnat beskriva kommutativa uttryck. Det har med andra ord inte varit problematiskt att intervjua yngre elever, då dessa utförligt har uttryckt sitt resonemang.
Inför intervjuerna genomfördes en pilotstudie. Utbrottet av covid-19 under våren gjorde att denna tyvärr inte var så pass omfattande som jag hade önskat, då endast en elev i årskurs 2 deltog. Pilotstudien gav ändå information som utvecklade intervjuguiden (bilaga 1) samt de numeriska kort (figur 2) som användes. Utifrån det här togs bland annat två tidigare kort bort som inte tillförde något i elevernas resonemang. Från början fanns det kort med enbart subtraktion, men för att skapa en tydlig kontrast användes subtraktion på samma kort som addition visades. Eleverna kunde därmed jämföra räknesätten på ett tydligare sätt. Korten är konstruerade med ett högre talområde för att eleverna inte skulle ha automatiserat summan av
14
de två termerna. Det här resulterade i att eleverna framförallt diskuterade likheter och skillnader, dock förekom det en viss motgång i förskoleklassen där en elev hade svårt för det valda talområdet. Det kan vara så att talområdet var för högt för den deltagande åldersgruppen, samtidigt gav resterande intervjuer ett bra underlag vilket istället kan tyda på att valet fungerade väl. Korten fungerade bra att använda då eleverna kunde fokusera på en del i taget istället för att se alla tal samtidigt. De fick även möjlighet att peka och jämföra mellan korten och därför kan det anses vara en fungerande metod.
Under intervjuerna användes endast ljudupptagningar. Då flertalet elever använde händerna till att peka på korten för att förtydliga sitt resonemang hade det varit en fördel att även haft bildupptagningar från intervjuerna. Istället antecknades det här ned för hand, dock finns risken att något missas i samband med att fokus riktas mot anteckningar. Risken finns att inte lika många elever hade fått delta om videoinspelningar hade använts, även om bilden i så fall hade varit riktad mot bordet och inte elevens ansikte. Videoinspelning kan också i högre utsträckning anses störa intervjun och dra fokus på teknik på ett sätt som ljudupptagning inte gör.
15
5 Resultat
I resultatet nedan går det att tyda att näst intill alla deltagare resonerar kommutativt i addition, vilka generaliseringar eleverna gör samt hur de använder eller förklarar begreppet kommutativitet. Av de deltagande 11 eleverna visade 10 tydliga tecken på förståelse av kommutativitet. Elev B lade stort fokus på att räkna ut summan snarare än att jämföra uttrycken. Därmed gav inte den intervjun särskilt mycket information om hur eleven resonerade, och av materialet går det inte att dra slutsatsen om Elev B kan urskilja kommutativitet eller inte. Av de övriga deltagarna fanns två sorters resonemang, fokus på summan och fokus på termerna.
5.1 Fokus på termerna
Majoriteten av eleverna förde resonemang om termernas placering och la inget fokus på summan förrän det efterfrågades i intervjun. Eleverna uttryckte det som att det är samma tal, bara att de har bytt plats och att det i sig inte gjorde någon skillnad. Elev D uttryckte det enligt följande:
5+38 38+5
Intervjuare: Är det något som är lika här?
Elev D: Ja, om man vänder på det här talet så blir det ett likadant tal som
där.
Även elev C svarade på ett liknande sätt:
5+38 38+5
Intervjuare: Är det något som är lika här?
Elev C: Att femman börjar där men sen så är femman där bak. Det är samma siffror men de har bara ändrat vilket håll de är åt eller vilken sida [av additionstecknet]
Dessa förklaringar tyder på att eleverna tittar på termernas placering och inte lägger stor vikt vid att summan blir densamma. De för ett abstrakt resonemang där de presenterar likheter och skillnader i uttrycket vilket tyder på en förståelse för termerna och additionstecknet. När Elev C blev tillfrågad om det spelade någon roll i vilken ordning termerna stod gav hen svaret att det inte spelar någon roll då det är samma siffror som endast har bytt plats.
