Examensarbete i specialpedagogik, 15 hp, vt 11 Magisterexamen i specialpedagogik
Elevperspektiv på matematikundervisningen och den egna matematiska förmågan
Hur sex elever i matematiksvårigheter uppfattar matematikundervisningen och sin egen matematiska kompetens
Författare: Handledare:
Åsa Ekestorm Margareta Sandström
Betygsättande lärare: Examinator:
Lovisa Sumpter Caroline Liberg
Sammanfattning
Arbetets syfte har varit att undersöka hur elever i matematiksvårigheter uppfattar
matematikundervisningen, sin egen förmåga i matematik samt att försöka identifiera faktorer som skulle kunna medvetandegöra eleven om den egna kompetensen.
Metoden var enskilda kvalitativa intervjuer utifrån semistrukturerade frågeställningar innehållande ett mindre kvantitativt moment. Sex elever från tre klasser i årskurs 7 deltog.
Resultatet visar att eleverna uppfattar matematikundervisningen som tyst eget arbete i läroboken, få lärargenomgångar, eleven styr själv arbetet, väntetiden på lärarhjälp är lång, proven visar vad eleven kan, inga alternativa arbetsformer förekommer och lektionerna är stökiga. Specialundervisningen uppfattas genomgående som positiv.
Eleverna har mycket svårt att ange sin matematiska förmåga. Det kvantitativa momentet visar dock att flickorna antingen bedömde sin förmåga korrekt eller undervärderade sig själva medan pojkarna i högre grad övervärderade sin förmåga.
Strukturerad undervisning innehållande formativ bedömning, där lärare, elev och kamrater gemensamt ansvarar för kunskapsutvecklingen, anses framgångsrik för att medvetandegöra elever i matematiksvårigheter om sin förmåga.
Nyckelord: elevperspektiv på matematikundervisning, matematisk förmåga, matematiksvårigheter, specialundervisning i matematik.
Innehållsförteckning
1 Inledning
... 51.1 Internationella undersökningar i matematik... 6
1.2 Syfte och frågeställningar... 7
1.3 Förekommande förkortningar ... 8
2 Teoretisk bakgrund
... 92.1 Sociokulturellt perspektiv ... 9
2.2 Tidigare forskning ... 9
2.2.1 Longitudinella studier ... 9
2.2.2 Studier om flickors och pojkars matematik... 12
2.3 Matematik i samhället ... 13
2.4 Matematikundervisning och specialundervisning i matematik... 14
2.5 Matematiksvårigheter... 16
2.5.1 Diagnoser ... 17
2.5.2 Bedömning ... 18
3 Metod
... 193.1. Urval... 20
3.2 Pilotstudie... 21
3.3 Genomförande... 21
3.4 Datainsamlingsmetod ... 23
3.5 Resultatbearbetning... 23
3.6 Validitet och reliabilitet... 23
3.7 Etiska aspekter... 24
4 Resultat
... 254.1 Elevens uppfattning om matematik... 25
4.2 Elevens uppfattning om undervisningen i matematik ... 26
4.2.1 Undervisningen i årskurs 7... 26
4.2.2 Undervisningen i årskurs 1-6 ... 27
4.2.3 Hur eleverna skulle vilja arbeta om de fick bestämma ... 27
4.3 Elevens uppfattning om sin egen insats och förmåga i matematik ... 28
4.4 Elevens uppfattning om sin relation till läraren i matematik ... 29
4.4.1 Lärarens hjälp och stöd till eleven... 29
4.4.2 Lärarens kontroll av elevens kunskapsnivå... 30
4.4.3 Lärarens krav på eleven... 30
4.4.4 En bra lärare ... 31
4.5 Elevens uppfattning om kamraternas betydelse i matematikundervisningen ... 31
4.6 Elevens uppfattning om specialundervisningen i matematik... 31
4.6.1 Specialundervisningens frekvens ... 31
4.6.2 Specialundervisningens organisation ... 32
4.7 Elevens uppfattning om sin egen faktiska förmåga att lösa sju konkreta
uppgifter inom området taluppfattning ... 33
4.7.1 Självbedömningsformuläret ... 33
4.7.2 De konkreta matematikuppgifterna... 33
4.7.3 Sammanställning av elevernas bedömningar av sin förmåga korrelerat till den faktiska förmågan... 33
4.8 Sammanfattning ... 35
5 Diskussion
... 375.1 Hur uppfattar några elever undervisningen i matematik? ... 38
5.2 Hur uppfattar några elever sin kunskap och förmåga i matematik?... 42
5.3 Vilka faktorer kan eller skulle kunna, enligt eleven, medvetandegöra denne om dess egna förmågor i matematik? ... 43
5.4 Avslutande reflektioner och förslag på forskning ... 44
Referenslista
... 46Bilaga 1 – brev till föräldrar/vårdnadshavare och elever i årskurs 7 ... 51
Bilaga 2 – intervjufrågor till elev ... 52
Bilaga 3 – självbedömningsformulär med sju påståenden inom matematikområdet taluppfattning ... 53
1 Inledning
Från att svensk grundskola i början av 1990-talet uppvisade mycket goda resultat konstaterar Skolverket (2009) att de nya analyser som genomförts pekar på en betydlig nedgång av elevernas resultat. Detta gäller såväl vid nationell som vid internationell jämförelse, en nedgång som Skolverket (ibid) betecknar som dramatisk. I rapporten nämns olika tänkbara orsaker till detta, även om det också sägs att det saknas forskning som mera analytiskt förklarar försämringen och framför allt saknas forskning som skulle kunna visa hur trenden ska vändas.
Som tänkbara orsaker pekar Skolverket (ibid) på den ökade segregationen mellan skolor och mellan elever, den allt större betydelse som föräldrarnas studiebakgrund fått för elevernas prestationer, resursfördelning till skolor som inte sker efter behov och den dominerande individuella undervisningen med fria arbetssätt, tyst eget arbete och mycket eget ansvar för eleverna, arbetsformer som missgynnar elever i behov av särskilt stöd. Lärarna har allt mer blivit handledare och eleverna utlämnas åt sig själva och den egna förmågan att söka kunskap.
Gemensamt arbete och diskussioner, lärargenomgångar, par- och grupparbeten har minskat.
Ändå betonas i såväl Lpo 94 (Utbildningsdepartementet, 2006) som i Lgr 11 (Skolverket, 2011b) att undervisningen ska utveckla möjligheterna att kommunicera, eleverna ska ges många tillfällen till att samtala, arbeta såväl självständigt som tillsammans med andra och att eleverna ska få pröva på olika arbetssätt och arbetsformer. Samtidigt konstaterar Skolverket (2009) att läroplanens konstruktion att undervisningen också ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov kraftigt förstärkt individualiseringen i undervisningen. Lärarna har i alltför hög grad fokuserat på den delen i läroplanen som samtidigt inte riktigt är förenlig med den övergripande demokratiska värdegrunden som är läroplanens viktigaste målsättning och inriktning i svensk skola. Detta dubbla budskap i läroplanen belyses även som ett besvärande dilemma av Haug (1998) och Nilholm (2006).
Vinterek (2006) konstaterar att undervisningen blivit en allt mer privat angelägenhet för varje elev och att många forskare pekar på samband mellan hög andel individuellt arbete och sämre studieresultat. En sådan kontext och utformning av undervisningen tycks accelerera de resurssvaga elevernas utsatthet och behovet av specialpedagogiska åtgärder ökar. Praktiknära forskning i klassrummen, som studerar undervisningens utformning, kommunikationen och hur olika elevers behov hanteras, saknas i hög grad och efterlystes för flera år sedan av bland andra Ahlberg & Fischbein & Rosenqvist (i Nilholm & Björck-Åkesson, 2007). Dessutom påpekar Skolverket (2009) att det är ovanligt med svensk forskning som studerar olika former av specialpedagogisk verksamhet och metoder och hur denna undervisning påverkar elevernas måluppfyllelse. Detta gäller i synnerhet specialpedagogiska forskning med inriktning mot matematik, såväl åtgärder och metoder som resultat av dessa (Sjöberg, 2006). Då matematik, tillsammans med kemi, är det ämne som flest elever misslyckas med är en sådan forskning extra angelägen (Skolverket, 2005).
Detta faktum påpekades av Engström (2000b) för drygt tio år sedan, då han uttryckte kritik mot Skolverket och menade att: ”Specialpedagogisk forskning i matematik ligger idag för fäfot” (Engström i Nämnaren, nr.1, 2000, s. 30), och jämförde med de resurser som satsades på läsforskning. Han efterlyste nya modeller för undervisningen som också måste följas upp.
