Klassisk mekanik med tillämpningar inom fordonsdynamik

Statens väg- ochtrafikinstitut 0

National Road&Traffic Research Institute - Fack - 58101 Linköping : Sweden

8 v 5 k ä $ % # . 2 3 3 4 t 5 ; A > å x $ % t # % $ P % I 5 * # 2 3 s & _ $ 4 - # s i 0 2 12 i ä å ; f + # i 4 % i x $ h 4 $ 3 $ å 5 $

% s R f & $ Soile 39 $ & 5 2

$ 2 * ä 5 2 k Lx ä h 2 å ä % $ k i f 3 t £ 2 road % £ $ $ $ £.% f © i Pc = i v 3 i i Ras i $ ) > y f FSS 3 ; 3 4 s & 4 k * 2 8 k i F - i t x k 3 3 # A h # 2 3 1 e tk 4 #7 dag & s f i 2 i k e 2$äe % ä el Sok 8 , "%% s & 3 5 ä E 0 FÅ $ & w f s

Piss lott 3 h % Huv 05 £ k icke _ ä 3 $ ) + = f

$ R fll S X i A s-1

$ $ J S

s & å i 2 &? 5 kil: 5 12%

E i . . ä få i % 5 t i 219 % % # 2 $ $ f k f f $ 3 5 2 4 t k i 2 i $ i k st | % 5 ; 5 % 3 Nå $ i i å % Fa etan t - X ' i y $ å if f t $ 3 v £ i ,,! s i he i jäll - *.2 _ % at f 2 s ; p t i. vå ha i y i - 4 5 l % $ f 5 i f 3 28 + t i f t $ Hk F $ $ k $ k l i ' i . 3 5 20 i 3 e & $ $ F å ; $ 3 r $ $ - & i $ å R _ $ ä FS 3 S % 2 kad v p i s ; - ä I atv. ' Sk #> f $ Hos i v 3 Se p v 5 & al 2 k i i ] 5 Ha Br ; ä E f K vä $ 5 i _ % Ki $ $ S ä ; # Sv g 3 % % k e S - is å å i $ $ i So - N k 2 i k t f 2 hos "ke i S je -å $ Sö % 2 f & 2 f å $ k x s 2 2158 Stie 5 5 f i % S + k k 2 i $ A k # ä & d > 2 e- 006 ' äv. t6 i i f 2 sla ä % . i % $ k $ h De% s s or - - % e F 3 br ; >, sä 5 & 2 s 3 ä > f $ 2 ' å 04 g %s % s % $ R s S i %. $ j 5 $ $ % * n $ 4 i E 4 % $ 4 > i % % i 40" S A * f + # i st 5 4 v Fa i # (#)3 å f 3 4 » % 4 h f avg

Statens väg- och trafikinstitut (VTI) - Fack 0 581 01 Linköping Nr 3 ' 1976

National Road & Traffic Research Institute o Fack - 581 01 Linköping - Sweden

Klassisk mekanik med tillämpningar inom

3

fordonsdynamik

Innehållsförteckning

ABSTRACT

Sammanfattning

Förord

Mekanikens grundlagar för en punktformig massa Mekanikens grundlagar för ett system av punkt-formiga massor

Rörelsen hos ett stelt system

Impulsmoment hos en stel kr0pp vid rotation kring en fix punkt

Ortogonala transformationer. Eulervinklar Uppställande av impulsmomentlagen

Exempel på impulsmomentlagen för ett fordon med

fix krängaxel

Uppställande av rörelse-ekvationer för kOpplade

system

Uppställning av differentialekvationer på normalform

för lösning i digital dator

Referenser Sid 10 13 20 29 33 37 44 48

ABSTRACT

This report is an elementary presentation of the

basic methods from Classical mechanics that are most frequently used in modern papers dealing

with vehicle dynamics. Special emphasis has been

laid on the problem with several coupled rigid bodies and the numerical integration of the equan

tions of motion.

Equations are throughout written in vector- or

matrixform and reguire knowledge of elementary

Sammanfattning

Denna rapport utgör underlag till en föreläsnings-serie som gavs vid Statens väg- och trafikinstitut under våren 1975.

Avsikten med föreläsningarna var att från grunden gå igenom de metoder ur den klassiska mekaniken som vanligen används i moderna uppsatser om for-donsdynamik. Speciellt behandlas problemet med flera kopplade kroppar och den numeriska lösningen

av de erhållna rörelseekvationerna.

Ekvationerna är genomgående skrivna på vektor- och

matrisform och förutsätter kunskaper i elementär linjär algebra.

Förord

Materialet i denna rapport är hämtat från en föreläsningsserie,

som gavs vid Statens väg- och trafikinstitut under våren 1975.

Arbetet med att simulera fordonsrörelse med hjälp av datorer består i huvudsak av tre steg. Först måste man konstruera en

matematisk modell av den fysikaliska verkligheten. Alla model-ler innebär någon grad av förenkling och man får lita till

intuition och omdöme vid bedömningen av vilka egenskaper som är viktiga att inkludera i modellen för att kunna studera ett visst

förlOpp.

Det andra steget består i att matematiskt formulera de ekva-tioner, som bestämmer fordonets dynamik medan det tredje steget

innebär att lösa dessa ekvationer i analog eller digital dator.

Framställningen i denna rapport koncentreras till de två sist-nämnda faserna. Syftet med föreläsningarna var att från grunden

presentera den smala sektor av den klassiska mekaniken som är nödvändig att behärska vid fordonssimuleringar. För att undvika att rapporten blir alltför omfattande har tyngdpunkten lagts vid grundläggande mekaniska principer. Tunga

fordonskombinatio-ners dynamik har varit och är ett viktigt område för forskningen vid institutet. Dessa kombinationer består av flera ihOpkOpplade enheter vilket förklarar det utrymme som här ägnas åt analysen

av kopplade, stela kr0ppar.

Ekvationerna har genomgående skrivits på vektor- och

matris-form som brukligt är i nyare arbeten inom området fordons-dynamik. Härigenom får man tillgång till en mera systematisk och lättöverskådlig framställning som ger enkla uttryck för omfattande och komplicerade ekvationer. övergången från

vektor-form till komponenter följer enkla matematiska regler, vilket minskar risken för felräkningar och misstag av logisk-mekanisk

natur.

I kapitel 1 och 2 härleds på vanligt sätt kraft- och impuls-momentlagarna för stela kroppar utgående från Newton's lagar

Kapitel 3 behandlar uppdelningen av en kropps rörelse i dels translation och dels rotation.

Därefter visas i kapitel 4 att impulsmomentet för en kr0pp

vid rotation kring en punkt kan skrivas som en produkt mellan

tröghetstensorn och rotationsvektorn. Tröghetstensorns transla-tionsegenskaper beskrivs i parallellaxelsatsen som är en

generalisering av den välkända Steiners sats.

