TAYLORS FORMEL FÖR FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER . APPROXIMATIONER. FELANALYS. --------------------------------------------------------------------------------------------

1 av 11

TAYLORS FORMEL FÖR FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER . APPROXIMATIONER.

FELANALYS.

---

Taylors formel används bl. a. vid i) numeriska beräkningar ii) felanalys iii) optimering och iv) härledningar inom olika tekniska och matematiska områden.

A) TAYLORS FORMEL AV FÖRSTA ORDNINGEN

Låt f = f(x₁,x₂,...,x_n)vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten A=(a₁,a₂,...,a_n).

Taylors formel (eller Taylors utveckling) av första ordningen kring punkten A är:

R a x x A

a f x x A

a f x x A

A f f

x x x f

n n n

n

+

−

∂ ⋅ + ∂ +

−

∂ ⋅ + ∂

−

∂ ⋅ + ∂

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) ,..., , (

2 2 2

1 1 1

2 1

L (*)

--- Anmärkning 1: Det speciella fallet A=(0,0,...,0) kallas Maclaurins formel.

Anmärkning 2: Ibland betecknas Δx₁ = x₁−a₁,L,Δx_n =x_n −a_n och därmed

R x x A

x f x A

x f x A

A f f x x x

f _n

n

n ⋅Δ +

∂ + ∂ + Δ

∂ ⋅ + ∂ Δ

∂ ⋅ + ∂

= ( ) ( ) ( ) ( )

) ,..., ,

( ₂

2 1 1

2

1 L (**)

--- Uttrycket på högersidan utan R dvs

) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n

T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 1

1

1 A

x a f x x A

a f x x A

a f x A f

n n

n ∂

− ∂ +

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

= L

kallas Taylorpolynom av första ordningen.

---

Exempelvis, Taylorpolynomet av första ordningen kring punkten A=(a,b,c) för funktionen )

, , (x y z f

f = är

) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) , ,

( a b c

z c f z c b y a b f y c b x a a f x c b a f z y x

T ∂

− ∂

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

= .

--- För resttermen R har vi följande (symboliska) uttryck:

)

! ( 2 ) 1

! ( 2

1 ²

2 2 1 1

2 f C

x x x x

x x C

f d R

n

n ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ Δ ∂ +

∂ + Δ ∂

∂ + Δ ∂

=

= L

2 av 11

där C=(a₁+θ(x₁−a₁), L , a_n+θ(x_n−a_n)), 0<θ <1.

Eftersom derivator av andra ordningen i närheten av punkten A enligt antagande är kontinuerliga, kan resttermen R i Taylorformeln skrivas som

) ,..., , ( ) ) (

)

((x₁ a₁ ² x_n a_n ² B x₁ x₂ x_n

R= − +L+ − där B(x₁,x₂,...,x_n) är begränsad nära punkten A. Därmed går R mot 0 om (x₁,x₂,...,x_n)går mot (a₁,a₂,...,a_n).

Med andra ord

) ,..., ,

( )

,..., ,

( x

₁

x

₂

x

_n

T x

₁

x

₂

x

_n

f ≈

Dvs. funktionen f(x₁,x₂,...,x_n) kan approximeras med sitt Taylorpolynom (som är generellt enklare än själva funktionen).

Felet med denna approximation är R.

========================================================================

Uppgift 1. Bestäm Taylorpolynom av första ordningen för följande funktioner kring givna punkter:

a) f(x,y,z)= x+y+z²+ln(1+x+2y+3z) kring punkten A=(0,0,0) b) f(x,y,z)=xyz³ kring punkten A=(3,2,1)

c) f(x,y,z)=xy+sin(yz) kring punkten A=(1,2, 0)

c) f(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅)= x₁x₂x₃+x₄x₅ kring punkten A=(1,1,1,2,3) Lösning:

a) Först bestämmer vi funktionens värde och partiella derivator av första ordningen i punkten A=(0,0,0):

Funktionens värde i punkten A är f(0,0,0)=0.

