DIPLOMOVÁ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI FAKULTA TEXTILNÍ

DIPLOMOVÁ PRÁCE

LIBEREC 2007 Terezie Běhounková

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

FAKULTA TEXTILNÍ

KATEDRA TEXTILNÍCH TECHNOLOGIÍ

Obor: 31- 06 - T Textilní technologie

BIAXIÁLNÍ NAMÁHÁNÍ TKANIN BIAXIAL DEFORMATION FABRICS

Terezie Běhounková

Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Bohuslav Stříž, DrSc.

Konzultant: Ing. Iva Mertová

Rozsah práce:

Počet stran:…………..64 Počet tabulek:...2 Počet obrázků:...9 Počet příloh:...5

+ CD Datum: 14. května 2007

P r o h l á š e n í

Prohlašuji, že předložená diplomová práce je původní a zpracovala jsem ji samostatně. Prohlašuji, že citace použitých pramenů je úplná, že jsem v práci neporušila autorská práva (ve smyslu zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském a o právech souvisejících s právem autorským).

Souhlasím s umístěním diplomové práce v Univerzitní knihovně TUL.

Byla jsem seznámena s tím, že na mou diplomovou práci se úplně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 (školní dílo).

Beru na vědomí, že TUL má právo na uzavření licenční smlouvy o užití mé diplomové práce a prohlašuji, že s o u h l a s í m s případným užitím mé diplomové práce (prodej, zapůjčení apod.).

Jsem si vědoma toho, že užít své diplomové práce či poskytnout licenci k jejímu využití mohu jen se souhlasem TUL, která má právo ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, vynaložených univerzitou na vytvoření díla (až do jejich skutečné výše).

V Liberci, dne 14. května 2007

………

Podpis

P o d ě k o v á n í

Děkuji Prof. RNDr. Bohuslavu Střížovi, DrSc. za odborné vedení, které mi poskytl při vypracovávání diplomové práce, a dále děkuji Ing. Ivě Mertové, za rady a pomoc při vlastním měření. Také bych chtěla poděkovat mým rodičům za podporu a trpělivost při psaní této práce.

Abstrakt

Cílem diplomové práce je aplikovat mechaniku kontinua na použité tkaniny, které jsou biaxiálně namáhány. Na základě měření vypočítat materiálový deformační gradient, tenzory deformace, tenzory napětí a další deformační charakteristiky. Provést zhodnocení výsledků a konečné zhodnocení diplomové práce.

Klíčová slova:

Biaxiální namáhání, tkanina, mechanika kontinua, tenzor deformace, tenzor protažení, materiálový gradient

Abstract

Objective diplom work is apply mechanics continuum on used fabrics, which are biaxial deformation. On the basis measurement count materials deformation gradient, tensor deformation, tensor tension and next deformation characteristics. Implement estimation results and final estimation diplom work.

Keywords:

Biaxial deformation, fabrics, mechanics continuum, tensor deformation, tensor tension, deformation gradient.

OBSAH

SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ... - 9 -

ÚVOD... - 12 -

2 TEORETICKÁ ČÁST... - 13 -

2.1 Tkanina ... - 13 -

2.1.1 Výhody tkanin... - 13 -

2.2 Vazby tkanin ... - 13 -

2.2.1 Základní vazby... - 13 -

2.2.2 Odvozené vazby... - 14 -

2.2.2.1 Odvozeniny plátnové vazby... - 14 -

2.2.2.2 Odvozeniny keprové vazby... - 15 -

2.2.2.3 Odvozeniny atlasové vazby ... - 15 -

2.3 Základní parametry tkanin ... - 15 -

2.4 Způsoby deformace tkanin... - 18 -

2.4.1 Jednoosé tahové zatížení... - 18 -

2.4.1.1 Mechanické vlastnosti tkanin při jednoosém tahovém zatížení ... - 19 -

2.4.2 Biaxiálně deformovaná tkanina ... - 20 -

2.4.2.1 Faktory ovlivňující tkaninu při biaxiálním namáhání ... - 20 -

2.5 Mechanika kontinua... - 21 -

2.5.1 Materiálový deformační gradient... - 21 -

2.5.1.1 Anizotropie těles ... - 23 -

2.5.1.2 Tenzory deformace... - 24 -

2.5.1.3 Tenzory poměrných sil ... - 28 -

3 EXPERIMENTÁLNÍ ČÁST... - 35 -

3.1 Příprava vzorků... - 35 -

3.2 Základní parametry přízí a tkanin ... - 35 -

3.3 Použité zařízení... - 36 -

3.4 Vlastní měření... - 37 -

3.5 Zpracování a vyhodnocení výsledků ... - 38 -

4 ZÁVĚR ... - 56 -

5 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY... - 58 -

6 SEZNAM PŘÍLOH... - 59 -

SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ [

]

E E E E E

E11, 12, 14, 22, 24, 4 / složky tenzoru modulů su [%] setkání útku

so [%] setkání osnovy

Lo [cm] délka osnovní nitě vytažené z tkaniny L_u [cm] délka útkové nitě vytažené z tkaniny

L_tk [cm] délka tkaniny B_tk [cm] šířka tkaniny

Hbm [g] hmotnost 1 běžného metru do [1/cm] dostava osnovy

du [1/cm] dostava útku To [tex] jemnost osnovy Tu [tex] jemnost útku Hm2

[g/m²] hmotnost 1 m² Ho [g] hmotnost osnovy Htk [g] hmotnost tkaniny Hu [g] hmotnost útku

δ [%] tažnost zkoušeného proužku tkaniny ε [mm] prodloužení

l_o [mm] upínací délka zkoušeného proužku textilie

l₁ [mm] délka zk. proužku textilie při přetrhu µ_xy [1] Poissonův poměr

x₁^o1,x₁⁰²,x₁⁰³,x₁04

[m] materiálové souřadnice bodů ve směru x x201

,x202

,x203

,x204

[m] materiálové souřadnice bodů ve směru y x₁¹,x₁²,x₁³,x₁⁴ [m] prostorové souřadnice bodů ve směru x x21