Hur en kr0pps läge i rummet är bestämd av en punkt och de tre

så kallade Eulervinklarna beskrivs i kapitel 5. Transformations-matriser mellan koordinatsystem och vektorers och Transformations-matrisers

transformationsegenskaper behandlas i detalj. Beteckningar

och koordinatsystemens placering överensstämmer i detta avsnitt

med SAE-standard (referens nr 8). Resultaten tillämpas på en modell med fix krängaxel, som använts vid VTI (referens nr

o

Kapitlen 6 och 7 innehåller ett schema för uppställande av

impulsmomentlagen för ett system av stela kr0ppar. Detta

tillämpas sedan på den tidigare nämnda modellen med fix kränga

axel. *

I kapitel 8 kommer de viktigaste tillämpningarna. Här upp-ställs rörelse-ekvationerna i kr0ppsfixa koordinatsystem, som

är den dominerade metoden för närvarande. Tvångsvillkor och frihetsgrader i kOpplingar mellan fordonsenheter diskuteras. En något bearbetad Mikulcik-modell (referens nr 3) analyseras och används som underlag för en diskussion i kapitel 9 om den numeriska behandlingen i digital dator.

Ett tidigare manuskript till denna rapport har för

författa-rens del tjänat som en lättåtkomlig formelsamling och

refe-rens. Det är författarens förhoppning att denna skrift ska kunna fylla den funktionen för övriga medarbetare vid institu-tet och åstadkomma en större enhetlighet beträffande orien-teringen av koordinatsystem samt beteckningar för impulsmoment och hastigheter.

Mekanikens grundlagar för en punktformig massa

För en masspunkt med massan m och hastigheten 5 definieras

parti-kelns impuls 5 genom sambandet

§=m$

(14)

och i ett inertialsystem skall då definitionsmässigt gälla

Newtons andra rörelselag

F:

Wo.

u _*ol-

(LZ)

där g är den totala kraften som påverkar partikeln. Ekvation

(1.2) kan skrivas som

_ _ 2_ -__d(m v) __ dv.: d r

där 5 är masspunktens ortsvektor.

*E H HI

Partikelns impulsmoment L kring punkten O definieras genom

5=?x5

(1A)

och momentet g från kraften F meap 0 genom

Multiplicera (1.3) vektoriellt med E

_ _ _

_er=rxm-§

az?

_(lj)

dt

och utnyttja deriveringsregeln för en produkt

Å(Exm§§)=å§xm§i+rxméâi

_{dt dt Ldt dtj dtz}

(l 7)

T

:6

så erhålles mrla (1.4) och (1.5) i (1.6)

-.._<_i_.-

d?

...i--J-N-dt(rxm-á-E)- tL-- L (1.8)

dvs impulsmomentlagen för en partikel

Mekanikens grundlagar för ett system av punktformiga massor

Låt oss studera ett system bestående av N st masspunkter med

massorna ml, m2 . . . . .., mN. Vi skiljer mellan yttre krafter som härrör sig från källor utanför systemet och inre krafter som kommer från partiklarnas ömsesidiga påverkan. För partikel 1 kan då ekvation (1.2) skrivas

j#i

där FÅY) är den yttre kraften på massan mi och ?ij är kraften

från partikel j på partikel i. Vi antar att de inre krafterna är parvis lika stor, motriktade och verkar längs linjen som sammanbinder partiklarna.

3.

Efter summation över alla partiklarna får ekvation (2.1)

for-men

?PM- 2 31.:: 111:.L ?1

(2.3)

1,3'

3 1

14:3'

och under antagandet (2.2) kommer de inre krafterna att parvis

ta ut varandra så att ekvation (2.3) kan skrivas

X Fi :Z mi ri=7-2-(Z mr ri) (2.4)

i i åt i

Men vektorn 5 till systemets tyngdpunkt definieras genom

.p å mi r. i mi ri i

och den yttre kraften ?(Y) verkande på systemet genom

?(y) ___ z -F-:i(y)

_(2.6)

i

Slutligen erhålles då motsvarigheten till ekvation (1.2) för

ett system av masspunkter

M E = ?(37)

(2.7)

som säger att systemets tyngdpunkt rör sig som en maSSpunkt under påverkan av resultanten till de yttre krafterna angriw pande i tyngdpunkten.

FW)

Vi skall nu försöka härleda motsvarigheten till ekvation (1.8)

för ett system av masspunkter. Den här gången låter vi dock

momentpunkten Q vara rörlig vilket ofta är fallet i tillämp-ningarna.

Impulsmcmentet :Qi från masspunkten i meap Q är

5 .==m.(?.-E01 l l Q) x (ri-EQ) (2.8)

där ?i och E är hastigheterna hos respektive punkter.

_Q

Precis som tidigare multiplicerar vi ekvation (2.1) vektoriellt

med ri - rQ

._ _... 2. = _. _... ._ _....

.-(r_i rQ)xrnr.₁ (ri rQ) (Fi -+(r. rQ) < 2 Fij (299)

och observerar att

=m.(r.-rQ)xr.-m.(r.-rQ)er (2.10)

Insättning av (2.10) i (2.9) ger

dei=G -_)xF(Y)+(-f -?)x 2-? -

_dt

_{1 rQ}

_i

_i

_Q

_{1 lj}

-jii

Efter summering över samtliga partiklar och införande av följande beteckningar

LCD-:å LQi (2.12)

-;

- ;-

'-W)

NQ-å (ri rQ)xFi (2.13)

får ekvation (2.11) följande utseende

d 0.

0:-0 - _-- _ _ -_ _ c

dt NQ M(R rQ)er+å â(ri rQ)xl§'i:.l (2.14) jåi

Under våra tidigare antaganden kommer den tredje termen i

ekvation (2.14) att försvinna, vilket inses genom följande

överläggning. Ur summan i (3.:J._-1:Q)xFij

jåi

väljer vi elementet (rv - rQ) x I?W

Men i summan kan vi också finna

(rv - rQ) x Fvu+ (ru - rQ) x Fuv=

= [(rv- rQ) - (ru- rQ)] vau=

= 5 -E)x§

_{v u vu}

:6

eftersom krafterna antogs verka längs linjen mellan punkterna

Således blir impulsmomentlagen för ett system av partiklar

kring en rörlig momentpunkt

_2:37 -M(§-'r' mi?

_(2.15)

och man kan omedelbart se följande viktiga specialfall:

l. Q är i vila eller har konstant hastighet till storlek och

riktning =e> 'EQ = 6

de __

_{dt :NQ}

(2.16)

2. Q är systemets (rörligal) tyngdpunkt==> EÖ==§

d

.._{. -á-Ef-NT}T_- _(2.17)

För övriga momentpunkter måste den sista termen 1 (2.15)

plockas med. Detta är speciellt viktigt i fordonsmodeller där punkten Q ofta väljes som origo i ett medföljande

koordi-natsystem. Man inser också vikten av att placera eventuella rörliga koordinatsystem i partikelsystemens (fordonsenheterna eller fjädrade resp ofjädrade massorna) tyngdpunkter, så att man slipper ifrån den tredje termen i (2.15).

De härledda lagarna gäller för ett ändligt antal punktmassor.