Partiella derivator av första ordningen i punkten A=(0,0,0):

3 1 2 1 1 1 ) , ,

( ⋅

+ + + +

∂ =

∂

z y z x

y x

x f ⇒ (0,0,0)=2

∂

∂ f

x ,

3 2 2 1 1 1 ) , ,

( ⋅

+ + + +

∂ =

∂

z y z x

y x

y f ⇒ (0,0,0)=3

∂

∂ f

y ,

3 3 2 1 2 1 ) , ,

( ⋅

+ + + +

∂ =

∂

z y z x

z y x

z f ⇒ (0,0,0)=3

∂

∂ f

z .

3 av 11 Taylorpolynomet är

) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) , ,

( a b c

z c f z c b y a b f y c b x a a f x c b a f z y x

T ∂

− ∂

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

=

=0+(x−0)⋅2+(y−0)⋅3+(z−0)⋅3=2x+3y+3z. z

y x z y x

T( , , )=2 +3 +3 är alltså Taylorpolynom av första ordningen till funktionen f(x,y,z) .

Svar : a) T =2x+3y+3z

b) T =6+2(x−3)+3(y−2)+18(z−1) c) T =2+2(x−1)+1(y−2)+2(z−0)

d) T =7+1(x₁−1)+1(x₂−1)+1(x₃−1)+3(x₄−2)+2(x₅−3) APPROXIMATIONER

Uppgift 2. Betrakta funktionen z= f(x,y)=2+ln(x²+y−4). a) Bestäm Taylorpolynomet av första ordningen kring punkten P=(2, 1).

b) Använd Taylorpolynomet i a för att beräkna approximativt f(2.2,1.1) och jämför med det värde som du får med en miniräknare.

Lösning:

2 1 ln 2 ) 1 , 2

( = + =

f

1 4 ) 4 1 , 2 4 (

2

2 ⇒ ′ = =

−

= +

′ x

x f

y x f x

,

1 1 ) 1 1 , 2 4 (

1

2 ⇒ ′ = =

−

= +

′ y

y f

y f x

Taylorpolynomet kring punkten P blir )

1 ( 1 ) 2 ( 4

2+ − + −

= x y

T ( eller T =4x+ y−7).

b) Vi approximativt beräknar f(2.2,1.1) genom att substituera x=2.2, y=1.1 i Taylorpolynomet

≈ ) 1 . 1 , 2 . 2 (

f 2+4(2.2−2)+1(1.1−1)=2+0.8+0.1=2.9 Med en miniräknare får vi f(2.2,1.1)= 2.66268797

4 av 11 Svar. a) T =2+4(x−2)+1(y−1)

b) f(2.2,1.1)_≈ 2.9. (miniräknaren ger f(2.2,1.1)= 2.66268797).

Uppgift 3. Betrakta funktionen z= f(r,h)=3+h⋅ln(h²+r² −4).

a) Bestäm Taylorpolynomet av första ordningen kring punkten P(1,2) (dvs r= h1, =2).

b) Beräkna approximativt f(1.2,2.1) och jämför med det värde som du får med en miniräknare.

(Tips: Om du tycker att det är enklare att hantera uttryck då kan du byta beteckning till )

4 ln(

3 ) ,

( = + ⋅ ²+ ²−

= f x y x y x

z )

Lösning:

3 1 ln 2 3 ) 2 , 1

( = + =

f

1 4 ) 4 2 , 1 4 (

2

2

2

⇒ ′ = =

−

= +

′

r

r

f

r h

f hr

_,

1 8 1 8 ln ) 2 , 1 4 (

) 2 4

ln(

^{2 2} _{2 2}

⇒ ′ = + =

− + +

− +

′ =

_r

h

f

r h h h r

h f

Taylorpolynomet är T =3+4(r−1)+8(h−2) ( eller kortare,

T = 4 r + 8 h − 17

)

b) Vi approximativt beräknar f(1.2,2.1) genom att substituera r=1.2, h=2.1 i polynomet )

