INOM
EXAMENSARBETE ELEKTROTEKNIK, AVANCERAD NIVÅ, 60 HP
STOCKHOLM SVERIGE 2018,
Uppskattning av
nollföljdsimpedansen hos trefas krafttransformatorer med
utjämningslindning
JOSE DUENAS
KTH
SKOLAN FÖR ELEKTROTEKNIK OCH DATAVETENSKAP 3
ii
Förord
Detta projekt har genomförts på uppdrag av Svenska kraftnät (Svk) och uppfyller kraven för exam- ensarbete på mastersnivå inom elektroteknisk teori och konstruktion på Kungliga Tekniska Högskolan (KTH). Det har varit givande för författaren, både professionellt och personligt att ha deltagit i ett projekt där resultaten kan bidra till att utveckla säkerheten för hantering av transformatorer. Förutom de teoretiska förkunskaperna, har projektets genomförande fordrat ett påhittig tänkesätt för att hitta alternativa lösningar till problematiken, där erfarenhet i ämnet har varit avgörande. Författaren vill där- för tacka projekthandledaren, Niclas Schönborg (Svk), för allt teknisk stöd under projektet. Författaren vill dessutom tacka projektexaminatorn, Hans Edin (KTH), för möjligheten att genomföra denna studie samt Cecilia Gerlitz (KTH) som har varit av stor hjälp för att utbyta idéer under projektets gång. Det förutsätts att läsaren besitter kunskaper inom elkraft för att kunna analysera och tolka resultaten.
Jose Duenas Stockholm, 2018
iii
Sammanfattning
Ett viktigt uppdrag för Svenska kraftnät (SvK) som den systemansvariga myndigheten i Sverige är att driva elnätet på det bästa möjliga sättet. För att kunna garantera den önskade 99,9% tillför- litligheten behövs konstant underhåll och diagnostisering av kraftöverföringssystemets komponenter, varav elkrafttransformatorer är en viktig beståndsdel. Nollföljdsimpedansen behövs för att bestämma hur stora felströmmar som uppkommer när fel inträffar i systemet. Nollföljdsimpedansen är en av tre följder (sekvenser) som används för att analysera trefaskomponenter och är en storhet som inte kan bestämmas analytisk på ett enkelt sätt. Dess värde brukar fås från tester som görs av tillverkaren när transformatorn fabriceras. Denna information saknas dock för flera transformatorer som finns driftsatta i nätet.
I detta examensarbete utvecklas empiriska modeller för att estimera nollföljdsimpedansen hos tre- och fembenta elkrafttransformatorer med tre (YY∆) och fyra lindningar (YYY∆), av vilka en av lindningarna är en utjämningslindning. En utjämningslindning är en deltakopplad lindning som icke är åtkomlig och som är avsedd för att minska och balansera nollföljdsimpedansvärdena för intilliggande lindningar. Nollföljdsimpedansen kan endast skattas eftersom en direkt mätning inte är möjlig hos dessa transformatorer. De erhållna modellerna bildar en estimeringsalgoritm, där olika transformatorstorheter kan användas som indata för att skatta nollföljdsimpedansvärdet.
Metodiken för att ta fram modellerna bygger på en analys av korrelationen mellan nollföljdsim- pedansen och andra kända och beräknade storheter, där en linjär regression baserad på minsta kvadratmetoden resulterar i en approximativ trendlinje. Approximationen förbättras med en bisquare algoritm, där avvikande värden ges mindre vikt. Denna process utförs för alla transformatorer i stu- dien där generella anpassningsmodeller tas fram. Processen upprepas för särskilda undergrupper med syfte att erhålla modeller med högre anpassningsgrad. Indelning i undergrupper baseras på kopp- lingsart för transformatorernas sekundärlindning som består av antingen fullindad eller autokopplad lindning, samt kärnkonstruktion som består av tre- eller fem ben. Tillförlitligheten för varje modell analyseras med hänsyn till deras anpassningsgrad, statistisk relevans samt kvaliteten av data som användes för att utveckla modellen. Endast modeller med måttlig anpassningsgrad (goodness of fit) och som baseras på ett tillräckligt stor antal enheter för att betraktas som statistisk representativ för målgruppen, inkluderas i algoritmen. Generellt sätt följer data en normalfördelning som tyder på få extrema värden. Följaktligen, anses data ha en bra distribution för att avgöra dess trend.
Modellernas prestanda för transformatorer med tre lindningar testades mot ett förväntat värde för nollföljdsimpedansen, baserat på en skattning som för närvarande används av Svk. Testresultaten överensstämmer väl för vissa modeller medan för andra inträffar avvikelser. I detta projekt används MATLAB som utvecklingsplattform för alla analyser.
Nyckelord: elkraft, transformator, trefas, nollföljdsimpedans, utjämningslindning, uppskattning
iv
Abstract
An important comission for Svenska kraftnät (SvK) as the Swedish authory in charge of the power distribution network is to operate the grid in the most efficient way. In order to ensure 99,9% uptime, constant maintenance and fault diagnostics are required for the entire network of which power transformers are an important component. The zero-sequence impedance is a way to determine the maximum fault currents a transformer can accept before being damaged. The zero- sequence impedance is one of three sequences used to analyze three-phase systems and is a quantity which is not easily obtained analytically. Its value is usually determined in tests carried out during the fabrication process. This information is not available for several transformers currently in service on the power grid.
The focus of this thesis is to develop empirical models to estimate the value of the zero-sequence impedance for three- and five limb power transformers with three (YY∆) and four windings (YYY∆) including a stabilizing winding. A stabilizing winding is a delta-connected winding which is not brought out; its purpose is to reduce and balance the zero-sequence impedance in adjacent windings.
The value for the zero-sequence impedance can only be estimated since a direct measurement on the winding is not possible for this type of transformers. The resulting models are part of an algorithm where different transformer quantities are used as inputs to estimate the value of the zero-sequence impedance for a given transformer.
The method used to obtain these models is based on an analysis of the correlation between the zero-sequence impedance and other known and calculated quantities where a linear regression based on the least-squares method produces an approximative trend line. This approximation is made more robust with a bisquare-weight algorithm where less weight is given to diverging data points. This process is carried out for all the transformers included in this study where general models are obtained.
The process is then repeated for specific subgroups of transformers with the goal of deriving more accureate models for these subgroups. The subdivision criteria is based in coupling- and core type which includes an0- and yn0-couplings and three- and four limb cores respectively. The reliability of each model is analayized with respect to their goodness of fit, statistical relevance and the quality of the data used to develop the model. Only models with a substantial goodness of fit and which were based on a sufficiently large number of transformers to be considered statistically representative of the target group are included in the final algorithm. In general, all the data analyzed follows a normal distribution which indicates that there are few extreme values. Consequently, the data used in this study is condsidered to be appropriately distributed to determine its trend. The performance of the models for transformers with three windings was tested against the expected values for the zero-sequence impedance based on the approximation algorithm which is currently being used by Svk.