Elev E gav en förklaring som utmärker sig något bland resterande svar, nämligen:
5+38 38+5
16
Intervjuare: De två där uppe, skulle de bli samma om jag räknade ut dem?
Elev E: Ja
Intervjuare: Hur vet du det?
Elev E: För båda är plus, det är samma siffror bara att de är på olika ställen. Trots att eleven blev tillfrågad om summan valde hen att resonera om uttrycket på ett mer generellt sätt. Eleven visar på så sätt goda kunskaper om kommutativitet i addition då resonemanget förs på en abstrakt nivå. Sättet som Elev E resonerar på kan ses vara en generell beskrivning av egenskapen då resonemanget inte är kontextbundet. Eleven visar på så sätt god kunskap när det kommer till resonemangsförmågan i matematik.
5.1.2 Fokus på summan
Några få elever valde att fokusera på att termerna skulle bli något. Det kan tolkas som att eleverna är vana vid att presentera en summa när de möter addition och att de därför fokuserar på den även under intervjun. Eleverna har, istället för att enbart resonera om termernas placering, även tryckt på att summan blir densamma oavsett ordning. Det tyder på att de ser addition som ett räknesätt där en summa ska bestämmas snarare än att se termernas innebörd. Elev K nämner bland annat att det blir samma summa. Det här visar på att eleven fokuserar på att termerna ska bli något, trots att det inte fanns något likhetstecken presenterat. Elev I beskriver det på ett liknande sätt:
5+38 38+5
Intervjuare: Jag undrar om du ser något som är lika?
Elev I: Det är att det står två 5:or och två 38:or. Det blir samma svar. Ett annat exempel kom från Elev G, som till skillnad från övriga deltagare valde att presentera en korrekt summa. Det lät enligt följande:
5+38 38+5
5-38 38-5
Elev G: Om man tar 5+38 då blir det 43. Sen är det där också 43 bara att de har bytt håll [38+5].
Även om eleverna har uppmärksammat att termerna är likadana och att de står i en omvänd ordning väljer de att återkomma i intervjun till att det blir samma summa. Det här visar på en förståelse för kommutativitet där de kan beskriva egenskapen abstrakt, men där de kanske väljer att konkretisera uttrycket för sig själva genom att presentera summan.
17
5.2 Kommutativitet när summan är presenterad
Som sista del i intervjun fick eleverna möta kommutativa par där summan var presenterad på det första uttrycket (se figur 3). Då näst intill alla elever tidigare hade resonerat kommutativt i addition var det intressant att undersöka hur de tillämpade egenskapen när de ombads presentera summan på uttrycket som stod i höger kolumn. Av intervjumaterialet går det att se två övergripande inriktningar. Det finns de elever som kopplar samman de kommutativa paren och presenterar summan genom att hänvisa till det första uttrycket, men även de elever som räknar ut först och sedan jämför talen.
Kort 6
44+5=49 5+44= 63+5=68 5+63= 57+5=62 5+57=
Figur 3: Kort 6 som användes vid intervjun där summan är presenterad i den vänstra spalten, men inte i den högra.
5.2.1 Elever som ser sambandet
Av de sju elever som uppmärksammade ett kommutativt samband när de diskuterade kring kort 6, framkom det att eleverna tog stöd i det uttryck där summan var presenterad. Eleverna hänvisade till att termerna enbart hade bytt plats och att summan därmed förblir densamma. Ett utdrag från intervjun med Elev I:
44+5=49 5+44= 63+5=68 5+63=
57+5=62 5+57=
Intervjuare: Vad är 5+44? Elev I: 49
Intervjuare: Hur vet du det?
Elev I: För det är samma tal bara att de har bytt plats. […] Jag tänkte först på det talet [44+5], sen ser jag att de har bytt plats [5+44]. Så det är fortfarande samma tal bara att de har bytt plats.
Ett liknande resonemang fördes hos de andra deltagande eleverna, Elev E beskriver enligt följande:
44+5=49 5+44= 63+5=68 5+63=
18
Elev E: 57+5=62 och 5+57= Intervjuare: Är lika med?