2 ( 8 ) 1 ( 4

3+ − + −

= r h

T :

) 2 ( 8 ) 1 ( 4 3 ) ,

( r h ≈ + r − + h − f

6 . 4 8 . 0 8 . 0 3 ) 1 . 2 , 2 . 1

( ≈ + + =

f

Svar. a) T =3+4(r−1)+8(h−2)

b) f(1.2,2.1)_≈ 4.6 (miniräknaren ger f(1.2,2.1)₌4.2918898).

5 av 11 FELANALYS

Låt f = f(x₁,x₂,...,x_n)vara en funktion av n variabler som vi vill beräkna i punkten P=

) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n . Antag att man genom mätning känner närmevärden a₁,a₂,...,a_n till x₁,x₂,...,x_n . Då är x₁ =a₁+Δx₁, L , xn =an+Δxn,

där Δx₁ =x₁−a₁,L,Δx_n =x_n−a_n är (i allmänt okända ) felen i mätningarna. Substitution av mätvärdena a₁,a₂,...,a_n i funktionen ger resultat f(a₁,a₂,...,a_n)som är ett närmevärde till det exakta värdet y= f(x₁,x₂,...,x_n).

För att bestämma tillförliktighet vid beräkningen uppskattar vi felet )

,..., , ( ) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n f a₁ a₂ a_n f

f = −

Δ .

Från Taylorformeln (av första ordningen) kring punkten A=(a₁,a₂,...,a_n)

R x x A

x f x A

x f x A

a f a a f x x x

f _n

n n

n ⋅Δ +

∂ + ∂ + Δ

∂ ⋅ + ∂ Δ

∂ ⋅ + ∂

= ( , ,..., ) ( ) ( ) ( )

) ,..., ,

( ₂

2 1 1

2 1 2

1 L (**)

får vi

n n

n

n A x

x x f

x A x f x A

a f a a f x x x

f ⋅Δ

∂ + ∂ + Δ

∂ ⋅ + ∂ Δ

∂ ⋅

≈ ∂

− ( , ,..., ) ( ) ( ) ( )

) ,..., ,

( ₂

2 1 1

2 1 2

1 L

och (genom att använda absolutbeloppet på varje leden)

| ) ( )

( )

(

|

|

| ₂

2 1 1

n n

x x A

x f x A

x f x A

f f ⋅Δ

∂ + ∂ + Δ

∂ ⋅ + ∂ Δ

∂ ⋅

≈ ∂

Δ L

Med hjälp av triangelolikheten för absolutbeloppet får vi så kallade felfortplantningsformeln:

|

|

| ) (

|

|

|

| ) (

|

|

|

| ) (

|

|

| ₂

2 1

~ 1 n

n

x x A

x f x A

x f x A

f f ⋅ Δ

∂ + ∂ + Δ

∂ ⋅ + ∂ Δ

∂ ⋅

< ∂

Δ L (***)

Anmärkning: Tecknet

< utläses " approximativt mindre än". ~

Uppgift 4. Vi vill beräkna värdet av funktionen f(x,y,z)= yzx^{3 −1/5} i punkten (x, y, z).

Mätningar av x, y och z avrundas till hela tal och ger 5

. 0 5±

=

x , y=10±0.5 och z=32±0.5.

( Detta skrivsätt betyder att vi har mätvärdena x≈5, y≈10 och z≈32 med motsvarande feluppskattningarna |Δx|≤0.5, |Δy|≤0.5 och |Δz|≤0.5.)

Bestäm funktionens värde i punkten A=(5,10,32) och uppskatta felet.

6 av 11 Lösning:

Funktionens värde i punkten A=(5,10,32) är 625 32

10 5 ) 32 , 10 , 5 ( )

(A = f = ³⋅ ⋅ ^−1/5 =

f .