The test results from some of the models match the expected values while others show deviations.
MATLAB is used in this projetct as the development platform for all analyses.
Keywords: power systems, transformers, three-phase, zero-sequence impedance, stabilizing winding, approximation
Innehåll
Figurer viii
Tabeller x
Symbol- och förkortningslista xi
1 Inledning 1
1.1 Bakgrund . . . . 1
1.2 Motivation . . . . 1
1.3 Mål . . . . 2
1.4 Metod . . . . 2
1.5 Examensarbete Organisation . . . . 2
2 Teori 3 2.1 Översikt över trefas-transformatorer . . . . 3
2.1.1 Verklig transformator enfasmodell . . . . 3
2.1.2 Kraftransformatorers konstruktion . . . . 4
2.1.2.1 Kärnförluster och läckflöde . . . . 5
2.1.2.2 Lindningsplacering . . . . 6
2.1.3 Transformatorkonfiguration . . . . 7
2.1.3.1 Kopplingsart . . . . 7
2.1.3.2 Sparkopplade transformatorer . . . . 8
2.1.3.3 Transformatorer med flera lindningar . . . . 8
2.1.3.4 Delta lindnings inverkan på en transformators egenskaper . . . . 8
2.2 Osymmetriska fel . . . . 9
2.2.1 Symmetriska komponenter . . . . 9
2.2.2 Nollföljdskomponenter . . . 10
2.2.2.1 Nollföljdsimpedansen . . . 11
2.3 Sekvensdiagram . . . 12
2.3.1 Y-kopplade lindningar . . . 12
2.3.2 Sparkopplade lindningar . . . 14
2.3.3 Deltakopplade lindningar . . . 14
2.3.4 Nollföljdsschema för YYD transformatorer . . . 14
2.3.4.1 Kopplingsart yn0 . . . 14
2.3.4.2 Kopplingsart an0 . . . 14
2.3.4.3 Kopplingsart y0 . . . 16
2.3.5 Nollföljdsschema för YY(D) transformatorer . . . 16
2.3.5.1 Kopplingsart yn0 . . . 16
2.3.5.2 Kopplingsart yn0 . . . 16
2.3.6 Nollföljdsschema för YYY(D) transformatorer . . . 16
3 Metod 19 3.1 Inledande dataanalys . . . 19
3.2 Transformator-klassificering . . . 21 v
vi INNEHÅLL
3.3 Tillvägagångssätt . . . 22
3.3.1 Storheter att korrelera till nollföljdsimpedansen . . . 22
3.3.2 Modellering . . . 23
3.3.2.1 Anpassningsgrad . . . 23
3.3.2.2 Modellförbättring och osäkerhet i resultat . . . 24
3.3.3 Algoritmen . . . 24
4 Resultat 25 4.1 Grupp 2 - YYD . . . 25
4.1.1 Inledande analys . . . 25
4.1.2 Anpassning . . . 28
4.1.2.1 Kopplingsart lågspänningslindning . . . 31
4.1.2.2 Kärnkonstruktion . . . 36
4.1.2.3 Märkeffekt högspänningslindning . . . 40
4.1.2.4 Transformatorer tillverkade av ASEA . . . 41
4.1.2.5 Erhållna modeller . . . 42
4.1.3 Zkvot analys . . . 42
4.2 Grupp 3 - YY(D) . . . 46
4.2.1 Anpassning . . . 46
4.2.1.1 Kopplingsart lågspänningslindning . . . 48
4.2.1.2 Kärnkonstruktion . . . 51
4.2.1.3 Märkeffekt högspänningslindning . . . 54
4.2.1.4 Erhållna modeller . . . 57
4.2.2 Resultattest . . . 57
4.3 Grupp 1 - YYY(D) . . . 58
4.4 Estimeringsalgoritm . . . 63
5 Diskussion och slutsatser 65 5.1 Diskussion . . . 65
5.2 Slutsats . . . 66
Litteraturförteckning 67 A Diagram och tabeller 69 A.1 Jämförelse mellan Znoll13 och alla märkstorheter i pu . . . 69
A.2 Utdelningen i märkeffekt undergrupper . . . 69
A.3 Utförliga resultat till återstående impedansstorheter för alla transformatorer i Grupp 2. . 71
A.4 Utförliga resultat till återstående impedansstorheter för undergrupper utdelade i kopp- lingsart i lågspänningslindning i Grupp 2. . . 72
A.5 Utförliga resultat till återstående impedansstorheter för undergrupper utdelade i kärnkon- struktion i Grupp 2. . . 73
A.6 Utförliga resultat till impedansstorheter för undergrupper utdelade i märkeffektstorlek i Grupp 2. . . 74
A.7 Utförliga resultat till samtliga impedansstorheter för transformatorer tillverkade av ASEA i Grupp 2. . . 76
A.8 Utförliga resultat till återstående impedansstorheter för samtliga transformatorer i Grupp 1. 77 A.9 Utförliga resultat till återstående impedansstorheter för transformatorer i Grupp 1 indelade i kärnkonstruktion. . . 79
A.10 Numeriska resultat . . . 80
B MATLAB kod 87 B.1 DataReader.m . . . 87
B.2 DataAnalysis-Preliminary.m . . . 90
B.3 DataAnalysis-Grupp2.m . . . 96
B.4 DataAnalysis-fits.m . . . 100
INNEHÅLL vii
B.5 testZkvot.m . . . 105
B.6 fitData.m . . . 110
B.7 createSubset.m . . . 113
B.8 createGrouping.m . . . 114
B.9 setColorSize.m . . . 116
B.10 getPath.m . . . 117
B.11 saveFigure.m . . . 117
B.12 saveTable.m . . . 118
Figurer
2.1 Enfas modell för en verklig transformator . . . . 4
2.2 Läckflöden mellan lindningar . . . . 5
2.3 Trefas kärngeometrier . . . . 5
2.4 Magnetiska flödets returväg vid osymmetriska förhållanden . . . . 6
2.5 Vanliga kopplingstyper för krafttransformatorer . . . . 7
2.6 Kopplingsschema för en YNyn0+d eller YY(D) transformer . . . . 7
2.7 Enfasschema för sparkopplad transformator . . . . 8
2.8 Symmetriska komponenter för ett trefassystem . . . 10
2.9 YN koppling för trefas transformator. . . 11
2.10 Ekvivalent enfas plus- och minusföljdsschema för en YY-koplade krafttransformator . . . 12
2.11 En av faserna i en trefastransformator med två direktjordade lindningar. . . 13
2.12 Förenklat plus- och minusföljdsschema för en YY-kopplade transformator . . . 13
2.13 Nollföljdsschema för en YYD-yn0 transformator. . . 15
2.14 Nollföljdsschema för en YYD-an0 transformator. . . 15
2.15 Nollföljdsschema för en YYD-y0 transformator. . . 16
2.16 Nollföljdsschema för en YY(D)-yn0 transformator. . . 16
2.17 Nollföljdsschema för en YY(D)-an0 transformator. . . 17