Myndigheten för skolutveckling (2007) konstaterar att andelen lågpresterande elever i matematik har ökat samtidigt som andelen högpresterande elever har minskat. En stor bidragande orsak till denna negativa utveckling sägs bero på lärarnas kompetens där
myndigheten undersökt skillnaden i lärarnas ämneskunskaper mellan 1992-2003 och funnit en påvisbar försämring. Dessutom hade lärarna 2003 mindre erfarenhet av att undervisa i
matematik. Detta sägs även av Löwing & Kilborn (2002) och Löwing (2006).
Kilborn (2007) analyserade lärarstuderandens kunskaper och språk i matematik år 2005 och fann stora brister i såväl det matematiska språket som i deras uppfattning om matematiska begrepp. Han anser att dagens lärare inte själva behärskar det matematiska innehåll de ska förmedla till eleverna, vilket han menar är en bidragande orsaksfaktor till elevernas sjunkande kunskaper i matematik.
I Hatties (2009) metastudie om olika faktorer som påverkar framgångsrikt lärande konstateras att lärarens ämnes- och didaktiska kompetens är en av den mest betydelsefulla faktorn.
1.1 Internationella undersökningar i matematik
Sverige deltar regelbundet i två stora internationella undersökningar, PISA och TIMSS (se punkt 1.3). Dessa undersökningar jämför svenska elevers resultat med de deltagande ländernas men försöker också peka på olika förklaringar till de resultat som framkommer.
PISA 2009 (Skolverket, 2011c) konstaterar att matematikkunskaperna hos svenska 15- åringar försämrats sedan 2003, då svenska elever låg över genomsnittet i jämförbara OECD- länder. År 2009 presterar svenska elever genomsnittligt men med en signifikant ökning av andelen lågpresterande elever från 17 % till 21 % samtidigt som andelen elever som presterar på högsta nivå sjunkit från 16 % till 11 %. Drygt en femtedel av svenska elever anses därmed inte ha tillräckliga kunskaper i matematik för att klara sig ute i samhället. Dessutom
konstateras att likvärdigheten minskat. Skillnaden har ökat mellan såväl hög- och
lågpresterande elever som mellan hög- och lågpresterande skolor. Betydelsen av elevernas socioekonomiska bakgrund har förstärkts och är nu större än genomsnittet för övriga jämförbara OECD-länder.
TIMSS 2007 (Skolverket, 2008) visar samma negativa trend i matematik med signifikant försämrade kunskaper, framför allt i årskurs 8. Sverige ligger här långt under genomsnittet bland jämförbara länder och försämringen är signifikant. Störst är försämringen bland pojkar och inom områdena geometri, algebra, aritmetik och taluppfattning. En faktor som anses anmärkningsvärd i såväl TIMSS 2007 (Skolverket, 2008) som PISA 2009 (Skolverket, 2011c) är att svenska elevers självförtroende i matematik ökat sedan mitten av 1990-talet. Trots att elevernas faktiska kunskaper kraftigt försämrats uppfattar svenska elever att det går bra i matematik och att de lär sig snabbt. Så kallad matematikängslan (Magne, 1998; Magne i Democracy and participation, 2004) hos svenska elever är bland de lägsta i OECD-länderna.
Till och med svagpresterande elever har en stor tilltro till den egna förmågan och anser sig behärska komplicerade uppgifter som de bevisligen aldrig kommit i kontakt med, exempelvis avancerade ekvationer. En stor skillnad som TIMSS 2007 (Skolverket, 2008) noterar jämfört med övriga OECD-länder är att undervisningstiden i framför allt årskurs 4 är mycket mindre i Sverige samt att undervisningen oftare bygger enbart på läroböcker. Dessutom är arbetsron på svenska matematiklektioner bland den sämsta i de deltagande länderna. Hattie (2009)
konstaterar i sin metaanalys att en av de mest betydelsefulla faktorerna för framgångsrikt lärande är insatser som minskar störande beteende i klassrummet.
Att de svenska eleverna uppvisar lite olika resultat i TIMSS (Skolverket, 2008) och PISA (Skolverket, 2011c) beror på att undersökningarna delvis har olika fokus på de kunskaper som testas (se punkt 1.3). Alarmerande anses dock den markant negativa trenden vara som är gemensam för båda undersökningarna, en trend som fortsätter att vara negativ.
Skolverket (2010b) säger att 13 % av alla elever i årskurs 9 inte klarade ämnesproven i matematik 2009. Drygt hälften av dessa elever, som inte uppnådde målen enligt provbetyget, fick ändå slutbetyget Godkänd. Trots att elevernas kunskaper sjunkit dramatiskt konstateras i TIMSS 2007 (Skolverket, 2008) att betygsnivåerna i matematik inte förändrats under 2000- talet. Detta anses bero på det stora tolkningsutrymme som finns i betygskriterierna och som
lett till en betydande betygsinflation i Sverige. Engström (2003) talar om snällhetseffekt och Stenhag (2010) en snällhetens pedagogik, som vare sig främjar individen eller samhället eftersom eleven bevisligen inte har tillräckliga och nödvändiga kunskaper.
Sammanfattningsvis kan efter denna genomgång konstateras att det finns en mängd
frågetecken och motstridiga faktorer vad gäller matematiken i Sverige och som lett mig fram till syftet med detta arbete. Skolverket (2009) säger att det mesta av svensk forskning haft lärarfokus och att forskning om specialpedagogik är otillräcklig. Sjöberg (2006) noterar att detta i synnerhet gäller forskning med fokus på elever i matematiksvårigheter och
specialpedagogik. Ännu ovanligare är det att elevernas egna beskrivningar, uppfattningar och erfarenheter av såväl ordinarie undervisning som specialundervisning i matematik finns undersökta och beskrivna inom svensk skolforskning (Sjöberg, ibid).
1.2 Syfte och frågeställningar
Syftet med detta arbete är att få ökad och fördjupad kunskap om hur några elever i
matematiksvårigheter uppfattar undervisningen i matematik, vilken insikt eleven har om sina egna styrkor och svagheter i matematik, hur den uppfattar och bedömer sin egen kunskap och förmåga i ämnet.
För att uppnå syftet med detta arbete har inriktningen varit mot följande övergripande frågeställningar:
Hur uppfattar några elever undervisningen i matematik?
Hur uppfattar några elever sin egen kunskap och förmåga i matematik?
Vilka faktorer kan eller skulle kunna, enligt eleven, medvetandegöra denne om dess egna förmågor i matematik?
Dessa frågeställningar besvaras även ur ett genusperspektiv.
Med uppfattning följer jag Thompsons definition som den presenteras i Sumpters (2009) avhandling. Med uppfattning avses då såväl medvetna som omedvetna föreställningar och övertygelser, som innehåller både känslomässiga och kognitiva dimensioner som erhålls från och kan härledas till olika situationer.
Sumpter (ibid) presenterar även de fyra kategorier som Schoenfeld hittat när studenter beskriver sina uppfattningar om matematikundervisningen. Studenterna beskriver sina
uppfattningar om matematik som ämne, sina uppfattningar om matematikundervisningen, dels utifrån en social kontext, dels utifrån undervisningen mellan lärare och student samt de
uppfattningar studenterna har om sig själva i matematik.
1.3 Förekommande förkortningar
DSM-IV: Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders.
En diagnostisk manual som används av kliniker och forskare i hela världen för att diagnostisera på likartat sätt.
ICD-10: International Classification of Diseases.
WHO:s (World Health Organisation) diagnosmanual för sjukdomar.
OECD: Organisation for Economic Co-operation and Development.
PISA: Programme for International Student Assessment.
Undersökningen genomförs vart tredje år bland cirka en halv miljon 15-åringar från 65 länder och regioner och mäter kunskap inom läsförståelse, naturkunskap och matematik. Huvudinriktning är att mäta elevernas förmåga att använda sina kunskaper motsvarande de behov och krav som finns i dagens samhälle.
TIMSS: Trends in Mathematics and Science Study.
Undersökningen genomförs cirka vart fjärde år. 2007 deltog nästan en halv miljon elever i årskurs 4 och 8 i 59 länder. Kunskaper i naturvetenskap och matematik mäts, liksom elevernas attityder till dessa ämnen.
Proven mäter kunskaper och förmågor som länderna genom kompromisser kommit överens om är relevanta att mäta, utifrån respektive läroplaner och kursplaner.
Då delar av provmaterialet från tidigare undersökningar återanvänds kan förändring över tid mätas, länder jämföras och där en stor del av syftet är att förstå och förklara skillnader mot bakgrund av skolors organisation och undervisning samt ge stöd
och förslag till förbättringar i matematik och naturvetenskap.
WISC: Wechsler Intelligence Scale for Children.
Begåvningstest för barn 6-16 år.
2 Teoretisk bakgrund
I detta avsnitt görs först en kort presentation av det sociokulturella perspektivet på inlärning.
Därefter presenteras litteratur och forskning som berör olika aspekter av matematik, matematiksvårigheter och specialpedagogik under några huvudrubriker. Viss litteratur och forskning har tydlig inriktning mot specifika frågeställningar och områden medan andra tangerar flera områden, varför sådan litteratur och forskning förekommer under flera rubriker men med olika infallsvinklar.