,x22

,x23

,x24

[m] prostorové souřadnice bodů ve směru y u₁₁,u₁₂,u₂₁,u₂₂ [1] složky materiálového gradientu

F [1] materiálový deformační gradient J [1] Jacobián

∆ x_i^r, ∆xior

[m] diference

xi [m] prostorové souřadnice xio

[m] materiálové souřadnice

ds [m] vzdálenost bodu v prostorových souřadnicích

dso

[m] vzdálenost bodů v materiálových souřadnicích

Eij [N/m] tenzor modulů F1 [N] síla ve směru osnovy F2 [N] síla ve směru útku

G

εij [1] Green-Lagrangeův tenzor deformace εG [1] Greenův tenzor deformace

FT [1] transponovaný materiálový def. gradient I [1] jednotková matice

I

εij [1] inženýrský tenzor deformace εA [1] Almansiho tenzor deformace

−1

F [1] inverzní materiálový deformační gradient

C

εij [1] Cauchyho tenzor deformace

L [1] pravý Cauchyho deformační tenzor B [1] levý Cauchyho deformační tenzor εP [1] tenzor deformace

U [1] tenzor protažení

εL [1] logaritmický tenzor přetvoření vztažený k materiálním souřadnicím

εoL [1] logaritmický tenzor přetvoření vztažený k prostorovým souřadnicím

∑ [N/m] Cauchyho tenzor skutečného napětí

22 12 11,s ,s

s [N/m] složky Cauchyho tenzoru napětí

3 2 1,l ,l

l [1] hlavní hodnoty tenzoru L

a [m] velikost vzorku

24 23 22 4 21

3 1 2 1 1 1

1 ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x

x [m] souřadnice vrcholů celého vzorku

12 23, l

l [m] délky stran přetvořeného vzorku

2 1,α

α [rad] úhly pootečení stran l₁₂,l₂₃ vzhledem k osám 11.22

ω [rad] úhel, který svírají hlavní osy anizotropie s osami x₁,x₂

, 12 , 11 , , 22 , 21 , 22 , ,

11,s ,s ,s ,s ,s

s [N/m] složky poměrných sil

22 12 11,ε ,ε

ε [1] složky tenzoru deformace

SB [N/m] Biotův tenzor poměrných sil

22 12 11,c ,c

c [1] složky Biotova tenzoru poměrných sil R [1] tenzor rotace

−1

U [1] inverze tenzoru protažení

ÚVOD

V této diplomové práci, která je zaměřená na biaxiální namáhání tkanin, se pokusím s použitím přístroje pro biaxiální namáhání a obrazové analýzy, získat experimentální data. Prostřednictvím získaných dat před a po deformaci tkaniny vyhodnotím danou metodu.

Teoretickou část zaměřím na výhody tkanin, její základní parametry, popis základních a odvozených vazeb, způsoby jakými lze tkaninu deformovat. V teorii mechanika kontinua popíši materiálové deformační charakteristiky tkanin.

V experimentální části uvedu popis přípravy vzorku a postup při měření prostřednictvím přístroje pro biaxiální namáhání tkanin, který bude obrazově znázorněn.

Pomocí obrazové analýzy LUCIE budou nasnímány obrázky tkaniny před a po deformaci, které ilustruji v této práci.

2 TEORETICKÁ ČÁST 2.1 Tkanina

Tkanina je plošná textilie tvořená dvěma kolmými soustavami nití spojených provázáním - vazbou tkaniny. Podélná soustava nití rovnoběžná s pevnými kraji tkaniny je osnova, příčná soustava je útek. Každé překřížení osnovní niti s nití útkovou je vazný bod. Vazné body jsou osnovní a útkové, podle toho, která z nití těchto dvou soustav je nahoře [1].

2.1.1 Výhody tkanin

Tkanina má přiměřenou pružnost (nebo tuhost) ve směru osnovy a útku. Tuto vlastnost lze v určitém rozmezí podle potřeby měnit použitím různých materiálů, různým napětím osnovy a útku nebo vzájemnou vazbou obou soustav nití.

Technika tkaní umožňuje velkou variabilnost v dostavě (hustotě), vazbě a barvách obou soustav nití bez nákladné adaptace stroje.

Využití substance nití je optimální. Při určité hmotnosti na plošnou jednotku mají obě soustavy nití, osnova a útek, nejvyšší počet vazných bodů. Přitom délka nití mezi jednotlivými vaznými body je minimální [1].

2.2 Vazby tkanin

Způsob vzájemného provázání soustavy osnovních a útkových nití se nazývá vazba tkaniny [2].

2.2.1 Základní vazby Rozdělení základních vazeb:

• Plátno

• Kepr

• Atlas

Plátno

Vazba se skládá ze dvou nití osnovních a dvou útkových, je oboustranná a patří mezi nejjednodušší a nejhustěji provazující vazby.

Kepr

Kepr tvoří ve tkanině šíkmé řádky směrem zleva doprava nebo naopak. Levý směr řádku se označuje jako „S“, pravý směr „Z“ nebo se mohou značit šipkami.

Kepry se dělí na osnovní a útkové. U osnovního kepru převládají osnovní vazné body a u útkového útkové vazné body.

Kepry můžeme mít podle počtu nití ve střídě vazby třívazné, čtyřvazné atd.

Třívazný kepr má nejmenší počet osnovních a útkových nití ve střídě vazby.

Atlas

Tkanina s atlasovou vazbou se vyznačuje hladkým povrchem s nevýrazným jemným šikmým řádkováním různého sklonu. Vazné body mají ve střídě pravidelné rozložení a nesmějí se vzájemně dotýkat. Atlasy můžou být osnovní i útkové. Nejmenší atlas je pětivazný. U těchto vazeb se určuje postupné a vzestupné číslo. Postupné číslo se určuje u útkových a vzestupné u osnovních atlasů.