2.18 Nollföljdsschema för en YYY(D)-yn0 transformator. . . 17
3.1 Indelning på kopplingsart samt kärnkonstruktion indelade i transformatortyp . . . 20
3.2 Statistik på leveranshistorik 1940-2018 samt tillverkare . . . 21
3.3 Sammanfattning av transformatorernas klassificering. . . 22
4.1 Nollföljdsimpedans korrelation till andra impedansstorheter. . . 25
4.2 Nollföljdsimpedans korrelation till märkstorheter. . . 26
4.3 Nollföljdsimpedansens korrelation till andra impedansstorheter indelade i kopplingsart . . . . 27
4.4 Nollföljdsimpedansens korrelation till andra impedansstorheter indelade i kärnkonstruktion . 27 4.5 Anpassning till alla impedansstorheter för samtliga transformatorer i Grupp 2. . . 28
4.6 Anpassning mellan Znoll13och Zplus13för all data i Grupp 2 . . . 29
4.7 Anpassning mellan Znoll13och Zkarsamt Zplus12för allt data i Grupp 2 . . . 30
4.8 Anpassning till alla impedanser med undergruppering av kopplingsart lindning 2 (an0 och yn0). 31 4.9 Anpassning mellan Znoll13och Zplus13för transformatorer med an0- och yn0-kopplad lågspän- ningslindning i Grupp 2 . . . 33
4.10 Anpassning mellan Znoll13 och Zkar samt Zplus12 för transformatorer med an0-kopplade låg- spänningslindning i Grupp 2 . . . 34
4.11 Anpassning mellan Znoll13 och Zkarsamt Zplus12 för transformatorer med yn0-kopplade låg- spänningslindning i Grupp 2 . . . 35
4.12 Anpassning till alla impedanser med undergruppering av kärnkonstruktion (tre- och fembenta). 36 4.13 Anpassning mellan Znoll13och Zplus13för tre- och fembenta transformatorer i Grupp 2 . . . 37
4.14 Anpassning mellan Znoll13och Zkarsamt Zplus12för trebenta transformatorer i Grupp 2 . . . 38
4.15 Anpassning mellan Znoll13och Zkarsamt Zplus12för fembenta transformatorer i Grupp 2 . . 39
4.16 Anpassning till alla impedanser i undergruppering av märkeffekt för lindning 1 (G1: Snom1< 50 och G2: 50 ≤ Snom1<100). . . 40
viii
Figurer ix
4.17 Anpassning mellan Znoll13 och Zplus13 för G1 och G2 märkeffekt undergrupper för transfor-
matorer i Grupp 2 . . . 41
4.18 Analys av Zkvot jämfört med andra storheter för samtliga transformatorer i Grupp 2 . . . 43
4.19 Analys av Zkvot jämfört med andra storheter för särskilda transformatorer i Grupp 2 . . . 44
4.20 Anpassning mellan Znoll13och Zkvot för särskilda transformatorer i Grupp 3 . . . 45
4.21 Nollföljdsimpedansens korrelation till andra impedansstorheter för transformatorer i Grupp 3 (generella och indelade i olika undergrupper) . . . 46
4.22 Anpassning mellan Znoll13och Zkarsamt Zplus12för allt data i Grupp 3 . . . 47
4.23 Anpassning mellan Znoll13 och Zkar samt Zplus12 för transformatorer med an0-kopplad låg- spänningslindning i Grupp 3 . . . 49
4.24 Anpassning mellan Znoll13 och Zkar samt Zplus12 för transformatorer med yn0-kopplad låg- spänningslindning i Grupp 3 . . . 50
4.25 Anpassning mellan Znoll13och Zkarsamt Zplus12för trebenta transformatorer i Grupp 3 . . . 52
4.26 Anpassning mellan Znoll13och Zkarsamt Zplus12för fembenta transformatorer i Grupp 3 . . 53
4.27 Anpassning mellan Znoll13och Zkarsamt Zplus12för G1 märkeffekt undergrupp i Grupp 3 . . 55
4.28 Anpassning mellan Znoll13och Zkarsamt Zplus12för G2 märkeffekt undergrupp i Grupp 3 . . 56
4.29 Testresultat för nollföljdsimpedans värdet baserade på Zkaroch Zplus12för trebenta transfor- matorer i Grupp 3 . . . 58
4.30 Anpassning mellan Znoll14och alla impedansstorheter för samtliga transformatorer i Grupp 1 och indelade i kärnkonstruktion undergrupper (tre- och fembenta) . . . 59
4.31 Anpassning mellan Znoll14och Zplus12samt Zplus13 för samtliga transformatorer i Grupp 1 . 61 4.32 Anpassning mellan Znoll14och Zplus12samt Zplus13 för trebenta enheter i Grupp 1 . . . 62
4.33 Grafisk representation av estimeringsalgoritmen. . . 64
A.1 Nollföljdsimpedans korrelation till märkstorheter i pu. . . 69
A.2 Nollföljdsimpedans korrelation till andra impedansstorheter utdelade i märkeffekt vid hög- spänningslindning (Snom1) undergrupper. . . 70
A.3 Anpassning mellan Znoll13och Zkvot samt Zplus23 för samtliga transformatorer i Grupp 2 . . 71
A.4 Anpassning mellan Znoll13 och Zkvot samt Zplus23för an0- och yn0-kopplade transformatorer i Grupp 2 . . . 72
A.5 Anpassning mellan Znoll13 och Zkvot samt Zplus23 för tre- och fembenta transformatorer i Grupp 2 . . . 73
A.6 Anpassning mellan Znoll13 och Zkar samt Zplus12 för G1 och G2 märkeffekt undergrupper i Grupp 2 . . . 74
A.7 Anpassning mellan Znoll13 och Zkvot samt Zplus23 för G1 och G2 märkeffekt undergrupper i Grupp 2 . . . 75
A.8 Anpassning mellan Znoll13 och andra impedansstorheter för transformatorer tillverkade av ASEA i Grupp 2 . . . 76
A.9 Anpassning mellan Znoll14och andra impedansstorheter för samtliga transformatorer i Grupp 1 78 A.10 Anpassning mellan Znoll14och andra impedansstorheter för tre- och fembenta transformatorer i Grupp 1 . . . 79
Tabeller
2.1 Transformatorbeteckning. . . . 3
3.1 Antal transformatorer per typ och art. . . 19
3.2 Tillverkare som har levererad mer än 30 enheter mellan 1940 och 2018. . . 20
3.3 Storheter som är inblandade i utveckling av modellen för nollföljdsimpedansen . . . 22
4.1 Undergruppering baserad på märkeffekt för lindning 1 . . . 26
4.2 Generell approximationsmodell för Set 2 data . . . 29