2.1 Sociokulturellt perspektiv
Ett sociokulturellt perspektiv på inlärning innebär att kunskap och kompetens konstrueras i sociala och kulturella samspel med andra människor, där språket är det intellektuella redskapet för såväl tal som utvecklande av tänkandet (Säljö, 2010). Säljö (ibid) utgår i sitt argumenterande från Vygotskys tankar och hans teorier om den så kallade proximala
utvecklingszonen, en fiktiv zon innehållande ett tänkt avstånd mellan vad till exempel en elev kan lära sig på egen hand och vad den ytterligare kan prestera med hjälp av läraren eller en kamrat som har lite mera kunskap än eleven själv har. Språket är centralt som den
kommunikativa länken.
Säljö (ibid) tar många exempel från matematiken i sina teoridiskussioner om hur lärande sker. För elever i matematiksvårigheter blir utmaningen för läraren att med sina förklaringar hitta det område i utvecklingszonen där eleven är mottaglig för det stöd som leder till matematisk utveckling och lärande. Säljö (ibid) betonar bland annat lärarens förmåga att koppla den nya kunskap som ska läras in till elevens tidigare erfarenheter. Lärandet kan därmed övergå till ett inre tal hos eleven, tänkandet utvecklas. Säljö (ibid) säger att genom att människan, i detta fall eleven, deltar i en kommunikation, bekantar sig eleven med ett sätt att resonera och agera och kan sedan själv använda detta, vilket medför att eleven utvecklas.
Förhoppningsvis leder därmed lärandet till att eleven kan använda denna kunskap i nya sammanhang och nya sociala praktiker, eleven får en ökad förståelse och beredskap att agera på många olika sätt och i många olika situationer med hjälp av sin erövrade kunskap.
Säljö (ibid) återkommer ständigt till samtalets stora betydelse för inlärning samtidigt som han påpekar att vi lär oss olika begrepp i den omgivning vi befinner oss i. Eftersom skolan har en speciell institutionell kontext är det inte alltid självklart att det lärande som sker i
skolkontexten med automatik medför att en elev också kan överföra sin kunskap till andra kontexter. En viktig förutsättning är dock en god relation mellan lärare och elev för att kommunikationen ska fungera och vara kvalitativ. Då matematik är mer eller mindre abstrakt menar Säljö (ibid) att läraren måste ha förmåga att skapa ett kommunikativt sammanhang med eleven, där olika sätt att uttrycka sig och tänka blir levande och därmed fyller en funktion. Då möjliggörs en kunskapsprocess där eleven tar till sig delar av olika kunskapsområden och färdigheter, vilket medför att eleven efter hand allt mer utvecklar sina förmågor.
2.2 Tidigare forskning
2.2.1. Longitudinella studier
Sjöberg (2006) genomförde en longitudinell multimetodstudie där han följde 14 elever i matematiksvårigheter från årskurs 5 till och med årskurs 2 på gymnasiet. Eleverna utvaldes från en ursprungsgrupp av 1000 elever som i årskurs 5 inte klarat de nationella proven i matematik men som i övrigt var normalpresterande. Syftet var dels att få en bred bild av
elever i matematikproblem och se om någon eventuellt hade dyskalkyli, dels lyfta fram
elevernas egna erfarenheter om framför allt matematikundervisningen och de egna problemen.
Denna typ av forskning med elevernas egna beskrivningar i centrum är mycket ovanlig.
Samtidigt säger Sjöberg (ibid) att tonåringar lever i ”här och nu” (Sjöberg, 2006, s.78-79), vilket medför att de har svårt att reflektera över sin vardag, hur de till exempel lär sig och inte lär sig, varför många forskare inte anser att tonåringars kunskap om sig själva är valid
kunskap och därför ointressant. Detta var en av anledningarna till att Sjöberg (ibid) följde eleverna upp i gymnasiet då eleverna blivit äldre med större reflektiv förmåga och distans till sig själva.
Alla dessa elever som initialt uppvisat stora svårigheter i matematik fick godkänt betyg i årskurs 9 och Sjöberg (ibid) drog slutsatsen att ingen av dessa elever hade dyskalkyli, en diagnos som han starkt ifrågasätter (se punkt 2.5.1). Den huvudsakliga förklaringen och orsaken till elevernas svårigheter som Sjöberg (ibid) upptäckte var elevernas mycket begränsade egna arbetsinsatser. De använde endast 30-50 % av lektionstiden till att arbeta med matematik. Mer förvånade ansåg Sjöberg (ibid) det vara att eleverna själva inte var medvetna om den egna bristfälliga och minimala arbetsinsatsen. Eleverna uppgav i stället i huvudsak strukturella orsaker till varför de inte arbetade och hade svårigheter. Det var först när Sjöberg (ibid) gjorde slutintervjuerna i gymnasiets årskurs 2 som eleverna blivit medvetna om betydelsen av den egna arbetsinsatsen för att nå lyckade resultat.
Sjöberg (ibid) fann också att kamraterna betydde mycket som stöd och hjälp, något som även Black & Wiliam (1998; 2009) påvisat som speciellt betydelsefullt för svagpresterande elever.
Elevernas uppfattningar och åsikter om matematikundervisningen enligt Sjöbergs (2006) undersökning sammanfattas här. Matematik var tråkigt men nödvändigt, ett högprestigeämne, vilket ledde till stress hos eleverna. Motivationen var viktig och då framför allt betygen.
Eleverna ville veta vad som krävdes och det var betygen som var en av orsakerna som gjorde att eleverna till slut ökade sin egen arbetsinsats. Alla elever sade att de tappade greppet i matematik någon gång i årskurs 4-5. Läraren var viktig och skulle ställa krav, ha
genomgångar på tavlan, styra, bestämma, ha struktur och tydliga ramar. Eleverna blev stressade vid prov. Eleverna beskrev också att de hellre bad en kamrat om hjälp än att be läraren, eftersom de ofta fick vänta länge. En bra lärare var för eleverna lagom snäll, brydde sig om, förklarade bra och på flera olika sätt. Dessa svagpresterande elever ville inte gärna ha grupparbeten, laborationer eller andra samarbetande arbetssätt.
Eleverna hade stort behov av arbetsro och föredrog att arbeta i liten grupp i till exempel specialundervisningen, som alla elever i gruppen haft. Även om eleverna ibland känt sig annorlunda, beskrev de att speciallärarna varit viktiga som positiva pådrivare och varit en betydande orsak till att vända elevernas utveckling. Denna positiva effekt av
specialundervisningen som eleverna upplevde blev alltså kontrastigmatiserande. Detta visas också i Groths (2007) undersökning av elevers uppfattning om specialundervisningen när eleverna beskrev sin upplevelse av att det positiva i specialundervisningen övervägde.
Elevens självbild påverkades inte negativt utan en kompetent speciallärare kunde vara det som gjorde att eleven riktade sin uppmärksamhet mot de egna prestationerna i stället för att jämföra sig med andra.
Engström & Magne (i Democracy and participation, 2004) genomförde under tre olika år, 1977, 1986 och 2002, en undersökning, den så kallade Medelstaundersökningen. Syftet var att undersöka om och hur olika läroplaner påverkat elevernas kunskaper i matematik i årskurs 7-9. Samma diagnoser användes alla tre åren för att kunna göra jämförelser. Resultaten visade ingen signifikant ändring av elevernas prestationer och kunskapsnivåer. Cirka 15 % av alla elever var lågpresterande under alla åren där många av dessa elever i årskurs 9 hade resultat
motsvarande kunskaper för årskurs 4-5, något som också konstaterats av bland andra Häggblom (2000).
Engström & Magne (i Democracy and participation, 2004) argumenterar att skolsystemet, med de krav som ställs i läroplanerna, producerar elevernas svårigheter i matematik. Elever i behov av specialundervisning behandlas felaktigt och får inte adekvat stöd och utbildning i matematik, då det mesta av undervisningen i årskurs 7-9 ligger långt över deras
prestationsnivå. Författarna anser att på grund av läroplanens utformning är vissa elever från början dömda att misslyckas då de inte har förmågan att uppnå alla mål. Detta är också något som Lundin (2008) diskuterat i sin kritik av matematikämnet (se punkt 2.3).
Magne (i Democracy and participation, 2004) kallar de 15 % lägst presterande eleverna för SUM-elever, Särskilt Utbildningsbehov i Matematik, och anser att läroplanen är alltför
akademisk för dessa elever. Han menar att undervisningen i högre grad måste inriktas mot det han kallar livsmatematik, den kunskap eleven behöver i matematik i vardagen för att lösa praktiska problem och för att kunna delta i ett demokratiskt samhälle. En sådan undervisning bör handla om exempelvis boende, hushåll, kläder, resor, hygien, media, ekonomi och politik.