2.2.2 Odvozené vazby

Odvozené vazby vznikají ze základních vazeb a tkanině dodávají odlišný vzhled a strukturu [2].

2.2.2.1 Odvozeniny plátnové vazby Mezi tyto vazby patří:

• Ryps

• Panama

Ryps

Ve tkanině tvoří ryps vroubky. Tyto vroubky vzniknou zatkáním dvou nebo více stejně vázajících nití. Vazba vzniká tak, že se k plátnu přidávají vazné body v jednom směru.

Panama

Panama vznikne rozšířením plátna ve dvou směrech.

Druhy panamy:

• pravidelná

• nepravidelná

• vzorová

2.2.2.2 Odvozeniny keprové vazby

Sestavují se ze základních keprů přidáním vazných bodů, řádků, změnou směru řádkování, změnou úhlu.

Druhy keprů:

• kepr zesílený,

• kepr stínovaný,

• kepr víceřádkový,

• kepr hrotový,

• kepr klikatý a další.

2.2.2.3 Odvozeniny atlasové vazby

K základním atlasům se přidávají další vazné body nebo se sestavuje odlišná vazba podle jejich zásad.

Druhy atlasů:

• Nepravidelný

• Smíšený

• Zesílený

• Stínovaný

• Přisazovaný

2.3 Základní parametry tkanin

Mezi nejdůležitější parametry tkanin patří [2]:

• Délka tkaniny (Ltk) - rozměr ve směru osnovních nití. Uvádí se v metrech.

• Šířka tkaniny (Btk) - rozměr ve směru útku. Uvádí se v centimetrech nebo metrech. Rozlišují se dva druhy šířek. Paprsková šíře (Bp) je definovaná jako vzdálenost mezi první a poslední osnovní nití v paprsku v desetinách centimetru. Režná šířka tkaniny (Br) - zjišťuje se mezi rozpínkami a prsníkem v centimetrech.

• Kraje tkaniny - odlišují se od středu tkaniny vazbou, barvou, popřípadě i jakostí osnovních nití. Dva druhy krajů pravé a nepravé. Pravé – vznikají na člunkových stavech, mají pěkný vzhled a jsou pevné. Nepravé kraje vznikají na tkacích strojcích, jednotlivé nitě jsou přistřiženy a tím se snižuje jejich pevnost.

• Líc a rub tkaniny – se zjišťuje u každé tkaniny i u oboustranné. Líc tkaniny poznáme podle toho, že má lepší vzhled, menší nestejnoměrnost, hladší povrch, výraznější vzor, u počesaných tkanin stejnoměrnější vlas, menší vazební uvolnění nití a vyšší lesk.

• Směr osnovy a útku - osnova má stejný směr jako kraj tkaniny, je jemnější, má větší dostavu, pruhování je v tomto směru, u pestře tkaných tkanin bývá lichý počet nití ve směru osnovy atd..

• Setkání osnovy a útku (so,su). Setkáním označujeme zvlnění nitě způsobené vzájemným provázáním, udává se v procentech.

• Dílec tkaniny – definuje se jako ucelená délka tkaniny vyrobená na tkacím stroji.

Setkání osnovy je definováno vztahem:

( )

TK TK O

o L

L s =100. L −

(1)

Setkání útku má vztah:

( )

TK TK U

u B

B s =100.L −

(2)

• Dostava osnovy a útku - počet nití na 1 cm (do, du) nebo počet nití na 10 cm (Do, Du). Dostava osnovy se dá zjistit buď: a) vypáráním tkaniny - vzorek tkaniny o délce 2 až 10 cm se postupně vypáře a počet nití se spočítá, b) s pomocí textilní lupy. Nebo pomocí rastrovacího zařízení, které je vhodné pro všechny tkaniny.

• Vzor snovaný označuje se jako střída barevných nití v osnovní soustavě.

• Pořád házení představuje barevné vzorování ve směru útku.

• Řez tkaninou znázorňuje provázání tkaniny. Podélný řez - řez, který je kolmý k útkovým nitím. Příčný řez - řez kolmý k osnovním nitím.

• Hmotnost tkaniny (H) - uvádí se v gramech jednoho běžného metru tkaniny nebo jednoho čtverečního metru tkaniny.

Hmotnost jednoho běžného metru tkaniny je definována vztahem:

( ) ( )

1000 100 / 1 1000

100 /

1 _{O O tk U U U}

O tk bm

xT s

x xd B xT s

x xd

H = B + + + (3)

Hmotnost jednoho čtverečního metru tkaniny je definována vztahem:

( ) ( )

10 100 / 1 10

100 / 1

2 O O O U U U

m

xT s

x d T s

x

H = d + + + (4)

Přepočet hmotnosti běžného a čtverečního metru tkaniny:

tk m

bm H xB

H = ² (5)

• Zastoupení osnovy a útku ve tkanině - informuje o tom kolik procent je ve tkanině osnovy a útku.

Zastoupení osnovy ve tkanině:

tk O

H x

osnovy H 100

% = (6)

Zastoupení útku ve tkanině:

tk U

H x

útku H 100

% = (7)

2.4 Způsoby deformace tkanin

Rozdělení deformací:

Tahová

• při jednoosém zatížení

• při dvouosém (biaxiálním) zatížení

Ohybová

• působení ohybového momentu

• vzpěr

Smyková Příčné stlačení

Tkaniny se můžou také deformovat:

• v polovině cyklu

• v celém cyklu

• ve více cyklech

2.4.1 Jednoosé tahové zatížení

Jednoosé tahové zatížení způsobuje, že se u tkaniny o rozměrech Ax a Ay mění oba rozměry (x-směr útku, y-směr osnovy) (viz obr. 1). Jakmile se rozměr Ax prodlouží působením napětí o ∆x potom se kolmý rozměr zpravidla zkrátí o ∆y.[3].