Elev E: 62 […] Jag tänker liksom att om jag vet svaret på den ena och de är tvärtom, då vet jag ju svaret på den andra också för det är ju samma. Eleverna väljer att granska termerna och ser genom det att summan förblir densamma då inget har ändrats i termerna mer än placeringen. Då alla elever tidigare under intervjun har diskuterat kommutativitet i addition kan man anse att de visar på en god förståelse genom att tillämpa egenskapen när de ombads presentera summan.
5.2.2 Elever som inte ser sambandet
I studien var det tre deltagare som endast delvis kopplade samman uttrycken med kommutativitet när summan var presenterad. Istället för att se sambandet i de kommutativa paren valde de att räkna ut summan när den inte var presenterad. Ett exempel på det syns nedan från intervjun med Elev A:
44+5=49 5+44= 63+5=68 5+63=
57+5=62 5+57=
Intervjuare: 44+5=49. Då frågar jag dig, vad är 5+44?
Elev A: 44+5 blir 49 och 5+44 blir [börjar räkna från 44 och lägger till 5] 49.
Intervjuare: […] Om vi tittar på nästa här så står det 63+5=68, vad är då 5+63? Elev A: Det vet jag. [Räknar från 63 och lägger till 5] 68.
Intervjuare: Okej, Den sista där, 57+5=62, vad är då 5+57?
Elev A: 57, 58, 59, 60, 61, 61 [använder fingrarna som stöd], 62.
Eleven väljer här att räkna ut summan och kopplar inte samman att det är samma summa i båda uttrycken. Även om Elev A väljer att räkna ut summan visar eleven ändå en viss kunskap om kommutativitet då hen väljer att börja på den största termen, och har således bytt plats på termerna. Genom att använda denna strategi visar eleven en förståelse för att det inte spelar någon roll i vilken ordning termerna står i. Ytterligare en deltagare använde sig av strategin störst först i samband med att kort 6 visades. Elev C valde att lösa uppgiften enligt följande:
19 44+5=49 5+44=
63+5=68 5+63=
57+5=62 5+57=
Elev C: 44+5=49
Intervjuare: Då undrar jag vad 5+44 är?
Elev C: […] Jag räknar från 44, sen 45, 46, 47, 48, 49. Intervjuare: Mm, du börjar på det stora talet?
Elev C: Mm.
Intervjuare: Varför väljer du att göra det?
Elev C: För att det har varit ett likadant tal där innan så tänker jag att om man börjar därifrån och bara räknar till fem stycken så blir det likadant.
Det som är intressant i resonemanget ovan är att Elev C hänvisar till det tidigare uttrycket med 44+5=49. Hen har därmed uppmärksammat att det är samma tal fast i en omvänd ordning, ändå görs en kontrollräkning för att se om summan förblir densamma. Även Elev E räknar från den största termen vid ett tillfälle. Elev E väljer då att beskriva det enligt följande:
5+17 17+5
5-17 17-5
Intervjuare: Hur gör du när du räknar ut 5+17?
Elev E: Jag ser till så att det blir 15 här så jag tar bort 2. Sen lägger jag till 5 där och då blir det 20. Sen lägger jag till 2 igen och då blir det 22. Intervjuare: Okej, så du kollar på det stora talet först?
Elev E: Mm. För 17, 18, 19, 20, 21, 22. Det är ju mycket svårare att räkna
(pekar på 5+17).
Eleven ovan hänvisar alltså till att det är mer effektivt att räkna från den största termen. När Elev A får frågan om varför hen väljer att räkna från den största termen är svaret:
Elev A: För [läraren] har sagt att det blir lättare då.
Det här stämmer överens med det Elev E nämnde med att det är svårare att räkna från den minsta termen. Eleverna har alltså använt sig av strategin störst-först när de räknar.