Genom att tänka sig en kropp som sammansatt av ett antal små

massor som approximativt kan anses som punktmassor erhålles

genom följande gränsövergång

m. + dm_i 2 -+ I 1 V

Hr q B :3 H < 8

9

ml u P M 3 HI ml u LQ=§mi(ri-rQ)x(ri-rQ LQ=å(r-rQ)x(r-rQ)dm

Som synes är inte uttrycket för EQ

och vi ska senare skriva om detta på en lämpligare form.

speciellt lätthanterligt

Ekvation (2.15) är det första steget vid uppställande av momentekvationerna för ett fordon eller fordonskombination.

Dessa ekvationer har ju vanligtvis en punkt (i Vårt fall Q) i själva fordonet omkring vilken impulsmomentet beräknas.

X, Y, Z landskapsfixt inertialsystem

X

Vill man nu beräkna impulsmomentet från en kr0pp maip en punkt Q kan följande härledning vara till hjälp.

Q

Q

Vektorn från Q till kroppens tyngdpunkt betecknas EQ och

vek-torn E' räknas från tyngdpunkten så att

75:13 +?'

_Q

Enligt definitionen är nu LQ=\J; rxr dm=$(r +RQ)x(r +RQ)dm= ' dm

m-

+ ?'>< + :3 < * w < * s HI ml \

å

pul

-x mh % + ml <: ka x ml x ml X +

Q

Q

I \ D.. 3 II

Q

Q

s_<= ' dm (2.18) H b 'X I

)+f

Q QV

där Vi utnyttjat att E' räknas från tyngdpunkten genom

<

ñ HI \

å

u 0!

'6='ö

g

_ _HI \

å

_II

å({7r-'dm)=åg

Ekvation (2.18) säger uttryckt i ord att krOppens impulsmoment kring Q är sammansatt av impulsmomentet från en punktmassa i tyngdpunkten plus impulsmomentet från kroppens rörelse kring tyngdpunkten. Uppdelningen av rörelsen enligt ekvation (2.18) är normalt fördelaktig eftersom en fast krOpps rörelse, omkring sin tyngdpunkt vanligen är en rotationsrörelse. I våra

tillämp-ningar kan ekvation (2.18) användas på den fjädrade respektive ofjädrade massorna varefter impulsmomenten adderas och sätts in

i ekvation (2.15). Det enda återstående problemet är en mera lättillgänglig form på uttrycket

f V

i (2.18) vid rotationsrörelse kring tyngdpunkten och att lösa detta är syftet med kapitel 3.

10.

Rörelsen hos ett stelt system

Betrakta två rätvinkliga koordinatsystem (Qx y 2) och (Q'x'y'z') som rör sig relativt varandra

Definition: Om (vid en viss tidpunkt) alla punkter i (Q'x'y'z')

har en och samma hastighet säges systemet ha translationsrörelse

(vid tidpunkten i fråga).

Resultatet av en translationsrörelse är en parallellförflyttning alla punkter i systemet beskriver kongruenta banor, som dock

inte behöver vara räta linjer.

Definition: Om punkterna på en viss rät linje i (Q'x'y'z') har hastigheten noll säges systemet ha rotationsrörelse. Linjen

kallas rotationsaxel.

Eftersom rotationsaxelns läge kan variera från en tidpunkt till

en annan kallas den ofta momentan axel.

Rotationsrörelsen karakteriseras genom en rotationsvektor 5(t) som är bestämd genom

l. storleken IEI

2. sammanfaller med rotationsaxeln

ll.

Under tiden At förflyttar sig punkten med ortsvektorn E till

punkten F + AF pçga rotationen. Punkten har således hastigheten

v=lim alá-:1:a lim LM_At Men _ . A .

Iw|=lm ligg-1= ot

och'

a= IEI sin (23, 3.:)

så att

v= Ir] IEI sin (23, 3?)

Vidare är hastighetsvektorn.l E och E och orienterad i

inskjut-ningsriktningen av en högergängad skruv vid vridning E- Y. Men

detta överensstämmer precis med definitionen av vektoriell

pro-dukt så att

Om en viss punkt i (Q'X'y'z') ligger stilla under rörelsen säges

systemet ha sfärisk rörelse map denna punkt. Övriga punkter är då bundna att röra sig på koncentriska sfären. Det gäller emel-lertid följande sats (Euler):

12.

En godtycklig sfärisk rörelse kan momentant framställas som en rotationsrörelse kring den fixa punkten

Härav kan man dra följande slutsats:

En stel krOpps allmänna rörelse kan uppdelas i en

translations-rörelse och en rotationstranslations-rörelse

Bevis: Välj nämligen en godtycklig punkt Q 1 kröppen till redukw tionspunkt. Denna har hastigheten V.. Kroppen utför sfärisk

rö-Q

relse runt Q och kan enligt föregående sats framställas som en

rotationsrörelse EQ_ kring en momentanaxel genom Q. Detta be-visar satsen.

Man kan även visa att rotationshastigheten är oberoende av m0-' mentpunkten medan däremot translationshastigheten varierar. En allmän punkt P i kroppen med ortsvektorn E relativt Q har hastig-heten

V=VQ+waq

Eftersom Q är godtycklig inses att uppdelningen kan göras på

ett godtyckligt antal sätt. För en annan reduktionspunkt Ql blir hastigheten hos P

6=??

_Ql

+75

_C21

x (Ej-Ei)

₁

(3.3)

V 25

-Q _Y m_Ql P

<3'

__ ....

g'ql

Q

'oil

Ql

(3.2) och (3.3) ger < F _{:VQ+wQ.Xq=le+lex (q-ql)}

°°

_r

§'-?

_{Q Q1}

+5

_Q1

xE =(U

_{1 Q1}

-U)x§

_{Q (3.4)} konstant konstant.'variabel

13.

Då P är en variabel punkt skall (3.4) gälla för alla 5 vilket endast är möjligt om

E'

_Q

-25 :6"

_Q 1 _(3.5) Il _El =w .0 Cd

Ql

Q

V

01

.

0

+xâ'

El

1

(3.6)

(3.5) säger att rotationshastigheten är oberoende av

reduktions-ll _<|

punkt medan (3,6) anger hur translationshastigheten varierar

med valet av reduktionspunkt.

Impulsmomentet hos en stel kropp vid rotation kring en fix punkt

Efter Överläggningarna i kapitel 3 och härledningen av (2.18) inses att det är tillräckligt att studera uttrycket för

impuls-momentet vid rotation kring en fix punkt. Denna antages dock ej nödvändigtvis vara tyngdpunkten.

Impulsmomentet map 0 är

'5=

Ex? dm

(4.1)

< 8 Men enligt (3.1) är '5='m'x'f

och således kan (4.1) skrivas

E=I'fx(6x'f)dm (4.2)

14.

