TAYLORS FORMEL FÖR FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER . APPROXIMATIONER. FELANALYS.

(1)

TAYLORS FORMEL FÖR FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER . APPROXIMATIONER. FELANALYS.

---

Taylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) felanalys iii) optimering och iv) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.

A) Taylors formel av första ordningen

Låt f = f(x₁,x₂,...,x_n)vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten A=(a₁,a₂,...,a_n). Anta att P=(x₁,x₂,...,x_n)är en punkt i D sådan att sträckan AP ligger i D.

Taylors formel (eller Taylors utveckling) av första ordningen kring punkten A är:

R x A

a f x x A

a f x a a a f

x x x f

n n n n

n

∂ +

− ∂ +

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

= ( , ,..., ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) ,..., , (

2 2 2 1

1 1 2

1 2 1



--- Uttrycket på högersidan, utan R , dvs

) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n

T ( , ,..., ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 1

1 1 2

1 A

x a f x x A

a f x x A

a f x a a a f

n n n

n ∂

− ∂ +

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

= 

kallas Taylorpolynom (av första ordningen).

Exempelvis, Taylorpolynomet av första ordningen kring punkten A=(a,b,c) för funktionen )

, , (x y z f

f = är

) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) , ,

( a b c

z c f z c b y a b f y c b x a a f x c b a f z y x

T ∂

− ∂

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

=

--- För resttermen R har vi följande (symboliska) uttryck:

)

! ( 2 ) 1

! ( 2

1 ²

2 2 1 1

2 f C

x x x x

x x C

f d R

n

n 



 





∂

∆ ∂ +

∂ +

∆ ∂

∂ +

∆ ∂

=

= 

där C=(a₁+θ(x₁−a₁),  , a_n+θ(x_n−a_n)), 0<θ <1.

Eftersom derivator av andra ordningen i närheten av punkten A enligt antagande är kontinuerliga, kan resttermen R i Taylorformeln skrivas som

1 av 9

(2)

) ,..., , ( ) ) (

)

((x₁ a₁ ² x_n a_n ² B x₁ x₂ x_n

R= − ++ − där B(x₁,x₂,...,x_n) är begränsad nära punkten A. Därmed går R mot 0 om (x₁,x₂,...,x_n)går mot (a₁,a₂,...,a_n).

Med andra ord

) ,..., ,

( )

,..., ,

( x

₁

x

₂

x

_n

T x

₁

x

₂

x

_n

f ≈

Dvs. funktionen f(x₁,x₂,...,x_n) kan approximeras med sitt Taylorpolynom (som är generellt enklare än själva funktionen). Felet vid denna approximation är resttermen R.

B) Taylors formel av andra ordningen för en funktion av två variabler kring punkten (a,b) . Låt f = f(x,y) vara en funktion som har kontinuerliga derivator av tredje ordningen i närheten av punkten (a,b).

Taylors formel av andra ordningen kring (a,b) är:

. )]

, ( ) ( ) , ( ) )(

( 2 ) , ( )

![[(

2 1

)]

, ( ) ( ) , ( )

![(

1 ) 1 , ( ) , (

2 2 2 2

2 2

2 a b R

y b f y b y a x b f y a x b x a a f x

b y a b f y b x a a f x b

a f y x f

∂ +

− ∂

∂ +

∂

− ∂

−

∂ +

− ∂ +

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

=

Resttermen R kan skrivas som

(

⁽^x ^a⁾² ⁽^y ^a⁾²

)

³^B⁽^x^,^y⁾

R= − + − där B(x,y) är begränsad nära punkten (a,b)

Om vi betecknar x=a+h, y=b+k och därför x−a=h, y−b=k kan vi skriva samma formel på följande sätt:

R b y a k f b y a x hk f b x a h f b

y a k f b x a h f b

a f

k b h a f

∂ + + ∂

∂

∂ + ∂

= + +

)]

, ( )

, ( 2

) , (

![ 2 )] 1 , ( )