En elev som utmärkte sig i den här delen av intervju är Elev J. Deltagaren valde att räkna tiotal och ental var för sig och räknade sedan ihop dessa till en summa. Elev J verkar inte, utifrån
20
intervjumaterialet, ha uppmärksammat kommutativitet i de uttryck som presenterats. Trots att alla tre elever ovan har resonerat om kommutativitet tidigare under intervjun, tillämpade de inte egenskapen när de ombads presentera summan.
5.3 Vilka generaliseringar gör eleverna?
Utifrån intervjumaterialet för den här studien framkommer det att de flesta eleverna övergeneraliserar kommutativitet och tillämpar det även vid subtraktion. Då kommutativitet endast gäller vid addition och multiplikation blir det felaktiga slutsatser som eleverna drar när det tillämpas i räknesättet subtraktion. Av den data som finns framgår det att åtta elever använder sig av kommutativitet när de såg kort med subtraktion. Av dessa är det en elev som resonerar korrekt till en början, men när hen ombads förklara mer konkret tillämpades kommutativitet enligt följande:
5+38 38+5
5-38 38-5
Elev D: Man måste alltid ta det första talet minus det talet [det andra]. Man tar det minus det [5-38] och det minus det [38-5].
Intervjuare: Varför måste man det?
Elev D: För att om man gör hur man vill då kommer det att bli fel tal. När ett annat kort sedan visas förklarar samma elev:
5+17 17+5
5-17 17-5
Elev D: 17-5=12
Intervjuare: Okej, här då? Elev D: 5-17=12.
Intervjuare: Du har 5 och tar bort 17. Då tänker du att det blir 12?
Elev D: Man kan räkna på båda sätt. […] Jag brukar liksom räkna, det är ju samma tal för det är ju samma siffror (pekar på att man kan räkna baklänges).
En förklaring till det här resonemanget kan vara att eleven inte vet hur hen ska gå tillväga när det andra talet är större än det första och differensen på så sätt blir ett negativt tal. Det som är intressant är att eleven från början verkar veta att subtraktion räknas ut i en viss riktning och att det därmed inte går att vända på talen.
21
Fem elever förklarade att det fungerar likadant vid subtraktion som vid addition, nämligen att termernas placering inte spelar någon roll. I intervjumaterialet framkommer det att eleverna räknade baklänges vid de tal där den första termen är lägre än den andra, exempelvis vid 5-38. Elev K uttryckte det enligt följande:
5+38 38+5
5-38 38-5
Elev K: Det här blir också samma summa. Intervjuare: Den övre?
Elev K: Ja […]. Samma sak här, 5-38 och 38-5. Det är också samma summa [differens] bara att man har bytt plats på det. […] Det blir ju samma sak. Man kan ju tänka att man vänder på det i den också och tänker 38-5, det blir ju 33.
Elev K visar här tydligt att hen tillämpar kommutativitet även vid subtraktion.
Två andra deltagare, Elev C och Elev E, resonerade till en början så att även subtraktion är kommutativt, men när de ombads förklara hur de gick tillväga vid subtraktion upptäckte de att svaret inte blir samma. Eleverna kom sedan fram till att när det större talet kommer efteråt blir svaret noll. Det här indikerar att de är medvetna om vad subtraktion innebär, dock visar de inte, av det insamlade materialet, förståelse för subtraktion där differensen är negativ.
Endast två av eleverna resonerade korrekt genom hela intervjun och stod fast vid att kommutativitet inte går att tillämpa vid subtraktion. En av dessa är Elev A och hen förklarade det på det här sättet:
5+38 38+5
5-38 38-5
Intervjuare: Om du tittar på de två där nere då. Är det någonting som är lika där? Elev A: Det blir i alla fall inte samma tal.
Intervjuare: Varför blir det inte det?
Elev A: Om man har 5 och tar bort 38 blir det ju minus 27 va.
Intervjuare: Du behöver inte räkna ut något exakt, men okej, jag förstår hur du tänker.
Elev A: Här har man 38 och tar bort 5 från det. Då blir det ju olika tal. Det här är över strecket och den här är under strecket, alltså nollstrecket du vet (syftar på en stående tallinje med hjälp av händerna).
