9 LÄR DIG

9

Matematik

LÄR DIG

TAL OCH RÄKNING

Idris Akkus

Idris Akkus matterummet.se info@matterummet.se

TAL OCH RÄKNING

9

CENTRALA INNEHÅLL

Avsnittet behandlar delar av följande centrala innehåll:

> Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer.

> Tal i potensform. Grundpotensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix.

> Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder.

Matteord

siffror tal

negativa tal potenser potens bas exponent kvadratrot tiopotens grundpotens

1 Tal och räkning

MÅL

När du har arbetat det här kapitlet ska du kunna:

> första hur vårt talsystem är uppbyggt och kunna göra berakningar med både positiva och negativa tal

> skriva och göra beräkningar med tal i potensform

> använda några prefix för stora och små tal

> använda samband mellan kvadraten på ett tal och kvadratroten ur ett tal samt göra beräkningar med kvadrattal och kvadratrötter

Vilket av följande tal är minst?

a) 2,4 b) -7 c) 3 d) -0,5 e) 0

Vilket är de två nästa talen i talföljden?

9, 5, 1, .... , ....

Kan summan av ett posivt och ett negativt tal vara -3? Dikutera.

Skriv 450 000 i grundpotensform.

UPPVÄRMNING

Matematiklärare

“Matematiken är vetenskapens drottning.”

ĞŶƚĂů ƟŽƚĂů ŚƵŶĚƌĂƚĂů ƚƵƐĞŶƚĂů

,ĞůƚĂů

-(./01-23(

ƟŽŶĚĞů

ŚƵŶĚƌĂĚĞů

ƚƵƐĞŶĚĞů

ĞĐŝŵĂůƚĂů

ĞĐŝŵĂůƚĞĐŬĞŶ

ćƌƚĞĐŬĞŶƐŽŵƐŬŝůũĞƌŚĞůƚĂůƐƐŝīƌŽƌĊƚĨƌĊŶĚĞĐŝŵĂůĞƌ

,ĞůƚĂůƉĊƚĂůůŝŶũĞŶ

4

2(((-2((.2(((52((/2((02((62(((72((82((32((-22

4

2((((((((212.(((((212/(((((2126((((((2128(((((21-

ƵĨĊƌĞŶƚĂůůŝŶũĞƐŽŵǀŝƐĂƌĂǀƐŶŝƩĞƚĨƌĊŶϬƟůůϭϬϬ͘

dĂůůŝŶũĞŶŚĂƌƟŽůŝŬĂƐƚŽƌĂĚĞůĂƌŽĐŚǀĂƌũĞĚĞůďůŝƌϭϬ͘

,ćƌŚĂƌƚĂůůŝŶũĞŶĨĞŵůŝŬĂƐƚŽƌĂĚĞůĂƌŽĐŚǀĂƌũĞĚĞůďůŝƌϬ͕ϬϮ͘

dŝŽƚĂůƐLJƐƚĞŵĞƚćƌĞŶŬůĂƐƚĞŽĐŚůćŵƉůŝŐĂƐƚĞƚĂůƐLJƐƚĞŵĞƚƐŽŵǀŝ

(-)/-.%0B'

sŝĂŶǀćŶĚĂƌƟŽƐŝīƌŽƌŝĚĞƩĂƚĂůƐLJƐƚĞŵĞƚ͘

21(-1(.1(51(/1(01(61(71(81(3

sĂƌĨƂƌƐŝŐĞůůĞƌƟůůƐĂŵŵĂŶƐŬĂŶĚĞƐƐĂƟŽƐŝīƌŽƌďŝůĚĂŽůŝŬĂƚĂů͘

ŶƐŝīƌĂƐǀćƌĚĞćƌďĞƌŽĞŶĚĞƉĊƐŝīƌĂŶƐƉŽƐŝƟŽŶŝƚĂůĞƚ͘

dž͘'A'57>6A=@'

Ϯ͗ĂŶŚĂƌǀćƌĚĞƚϮŚƵŶĚƌĂ͕ϵ͗ĂŶŚĂƌǀćƌĚĞƚϵƚƵƐĞŶĚĞůĂƌ͘

dŝŽƚĂůƐƐLJƚĞŵĞƚ

-9(,ƵƌŵĊŶŐĂŵŝůũŽŶĞƌǀŝƐĂƌ

'''''1"-"0/$-(0%-3 '''''75<>E@F=

.9(,ƵƌŵĊŶŐĂŐĊŶŐĞƌƐĊƐƚŽƌƚćƌ

''''')/0.%&'()'.%-'*+02&('>G(-',/1*+0&' '''''1%.'.%-'(-.0(3

'''''>==6>

59(sŝůŬĞƚƚĂůćƌĞŶƟŽŶĚĞůŵĞƌ

'''''/-'=6F3

^ǀĂƌ͗

/9(,ƵƌŵĊŶŐĂƟŽƚĂůćƌĞƩŚƵŶĚƌĂƚĂů͍

^ǀĂƌ͗

^ǀĂƌ͗

^ǀĂƌ͗

09(,ƵƌŵĊŶŐĂŚƵŶĚƌĂĚĞůĂƌćƌĞŶŚĞů͍

69(^ŬƌŝǀŵĞĚƐŝīƌŽƌ͘

ĂͿϳϳŚƵŶĚƌĂĚĞůĂƌс

ďͿϮϬϰŚƵŶĚƌĂĚĞůĂƌс

ĐͿϰŚƵŶĚƌĂĚĞůĂƌс

79(sŝůŬĞƚƚĂůůŝŐŐĞƌƉƌĞĐŝƐŵŝƩĞŵĞůůĂŶ

ĂͿϱŽĐŚϲ͍с

ďͿϬ͕ϰŽĐŚϬ͕ϱ͍с

ĐͿϬ͕ϬϯŽĐŚϬ͕Ϭϰ͍с

89(KƌĚŶĂƚĂůĞŶŝƐƚŽƌůĞŬƐŽƌĚŶŝŶŐ͘

H+0,('1%.'.%&'1"-2&(B

=6<'''=65F'''=6<=<''''=6<<'''=6<===A

^ǀĂƌ͗

dĞƐƚĂĚŝŐ

1

Matematiklärare

“Matematiken är vetenskapens drottning.”

&LJƌĂƌćŬŶĞƐćƩ

-9(sĂĚćƌƉƌŽĚƵŬƚĞŶĂǀĨĂŬƚŽƌĞƌŶĂ

ϲŽĐŚϴ͍

.9(sĂĚćƌĚŝīĞƌĞŶƐĞŶĂǀƚĞƌŵĞƌŶĂ

ϴŽĐŚϯ͍

09(sŝůŬĞŶćƌĚĞŶĂŶĚƌĂĨĂŬƚŽƌŶŽŵ

ĚĞŶĞŶĂĨĂŬƚŽƌŶćƌϵŽĐŚ

ƉƌŽĚƵŬƚĞŶćƌϱϰ͍

59(!(.'$(##(2'>'"'&(#%-3 ϭϯͲϱсϴ

^ǀĂƌ͗

^ǀĂƌ͗

^ǀĂƌ͗

dĞƐƚĂĚŝŐ

ĚĚŝƟŽŶćƌĂƩůćŐŐĂŝŚŽƉƚĂůŽĐŚƐĞǀĂĚĚĞćƌƟůůƐĂŵŵĂŶƐ͘

dĂůĞŶƐŽŵĂĚĚĞƌĂƐŬĂůůĂƐƚĞƌŵĞƌŽĐŚƌĞƐƵůƚĂƚĞŶƐƵŵŵĂ͘

džϭ͗ϮϱнϯсϮϴ

ΎΎĞƚƐƉĞůĂƌŝŶŐĞŶƌŽůůŝǀŝůŬĞŶŽƌĚŶŝŶŐŵĂŶĂĚĚĞƌĂƌƚĂůĞŶ͘

džϮ͗ϱнϯсϯнϱсϴ

ΎΎDĂŶŬĂŶćǀĞŶƐćŐĂĂĚĚĞƌĂ͕ƐƵŵŵĞƌĂ͕ůćŐŐĂƐĂŵŵĂŶŝƐƚćůůĞƚĨƂƌ

ůćŐŐĂŝŚŽƉ͘

^ƵďƚƌĂŬƟŽŶćƌŵŽƚƐĂƚƐĞŶƟůůĂĚĚŝƟŽŶ͘DĂŶďĞƌćŬŶĂƌĚŝīĞƌĞŶƐĞŶ

ŵĞůůĂŶĞƩƚĂůŽĐŚĞƩĂŶŶĂƚƚĂů͘

dž͗ϵʹϰсϱ

ΎΎDĂŶŬĂŶćǀĞŶƐćŐĂƚĂďŽƌƚ͕ĚƌĂŝĨƌĊŶ͕ƐŬŝůůŶĂĚ͘

DƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶćƌƵƉƉƌĞƉĂĚĂĚĚŝƟŽŶ͘

džϭ͗ϱнϱнϱćƌƐĂŵŵĂƐĂŬƐŽŵϱͼϯ

DĂŶŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƌĞƩƚĂůŵĞĚĞƩĂŶŶĂƚƚĂů͘dĂůƐŽŵŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƐŬĂůůĂƐ

ĨĂŬƚŽƌĞƌŽĐŚƌĞƐƵůƚĂƚĞŶŬĂůůĂƐƉƌŽĚƵŬƚB

džϮ͗ϰͼϯсϭϮ

/d/KE;^DDE> ''E/E'Ϳ

^hdZ<d/KE;D/Eh^Ϳ

ŝǀŝƐŝŽŶćƌŵŽƚƐĂƚƐĞŶƟůůŵƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶ͘

ŝǀŝƐŝŽŶŬĂŶƐĞƐƐŽŵƵƉƉƌĞƉĂĚƐƵďƚƌĂŬƟŽŶ͘

dž͗ϰͼ͍сϭϮćƌƐĂŵŵĂƐĂŬƐŽŵϭϮͬϰс͍

KŵǀŝůůƟůůĞdžďĞƌćŬŶĂϭϮͬϰƐĊƐĞƌŵĂŶĞŌĞƌŚƵƌŵĊŶŐĂϰ͖ŽƌŵĂŶŬĂŶĚƌĂ

ŝĨƌĊŶϭϮŝŶŶĂŶĚĞƚďůŝƌŶŽůů͘

ϭϮʹϰʹϰʹϰсϬ

DĂŶƚĂƌďŽƌƚ͟ϰ͟ϯŐĊŶŐĞƌƐĊŵĂŶŬĂŶƐŬƌŝǀĂϭϮͬϰсϯ͘

DĂŶŬĂŶćǀĞŶƐćŐĂŚƵƌŵĊŶŐĂŐĊŶŐĞƌĞƩƚĂůŐĊƌŝĞƩĂŶŶĂƚƚĂů͘

!"#$%&#%'($%)*+,-.*-/01

2%3%4%)*+,2/#($+!/21

!"#$%&'

(")(%&' *+,-.!

/9((ϰнϳсϭϭ

ϯͼϱсϭϱ

ϮϰͬϮсϭϮ

sŝůŬĞŶĞůůĞƌǀŝůŬĂĂǀƚĂůĞŶŽǀĂŶćƌĞŶ͗

ƉƌŽĚƵŬƚ͗

ŬǀŽƚ͗

2D11(G'

ĨĂŬƚŽƌ͗ŽĐŚ

!'&)+/+!'&)+*+01))%

!'&)+2+!'&)+*+3455'&'(0

5%,!.&+6+5%,!.&+*+7&.31,!