, (

![ 1 ) 1 , (

) , (

2 2 2 2

2 2 2

(

^h² ^k²

)

³^B⁽^h^,^k⁾

R= + _därB( kh, ) är begränsad nära (0,0) ---

Uttrycket på högersidan utan R kallas Taylorpolynom (av andra ordningen) i potenser av (x−a) och (y−b) :

)]

, ( ) ( ) , ( ) )(

( 2 ) , ( )

![(

2 1

)]

, ( ) ( ) , ( )

![(

1 ) 1 , ( ) , (

2 2 2 2

2 2

2 a b

y b f y b y a x b f y a x b x a a f x

b y a b f y b x a a f x b

a f y x T

∂

− ∂

∂ +

∂

− ∂

−

∂ +

− ∂ +

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

=

2 av 9

(3)

eller i potenser av h och k:

)]

, ( )

, ( 2

) , (

![ 2 )] 1 , ( )

, (

![ 1 ) 1 , ( ) ,

( ₂

2 2 2

2 2

2 a b

y k f b y a x hk f b

x a h f b

y a k f b x a h f b

a f k h

T ∂

+ ∂

∂

∂ + ∂

=

C) Taylors formel av andra ordningen för en funktion i tre variabler f = f(x,y,z)kring punkten (a,b,c) är

R c b a f kl c b a f hl c b a f hk

c b a f l c b a f k c b a f h

c b a f l c b a f k c b a f h c

b a f l c k b h a f

yz xz

xy

zz yy

xx

z y

x

′′ +

′′ + +

+ ′′

′′

′ +

′ + +

= + + +

)]

, , ( 2 ) , , ( 2 ) , , ( 2

) , , ( )

, , ( )

, , (

![ 2 1

)]

, , ( ) , , ( ) , , (

![ 1 ) 1 , , ( ) , , (

2 2

2

(

^h² ^k² ^l²

)

³^B⁽^h^,^k^,^l⁾

R= + + där B(h,k,l) är begränsad nära (0,0,0)

D) TAYLORS FORMEL AV ORDNING K FÖR FUNKTIONER AV N VARIABLER

Låt f = f(x₁,x₂,...,x_n)vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av ordning (k+1) i en omgivning av punkten A=(a₁,a₂,...,a_n). Beteckna P=(x₁,x₂,...,x_n) och

n n

n x a

x a

x

x = − ∆ = −

∆ ₁ ₁ ₁,, .

Taylors formel (eller Taylors utveckling) av ordning k kring punkten A är:

R A f k d A f d A df A

f P

f = + + + ^k ( )+

! ) 1

! ( 2 ) 1

! ( 1 ) 1 ( )

( ² 

Differentialer df( A),...., d^k f( A) i ovanstående formel kan beräknas med hjälp av följande symboliska uttryck:

) ( A

df = n

n

x x A

x f x A

f ⋅∆

∂ + ∂ +

∆

∂ ⋅ + ∂

∆

∂ ⋅

∂ ( ) ( ) ₂ ( )

2 1 1



)

2 ( A f

d = ⁽ ⁾

2

2 2 1

1 f A

x x x x

x x

n

n 



 





∂

∆ ∂ +

∂ +

∆ ∂

∂ +

∆ ∂  _^









 ⋅∆ ⋅∆

∂

=

∑

∂ ⁱ ^j

j

i i j

x x A x f

x ( )

, 2

...