22
Elev I var något mer osäker, men kunde ändå förklara att 5-38 inte blir samma svar som om hen skulle räknat ut 38-5. Eleven förklarade att differensen skulle ha blivit noll om den första termen var mindre än den andra.
Av hela resultatet att döma var det flera elever som övergeneraliserade användningen av kommutativitet och tillämpade det när subtraktion visades. Det fanns även de elever som beskrev kommutativitet kopplat till andra räknesätt.
En av eleverna övergeneraliserar den kommutativa egenskapen och menar att det fungerar i alla räknesätt. En annan elev kopplar samman det med multiplikation och beskriver det enligt följande:
Intervjuare: Finns det något eller några fler räknesätt där man kan byta plats på talen?
Elev E: Gånger. Om vi säger 5x4, det är ju 20. Har jag då 4x5 så blir det också 20.
Genom att koppla samman och dessutom ge exempel på hur det fungerar i multiplikation tyder det på att eleven kan se samband mellan räknesätten och räknesättens egenskaper och att eleven kan applicera strategin inom olika räknesätt.
5.4 Elevers beskrivningar av begreppet kommutativitet
Ingen av eleverna i studien använde begreppet kommutativitet eller kommutativa lagen. Även om ordet i sig inte nämns, resonerar flera av eleverna om kommutativitet men med andra ord. Genom att de använder andra ord för att beskriva den kommutativa egenskapen kan man ändå hävda att de visar förståelse av innebörden. Fyra olika typer av förklaringar framkom i intervjumaterialet: talen har bytt plats, de har vänt på siffrorna, de har bytt håll och det spelar ingen roll vilken plats talen står på.
En av de vanligaste förklaringarna var att talen har bytt plats i de kommutativa paren som visades för eleverna. Elev C uttryckte bland annat att:
5+38 38+5
Intervjuare: Vad är det du ser som är lika?
Elev C: […] Det är samma siffror men de har bara ändrat vilken sida [de står på].
23
Elev C: Nej. Det är samma siffror där som där, de har bara bytt plats. Liknande resonemang följde även i två andra intervjuer där eleverna fokuserade på att termerna hade bytt plats med varandra. Ett annan resonemang var att siffrorna var vända. Elev F uttryckte det på följande sätt:
5+38 38+5
Intervjuare: Är det någonting som är lika eller olika? Elev F: Att det är samma tal fast typ vänt. Intervjuare: Hur tänker du då?
Elev F: 5+38 och sen är det 38+5 […]. De är vända. Även Elev H hänvisade till att talen hade vänt på sig. Det uttrycktes istället:
5+38 38+5
Elev H: De har bara vänt på siffrorna här. […] Där är 38 i slutet, men där
är det i början. Där är det 5 i början och där är det 5 i slutet (eleven pekar på termernas placering i de olika uttrycken).
Att talen har bytt plats eller vänt på sig förklarar kommutativitet på ett elevnära språk. De båda beskriver talens placering och att det inte spelar någon roll i vilken ordning talen står i. Den andra förklaringen, att de har vänt på sig, kan dock ses som ett svagare argument då talen, eller siffrorna, inte är spegelvända. Genom elevernas gester och kompletterande förklaringar går det dock att förstå att det är placeringen de hänvisar till och inte att talet i sig är spegelvänt. Dessa gester består bland annat av att eleverna har pekat på talens placering i samband med att de har nämnt dem muntligt. Det första argumentet, att termerna har bytt plats, kan ses som att eleverna använder ett mer korrekt matematiskt språk då det syftar på placeringen i ett direkt skede. Även om båda förklaringarna syftar till kommutativitet finns det en viss kvalitetsskillnad i beskrivningarna. Ett vagare argument som framkommit i studien är att talen har bytt håll. Det här kan jämföras med det tidigare nämnda vänt på siffrorna. Endast en elev i studien uttryckte att termerna hade bytt håll vilket inte gör den här typen av beskrivning till något av de vanligare. Det sista resonemanget var att det inte spelade någon roll vilken plats talen, termerna, står på. Två deltagande elever beskrev kommutativitet på det här sättet och det lät enligt följande:
24
5+38 38+5
Elev A: Det är samma tal. Även om den är först eller om den är sist är det samma. […] Det spelar ingen roll vilken plats de [termerna] är på. Elev J: För att den här, 38, det spelar ingen roll vilken plats den är på. Det
är samma tal även om man flyttar på det.