^ǀĂƌ͗

09(ĞůĂƵƉƉϭϮŝƚǀĊĨĂŬƚŽƌĞƌ 09(ĞůĂƵƉƉϭϮŝƚǀĊƚĞƌŵĞƌ

^ǀĂƌ͗

^ǀĂƌ͗

6-

7-

2

Matematiklärare

-9(H%0/$-(

ĂͿϭϮнϰͼϱ

ďͿϭϮͲϭϱͬϱ

ĂͿϰͼ;ϱнϮͿ

.9(!"#$%&'&(#'2$('2&?'"2&/##%&'*+0'

ĨƌĊŐĂƚĞĐŬĞŶ͍

ĂͿϱнϰͼ͍сϭϳ

ďͿ͍нϱͼϰсϮϳ

ĐͿϰͼ;ϱн͍ͿсϮϴ

dĞƐƚĂĚŝŐ

WƌŝŽƌŝƚĞƌŝŶŐƐƌĞŐůĞƌŶĂ;ƌĂŬŶĞŽƌĚŶŝŶŐĞŶͿĨƂƌƉĂƌĞŶƚĞƐĞƌŽĐŚĚĞĨLJƌĂ

ƌĂŬŶĞƐćƩĞŶůLJĚĞƌƐĊŚćƌ͗

ϭͲWĂƌĞŶƚĞƐĞƌŽĐŚƉŽƚĞŶƐĞƌ ϮͲDƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶŽĐŚĚŝǀŝƐŝŽŶ ϯͲĚĚŝƟŽŶŽĐŚƐƵďƚƌĂŬƟŽŶ

WƌŝŽƌŝƚĞƌŝŶŐƐƌĞŐůĞƌ

1

2 3

WƌŝŽƌŝƚĞƌŝŶŐƐƌĞŐůĞƌŶĂ;ƌćŬŶĞŽƌĚŶŝŶŐĞŶ

:

; ͗

9

WĂƌĞŶƚĞƐĞƌ

DƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶ

ŽĐŚĚŝǀŝƐŝŽŶ

ĚĚŝƟŽŶ

ŽĐŚƐƵďƚƌĂŬƟŽŶ

džĞŵƉĞůϭ

5ͼϱнϭϱ͗;ϳͲϮͿ сϮͼ>IA>G>

сϭϬнϯ сϭϯ

džĞŵƉĞůϮ

AF=GE9<ͼ7IA=

сϯϬͲϭϮнϭϬ сϭϴнϭϬ

сϮϴ

59(H%0/$-('D&(-'0/$-(0%

ĂͿϱͼϰнϯͼϰ

ďͿϴͲϱнϮͼϰ

ĐͿϯͼϰнϮϬͬϱ

/9(sŝůŬĂƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƌƵƚŽƌŶĂ͍

ĂͿнϯͼϰсϭϳ ďͿϰͼ;нϯͿсϯϲ ĐͿϲнͬϮсϭϬ

?

ZćŬŶĂƵƚŽĐŚƐŬƌŝǀǀŝůŬĂĨƌƵŬƚĞƌ

ŽĐŚŚƵƌŵĊŶŐĂƐƚĂǀĨƌƵŬƚĞƌ

ŚĂƌŬƂƉƚƐ͘

ĂͿϰͼϯнϱͼϰ

ďͿϲͼϰнϳ ĐͿϮ;ϯнϰнϳͿ

ϯŬƌͬƐƚ

ϳŬƌͬƐƚ

ϰŬƌͬƐƚ

<ŽŵŵĞƌĚƵŝŚĊŐǀĂĚ

ĞŶƉŽƚĞŶƐćƌ͍

&ƂƌŬůĂƌĂĨƂƌŶĊŐŽŶ͘

WƌŝŽƌŝƚĞƌŝŶŐƐƌĞŐůĞƌ

)

3

^ŬƌŝǀŵĞĚƐŝīƌŽƌ͘

ĂͿƚƌĞŚƵŶĚƌĂĨLJƌƟŽƐũƵ

'''''''''''

ďͿƐĞdžƚƵƐĞŶĊƩĂ

ĐͿƐũƵŵŝůũŽŶĞƌƐũƵƫŽĨLJƌĂ

!

"##$%&'()

*+,-.!

ŶǀćŶĚƐŝīƌŽƌŶĂϲ͕ϳ͕ϴŽĐŚϵƐŬƌŝǀ

ĂͿĚĞƚƐƚƂƌƐƚĂƚĂůƐŽŵćƌŵƂũůŝŐƚ

ďͿĚĞƚŵŝŶƐƚĂũćŵŶĂƚĂůƐŽŵćƌŵƂũůŝŐƚ

ĐͿĚĞƚŵŝŶƐƚĂƵĚĚĂƚĂůƐŽŵćƌŵƂũůŝŐƚ

ĚͿĚĞƚŵŝŶƐƚĂƚĂůƐŽŵćƌŵƂũůŝŐƚ

H%0/$-(

ĂͿϰнϮͼϳďͿϳͼϴʹϭϱĐͿϱ;ϯнϰͿʹϴ

ĚŶĂƌćŬŶĂƌƵƚϰнϲͼϱŽĐŚƐŬƌŝǀĞƌƐǀĂƌĞƚϱϬ͘

ĚŶĂĨĊƌŝŶŐĞƚƉŽćŶŐĨƂƌƐŝƩƐǀĂƌ͘ZćŬŶĂƵƚƌćƩ

ƐǀĂƌŽĐŚĨƂƌŬůĂƌĂǀĂĚĚŶĂŐũŽƌĚĞĨƂƌĨĞů͘

/^ǀĞƌŝŐĞĮŶŶƐĚĞƚϵϳϰϴϲϳϰŝŶǀĊŶĂƌĞ͘

ǀƌƵŶĚĂĂŶƚĂůĞƚŝŶǀĊŶĂƌĞŝ^ǀĞƌŝŐĞƟůů (4'&D2%-&(#

ďͿŚƵŶĚƌĂƚĂů ĐͿƟŽƚĂů

ŶĚƌĞĂƐŚĂƌϰŬŵƟůůƐŬŽůĂŶ͘,ƵƌŵĂŶŐĂŵŝŶƵƚĞƌ

ƚĂƌĚĞƚĨƂƌŚŽŶŽŵĂƩĐLJŬůĂƟůůƐŬŽůĂŶŽŵ

ŚĂŶŚĊůůĞƌĞŶŵĞĚĞůĨĂƌƚƉĊϭϲŬŵͬŚ͍

hŶĚĞƌƐƂŬŵƂŶƐƚƌĞƚŽĐŚĂŶŐĞĚĞƚƚĂůƐŽŵćƌ

D&%#/1-(&B

<'''>'''@'''A>''JJJJ'''<<

ŶďŝůŬƂƌŵĞĚŵĞĚĞůĨĂƌƚĞŶϵϬŬŵͬŚ͘,ƵƌůĊŶŐƚ

ŚŝŶŶĞƌďŝůĞŶƉĊϮϬŵŝŶ͍

!"#$('/0'-(2&('&)?'&(#'"'&(#*+#,.%-3' E76'<56'AE6'JJJJ'6'JJJJ

ůŝƐůĞŬƟŽŶďƂƌũĂƌŬů͘ϴ͘ϭϱ͘ĞƚƚĂƌŚŽŶŽŵ

ϭϴŵŝŶƵƚĞƌĂƩŐĊƟůůƐŬŽůĂŶ͘

EćƌŵĊƐƚĞŚĂŶƐĞŶĂƐƚŐĊŚĞŵŝĨƌĊŶ͍

ĞƌćŬŶĂŵĞĚƵƉƉƐƚćůůŶŝŶŐ

ĂͿϭϮϰͼϳďͿϰϳϴͼϭϴ

/ 0

1

2

3

4

!5

H%0/$-(

(4''''''''''''''''''''''''''84''''''''''''''''''''''''';4''

!5

!!

6 7

F===

7===

E===

<==

A5==

E==

11

12

och skriv

å

4

<ƂůũĚĞƐƐĂƐƚĞŐŶćƌĚƵŐƂƌĂĚĚŝƟŽŶĞůůĞƌƐƵďƚƌĂŬƟŽŶŵĞĚĚĞĐŝŵĂůƚĂů͗

KćƌŵĂŶƐŬĂĂĚĚĞƌĂŽĐŚƐƵďƚƌĂŚĞƌĂĚĞĐŝŵĂůƚĂůƐĊćƌĚĞƚǀŝŬƟŐƚĂƩŚĊůůĂŬŽůů

ƉĊĚĞĐŝŵĂůĞƌŶĂƐƉŽƐŝƟŽŶ͘

^ƚćůůƵƉƉƚĂůĞŶƵŶĚĞƌǀĂƌĂŶĚƌĂ͕ƐĊĂƩĞŶƚĂůŚĂŵŶĂƌƵŶĚĞƌĞŶƚĂůŽĐŚƟŽƚĂůƵŶĚĞƌƟŽƚĂů͘

ĊƐćƩĞƌŵĂŶĚĞĐŝŵĂůƚĞĐŬŶĞŶƌĂŬƚƵŶĚĞƌǀĂƌĂŶĚƌĂ͘

>ćŐŐƉĊŶŽůůŽƌĞŌĞƌĚĞĐŝŵĂůƚĂůĞŶƐĊĂƩƐŝīƌŽƌŶĂŚĂƌƐĂŵŵĂůćŶŐĚ͘

+ 3 , 5 1 1 , 4

^ƚćůůƵƉƉĚĞŵƐĊĂƩĚĞĐŝŵĂůƚĞĐŬŶĞŶ

ŚĂŵŶĂƌƵŶĚĞƌǀĂƌĂŶĚƌĂ͘

- ^{2 , 4} 1 , 3 6

2

>ćŐŐƉĊŶŽůůŽƌĞŌĞƌĚĞĐŝŵĂůƚĂůĞƚ

ƐĊĂƩƐŝīƌŽƌŶĂŚĂƌƐĂŵŵĂůćŶŐĚ

EƵŬĂŶĚƵůćƩƌćŬŶĂƵƚĚĞŵ

ŵĞŶŬŽŵŝŚĊŐĂƩƐćƩĂƵƚ

ŬŽŵŵĂƚĞĐŬŶĞƚ͘

+ 3 , 5 1 1 , 4 0

+ 3 , 5 1 4 , 9 1 1 , 4 0

2 , 4 0 1 , 3 6

-

2 , 4 0

10

1 , 3 6 1 , 0 4

-

džϮ͗ '567'I'A6<E

džϭ͗ <6>A'I'A67

L)(0G'A6=7 L)(0G'76@A

-9'H%0/$-(

ĂͿϮͲϭ͕ϳϱс

ďͿϭϬнϭ͕Ϭϯс

ĐͿϭϬϬͲϬ͕ϭс

.9'H%0/$-(

ĂͿϰ͕ϯнϮ͕ϰс

ďͿϯ͕ϴнϰ͕Ϯс

ĐͿϱ͕ϲнϮ͕ϳс

59(sŝůŬĞƚƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƐƚćůůĞƚĨƂƌĨƌĊŐĂƚĞĐŬĞŶ͍

ĂͿϰ͕ϯϱͲ͍сϰ͕ϯ

ďͿϲϳ͕ϰϱϴͲ͍сϲϳ͕Ϭϱϴ

ĐͿϳϰ͕ϲϳϮͲ͍сϳϬ͕ϲϬϮ

dĞƐƚĂĚŝŐ

ŶŽůůŽƌŶĂŚĂƌŝŶŐĞƚ

ǀćƌĚĞĞŌĞƌ

.%;"1(#&(#%-' ƚ͘Ğdž

ϭ͕ϰсϭ͕ϰϬϬϬϬ

ĞĐŝŵĂůƚĂů ĚĚŝƟŽŶŽĐŚƐƵďƚƌĂŬƟŽŶ

^ƚĞŐ 2 0 _^ƚĞŐ

!