4.3 Approximationsmodeller för Grupp 2 indelat efter kopplingsart på lindning 2. . . 32
4.4 Approximationsmodeller för Grupp 2 indelat efter kärnkonstruktion. . . 36
4.5 Approximationsmodeller för Grupp 2 med indelning efter märkeffekt . . . 40
4.6 Modell sammanfattning för transformatorer med tre lindningar utan utjämningslindning . . . 42
4.7 Generell approximationsmodell för Grupp 3 data . . . 48
4.8 Approximationsmodeller för Grupp 3 indelat efter kopplingsart på lindning 2. . . 48
4.9 Approximationsmodeller för Grupp 3 indelat efter kärnkonstruktion. . . 51
4.10 Approximationsmodeller för Grupp 3 med indelning efter märkeffekt . . . 54
4.11 Modell sammanfattning för transformatorer med tre lindningar med utjämningslindning . . . 57
4.12 Felstatistik mellan förväntade och estimerade värden vid modelltest i Grupp 3 . . . 57
4.13 Generell approximationsmodell för Grupp 1 data . . . 58
4.14 Approximationsmodeller för Grupp 1 indelat efter kärnkonstruktion . . . 58
4.15 Modell sammanfattning för transformatorer med fyra lindningar . . . 60
4.16 Modeller som inkluderas i estimeringsalgoritmen . . . 63
A.1 Fullständiga resultat för anpassningsmodellerna för transformatorer med tre lindningar (Grupp 2) - Samtliga . . . 81
A.2 Fullständiga resultat för anpassningsmodellerna för transformatorer med tre lindningar (Grupp 2) - Märkeffekt undergrupper . . . 82
A.3 Fullständiga resultat för anpassningsmodellerna för transformatorer med tre lindningar till- verkade av ASEA (Grupp 2) - Samtliga . . . 83
A.4 Fullständiga resultat för anpassningsmodellerna för transformatorer med tre lindningar till- verkade av ASEA (Grupp 2) - Märkeffekt undergrupper . . . 84
A.5 Fullständiga resultat för anpassningsmodellerna för transformatorer med fyra lindningar (Grupp 3) . . . 85
A.6 Fullständiga resultat för anpassningsmodellerna för transformatorer med fyra lindningar (Grupp 1) . . . 86
x
Symbol- och förkortningslista
xi
xii SYMBOL- OCH FÖRKORTNINGSLISTA
Symbol Beskrivning Enhet
a visar fasförskjutning (e−j120◦)
Af arean mellan lindningar som läckflödet går igenom [m2]
Am kärnans tvärsnittarea [m2]
d avstånd mellan lindnignar [m]
GOF goodness of fit
I1, I2 ström för lindning 1 och 2 [A]
I0, I1, I2 strömvektor för noll-, plus-, och minusföljden [A]
IA, IB, IC fasströmmar [A]
Im magnetiseringsström [A]
IN ström till jord, Y-kopplad transformator [A]
L1, L2 induktans för lindning 1 och 2 [H]
lm längden för vägen det magnetiska flödet tar [m]
Lm magnetiseringsinduktans [H]
M12 ömsesidig induktans mellan lindning 1 och 2 [H]
N1, N2 antal varv för lindning 1 och 2 p1, p2 modellkoefficienter
R1, R2 resistans för lindning 1 och 2 [Ω]
Rm magnetiseringsresistans [Ω]
R2 r-squared [Ω/fas]2
RMSE root mean squared error [Ω/fas]
S skenbar effekt [VA]
SSE sum of squares due to error
Snom1,Snom2,Snom3 märkeffekt för lindningar 1, 2 och 3 [MVA]
Svk Svenska kraftnät
T transformationsmatris (symmetriska komponenter)
U spänning [V]
U1, U2 spänning för lindning 1 och 2
U0, U1, U2 spänningsvektor för noll-, plus-, och minusföljden [V]
UA, UB, UC fasspänningar [V]
Unom1,Unom2,Unom3märkspänning för lindningar 1, 2 och 3 [kV]
YYD trelindning krafttransformator med åtkomlig deltakopplad lindning YY(D) trelindning krafttransformator med deltakopplad utjämningslindning YYY(D) fyralindning krafttransformator med deltakopplad utjämningslindning
Z1, Z2 impedansen för lindning 1 och 2 [Ω]
Z12 läckimpedansen mellan lindning 1 och 2 [Ω]
ZN impedans till jord, Y-kopplad transformator [Ω]
Zkar karakteristiskimpedans [Ω/fas]
Zkvot kvot mellan Zplus13 och Zplus12
Znoll13, Znoll14 nollföljdsimpedanser mellan lindningar 1-3 och 1-4 [Ω/fas]
Zplus12, Zplus13, Zplus23
plusföljdsimpedanser mellan lindningar 1-2, 1-3 och 2-3 [Ω/fas]
ZY fasimpedans, Y-kopplad transformator [Ω]
α reduceringsfaktor hos sparkopplade transformatorer
κ förhållande mellan antal varv per lindning hos transformatorer
ω systemfrekvens [Hz]
Kapitel 1
Inledning
Svenska kraftnät (Svk) är myndigheten som driver och ansvarar för det svenska elöverföringssystemet eller stamnätet. Stamnätet är en av de viktigaste infrastrukturerna i landet och består bland annat av 160 transformator- och kopplingsstationer utsprida över hela riket [1]. Krafttransformatorer gör det möjligt att ha ett AC överföringssystem som förflyttar den producerade elkraften hundratals kilometer till konsumenterna som behöver den. Detta är av särskild betydelse i Sverige eftersom en stor del av elkraften produceras i Norrland och då överförs den dit där de flesta elkonsumenter finns, i södra delen av landet. Följande sektioner utvecklar projektets bakgrund och motivationen till denna studie.
1.1 Bakgrund
Transformatorer används dels för att koppla olika systemspänningar, men också för att möjliggöra över- föring av elkraft över stora avstånd. För att säkerställa att transformatorer som är inkopplade till elnätet drivs på bästa möjliga sätt är det viktigt för Svk att veta alla deras driftegenskaper. En viktig specifi- kation i en trefas krafttransformator är nollföljdsimpedansen, som är av speciell relevans och nytta när felströmmar uppstår. Obalanserade strömmar kan orsaka systemfel som kan leda till strömavbrott och att transformatorn själv blir förstörd.