Av de fyra beskrivningar som framkommit kan den sistnämnda ses som mest korrekt. Eleverna hänvisar till att termernas plats inte är betydelsefull för en eventuell uträkning. Förklaringen som Elev A och Elev J ger är en mer generell beskrivning av egenskapen kommutativitet i addition och tyder på god kunskap om räknelagen.
25
6 Resultatdiskussion
Diskussionen nedan följer resultatets struktur och kommer därmed att behandla elevers användning av kommutativitet, begreppsförståelsen samt vilka generaliseringar eleverna gör. Resultatet kommer att jämföras med tidigare forskning för att se om det finns likheter eller skillnader mot tidigare studier.
6.1 Elevers användning av kommutativitet
Alla deltagande elever resonerade på något sätt om kommutativitet i addition. Det framkom att termerna var lika och att summan blir densamma. Det här kan jämföras med en studie (Canobi et al., 2002) gjord på förskolebarn och skolelever där den kommutativa egenskapen testades i addition, där resultatet visar att båda grupperna klarade uppgifterna utan problem. Ytterligare en liknande studie (Hansen et al., 2015) har gjorts där eleverna fick möta uppskattningsuppgifter med kommutativa uttryck. Några av eleverna som deltog hade fått formell undervisning om egenskapen medan några inte hade fått det. Hansen et al. (2015) menar att elevernas förkunskaper om egenskapen aktiveras. I den studie som nu har genomförts har elever med olika ålder inkluderats för att kunna undersöka om det finns en progression av kunskap mellan årskurserna. Av det insamlade materialet har jag inte kunnat urskilja en ökad kunskap från förskoleklass till årskurs 3. Istället har eleverna i förskoleklassen och årskurs 1 beskrivit mer utförligt hur de går tillväga, medan eleverna i årskurs 2-3 har det framstått som att de framförallt velat presentera ett korrekt svar. Därmed är det svårt att avgöra om det sker en progression, då de yngre eleverna beskriver sin tillämpning av kommutativitet på ett annat sätt än de äldre.
I studien framkom det att eleverna använde och fokuserade på två olika delar i de kommutativa uttrycken. Majoriteten av eleverna fokuserade på termerna medan några elever fokuserade på summan. Att fokusera på summan kan tänkas vara en mer konkret förklaring. Eleverna vill gärna att termerna ska bli något, trots att de flesta kort med par av kommutativa uttryck inte innehöll något likhetstecken. Det här kan tolkas som att eleverna är vana vid att presentera en summa när de ser ett additionsuttryck och därför gör de även det här. I en äldre studie (Baroody & Gannon, 1984) noterade inte eleverna att kommutativa par gav samma summa, och de hade inte, enligt forskarna, tillräckliga förkunskaper om kommutativitet för att klara uppgifterna. Eleverna i den aktuella studien kan inte bekräfta denna bild då alla kunde beskriva att de kommutativa paren i studien gav samma summa.
26
Majoriteten av eleverna fokuserade istället på termerna, vilket kan tyda på att eleverna har en förståelse för kommutativitet. Eleverna la ingen vikt vid att presentera en exakt summa utan resonerade istället att om termerna är likadana, men bara har bytt plats, är summan densamma. Många elever i studien väljer dock att konkretisera uttrycken för sig själva genom att presentera en summa. Eleverna har fortfarande en abstrakt förståelse för egenskapen då de inte är i behov av konkret material för att förklara kommutativitet. Dock väljer de fokusera på att ett uttryck med addition ska bli något, även om likhetstecknet inte är utskrivet. Till skillnad från en tidigare studie (Warren, 2003) där eleverna hade svårt för abstrakt aritmetik, visade flera elever i denna studie på ett abstrakt resonemang. Det innebär i sin tur att generaliserad aritmetik (Kieran et al., 2016) kan vara en väg in i algebra.