^ƚĞŐ

5

Matematiklärare

Matematiklärare

-9(ZćŬŶĂŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐ

ĂͿϬ͕ϯͼϰс

ďͿϬ͕ϯͼϬ͕ϲс

ĐͿϬ͕ϰͼϱс

.9(ZćŬŶĂŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐ

ĂͿϬ͕ϮͼϬ͕ϯс

ďͿϴͼϬ͕ϲс

ĐͿϬ͕ϰͼϬ͕ϵс

dĞƐƚĂĚŝŐ

KŵǀŝŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƌĞƩƚĂůŵĞĚƚĂůĞƚϭϬ͕ĚĊďůŝƌƉƌŽĚƵŬƚĞŶ

ϭϬŐĊŶŐĞƌƐƚƂƌƌĞćŶƚĂůĞƚƐŽŵǀŝŚĂĚĞŝďƂƌũĂŶ͘

d͘Ğdž͗ϮϱͼϭϬсϮϱϬ

ϳͼϭϬсϳϬ

KŵǀŝŚĂƌĞƩĚĞĐŝŵĂůƚĂůŽĐŚŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƌĚĞƚŵĞĚƚĂůĞƚϭϬ͕ĚĊĨĊƌ

ǀŝƉƌŽĚƵŬƚĞŶŐĞŶŽŵĂƩŇLJƩĂĚĞĐŝŵĂůƚĞĐŬŶĞƚĞƩƐƚĞŐĊƚŚƂŐĞƌ͘

d͘Ğdž͗Ϯ͕ϱͼϭϬсϮϱ

ϭ͕ϮϱͼϭϬсϭϮ͕ϱ

,='$)>')?&$)@#(,"A(-21(-22(@!*(-222

59^ćƩƵƚĚĞĐŝŵĂůƚĞĐŬŶĞƚƉĊƌćƩ

''''2&/##%'"'2)(0%&B ĂͿϮϰͼϬ͕ϵϵсϮϯϳϲ

ďͿϴ͕Ϭϴͼϭ͕Ϭϱсϴϰϴϰ

ĐͿϬ͕ϰͼϬ͕ϲсϮϰ

/9(ZćŬŶĂŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐ

ĂͿϬ͕ϯͼϭϬϬϬ

ďͿϭϮ͕ϮϱͼϭϬ

ĐͿϬ͕ϲϰͼϭϬϬ

!

EćƌŵĂŶŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƌĞƩƚĂůŵĞĚĞƩĚĞĐŝŵĂůƚĂůƐŽŵćƌ

ŵŝŶĚƌĞćŶϭ͕ďůŝƌƐǀĂƌĞƚŵŝŶĚƌĞćŶƵƌƐƉƌƵŶŐƐƚĂůĞƚ͘

d͘Ğdž͗ϰͼϬ͕ϯсϭ͕Ϯ

WƌŽĚƵŬƚĞŶćƌŵŝŶĚƌĞćŶƵƌƐƉƌƵŶŐƐƚĂůĞƚ

ƩŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂŵĞĚϬ͕ϱćƌƐĂŵŵĂƐĂŬƐŽŵĂƩĚĞůĂƚĂůĞƚŵĞĚϮ͘

d͘ĞdžϴͼϬ͕ϱсϴͬϮсϰ

DĂŶŬĂŶƚćŶŬĂĂƩƐĊŵĊŶŐĂĚĞĐŝŵĂůƚĂůƐŽŵĨĂŬƚŽƌĞƌŶĂŚĂƌ

ŐĞŵĞŶƐĂŵƚ͕ƐĊŵĊŶŐĂĚĞĐŝŵĂůƚĂůƐŬĂƉƌŽĚƵŬƚĞŶŚĂ͘

='6 A 7 ͼ ='6 E

='6 = F 7

ƚBĊĚĞĐŝŵĂůĞƌ ĞŶĚĞĐŝŵĂů

ƚƌĞĚĞĐŝŵĂůĞƌ

sŝƐŬƌŝǀĞƌŽŌĂƚĂůĞƚƐŽŵŚĂƌŇĞƐƚƐŝīƌŽƌƂǀĞƌƐƚ(

dŽƚĂů

d͘Ğdž͗'''=67'ͼϬ͕ϯсϬ͕ϭϮ

ƩƚĂůĞŌĞƌ

.%;"1(#&%;$%-

ƩƚĂůĞŌĞƌ

.%;"1(#&%;$%-

M%1%-2(1&'&)?'&(#

ĞŌĞƌĚĞĐŝŵĂůƚĞĐŬĞŶ

&ĂŬƚŽƌĞƌŶĂŚĂƌŐĞŵĞŶƐĂŵƚƚǀĊĚĞĐŝŵĂůƚĂů͕ƐĊƉƌŽĚƵŬƚĞŶƐŬĂŽĐŬƐĊ

ŚĂƚǀĊĚĞĐŝŵĂůƚĂů͘

džĞŵƉĞůϮ͗Ϭ͕ϭϰͼϬ͕ϲсϬ͕ϴϰ

ĞĐŝŵĂůƚĂů DƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶ

09(ZćŬŶĂŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐ

ĂͿϭ͕ϮͼϬ͕ϱс

ďͿϭϴͼϬ͕ϱс

ĐͿϴ͕ϰͼϬ͕Ϯϱс

69(WƌŽĚƵŬƚĞŶĂǀϬ͕ϬϯŽĐŚϮϰćƌ

ŵLJĐŬĞƚŵŝŶĚƌĞćŶϮϰ͘

'

'''''''''L(--'''''''''''''N(#2$

6

Matematiklärare

Matematiklärare

-9(O/$-('D&

ĂͿ'' ďͿ

ĐͿ'

.9(ZćŬŶĂŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐ

ĂͿ

ďͿ

ĐͿ'

dĞƐƚĂĚŝŐ

/ĞƩŚĞůƚĂůďƌƵŬĂƌǀŝŝŶƚĞƐŬƌŝǀĂƵƚĚĞĐŝŵĂůƚĞĐŬŶĞƚ͕ŵĞŶǀŝŬĂŶƚćŶŬĂ

ƉĊĂƩĞƩŚĞůƚĂůŚĂƌĞƩĚĞĐŝŵĂůƚĞĐŬĞŶƐŽŵƐƚĊƌĂůůĚĞůĞƐƟůůŚƂŐĞƌ ŽŵĞŶƚĂů͘

ƚ͘ĞdžϯϳŬĂŶƐŬƌŝǀĂƐƐŽŵϯϳ͕

ŽĐŚǀŝŬĂŶůćŐŐĂƟůůŚƵƌŵĊŶŐĂŶŽůůĂƌƐŽŵŚĞůƐƚϯϳ͕ϬϬϬϬϬ͙

KŵǀŝŚĂƌĞƩĚĞĐŝŵĂůƚĂůŽĐŚĚŝǀŝĚĞƌĂƌĚĞƚŵĞĚƚĂůĞƚϭϬ͕

ĚĊĨĊƌǀŝŬǀŽƚĞŶŐĞŶŽŵĂƩŇLJƩĂĚĞĐŝŵĂůƚĞĐŬŶĞƚĞƩƐƚĞŐĊƚǀćŶƐƚĞƌ͘

A)C)D)@#(,"A(-21(-22(@!*(-222

59(O/$-('D&

ĂͿ

ďͿ

Đ4'

Ex

ĞĐŝŵĂůƚĂů ^{ŝǀŝƐŝŽŶ}

/9(O/$-('D&

ĂͿ

ďͿ

ĐͿ''

09(ƵŚĂƌĞŶĨƂĚĞůƐĞĚĂŐƐŬĂůĂƐŽĐŚ

ƚĂƌĨƌĂŵŐůĂƐƐŽŵƌLJŵŵĞƌϯĚĞĐŝůŝƚĞƌ͘

dŝůůŚƵƌŵĊŶŐĂŐůĂƐƌćĐŬĞƌĞŶůćƐŬ

ƐŽŵƌLJŵŵĞƌϭ͕ϴůŝƚĞƌ͍

'

'' ' '

A 7

7

5 A

7 5 E с A

7 5 E с A7

7 5 E с A75

<

75E

<

<

<

#/ŐŐƟůůŶŽůůŽĐŚ

.%;"1(#&%;$%-

ϯŝϰŐĊƌ

ϭŐĊŶŐ͕ƌĞƐƚϭ

ϯŝϭϮŐĊƌ

ϰŐĊŶŐĞƌ͕ƌĞƐƚϬ

ϯŝϲŐĊƌ

ϮŐĊŶŐĞƌ

' ' ''

A 7 5 с

A 7 5 с 5

A 7 5 с

>

A75>

>

>

ϱŝϭŐĊƌ

ϬŐĊŶŐ͕ƌĞƐƚϭ

ϱŝϭϰŐĊƌ

ϮŐĊŶŐĞƌ͕ƌĞƐƚϰ

ϱŝϰϮŐĊƌ

ϴŐĊŶŐĞƌ͕ϮƌĞƐƚ

A 7 5'6'= с5F67

>

ϱŝϮϬŐĊƌ

ϰŐĊŶŐĞƌ

Exempel 1 : Exempel 2 :

5F

!"#$%&#'())*#&+,#*-"#())%./,,%0#

$%1("+,&+,#(#2/$%#)3")+0%#-1.#

&3,4+0%#5+)#$%&#*%#50/)6,(6+0%#7&#

3)#8+$#$%&#%6%)&,(6%)#309#

:/#*5+##$7#2+0+#+)83)$+#$(6#+8#

';0,3)6)()6#*/#)3")+0%)#2,(0#

%&&#.%,&+,9

7F

=65

7F'ͼA=

=65'ͼA=

7F=

5 с

с сϮϰϬ

7F

=65

7F

A= с 7F6 с

A= 76F

A7:

>

@<

5 57:

7

A56>

>

76F 5

@565>

>

E

=6A A5

=6>

5:

=6=@

75 A=

>5>

A==

<6E A=

69(ƵŚĂƌĞŶďŝůƐŽŵĚƌĂƌϬ͕ϰůŝƚĞƌ

ďĞŶƐŝŶƉĞƌŵŝů͘,ƵƌŵĊŶŐĂŵŝůŬĂŶ

ĚƵŬƂƌĂƉĊϮϬůŝƚĞƌ͍

^ǀĂƌ͗

^ǀĂƌ͗

7

ƐŬƌŝǀƐŽŵĚĞĐŝŵĂůƚĂů ĂͿϳϱƟŽŶĚĞůĂƌ

ďͿϰŚƵŶĚƌĂĚĞůĂƌ ĐͿ'E'&D2%-.%#(0

"##$%&'()

*+,-.!

sŝůŬĞƚǀćƌĚĞŚĂƌƐŝīƌĂŶϰŝƚĂůĞƚ ĂͿ'=6=7'3

ďͿ57>'<:F'3'''' ĐͿ<67F'3

KƌĚŶĂƚĂůĞŶĞŌĞƌƐƚŽƌůĞŬ͘ƂƌũĂŵĞĚĚĞŶŵŝŶƐƚĂ͘

=65>'''''''=6<'''''''''=6A=>''''''''56='''''''''=67''''''''=6<5

sćůũĚĞƚƚĂůƐŽŵćƌŶćƌŵĂƐƚϬ͕ϮϮ

565'''''''''''=65'''''''''''=65E''''''''''''=6<'''''''''''''''=6A@

O/$-('D&

ĂͿ'<'P'A6:>''''''''''ďͿ':7'P'7<6:'''''''''ĐͿ'A=A'P'F>6E

!