Relativní změnu rozměrů lze definovat:

y y y y x

x x

x A

a A A

A +∆

∆ =

= + ε

ε (8)

Poissonův poměr příčné kontrakce – je poměr záporného relativního prodloužení ve směru kolmém na zatížení ε_y k relativnímu prodloužení v zatíženém směru ε_x.[3].

Poissonův poměr (číslo) je definován:

x y

xy ε

µ =−ε (9)

Obr. 1 Jednoosé tahové zatížení

2.4.1.1 Mechanické vlastnosti tkanin při jednoosém tahovém zatížení

Mechanické vlastnosti, které mají nejčastěji vliv na tkaninu při jednoosém tahovém zatížení:

Pevnost tkaniny – síla, která je potřeba k tomu, aby došlo k porušení tkaniny.

Pevnost při namáhání ve směru útku nebo osnovy je závislé hlavně na pevnosti odpovídajících nití a na jejich hustotě, dostavě D_o, D_u.[3]

Tažnost tkaniny - je zjišťována současně s pevností v tahu. Tažnost je definována jako rozdíl mezi délkou proužku při přetržení a délkou zkoušeného proužku textilie naměřenou před zkouškou, vyjadřuje se v % upínací délky [4].

Vypočítá se podle vztahu:

*100 ¹ *100

o o

o l

l l l

= −

= ε

δ (10)

Pevnost tkaniny v tahu a tažnost se měří na trhacích přístrojích.

2.4.2 Biaxiálně deformovaná tkanina

Tkanina je zatěžována ve dvou směrech poměrně často. Zatížení v obou směrech se navzájem ovlivňuje (viz obr. 2).

Speciálním případem biaxiálního namáhání je protahování tkaniny v jednom směru, při kterém se zachovává původní rozměr ve směru kolmém.

Při působení smykového napětí τ (viz obr. 3) se tkanina deformuje především zkosením (změnou úhlu mezi nitěmi). V tomto případě lze použít variantu Hookeova zákona pro smyk:

G

β = τ (11)

G - odpor tkaniny proti zkosení pak není konstantou.

Zvětšením smykové deformace dojde ke zvlnění tkaniny, což představuje její prostorovou deformaci [3].

2.4.2.1 Faktory ovlivňující tkaninu při biaxiálním namáhání

Vlastnosti, které mají vliv na biaxiální namáhání jsou pevnost příze, která ovlivňuje i pevnost tkaniny, dostava osnovy i útku, tažnost tkaniny.

Obr. 2 Biaxiálně deformovaná textilie Obr. 3 Deformace pomocí smykového napětí

2.5 Mechanika kontinua

Mechanika kontinua patří mezi část mechaniky, která je zaměřena na pohyb, deformaci a napětí v tělesech a tekutinách. Pod pojmem „kontinuum“ si lze představit jeden z možných modelů hmoty. Spojitost prostředí- „kontinuita“ je iluze, která je v rozporu se skutečnou korpuskulární strukturou okolního světa. Objevné práce Newtona, Eulera, Lagrangea a Cauchyho daly základ mechanice kontinua [5].

Mezi nejrozšířenější metody pro řešení problémů mechaniky textilií je to, že se textilní útvar nahrazuje spojitým prostředím - kontinuem se stejnými mechanickými vlastnostmi jaké má zkoumaná textilie.

Matematické operace lze zjednodušeně zapsat v tenzorovém vyjádření. Přitom se používají dva typy souřadnic. Materiálové a prostorové. Tyto souřadnice vycházejí ze dvou základních přístupů k popisu pohybu kontinua.

Materiálové souřadnice (Lagrangeovy) xio

přiřazují se každému bodu kontinua a jen na počátku pohybu částic mají význam geometrických souřadnic.

Prostorové (Eulerovy) souřadnice xi spojují se s nepohyblivým prostorem. Popisují polohy částic okamžitého stavu kontinua.

2.5.1 Materiálový deformační gradient

Na základě proměřování vzájemné polohy čtyř bodů před a po deformaci lze vypočítat materiálový deformační gradient F, který je vyjádřený derivací rozdílů souřadnic podle Lagrangeových souřadnic proložených ve směrech dvouosého namáhání (viz obr. 4).

Obr. 4 Vzorek textilie před a po deformaci

∆x_i^r=∆xior

+uij∆x_j^or

∆x_i^or,∆xir

jsou diference, které představují malý rozdíl souřadnic úhlopříček nepravidelného obrazce elementu:

r = 1 ∆xi1

= xi1

-xi3

, ∆xio1

= xio1

-xio3

r = 2 ∆xi2

= xi2

-xi4

, ∆xio2

= xio2

-xio4

(12) u_ij složky materiálového gradientu, i,j = 1,2

Z diferenční rovnice sestavíme soustavu algebraických rovnic:

, )

( ) 1 ( ) (

, )

( ) 1 ( ) (

, )

( ) (

) 1 (

, )

( ) (

) 1 (

4 2 2 2 4 2 2 2 22 4

1 2 1 21

3 2 1 2 3 2 1 2 22 3

1 1 1 21

4 1 2 1 4 2 2 2 12 4 1 2 1 11

3 1 1 1 3 2 1 2 12 3 1 1 1 11

x x x x u x

x u

x x x x u x

x u

x x x x u x x u

x x x x u x x u

o o o

o

o o o

o

o o o

o

o o o

o

−

=

− +

+

−

−

=

− +

+

−

−

=

− +

− +

−

=

− +

− +

(13)

Po vyřešení těchto rovnic získáme u11, u12, u22, u21, což jsou složky materiálového deformačního gradientu.