Häggblom (2000) följde 100 elever i Finland mellan åren 1988-1998 och testade deras matematiska förmåga vid 6, 9, 12 och 15 års ålder. Resultaten visade att elevernas
matematiska förståelse utvecklades i mycket olika takt. Den mest dramatiska försämringen av elevernas förståelse noterade hon mellan årskurs 3-6, då matematik övergår till att bli allt mer abstrakt. Ungefär dessa årskurser har också konstaterats av Löwing & Kilborn (2002) vara den kritiska tidpunkt i undervisningen, då de elever som inte befäst alla grundläggande baskunskaper och begrepp i matematik får stora och uttalade svårigheter. Löwing & Kilborn (ibid) anser att alla svårigheter som lågpresterande elever uppvisar i högre årskurser beror på att undervisningen i de lägre årskurserna av olika anledningar inte fungerat för de
svagpresterande eleverna. I Sjöbergs (2006) undersökning beskrev eleverna att det ungefär var vid denna tidpunkt, i årskurs 4-5, som de tappade greppet i matematik.
Häggblom (2000) beskriver att efter nedgången i årskurs 3-6 förbättrades resultaten av många elever men hon noterade också att många elever på högstadienivå hade stora svårig- heter och inte behärskade kunskaper på lågstadienivå, vilket också konstaterats av Magne (1998), Magne (i Democracy and participation, 2004), Engström (2003) och Sjöberg (2006).
Häggblom (2000) menar att risken finns att elever som utvecklas i långsammare takt än sina kamrater tappar såväl motivation som självförtroende och hamnar i en ond cirkel som gör att de arbetar och anstränger sig ännu mindre i matematik. Eftersom Häggblom (ibid) noterade i sin undersökning att elevernas matematiska kunskaper kan förändras och utvecklas menar hon att den enskilda lärarens intresse och engagemang ändå kan skapa förutsättningar för alla elevers lärande, också för dem som anses lågpresterande.
Linnanmäki (2002) genomförde ett forskningsprojekt i Finland 1991-1994 med elever i årskurs 2, 5 och 8, där syftet var att undersöka relationen mellan matematisk förmåga och självförtroende. Hon fann att i årskurs 2 fanns inget samband, i årskurs 5 sågs ett visst samband och i årskurs 8 fann hon en tydligare koppling mellan låga matematikprestationer och negativ självuppfattning och höga matematikprestationer och positiv självuppfattning.
Pojkar i årskurs 8 hade generellt bättre självförtroende än flickor trots att flickorna generellt presterade bättre. Sjöberg (2006) gör ett liknande konstaterande och säger att pojkar ofta övervärderar sin förmåga i matematik, en uppfattning som grundläggs tidigt.
Linnanmäki (2002) säger att matematik är det ämne som har störst inflytande på
självuppfattningen eftersom en elev som misslyckas i matematik ofta behöver extra stöd och hjälp. Eleven kan få uppfattningen att den inte duger då den måste träna om och om igen på det den inte kan. Extra utsatta är elever som dessutom är blyga och ängsliga vilka riskerar att
inte alls bli uppmärksammade i klassen. Sjöberg (2006) noterar att dessa elever ofta är lågpresterande, ängsliga flickor som aldrig ber om hjälp, som över huvud taget inte vill märkas, flickor som Sjöberg (ibid) kallar tapetblommor.
Linnanmäki (2002) noterade att eleverna med stigande ålder fick en allt mer realistisk syn på sin förmåga i matematik vilket i sin tur påverkade självuppfattningen i positiv eller negativ riktning. Skolverket (2003b) säger att måttligt förhöjd självtillit är bra för prestationen, att det är bra att på sikt ha en rimligt god självkänsla. Nyström & Palm (2001a) anser att det är av stor betydelse att elever lär sig att bedöma sin förmåga realistiskt för att kunna ta ökat eget ansvar och där varken över- eller undervärdering av den faktiska förmågan påverkar inlärningsförmågan positivt.
I undersökningen noterade Linnanmäki (2002) att det nästan inte fanns någon
lågpresterande elev med positiv självuppfattning i matematik eller någon högpresterande elev med negativ självuppfattning, ett resultat hon fann oväntat. Sammanfattningsvis säger hon ändå att man inte kan anta att en negativ självuppfattning är något som kan antas bestående och oföränderligt hos en elev utan att en väl fungerande undervisning kan påverka och förändra elevens uppfattning om sig själv i matematik.
2.2.2 Studier om flickors och pojkars matematik
Brandell et al (2003; 2005) har i det så kallade GeMaprojektet undersökt attityder till genus och matematik hos 750 elever i årskurs 9 och 550 elever i gymnasiets årskurs 2. Majoriteten av eleverna ansåg att fler pojkar än flickor skulle komma att behöva matematik i det
kommande arbetslivet. Eleverna ansåg också att pojkar oftare tycker att matematik är roligt och gillar utmanande problem. Flickorna ansågs flitiga.
Flickorna sade att de ofta oroade sig för att inte lyckas tillräckligt bra. Enligt Skolverket (2010a) säger 50 % av flickorna att de ofta är stressade och de ställer dubbelt så höga krav på sig själva som pojkarna gör. Sjöberg (2006) noterade att flickor från 15 års ålder blev mera osäkra, överskattade svårigheterna, var mera beroende av lärarens bekräftelse och hämmades av tävlingsmomentet med poäng. Brandell et al (2003; 2005) visar i sina studier att även om flickorna resultatmässigt lyckades lika bra eller bättre än pojkarna ansågs det av många elever bero på att flickor arbetar hårt och flitigt och tränar mycket mera matematik än pojkarna.
Pojkarna däremot lyckas för att de är smartare och kan tänka logiskt, vilket forskarna anser bidrar till slutsatsen att matematik fortfarande i hög grad anses vara en manlig domän.
I årskurs 9 betraktar eleverna inte matematik genomgående som kvinnligt eller manligt men ämnet är heller inte könsneutralt. Könsmarkeringen, att matematik betraktas som manligt, blir enligt forskarna dock tydlig bland elever på gymnasiet och då framför allt bland elever på naturvetarprogrammen. Trots att de själva studerade vid dessa program betraktade flickorna i hög grad ämnet som manligt och denna uppfattning är ännu mera uttalad bland pojkarna på dessa program. Denna markant könsbundna åsikt om ämnet märks inte lika tydligt bland pojkar på samhällsprogrammen.
De slutsatser som Brandell et al (2005) drar är att den starka könsmärkningen som görs av pojkarna på naturvetarprogrammen inverkar negativt på flickors val av högre studier i matematik. Trots att flickor får lika höga betyg väljer endast ett fåtal att läsa matematik på universitetsnivå. Forskarna förklarar detta med att flickor i en sådan studiemiljö skulle möta ännu mera av attityden att matematik i olika avseenden ägs av männen. Därför avstår de av den anledningen även om intresse finns, vilket resulterar i att Sverige har få kvinnliga matematikstuderande på högskolenivå. Detta noteras också med oro i SOU 2004 (Regeringskansliet, 2004).
Sumpter (2009) undersökte hur flickor och pojkar på gymnasiet påverkas av undervisningen och hur de löste uppgifter i matematik. Hon intervjuade också gymnasielärare om de ansåg att olika lösningsresonemang är könsbundna. Bland högpresterande elever och högkvalitativa lösningar, oavsett kön, fann hon inga könsskillnader i lärarbedömningarna. Däremot beskrev flera lärare generellt flickor som mera osäkra, att de oftare använder sig av imitativa lösningar och resonemang, att de inte riktigt vågar tro på sin egen förmåga och är obenägna att chansa och pröva nya lösningsmetoder. Pojkar ansågs däremot mera kreativa, riskbenägna,
chansvilliga när de inte vet samt att de oftare testar sig fram till olika lösningar.
Uppgiftslösningar som uppvisade flickaktiga respektive pojkaktiga kännetecken bedömdes därför av lärarna utförda av flickor respektive pojkar.
När Sumpter (ibid) undersökte elevernas generella åsikter om flickor och pojkar i matematik framkom samma traditionella könsmönster som lärarna uppvisat. Men när hon intervjuade eleverna fann hon inte att flickor upplevde sig själva som osäkrare eller att pojkar ansåg att de till exempel oftare testade sig fram till olika lösningar när de var osäkra med hjälp av
miniräknaren.
Däremot noterade Sumpter (ibid) att flickor värderade sin matematiska förmåga lägre än pojkar, precis som Brandell et al (2005) konstaterat och vilket Sumpter (2009) anser vara nedslående. Hennes resultat visar att flickor presterade minst lika bra som pojkarna, oavsett om de var låg- eller högpresterande, vilket också konstateras av Skolverket (2010b). Sumpter (2009) menar att lärare i matematikundervisningen måste vara mera uppmärksamma på genusfaktorerna i ämnet.