O/$-('D&

ĂͿ'A<67'P':6F@''''ďͿ'<67'P'A6F=E''''''''ĐͿ'A6@'P'=6F

O/$-('D&

ĂͿ'76>'I'AA''''''''''ďͿ'76F@'I'76E''''''''''ĐͿ'A56>'I'E6F

ZćŬŶĂŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐ

ĂͿϬ͕ϰͼϬ͕ϲďͿϳͼϬ͕ϰĐͿϬ͕ϲͼϰ

ZćŬŶĂŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐ

ĂͿϬ͕ϮͼϬ͕ϰďͿϬ͕ϴͼϬ͕ϰĐͿϬ͕ϴͼϱ

sŝůŬĂĂǀƉƌŽĚƵŬƚĞƌŶĂŝƌƵƚĂŶćƌ ĂͿ'1"-.0%'/-'A

ďͿ#"$('1%.'A ĐͿ'2&+00%'/-'A

ϰͼϬ͕ϰϮͼϬ͕ϱ Ϭ͕ϲͼϬ͕ϴϬ͕ϰͼϯ Ϭ͕ϯͼϮϬ͕Ϯͼϱ

ZćŬŶĂƵƚŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐŽĐŚĨƂƌƐƂŬŚŝƩĂ

ĞŶĞŶŬĞůŵĞƚŽĚ͘

ĂͿϬ͕ϱͼϭϮďͿϭϴͼϬ͕ϱĐͿϮ͕ϴͼϬ͕ϱ

ZćŬŶĂƵƚŵĞĚŚƵǀƵĚƌćŬŶŝŶŐŽĐŚĨƂƌƐƂŬŚŝƩĂ

ĞŶĞŶŬĞůŵĞƚŽĚ͘

ĂͿϬ͕ϮϱͼϭϮ

ďͿϮϬͼϬ͕Ϯϱ

ĐͿϰ͕ϴͼϬ͕Ϯϱ

2

0

/

3

1

7

6

4

!5

!!

!2

8

ƵŬƂƉĞƌŵũƂůŬƐŽŵŬŽƐƚĂƌϴ͕ϳϬŬƌͬůŝƚĞƌ͘

sĂĚĨĊƌĚƵďĞƚĂůĂŝĂīćƌĞŶĨƂƌϲůŝƚĞƌŵũƂůŬ͍

"##$%&'()

ZćŬŶĂƵƚĂůůĂŽĐŚƐŬƌŝǀǀĂĚĚƵŬĂŶĚƌĂĨƂƌ

ƐůƵƚƐĂƚƐĂǀĚŝǀŝƐŝŽŶĞƌŶĂĂͿƟůůĞͿ

<=

E

<=

>

<=

A

<=

=6>

<=

(4''''''''''''84'''''''''''';4'''''''''''''.4''''''''''''''''%4=6A

sŝůŬĞƚƚĂůƉĞŬĂƌƉŝůĞŶƉĂ͍

^ŬƌŝǀĞƩƚĂůŝƌƵƚĂŶƐĊĂƩůŝŬŚĞƚĞŶƐƚćŵŵĞƌ͘

7>

=6A сϰϱͼ

sŝůŬĞŶĂǀďĞƌćŬŶŝŶŐĂƌŶĂŐĞƌĚĞƚƐƚƂƌƐƚĂǀćƌĚĞƚ͍

ZŝŶŐĂŝŶĚŝƩƐǀĂƌ͘

^ŬƌŝǀĞƩƚĂůŝƌƵƚĂŶƐĊĂƩůŝŬŚĞƚĞŶƐƚćŵŵĞƌ͘

AE

5 сϭϲͼ

F

=67

F

=6F

=67

F F'ͼ'=67

^ŬƌŝǀĞƩƚĂůŝƌƵƚĂŶƐĊĂƩůŝŬŚĞƚĞŶƐƚćŵŵĞƌ͘

Ϭ͕ϬϰͼсϰϬ

^ŬƌŝǀĞƩƚĂůŝƌƵƚĂŶƐĊĂƩůŝŬŚĞƚĞŶƐƚćŵŵĞƌ͘

ϰ͕ϴϵϰͲсϰ͕ϴϬϰ

ŶŐĞĞƩƚĂůŵĞůůĂŶϬ͕ϬϵŽĐŚϬ͕ϭ

'ƂƌĞŶƂǀĞƌƐůĂŐƐďĞƌćŬŶŝŶŐŽĐŚƌŝŶŐĂŝŶĚĞƚďćƐƚĂ

ĂůƚĞƌŶĂƟǀĞƚƟůůϬ͕ϮϳͼϬ͕ϴϵ͘

=6=5:''''''=657'''''''=6<<''''''''567''''=65:

WůĂĐĞƌĂƚĂůĞŶϭϰŽĐŚϮϬϯŽĐŚϬ͕ϮŝƌƵƚŽƌŶĂƐĊĂƩ

ƌĞƐƵůƚĂƚĞƚďůŝƌƐĊƐƚŽƌƚƐŽŵŵƂũůŝŐƚ͘

!"#$%&'&(#'/0'=6A'1"-.0%'(-'56=73''

'ƂƌĞŶƂǀĞƌƐůĂŐƐďĞƌćŬŶŝŶŐŽĐŚƌŝŶŐĂŝŶĚĞƚ

ďćƐƚĂĂůƚĞƌŶĂƟǀĞƚƟůůϬ͕ϮϰͼϬ͕ϵϮ

=6=5<''''''=65<'''''''=6<7''''''''''565

!"#$%&'()'*+#,(-.%'&(#'/0'.%&'8/2&('-/01%)/0.%&' ƟůůϮϱ͕ϲͼϬ͕ϰϱ͍ZŝŶŐĂŝŶĚŝƩƐǀĂƌ͘

=6AA>'''''''''A6A>''''''''''AA6>''''''''AA>''''''''''AA>=

!0

!/

!3

!1

!7

!6

!4

25

2!

22

20

2/

23

21

ä

9

!(.'8#"0'

ĂͿ'R"&%'1"-.0%'/-'7=''''''''ďͿ'R"&%'2&+00%'/-'7=

ĐͿDLJĐŬĞƚŵŝŶĚƌĞćŶϰϬĚͿDLJĐŬĞƚƐƚƂƌƌĞćŶϰϬ

sĂĚćƌůŝƚĞƌƉƌŝƐĞƚƉĊĞŶůćƐŬƐŽŵŝŶŶĞŚĊůůĞƌ

Ϭ͕ϮůŝƚĞƌŽĐŚŬŽƐƚĂƌϭϮŬƌ͍

'

ŶŚŝŶŬŝŶŶĞŚĊůůĞƌϮϭůŝƚĞƌƐĂŌ͘,ƵƌŵĊŶŐĂŐůĂƐ͕

ƐŽŵƌLJŵŵĞƌϬ͕ϯůŝƚĞƌ͕ŬĂŶĚƵĨLJůůĂ͍

'

ŶďƵƌŬůćƐŬƐŽŵćƌϬ͕ϯůŝƚĞƌŬŽƐƚĂƌϭϱŬƌ͘

sĂĚćƌůŝƚĞƌƉƌŝƐĞƚĨƂƌĚƌLJĐŬĞŶ͍

7=

=6@:

,ƵƌŵLJĐŬĞƚŬŽƐƚĂƌϬ͕ϴŬŐŵĂŶŐŽŽŵ

ŬŝůŽƉƌŝƐĞƚćƌϰϬŬƌͬŬŐ͍

ƵŚĂƌĞŶĨƂĚĞůƐĞĚĂŐƐŬĂůĂƐŽĐŚƚĂƌĨƌĂŵŐůĂƐ

ƐŽŵƌLJŵŵĞƌϯĚĞĐŝůŝƚĞƌ͘dŝůůŚƵƌŵĊŶŐĂŐůĂƐ

ƌćĐŬĞƌĞŶůćƐŬƐŽŵƌLJŵŵĞƌϮ͕ϰůŝƚĞƌ͍

ŶǀĂƌĂƐŽŵŚĂƌƚǀĊŽůŝŬĂǀŝŬƚĞƌƐćůũƐŝĞŶĂīćƌ͘

ŶŬŽƐƚĂƌϰϴŽĐŚǀćŐĞƌϬ͕ϴŬŐ͕ĚĞŶĂŶĚƌĂŬŽƐƚĂƌ

ϳϱŬƌŽĐŚǀćŐĞƌϭ͕ϱŬŐ͘

sŝůŬĞŶŚĂƌďŝůůŝŐĂƌĞŬŝůŽƉƌŝƐ͍

ƵǀĞƚĂƩсϰϱϬ ĂͿ)(.'/0'''''''''''3 ďͿ!(.'/0'''''''''''3 A<>

=6<

A<>

=6A>

A<>

=6E

ƩƌĞƉćƌϯŵĞƚĞƌůĊŶŐŽĐŚƐŬĂĚĞůĂƐŝůŝŬĂƐƚŽƌĂ

8"&(0B'

,ƵƌŵĊŶŐĂĚĞůĂƌďůŝƌĚĞƚŽŵǀĂƌũĞĚĞůƐŬĂǀĂƌĂ (4'A6>'1''''''''''''''84'=65'1''''''''''''''';4'=6>'1'

ƵŚĂƌĞŶďŝůƐŽŵĚƌĂƌϬ͕ϰůŝƚĞƌďĞŶƐŝŶƉĞƌŵŝů͘

,ƵƌŵĊŶŐĂŵŝůŬĂŶĚƵŬƂƌĂƉĊϮϬůŝƚĞƌ͍

'

ŶǀĂƌĂǀćŐĞƌϱϬŐƌĂŵŽĐŚŬŽƐƚĂƌϮ͕ϱŬƌ͘

sĂĚćƌŬŝůŽƉƌŝƐĞƚ͍

*+,-.2

ƩŬŝůŽćƉƉůĞŬŽƐƚĂƌϯϬŬƌ͘

,ƵƌŵLJĐŬĞƚďĞƚĂůĂƌĚƵŽŵĚƵŬƂƉĞƌ ĂͿϮŬŐďͿϬ͕ϱŬŐ++51+Ϭ͕ϰŬŐ sŝůŬĞŶĞůůĞƌǀŝůŬĂĂǀƵƩƌLJĐŬĞŶŚĂƌƐĂŵŵĂ

ǀćƌĚĞƐŽŵϰϬͬϬ͕Ϯϱ͍

ĂͿϰϬͼϰďͿϰϬϬϬͬϮϱĐͿϰϬͬϮϱͼϭϬϬĚͿϰϬϬͬϰ '

sĂĚŚĂƌŬƂƪćƌƐĞŶĨƂƌŬŝůŽƉƌŝƐŽŵ Ϭ͕ϴŬŐŬŽƐƚĂƌϰϴŬƌ͍

"##$%&'()

H%0/$-(

ĂͿϮͼ;ϭ͕ϳнϮ͕ϯͿ ďͿ;ϭ͕ϲнϯ͕ϵͿͼϭϬ ĐͿϰͼϭ͕ϳнϯͼϭ͕Ϯ

!

2

0

/

3

1

7

6

4

!5

!!

!2

!0

!/

!3

10

Matematiklärare

Matematiklärare

-9(^ŬƌŝǀƚĂůĞŶŝƐƚŽƌůĞŬƐŽƌĚŶŝŶŐ͘

H+0,('1%.'.%&'1"-2&('&(#%&'*+02&B

.9(^ŬƌŝǀƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞƌŶĂŝŽƌĚŶŝŶŐ͘

ƂƌũĂŵĞĚůćŐƐƚĂƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ͘

dĞƐƚĂĚŝŐ

59ŶŵŽƌŐŽŶǀĂƌƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ

ͲϭϱΣ͘dŝůůŬǀćůůĞŶƐƚĞŐ

ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶŵĞĚϭϭŐƌĂĚĞƌ͘

sŝůŬĞŶǀĂƌƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶĚĊ͍

/9(^ŬƌŝǀƚǀĊƚĂůƐŽŵůŝŐŐĞƌŵĞůůĂŶ

ͲϮŽĐŚͲϲ͍

!