Vi skall nu utnyttja följande vektorlikhet

al):(azzca3)==a2(al-a3)-a3(aløa2? (4.3)

så att (4.2) övergår i

5=!" 755-?) -E-TEJD dm

(4.4)

V

Om vi nu för första gången inför ett koordinatsystem (Oxyz) med origo i 0 och anger vektorernas komponenter relativt

detta_med

w x L _ x _ _ x

m: m_Y r= _Y L= L_{y (}4.5₎ m2 z Lz

kan impulsmomentets komponenter skrivas

2 2

_ 2 _ : ..

Lx-wxébc +y +Z )dm

éxkxwx+ywy+zwz)dm-_ "

2

2

g

- wxj'(y 4-2 )dm-vw J'xy om-wzj'xz dm (4.6)

v

Y\I

v

*

med motsvarande uttryck för de övriga komponenterna. Man

brukar införa beteckningarna

L ==I mx4-I wy+-I w .

L =I wx+I wy+I w _ (4.7)

x

xx

xy

xz

K

L

_y

=

I

_yx

I

_yy

_yz

_my

₍

4.8

₎

Lz

I

I

1

m2

eller kortare E==I E _ (4.9)

15.

där I brukar kallas tröghetstensorn. Det är önskvärt att

kunna uttrycka I med vektorer direkt utan att behöva gå omvägen

över komponentuppdelning enligt (4.5)-(4.9). För den skull

måste uttrycket

'5 65.25)

(4.10)

i (4.4) skrivas om. Detta är möjligt om vi i stället för

skalärprodukten E-G inför en matris-multiplikation

35.25: sta:

där "t" står för transponering av kolonnvektcrn E tolkad som

en nxl matris (n rader, l kolonn) dvs x

E: ?t=(xyz)

z

Sålunda kan (4.10) skrivas

?(16) =E<Eta3> = (E'Et) 25

(4.11)

där vi i sista ledet utnyttjat att matrismultiplikation

är associativ.

OBS!

E ?t är en matrismultiplikation och blir

x

x2 xy xz

" *t___{r r - y (xyrz)-}_ _{yx y}2 _{yz (4.12)}

2 _{zx zy 2}2

Med hjälp av (4.11) kan nu (4.4) skrivas

16.

där E betecknas enhetsmatrisen

l 0 0

E== 0 l 0

0 0 1

som har egenskapen att

EE=U

Jämförelsen av (4.13) och (4.9) ger slutligen

I=I(IEIZE-?Ft

dm

(4.14)

v

Av ekvation (4.6) kan vi dra flera slutsatser.

Tröghets-tensorn är vanligen inte konstant om kr0ppen roterar relativt

koordinatsystemet. För den skull brukar man vanligen införa

kr0ppsfixa koordinatsystem.

Vidare är

xy yx' xz zx' Iyz==Izy (4°15)

så att I är allmänt en symmetrisk matris.

Om nu exempelvis xz-planet är symmetriplan till krOppen blir

I_xy =- fxy dm=0_V

IYZ=- X1; yz dm=0 2 (4.16)

X

För bilen ovan är xz-planet symmetriplan och enligt (4.15)

17.

Parallellaxelteoremet

Denna sats uttrycket tröghetstensorn relativt en godtycklig

punkt 0 med hjälp av tröghetstensorn relativt ett

axel-parallellt system medorigo i krOppens tyngdpunkt G.

Z G y'

'5.:'

ä'

-

1'

y

X» 0 X

E=§+E'

IO=J(('E-'r' B-"r' Et dm=f(('§+'f

-(§+'f'»s-V V

-(R+E' (§t+?'t dm=r((r* r E- "'t dm+

V

+((R-'R7)E-R låt) 1' dm+ (ii-I E'dm)E+

((f'f'dm)-§)E-V V V

--..

--t - _..t

--

--t

-IrdmR -..J'r dm=IG+M((R-R)E-RR) (4.16)

V V

Exempel: Beräkna tröghetstensorn relativt (Oxyz) av en

Tyngdpunktens ortsvektor

18.

Lösning: Vi beräknar först tröghetstensorn relativt ett

axel-parallellt koordinatsystem (G x'y'z') med origo 1 G. Samtliga koordinatplan är symmetriplan så att

där där och på Använd och Ix,x, 0 0 I = 0 I - , 0 G Y Y 0 0 12-2, 2 2 b/2 a/2 c/2 2

Ix-x,==f y' -Fz' dm== f dx' f dy' f dz'(y' +2

V -b/Z -a/2 -c/2 p=tätheten p a b c==m I =m(a2+c2) x'x' 12 motsvarande sätt- ,

I

=m(b2+c2)

y'y' 12

I

_____m(a2+b2)

z'z' 12 sedan (4.16) där M 1 0 »0 -«- __ 2 2 2 (R-R)E-(xo4-yO4-zo) 0 l 0 0 0 1 x₀ x2_o x_<3Yo x_{<3 0} -._t__ _ 2

R R _

Yo

(X0 yo zo) _

yo xo

Yo

Yo 2o

z_o 2 ;c_{<3 0} 2_cayo 22_o

19.

Således

2 2

y +z xoyo xozo

-- --t_ __ 2 2 _

(R R)E RR - yoxO xo+zo yozo

--2 x_{0 o} -2 y_o X2+y2_{o 0} och slutligen

2 2

a +c 2 2

12

+Yo+z

xo Yc>

_xo 2o

2 2

__i __ b +c 2 _

IO-m yo xo 12 +xo+z yo zo

2 2

a +b 2

20.

Ortogonala transformationer. Eulervinklar

I kapitel 4 kunde vi konstatera att vår omskrivning (4.9) av impulsmomentet för en fast kropp vid rotation kring en fix punkt var av tvivelaktigt värde eftersom tröghetstensorn va-rierar med rotationen. Det är emellertid möjligt att ge expli-cita formler för denna variation och att uttrycka dessa är

syftet med detta kapitel.

Låt oss till att börja med studera hur en kroPps läge i rummet , kan anges. För en fullständig beskrivning krävs 6 st oberoende variabler och man brukar vanligen välja

l. 3 koordinater (GX, G , Gz) för en vald punkt G i krOppen Y

2. 2 vinklar (w, 6) som bestämmer riktningen av vald axel

. 0

GA i kroppen

3. l vinkel (o) som bestämmer krOppens vridning kring GA

Om vi i stället inför ett kroppsfixt koordinatsystem kan kroppens läge bestämmas dels genom en translation och dels genom ett antal vridningar w, 6 och m omkring noga specifi-cerade axlar (se figurer).

21.

Observera att ordningen mellan vridningarna är viktig, ty betrakta följande fall där x,y,z är ett kroppsfixt system

22

z

_1/

_Y

/' l

-

_y

x

_l

₂

0 | x

Utgångsläge Roterad 90 runt Roterad 90O

z-axeln runt y-axeln

Kastar vi om ordningen mellan rotationerna blir kr0ppens läge helt annorlunda

Y

"_""' * x

y

///

y

/

x z 2

Utgångsläge Roterad 90o runt Roterad 90O

runt z-axeln y-axeln

Av tidigare figurer framgår att vid Övergång från låt oss säga (')-systemet till (")-systemet göres detta genom en vridning

w runt den gemensamma z-axeln. Vi skall nu beräkna en given

vektors komponenter i de två systemen. I planet gäller då

23.

a ..==a , coX sw -+a -y Sinw'

a -.==-ax.sinW+-ay' cosw (5.1)

a-..==a._{Z Z}

vilket skrivet på matrisform blir

ax.. cosw Sinw 0 ax.

a ..