) ( A f

d^k = ⁽ ⁾

2 2 1

1 f A

x x x x

x x

k

n

n 



 





∂

∆ ∂ +

∂ +

∆ ∂

∂ +

∆ ∂ 

För resttermen R gäller

) )! (

1 ( ) 1 )! (

1 (

1 ¹

2 2 1 1

1 f C

x x x x

x x C k

f k d

R

k

n n k

+

+ 

 





∂

∆ ∂ +

∂ +

∆ ∂

∂ +

∆ ∂

= +

= + 

3 av 9

(4)

därC=(a₁+θ(x₁−a₁),  , a_n+θ(x_n−a_n)), 0<θ <1. ÖVNINGAR:

Uppgift 1. Bestäm andra ordningens Taylorpolynom kring punkten (a,b)=(0,0) till funktionen

2

7

2

) ,

( x y e

^x ^y

f = +

⁺

Ange resultat i potenser av

i) h,k ii) (x-a) , (y-b) Lösning:

8 ) 0 , 0

( =

f

2

2 xe

^x2 ^y

x

f =

+

∂

,

( 0 , 0 ) = 0

∂

∂ x

f

;

2

2 ye

^x2 ^y

y

f =

+

∂

,

( 0 , 0 ) = 0

∂

∂ y f

2 2 2

2 2

4 2 e

^x ^y

x e

^x ^y

x

f =

+

∂

, ₂

( 0 , 0 ) 2

2

=

∂

∂ x

f

2

4

2

y

xye

x

y x

f =

₊

∂

,

( 0 , 0 ) 0

2

=

∂

∂ y x

f

2 2 2

2 2

4 2 e

^x ^y

y e

^x ^y

y

f =

₊

+

₊

∂

, ₂

( 0 , 0 ) 2

2

=

∂

∂ y

f

Substitution i ovanstående formel för taylorpolynom av andra ordningen ger

] 2 0

2 2

![ 2 ] 1 0 0

![ 1 8 1 ) ,

(h k = + h⋅ +k⋅ + h² ⋅ + hk⋅ +k² ⋅ T

dvs

T(h,k)=8+h² +k² Svar :

i) T =8+h² +k²

ii) T =8+(x−0)² +(y−0)² =8+x² +y²

4 av 9

(5)

Uppgift 2. Bestäm andra ordningens Taylorpolynom kring punkten (a,b)=(1,1) till funktionen 4

)

3

,

( x y x y xy y x

f = + + + +

Ange resultat i potenser av

i) h,k ii) (x-a) , (y-b) Lösning:

5 ) 1 , 1

( =

f

4

3

1 y x x

f = + +

∂

,

( 1 , 1 ) = 6

∂

∂ x

f

;

3

2

1 x y y

f = + +

∂

,

( 1 , 1 ) = 5

∂

∂ y

f

;

2 2

2

x f = 12x

∂

, ₂

( 1 , 1 ) 12

2

=

∂

∂ x

f

1

2

=

∂

∂ y x

f

,

( 1 , 1 ) 1

2

=

∂

∂ y x

f

y y

f 6

2

=

∂

, ₂

( 1 , 1 ) 6

2

=

∂

∂ y

f

Substitution i ovanstående formel för taylorpolynom av andra ordningen ger

[12 2 1 6 ]

2 5 1 6 5 ) ,

(h k h k h² hk k²

T = + + + + ⋅ ⋅ +

Svar i) T(h,k)=5+6h+5k +6h² +hk +3k²]

ii) T(x,y)=5+6(x−1)+5(y−1)+6(x−1)²+(x−1)(y−1)+3(y−1)²]

Låt f = f(x,y,z)är en C³funktion i den öppna mängden D som innehåller punkten (a,b,c).

Uppgift 3.

Taylorutveckla funktionen f(x,y,z)=ln(1+x² +y² +z²) kring punkten (0,0,0) t o m andragradstermer.

Svar: f(0+h,0+k,0+l)=h² +k² +l² +R 5 av 9

(6)

Resttermen ^R⁼

(

^h² ⁺^k² ⁺^l²

)

³^B⁽^h^,^k^,^l⁾^där^B⁽^h^,^k^,^l⁾ är begränsad nära (0,0,0).

=========================================================

APPROXIMATIV BERÄKNING Uppgift 4.

Betrakta funktionen z= f(r,h)=3+h⋅ln(h²+r²−4).

a) Bestäm Taylorpolynomet av första ordningen kring punkten P(1,2) (dvs r= h1, =2).

b) Beräkna approximativt f(1.2,2.1) och jämför med det värde som du får med en miniräknare.