EĞŐĂƟǀĂƚĂů

09(sŝůŬĞƚƚĂůůŝŐŐĞƌŵŝƩĞŵĞůůĂŶ

ĂͿͲϱŽĐŚϱ͍

ďͿͲϰŽĐŚϲ͍

ĐͿͲϳŽĐŚϮ͍

69(!"#$%&'/0'.%&'-/2&('&(#%&'"'&(#*+#,.%-3

ĂͿϴ͖ϱ͖Ϯ͖͘͘͘͘͘

ďͿͲϰ͖ͲϮ͕ϱ͖Ͳϭ͖͘͘͘͘

9>'97''9<'''95''9A'''='''A'''5''''<''''7''''>

Q

EĞŐĂƟǀĂ

&(# WŽƐŝƟǀĂ

&(#

EĞŐĂƟǀĂƚĂůćƌĚĞƚĂůǀĂƌƐǀćƌĚĞćƌŵŝŶĚƌĞ

ćŶŶŽůů͘WĊĞŶƚĂůůŝŶũĞĮŶŶƐĚĞŶĞŐĂƟǀĂƚĂůĞŶ ǀćŶƐƚĞƌŽŵϬ͘WŽƐŝƟǀĂƚĂůćƌƐƚƂƌƌĞćŶϬ͘

DĂŶƐŬƌŝǀĞƌĞƩŵŝŶƵƐƚĞĐŬĞŶ͞Ͳ͟ĨƌĂŵĨƂƌŶĞŐĂƟǀĂƚĂů͘

dĂůĞƚϬćƌǀĂƌŬĞŶ

ƉŽƐŝƟǀƚĞůůĞƌ

ŶĞŐĂƟǀƚ

DŝŶƵƐƚĞĐŬŶĞƚŬĂŶǀŝƐĂƚǀĊŽůŝŬĂƐĂŬĞƌ͘

:'9;9>4'

ƐƵďƚƌĂŬƟŽŶ ŶĞŐĂƟǀƚƚĂů

KŌĂƐŬƌŝǀĞƌŵĂŶŶĞŐĂƟǀĂƚĂů

ƐŽŵ;ͲϱͿĨƂƌĂƩĚĞƚƐŬĂǀĂƌĂ

ĞdžƚƌĂƚLJĚůŝŐƚ

:ƵůćŶŐƌĞƟůůǀćŶƐƚĞƌƉĊƚĂůůŝŶũĞŶĞƩƚĂůĮŶŶƐ͕

ĚĞƐƚŽŵŝŶĚƌĞǀćƌĚĞŚĂƌĚĞƚ͘

9>'97''9<'''95''9A'''='''A'''5''''<''''7''''>

Q

DŽƚƐĂƩĂƚĂů

ďĊĚĂůŝŐŐĞƌůŝŬĂůĊŶŐƚĨƌĊŶϬ͘

dĂůĞŶϰŽĐŚ;ͲϰͿŬĂůůĂƐ

ŵŽƚƐĂƩĂƚĂů

=6>''''9<'''''A<6E''''9556>'''''9E6:

:^Ž''''''97^Ž'''E^Ž'''''9=6>^Ž''''9E^Ž

^ǀĂƌ͗

^ǀĂƌ͗

79(dĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶĂƌϰΣ͘sĂĚďůŝƌ

ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶŽŵĚĞŶƐũƵŶŬĞƌ

ϳŐƌĂĚĞƌ͍

^ǀĂƌ͗

ä

11

Matematiklärare

Matematiklärare

dĞƐƚĂĚŝŐ EĞŐĂƟǀĂƚĂů ĚĚŝƟŽŶŽĐŚƐƵďƚƌĂŬƟŽŶ

09(sŝůŬĞƚƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƌƵƚĂŶĨƂƌĂƩ

ůŝŬŚĞƚĞŶƐŬĂŐćůůĂ͍

ĂͿϱϬнсϬ ďͿͲϭϬнсϬ ĐͿͲϱͲсͲϯ

&AA)$)@#((((((((((((((((((@!*((((((((((((((D=E$%&?$)@#

K/0'(-.0('&%01'1"-2$(0' 1%.'A6'1"-2$(0'2D11(- ŽĐŬƐĊŵĞĚϭ

K/0'(-.0('&%01'1"-2$(0 ŵĞĚϭ͕ƂŬĂƌĚŝīĞƌĞƌĞŶƐĞŶ 1%.'A'

Q

6(;(.((((((F(8 6(;(-((((((F(7 6(;(2((((((F(6 ϲн;ͲϭͿсϱ ϲн;ͲϮͿсϰ

6(9(.((((((F(/

6(9(-((((((F(0 6(9(2((((((F(6 ϲͲ;ͲϭͿсϳ ϲͲ;ͲϮͿсϴ

ϲн;ͲϭͿсϱ

Q

ϲͲ;ͲϭͿсϳ

6((9(((-((((F(0 6((;(-((((F(7

ƩƐƵďƚƌĞŚĞƌĂĞƩŶĞŐĂƟǀƚ

ƚĂůŐĞƌƐĂŵŵĂƐǀĂƌƐŽŵĂƩ ĚƵĂĚĚĞƌĞƌĂƌŵŽƚƐĂƩĂƚĂůĞƚ

ƩĂĚĚĞƌĂĞƩŶĞŐĂƟǀƚƚĂů ŐĞƌƐĂŵŵĂƐǀĂƌƐŽŵĂƩĚƵ ƐƵďƩƌĞŚĞƌĂƌŵŽƚƐĂƩĂƚĂůĞƚ

8"&+)%(+!%&+7%&'(!'0'(+9.&!+,&.:,%&+3'+!-%+!':,('(+0;

3'+)%0!'+9<!%0+1!+).!+%(!4(='(+'!!+)4(10+'##'&+7#10!':,'(>

ϲн;ͲϭͿсϱ ϲͲ;ͲϭͿсϳ

6((;(9(-((((F(0 6((9((9(-((F(7

!

ZĞŐĞů͗dǀĊŽůŝŬĂƚĞĐŬĞŶĞŌĞƌǀĂƌĂŶĚƌĂŐĞƌŵŝŶƵƐ

dǀĊůŝŬĂƚĞĐŬĞŶĞŌĞƌǀĂƌĂŶĚƌĂŐĞƌƉůƵƐ

6((9(((-((((F(0 6((;(-((((F(7

Ex

^{ϮͲ;нϯͿ}

^Q

dǀĊŽůŝŬĂƚĞĐŬĞŶĞŌĞƌǀĂƌĂŶĚƌĂĞƌƐćƩƐ

1%.'1"-D2

ϮͲϯсͲϭ

Q

ŌĞƌƐŽŵĚƵŚĂƌĞƩŵŝŶƵƐŇĞƌćŶ ƉůƵƐďůŝƌƐǀĂƌĞƚͲϭ͘

/ ?/ ?

? dǀĊŵŝŶƵƐŽĐŚƚǀĊƉůƵƐƚĂƌďŽƌƚǀĂƌĂŶĚƌĂƐĊ ĚƵŚĂƌďĂƌĂĞŶŵŝŶƵƐŬǀĂƌ͘

.9(H%0/$-(

(4'A='9'7 84'7'9'A=

;4'A<'9'A7

59(H%0/$-(

ĂͿϱн;ͲϯͿ ďͿϲͲ;ͲϰͿ ĐͿϭϮͲ;нϭϱͿ /9(H%0/$-(

ĂͿ;ͲϲͿͲ;ͲϵͿ ďͿ;ͲϴͿͲ;ͲϱͿ ĐͿ;ͲϲͿн;ͲϰͿ

-9(!"#$%&'&%;$%-'2$('2&?'"'0D&(-3

ĂͿϱͲ;ͲϰͿсϱϰ ďͿϴн;ͲϱͿсϴϱ ĐͿϮн;ͲϵͿсϮϵ

69(sŝůŬĞƚƚĂůćƌĚĞƚŵŽƚƐĂƩĂƚĂůĞƚ

Ɵůůϳ͍

^ǀĂƌ͗

12

Matematiklärare

Matematiklärare

dĞƐƚĂĚŝŐ EĞŐĂƟǀĂƚĂů DƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶŽĐŚĚŝǀŝƐŝŽŶ

09(sŝůŬĞƚƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƌƵƚĂŶĨƂƌĂƩ

ůŝŬŚĞƚĞŶƐŬĂŐćůůĂ͍

ĂͿϱϬнсϬ ďͿͲϭϬнсϬ ĐͿͲϱͲсͲϯ

>ŝŬĂƚĞĐŬĞŶKůŝŬĂƚĞĐŬĞŶ

EćƌĨƂƌƐƚĂĨĂŬƚŽƌŶŵŝŶƐŬĂƌ

ŵĞĚϭ͕ŵŝŶƐŬĂƌƉƌŽĚƵŬƚĞŶ 1%.'>'

EćƌĨƂƌƐƚĂĨĂŬƚŽƌŶŵŝŶƐŬĂƌ ŵĞĚϭ͕ƂŬĂƌƉƌŽĚƵŬƚĞŶ 1%.'>'

Q

5(ͼ((0(((F(-2 -(ͼ((0(((F(0 2(ͼ(0(((F(2 9-(ͼ(0(((F(90 9.(ͼ(0(((F(9-2

5(ͼ;ͲϱͿсͲϭϬ -(ͼ;ͲϱͿсͲϱ 2(ͼ;ͲϱͿсϬ 9-(ͼ;ͲϱͿсϱ 9.(ͼ;ͲϱͿсϭϬ

9-(ͼ(0(((F(90

Q

9-(ͼ;ͲϱͿсϱ

!

^{ZĞŐĞů͗}'''''''''''''

.9(H%0/$-(

(4' 84

;4'

59(sŝůŬĞƚƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƐƚćůůĞƚĨƂƌdž͍

(4'<'ͼ;ͲdžͿсͲϭϮ

ďͿ;ͲϯͿͼdžсϭϴ

;4''97'ͼdžсϴ /9(H%0/$-(

ĂͿ;ͲϲͿͼ;ͲϵͿ ďͿ;ͲϴͿͼ;ͲϱͿ ĐͿ;ͲϲͿͼ;ͲϰͿ

-9(O/$-('D&

(4';ͲϱͿ(ͼ(;ͲϳͿ

84''F'(ͼ(;ͲϯͿ

;4'':(ͼ(;ͲϭϰͿ

69(sŝůŬĞƚƚĂůćƌĚĞƚŵŽƚƐĂƩĂƚĂůĞƚ

Ɵůůϳ͍

^ǀĂƌ͗

KůŝŬĂƚĞĐŬĞŶŐĞƌŶĞŐĂƟǀƉƌŽĚƵŬƚ

>ŝŬĂƚĞĐŬĞŶŐĞƌƉŽƐŝƟǀƉƌŽĚƵŬƚ WƌŽĚƵŬƚĞŶĂǀĞƩŶĞŐĂƟǀƚƚĂů

ŽĐŚĞƩƉŽƐŝƟǀƚƚĂůćƌŶĞŐĂƟǀ͘ WƌŽĚƵŬƚĞŶĂǀƚǀĂŶĞŐĂƟǀĂƚĂů

ćƌƉŽƐŝƟǀ͘

/ ?? / // / /? ?

?? ͼ((((((F

ͼ((((((F ͼ((((((F ͼ((((((F

!

^{ZĞŐĞů͗}'''''''''''''

KůŝŬĂƚĞĐŬĞŶŐĞƌŶĞŐĂƟǀƉƌŽĚƵŬƚ

>ŝŬĂƚĞĐŬĞŶŐĞƌƉŽƐŝƟǀƉƌŽĚƵŬƚ

/ ?? / // / /

?

??

F ? F

F F

;ͲϮϭͿ

<

AF

;ͲϲͿ

;ͲϭϮͿ

;ͲϰͿ

ŝǀŝƐŝŽŶ

;ͲϭϮͿ

dž ;ͲϰͿ sŝĚĚŝǀŝƐŝŽŶŬƌŽĐŬĂƌƚĞĐŬŶĞŶ

ŽĐŚĚĞŵĊƐƚĞďLJƚĂƐƵƚ͘

^ǀĂƌ͗ϯ

!!!

Vid addition och subtrktion krockar inte tecknen och de behöver darför inte bytas ut.