Alla obalanserade trefassystem kan beskrivas av symmetriska och balanserade positiv-, negativ- och nollföljdskomponenter [2]. Nollföljdströmmen karakteriseras av tre lika stora visare med samma fas.
Nollföljdsimpedansen är transformatorns impedans till nollföljdström. Att kunna bestämma värdet på nollföljdsimpedansen till olika typer av krafttransformatorer i elsystemet kan hjälpa till att bestämma inställningen av reläer i systemet.I detta examensarbete ligger fokus på YY(D)-kopplade transformatorer dvs. trelindade krafttransformatorer med utjämningslindning som stabiliserar nollföljdsimpedansens ka- rakteristik. Uppmätta data från olika transformatorer används för att identifiera ett samband med syfte att uppskatta värdet av nollföljdsimpedansen. Den data som finns för plus- och minusföljdsimpedanser för YYD transformatorer (där man har tillgång till deltalindningen) kan möjligtvis användas för att dra parallella samband med YY(D) transformatorer (där deltalindningen är oåtkomlig).
1.2 Motivation
Fullständiga provningsprotokoll saknas för flera av transformatorerna som idag används i transmissions- nätet. Olika storheter som beskriver viktiga egenskaper för att kunna använda transformatorerna på ett säkert sätt finns ibland inte tillgängliga. Nollföljdsimpedansen är en av dessa okända storheter. I normala fall utför tillverkaren mätningar när transformatorn är färdigtillverkad, där nollföljdsimpedansen mäts upp[3]. Detta är tyvärr inte enkelt att göras när transformatorerna är redan installerad och driftsatt.
Eftersom det inte är möjligt att matematiskt beräkna nollföljdsimpedansen pga. läckimpedansvärdena inte är kända och kan inte mätas vid en utjämningslindning som är ej åtkomlig[4], behövs en empirisk metod för att kunna uppskatta dess värde.
1
2 KAPITEL 1. INLEDNING
1.3 Mål
Målet med detta projekt är att utveckla en algoritm som möjliggör en uppskattning av nollföljdsimpedan- sen hos olika typer av transformatorer med utjämningslindning. Samband mellan olika parametrar hos dessa transformatorer som visar sig bäst anpassade för att uppskatta nollföljdsimpedansen ska samman- sättas i en övergripande algoritm som ska modellera nollföljdsimpedansen för alla grupper transformatorer som ingår i studien.
1.4 Metod
För att kunna ta fram algoritmen, ska data från flera transformatorer analyseras och samband mellan kända storheter undersökas med syfte att bygga en approximativ modell för estimering av olika transfor- matorers nollföljdsimpedans. Olika typer av transformatorer ska grupperas och analyseras separat som olika fallstudier, för att kunna hitta noggrannare samband som beskriver dess impedanser.
1.5 Examensarbete Organisation
Detta examensarbete organiseras i följande delar.
•Kapitel 1 ger ett kort inledning och översikt av projektet
•Kapitel 2 förklarar teorin bakom begreppet nollföljdsimpedans och transformator modellering
•Kapitel 3 beskriver metoden för att erhålla modellerna för att uppskatta nollföljdsimpedansen
•Kapitel 4 visar resultaten som erhållits under projektets genomgång
•Kapitel 5 presenterar en kort diskussion kring resultaten samt slutsatser
Kapitel 2
Teori
Fokus i denna studie ligger på trefas-transformatorer. Transformatorerna i denna studie kan ha tre- och fembenta konstruktioner, samt tre- eller fyra-lindningar. Alla enheter i denna studie har både Y- och D-kopplade lindningar. D-kopplade lindningarna kan särskiljas mellan åtkomlig eller icke åtkomlig (ut- jämningslindningar). Kopplingsart för alla transformatorers lågspänningslindning (lindning 2) är givna i data och består av yn0, an0 och y0 kopplingar. I denna rapport ersätts IEC:s nomenklatur med beteck- ningar enligt tabell 2.1 nedan, där en YNyn0-kopplad transformator används för att illustrera ändringen.
Typ Beteckning
IEC 60076-1[5] I rapport
YYY(∆) YNyn0yn+d YYY(D)
YY∆ YNyn0d YYD
YY(∆) YNyn0+d YY(D)
Tabell 2.1: Transformatorbeteckning.
2.1 Översikt över trefas-transformatorer
En transformator är uppbyggd av två eller fler elektriska kretsar (lindningar) som är kopplade genom en gemensam magnetisk krets (kärnan). En växelspänning applicerad på lindningen som refereras som primärlindningen alstrar en elektromagnetiskt kraft på sekundärlindningarna genom elektromagnetisk induktion1. Därmed kan det gemensamma magnetiska flödet utnyttjas för att överföra energi från det primära systemet till det sekundära (och även tertiära) systemet[7].
Transmission av elektrisk energi sker med trefassystem som byggs upp av tre sinusformade växel- spänningar med samma amplitud och som är inbördes fasförskjutna med 120 elektriska grader. I ett symmetriskt trefassystem är summan av de tre fasspänningarna och fasflödena lika med noll. Fördelen med att använda ett trefassystem är att varje fas har en momentaneffekten med en frekvens som är dubbla nätfrekvensen. Detta gör att den totalt överförda effekten är konstant.
Elproduktion sker vid relativt låga spänningar, typiskt cirka 20 kV[8]. Den producerade elkraften måste anpassas för transmission över stamnätet genom att höja spänningen till antingen 220 kV eller 400 kV[9] . Transmissionsnätets huvudsyfte är att överföra effekt över långa avstånd med hög verkningsgrad vid konstant driftfrekvens och detta behövs transformatorer [10].
2.1.1 Verklig transformator enfasmodell
I detta avsnitt beskrivs en verklig transformator och dess egenskaper med hjälp av en enfasmodell som visas i figur 2.1 nedan.
1För en komplett beskrivning av teorin för en ideal transformator hänvisas läsaren till [6], kapitel 3.
3
4 KAPITEL 2. TEORI
Figur 2.1: Enfas modell för en verklig transformator där lindning-, kärn- och läckflöde-förluster represen- teras av R1 och R2, Rmoch jXmrespektive jXl00[9].
I en ideal transformator försummas förlusterna från både lindningarnas resistiva egenskaper och kär- nans ändliga permeabilitet. För en verklig transformator måste dessa faktorer tas i beaktande när mo- dellen tas fram.
Lindning- eller kopparförluster modelleras av resistanserna R1och R2. Detta medför att de inducerade spänningarna vid transformatorns lindningar (E1 och E2) skiljer sig från de spänningar som mäts vid transformatorns poler (U1 och U2). I transformatorer är detta spänningsfall i praktiken försumbart[9].