_Y

= -sin

_w

cos

_w

0 a ,

_y

_<

5.2

₎

az.. O 0 l az,

eller kortare

(5)"=A (3)'

(5.3)

Detta skall utläsas som att vektorn 5:5 komponenter i ('

)-systemet erhålles genom matrismultiplikation mellan matrisen

A och 5:5 komponenter i ( )-systemet.

Motsvarande relationet för de övriga systemen är

a s.._x 0036 0 -sine a .-_{x ,}

fa .ø. = 0 l 0 ay.- (5.4) azsa. sine O cose az-,

dvs

('â')

= B (E)

ax l 0 O ax ,

a = 0 cosø sinø ay-m. (5.7)

az O -Sino cosø az,m.

dvs

(22?) = CCS) "'

A, B och C är så kallade ortogonala matriser dvs de är

kvadra-tiska och uppfyller

124. Vi sammanfattar några välkända egenskaper hos ortogonala

matriser i följande sats som ej bevisas

Sats: (i) Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att

den kvadratiska matrisen P skall vara ortogonal är att P:s kolonnvektorer är normerade och par-vis ortogonala

(ii) Om P är ortogonal så existerar P'-1 och P-l==Pt (iii) Om P är ortogonal så är också Pt ortogonal

(iv) Om P och Q är ortogonala av samma tYP: så är

produkten PQ också ortogonal.

AV satsen framgår att vi även har följande samband mellan systemen

.4 = .to

(5)

= st (5)

(3) = ct('å')

(5.10)

och genom en sammansättning av transformationerna (5.3), (5.6)

och (5.8)

(3) =c('á' "'=c B(ä "=c B A('â')*

(5.11)

Satsen ger nu att matrisen

T==C B A

är ortogonal med inversen

T'1=Tt= (CBA)t=At Bt c:t

så att

25.

Komponenterna av vektorn a i det (')-systemet erhålles genom t

multiplikation mellan matrisen T

och vektorn 5 uttryckt med

sina komponenter i det kr0ppsfixa systemet.

Detta är i själva verket den nyckel vi behöver för att kunna ange tröghetstensorns transformationsegenskaper ty antag att impulsmomentet är

'12:16

i det kroPpsfixa systemet och transformera denna vektor i

till ( )-systemet genom

(E)'=Tt(IES)=TtITTtG= TtIT(U)'

(5.13)

Men

(f)'==(I)'(U)' och således är

(I '=Tt.IT

(5.14)

vilket anger hur tröghetstensorn relativt det kroppsfixa systemet transformeras till (')-systemet.

Nu är I en reell symmetrisk matris och enligt en välkänd sats existerar då en ortogonal matris Q så att

QtIQ=D

är diagonal dvs elementen utanför diagonalen är noll. Matrisen Q kan emellertid i analogi med (5.14) tolkas som en transfor-mationsmatris till ett nytt koordinatsystem relativt vilket tröghetstensorns samtliga element utanför huvuddiagonalen är noll. Ett sådant axelsystem kallas huvudtröghetsaxlar.

ExemEel: I en vid VTI framtagen fordonsmodell förutsätts exi-stensen av en krängaxel och i modellen är inlagd ett koordinat-system (G xyz) enligt figur

26.

K

M

För $=0 sammanfaller G och fordonets tyngdpunkt. Uppgiften är att söka fjädrade massans tröghetstensor maip systemet (nyz). Lösning: Lägg in två krängande koordinatsystem (G'xlylzl)och

27.

Tröghetstensorn relativt (G' xl yl zl) antages vara

Il

0

0

(I)l=

o

12

0

0

0

3:3

och

Xo

E:

0

2'0

i ( 2)--systemet.

Parallellaxelsatsen ger nu I i (2)-systemet

(I)2= (I)l+m'((§-§)E-§ ät)

(5.15)

och transformationsmatrisen mellan (G x2 y2 22)- och

(G xyz)-systemen ges av

A = 0 0054) -sincb 0 sin$ cosø

så att

<E =At<:-' 2

Således blir enligt (5.14)

t

I=A (I)2A (5.16)

28. 2 I J Il-i-zO m xO 20 m _ 2 2 , (I)2- O 12-+(xO-+zo)m O . 2 -xO 20 m 0 IB-FXO m

och (5.16) blir slutligen efter en del räkning

Il+m 20 -m xozosino m xozO coso

_ o 2 2 . 2 p 2 , 2 o

I- - (I2+m zO)cos $+I351n ø+m xC (Iz-I3+m zo)cos$31no

, 2 . 2 2 , 2

- - (12+m zo)51n $+13cos $+m xO

där endast elementen på och ovanför diagonalen är utskrivna, eftersom I är symmetrisk.

29.

Uppställande av impulsmomentlagen

I och med överläggningarna i kapitel 5 har vi nu tillgång till

de verktyg som krävs för beskrivandet av rörelsen hos ett

system av fasta krOppar. Gången blir sålunda:

l. Fastlägg ett landskapsfixt koordinatsystem (0 X Y Z).

2. Välj en punkt Q i systemet av fasta kr0ppar så att deras

rörelse relativt Q är enkel att beskriva.

3. Inför ett koordinatsystem (Q x'y'z ) med origo i Q och

axlarna parallella med landskapssystemet.

KJ,

hå_

H

4. Ställ upp ekvation (2.15) för systemet

EQ_

___3_

2 _{m 1}

T

_i*

Y

2

_sl

I

/

R1

x

zé - "'" "" "" ;y' Q *\ \\ \» \\ x' §5x

och ett med detta axelparallellt system (Q xyz). Bestäm transw

formationsmatrisen T mellan (Q x'y'z')- och (Q<xyz)-systemen

så att

(5) =T(â' '

eller

(5) * = 'rt (5)

Vi förutsätter att krOppens tröghetstensor IGl är känd i det

kroppsfixa (Gl xyz)-systemet. Det är då möjligt att beräkna IQ i (Q xyz)-systemet med hjälp av parallellaxeltéoremet.

Denna tensor går att transformera till (Q x'y'z')systemet genom sambandet

Det är nu möjligt att beräkna kroppens impulsmoment med av-seende på punkten Q genom formeln (4.9)

'5:125

Nödvändigtêhratt I och 6 är uttryckta i samma koordinatsystem.

I det här fallet kan vi först anta att kr0ppens rotations-hastighet (U)' kring Q är känd i (Q x y z')-systemet. Då blir

impulsmomentet i samma system

31.

Om rotationsvektorn E däremot är uttryckt i (Q xyz)-systemet

gäller givetvis att

?5=T(75 '

och

:125

lQ

Q

t"l

och efter transformation

)=TtI ZS

._ a.ll-I='t°_._.