Exempel 1: - 4 + 6 = 2 Exempel 2: - 4 - 6 = -10

a) 9 · (-4) = b) (-4) · 7 c) (-6) · (-9)

a) (-6) · = 30 b) · 4 = -8 c) (-6) · = -18

6- Beräkna (-3) · (-5) + 7

13

sŝůŬĞƚƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƐƚćůůĞƚĨƂƌdžĨƂƌůŝŬŚĞƚĞŶ

ƐŬĂŐćůůĂ͍

ĂͿϰͼdžсͲϭϮ

ďͿ;ͲϱͿͼdžсϯϬ

ĐͿϰͼ;ͲdžͿсϴ

H%0/$-('1%.%#)/0.%&'()'&(#%- ĂͿ;ʹϲͿŽĐŚ;ʹϰͿ

ďͿ;ʹϴͿ͕;ʹϮͿŽĐŚϬ ĐͿ;ʹϯͿ͕;ʹϮͿ͕ϬŽĐŚϯ

"##$%&'()

*+,-.!

sŝůŬĞƚǀćƌĚĞŚĂƌdž͍

ĂͿϳнdžсϰďͿdžнϳсϱĐͿdžнϵсϬ H%0/$-(

ĂͿϱн;ͲϰͿďͿͲϱн;ͲϱͿĐͿϯн;ͲϱͿ

H%0/$-(

ĂͿϱͲ;ͲϰͿďͿͲϱͲ;ͲϱͿĐͿϯͲ;ͲϱͿ H%0/$-(

(4''''''''''''''''''''''''''''84'''''''''''''''''''''''';4'

H%0/$-(

ĂͿϱͲ;ͲϳͿďͿϯͲ;ͲϮϮͿĐͿͲϯͲ;ͲϭϭͿ

!

!

!

!

!

2.

dĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶƐũƂŶŬĨƌĂŶнϲΣƟůůʹϰΣ͘

,ƵƌŵĂŶŐĊŐƌĂĚĞƌƐũƂŶŬƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ͍

Vilket tal ligger mitt emellan –7 och 5?

Vilket tal ligger mitt emellan –5 och 2?

sĂƌũĞƌƵƚĂćƌƐǀĂƌĞƚƉĊƉƌŽĚƵŬƚĞŶĂǀĚĞƚǀĊ

ƌƵƚŽƌŶĂĚĞƐƚĊƌƉĊ͘&LJůůŝƚŽŵŵĂƌƵƚŽƌŶĂ͘

!

!

!

!

!

!

!

!

!

Beräkna 13 - 39 + 7 sŝůŬĞƚƚůƐŬĂƐƚĊŝƌƵƚĂŶĨƂƌĂƩůŝŬŚĞƚĞŶƐŬĂŐćůůĂ͍

ĂͿϴͲсϲ

ďͿϯͲсͲϰ

ĐͿͲϯͲсϱ

O/$-('D&

ĂͿϯͼ;ͲϴͿ ďͿ;ͲϰͿͼ;ͲϱͿĐͿϰͼ;ͲϭϰͿ

H%0/$-(

ĂͿ;ͲϰͿͼϲ ďͿ;ͲϲͿͼ;ͲϳͿĐͿϴͼ;ͲϵͿ

7'''''''''''95'''''''''''9<''' 9F

(4

7'''''''''''95'''''''''''9<''' 9F

84

9A5 E

5=

;ͲϰͿ

;ͲϮϮͿ

;ͲϮͿ

1

8

9

10 11 12 13

14

15 2

3

4

5

6

7

1

-4 3 -2 b)

14

*+,-.! *+,-.2

Under en vecka läste Markus av foljande temperaturer kl 13.00.

Berakna medeltemperaturen.

/ƚĂďĞůůĞŶĂŶŐĞƐƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶŝΣĨƂƌ

ŚƵǀƵĚƐƚĂĚĞƌŶĂŝEŽƌĚĞŶĞŶĚĂŐŝŵĂƌƐ͘

,ƵƌŵĂŶŐĂŐƌĂĚĞƌƐŬŝůũĞƌĚĞƚŵĞůůĂŶĚĞƐƚćĚĞƌ

ĚćƌƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌƐŬŝůůŶĂĚĞŶćƌƐƚƂƌƐƚ͍

!"#$%&'%##%0')"#$('()'&(#%-'/0'2&+00%'/-'9A3 9>

E

9:

(4''''''''''''''''''84'9A65'''''''''';4''''''''''''''''.4'9=6@@''<

!"#$('/0'.%'&)?'-/2&('&(#%-'"'&(#*+#,.%0-(3 (4':6'76'A6'BBB6'BBBB

ďͿϱ͖ϯ͕ϱ͖Ϯ͖͖͘͘͘͘͘͘͘͘

ĐͿͲϭϬ͖Ͳϳ͕ϱ͖Ͳϱ͖ͲϮ͕ϱ͖͖͘͘͘͘͘͘͘͘

!

H%0/$-(

ĂͿ;ͲϯͿͲ;ͲϰͿͲϲďͿϳͲ;ͲϰͿͲ;ͲϭͿ

!

H%0/$-(

ĂͿ;ͲϭͿͼ;ͲϭͿͼ;ͲϭͿďͿϮͼ;ͲϮͿͼϮ

!

H%0/$-(

ĂͿϰͼ;ͲϯͿͲ;ͲϱͿďͿͲϮͼ;ͲϰͿͲϳ

!

H%0/$-(

ĂͿͲϰͼ;ͲϯͿнϮͼ;ͲϱͿďͿϱͼ;ͲϰͿͲϳͼ;ͲϯͿ

!

H%0/$-(

ĂͿ;ͲϭͿͼϭͼ;ͲϭͿͼ;ͲϭͿͼϭďͿͲϮͼ;ͲϮͿͼ;ͲϮͿͼ;ͲϮͿ

! !

!

Kvoten av två tal är -4. Ge tre förslag på täljare och nämnare.

!

!

"##$%&'()

17

18

19

20

21 16

22

23

24

25

följande

Beräkna

15

ĞƐƚĂŵǀćƌĚĞƚĂǀdžͼLJнLJ ŽŵdžсϮŽĐŚLJсͲϯ

ŵŝůŚĂƌĂǀůĂƐƚƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶƵŶĚĞƌĞŶǀĞĐŬĂ

ŽĐŚŚĂƌďĞƌĂŬŶĂƚŵĞĚĞůƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶƟůůϭΣ͘

/ŚĂŶƐƌĞĚŽǀŝƐŶŝŶŐĂǀƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞƌŶĂŚĂƌĞƩ

ǀĂƌĚĞĨĂůůŝƚďŽƌƚ͘sŝůŬĞƚ͍

( 8

( 8

H%0/$-(

ĂͿϯͼ;ͲϬ͕ϱͿͲ;ͲϮ͕ϱͿďͿͲϬ͕ϰͼ;ͲϬ͕ϳͿнϬ͕ϴ

*+,-.2

!

!

!

!

!

!

!

!

!

"##$%&'()

ͲϰϯϬdžͲϭϮϰ

ĞƐƚćŵǀćƌĚĞƚĂǀƵƩƌLJŬĞŶŽŵĂсϱŽĐŚďсͲϯ (4'5('I'8''''''''''''''''''''''''''''''84'7('9'8

ĞƐƚćŵǀćƌĚĞƚĂǀƵƩƌLJŬĞŶ

ŽŵĂсϭϱŽĐŚďсͲϯ

(4'''''''''I'8'''''''''''''''''''''84''''''''''9'8

26

27

28

29

30

31

Beräkna värdet av uttrycket 4x - 5y om a) x = 4, y = -5 b) x = -4, y = -6

30

Beräkna värdet av uttrycket 2x - 4y om a) x = -3, y = -2 b) x = -4, y = 3

32

16

Matematiklärare

Matematiklärare

dĞƐƚĂĚŝŐ WŽƚĞŶƐĞƌ

!

^{ZĞŐĞů͗}'''''''''''''

dž͗

5' ^{ǔǓǥ ǗǪǢǡǠǗǠǦ}

<

dĂůĞƚƵƉƉůćƐĞƐ͞ƚǀĊƵƉƉŚƂũƚƚŝůůƚƌĞ͘͟ϮćƌďĂƐŽĐŚϱćƌĞdžƉŽŶĞŶƚ͘

WŽƚĞŶƐĞƌĂŶǀćŶĚƐĨƂƌĂƩƐŬƌŝǀĂƵƉƉƌĞƉĂĚĞŵƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶĞƌ 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 dĂůĞƚϮƐŬĂŵƵůƚŝƉůŝĐĞƌĂƐ

ŵĞĚƐŝŐƐũćůǀƚŽĐŚĚĞƚƐŬĂ

ŵƵůƚŝƉůŝĐĞƌĂƐϱŐĊŶŐĞƌ ϱƐƚ

ƚƌĞŝŬǀĂĚƌĂƚ ŬǀĂĚƌĂƚĞŶƉĊϯ ƚƌĞƵƉƉŚƂũĚƚŝůůϮ

S >

WŽƚĞŶƐ

dĂůŝŬǀĂĚƌĂƚ

5

WŽƚĞŶƐϯ^.(ƵƚůćƐĞƐƉĊƚƌĞŽůŝŬĂƐćƚƚ

ƩƚĂůƵƉƉŚƂũƚƟůůϬćƌϭ͕ŽŵďĂƐĞŶŝŶƚĞćƌϬ͘

ƩƚĂůƵƉƉŚƂũƚƟůůϭćƌƚĂůĞƚƐũćůǀ͘

>^='сϭ F^='сϭ A==^='сϭ 7^A'сϰ :^A'сϳ A=^A'сϭϬ

.9(H%0/$-(

(4'A=^<

84'5⁷

;4'A^A@F

/9(ĞƌćŬŶĂŽĐŚĚŝƐŬƵƚĞƌĂǀĂƌĨƂƌĚƵĨĊƌ

ƚǀĊŽůŝŬĂƐǀĂƌ ĂͿ;Ͳ54⁷

84'95⁷ 09(H%0/$-('

(4'=67⁵ ďͿ;ͲϬ͕ϳͿ⁵

-9^ŬƌŝǀŝƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ

ĂͿƚƌĞƵƉƉŚƂũƚƟůůĨLJƌĂ ďͿƟŽƵƉƉŚƂũƚƟůůƐũƵ ĐͿϮͼϮͼϮͼϮͼϮͼϮ ĚͿ;ͲϯͿͼ;ͲϯͿͼ;ͲϯͿ

59(H%0/$-(

(4'9'5^<

ďͿ;Ͳ54⁷

;4'A<⁼

Ex

ĞƐƚćŵǀćƌĚĞƚƵƚĂŶĂƩĂŶǀćŶĚĂŵŝŶŝƌćŬŶĂƌĞϱͼϮ^<

/6789:+;<8=<8:><869?<>97><+9@<+;=:>6?><+

ĨƂƌĞŵƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶƐĊǀŝďƂƌũĂƌĂůůƚƐĊ

ŵĞĚĂƩƌćŬŶĂƵƚϮAB+++

>'ͼ5^<

сϱͼϮͼϮͼϮ сϱͼF сϰϬ

Ex

ĞƌćŬŶĂ;Ͳ74⁵

ƩŶĞŐĂƟǀƚƚĂůŐĊŶŐĞƌƐŝŐƐũćůǀƚďůŝƌĞƩƉŽƐŝƟǀƚƚĂů͘

;Ͳ74⁵ с;974^'ͼ;974

сϭϲ ^G((((((H? сͿ? /

Ex

ĞƌćŬŶĂ;Ͳϰ4^<

с;ͲϰͿͼ;ͲϰͿ^'ͼ;ͲϰͿ^' с;нϭϲͿͼ;ͲϰͿ^'

Ex

ĞƌćŬŶĂ;Ϭ͕ϯ4⁵ с;Ϭ͕ϯͿͼ;Ϭ͕ϯͿ^'

;Ϭ͕ϯ4⁵ сϬ͕Ϭϵ

сͲϲϰ

S

^{/ ?/?} _/^///

?