Eleverna mötte även kommutativa par där summan fanns presenterad i den vänstra spalten, men inte i den högra. Då alla elever hade resonerat om kommutativitet i addition tidigare under intervjun var det intressant att se hur de tillämpade egenskapen när summan fanns utskriven. I en tidigare studie (Bermejo & Rodriguez, 1993) fick elever möta kommutativa par som liknande de som användes här. Av deras resultat att döma, presterade eleverna sämre när summan var presenterad. Några av eleverna såg summan som en term och bedömde då att det ena kommutativa paret innehöll tre termer och det andra paret två (ibid.). Det här skiljer sig mot det resultat som framkommit i denna studie. Ingen av eleverna talade om summan som en term, däremot skiljde sig deras resonemang åt. Majoriteten av eleverna uppmärksammade ett kommutativt samband när de kunde se summan medan några elever valde att räkna fram summan. Trots att eleverna som räknade fram summan redan hade förklarat att termernas placering inte påverkar summan, användes inte kommutativitet när summan skulle presenteras. Det som dock är intressant är att elever tillämpade störst-först-strategin när de räknade ut summan. Att börja räkna från den största termen kan i sig självt ses som ett tecken på en förståelse av kommutativitet. En av eleverna beskrev att läraren hade berättat att det är enklare att börja från den största termen, därmed har eleven fått undervisning som behandlar kommutativitet, även om det förmodligen inte har varit direkt undervisning om egenskapen som sådan, utan mer om en räknestrategi.
De elever som istället kopplade samman kommutativitet när summan skulle presenteras, kan i någon mening anses ha utvecklat en god matematisk kunskap då de har lärt sig tillämpa kommutativitet vid rätt tillfällen och fokuserade på att termerna är desamma, men att de har bytt plats. Av materialet framgår det dock inte om alla elever har fått undervisning om kommutativitet, men det går att urskilja en viss form av progression mellan årskurserna. De tre
27
elever som räknade ut summan gick i förskoleklass, årskurs 1 och årkurs 2. Alla elever i årskurs 3 resonerade om termernas placering för att presentera summan, vilket kan tyda på att de har kommit längre i sin matematiska utveckling.
6.2 Elevers beskrivningar av begreppet kommutativitet
Ingen av eleverna använder begreppet kommutativitet i sig, inte heller kommutativa lagen. Det i sig indikerar att de inte har mött ordet i undervisningen. I tre tidigare studier (Baroody & Gannon, 1984; Canobi et al., 1998; Hurst, 2017) testades elevers begreppsförståelse och av resultaten framkommer det att eleverna använde andra ord för att beskriva kommutativitet. I min data framkommer fyra olika typer av beskrivningar på kommutativitet: det spelar ingen roll vilken plats talen står på, de har bytt plats, de har vänt på siffrorna och de har bytt håll. Dessa förklaringar kan i sin tur rangordnas utifrån vad som anses vara mest matematiskt korrekt. Att talen har bytt håll stämmer inte om det plockas ur sitt sammanhang, då talen fortfarande står åt rätt håll. För att förstå elevens resonemang krävs det att eleven har visat med gester och andra förklaringar, då det trots allt är placeringen hen har syftat på. Ytterligare en vag förklaring är att de har vänt på siffrorna, vilka i sig inte är spegelvända. Även här är det en förklaring som inte kan plockas ur sin kontext, då mottagaren kan tolka det som att siffrorna är spegelvända. Eleverna har med gester och kompletterande förklaringar visat att det är termernas placering som diskuteras.