Kärn- eller järnförluster modelleras av en magnetiseringsreaktans (jXm) parallellkopplad med en mag- netiseringsresistans (Rm). Dessa ger motstånd till magnetiseringsströmmen (Im) som orsakar flödet i kärnan. Magnetiseringsreaktansen är kopplad till hysteresförluster och magnetiseringsresistansen till vir- velströmsförluster. Dess värde fås approximativt från ekvation 2.1 nedan
Xm= ωLm
Xm= (2πf)(N12µrµ0Am
lm ) (2.1)
som visar att magnetiseringsreaktansen är direkt beroende av antal varv vid primärlindningen (N1), kärnans tvärsnittsarea (Am), samt inversen av längden för vägen det magnetiska flödet tar (lm). Praktiska aspekter av båda typerna av förluster utvecklas ytterligare senare i rapporten.
Läckflöden mellan lindningarna 1 och 2 modelleras i figur 2.1 med en läckreaktans (jXl). Observera att läckreaktansen beror på läckflöden mellan två lindningar, vilket innebär att den inte kan delas upp.
Av denna anledning överreduceras2 den till primär- (jXl0) eller sekundärsidan(jXl00). Det är svårare att kvantitativt beräkna storleken på läckflöden eftersom det sluter sig utanför kärnan och följer inte en bestämd väg. Om läckflöden mellan lindningar analyseras som visas i den skuggade arean i figur 2.2 då finns det mera konkreta dimensioner som kan användas på ett liknande sätt som i ekvation 2.1.
Under dessa förutsättningar fås läckreaktansens värde från ekvation 2.2 nedan
Xl00= (2πf)(N22µ0(2πr)d h )
= ωL00l
(2.2)
där L00lI2 står för andel flöde från lindning N1 som inte sammanlänkar med lindning N2. Läckflöden mellan Y- och D-kopplade lindningar är av särskild relevans till denna studie eftersom det påverkar nollföljdsimpedansens storlek[11].
2.1.2 Kraftransformatorers konstruktion
Det finns olika konstruktionstyper för transformatorer och de mest vanliga ä kärn och manteltyp. Vid kärngeometri omsluter spolen kärnan (benet) och för mantelgeometri gäller motsatsen, där spolen är om- sluten av kärnan (manteln). Trefas kärntransformatorer klassificeras vidare i tre- eller fembenta enheter,
2För en komplett beskrivning av överreducering av impedanser hänvisas läsaren till [9], sektion 4.1.1
2.1. ÖVERSIKT ÖVER TREFAS-TRANSFORMATORER 5
Figur 2.2: Läckflöden mellan lindningar N1och N2vid excitering av N1 där lm= h och där arean mellan lindningar som läckflöde går igenom (Af) ges av Af= (π2r)d.
där trebenta transformatorer är vanligast. I figur 2.3 visas både kärn- och mantelkonstruktion för trefas- transformatorer där en typisk lindningskonfiguration för en YY(D) trebent kärntransformator visas i (i).
Högspänningslindning (a) ligger ytterst, lågspänningslindning (b) ligger emellan och utjämningslindning (c) ligger innerst.
Figur 2.3: Trefas kärngeometrier för (i) tre- och (ii) fembenta transformatorer samt (iii) mantelgeometri.
I en transformator med tre lindningar per fas brukar de ha följande konfiguration: (a) högspänning, (b) lågspänning, (c) utjämningslindning (modifierad från [3]).
De olika geometrierna medför olika för- och nackdelar och beroende på användningsområde är vissa konstruktionstyper bättre anpassade än andra. Konstruktionen av krafttransformatorerna bestäms av tekniska faktorer där bl. a. specifikationen för en viss transformator avgör kärnans konstruktion.
2.1.2.1 Kärnförluster och läckflöde
Vid normaldrift, har moderna kraftransformatorer en av de högsta verkningsgraderna bland elektriska komponenter, med nästan 100%[6]. Detta beror på att det finns bra tillverkningsmetoder för att minimera förluster som huvudsakligen består av magnetiserings- och strömbelastningsförluster.
Magnetiserings- eller tomgångsförluster finns alltid med och är konstanta för transformatorer i drift.
De orsakas av hysteres- och virvelströmsförluster[12]. De förra står för 50-80% av magnetiseringsförlus- terna och beror på energin som krävs för att styra kärnans kornorientering. De andra står för 20-50%
och beror på det växlande magnetiska fältet genom kärnan, vilket alstrar virvelströmmar som i sin tur genererar värmeförluster. Hysteresförluster kan minskas genom att bearbeta kärnmaterialet med proces- ser som kallvalsning eller genom att använda speciella material såsom kiselstål. Ett sätt att motverka virvelströmsförluster är att konstruera kärnan med tunna isolerade järn- eller stållaminat. Runt 1% av magnetiseringsförlusterna kan tillskrivas dielektriska förluster[13].
6 KAPITEL 2. TEORI
Strömbelastningsförluster varierar beroende på transformatorns belastning. De orsakas av resistiva värmeförluster samt virvelströmsförluster i lindningarna. De förra beror på materialets resistivitet, de andra på det växlande magnetiska fältet, precis som i kärnan. Strömbelastningsförlusterna kan minskas genom att sänka resistansen och att tillverka lindningarna av tvinnade trådar isolerade från varandra med ett lackskikt eller cellulosa.
Strömmarna i ett trefas system vid normaldrift har en fasförskjutning av 120◦ som betyder att när det magnetiska flödets maxvärde nås vid den ena benet, finns vid de andra två benen en returväg med låg reluktans för flödet [10]. Under normaldrift eller symmetriska förhållanden kommer därför flödena i de lindade benen att ta ut varandra så att summaflödet blir noll. Under obalanserade eller osymmetriska förhållanden är felströmmar (nollföljdsströmmar) i fas med varandra, vilket gör att de alstrade magne- tiska flödena riktas åt samma håll. I figur 2.4(a) visas däremot att i trebenta transformatorer finns ingen returväg för flödet inuti kärnan under osymmetriska förhållanden. Detta gör att flödet sluter sig utanför kärnan och orsakar högre felströmmar. Högre felströmmar uppstår på grund av de låga nollföljdsimpedan- serna, vilket motsvarar den höga reluktansen i returvägen utanför kärnan som flödet tar när det sluter sig från ok till ok. I figur 2.4(b) och (c) visas att i fembenta kärntransformatorer och manteltransforma- torer finns det inbyggda returvägar genom deras olindade yttre ben. Detta medför lägre felströmmar på grund av de höga impedanser som uppstår till följd av returvägens låga reluktans. I verkligheten är flödet genom de olindade benen i figur 2.4(b) deformerade trots att summaflödena i de lindade benen är rent sinusformade [10].