2.3 Matematik i samhället
I såväl Lpo 94 (Utbildningsdepartementet, 2006) som i Lgr 11 (Skolverket, 2011b) betonas att skolan ska medverka till att eleverna rustas för att kunna delta i ett demokratiskt samhälle.
Kursplanerna i matematik (Skolverket, 2000; 2011a) preciserar hur matematik ska bidra till denna utveckling. Det sägs som övergripande syfte att kunskap i matematik gör att människor kan fatta välgrundade beslut i vardagen och ökar möjligheten att delta i samhällets
beslutsprocesser.
Engström (2003) menar att matematik spelar en viktig roll i samhället för att människan ska kunna studera och analysera samband i omvärlden, att kunna se olika mönster och för att kunna analysera den egna livssituationen. I SOU 2004 (Regeringskansliet, 2004) framförs liknande tankar att kunskaper i matematik är en demokratiaspekt, att lära sig att granska uppgifter i samhället och att argumentera sakligt, en kunskap som undervisningen i matematik kan bidra med om den utformas väl. Samtidigt konstateras med viss oro att intresset för högre studier i matematik har minskat och i rapporten pekas på att en av orsakerna är att matematik blivit allt osynligare i samhället, vilket inte motiverar elever framför allt från hem som saknar studietraditioner att lära sig matematik. Detsamma sägs av Borelius (2004) som menar att det i massmedia saknas positiva förebilder. Matematik finns inte med i vår tids berättelser om det goda livet. Borelius (ibid) menar att matematik oftast framställs negativt i massmedia vilket beror på att dess företrädare ofta själva inte behärskar ämnet och själva inte har lyckats med det under sin egen skoltid.
Böttger (i Democracy and participation, 2004) påpekar att de flesta elever anser att
matematik är viktigt att kunna men de ser ändå inte betydelsen i vardagen. Fuchs et al (2009) konstaterar att matematisk kompetens visat sig ha stor betydelse för möjligheten till framtida anställning och inkomst. Bristande kunskaper i matematik och social ohälsa har dessutom visat sig ha samband. Också Lunde (2003) säger att det visat sig finnas ett större samband mellan räknesvårigheter och antisocialt beteende än med andra inlärningssvårigheter och anser därför att det saknas viktig forskning om hur matematiksvårigheter kan förebyggas.
Grauman (2005) anser att matematikundervisningen starkare måste betona ämnets betydelse i ett demokratiskt samhälle och alltmer uppmuntra en ifrågasättande hållning, utveckla sakligt, reflektivt, flexibelt och logiskt tänkande som eleven har nytta av även i andra ämnen.
Gruppaktiviteter måste ske oftare om eleverna ska fostras in i ett demokratiskt samhälle där vi ska fungera tillsammans. Stenhag (2010) framför till viss del samma tankar som Grauman (2005), men anser att det blir allt svårare att motivera elever att lära sig matematik utifrån såväl en nyttoaspekt som demokratiaspekt. Han menar att i såväl nazityskland som i kommunistiska Kina och andra diktaturer har matematik ansetts viktigt. Däremot anser Stenhag (2010), liksom Grauman (2005), att vi måste fokusera på att motivera eleverna att lära sig matematik utifrån det Stenhag (2010) kallar formalbildningsargumentet, att matematik utvecklar den intellektuella förmågan, att intelligensen utvecklas via den träning i logiskt resonemang och den intellektuella ansträngning som krävs för att gå från konkret till abstrakt tänkande som är nödvändigt i matematik. Denna typ av tänkande säger han kan transfereras till andra sammanhang både i och utanför skolan, både inom teoretiska och praktiska verksamhetsområden. Stenhag (ibid) anser även att ett av matematikämnets styrka är dess karaktär som rätt och fel och anser att detta är något vi aldrig får ge upp. Detta till skillnad från Magne (1998) som anser att det just är ämnets rätt- och felstruktur som skapar
matematikångest. Kling Sackerud (2009) menar att denna struktur bidrar till att kvantitet prioriteras framför kvalitet. Men Stenhag (2010) anser att i förhållande till andra ämnen gör rätt- och felstrukturen att det blir tydligt vad en elev behärskar respektive inte behärskar för såväl läraren som eleven själv. Stenhag (ibid) har i undersökningen jämfört betygen i
grundskolan och funnit ett positivt samband mellan högt betyg i matematik och höga betyg i de flesta andra ämnen.
Lundin (2008) intar en annan ståndpunkt och ifrågasätter i stället och har en negativ attityd till den höga status som matematik getts i samhället och som gör att många människor tvingas inse att de inte behärskar ämnet. Han har undersökt matematikens historiska utveckling, där ämnet varit tillgängligt för en elit av människor, en syn som han anser fortfarande präglar läroplanen. Lundin (ibid) menar att mycket av det eleverna tvingas lära sig är långt över den nivå som behövs i vardagen och menar att motiveringen till ämnets existens att matematik finns överallt, alltid är närvarande och användbar är överdriven. Han menar att eleverna skulle ha minst lika stor användning i vardagen av kunskaper i vardagsmedicin, juridik och ekonomi.
Att matematik skulle genomsyra samhället och göra att eleverna blir bättre på att delta i ett demokratiskt samhälle är något Lundin (ibid) inte håller med om. I stället menar han att kraven i matematik i läroplanen gör att ett stort antal elever får lära sig att de inte duger.
2.4 Matematikundervisning och specialundervisning i matematik
Perspektiven på elever i matematiksvårigheter och om dessa elever är i behov av speciell undervisning varierar i skoldebatten. Det kompensatoriska eller kategoriska perspektivet (Emanuelsson et al, 2001; Nilholm, 2006), som Haug (1998) kallar segregerande integrering, innebär att problemen förläggs hos eleven. Denna anses då ha olika inlärningssvårigheter, vilket gör att olika specialpedagogiska insatser riktas mot eleven, ofta i mindre grupper. Det kritiska eller relationella perspektivet (Emanuelsson et al, 2001; Nilholm, 2006), som Haug (1998) kallar inkluderande integrering, innebär däremot att orsakerna till elevens svårigheter går att finna i den miljö som omger eleven och att denna miljö ska förändras.
Clark et al (1998) diskuterar den ökade polarisering som skett mellan företrädare för de olika perspektiven och menar att inget av perspektiven enskilt kan ge en fullständig bild av elevens svårigheter utan de borde närma sig varandra.
Såväl Haug (1998) som Emanuelsson et al (2001) och Nilholm (2006) menar att det i praktiken uppstår ett olösligt pedagogiskt och utbildningspolitiskt dilemma att förena det
demokratiska deltagarperspektivet i läroplanen med den enskilda elevens behov, förutsättningar och rättighet att utvecklas efter sina förmågor.
Nilholm (2006) säger att även om en inkluderande skola är önskvärd i läroplanens demokratiska anda är det svårt att dra slutsatser av den forskning som finns om elever i svårigheter i alla lägen gynnas av inkludering. Miles & Miles (2004), Lundberg & Sterner (2009) och Butterworth & Yeo (2010) påpekar samtliga att för många elever i specifika matematiksvårigheter är till exempel enskild undervisning med läraren, en-till -en- undervisning, ofta en helt nödvändig förutsättning för att eleven ska utvecklas och göra framsteg i ämnet.
Engström (2003) menar att för vissa elever är specialpedagogisk undervisning i små grupper nödvändigt och säger att en inkluderande skola inte bara får innebära en organisatorisk
förflyttning av elever från specialundervisning och små grupper in i klassrummet. Det löser inga problem utan kan i stället skapa nya om man inte samtidigt utreder vad som kan göras i den ordinarie undervisningen för att stötta elever i svårigheter i matematik, vilket också sägs av Marston et al (2003). Egelund et al (2006) anser att den forskning som genomförts om undervisning i skolan inte haft som syfte att förstå och förklara undervisningen och har undvikit att beröra mångfald och hur man praktiskt ska hantera olikheter.
Wallby et al (2001) säger att studier om undervisning i klassrummen med fokus på elever i svårigheter saknas och Skolverket (2003b) påpekar att hur den reguljära undervisningen utförs måste granskas mera, om det finns alternativa och mer effektiva arbetssätt som gynnar alla elever i stället för urskiljande och undervisning i mindre grupper eller nivågrupperingar.
Enligt Skolverket (2010a) är nivågrupperingar vanligast i matematik, vilket nio av tio elever tycker fungerar bra. Wallby et al (2001) konstaterar att det finns alltför lite forskning som ger entydiga svar på om nivågruppering eller undervisning i mindre grupper är positivt eller negativt. Författarna säger att små grupper kan vara positiva för inlärning samtidigt som det finns en risk att lågpresterande elever upplever låga förväntningar och till och med undervisas av de minst kompetenta lärarna, ett faktum som också Skolverket (2003b) konstaterat. Detta förstärker elevens syn på sig själv som svag vilket ytterligare sänker motivationen.