Materiálový deformační gradient má tvar:









+

= +

22 21

12 11

1 1

u u

u

F u (14)

Pokud jsou hlavní směry zatěžování textilie shodné s hlavními směry struktury textilie pak jsou také shodné s hlavními osami její anizotropie. Potom prvky materiálového deformačního gradientu u₁₂, u₂₁ lze zanedbat.

Jacobián se závádí jako determinant matice složené z parciálních derivací prostorových souřadnic podle materiálových souřadnic [5].

J = det

( )

x x

j

i det

0 =











∂

∂ (15)

2.5.1.1 Anizotropie těles

Těleso, které má v různých směrech různé mechanické vlastnosti se označuje jako anizotropní.

Homogenní anizotropní těleso má mechanické vlastnosti stejné ve všech rovnoběžných směrech vedených libovolnými body. Anizotropní tělesa se rozdělují podle krystalografické soustavy do sedmi tříd, které se dále dělí do 32 oddělení. Záleží to na typu symetrie krystalu. Typy anizotropie jsou odvozeny od těchto krystalů. Plošné textilie mají výrazně jednodušší anizotropní prostředí.

Jednoklonná (monoklinná) anizotropie v ploše textilie je charakterizovaná šesti moduly pružnosti. Tyto moduly se zapisují jako tenzor (pruh značí modul rovinné napjatosti):

















=

4 24 14

24 22 12

14 12 11

E E E

E E E

E E E

Eij (16)

Pokud je textilie namáhána v hlavních směrech struktury rovnoměrně rozdělenými poměrnými silami jedná se o anizotropii ortotropní. Označuje se v krystalografické soustavě jako kosočtverečná (rombická anizotropie). Matice modulů obsahuje čtyři různé prvky:

















=

4 22 12

12 11

0 0

0 0

E E E

E E

Eij (17)

Speciálním případem je čtverečná (tetragonální) anizotropie, která má tvar:

















−

−

=

4 14 14

14 11

12

14 12

11

E E E

E E

E

E E

E

Eij (18)

a šesterečná (hexagonální) neboli transverzálně izotropní anizotropie, jejíž matice je:

( )





















−

=

12 11 11 12

12 11

2 0 1 0

0 0

E E E E

E E

Eij (19)

Typ anizotropie zatěžované textilie je potřeba znát k určení modulů pružnosti. Závisí nejen od struktury, ale i od jejího tahového zatížení ve směrech 11, 22 a rovnoměrného rozložení poměrných sil. Jen ze změřených posuvů nelze typ anizotropie určit [6].

2.5.1.2 Tenzory deformace

Změna velikosti a tvaru se nazývá deformace. Stanovením posuvů jednotlivých částic a přetvoření v bezprostředním okolí částic se zjišťuje deformace tělesa. Určením posuvů vztažených k celkovým rozměrům tělesa se stanovuje míra deformace.

Míra deformace se označuje jako „přetvoření“ (strain), „deformace“ nebo

„poměrná deformace“. Tenzor deformace je vždy tříosý. V některých případech, kdy dochází k velkým deformacím (posuvům) v jedné rovině nebo ploše může být příčná změna rozměrů kontinua zanedbatelná. Odvození vztahů pro tenzory deformace.

Vychází se z přetvoření kontinua v rovině (viz obr. 5). Bod A se posune vlivem silových účinků do bodu A´. Bod A´je určen závislostí:

2 ,

=1 +

= x u i

x_{i i}^o _i (20)

Bod B o souřadnicích x_i^o +dx_i^o se posune do bodu B´. Vztah mezi oběma souřadnicemi pro který platí:

i o i

i dx du

dx = + (21)

o j j i o o j j i

i dx u dx

x

du u = _,

∂

= ∂

Dosazení do (21) a s využitím Kroneckerova symbolu δ_ij získáme tuto rovnici:

(

)

i u dx

dx = δ + (22)

Vzdálenost bodů AB a A´B´ určí vztahy:

( )

( )

2 / 1

i i

o i o i o

dx dx ds

dx dx ds

=

= (23)

Dosazením (22) do vztahu (23) získáme po úpravě vztah:

(

)

ds² = δ + + + (24)

Obr. 5 Přetvoření kontinua v rovině

Platí identita:

o j ij

i dx

dx =δ

Dostaneme:

(

)

o u u u u dx dx

ds

ds² − ² = + + (25)

Green-Lagrangeův tenzor deformace vyjádřený v materiálových souřadnicích má tvar:

(

)

G

ij = u +u +u u

2

ε 1 (26)

Jednodušší zápis Greenova tenzoru deformace:

(

)

G = −

2 ε 1

Zanedbáním nelineárního členu v (26) dostaneme tzv. „ inženýrský“ tenzor deformace pro malá přetvoření, který není měrou deformace.

(

)

I

ij = u +u

2

ε 1 (27)

Almansiho tenzor deformace je definován vztahem:













∂

∂

∂

−∂

∂ +∂

∂

= ∂

j i

k k i

j j i A

ij x x

u u x u x u 2

ε 1 (28)

Jednodušší zápis Almansiho tenzoru deformace:

(

)

2

1 _{− −}

−

= I F ^TF εA

Zanedbáním nelineárního členu získáme Cauchyho tenzor deformace:













∂ +∂

∂

= ∂

i j j C

ij x

u x u 2

ε 1 (29)

který je pro malá přetvoření totožný s tenzorem „inženýrské“ deformace.

Pravý Cauchyho deformační tenzor je dán vztahem:

L = U² = F^T F (30)

Tenzor protažení se vypočítá pomocí metody projektorů:

( )( )

(

)(

)

3 2

1

*

*

l l l l

I l L I l E L

−

−

−

= −

( )( )

(

)(

)

3 1

2

*

*

l l l l

I l L I l E L

−

−

−

= −

(31)

( )( )

(

)(

)

2 1

3

*

*

l l l l

I l L I l E L

−

−

−

= −

Tenzor protažení je definován vztahem:

U = l₁ *E₁ + l₂ *E₂ + l₃ *E₃ (32)

Metoda v tomto tvaru se využívá když l₁ ≠l₂ ≠l₃. Tenzor deformace je definován vztahem:

( )







=

−

=

22 12

12 11

ε ε

ε

εij ^{U I} ε (33)

Levý Cauchyho deformační tenzor je definován:

B = V² = F FT

(34)

Tenzory L, U jsou vztaženy k původní materiálové konfiguraci a tenzory B, V jsou vztaženy k okamžité prostorové konfiguraci.