En mer korrekt förklaring är att talen har bytt plats, vilket tydligt syftar till termernas placering. Termerna är desamma, men de står i en annan ordning. Det här är ett tydligare exempel att förstå för någon som inte har sett elevernas gester, eller hört resonemanget i sin helhet. Det som tolkas som mest korrekt i studien är att det inte spelar någon roll vilken plats termerna står på. Endast två elever beskrev kommutativitet på det här sättet, en från förskoleklass och den andra från årskurs 3. Eleverna hänvisar till att termernas placering inte är betydelsefull för summan. Då det är en åldersspridning på dessa deltagare, går det inte dra en slutsats om att elever i årskurs 3 har mer generella matematiska beskrivningar. Istället kan det tänkas att eleverna själva har goda matematiska kunskaper.
I den studie Hurst (2017) genomförde, använde elever ord som vända på och byta plats (engelska: turn-arounds, switch-arounds) och dessa beskrivningar liknar de som framkom i den aktuella studien. Det kan diskuteras om vad som är viktigast, begreppsförståelse eller kunskap om ordet kommutativitet. Eleverna kunde alla beskriva kommutativitet med andra ord, vilket tyder på att de har förståelse för innebörden. Det här är något som framkommit i tidigare studier
28
(Baroody & Gannon, 1984; Canobi et al., 1998) där eleverna använde andra ord i sina beskrivningar. Författarna ansåg dock att förståelsen för innebörden är viktigare än kunskapen om ordet kommutativitet (ibid.). Att förståelsen för innebörden är viktigare än ordkunskapen kan anses vara klokt, speciellt om man jämför med studien som Hurst (2017) genomförde. Där benämnde 13 av 545 deltagande elever, korrekt den kommutativa lagen, men ingen kunde förklara hur den användes. Dessa elever har troligtvis hört termen genom undervisning, men inte förstått hur den fungerar (ibid.). Då eleverna inte förstod innebörden, går det heller inte att med avsikt tillämpa egenskapen. Därför kan det ses som positivt att eleverna i den aktuella studien faktiskt kan beskriva kommutativitet och dess tillämpning, då de har mer användning av det än ordet i sig.
6.3 Elevers generaliseringar av kommutativitet
I resultatet går det att urskilja att flera elever applicerar kommutativitet vid subtraktion och använder det således felaktigt. Eleverna valde att räkna baklänges när en mindre term stod först. Det här indikerar att de inte vet hur de ska gå tillväga när den andra termen är större och differensen blir negativ. I läroplanen, Lgr 11, framgår det inte att eleverna ska lära sig om negativa tal i årskurs 1-3 (Skolverket, 2019). Det finns å andra sidan inte något som hindrar att eleverna undervisas om negativa tal. Det kan vara en anledning till att eleverna övergeneraliserar kommutativitet och tillämpar det även vid subtraktion. Om eleverna hade varit medvetna om negativa tal, hade de förmodligen inte räknat baklänges i dessa fall. Endast en elev resonerade om negativa tal, hen gick i förskoleklass. Det kan diskuteras om när negativa tal bör introduceras i skolan. Med tanke på att elever i årskurs 3 räknade baklänges i subtraktion kan det tyda på att det inte har förekommit undervisning om negativa tal. Det här innebär i sin tur att eleverna tillämpar egenskapen felaktigt, men också att de inte är helt medvetna om hur subtraktion fungerar. Att en elev i förskoleklass har kunskap om negativa tal kan bero på att hen har fått undervisning om det, men det kan även vara så att eleven har mött det hemma. Alla elever möter på något sätt negativa tal i sin vardag, exempelvis när det är minusgrader utomhus. Det är dock inte lika konkret som addition eller subtraktion med naturliga tal, och det kan vara en anledning till att eleverna inte får möta det i tidiga årskurser. I min studie övergeneraliserade de flesta eleverna kommutativitet och tillämpade det i subtraktion, men det fanns även en elev som resonerade om negativa tal och menade då att kommutativitet inte går att tillämpa i subtraktion. Det här kan jämföras med en studie (Warren, 2003) som fick fram ett liknande resultat där flera elever i studien applicerade kommutativitet i subtraktion vilket författaren ansåg var oroväckande. Även i den studien fanns det elever som kunde resonera om negativa