Linnanmäki (2002) fann i sin studie att ju mer tid eleven tillbringat per dag i specialundervisning i matematik, desto mera positiv var de lågpresterande elevernas självuppfattning. En förklaring anser hon vara att många undervisande lärare tror att en lågpresterande elev förblir detta och omedvetet signalerar dessa negativa förväntningar till eleven, medan en kompetent speciallärare i stället stöttar eleven i positiv riktning.
Emanuelsson & Persson (2002) säger att specialundervisningen ofta har höga ambitioner men resultaten av olika åtgärder är svårtolkade. Många elever i svårigheter når goda resultat med hjälp av specialundervisning, vilket även sägs av Sterner & Lundberg (2002). Samtidigt noterar Emanuelsson & Persson (2002) att det är svårt att hitta generella positiva effekter.
Giota & Lundborg (2007) visar i en omfattande studie ett negativt samband mellan specialpedagogiskt stöd och studieresultat, att elever som fått stöd under längre tid lyckas sämre i sin måluppfyllelse än elever som fått stöd under kortare tid. Forskarna betonar dock svårigheterna att tolka resultaten. För de allra svagaste eleverna kan stödet ha haft positiva effekter men att dessa elever i starten haft ett betydligt sämre utgångsläge vilket gör att de ändå inte lyckas nå målen. Denna undersökning skiljer inte på stödåtgärder i matematik och stöd i andra ämnen.
I Sverige går undervisningen mot ett allt mer kompensatoriskt perspektiv och en allt mer segregerad skola, vilket konstateras av Giota & Emanuelsson (2011). Författarna drar den slutsatsen efter att ha frågat 800 rektorer om det specialpedagogiska stödet i deras respektive skola. Individuellt stöd är vanligast. De flesta rektorer anser att den individuella eleven ska utvärderas, bedömas och åtgärdas. Bara 10 % av rektorerna anser att elevens problematik kan
orsakas av till exempel brister hos läraren, brister i undervisningen eller att klassen fungerar dåligt.
Rektorerna pekar också på behov av diagnoser för att få tillgång till mera resurser.
Giota & Emanuelsson (ibid) konstaterar att behovet av specialpedagogiskt stöd ökar och har förstärkts under senare år, vilket de anser beror på att det psyko-medicinska arvet inom specialpedagogik har fått allt större dominans. Rektorerna anser att behovet av stöd till elever är större än de som idag får stöd och menar att ungefär var femte elev i behov av stöd inte får det idag. I Skolverkets (2010a) rapport säger åtta av tio elever att de är nöjda med det stöd de får. En tredjedel av lärarna anser att stödet är otillräckligt och att behoven är större. 60 % av lärarna anser sig ha kompetens att hjälpa elever i behov av stöd, att analysera varför en elev uppvisar olika svårigheter och vilka metoder som är framgångsrika utifrån svårigheterna. I vare sig Skolverkets (2010a) eller Giota & Emanuelssons (2011) rapport särskiljs orsaker till eller ämnesspecificeras det specialpedagogiska stödet.
Trots att eleverna är nöjda med stödet säger också många elever enligt Emanuelsson &
Persson (2002) och Giota & Emanuelsson (2011) att eleverna själva har litet reellt inflytande över specialundervisningen och att många elever känner sig maktlösa när det gäller att påverka sin situation när deras problem diskuteras av skolpersonal och föräldrar vid till exempel upprättandet av åtgärdsprogram.
2.5 Matematiksvårigheter
Engström (2000b) och Lunde (2003) beskriver hur man inom forskningen skiljer på olika förklaringsmodeller för matematiksvårigheter: ”medicinsk/neurologiska – defektorienterade, eleven har en hjärnskada eller annan psykisk funktionsnedsättning; psykologiska –
förklaringar sökes i bristande ansträngning eller koncentrationssvårigheter hos eleven, ångest eller olika kognitiva orsaker; sociologiska – miljöfaktorer, social depravation, dvs eleven kommer från en understimulerad miljö, skolsystemet missgynnar barn med t.ex
arbetarbakgrund; didaktiska – felaktiga undervisningsmetoder, ensidig färdighetsträning.”
(Engström i Nämnaren, nr.1, 2000, s. 27). Såväl Engström (2000b) som Lunde (2003) menar att det är synnerligen viktigt att inse att matematiksvårigheter är flerdimensionella men konstaterar att tyvärr har de medicinsk/neurologiska förklaringarna dominerat. De anser att vi i stället i högre grad måste uppmärksamma didaktiska orsaksfaktorer.
Traditionellt har forskare försökt skilja mellan allmänna matematiksvårigheter, då eleven har svaga prestationer inom alla ämnen och specifika matematiksvårigheter, där de senare inte kan förklaras av brister i allmän begåvning eller sociala omständigheter (Engström, 2000b;
Lunde, 2003; Lundberg & Sterner, 2009). Eftersom det rör sig om gradskillnader i svårigheter menar Lunde (2003) att det blir meningslöst att göra denna åtskillnad. Dessutom säger
Engström (2000b; 2003) och Lundberg & Sterner (2009) att pedagogiskt saknar det betydelse.
Elever med specifika svårigheter skiljer sig inte från elever med andra problem i matematik och behöver ingen annan form av undervisning eller specialpedagogiskt stöd än andra elever i matematiksvårigheter.
Lunde (2003) beskriver några kännetecken på elever i matematiksvårigheter. De har
problem att tänka systematiskt och har bristande rumsuppfattning, har svårt att planera och att hitta eller lära sig olika inlärningsstrategier när nytt stoff ska tränas.
Problemlösningsförmågan och begreppsförståelsen är bristfällig och de har svårt att automatisera kunskaper. De har också svårt att lära sig av de fel de gör, vilket i sin tur kan leda till ångest och dålig självbild. Gersten & Clarke (2007b) karakteriserar elever i
matematiksvårigheter på liknande sätt och säger även att dessa elever utmärks av att de räknar impulsivt, får felaktiga associationer vad de ska göra och kan därför inte fokusera på det aktuella problemet. Tyvärr konstaterar forskarna att det inte finns någon konsensus i
forskarvärlden hur man bäst hjälper dessa elever. I sin forskning har Gersten & Clarke (2007a) funnit några faktorer i undervisningen som är speciellt effektiva för elever i
matematiksvårigheter. Störst betydelse har lärarens strukturerade förklaringar och hjälp med tydliga strategier för inlärning av olika moment. Mycket stor betydelse för inlärningen har det också om eleven tvingas tänka högt och förklara hur den löser olika uppgifter. Forskarna menar även att det är extra viktigt att elever i svårigheter inte bara tvingas arbeta med grundläggande matematik som inte utvecklar det logiska tänkandet, utan de måste få många tillfällen att träna mera komplicerade problemlösningar. Detta sägs också av Löwing (2006), Engström (2007) och Lundberg & Sterner (2009) vilka menar att detta bäst sker i
gemensamma samtal där eleverna kan få hjälp att upptäcka olika lösningsstrategier.
Magne (1998) och Lunde (2003) säger att det saknas forskning om matematiksvårigheter och inom specialpedagogik med avseende på matematik och vilket stöd dessa elever bäst behöver samt att kartläggningar har utförts i betydligt mindre grad än inom läs- och skrivsvårigheter.
2.5.1 Diagnoser
Emanuelsson et al (2001) konstaterar att olika professioner i samhället har tagit sig makt att tolka vad som är normalt och inte och genom olika diagnoser beteckna elever som uppvisar olika svårigheter. Nilholm (2006) säger att andra vetenskaper som medicinsk/psykologiska och neurologiska har berett sig själva ett tolkningsföreträde med förtur inom olika
pedagogiska områden utan att ha erforderlig kompetens att uttala sig i pedagogiska och didaktiska frågor.
Giota & Emanuelsson (2011) konstaterar att kraven på olika diagnoser fortsätter att öka i skolan. En sådan diagnos som efterfrågas allt mer när elever har svårigheter i matematik är dyskalkyli.
Bland forskare råder oenighet om diagnosen dyskalkyli.
Engström (2000b; 2007) är mycket kritisk till att begreppet dyskalkyli används. Han anser till och med att ”Språkligt sett är termen dyskalkyli ett missfoster – med en grekisk förstavelse och ett latinskt efterled” (Engström i Nämnaren, nr 1, 2000, s. 28). Han menar att det inte finns någon etablerad definition eller specifika åtgärder beskrivna i forskningen och anser att den medicinsk/neurologiska och neuropsykologiska forskning som begreppet baseras på endast utgått från brister i enkel aritmetik, som enbart omfattar en liten del av matematiken.