Tenzor rotace se vypočítá se vztahu:

R=F*U⁻¹ (35)

Dalším tenzorem deformace je logaritmický tenzor přetvoření, který je dán vztahy:

^oL U lnL 2 ln = 1

ε = (36)

Tento vztah je pro materiálové souřadnice a logaritmický tenzor přetvoření vztažený k prostorovým souřadnicím je dán vztahem:

^L V lnB 2 ln = 1

ε = (37)

2.5.1.3 Tenzory poměrných sil Mezi tenzory poměrných sil patří:

Cauchyho tenzor skutečných poměrných sil je definovaný vztahem:

∑









=

22 12

12 11

s s

s

s (38)

Složky s11 a s22 se určují z podmínek rovnováhy přetvořeného pravoúhlého elementu a známých hodnot zatěžujících sil. Složku s12 tenzoru se stanoví ze vztahu pro smykovou poměrnou sílu na hlavní ose anizotropie.

( )

2

0=−1 s₁₁−s₂₂ +s₁₂

Vyjde:

( )

2 1

22 11

12 s s tg

s = − (39)

Plošné textilie se vyznačují složitějším deformačním stavem. Textilie je v přístroji zatěžována silami, které působí ve vzájemně kolmých směrech a může být pootočena vzhledem ke své struktuře (osnova a útek, řádek a sloupek u pletenin) o úhel α k těmto působícím silám. Vlivem této nesymetrie se textilie prodlouží a zkosí, pokud se nepodaří zkos eliminovat způsobem upnutí textilie v čelistech přístroje.

Stanovení souřadnic vrcholů celého vzorku, délek stran a goniometrických funkcí Vychází se z rovnic pro element 1x1, který je potom rozšířený na vzorek o rozměrech a x a (viz obr. 6).

Rozdíly v úhlopříčných směrech jsou:

( )

4 2 2 2 2 4

1 2 1 1 3

3 1 2 1 3

1 1 1

04 2 02 2 04

1 02 1 03 2 01 2 03

1 01 1

1 ,

1 ,

1 ,

1

1 ,

1 ,

1 ,

1

b x

x a x

x b x

x a x

x

x x x

x x

x x

x

+

=

− +

−

=

− +

=

− +

=

−

=

−

−

=

−

=

−

=

−

Kde

a1=u11+u12, a2=u11-u12,b1=u22+u21,b2=u22-u21

Obr. 6 Vzorek textilie před a po deformaci Souřadnice vrcholů celého vzorku jsou definovány podle obr.6:

x11= 2

a(1+u11+u12)

x12=- 2

a(1+u11-u12)

x13= - 2

a(1+u11+u12)

x₁₄= 2

a(1+u₁₁-u₁₂)

x21= 2

a (1+u22+u21)

x22= 2

a (1+u22-u21) (40)

x23= - 2

a (1+u22+u21)

x24= - 2

a (1+u22-u21)

Délky stran přetvořeného vzorku se vypočítají podle vztahu:

( ) ( ) ( )

2 22 2

23 22 2 13 12 23

14 l x x x x a 1 u u

l = = − + − = + + (41)

( ) ( ) ( )

2 11 2

24 23 2 14 13 34

12 l x x x x a 1 u u

l = = − + − = + + Goniometrické funkce jsou:

12 12 11 1 12

22 21

1 cos

sin l

x x l

x

x − = −

= α

α (42)

23 23 22 2 23

13 12

2 cos

sin l

x x l

x

x − = −

= α

α

Obr.7 Vzorek textilie po deformaci Statické rovnice vzorku textilie podle obr.7 jsou:

2 34 , 22 2

23 , 11 3

1 2 3 2 1

1 34 , 21 1 34 , 22 2 23 . 12 2 23 11 2

1 34 , 21 1 34 , 22 2 23 , 12 2 23 , 11 1

2 1 2

0 1

sin cos

cos sin

cos sin

sin cos

l s l

s x F x F

l s l

s l

s l

s F

l s l

s l

s l

s F

+

−

−

=

+ +

+

−

=

+

− +

=

α α

α α

α α

α α

(43)

Na elementy rovnoběžné s okraji textilního vzorku působí složky, které jsou označeny s11´´

, s22´´(viz obr. 8). Pootočením těchto elementu do směrů 11, 22 získáme na základě vztahů:

S1=A1S1´

A1T

S2=A2S2 ´

A2T

kde







 −

=

1 1

1 1

1 sin cos

sin cos

α α

α

A α 









= −

2 2

2 2

2 sin cos

sin cos

α α

α A α











=

22 21

´ 21

´´

11 1´

ś ś

s

S s 









= _´´

22 12

12

´ 11 2´

ś ś s ś S

Obr. 8 Zobrazení smykových složek na vzorku

tenzory skutečných poměrných sil:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

(

)

12

2 ,

12 2 ,

, 22 , 11 ,

, 22 , 22 11

2 ,

12 2 ,

, 22 , 11 ,

, 22 , 11 11

1 ,

21 1 ,

22 , , 11 21

1 ,

21 1 ,

22 , , 11 ,

22 , , 11 22

1 ,

21 1 ,

22 , , 11 ,

22 , , 11 11

2 cos 2

2 sin 1

2 sin 2

2 cos 1 2

1

2 sin 2

2 cos 1 2

1

2 cos 2

2 sin 1

2 sin 2

2 cos 1 2

1

2 sin 2

2 cos 1 2

1

α α

α α

α α

α α

α α

α α

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

s s

+

−

−

=

−

−

− +

=

+

− +

+

=

+

−

=

+

−

− +

=

−

− +

+

=

(44)

Platí, že:

21 12 , 22 22 11 11,

−

−

− = =−

=s s s s s

s

Na základě těchto rovnic byl stanoven tenzor (38).

