Matematiska institutionen CTH/GU Tentamen i

Matematiska institutionen CTH/GU

Tentamen i TMA975 Reell Matematisk analys F, del B den 25/8 2004, kl. 14.1518.15.

Hjälpmedel: Användarhandledning för MATLAB av Pärt-EnanderSjöberg.

Telefon: Fredrik Bengzon, tel. 073-977 92 68.

Obs! Ange namn, personnummer samt linje och inskrivningsår.

1. Betrakta funktionen f(x, y, z) = xz ² + ye ^xy .

a. Vilka av följande uttryck är denierade: grad f, div f, rot f, grad grad f, div grad f,

rot grad f ? Beräkna de uttryck som existerar. (3p)

b. Beräkna riktningsderivatan av f i punkten (1, 0, −1) i riktningen (−1, 2, 1). (2p) c. Beräkna tangentplanet till ytan f(x, y, z) = 1 i punkten (1, 0, −1). (2p) 2. Taylorutveckla funktionen

f (x, y) = sin(e ^x−2y − 1 + 4y) − 2 ln p

1 + x + 2y

kring origo med termer t.o.m. andra graden (plus restterm). Det nns en konstant a så att gränsvärdet

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) + ax ² x ² + y ²

existerar. Bestäm a och gränsvärdet. (8p)

3. Beräkna RR _D x ³ e ^{y+x 2} dxdy , där D är det område i första kvadranten som begränsas av kurvorna y = x ² , y = x ² + 1, y = 2 − x ² , y = 4 − x ² . (7p) 4. Låt Y vara ytan x = u ² + v ² , y = u ² − v ² , z = 2uv, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

a. Beräkna arean av Y . (4p)

b. Beräkna ytintegralen RR _Y F · N dS , då F = (x, 0, z). (3p)

c. Skriv en MATLAB-kod för att plotta Y . (2p)

5. Beräkna kurvintegralen R _γ F · dr , då

F = (x ² y + y ³ − x, −x ³ − xy ² − y) (x ² + y ² ) ² ,

och γ är ellipsbågen 4x ² + y ² = 1 i första kvadranten från ( ¹ ₂ , 0) till (0, 1). (7p) 6. Lös dierentialekvationen

x ² u ⁰ _x + e ^y u ⁰ _y = u + 1, x > 0.

Bestäm en lösning som uppfyller u(x, 0) = x ² . (7p)

7. Härled Taylors formel för en funktion av två variabler med restterm av ordning 3. (7p)

8. Formulera och bevisa Greens formel. (8p)

KH

1. a. gradärdenieradförskalärafunktioner, div förvektorfunktionero h rotförvektorfunktionermed

tre komponenter. Förf(x;y;z)=xz 2

+ye xy

är

gradf =rf =

f

x

;

f

y

;

f

z

= z 2

+y 2

e xy

;(1+xy)e xy

;2xz

:

divf,rotf o hgradgradf ärodenierade,medan

divgradf =r
rf=r 2

f =

 2

f

x 2

+

 2

f

y 2

+

 2

f

z 2

=y 3

e xy

+(1+xy)xe xy

+xe xy

+2x

= y 3

+2x+x 2

y

e xy

+2x;

o hrotgradf =rrf=0generellt.

b. Riktningsderivatan är f 0

v

(a) = rf(a)
v . Här ära = (1;0; 1) o h v= ( 1;2;1)

p

6

så att rf(a) =

(1;1; 2)o h f 0

v (a)=

1

p

6

( 1+2 2)= 1

p

6 .

. Punkten a = (1;0; 1) ligger på ytanf(x;y;z) = 1, o h en normalvektorär rf(a) = (1;1; 2).

Allltsåärtangentplanetsekvation1
(x 1)+1
(y 0) 2(z+1)=0,ellerx+y 2z 3=0.

2. Användenvariabelutve klingarnae t

=1+t+ 1

2 t

2

+O(t 3

),sint=t+O(t 3

),ln(1+t)=t 1

2 t

2

+O(t 3

)

dåt!0. Dåfås(dår= p

x 2

+y 2

!0)

e x 2y

1+4y=1+x 2y+ 1

2

(x 2y) 2

+O(r 3

) 1+4y=x+2y+ 1

2

(x 2y) 2

+O(r 3

);

sin(e x 2y

1+4y)=x+2y+ 1

2

(x 2y) 2

+O(r 3

)=x+2y+ 1

2 x

2

2xy+2y 2

+O(r 3

);

2ln p

1+x+2y=ln(1+x+2y)=x+2y 1

2

(x+2y) 2

+O(r 3

)=x+2y 1

2 x

2

2xy 2y 2

+O(r 3

);

f(x;y)=sin(e x 2y

1+4y) 2ln p

1+x+2y=x 2

+4y 2

+O(r 3

):

Dåär

f(x;y)+ax 2

x 2

+y 2

=

(1+a)x 2

+4y 2

x 2

+y 2

+O(r);

somhargränsvärdedå(x;y)!(0;0)omo hendast oma=3,o hgränsvärdetärisåfall4.