Han menar också att diagnosen inte förklarar någonting. Sjöberg (2006) anser att det är extra allvarligt att diagnosen ofta ställs av personer som inte har tillräckliga kunskaper, i synnerhet som några gemensamma kriterier för diagnosen inte finns. Sjöberg (ibid) säger att diagnoser framför allt ställs av många neuropsykologer trots att diagnosen inte finns i internationella diagnosmanualer. I vare sig ICD-10 eller DSM-IV finns begreppet utan är sedan länge borttaget som specifik diagnos. I ICD-10 används begreppet specifika räknesvårigheter och i DSM-IV räknesvårigheter och under huvudrubriken inlärningsstörningar.
Adler (2010a) är en neuropsykolog som i Sverige har ett eget dykalkylicenter där han bland annat utvecklat en speciell matematikscreening för att diagnostisera elever med dyskalkyli (Adler, 2010b). Adler (2010a) anser att det på de flesta skolor saknas modeller för att arbeta med elever i matematiksvårigheter.
Miles & Miles (2004) menar att forskningsbevis saknas för diagnosen. De anser att de flesta elever som uppvisar specifika matematiksvårigheter är elever som har dyslexi och att
elevernas problem att bland annat uppnå fullgod automatisering vid ordavkodning och ett bristfälligt arbetsminne också påverkar olika kognitiva förmågor som är nödvändiga i matematik. De anser att svårigheterna i matematik har samma orsaksbakgrund som de faktorer som orsakar dyslexin.
Även Sterner & Lundberg (2002) menar att detta samband ofta finns medan Engström (2007) anser att dyslexi och svårigheter i matematik är olika former av inlärningsstörningar.
Marston et al (2003) är generellt kritiska till det ökade kravet på diagnostiseringen av elever i matematiksvårigheter och då framför allt att WISC-tester används i allt högre utsträckning, vilket även Lundberg & Sterner (2009) noterat och ifrågasätter. Marston et al (2003) anser att den ordinarie undervisningen i högre utsträckning måste analyseras för att i denna söka orsaker till att elever uppvisar olika problem i matematik.
Butterworth & Yeo (2010) anser att forskning finns som visar att dyskalkyli är en specifik form av inlärningsstörning, som inte har samband med dyslexi och som innebär specifika svårigheter att lära sig och minnas enkla talfakta, att utföra matematiska operationer och att tillägna sig en grundläggande förståelse för tal. De har också konstruerat ett speciellt test (Butterworth, 2003) med vars hjälp de anser att elever med dyskalkyli kan särskiljas från elever med andra svårigheter i matematik. Detta test kritiseras av Miles & Miles (2004) och Lundberg & Sterner (2009) då de bland annat anser att testet inte utesluter dyslektiska elever.
Det alla tidigare refererade forskare, oavsett åsikt i fråga om diagnoser, är överens om är att oavsett vad man väljer att kalla elevens problem i matematik, är den mest betydelsefulla faktorn för att utvecklas i matematik den tid som eleven lägger ned på att träna matematik. Ju större problemen är i matematik desto mera tid krävs att träna. Därför måste hjälp och
undervisning för dessa elever göras så varierande som möjligt om de ska orka och motiveras att träna trots sina stora svårigheter.
2.5.2 Bedömning
Om matematikundervisningen ska kunna utvecklas måste många fler varierade
bedömningsmetoder användas och många fler tillfällen måste skapas för eleverna att visa sina kunskaper, vilket är speciellt viktigt för elever i svårigheter (Löwing & Kilborn, 2002; Sterner
& Lundberg, 2002; Miles & Miles, 2004; Löwing, 2006; Hattie, 2009; Lundberg & Sterner, 2009). Idag dominerar prov med poängbedömning, något som inte leder till matematisk utveckling då poäng inte talar om varför en uppgift blev fel och framför allt säger den inte hur eleven ska arbeta för att kunna förbättra sig (Black & Wiliam 1998; Löwing & Kilborn, 2002;
Miles & Miles, 2004; Löwing, 2006; McIntosh, 2008; Lundberg & Sterner, 2009;
Butterworth & Yeo, 2010).
Black & Wiliam (1998, 2009) ingår i en engelsk forskargrupp som i många år fokuserat på formativ bedömning. Forskarna anser att mer forskning om elever i matematiksvårigheter måste studera vad som sker i klassrummet. Passivt eget arbete leder inte till utveckling men genom aktiv formativ bedömning från läraren har de visat att elever redan från fem års ålder kan göras medvetna om sina egna styrkor och svagheter och de kan därmed styra sin egen kunskapsutveckling. Formativ bedömning har störst effekt på svaga elever och kräver en dialog mellan läraren och eleven där eleven berättar hur den tänker. Läraren kan då visa eleven om den är på rätt väg i sin utveckling eller om läraren måste visa hur eleven ska arbeta för att komma vidare. Hattie (2009) har i sin metastudie funnit att en av de viktigaste
faktorerna för effektiv och framgångsrik undervisning är den typ av strukturerad undervisning som Black &Wiliam (1998, 2009) beskriver, där en kompetent lärare klargör vad eleven ska lära sig och genom direkt feedback kontrollerar att eleven förstått. Läraren ska känna till var eleven befinner sig kunskapsmässigt, känna till olika metoder och strategier och anpassa undervisningen till eleverna.
Engström (2000a) säger att lärare måste intervjua elever både när det gäller riktiga och felaktiga lösningar. Ett riktigt svar betyder inte självklart att eleven har rätt förståelse.
Speciellt yngre elever kan tänka fel men har för tillfället hittat en icke utvecklingsbar strategi som fungerar för stunden men inte när matematiken blir svårare. Detta är också något som
Löwing & Kilborn (2002) menar är en betydande orsaksfaktor till att elevers svårigheter blir allvarligare och accentueras med stigande ålder. Många så kallade slarvfel är egentligen grova tankemissar. Detsamma sägs av McIntosh (2008) som forskat mycket runt elevers
taluppfattning. Han säger att läraren måste känna till elevens styrkor och svagheter och genom återkommande uppföljande samtal avslöja om eleven har djupt rotade missuppfattningar om olika begrepp, vilket är speciellt vanligt hos elever i svårigheter.
Wiliam & Thompson (2007) anser att formativ bedömning kan utgå från fem
nyckelstrategier. 1. Förklara vilka mål eleven ska uppnå så att eleven förstår vad och varför den ska lära sig. 2. Organiserade effektiva gemensamma diskussioner i klassen med frågor och varierade aktiviteter. Detta utvecklar lärandet speciellt hos svaga elever som därmed får ta del av hur andra tänker. 3. Tydlig och konkret feedback från en kompetent lärare till eleven om vad den kan, vad den inte kan och hur eleven ska arbeta för att lära sig det den inte kan.
4. Eleven ska göras medveten om vad den behärskar och inte behärskar och kan då styra sin egen inlärning och ta ansvar för vad den måste träna på. 5. Stimulera och aktivera kamraterna att hjälpa varandra. Wiliam (2007) anser att genom att elever diskuterar med varandra får de se olika lösningar, metoder och strategier vilket i synnerhet gynnar elever i svårigheter som med hjälp av kamraterna kan göras medvetna om olika kvaliteter i olika sätt att lösa problem.
Nyström & Palm (2001b) säger att forskning visat att grupparbeten också bidrar positivt till samarbetsförmågan, att förstå andras perspektiv att tänka och kan stärka självförtroendet för många svaga elever. Men författarna belyser också att det kan finnas svårigheter med kamratsamarbeten beroende på klass där elevers status kan inverka negativt. Även olika kunskapsnivåer kan verka hindrande om duktiga elever upplever att de inte har något stöd av svagare kamrater samtidigt som dessa kan uppleva att de hindrar arbetet då de inte anser att de har tillräcklig förmåga att bidra konstruktivt.
Under hela 2000-talet har Black & Wiliam (2009) fortsatt sin forskning och genomfört ett stort aktionsforskningsprojekt som visar på tydliga positiva resultat av en undervisning med fokus på lärarens, elevens och kamraternas gemensamma roll och ansvar att utveckla kunskap som leder till fortsatt lärande och utveckling. Denna formativa undervisning gynnar alla elever men i synnerhet gynnar den elever i matematiksvårigheter. En mycket viktig faktor för resultatförbättring i skolan konstateras i Hatties (2009) studie vara en undervisning som ger ett omfattande stöd till elever med inlärningssvårigheter.
3 Metod
Vid val av metod bör såväl frågeställning som forskarens teoretiska perspektiv för sitt arbete beaktas (Denscombe, 2009; Fejes & Thornberg, 2009). Då mitt huvudperspektiv på hur inlärning går till är det sociokulturella perspektivet finns en mängd olika metoder att välja mellan.
Då detta arbete var begränsat i tid och fokuserat på elevens perspektiv och uppfattning blev metodvalet kvalitativt inriktat och genomfördes med hjälp av intervjuer men där det även ingick ett litet kvantitativt moment som utfördes i samband med respektive intervju. Arbetet har också en fenomenologisk ansats att försöka förstå elevens förklaringar vilket ytterligare motiverade metodvalet (Denscombe, 2009; Fejes & Thornberg, 2009).