Z rovnice (39) lze vypočítat polohu hlavní osy anizortopie definovanou vztahem:

22 11

2 12

2 1

s s arctg s

= − ω

Biotův tenzor budeme označovat:

S_B= 









22 12

12 11

c c

c

c (45)

Biotův tenzor lze stanovit pomocí Cauchyho tenzoru skutečných poměrných sil. Biotův tenzor je dán vztahem:

[

^∑

^∑ ( )

]

= ^{T T}

B J F R R F

S ^{1 1}

2 (46)

Hookeův zákon je definován:





































=















12 22 11

4 24 14

24 22 12

14 12 11

12 22 11

* ε ε ε E

E E

E E E

E E E

c c c

(47)

Ve složkách dostaneme:

12 4 12

24 22 14 11

22 24 12

22 22 12 11

11 14 12

12 22 11 11

2 2 2

c E

E E

c E

E E

c E

E E

= +

+

= +

+

= +

+

ε ε

ε

ε ε

ε

ε ε

ε

(48)

Dále platí vztahy [6]:

( )

( )

( ) ^{( ) [ ( ( ) ) ] ( )}

( ) ( ^{( )} )

2

2 2

4

) 50 4 (

2 4 2

) 49 2 (

2

22 11 12 22 22 11 11 22 11 12

12 22

11 12 12 2

12 2 22 11 4 2 22 11 2 12 22 11

4 12 22 11

24 14 22 11

24 14

= +

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅

−

⋅

− +

+

⋅

− +

−

−

−

⋅

−

⋅

−

− +

= −

−

= +

ε ε ε

ε ε

ω

ε ε

ε ε ε

ε ω

ω

E E

E E E tg

E E

E c

E E

E E

E E E

E

E tg E

E E

E tg E

Z těchto soustav rovnic se vypočítají moduly pružnosti.

3 EXPERIMENTÁLNÍ ČÁST 3.1 Příprava vzorků

Pro experiment se využilo celkem 6 druhů tkanin (Atlas 1/6 (2), Kepr 1/6 Z, Kepr 2/3 Z, Plátna (B16,B20,B24)). Tkaniny B16, B20, B24 se lišily v dostavě. Tkaniny Atlas a oba Kepry měly stejné parametry, lišily se pouze vazbou.

Celkem se zkoušelo 30 vzorků tkanin, to znamená, že z každého druhu tkaniny se vystřihlo 5 vzorků. Rozměr vzorku byl 12x12 cm. Každý vzorek tkaniny byl označen šipkou ve směru osnovy a označením o jaký druh tkaniny se jednalo. Všechny vzorky tkanin byly obšity zpevněným stehem, aby nedocházelo k uvolňování přízí při upnutí vzorku do přístroje. Doprostřed každého vzorku byl zakreslen čtyřúhelník o rozměrech 1x1 cm z důvodu porovnávání tkaniny před a po deformaci.

3.2 Základní parametry přízí a tkanin

Tabulka č. 1: Parametry přízí

Označení Technologie Po[N] Pu[N] To[%] Tu[%] To[tex] Tu[tex]

plátno - B16 BD 4,94 4,94 6,28 6,28 33 33

plátno - B20 BD 4,94 4,94 6,28 6,28 33 33

plátno - B24 BD 4,94 4,94 6,28 6,28 33 33

Atlas 1/6(2)

Prstencová

česaná 2,21 2,21 4,39 4,39 10 10

Kepr 2/3 Z

Prstencová

česaná 2,21 2,21 4,39 4,39 10 10

Kepr 1/6 Z

Prstencová

česaná 2,21 2,21 4,39 4,39 10 10

Po[N]….pevnost osnovní příze Pu[N]….pevnost útkové příze To[%]….tažnost osnovní příze Tu[%]….tažnost útkové příze To[tex]…jemnost osnovní příze Tu[tex]…jemnost útkové příze

Tabulka č. 2: Parametry tkanin

Označení Pto[N/5cm] Ptu[N/5cm] Tto[%] Ttu[%] Do[1/10cm] Du[1/10cm]

plátno - B16 573,4 371,6 7,1 15,06 226 154

plátno - B20 569,1 488,5 8,04 16,4 222 192

plátno - B24 533.8 576,1 8,02 17,32 232 227

Atlas 1/6(2) 834,5 796,9 8,98 10,24 660 660

Kepr 2/3 Z 780,3 859,2 12,34 11,5 660 660

Kepr 1/6 Z 774,2 821,4 10,68 10,24 660 660

Pto[N]…pevnost tkaniny po osnově Ptu[N]…pevnost tkaniny po útku Tto[%]…tažnost tkaniny po osnově Ttu[%]…tažnost tkaniny po útku Do[1/10 cm]…dostava osnovy Du[1/10 cm]…dostava útku

3.3 Použité zařízení

Pro vlastní měření bylo potřeba:

• stativ

• tenzometrické měřiče

• kamera

• přístroj pro biaxiální namáhání

Přístroj pro biaxiální měření

Přístroj pro biaxiální namáhání je umístěn na TUL, Fakulta textilní, Katedra textilních technologií. Tento přístroj byl vyroben dle návrhu Prof. RNDr. Bohuslava Stříže, DrSc., který slouží pro realizaci výzkumu deformačních vlastností plošných textilií. Přístroj je zkonstruován do tvaru kříže, uprostřed je prostor pro upnutí vzorků tkanin do speciálních skřipců (viz obr. 9).