(Tips: Om du tycker att det är enklare att hantera uttryck då kan du byta beteckning till )

4 ln(

3 ) ,

( = + ⋅ ²+ ²−

= f x y y y x

z .)

Lösning:

3 1 ln 2 3 ) 2 , 1

( = + =

f

1 4 ) 4 2 , 1 4 (

2

⇒ ′ = =

−

= +

′

_r

r

f

r h

f hr

_,

1 8 1 8 ln ) 2 , 1 4 (

) 2 4

ln(

² ² ₂ ₂

⇒ ′ = + =

− + +

− +

′ =

_r

h

f

r h h h r

h f

Taylorpolynomet är T =3+4(r−1)+8(h−2). ( eller kortare, T =⁴r+⁸h−¹⁷ . )

b) Vi approximativt beräknar f(1.2,2.1) genom att substituera r=1.2, h=2.1 i polynomet )

2 ( 8 ) 1 ( 4

3+ − + −

= r h

T :

) 2 ( 8 ) 1 ( 4 3 ) ,

( r h ≈ + r − + h − f

6 . 4 8 . 0 8 . 0 3 ) 1 . 2 , 2 . 1

( ≈ + + =

f

Svar. a) T =3+4(r−1)+8(h−2)

b) f(1.2,2.1)^≈ 4.6 (miniräknaren ger f(1.2,2.1)⁼4.2918898).

Anmärkning: Bättre approximation får vi om vi använder Taylorpolynom av högre grad.

6 av 9

(7)

=========================================================

FELANALYS

Låt f = f(x₁,x₂,...,x_n)vara en funktion av n variabler som vi vill beräkna i punkten P=

) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n . Antag att man genom mätning känner närmevärden a₁,a₂,...,a_n till x₁,x₂,...,x_n . Då är x₁ =a₁+∆x₁,  , x_n =a_n+∆x_n,

där ∆x₁ =x₁−a₁,,∆x_n = x_n −a_n är (i allmänt okända ) felen i mätningarna. Substitution av mätvärdena a₁,a₂,...,an i funktionen ger resultat f(a₁,a₂,...,a_n)som är ett närmevärde till det exakta värdet y= f(x₁,x₂,...,x_n).

För att bestämma tillförliktighet vid beräkningen uppskattar vi felet )

,..., , ( ) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n f a₁ a₂ a_n f

f = −

∆ .

Från Taylorformeln (av första ordningen) kring punkten A=(a₁,a₂,...,a_n)

R x x A

x f x A

a f a a f x x x

f _n

n n

n ⋅∆ +

∂ + ∂ +

∆

∂ ⋅ + ∂

∆

∂ ⋅ + ∂

= ( , ,..., ) ( ) ( ) ( )

) ,..., ,

( ₂

2 1 1

2 1 2

1  (**)

får vi

n n

n

n A x

x x f

x A x f x A

a f a a f x x x

f ⋅∆

∂ + ∂ +

∆

∂ ⋅ + ∂

∆

∂ ⋅

≈ ∂

− ( , ,..., ) ( ) ( ) ( )

) ,..., ,

( ₂

2 1 1

2 1 2

1 

och (genom att använda absolutbeloppet på varje leden)

| ) ( )

( )

(

|

| ₂

2 1 1

n n

x x A

x f x A

f f ⋅∆

∂ + ∂ +

∆

∂ ⋅ + ∂

∆

∂ ⋅

≈ ∂

∆ 

Med hjälp av triangelolikheten för absolutbeloppet får vi så kallade felfortplantningsformeln:

|

| ) (

|

| ) (

|

| ) (

|

| ₂

2 1

~ 1 n

n

x x A

x f x A

f f ⋅ ∆

∂ + ∂ +

∆

∂ ⋅ + ∂

∆

∂ ⋅

< ∂

∆  (***)

Anmärkning: Tecknet

<~ utläses " approximativt mindre än".