Vi kan därmed skriva f(P)≈ f(A)=625.

Vad kan vi säga om tillförlitlighet för vår approximation?

Partiella derivator av första ordningen i punkten A:

5 / 1

3 2

) , ,

( = ⁻

∂

∂ f x y z x yz

x ⇒ (5,10,32)=375

∂

∂ f

x ,

5 / 1

) 3

, ,

( = ⁻

∂

∂ f x y z x z

y ⇒ 62.5

2 ) 125 32 , 10 , 5

( = =

∂

∂ f

y ,

5 / 6 3

5 ) 1 , ,

( =− ⁻

∂

∂ f x y z x yz

z ⇒ 3.90625

32 ) 125 32 , 10 , 5

( =− =−

∂

∂ f

z .

Felfortplattningsformeln ger

|

|

| ) (

|

|

|

| ) (

|

|

|

| ) (

|

|

| ~ A z

z y f y A

x f x A

f f ⋅ Δ

∂ + ∂ Δ

∂ ⋅ + ∂ Δ

∂ ⋅

< ∂ Δ

( notera absolutbeloppet runt varje term)

220.703125 5

. 0 3.90625 5

. 0 5 . 62 5 . 0 375

|

|

~ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

<

Δf

Alltså gäller feluppskattningen | | 221

<~

Δf .

Vi kan skriva resultat på följande sätt 221

625 ) ,..., ,

(x₁ x₂ xn = ± f

dvs det exakta värdet av f(x₁,x₂,...,x_n) ligger (approximativt) mellan 625−221=404 och 846

221

625+ = .

Anmärkning 1. Felgränsen (221) i vårt fall är väldigt stort i jämförelse med funktionens approximativa värde (625). (För att förbättra noggrannhet kan man försöka göra mätningar med flera korrekta decimaler.)

Anmärkning 2. För en så enkel funktion som _1/5

3 5 / 1

) 3

, ,

( z

y yz x

x z y x

f = ⁻ = , som växer med

avseende på x och y och avtar med avseende på z-variabeln, kan vi uppskatta felet direkt,

7 av 11

med hjälp av elementär matematik. Enligt antagandet x=5±0.5, y=10±0.5 och 5

. 0 32±

=

z har vi

5 . 5 5

.

4 ≤ x≤ , 9.5≤ y≤10.5 och 31.5≤ z≤32.5.

Därför blir funktionen störst om x=5.5 (f växer m.a.p. x), y=10.5 (f växer m.a.p. y) och z=31.5 (f avtar m.a.p. z):

5 / 1 3

max =5.5 ⋅10.5⋅31.5⁻

f = 876.22.

Funktionen blir minst om x=4.5, y=9.5 och z=32.5 (ju större z desto mindre f):

5 / 1 3

min =4.5 ⋅9.5⋅32.5⁻

f = 431.50.

Därmed ser vi (utan att använda felfortplattningsformeln) att det exakta värdet f(x,y,z) ligger mellan 431 och 877. (För säkerhets skull avrundar vi intervallets övre gräns uppåt och nedre gräns nedåt.)

Uppgift 5. I en rätvinklig triangel är hypotenusan 2

. 0 10±

=

c cm och en vinkel v=64±0.5grader.

Bestäm närliggande kateten aoch uppskatta felet med hjälp av felfortplattningsformeln.

Tips. Deriveringsformeln cos(x)' = –sin(x) gäller endast om vinkeln x är i radianer.

Lösning. Först beräknar vi (approximativt) kateten a:

=

=

⋅

=c cos(v) 10cos(64^o)

a 4.38

Vi uppskattar felet med hjälp av felfortplattningsformeln för uttrycket dvs funktionen av två variabler f =c⋅cos(v).

Eftersom vi använder derivator i formeln måste vi använda radianer i beräkningar.