Figur 2.4: Magnetiska flödets returväg vid osymmetriska förhållanden för (a) trebenta och (b) fembenta kärntransformatorer samt (c) manteltransformatorer.
Trebenta kärntransformatorer dominerar kraftigt utom för de allra största enheterna. Fembenta trans- formatorer har dock fördelen att oket endast behöver ha halva benets tvärsnittsarea till skillnad från trebenta enheter som behöver ha samma tvärsnittsarea på ok och ben. Detta gör att fembenta transfor- matorer generellt sett har lägre höjd än motsvarande trebenta enheter. Transformatorns höjd kan i vissa fall vara avgörande om det finns begränsningar vid transport eller installation. Manteltransformatorer är i Sverige relativt sällsynta och analyseras inte vidare i denna rapport.
2.1.2.2 Lindningsplacering
Hos krafttransformatorer är det vanligt att lindningar är lagerlindade. Dessa framställs genom att låg och högspänningslindningarna läggs i lager utanpå varandra, så att lindningen med högst potential ligger ytterst från den jordade kärnan. Detta ökar isoleringsförmågan, vilket är mycket relevant för krafttrans- formatorer där spänningar upp till 400kV används [10]. Om den D-kopplade lindningen ligger innerst eller närmast benen som visas i figur 2.3, blir storleken av nollföljdsströmmen ungefär lika stor som summan av den inducerade strömmen i deltalindningen och magnetiseringsströmmen[12].
Andra ekonomiska och praktiska faktorer har också inverkan på transformatordesignen. Transforma- torns fysikaliska dimensioner kan inte överstiga vissa gränser för att bibehålla rimliga materialkostna-
2.1. ÖVERSIKT ÖVER TREFAS-TRANSFORMATORER 7
der.Dessa designöverväganden gör att trebenta kärntransformatorer vanligare än de andra två konstruk- tionstyperna som visas i figur 2.3.
2.1.3 Transformatorkonfiguration
Med konfiguration menas kopplingstyp eller kopplingsart, samt antal lindningar som används i en viss transformator. I denna studie ligger fokus på Y- och D-kopplade transformatorer med tre- eller fyra lindningar. Kopplingsart hänvisar till en specifik lindning på alla transformatorer i denna studie, nämligen mellanlindningen eller lindning två.
Varje kopplingstyp medför olika fördelar. För krafttransformatorer är Y-kopplade enheter vanligast, då de har en lägre tillverkningskostnad för hög spänning och låg ström. För lindningar med låg spänning och hög ström är D-koppling vanligt. Förutom detta har Y-kopplade enheter en gemensam nod som kan fungera som jordningspunkt. En deltakopplad lindning minska nollföljdsimpedansen vid en intilliggande Y-kopplad lindning [3]. I figur 2.5 visas scheman för de (a) Y-kopplade och (b) D-kopplade trefassystem som förekommer.
Figur 2.5: Vanliga kopplingstyper för krafttransformatorer. (a) Y-kopplad (b) deltakopplad.
2.1.3.1 Kopplingsart
Termen kopplingsart motsvarar IECs vector group nomenklatur som refererar till de olika kopplingsvari- anter som finns vid ett visst kopplingsschema. I beteckningen används gemener för att beskriva lågspän- ningslindningarna och versaler för högspänningslindningen, som alltid nämns först. Om lindningsschemat är jordat (försedd med en neutralpunkt) läggs ett n eller N till i beteckningen för kopplingsarten till varje jordad lindning. Dessutom, beroende på hur den primära och de sekundära lindningarna är kopp- lade, markeras fasförskjutning mellan dem med ytterligare en siffra i beteckningen3. Flera exempel finns i tabell 2.1 i början av detta kapitel. I figur 2.6 visas kopplingsschemat för en YNyn0+d transformator.
Figur 2.6: Kopplingsschema för en YNyn0+d eller YY(D) transformer där både (a) hög- och (c) lågspän- nings Y-kopplade lindningar är jordade och den tredje lindningen (b) är en deltakopplad utjämningslind- ning.
I alla transformatorer i denna studie är den primära och de sekundära lindningarna i fas vilket innebär att yn0, y0 och an0 är de kopplingsarter som kommer diskuteras och analyseras. Beteckning an0 hänvisar till sparkopplade transformatorer som diskuteras nedan.
3För en komplett beskrivning av IECs nomenklatursystem hänvisas läsaren till [5], sektion 6.
8 KAPITEL 2. TEORI
2.1.3.2 Sparkopplade transformatorer
I vanliga transformatorer eller fullindade transformatorer är de primära och sekundära lindningarna gal- vaniskt isolerade från varandra. I en sparkopplad eller autokopplad transformator används en gemensam lindning per fas för både hög- och lågspänning. Deras lindningar är både magnetiskt och elektriskt ihop- kopplade. I figur 2.7 visas schemat för en enkel sparkopplad transformator.
Figur 2.7: Enfasschema för sparkopplad transformator där 0 < U2 < U1.
Från grundläggande transformatorteknik vet man att i en vanlig transformator bibehålls effekten mellan de två lindningar som visas i ekvation 2.3 nedan
S = U1I1= U2I2 (2.3)
I sparkopplade transformatorer används en så kallad reduceringsfaktor (0 < α < 1) som ges av α= U1− U2
U1 = I2− I1
I2 (2.4)
Detta är en utvidgning av spännings- och strömomsättning som är en konstant. Om ekvation 2.3 multi- pliceras med reduceringsfaktorn blir det
αS= (U1− U2)I1= U2(I2− I1) (2.5) som beskriver förhållanden mellan spänning och ström, som ger effekten i transformatorn i figur 2.7.
Resultatet visar att sparkopplade transformatorer ger en högre effekt än motsvarande fullindade trans- formatorer. Dessutom kan sparkopplade transformatorer ha lägre läckimpedanser, vilket kan innebära lägre spänningsfall jämfört med fullindade enheter. Sparkopplade transformatorers huvudsakliga nackdel är bristen på galvanisk isolering mellan lindningarna, som kan innebära högre kortslutningsströmmar när fel inträffar[6].
2.1.3.3 Transformatorer med flera lindningar
Trots att transformatorer med två lindningar är de vanligaste av alla typer av transformatorer, så har en stor del av krafttransformatorer konfigurationer med fler lindningar än två. Det finns olika orsaker till detta, men en vanlig anledning är när det förekommer fler än två spänningsnivåer i en station[11].
