Halvcylinderns buktiga yta utbredes i planet; den erhållna

N I L S L Ö F M A N

O m v i n k e l n s t r e d e l n i n g .

A v N I L S L Ö F M A N .

N ä r det är fråga om att dela en vinkel i tre lika stor delar tänker man oftast på uppgiftens o g e n o m f ö r b a r h e t med de verk- tyg som tolereras av E u k l i d e s i hans fyra första böcker. De m å n g a misslyckade f ö r s ö k e n och de bindande bevisen för proble- mets o l ö s l i g h e t ge j u skäl för en negativ i n s t ä l l n i n g till uppgiften.

Men man frågar sig varför skall man just inför detta problem a v s v ä r j a sig begagnandet av de ä n d a m å l s e n l i g a r e arbetssätt som stå till finnandes i E u k l i d e s ö v r i g a böcker och där lett till l ö s - ningen av m å n g a andra problem, vartill verktygen i de fyra första b ö c k e r n a ä r o otillräckliga. I dessa senare fall h ä n g e r man sig ej åt ett ofruktbart skolastiskt tänkande. » M a n sysslar ej med en hel del satser, om vilkas riktighet man omedelbart är ö v e r t y g a d » , säger C . E . S j ö s t c d t i sin »Geometri».

— Anslutande mig till denna synpunkt vill j a g nu g å till upp- giften att dela en vinkel i tre lika delar. Jag stöder mig då på den sats som fått N r 7 2 i S j ö s t e d t s »Geometri» och citerar ur denna: » O m mantelytan ( p å en rät cirkulär cylinder) tankes uppskuren utefter en generatris och utbredd i ett plan, erhålles n ä m l i g e n en rektangel, vars ena sida blir h ö j d e n och vars andra sida u t g ö r c s av basytans omkrets.» Godtages denna utbredning av cylinderns buktiga yta så m å s t e o c k s å dess återställande i ur- sprungligt skick på cylindern anses som en g e n o m f ö r b a r kon- struktion. — F ö r att förenkla framställningen och få en tydlig konstruktionsritning har jag valt en halvcylinder som grundkropp vid g e n o m f ö r a n d e t av min l ö s n i n g . Se figuren!

Halvcylinderns buktiga yta utbredes i planet; den erhållna

rektangelns undre v å g r ä t a sida delas i tre lika delar och den

ö v r e parallella mitt itu. Denna ö v r e mittpunkt sammanbindes

med den undre sidans ä n d p u n k t e r och delningspunkter, varefter

OM V I N K E L N S T R E D E I . N 1NG 91

den utbredda mantelytan å t e r b r i n g a s i ursprungligt l ä g e på cylin- dern. Konstruktionen framgår av figuren.

D e n vinkel, som skall delas i tre lika delar, placeras med sin spets p å den ö v r e halvcirkelytans diameter och symmetriskt kring dennas rnittpunktsnormal. F r å n vinkelbenens fotpunkter p å peri- ferien dragas ett par generatriser mot ytterparet av de förut dragna snedlinjerna i mantelytan. E t t plan l ä g g e s genom de så uppkomna s k ä r n i n g s p u n k t e r n a v i n k e l r ä t t mot cylinderns axel.

F r å n s k ä r n i n g s p u n k t e r n a med det mellanliggande linjeparet dragas ett par generatriser upp mot den ö v r e ytans periferi.

Sammanbindas de s å l u n d a erhållna s k ä r n i n g s p u n k t e r n a med v i n - kelns spets är tredelningen fullbordad.

Beviset följer av konstruktionen. D e n n a halvcylinder med sin konstruktionsritning på mantelytan är s å l u n d a ett verktyg v a r - med tredelning av vilken konkav vinkel som helst omedelbart kan utföras.

Att analogt förfaringssätt är tillämpligt vid delning av en v i n - kel i ett annat antal lika delar f r a m g å r utan vidare av o v a n t ä e n d e .

Ä v e n den andra av de enkla reglerbara buktiga ytorna, n ä m - ligen k ö n e n s mantelyta, kan utnyttjas för en vinkels delning.

E n rät cirkulär kons mantelyta, som utbredes i planet, bildar en

cirkelsektor och vice v e r s ä . — O m en viss vinkel skall delas i

tre lika delar a v s k ä r e s av vinkelfältet en cirkelsektor med vinkel-

spetsen som medelpunkt och med godtycklig radie. Omformas

92

s e k t o r n till en r ä t k o n s m a n t e l y t a k o m m e r s e k t o r b å g e n att bli p e r i f e r i i d e n p l a n a , c i r k u l ä r a b o t t e n y t a n . I d e n n a i n s k r i v e s e n l i k s i d i g t r i a n g e l , v a r i g e n o m c i r k e l p e r i f e r i e n b l i r d e l a d i t r e l i k a d e l a r ; d e l n i n g s p u n k t e r n a s a m m a n b i n d a s m e d k ö n e n s spets. U p p - s k ä r a s m a n t e l y t a n l ä n g s e n a v d e s s a g e n c r a t r i s c r o c h u t b r e d e s i p l a n e t b l i r v i n k e l n m e l l a n s e k t o r n s y t t e r r a d i e r d e l a d i t r e l i k a s t o r a d e l a r .

O m m a n i d e n r ä t a c i r k u l ä r a k ö n e n s bottenyta. i n s k r i v e r n å g o n a n n a n a v d e k o n s t r u e r b a r a r e g u l i ä r a m å n g h ö r n i n g a r n a o c h f ö r - f a r m a n s o m n y s s b e s k r i v i t s k a n t y d l i g e n m o t s v a r a n d e d e l n i n g a v en g i v e n v i n k e l e r h å l l a s .

Läroboksnytt från F r a n k r i k e .

D e n f r a n s k a bokproduktionen efter kriget h ä m m a s a l l t j ä m t starkt av pappersbristen. B e s ö k hos n å g r a ledande p a r i s i s k a l ä r o b o k s f ö r l a g v i s a r o c k s å , att antalet nyheter för m o d c r s m å l s u n d e r v i s n i n g e n inte ä r ö v e r v ä l d i g a n d e och att å t s k i l l i g a av de tidigare s t a n d a r d v e r k e n u t g å t t och ä n n u ej kunnat n y t r y c k a s . N e d a n f ö l j e r en liten o r i e n - tering om nyheter och n y t r y c k av intresse f ö r l ä r a r e och h ö g r e s t u - derande i f r a n s k a .

E n n y b ö r j a r b o k att l ä g g a m ä r k e till ä r C . R o b i n — C . B e r g e ä u d , Le

frangais far la mctlwdc dircete

1941),

I

G.

Vocabuhtirc et mct/iodc d'orthographe, composition jrancaisc. Cours moycn

1946)

har v a r j e avsnitt grupperats k r i n g ett h u v u d t e m a illustrerat i teck- n i n g a r . E t t helt kort textstycke f ö l j s av ö v n i n g a r p å o r d f ö r r å d , o r d - bildning, homonymer etc. samt tre utkast till s m å uppsatser av k o n - kret och b e r ä t t a n d e a r t i anslutning till huvudtemat. H ä r finns en hel del trevligt m a t e r i a l , som torde k u n n a l ä m p a sig f ö r o l i k a ö v - n i n g a r ä v e n med s v e n s k a elever.