Vi har c₀ =10cm, Δc=0.2cm , 1.1170107

180 /

0 =64⋅π =

v radianer , Δ^v=0.5⋅π/180=0.0087266radianer

Partiella derivator av första ordningen i punkten A:

8 av 11 v

v c

c f( , )=cos

∂

∂ ⇒ ( ₀, ₀)=0.438372

∂

∂ f c v

c ,

v c v c

v f( , )=− ⋅sin

∂

∂ ⇒ ( ₀, ₀)=−8.987940

∂

∂ f c v

c ,

Enligt formeln

|

|

| ) (

|

|

|

| ) (

|

|

|

~ A v

v c f c A

f f ⋅ Δ

∂ + ∂ Δ

∂ ⋅

< ∂ Δ

har vi

| 0.0087266

|

| ) 8.987940

|

| 2 . 0

|

| 0.438372

|

|

|Δf <~ ⋅ + − ⋅

dvs |Δf | <~ 0.1661 Alltså a=4.38±0.1661 Svar: a=4.38±0.1661

B) TAYLORS FORMEL AV ANDRA ORNINGEN FÖR EN FUNKTION AV TVÅ VARIABLER Låt f = f(x,y)är en funktion av två variabler som har kontinuerliga derivator av tredje ordningen i närheten av punkten (a,b).

Taylors formel av andra ordningen kring (a,b) är:

R b y a k f b y a x hk f b x a h f b

y a k f b x a h f b

a f

k b h a f

∂ + + ∂

∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

= + +

)]

, ( )

, ( 2

) , (

![ 2 )] 1 , ( )

, (

![ 1 ) 1 , (

) , (

2 2 2 2

2 2 2

Resttermen R kan skrivas som

(

^{h2 k2}

)

^3B(h,k)

R= + där B(h,k) är begränsad nära (0,0)

Uttrycket på högersidan utan R kallas Taylorpolynom av andra ordningen :

)]

, ( )

, ( 2

) , (

![ 2 )] 1 , ( )

, (

![ 1 ) 1 , ( ) ,

( ₂

2 2 2

2 2

2 a b

y k f b y a x hk f b

x a h f b

y a k f b x a h f b

a f k h

T ∂

+ ∂

∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

=

Om vi betecknar x=a+h, y=b+k och därför x−a =h, y−b=k

kan vi skriva Taylorpolynom i potenser av (x− och a) (y− dvs på följande sätt: b)

9 av 11

)]

, ( ) ( ) , ( ) )(

( 2 ) , ( )

![(

2 1

)]

, ( ) ( ) , ( )

![(

1 ) 1 , ( ) , (

2 2 2 2

2 2

2 a b

y b f y b y a x b f y a x b x a a f x

b y a b f y b x a a f x b

a f y x T

∂

− ∂

∂ +

∂

− ∂

−

∂ +

− ∂ +

∂ +

− ∂

∂ +

− ∂ +

=

Uppgift 6. Bestäm andra ordningens Taylorpolynom kring punkten (a,b)=(0,0) till funktionen

2

7

2

) ,

( x y e

^{x y}

f = +

⁺

Ange resultat i potenser av

i) h,k ii) (x-a) , (y-b) Lösning:

8 ) 0 , 0

( =

f

2

2 xe

^x2 ^y

x

f

₊

∂ =

∂

,

( 0 , 0 ) = 0

∂

∂ x f

;

2

2 ye

^x2 ^y

y

f

₊

∂ =

∂

,

( 0 , 0 ) = 0

∂

∂ y f

2 2 2

2 2

2 2

4

2 e

^{x y}

x e

^{x y}

x

f

_{+ +}

+

∂ =

∂

, ₂

( 0 , 0 ) 2

2

∂ =

∂ x

f

2

4

2

2

y

xye

x

y x

f

₊

∂ =

∂

∂

,

( 0 , 0 ) 0

2

∂ =

∂

∂ y x

f

2 2 2

2 2

2 2

4

2 e

^{x y}

y e

^{x y}

y

f

_{+ +}

+

∂ =

∂

, ₂

( 0 , 0 ) 2

2

∂ =

∂ y

f

Substitution i ovanstående formel för taylorpolynom av andra ordningen ger ]