Säljö (2010) påpekar med viss oro, att allt mer samhällsvetenskaplig forskning genomförs via framför allt kvalitativa metoder och då i synnerhet med intervjuer som huvudsakliga informationskällor. Han menar att det inte är metoden i sig som oroar honom utan den tolkning forskaren gör och den betydelse denne ger det som framkommer i intervjuerna.
Risken finns att forskaren övervärderar det som sägs och likställer det sagda med det tänkta.
Allt som sägs måste även relateras till sin kontext, där intervjun är en konstlad situation, vilket även Denscombe (2009) påpekar. Om bara medvetenhet om detta finns hos forskaren anser
dock Säljö (2010) att kvalitativa intervjuer kan tillföra fördjupad kunskap om det studerade fenomenet. Att detta beaktas blir därför av betydelse i denna undersökning i synnerhet som den omfattade endast ett fåtal respondenter.
Fördelen med intervjuer nämns av Kvale (1997) som en effektiv metod att få vetskap om olika personers subjektiva erfarenheter av olika fenomen i dennes vardagsvärld. Denscombe (2009) säger att intervjun ger möjlighet för forskaren att få insikt i olika åsikter, uppfattningar och känslor hos de intervjuade och förespråkar användandet av semistrukturerade frågor med vissa givna frågeställningar. Då dessa frågor är relativt öppna blir intervjun flexibel,
ordningsföljden på frågorna kan varieras och svaren kan fördjupas genom olika följdfrågor beroende på respondentens svar och synpunkter. Detta nämns också av Trost (2010) som talar om en intervjuguide innehållande ett antal större frågeställningar att utgå ifrån. Kvale (1997) förespråkar ett liknande tillvägagångssätt men kallar intervjuerna halvstrukturerade.
Denscombe (2009) påpekar även att fördelen med att välja semistrukturerade intervjuer framför ostrukturerade är att forskaren får en viss grundstruktur i svaren. Detta är en fördel om jämförelse med andra intervjuade personer ska göras. Dessutom minimeras risken att intervjun blir ett samtal utan syfte (Trost, 2010) och att den i stället bli ett samtal med utbyte av åsikter.
Vid genomförandet av intervjuer måste alltid den så kallade intervjuareffekten beaktas (Kvale, 1997; Denscombe, 2009; Trost, 2010), vilken kan påverka resultatets tillförlitlighet.
Forskarens yrke är en del av den personliga identiteten som inte går att ändra på och risken finns att svaren blir vad de intervjuade tror att forskaren förväntar sig eller att forskaren tolkar svaren efter sin egen övertygelse (Kvale, 1997; Denscombe, 2009).
För mig som lärare i matematik i årskurs 7-9 har jag varit mycket medveten om detta dilemma och denna svåra balansgång. Men samtidigt som detta faktum kan inverka på resultatets tillförlitlighet påpekar Denscombe (2009) att det i många forskningsprojekt är nödvändigt att forskaren är ordentligt insatt i och har kunskap om det område som ska
studeras, just för att kunna ställa de rätta frågorna och förstå svaren. Betydelsen av forskarens kunskap för att kunna utforma meningsfulla frågeställningar och för att kunna göra kvalitativa tolkningar av svaren påtalas även av Jank & Meyer (i Uljens, 2009).
3.1 Urval
Undersökningen genomfördes i en kommun i mellansverige under två veckor på vårterminen 2011. Eleverna kom från tre olika skolor och gick samtliga i årskurs 7, en elevgrupp jag sällan funnit representerad i den mängd undersökningar jag studerat inför detta arbete. Skolvalet gjordes utifrån praktiska, tidsmässiga och ekonomiska skäl att inte vara alltför långt från hemorten. Jag beräknade att jag måste göra minst tre besök för mina intervjuer. Kvale (1997) och Denscombe (2009) talar om bekvämlighetsurval när urvalet inte sker slumpmässigt och att detta eventuellt kan påverka resultatet beroende på vad som undersöks. Då sannolikheten för att det på de flesta skolor finns elever i olika matematiksvårigheter bör resultatet inte påverkas av hur urvalet gjordes.
Respektive lärare kontaktades och informerades om den tänkta undersökningen. Alla var positiva till elevernas deltagande. Intervjuerna skulle genomföras under ordinarie
matematiklektioner och då undervisande lärare accepterat att delta i undersökningen hade skolledningen inga invändningar. Skolorna ligger i områden där människor från alla
socialgrupper finns representerade. Dock ingår ingen elev med annat modersmål än svenska i min undersökning av språkmässiga orsaker. Klassernas storlekar var 19, 25 och 26 elever.
Nivågruppering förekom ej.
Jag bad undervisande lärare välja ut två elever per klass som de ansåg hade svårigheter i matematik. Visserligen påpekar Sjöberg (2006) att det kan finnas stora skillnader hur olika
lärare bedömer elever och hur lärare definierar olika svårigheter, bland annat med avseende på lärarens kompetens och erfarenhet, vilket han framför allt konstaterade när han gjorde sitt initiala elevurval utifrån resultaten på de nationella proven i årskurs 5. Att de nationella ämnesproven av samma anledning inte är bra verktyg för att avgöra om eleven har uppnått målen, sägs också av Skolverket (2007), som även påtalar att själva provmiljön inte ger alla elever samma förutsättningar. Men jag ansåg ändå, med tanke på arbetets begränsning i tid, att lärarnas val av elever skulle vara tillräckligt tillförlitligt för att kunna uppfylla
undersökningens syfte. Oavsett om graden av svårigheter skulle skilja sig åt, beroende på lärarnas bedömningar, ansåg jag att eleverna skulle kunna ge sina perspektiv på
matematikundervisningen och den egna förmågan. Två flickor och fyra pojkar kom att delta i undersökningen.
De tillfrågade lärarna, en manlig och två kvinnliga, var alla utbildade MA/NO-lärare för årskurs 4-9. Deras ålder var mellan 35-50 år och de hade arbetat i skolan mellan 8-12 år. De beskrev alla att deras tjänster bestod till cirka två tredjedelar av undervisning i olika NO- ämnen och resterande tredjedel av undervisning i matematik. Lärarna hade tagit emot respektive klass i årskurs 7.
Av konfidentiella skäl för att inte röja den enskilde elevens identitet presenteras dessa endast översiktligt. En elev arbetade i nuläget i läroböcker för årskurs 4-5. En elev hade diagnosen dyslexi som konstaterats efter utredning av en specialpedagog. En elev hade diagnosen dyskalkyli och hade genomgått en utredning hos en specialpedagog som använde sig av Adlers (2010b) matematikscreening. Övriga tre elever ansågs vara allmänt
lågpresterande i matematik. Eleverna var antingen inte alls godkända eller med tvekan godkända på de nationella proven i matematik i årskurs 5. Eleverna hade i årskurs 7 inte nått målen eller klarat prov och diagnoser på något moment i matematik. Fem elever hade
uppvisat mycket låga resultat medan en elev hade förbättrat sina resultat under vårterminen.
Åtgärdsprogram fanns men jag valde att inte granska dessa då de inte hade betydelse för arbetets syfte.
3.2 Pilotstudie
Någon vecka innan de planerade intervjuerna skulle utföras genomfördes en provintervju med en elev i årskurs 7. Eleven ansågs av sin lärare som medelmåttig i matematik. Då mina frågar var relativt öppna, semistrukturerade, ville jag prova om och hur mycket eleven skulle tala fritt. Den intervjuade hade inga problem att förstå frågorna men gav tveksamma svar på frågor som berörde den egna förmågan och hur eleven bäst lär sig matematik. Jag insåg att vissa följdfrågor skulle bli nödvändiga för att få eleverna att utveckla sina svar. På frågan om vad eleven tyckte att den var bra eller mindre bra på undrade eleven om jag inte egentligen menade vad den tyckte var svårt eller lätt i matematik och det var också så eleven uttryckte sig i svaret. Även om mina respondenter skulle uttrycka sig på liknande sätt behöll jag den ursprungliga formuleringen då den korrelerar bättre till frågeställningarna. Någon elev skulle eventuellt också kunna anse att den var bra på något annat än att räkna i matematik.
3.3 Genomförande
Eleverna som respektive lärare valt ut besöktes för att informeras om undersökningen och för att tillfrågas om deltagande. Alla elever var positiva till att delta. Kvale (1997) konstaterar att en forskningsintervju många gånger kan vara en positiv upplevelse, att någon är intresserad, förstår och lyssnar.
Brev till föräldrarna och eleverna lämnades ut (Bilaga 1). Då ingen förälder motsade sig barnets deltagande genomfördes intervjuerna vid två tillfällen per klass. Eleverna intervjuades