?

?? ͼ((((((F

ͼ((((((F ͼ((((((F ͼ((((((F

09(H%0/$-('

(4'7^5''I'5^<' 84'>^''9'5^7' 6-

17

Matematiklärare

Matematiklärare

dĞƐƚĂĚŝŐ WŽƚĞŶƐĞƌ

.9(^ŬƌŝǀƵƚĂŶƉŽƚĞŶƐ

(4':'ͼA=^<

84'@'ͼA=^:

;4'A>'ͼA=⁷

/9(sŝůŬĞƚƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƐƚćůůĞƚĨƂƌdž͍

ĂͿϳϱŽŽŽсϳ͕ϱͼϭϬ^dž 84'A65>'ͼA=^džсϭϮϱϬ^'

09(^ŬƌŝǀƚĂůĞƚŝŐƌƵŶĚƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ

ĂͿϭϲϱŽŽŽ ďͿϳϱŽŽŽŽŽŽ

-9^ŬƌŝǀƐŽŵĞŶƟŽƉŽƚĞŶƐ

(4'A'===

84'A=='===

;4'=6==A .4'=6=======A

59(^ŬƌŝǀƵƚĂŶƉŽƚĞŶƐ

(4'F67'ͼϭϬ^E 84'765>'ͼϭϬ⁷

;4'7>'ͼϭϬ⁹⁷

Ex

ĞƐƚćŵǀćƌĚĞƚƵƚĂŶĂƩĂŶǀćŶĚĂŵŝŶŝƌćŬŶĂƌĞA=⁷ A=^7'сϭϬͼϭϬͼϭϬͼϭϬ

сϭϬϬϬϬ

Ex

H%0/$-('ϰͼϭϬ^<

A=^<'сϭϬͼϭϬͼϭϬ

сϭϬϬϬ с/(222

09(^ŬƌŝǀƚĂůĞƚŝŐƌƵŶĚƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ

(4'=6====7 84'=6=====:>

dŝŽƉŽƚĞŶƐŽĐŚŐƌƵŶĚƉŽƚĞŶƐ

dŝŽƉŽƚĞŶƐĞƌ

DĞĚƚŝŽƉƚĞŶƐŵĞŶĂƌŵĂŶƚĂůĞƚŵĞĚďĂƐĞŶƚŝŽ͘d͘ĞdžϭϬϼ͘

A=T A=U

A=V W(#

W(#'"' ƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ

A'=== A== A= A сϬ͕ϭ

A=϶ A=^9A A=⁹⁵

ƚƚƐŬƌŝǀĂĞŶŵĂƐƐĂŶŽůůŽƌŝƐůƵƚĞƚĂǀĞƚƚŚĞůƚĂůĞůůĞƌŝďƂƌũĂŶĂǀ

ĞƚƚĚĞĐŝŵĂůƚĂůŬĂŶǀĂƌĂũŽďďŝŐĂŝďůĂŶĚƐĊǀŝƐŬƌŝǀĞƌƐĊĚĂŶĂƚĂůŝ

ƚŝŽƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ

A

A= ^A сϬ͕Ϭϭ

A==

ϰͼϭϬ^<'сϰͼA='ͼϭϬͼϭϬ

Ex

L$0")'=6====:ŝƟŽƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ

Ϭ͕ϬϬϬϬϳсϳͼϬ͕ϬϬϬϬϭсϳͼϭϬ^9>'' ;Ϭ͕ϬϬϬϬϳсϭϬ^9>4 сϳͼϭϬϻ

'ƌƵŶĚƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵćƌĞŶƚŝŽƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵƐŽŵĂŶǀćŶĚƐĨƂƌĂƚƚ

ƌĞƉƌĞƐĞŶƚĞƌĂŵLJĐŬĞƚƐƚŽƌĂŽĐŚŵLJĐŬĞƚƐŵĊƚĂů͘DĊŶŐĂŬǀĂŶƚŝƚĞƚĞƌ

ƐŽŵĨŽƌƐŬĂƌĞćƌŝŶƚƌĞƐƐĞƌĂĚĞĂǀćƌĂŶƚŝŶŐĞŶĨƂƌƐƚŽƌĂĞůůĞƌĨƂƌƐŵĊ͘

ĞƚćƌŵLJĐŬĞƚƐǀĊƌƚĂƚƚůćƐĂƐĊĚĂŶĂŶƵŵŵĞƌĞůůĞƌŚĂŶƚĞƌĂĚĞŵ͘

dĂĐŬǀĂƌĞĚĞŶŐƌƵŶĚƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵĞŶŬĂŶǀŝďůŝĂǀŵĞĚƐĊĚĂŶĂ

ƐǀĊƌŝŐŚĞƚĞƌŐĞŶŽŵĂƚƚĂŶǀćŶĚĂƚŝŽƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ͘

'ƌƵŶĚƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵŐƂƌĚĞƚĞŶŬĞůƚĨƂƌŽƐƐĂƚƚŚĂŶƚĞƌĂŵLJĐŬĞƚ

ƐƚŽƌĂŽĐŚŵLJĐŬĞƚƐŵĊƚĂůŝǀĊƌĂůŝǀ͘

ƚƚƚĂůƐŬƌŝǀƐƐŽŵĨĂŬƚŽƌĞƌ ĂǀƚǀĊƚĂů͘ĞƚĨƂƌƐƚĂćƌĞƚƚ ƚĂůŵĞůůĂŶϭŽĐŚϭϬ͕

ĚĞŶĂŶĚƌĂƚŝŽƉŽƚĞŶƐ͘

.10(H(-2

^--

dĂůŵĞůůĂŶϭͲϭϬ dŝŽƉŽƚĞŶƐ

dž͘

'L$0")'5>='==='==='==='"'

ŐƌƵŶĚƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ͘

Ϯ͕ϱϬϬϬϬϬϬϬϬϬϬ͕с'56>'ͼA=^AA

ϭϭƐƚĞŐ

'ƌƵŶĚƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ

; ;

6-

18

Matematiklärare

Matematiklärare

dĞƐƚĂĚŝŐ WŽƚĞŶƐĞƌ

/9(,ƵƌŵLJĐŬĞƚćƌŚćůŌĞŶĂǀ5^F'3

DŽƟǀĞƌĂĚŝƩƐǀĂƌ͘

09(sŝůŬĞƚƚĂůćƌĚƵďďĞůƚƐĊƐƚŽƌƚ

ƐŽŵ5^>=3'

59(^ŬƌŝǀƐŽŵĞŶƉŽƚĞŶƐ

(4' 84'

;4

Ex

O/$-('D&''5^7'ͼϯ⁵ 5^7'сϮͼϮͼϮͼϮсϭϲ

<^5'сϯͼϯсϵ

DƵůƟƉůŝŬĂƟŽŶŽĐŚŝǀŝƐŝŽŶ

DƵůƚŝƉůŝŬĂƚŝŽŶ

KŵƉŽƚĞŶƐĞƌŶĂŚĂƌŽůŝŬĂďĂƐĞƌƌćŬŶĂƌŵĂŶƵƚƉŽƚĞŶƐĞƌŶĂĨƂƌƐƚ ƐĞĚĂŶŵƵůƚŝƉůŝĐĞƌĂƌŵĂŶƚĂůĞŶŵĞĚǀĂƌĂŶĚƌĂ͘

AE'ͼϵсϭϰϰ

S

Ex

O/$-('D&''<^7'ͼϯ^<

<^7'ͼ<⁵сϯͼϯͼϯͼϯ'ͼϯͼϯс<^7'I'5'с<^E

DĂŶĂŶǀćŶĚĞƌŝƐƚćůůĞƚƉŽƚĞŶƐůĂŐĂƌŶĂŽŵƉŽƚĞŶƐĞƌŶĂŚĂƌ

2(11('8(2B'

dž

^('

ͼdž

^8'

сdž

^('I'8'

'

Ex

ŝǀŝƐŝŽŶ

Division med potenser har samma regler som multiplikation.

<^E'

<⁷

ϯͼϯͼϯͼϯͼϯͼϯ

ϯͼϯͼϯͼϯ ϯͼϯͼϯͼϯͼϯͼϯ

ϯͼϯͼϯͼϯ сϯͼϯс'<⁵ ,ćƌŬĂŶĚƵĨƂƌŬŽƌƚĂ

ĚŝǀŝƐŝŽŶĞŶ͘

X##%0G <^E'

<⁷ с<^E97'с<⁵ dž^('

dž⁸

сdž

^('9'8'

'

EĞŐĂƚŝǀĂĞdžƉŽŶĞŶƚĞƌ

En potens med en negativ exponent kan skrivas som ett bråk med täljaren 1.

A 7⁵

A

7

^9'5'

ссс

_7'^A_ͼϰ AE с

!

ƩŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƚǀĊƉŽƚĞŶƐĞƌƐŽŵŚĂƌƐĂŵŵĂďĂƐćƌ

ƐĂŵŵĂƐĂŬƐŽŵĂƩĂĚĚĞƌĂĞdžƉŽŶĞŶƚĞƌŶĂ͘

ƩĚŝǀŝĚĞƌĂƚǀĊƉŽƚĞŶƐĞƌƐŽŵŚĂƌƐĂŵŵĂďĂƐćƌƐĂŵŵĂ

ƐĂŬƐŽŵĂƩƐƵďƚƌĂŚĞƌĂĞdžƉŽŶĞŶƚĞƌŶĂ͘

.9(ĞƌćŬŶĂŽĐŚƐǀĂƌĂŝƉŽƚĞŶƐĨŽƌŵ

(4'A=ϻ'ͼA=V 84'7V'ͼ7Ͻ ĐͿdžϼͼdž^<

-9'H%0/$-(

(4'7U'I'<U 84'<U'ͼϮU'

;4'7'I'5V .4'<U'9'>U

(^A5' (^F dž^>' dž^:

@^:'

@^<

69'H%0/$-(

(4'A=^9<

84'<⁹⁵

;4'5⁹⁷ .4'>⁹⁵

19

^ŬƌŝǀƐŽŵĞŶƉŽƚĞŶƐ ĂͿƐũƵƵƉƉŚƂũƚƟůůĨLJƌĂ ďͿĂƵƉƉŚƂũƚƟůůĨĞŵ ĐͿƟŽƵƉƉŚƂũƚƟůůŶŽůů

"##$%&'()

*+,-.!

H%0/$-(

(4'<⁷''''''''''''''''''''''84'@⁵'''''''''''''''''''''';4'5⁷

!

^ŬƌŝǀƐŽŵĞŶƉŽƚĞŶƐŽĐŚďĞƌćŬŶĂ ĂͿďĂƐĞŶćƌϰŽĐŚĞdžƉŽŶĞŶƚĞŶćƌϮ ďͿďĂƐĞŶćƌϭŽĐŚĞdžƉŽŶĞŶƚĞŶćƌϭϬϬ ĐͿďĂƐĞŶćƌ;ͲϮͿŽĐŚĞdžƉŽŶĞŶƚĞŶϯ H%0/$-(

(4'9'<⁷'ďͿ;Ͳ<4⁷'''''''''''''''''';4'=^A='

!

!

!

!

!

!

!

!

!