2 0

2 2

![ 2 ] 1 0 0

![ 1 8 1 ) ,

(h k = + h⋅ +k⋅ + h² ⋅ + hk⋅ +k² ⋅ T

dvs

T(h,k)=8+h²+k² Svar :

10 av 11 i) T =8+h² +k²

ii) T =8+(x−0)² +(y−0)² =8+x² + y²

Uppgift 7. Bestäm andra ordningens Taylorpolynom kring punkten (a,b)=(1,1) till funktionen

4

)

3

,

( x y x y xy y x

f = + + + +

Ange resultat i potenser av

i) h,k ii) (x-a) , (y-b) Lösning:

5 ) 1 , 1

( =

f

4

3

1 y x

x

f = + +

∂

∂

,

( 1 , 1 ) = 6

∂

∂ x f

;

3

2

1 x y

y

f = + +

∂

∂

,

( 1 , 1 ) = 5

∂

∂ y f

;

2 2

2

x f = 12x

∂

∂

, ₂

( 1 , 1 ) 12

2

∂ =

∂ x

f

1

2

∂ =

∂

∂ y x

f

,

( 1 , 1 ) 1

2

∂ =

∂

∂ y x

f

y y

f 6

2 2

∂ =

∂

, ₂

( 1 , 1 ) 6

2

∂ =

∂ y

f

Substitution i ovanstående formel för taylorpolynom av andra ordningen ger

[12 2 1 6 ]

2 5 1 6 5 ) ,

(h k h k h² hk k²

T = + + + + ⋅ ⋅ +

Svar i) T(h,k)=5+6h+5k+6h² +hk+3k²]

ii) T(x,y)=5+6(x−1)+5(y−1)+6(x−1)²+(x−1)(y−1)+3(y−1)²]

================================================================

11 av 11

C) TAYLORS FORMEL AV ORDNING K FÖR FUNKTIONER AV N VARIABLER (ej obligatorisk i vår kurs)

Låt f = f(x₁,x₂,...,x_n)vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av ordning (k+1) i närheten av punkten A=(a₁,a₂,...,a_n). Beteckna P=(x₁,x₂,...,x_n) och

n n

n x a

x a

x

x = − Δ = −

Δ _{1 1 1},L, .

Taylors formel (eller Taylors utveckling) av ordning k kring punkten A är:

R A f k d A f d A df A f P

f = + + + ^k ( )+

! ) 1

! ( 2 ) 1

! ( 1 ) 1 ( )

( ² L

Differentialer df( A),...., d^kf( A) i ovanstående formel kan beräknas med hjälp av följande symboliska uttryck:

) ( A

df = _n

n

x x A

x f x A

x f x A

f ⋅Δ

∂ + ∂ + Δ

∂ ⋅ + ∂ Δ

∂ ⋅

∂ ( ) ( ) ₂ ( )

2 1 1

L

)

2 ( A f

d = ( )

2

2 2 1

1 f A

x x x x

x x

n n ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ Δ ∂ +

∂ + Δ ∂

∂ +

Δ ∂ L

...

) ( A f

d^k = ( )

2 2 1

1 f A

x x x x

x x

k

n

n ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ Δ ∂ +

∂ + Δ ∂

∂ +

Δ ∂ L

För resttermen R gäller

) )! (

1 ( ) 1 )! (

1 (

1 ¹

2 2 1 1

1 f C

x x x x

x x C k

f k d

R

k

n n k

+

+ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ Δ ∂ +

∂ + Δ ∂

∂ + Δ ∂

= +

= + L

därC=(a₁+θ(x₁−a₁), L , a_n+θ(x_n−a_n)), 0<θ <1.