Uppgift 5. Vi vill beräkna värdet av funktionen f(x,y,z)= x³yz⁻¹^/⁵ i punkten P=(x,y,z).

Mätningar av x, y och z avrundas till hela tal och ger 5

. 0 5±

=

x , y=10±0.5 och z=32±0.5.

( Detta skrivsätt betyder att vi har mätvärdena x≈5, y≈10 och z≈32 med motsvarande

7 av 9

(8)

feluppskattningarna |∆x|≤0.5, |∆y|≤0.5 och |∆z|≤0.5.)

Bestäm funktionens värde i punkten A=(5,10,32) och uppskatta felet.

Lösning:

Funktionens värde i punkten A=(5,10,32) är 625 32

10 5 ) 32 , 10 , 5 ( )

(A = f = ³⋅ ⋅ ⁻¹^/⁵ =

f .

Vi kan därmed skriva f(P)≈ f(A)=625.

Vad kan vi säga om tillförlitlighet för vår approximation?

Partiella derivator av första ordningen i punkten A:

5 / 1

3 2

) , ,

( = ⁻

∂

∂ f x y z x yz

x ⇒ (5,10,32)=375

∂

∂ f

x ,

5 / 1

) 3

, ,

( = ⁻

∂

∂ f x y z x z

y ⇒ ⁶²^.⁵

2 ) 125 32 , 10 , 5

( = =

∂

∂ f

y ,

5 / 6 3

5 ) 1 , ,

( =− ⁻

∂

∂ f x y z x yz

z ⇒ ^3.90625

32 ) 125 32 , 10 , 5

( =− =−

∂

∂ f

z .

Felfortplattningsformeln ger

|

| ) (

|

| ) (

|

| ) (

|

~ A z

z y f y A

x f x A

f f ⋅ ∆

∂ + ∂

∆

∂ ⋅ + ∂

∆

∂ ⋅

< ∂

∆

( notera absolutbeloppet runt varje term)

220.703125 5

. 0 3.90625 5

. 0 5 . 62 5 . 0 375

|

~ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

<

∆f

Alltså gäller feluppskattningen | | 221

~

<

∆f .

Vi kan skriva resultat på följande sätt 221

625 ) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n = ± f

dvs det exakta värdet av f(x₁,x₂,...,x_n) ligger (approximativt) mellan 625−221=404 och 846

221

625+ = .

Anmärkning 1. Felgränsen (221) i vårt fall är väldigt stort i jämförelse med funktionens approximativa värde (625). (För att förbättra noggrannhet kan man försöka göra mätningar med flera korrekta decimaler.)

8 av 9

(9)

Anmärkning 2. För en så enkel funktion som ( , , ) ³ ¹^/⁵ ₁³_/₅ z

y yz x

x z y x

f = ⁻ = , som växer med

avseende på x och y och avtar med avseende på z-variabeln, kan vi uppskatta felet direkt, med hjälp av elementär matematik. Enligt antagandet x=5±0.5, y=10±0.5 och

5 . 0 32±

=

z har vi

5 . 5 5

.

4 ≤ x≤ , 9.5≤ y≤10.5 och ³¹^.⁵^{≤ z}^≤³²^.⁵.

Därför blir funktionen störst om ^x⁼⁵^.⁵ (f växer m.a.p. x), y=10.5 (f växer m.a.p. y) och ^z⁼³¹^.⁵ (f avtar m.a.p. z):

5 / 1 3

max =5.5 ⋅10.5⋅31.5⁻

f = 876.22.

Funktionen blir minst om x=4.5, y=9.5 och z=32.5 (ju större z desto mindre f):

5 / 1 3

min =4.5 ⋅9.5⋅32.5⁻

f = 431.50.

Därmed ser vi (utan att använda felfortplattningsformeln) att det exakta värdet f(x,y,z) ligger mellan 431 och 877. (För säkerhets skull avrundar vi intervallets övre gräns uppåt och nedre gräns nedåt.)

9 av 9