H%0/$-(

(4'A=⁷''''''''''''''''''''''84'A=^E'''''''''''''''''''''';4'A=⁼

!"#$%&'&(#'/0'2&+02&3 (4'5^>''%##%0''>⁵''' 84'A=⁷'%##%0''A='ͼϰ

;4'AA⁵'%##%0'5^AA

H%0/$-(

(4'=6<⁵''''''''''''''''''''''84'=6:⁵'''''''''''''''''''''';4'=6A^<

sŝůŬĞƚƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƐƚćůůĞƚĨƂƌdž͍

(4'7^džсϭϲďͿ=6>^džсϬ͕Ϯϱ''''''''''';4'dž^5'сϰϵ

*+,-.2

H%0/$-(

ĂͿ;ͲϬ͕<4⁵'ďͿ;Ͳ=654^<'''''''''''''''''';4'9A^A='

ƩďĞĨƌƵŬƚĂƚćŐŐĚĞůĂƌƐŝŐŝƚǀĊŶLJĂĐĞůůĞƌ͘ĞƐƐĂ

ŶLJĂĐĞůůĞƌĚĞůĂƌƐŝŐƉĂƐĂŵŵĂƐćƩ͘

,ƵƌŵĊŶŐĂĐĞůůĞƌĮŶŶƐĚĞƚĞŌĞƌĊƩĂĚĞůŶŝŶŐĂƌ͍

^ŬƌŝǀŝŐƌƵŶĚƉŽƚĞƐĨŽƌŵ

(4'7>='==='===''''''''''''''''''''''84':E'===

!

Vilket är nästa tal i talföljden?

1 5 25 125

Vilket är det 10:e talet i talföljde. Skriv svaret i potensform

1 3 9 27

1

7

8 9

10

11

12

13 2

3

4

5

6

20

Beräkna 6 · 10⁴ 3 · 10²

Beräkna 7 · 10⁴ + 4 · 10³ 2 · 10²

Förklara hur du kan beräkna 2¹⁴ om du vet att 2¹³ = 8 192

3⁸ = 6 561. Vad är 3⁹ ?

Hur många gånger större är 9⁸ än 9⁷ ?

Vilket tal är 9 gånger så stort som 3²⁵ ? Skriv i potensform.

14

Uppgifter

17

18

19 15

16

21

Extra

22

Matematiklärare

dĞƐƚĂĚŝŐ

<ǀĂĚƌĂƚƌƂƩĞƌ

.9(,ƵƌůĊŶŐćƌƐŝĚĂŶŝĞŶŬǀĂĚƌĂƚŽŵ '''''(0%(-'/0

(4'7@';1U'3 84'<E'.1U'3

;4'7==';1U'3

/9(ĞƌćŬŶĂŽĐŚĂǀƌƵŶĚĂƟůůϮĚĞĐŝŵĂůĞƌ͘

'''''Y-)/-.'0/$-(0%B (4''''7:

84''''A7

09(DĞůůĂŶǀŝůŬĂŚĞůƚĂůůŝŐŐĞƌ

ŶćƌŵĞǀćƌĚĞƚƟůů (4'''A5

84'''<<

-9ĞƌćŬŶĂŬǀĂĚƌĂƚĂƌŽƚĞŶƵƌ

(4'7 84'E7

;4'FA .4'A==

59(H%0/$-(

(4'''@

84'''A

;4''''(U

Ex

09(H%0/$-('

(4''''=6=7 84''''=65>

sŝůŬĞƚƚĂůĨĊƌĚƵŽŵĚƵŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƌϱŵĞĚƐŝŐƐũćůǀ͍

ϱͼϱсϮϱ

sŝůŬĞƚƉŽƐŝƟǀƚƚĂůŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƚŵĞĚƐŝŐƐũćůǀďůŝƌϮϱ͍

Ϯϱсϱͼϱ

Roten ur ett tal är motsatsen till att ta kvadraten på talel.

Roten ur ett tal är att ta reda på vilket tal har multiplicerat

/ŶŶĂŶĚƵĨƂƌƐƚĊƌǀĂĚƌŽƚĞŶƵƌĞƩƚĂůćƌ͕ćƌĚĞƚǀŝŬƟŐƚĂƩĚƵ

ĨƂƌƐƚĊƌďĞƚLJĚĞůƐĞŶĂǀŬǀĂĚƌĂƚĞŶĂǀĞƩƚĂů͘

/ƟĚŝŐĂƌĞĂǀƐŶŝƩŚĂƌǀŝůćƌƚŽƐƐŽŵŬǀĂĚƌĂƚĞŶĂǀĞƩƚĂůŽĐŚǀŝǀĞƚ

ĂƩŬǀĂĚƌĂƚĞŶĂǀĞƩƚĂůćƌůŝŬĂŵĞĚƚĂůĞƚŵƵůƟƉŝůŝĐĞƌĂƚŵĞĚƐŝŐ

Ɛũćůǀƚ͘sŝƐƂŬĞƌĂůůƚƐĊĞƩƚĂůƐŽŵŐĊŶŐĞƌƐŝŐƐũćůǀƚ͘

<ǀĂĚƌĂƚƌŽƚĞŶćƌƉƌĞĐŝƐŵŽƚƐĂƚƐĞŶƟůůŬǀĂĚƌĂƚĞŶ͘

ZŽƚĞŶƵƌĞƩƚĂůćƌĞƩƚĂůƐŽŵŬĂŶŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƐŵĞĚƐŝŐƐũćůǀĨƂƌ

ĂƩŐĞĚĞƚƵƌƐƉƌƵŶŐůŝŐĂƚĂůĞƚ͕ĂůůƚƐĊƚĂůĞƚƐŽŵŵĂŶŚĂĚĞĨƌĊŶďƂƌũĂŶ͘

<ǀĂĚƌĂƚƌŽƚĞŶƵƌϮϱćƌϱ͕ĨƂƌŶćƌϱŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƐŵĞĚƐŝŐĨĊƌǀŝϮϱ͘

> Q 5>

Q

Z)(.0(&%-

ZŽƚĞŶƵƌ

dĞĐŬŶĞƚŬĂůůĂƐĨƂƌŬǀĂĚƌĂƚƌŽƚĞŶƵƌ͘

EĊŐƌĂĞdžĞŵƉĞůƉĊŬǀĂĚƌĂƚƌƂƩĞƌ ϵсϯͼϯŝŶŶĞďćƌĂƩϵсϯ

ϯϲсϲͼϲŝŶŶĞďćƌĂƩϯϲсϲ

ϰϵсϳͼϳŝŶŶĞďćƌĂƩϰϵсϳ

dćŶŬƐĊŚćƌ͖

sŝůŬĞƚƚĂůŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƚ

ŵĞĚƐŝŐƐũćůǀćƌĚĞƚŚćƌ

&(#%&3

DĞůůĂŶǀŝůŬĂŚĞůƚĂůůŝŐŐĞƌŶćƌŵĞǀćƌĚĞƚƟůůϴ

ĞƚĮŶŶƐŝŶŐĞƚŚĞůƚĂůƐŽŵŵƵůƟƉůŝĐĞƌĂƚŵĞĚƐŝŐƐũćůǀƚďůŝƌůŝŬĂŵĞĚϴ͘

sŝůŬĞƚŝŶŶĞďćƌĂƩƌŽƚĞŶƵƌϴŝŶƚĞćƌĞƩŚĞůƚĂů͘

ϯͼϯсϵŽĐŚϮͼϮсϰ͕ǀŝůŬĞƚϴůŝŐŐĞƌŵĞůůĂŶĚĞƚǀĊƚĂůĞŶ͘^ĊǀŝŬĂŶƐćŐĂ ĂƩƌŽƚĞŶƵƌϴůŝŐŐĞƌŵĞůůĂŶϮŽĐŚϯ͘

sŝŬĂŶŽĐŬƐĊďĞƌćŬŶĂĞƩƵŶŐĞĨćƌůŝŐƚǀćƌĚĞƐŽŵŬĂůůĂƐ

ŶćƌŵĞǀćƌĚĞ͘ƩŶćƌŵĞǀćƌĚĞŬĂŶǀŝďĞƌćŬŶĂŵĞĚ

ŚũćůƉĂǀĞŶŵŝŶŝƌćŬŶĂƌĞ͘

ϴуϮ͕ϴϯ

MC MR M- M+ /

OFF

% 7 8 9 X

+/- 4 5 6 -

C 1 2 3

AC 0 · = +

MC MRM- M+/OFF

%789X

+/-456-

C123

AC0·=+

23

6-

Matematiklärare

dĞƐƚĂĚŝŐ

<ǀĂĚƌĂƚƌƂƩĞƌ

.9(H%0/$-(

(4''''5>'''ͼ''''7 84''''A5'''ͼ''''<

;4'''''5'''ͼ'''>'''ͼ''A=

/9(H%0/$-(' (4'''

84''''

09(sŝůŬĞƚƚĂůƐŬĂƐƚĊŝƐƚćůůĞƚĨƂƌdž͍

ĂͿс

ďͿс -9'H%0/$-(

(4'''<E''I''''E7 84'''<E'I'E7

;4''''5>'9''''@

.4''''5>'9'@

59(H%0/$-(

(4'''

84'''

09(L(-&'%##%0'*(#2$&3 ĂͿdžͼLJсdžͼLJ '

84''''>'''ͼϱͼϱсϱV

Ex

O/$-('D&'''AE''I''''@

ĚĚŝƚŝŽŶŽĐŚƐƵďƚƌĂŬƚŝŽŶ

ƵŵĊƐƚĞďĞƌćŬŶĂƌŽƚĞŶƵƌƚĂůĞŶŝŶŶĂŶĚƵĂĚĚĞƌĂƌĞůůĞƌ

ƐƵďƚƌĂŚĞƌĂƌ

Q Q

ϰнϯсϳ

Ex

O/$-('D&'''AE'I'@

Ϯϱсϱ ĊĚĂƐƚĊƌƵŶĚĞƌƐĂŵŵĂƌŽƚƚĞĐŬĞŶ

ƐĊǀŝŵĊƐƚĞĨƂƌƐƚĂĚĚĞƌĂŝŚŽƉĚĞŵ͘

Ex

O/$-('D&''''@'''ͼ''''7

DƵůƚŝƉůŝŬĂƚŝŽŶ

ƵŬĂŶĂŶƚŝŶŐĞŶƌćŬŶĂƵƚŬǀĂĚƌĂƚƌƂƚƚĞƌŶĂĨƂƌƐƚŽĐŚƐĞĚĂŶ

ŵƵůƚŝƉůŝĐĞƌĂĚĞŵĞůůĞƌĚƵŵƵůƚŝƉůŝĐĞƌĂƌĚĞŵƵŶĚĞƌƐĂŵŵĂ

ƌŽƚƚĞĐŬĞŶŽĐŚƐĞĚĂŶƚĂƌŬǀĂĚƌĂƚƌŽƚĞŶ͘

Ex

@'ͼϰсϯϲсϲ

Ex

O/$-('D&'

ŝǀŝƐŝŽŶ

ƵŚĂƌƐĂŵŵĂƌĞŐĞůƐŽŵĚƵŚĂƌĨƂƌŵƵůƚŝƉůŝŬĂƚŝŽŶ͘ƵŬĂŶ

ĂŶƚŝŶŐĞŶƌćŬŶĂƵƚŬǀĂĚƌĂƚƌƂƚƚĞƌŶĂĨƂƌƐƚŽĐŚƐĞĚĂŶĚŝǀŝĚĞƌĂ ĚĞŵĞůůĞƌĚƵĚŝǀŝĚĞƌĂƌĚĞŵƵŶĚĞƌƐĂŵŵĂƌŽƚƚĞĐŬĞŶŽĐŚ

ƐĞĚĂŶƚĂƌŬǀĂĚƌĂƚƌŽƚĞŶ͘

>=^' 5

>=^'

>ƂƐŶŝŶŐ 5

>ƂƐŶŝŶŐ

>ƂƐŶŝŶŐ

F(((.0((F(0

Ex

O/$-('D&' AE^' 5>

AE^' 5>

7^'

>ƂƐŶŝŶŐ F(((((((>

O/$-('D&''''<'''ͼ''''5:

<'ͼϮϳсϴϭсϵ

57^' E AF^'

5

7@^' E7 A

<E

AE^' 5>

dž

>

FA^' dž

@ :

ZćŬŶĂŵĞĚŬǀĂĚƌĂƚƌƂƩĞƌ

24

6-