De flesta krafttransformatorer är Y-kopplade på både primär och sekundärlindningarna, och där ingen fasförskjutning förekommer. Dock användas i många fall en deltakopplad tertiärlindning. Detta medför flera designfördelar som kommer att förklaras i nästa avsnitt. I denna studie är bara transformatorer med tre och fyra lindningar av intresse. Transformatorer med tre lindningar i denna rapport omfattar YYD- och YY(D)-konfigurationer och de med fyra lindningar har en YYY(D)-konfiguration.
2.1.3.4 Delta lindnings inverkan på en transformators egenskaper
Från ett driftsperspektiv är det fördelaktigt att ha en deltakopplad tertiärlindning i en krafttransformator, som:
2.2. OSYMMETRISKA FEL 9
1. Tillhandahåller en lågimpedansväg för tredje och nionde övertonströmmar orsakade av tomgångs- strömmar, vilket minskar deras betydelse i fasströmmen vid obalanserad last[11, 14].
2. Jämnar ut huvudspänningarna vid obalanserad last, genom att kompensera ampere-varvs förhållandet[15].
3. Tillhandahåller en mellanspänningsnivå.
4. Dämpar transformatorns jordfelsfaktor4 genom att minska nollföljdsimpedansen och som tillåter jordfelsströmmar att flyta genom en intilliggande och jordad Y-lindning[3].
Den sistnämnda punkten är av särskild betydelse i denna studie. När en deltakopplad lindning är avsedd för att minska nollföljdsimpedansen hos transformatorn, kallas den för utjämningslindning. Deras egenskaper analyseras vidare i de följande avsnitten. Det bör dock noteras att trots att det ofta finns en fasförskjutning av 30◦ (medurs) vid en Y-∆ koppling, där sekundärsidan ligger före primärsidan [6], påverkas inte storleken på felströmmar av detta [14].
2.2 Osymmetriska fel
Alla faser i ett trefassystem är balanserade och delar lasten som är kopplad till systemet lika vid normal- drift. Under dessa omständigheter räcker det med att analysera en fas att studera systemet i sin helhet.
När ett systemfel inträffar är det bara 2-5 % av händelserna som påverkar alla faser samtidigt och på ett liknande sätt [2]. De flesta fel som uppstår i ett trefassystem är osymmetriska fel, där endast en eller två faser påverkas. Dessa fall kan i princip klassas som kortslutningsfel mellan faser (fas till fas) eller kortslutning mellan jord och en eller två faser. När obalanserade omständigheter inträder kan man inte längre analysera bara en fas för att studera ett trefassystem i sin helhet. Asymmetrin ger bl. a. upphov till osymmetriska belastningsströmmar som i sin tur påverkar neutralströmmar och spänningsstabilitet i transformatorn[3] . Följande avsnitt beskriver symmetriska komponenter, verktyget som används vid osymmetrisk felanalys.
2.2.1 Symmetriska komponenter
Symmetriska komponenter används för att förenkla felanalys av trefassystem. Med hjälp av symmetris- ka komponenter kan man lösa obalanserad trefas kortslutningsfel på ett liknande sätt som i ett enfas, balanserat fall[4] . Som tidigare nämnts består ett trefassystem vid normaldrift av identiska sinusfor- made storheter, där både fasströmmar och fasspänningar är förskjutna 120◦ från varandra. Om dessa storheter representeras med visare som i ekvation 2.6 gäller symmetrin även visarbeloppet. Däremot kommer vid osymmetriska förhållanden fasförskjutningen och beloppet av storheternas visare att avvika från den tidigare angivna beskrivningen. Osymmetriska trefassystem kan beskrivas med en symmetrisk komponenter-metod, där tre sekvenser av symmetriska delnät representerar det verkliga systemet. I ek- vation 2.6 används förenklingen a = e−j120◦ = 1∠120◦ för att tydliggöra förhållandet mellan de olika symmetriska följderna. Dessa följdkomponenter och deras förhållande visas i figur 2.8 nedan där nollföljds- storheter betecknas med en nedsänkt 0, plusföljdsstorheter med en nedsänkt 1 och minusföljdsstorheter med en nedsänkt 2.
UA= (e−j0◦)U =U UB = (e−j120◦)U =aU UC= (e−j240◦)U =a2U
(2.6)
Från figur 2.8 och ekvation 2.6 erhålls
UA= UA0+ UA1+ UA2
UB = UB0+ UB1+ UB2 = UA0+ a2UA1+ aUA2
UC= UC0+ UC1+ UC2 = UA0+ aUA1+ a2UA2
(2.7)
4Jordfelsfaktorn är en parameter hos en trefastransformator, som beskriver förhållandet mellan fasspänningen av en oskadad fas under obalanserad last och den symmetriska fasspänningen innan felet inträffat[3].
10 KAPITEL 2. TEORI
Figur 2.8: Symmetriska komponenter för ett trefassystem. I detta exempel representeras fasspänningar där dess (a) plusföljd-, (b) minusföljd- och (c) nollföljdskomponenter utgör (d) det osymmetriska systemet.
Från ekvation 2.7 definieras transformationsmatrisen (T) där
T =
1 1 1
1 a2 a 1 a a2
(2.8)
som förhåller både fasspänningar och fasströmmar till deras symmetriska komponenter som visas i ekva- tion 2.9 nedan.
Uf as= T Usym
Usym= T−1Uf as
(2.9)
där
Uf as=
UA UB
UC
och Usym=
U0
U1
U2
(2.10)
När felanalysen har utförts i den symmetriska domänen kan resultatet omvandlas till fasdomänen med hjälp av ekvation 2.9. Varje sekvens motsvarar viktiga egenskaper från det verkliga systemet, men det är nollföljdskomponenter som är av mest intresse vid denna studie, vilket förklaras vidare i nästa avsnitt.
2.2.2 Nollföljdskomponenter
Som nämnts i föregående avsnitt, kan symmetriska komponenter beskriva både spänningar och strömmar vid ett obalanserat trefassystem. De olika sekvenserna motsvarar följande strömkarakteristik för det obalanserade systemet [11] :
1. Plusföljdskomponenter motsvarar spänningar och strömmar vid normaldrift
2. Minusföljdskomponenter motsvarar spänningar och felströmmar, vars belopp speglar överlagrade kortslutningsfel mellan faser.
3. Nollföljdskomponenter motsvarar spänningar och felströmmar, vars belopp speglar jordfel.
Som en direkt uppföljning av punkt tre ovan, inses att nollföljdskomponenterna i en transformator existerar endast vid en jordad lindning. Dock kan det i deltalindningen uppstå cirkulerande nollföljds- strömmar i form av kortslutningsströmmar[3]. Till varje sekvens finns motsvarande impedanskarakteri- stik. Nollföljdsimpedansen är således impedansen per fas, som lindningen skapar mot nollföljdsström.