Obr. 9 Přístroj pro biaxiální namáhání

3.4 Vlastní měření

Pod stativem na kterém byla umístěna kamera se nacházel přístroj pro biaxiální namáhání. Do tohoto přístroje se upnul pomocí speciálních skřípců vzorek tkaniny.

K přístroji byly připojeny tenzometrické měřiče, které měřili vynaloženou sílu. Na počítači se zároveň spustily dva softwarové programy (LUCIA a SW program GABČA).

Tkanina byla namáhána po dobu 60 sekund. Po tuto dobu byla vynaložena síla, která namáhala tkaninu. Při tomto namáhání docházelo k deformaci čtyřúhelníku nakresleného na středu tkaniny. Dva vzorky tkaniny se namáhaly ve směru osnovy, dva ve směru útku a jeden v obou směrech (osnova i útek).

Softwarový program LUCIA sloužil ke snímání obrázků před a po deformaci a program Gabča zaznamenával vynaloženou sílu. Po uplynutí 60 sekund byly vypnuty oba dva programy. Po změření všech 30 vzorků tkanin následovalo vlastní zpracování.

Vlastní zpracování

Po vlastním měření následovalo zpracování pomocí obrazové analýzy. Změřili se souřadnice bodů před a po deformaci a zároveň se přiřadily síly po osnově a po útku k příslušným obrázkům. Naměřená data se dále zpracovávala pomocí programu MATLAB 7.1 s pomocí něhož se dosáhlo požadovaných výsledků.

3.5 Zpracování a vyhodnocení výsledků

K podrobnému popisu postupu vlastního výpočtu byl vybrán vzorek č. 2. Tento vzorek byl namáhán ve směru osnovy, velikost sil ve směru osnovy byla 7,7 N a ve směru útku 1,8 N. Ze souřadnic bodů, které byly získány z obrazové analýzy LUCIE se vypočítaly rozdíly souřadnic v úhlopříčných směrech.

Dosazením do rovnic s číslem (13) se vypočítaly složky materiálového gradientu. Materiálový deformační gradient se zjišťoval podle vztahu (14) a dále se vypočítal Jacobián podle vztahu (15). Dalším krokem v postupu výpočtu bylo stanovit tenzor protažení, tenzor rotace a tenzor deformace.

Tenzor protažení se zjišťoval pomocí metody projektorů, kde se nejdříve stanovil Cauchyho deformační tenzor podle vztahu (30), vypočítaly se hlavní hodnoty Cauchyho tenzoru l1, l2, l3 dosadilo se do vztahů (31). Vypočtením těchto vztahů se mohl vypočítat tenzor protažení (32). Podle vztahů (33), (35) se vypočítal tenzor deformace a rotace.

K tomu, abychom mohli sestavit statické rovnice, se musely vypočítat souřadnice vrcholů celého vzorku podle vztahů (40), délky stran přetvořeného vzorku (41), goniometrické funkce (42).

Poté bylo nutné vypočítat Cauchyho tenzor poměrných sil, který je, ale ovlivněn zkosením experimentálního vzorku textilie, nerovnoměrným rozložením sil s_ij na stranách vzorku a proto bylo potřeba zvolit trochu odlišný postup výpočtu. Zavedly se stejné smykové složky poměrných sil tzn., že s₁₂=s₂₁ a sestavovaly se pouze složkové statické rovnice.

V tomto případě se jednalo o rovnice ve tvaru:

1 34 , 12 1 34 , 22 2 23 . 12 2 23 11 2

1 34 , 12 1 34 , 22 2 23 , 12 2 23 , 11 1

sin cos

cos sin

cos sin

sin cos

α α

α α

α α

α α

l s l

s l

s l

s F

l s l

s l

s l

s F

+ +

+

−

=

+ +

+

=

(52)

Spolu s těmito rovnicemi a dalšími ze vztahu (44) se stanovily složky Cauchyho tenzoru poměrných sil, jehož tvar má vztah (38).

Z rovnice (39) se vypočítá tg 2ω. Vypočtením Cauchyho tenzoru poměrných sil se dal vypočítat Biotův tenzor podle vztahu (46). Následuje dosazení do vztahů (48),(49),(50),(51).

Vyřešením těchto šesti rovnic získáme moduly pružnosti. Poslední rovnice je kvadratická a proto výsledkem budou vždy dvě řešení. Vybírá se to řešení, u kterého platí následující podmínky:

4 22 24

4 11 14

22 11 12

4 22

11 0,E 0,E 0, E E E , E E E , E E E

E > > > < ⋅ < ⋅ < ⋅

(53)

Snímky vzorku č. 2 z obrazové analýzy LUCIE:

Po deformaci tkaniny

Výsledky výpočtu:

Složky materiálového gradientu:

u11 =0.0529 u21 = -0.0310 u₁₂ =0.0696 u₂₂ = 0.0181

Materiálový deformační gradient:









= −

0181 . 1 0310 . 0

0696 . 0 0529 . F 1

Jacobián

J = 1.074









=

0414 . 1 0417 . 0

0417 . 0 1096 .

2 1 U









=

1836 . 0 3872 . 0

3872 . 0 8164 . 0 E1











−

= −

8164 . 0 3872 . 0

3872 . 0 1836 . 0 E2

Tenzor protažení









=

0203 . 1 0201 . 0

0201 . 0 0532 .

U 1

Tenzor rotace:











= −

9988 . 0 0485 . 0

0485 . 0 9988

. R 0

Tenzor deformace:









=

0203 . 0 0201

. 0

0201 . 0 0532

. 0 εij

Souřadnice vrcholů celého vzorku po deformaci:

x11 = 67.3500 mm x21 = 59.2260 mm x₁₂ = -58.9980 mm x₁₃ = -67.3500 mm

x14 = 58.9980 mm x22 = 62.9460 mm x = -59.2260 mm x = -62.9460 mm