(LlQ)

T (LlQ

Q

Om någon av krOpparna, säg m2, även har translationshastighet

relativt Q, kan man tillgripa ekvation (2.18)

däri2G står för kroppens impulsmoment meap sin egen tyngd-punkt, vilket blir en rotation och kan behandlas som tidigare. Bilda

f :ff

_Q

_lQ

+33

_2Q

och sätt in i ekvation (6.1). Yttre momentet EQ skall

givet-vis också vara angivet i (Q x'y'z )-systemet.

di?

...Q

_dt

eftersom 19 x'y'z')-systemet har axlarna

OBS! Vid deriveringen är det bara att derivera varje

komponent av EQ

parallella med det landskapsfixa systemet. Ofta brukar man dock räkna i ett koordinatsystem som roterar med, låt oss säga

32.

vinkelhastigheten 50. Då måste en korrektionsterm till enligt enligt följande härledning:

Antag att koordinatsystemet (O xl yl zl) roterar med vinkelhös

tigheten GO

angivna i (0 xl yl zl)-systemet.

f:L

_xl

â +L

_{l yl}

y +L

_{1 21}

â

₁ Då ar

f==i

_X1

2 Å=L

_{1 xl}

å +-i

_{l yl}

§ .+

₁ + LYl 914-Lzl zlé-Lzlzl

i;1:250 x §1

Zl=Lü0 X Z:L

och således blir

L

_X1

å -FL

_{1 l}

§ -FL

_{1 21* l}

å ==

=TJx<L

_{0 X1}

§+L

_{1 yl}

y+L

_{1 21}

ê)=23xi

_{l 0}

Inför vi beteckningen

af_-

A

-

0

A

_SE-LX xl+L

Yl+Lz

Zl

. Antag att vi har en vektor i med komponenterna

(6.2)

(6.3)

(6.5)

(6.6)

skrivas

(6.7)

33.

Vid uppställandet av en fordonsmodell är det således en god

regel att för varje infört koordinatsystem ange

koordinat-systemets rotationsvektor så att denna finns tillgänglig vid

deriveringar i stil med (6.7). Vi skall i nästa avsnitt som tillämpning av ovanstående uppställa impulsmomentekvationen

för fordonet i exempel på sid 25-28.

Exempel på impulsmomentlagen för ett fordon med fix

krängaxel

Fordonet antages ha stela hjul och rör sig i XY-planet i ett landskapsfixt system (OXYZ). Vi inför ett translaterat system

(G x y z') med axlarna parallella med (OXYZ).

A Y

AY

X w 1 Ä>Xl G

rG

>X

34. AZ m0; Az -U '4 JJ

35.

Girvinkeln betecknas w och systemet (G xyz) roterar således

med rotationshastigheten

0

?3=

0

(7.1)

m

där 5 har komponenterna angivna 1 (G xyz).

Vi skall nu följa uppställningen i kapitel 6. l. Redan klart!

2. Välj punkten G som Q.

3. Klart med systemet (G xyz). 4. Ställ upp.

:TG __

_

__

2_

mE-:NG- (m +m ) RCerG (7.2)

där Eb är yttre kraftmoment mezp G, äéG är vektorn från G

till fordonets tyngdpunkt och ?d är punkten G:s acceleration.

4

Elementär vektorräkning ger att

0

--

_CG

m

_{m Slnø}

.

_(7.3) l - cosø 1 (G xyz)-systemet. Vi ansätter Vx rG== Vy ' (7.4)

36. och vi erhåller rG= Vy +wer=

-uéz coso-uösino

vx - vyw

=

vy+vx1L

(7.5)

-uåz ooso-uösino

Den fjädrade massan har enbart rotationsrörelse kring G med rotationshastigheten J w: ₀ -9 4

(7.6)

' 6 0

så att bidraget i' från fjädrade massan till impulsmomentet

G är

LG=Iw (7J)

med I givet av uttrycket på sidan 28.

Den ofjädrade massan har både translations- och

rotations-hastighet relativt G. Vi tillgriper då ekvation (2.18) enligt

sid 31 och använder den ofjädrade massans tyngdpunkt som reduktionspunkt.

_op = 40 _.øø ;aa + _44

LG m (r <r ) L

Den ofjädrade massans tyngdpunkt har ortsvektorn -(f - f)

5": u sind) (7.8)

l

-u cos@-+u'

1 (G xyz)-systemet. Tyngdpunktens hastighet relativt G

blir nu

0 -uá sin$

+'m'x'f"=

uåacoså; +

-(f - f)xI

(7.9)

37.

Vi antar att tröghetstensorn 1"' relativt ett koordinatsystem

med origo i ofjädrade massans tyngdpunkt och axlarna parallella

med (G xyz) är

11

0

0

I^'=

0

13'

0

(7.10)

0

0

:3

Då blir "fl" =I" 637 (7.11)

Mha (7.8), (7.9), (7.10) och (7.11) kan nu få' uttryckas med

sina komponenter i (G xyz)-systemet.

Slutligen bildas

som insättes i (7.2). Härvid beaktas att G__ G -

-_TT-Tñrå-wåiLG

eftersom EG har sina komponenter angivna i det roterande sys-temet (G xyz). Slututtrycket blir mycket stort och anges ej här. Uppställande av rörelse-ekvationer för kOpplade system

Beräkningarna i kapitel 7 är i själva verket en analys av dyna-miken hos ett system av två krOppar förbundna med en kOppling

(den fixa krängaxeln). Vi betraktade därvid fordonet som en

enhet genom att införa ett medföljande koordinatsystem vars origo valdes till momentpunkt.

38.

En mera generell metod är att införa kr0ppsfixa koordinatsystem med sina origon i delkr0pparnas tyngdpunkter. Rörelselagarna uppställes sedan map dessa tyngdpunkter för var och en av

del-kr0pparna, varvid ekvationerna får den enkla formen (2.7) och

(2.17). För varje delkr0pp erhålles således 3-+3==6 ekvationer.

Om vi nöjer oss med att betrakta två k0pplade kroppar erhålles således 12 skalära ekvationer.

Om nu krOpparna är förbundna med en mekanisk led med N

frihets-grader, får vi 6-N skalära s k tvångsekvationer.

Exempel : °\

raw-1,'\

KUlled: N=3 Vändskiva : N=2

Vidare kan man ställa upp N ekvationer som anger samband mellan kopplingskrafter och moment samt de N variablerna.

Till slut ger jämvikt mellan krafter och moment i kOpplingen

6 ekvationer

Totalt: Rörelseekvationer 12

Jämvikt mellan kOpplingskrafter 6

Tvångsvillkor . 6-N

Samband mellan frihetsgrader

i kopplingen N

24 I dessa ekvationer ingår följande variabler

Koordinater som bestämmer

kropparnas läge 12

Krafter och moment i

kOpplingen 12

39.

Trots att vi infört l2 koordinater i problemet har systemet

endast 6 frihetsgrader för den första kroppen + N frihetsgra-der i kopplingen dvs totalt 6+N frihetsgrafrihetsgra-der. Det är viktigt

att välja riktigt antal och lämpliga variabler för sitt system och att eliminera överflödiga variabler ur de 24 ekvationerna.

Detta kan göras för hand eller utföras i datamaskinen. Sist-nämnda alternativ har den nackdelen att ett stort linjärt

ek-vationssystem måste lösas en eller flera gånger under varje

tidssteg vid integrationen. Detta är mycket tidskrävande och kräver stor noggrannhet hos maskinen. Ofta brukar man gå en

medelväg (VTI 1972) men exempel på ytterligheter finns även:

Mikulcik (1968), som eliminerar samtliga överflödiga variabler och Shapley (1972), som låter maskinen utföra all elimination. Låt oss betrakta ett konkret exempel som är en bearbetad

va-riant av Mukulcik's arbete (1968). I dragfordonets och

påhängs-vagnens fjädrade massor inför vi koordinatsystem enligt avsnitt

5. Påhängsvagnens system betecknas med index "s".

KOpplingen mellan dragfordon och påhängsvagn antas för

enkel-hets skull bestå av en kulled

istället för en normal vändskiva

40.

De yttre krafter och moment, som verkar på enheternas fjädrade' massor, består av fjädringskrafter, luftkrafter, tyngdkraften och kOpplingskrafter. I fortsättningen görs en uppdelning i

dels kopplingskrafter få, HK och övriga yttre krafter f och i

som indiceras med "t" eller "g" beroende på enhet. Betecknar

vi dragbilens massa med mt och dess tyngdpunktshastighet i

det krOppsfixa systemet (G xyz) u

Vt== (8.1)

w

så blir kraftekvationen för dragbilens fjädrade massa

m-g-V=-f. +35'

_{t dt t tK t}

(82)

_'

där vi antagit att komponenterna är angivna i (G

xyz)-systemet. Detta kroPpsfixa system roterar med

vinkelhastig-heten

5:11» 2" +ê §m+á> 52

(8.3)

som skall skrivas i det kroppSfixa systemet (G xyz) och då

blir

0 _'U

5:5;

0

+êc

1

bas

«0

=

(8.4)

H

Q

Tidsderiveringen i (8.2) görs enligt avsnitt 6, så att

d ' -.

.EL

" *

..

mt 'JE Vt'mt (St vt+wxvt '

ü4-qw-rv

=mt v+ru-pw =ftK+ft (8.5)

Wá-pv-qu

Integration av (8.5) ger u, v och w som är hastighetskompo-nenterna i det kroppsfixa systemet. Tyngdpunktens koordinater i det landskapsfixa systemet erhålles genom integration av komponenterna i detta system.

41.

i:

u

i:

:At Bt <2't

v

(8.6)

å

w

där explicita uttryck för A, B och C kan återfinnas i avsnitt 5.

Impulsmomentlagen uppställes på ett likartat sätt i det kr0pps-fixa systemet, där tröghetstensorn It är konstant och

förut-sätts vara känd. Alltså gäller att

M = th+mt

d "EE (I_t

där vänsterledet kan utvecklas enligt

d

- ..__

- -

- ._

-ä-E (It (ul-(St (It m+mxIt

m)--

_âê -

-_

-It

öt+watm-;3

=It q +mxItjm=th+mt ) i (8.7)

r

Precis samma ekvationer kan ställas upp för påhängsvagnens fjädrade massa med följande resultat

ü -+_{s qs ws} -r_{s Vs}

m vs+rs LIS-ps ws :sz-i-f (8.8)

ps

IS qs +4»sts w$=msK+ms (8.9)

i

₅

Ett närmare studium av ekvationerna (8,5), (8.7), (8.8) och (8.9) visar att tidsderivatorna relativt enkelt kan lösas ut som funktion av övriga variabler (i (8.5) och (8.8) är detta

redan klart och i (8.7) och (8.9) är det högst fråga om

variab-42.

ler oberoende av varandra eftersom det existerar en k0ppling mellan massorna. Detta villkor kan uttryckas analytiskt på

följande sätt. Låt dragbilens och påhängsvagnens kroppsfixa

system sammanfalla med de landskapsfixa vid tiden t==0.

Vek-torn mellan tyngdpunkterna betecknas då med 5. Under

rörelse-förloppet kommer tyngdpunkterna att förflyttas till lägen som bestäms av vektorerna ?S och Et. Enheterna hänger fortfarande

ihop i kOpplingsPunkten K som har konstanta ortsvektorer rsK

och E

_tK

i respektive kr0ppsfixt system.

x Y

Y

Z

K0pplingspunkten K kan nås via två vägar från Gs

'5 +17 =E+E +E

_{5 SK t tK}

(8.10)

För att få sambanden mellan variablernas derivator måste

(8.10) deriveras två gånger.

43.

) (8.12)

Här ska V och v utvecklas enligt (8.5) och (8.8).

_{s_'t}

Kulleden har för övrigt N==3 frihetsgrader och fullt

följd-riktigt representerar (8.12) 6-N==3 ekvationer.

Vad vi tidigare kallade "samband mellan frihetsgrader i k0pp-lingen" skall då utgöra 3 ekvationer och dessa kan exempelvis

vara att de överförda momenten i de tre tillåtna riktningarna är noll eller prOportionella mot

vridnings-vinklarna.

Härutöver tillkommer samband mellan kopplingskrafter och

moment enligt lagen om verkan och motverkan. Om dessa har sina komponenter angivna i respektive kr0ppsfixa system blir ekva» tionerna

t t t - t t t

__-A B C ftK-l-As Bs Cs sz-O t t t - t t t - __-_A B C thá-As Bs Bs msK-O

Av skäl som närmare redovisas i avsnitt 9 är det önskvärt skriva derivatorna som explicita funktioner av variablerna. Detta kan vara synnerligen besvärligt att göra då systemet

innehåller villkor av typ (8.12). Detta är den fundamentala svårigheten vid behandlingen av k0pplade enheter och som är

orsaken till de långa körtider som brukar redovisas i littera-turen för dessa typer av simuleringar.

Det är värt att notera att vi hittills endast behandlat de ofjädrade massorna. För att hålla antalet ekvationer nere bru-kar man anta masslösa ofjädrade massor men ofrånkomligt är

att bilda någon slags modell av fjädersystemet så att krafterna

och momenten från detta är känt som funktion av den fjädrade massans läge och ev. rörelse. Detta ligger dock utanför ramen av denna framställning och intresserade hänvisas till original-uppsatser. En fullständig fordonsmodell, som analyserats med

44.

Uppställning av differentialekvationer på normalform för

lösning i digital dator

I litteraturen och i programbibliotek finns ett flertal numem

riska metoder angivna för att lösa begynnelsevärdesproblem av

tYp

§='f(t, i?)

(9.1)

där f är en vektorvärd funktion av vektorn § och tiden t.

y betecknar tidsderivatan av ?Q Dessa metoder bygger på att

man med kännedom om §:s värde vid tiden t kan uppskatta värdet

av v vid tiden t-*At med hjälp av derivatans värde enligt (9.1).

Detta kan ske på ett mer eller mindre raffinerat sätt och därmed växlande noggrannhet. Viktigt är att tidssteget At väljes väsent-ligt kortare än den kortaste perioden för svängningarna bland lösningarna. Flera metoder använder variabel steglängd med rela-tivt lång steglängd då lösningsändringen är liten från ett tids-steg till ett annat, medan tids-steglängden minskas vid stora fluk- '

tuationer. De ekvationer som vi ställt upp i kapitel 8 passar

inte omedelbart in i mönstret i föregående stycke, eftersom de utgör ett system av andra ordningens differentialekvationer. Av våra variabler (tre rumskoord. och tre vinkelkoord. per enhet) skall endast nio (==antalet frihetsgrader för systemet) integreras och dessutom har vi infört tolv kOpplingskrafter och moment. Man kan dock observera att (8.5), (8.7), (8.8), (8.9),

(8.12),jämviktsekvationerna i kopplingen och samband mellan

frihetsgrader och k0pplingskrafter utgör ett linjärt ekvations-system i variablernas andraderivator och k0pplingskrafterna.

Låter vi Et, Es, ät och 55 beteckna rums- och vinkelvariablerna

för dragbilen (==index t för "truck") respektive påhängsvagnen (==index 5 för "semitrailer") kan ekvationssystemet tecknas på

45. D l zc xh HI: IG QI: ll ml

8

(9.2)

tK

.. .h Bi_tK ml_SK EI_sK

Har star ftK,th szcxülmstör krafterna och momenten i k0pp-lingen.

Här är Q en 24 <24 matris och § en 24-dimensionell vektor.

Både.Q och F är funktioner av samtliga rums- och

vinkelvariab-ler och dessas förstaderivator men gi av andraderivatorna elvinkelvariab-ler

kopplingskrafterna.

å

'

Nästa steg blir att skriva (9.2) som ett system av första

ordningens differentialekvationer och detta kan göras genom

följande konstgrepp:

Hi

-Inför ?t =

_.t

?säs

§t=aft

?8:55 så att _

§t=çt

?så

_gtzêt

'é' =a

46. Då kan (9.2) skrivas

:21

-

m-Hl

-rn

.

f-*u RH *<l 01 C1 ' (9.3) m c+ u IM _rr 0 C) ml -ki lo *< 1-nu rf MI m i o Wi 8tK mlSK J N

Som överflödiga variabler, vilka ej skall integreras fram utan

_ bestämmes genom tvångsvillkoren, väljes lämpLigen Es. Därför

måste Es, ?S och §8 (==ES) elimineras ur (9.3). En väg att gå

är att, om de oberoende variablerna r , at, as, yt, Bt, Bs integrerats fram vid tiden t, med tvångsvillkoren (8.7) och

(8.8) bestämma ?S och §5 och därefter beräkna numeriska värden

på matrisen i V.L. och vektorn i H.L. i ekvation (9.3). Genom

att därefter lösa det linjära ekvationssystemet

47

erhålles numeriska värden på samtliga derivator och

kopplings-krafter. Genom någon lämplig algoritm kan då värdena vid tiden t-rAt för de oberoende variablerna beräknas och genom tvångsw villkoren även de Övriga variablerna. Processen kan sedan

fort-sättas iterativt.

Observera att lösandet av (9.4) måste ske (minstl) en gång per

tidssteg och eftersom denna Operation är mycket tidskrävande

har stor möda lagts ner av olika författare på just denna punkt,

alltifrån rutiner skrivna för en enda speciell matris Q till mekaniskt-matematiskt osunda knep för att kringgå hela

svårig-heten. Detta bör man se upp medhos författare, som anför

orimligt små körkostnader i relation till vad programmet utlovas

ta hänsyn till (Eshleman, 1972).

De ekvationer, som orsakar mest bekymmer vid lösandet av

ekva-tionssystemet, är utan tvekan tvångsvillkoren eftersom dessa

ofta innehåller de flesta av variablernas andraderivator. Fanns inte dessa kopplingsekvationer skulle problemet kunna

brytas ned i ett antal små linjära ekvationssystem. Sålunda

skulle tyngdpunktsaccelerationerna endast dyka upp i respektive

kraftekvationer och motsvarande för vinkelaccelerationerna,

vilket skulle ge fyra linjära ekvationssystem med respektive

tre obekanta.

Detta är snabbare att lösa i datorn än ett enda stort system

och kan till och med i vissa fall lösas för hand vid upp_ ställandet av ekvationerna.

Det är således frestande att försöka kringgå svårigheten med

kOpplingsekvationerna och detta har även gjorts av Bernard, Winkler, Fancher (1973) som ersatte pivån med styva fjädrar. Ekvationerna blir då väsentligt enklare att lösa, men på grund av de stora införda fjäderkonstanterna kan svängningar av hög

frekvens uppstå, vilket medför att mycket korta tidssteg måste väljas.

48

Referenser

1. R.L. Eshleman , et al, ARTICULATED VEHICLE HANDLING, IIT

Research Institute, Chicago, Illinois (1972).

2. H. Goldstein, CLASSICAL MECHANICS, Addison-Wesley Publishing

Company, Inc. (1964).

3. E.C. Mikulcik, THE DYNAMICS OF TRACTOR-SEMITRAILER VEHICLES: THE JACKKNIFING PROBLEM, Cornell University (1968).

4. J.E. Bernard, C.B. Winkler, P.S. Fancher, A COMPUTER BASED MATHEMATICAL METHOD FOR PREDICTING THE DIRECTIONAL

PERFOR-MANCE OF TRUCKS AND TRACTOR-SEMITRAILERS, PHASE II REPORT,

Highway Safety Research Institute, University of Michigan

(1973).

5. C.G. Shapley, THE DYNAMIC AND STATIC BEHAVIOUR OF

ARTICU-LATED SEMI-TRAILER VEHICLES, Cranfield Institute of

Technology, School of Automotive Studies (1972).

6. K.R. Symon, MECHANICS, Addison-Welsey Publishing Company,

Inc. (1969).

7. R.J. Vincent, A.I. Krauter, TRACTOR-SEMITRAILER HANDLING:

A DYNAMIC TRACTOR SUSPENSION MODEL, SAE, Combined Commercial

Vehicle Engineering & Operations and Powerplant Meetings

Chicago, Illinois, June 18-22 (1973).

8. Vehicle Dynamics Terminologyz SAE Recommended Practice J670d, Society of Automotive Engineers, Warrendale, Pa., NOV. 1975.

9. S. Nordmark, UTVECKLING AV KÖRSIMULATOR, Delrapport:

MATEMATISK FORDONSMODELL, Statens väg- och trafikinstitut,

Meddelande nr 4 (1976). '

10. S. Nordmark, DATORPROGRAM FÖR DIGITAL SIMULERING AV DUBBELT KÖRFÄLTSBYTE MED EN TUNG FORDONSKOMBINATION, Statens