3. Sätt u=y+x 2

, v = y x 2

. Då motsvaras området D av D 0

= f(u;v) : 2u 4; 0 v  1g i

uv-planet. Vihar

d(u;v)

d(x;y)

= 







2x 1

2x 1 







=4x; dxdy= 1





 d(u;v)

d(x;y) 



 dudv=

1

4x dudv;

o hx 2

= 1

2

(u v),såatt

ZZ

D x

3

e y+x

2

dxdy= ZZ

D 0

1

2

(u v)e u

1

4 dudv=

1

8 Z

4

2

Z

1

0

(u v)e u

dv



du

= 1

8 Z

4

2 (u

1

2 )e

u

du= 1

8 (



(u 1

2 )e

u



4

2 Z

4

2 e

u

du )

= 1



7

e 4

3

e 2

(e 4

e 2

)



= 1

(5e 4

e 2

):

4. r=(u +v ;u v ;2uv),r

u

=(2u;2u;2v),r

v

=(2v; 2v;2u). En normalvektorär

r 0

u

r 0

v

=4 











^

x y^ z^

u u v

v v u













=4(u 2

+v 2

;v 2

u 2

; 2uv);

o hytelementetärdS=jr 0

u

r 0

v

jdudv,där

jr 0

u

r 0

v j=4

p

(u 2

+v 2

) 2

+(v 2

u 2

) 2

+4u 2

v 2

=4 p

2 p

u 4

+v 4

+2u 2

v 2

=4 p

2(u 2

+v 2

):

a. Areanär RR

Y dS=

R

1

0 R

1

0 4

p

2(u 2

+v 2

)dudv=4 p

2(

1

3

1+1
1

3 )=

8 p

2

3 .

b. Vi har

ZZ

Y

F
NdS= Z

1

0 Z

1

0 F
r

0

u

r 0

v

dudv= Z

1

0 Z

1

0 4[(u

2

+v 2

) 2

4u 2

v 2

℄dudv

=4 Z

1

0 Z

1

0 (u

4

+v 4

2u 2

v 2

)dudv=4(

1

5

1+1
1

5 2

1

3

1

3 )=

32

45 :

. ExempelpåenMATLAB-kod:

[u,v℄=meshgrid(0:0.05:1);

x=u.^2+v.^2; y=u.^2-v.^2; z=2*u.*v;

mesh(x,y,z)

5. F
dr = (x

2

y+y 3

x)dx (x 3

+xy 2

+y)dy

(x 2

+y 2

) 2

= y(x

2

+y 2

)dx xdx x(x 2

+y 2

)dy ydy

(x 2

+y 2

) 2

=

ydx xdy

x 2

+y 2

xdx+ydy

(x 2

+y 2

) 2

: För de

polärakoordinaternaro h'ärrdr =xdx+ydy,o hd'=

ydx+xdy

x 2

+y 2

(det magnetiskafältet). Alltså

ärF
dr= d' dr

r 3

= d'+ 1

2 d(

1

r 2

),o h

Z

F
dr= Z

d( '+ 1

2r 2

)=



'+ 1

2r 2



(0;1)

( 1

2

;0)

=



2 +

1

2

+0 2= 1

2

(3+) :

6. x 2

u 0

x +e

y

u 0

y

= u+1. Karakteristikernas diferentialekvation (i xy-planet) är dx

x 2

= dy

e y

med lösning

1

x

= e y

C, 1

x e

y

=C. Sätt s= 1

x e

y

,t=x. Dåär

u 0

x

=u 0

s

( 1

x 2

)+u 0

t

1; u 0

y

=u 0

s

e y

+u 0

t

0;

o h

x 2

u 0

x +e

y

u 0

y

= u 0

s +x

2

u 0

t +u

0

s

=t 2

u 0

t

=u+1:

Vi fåru 0

t 1

t 2

u= 1

t 2

. Integrerandefaktore 1=t

:



t (e

1=t

u)= 1

t 2

e 1=t

,e 1=t

u= e 1=t

+g(s),

u=g(s)e 1=t

1=g 1

x e

y

e 1=x

1;

därgärengodty kligC 1

-funktionienvariabel. Vivillhau(x;0)=g(

1

x 1)e

1=x

1=x 2

,g(

1

x 1)=

(x 2

+1)e 1=x

. Meds= 1

x

1harvix = 1

s+1

o h g(s)=( 1

(s+1) 2

+1)e s+1

(för s> 1). Alltsåfår vi

lösningen

u(x;y)=



1

( 1

e y

+1) 2

+1



e 1=x e

y

+1

e 1=x

1=



1

( 1

e y

+1) 2

+1



e 1 e

y

1: