Utvärdering av en beslutsåterkopplad kanalestimator för tredje generationens mobiltelefonisystem

Examensarbete MEE-9813

Utvärdering av en beslutsåterkopplad kanalestimator för tredje

generationens mobiltelefonisystem

Ronnie Gustafsson Didier Kongolo

Högskolan i Karlskrona/Ronneby April 1999

_____________________________________________

Magisterprogrammet i Elektroteknik Högskolan i Karlskrona/Ronneby

Institutionen för Telekommunikation och Signalbehandling

Abstract

This Masters thesis work describes a comparison between two different met- hods for estimation of the down channel (base station to mobile subscriber) in Wide-band Code Division Multiple Access (WCDMA).

The first estimation method, Optimal Feed-forward Channel Estimation (OFCE), is a conventional method that bases the estimates on data that is known to both sender and receiver, so called pilots. The second method, Decision Directed Channel Estimation (DDCE), is an elaboration of OFCE.

It also uses user data for estimation.

Simulations show that DDCE, in comparison to OFCE, does not at- tain an improvement in signal-to-noise-ratio (SNR) for high bit error rates (BER). An improvement is only seen when the BER becomes much lower than what is common in real situations.

In conclusion DDCE is complicated, involves many mathematical opera- tions and gives insignificant improvement of SNR when BER takes common values. It is legitimate to question if it is possible to use the method in a real mobile phone system.

Sammanfattning

Examensarbetets syfte ¨ar att j¨amf¨ora tv˚a metoder f¨or estimering av fram- kanalen (basstation till mobiltelefon) i Wideband Code Division Multiple Access (WCDMA).

Den f¨orsta estimeringsmetoden, Optimal Feedforward Channel Estima- tion (OFCE), ¨ar en konventionell estimeringsmetod som baserar estima- ten p˚a f¨or s¨andare och mottagare k¨and information, s˚a kallade piloter. Den andra metoden, Decision Directed Channel Estimation (DDCE), ¨ar en vi- dareutveckling av OFCE. Den ¨ar besluts˚aterkopplad och anv¨ander ¨aven anv¨andardata vid estimeringen.

Genom simuleringar kan man dra slutsatsen att DDCE, i j¨amf¨orelse med OFCE, inte till˚ater en minskning i signal-brus-f¨orh˚allandet (SNR) d˚a bitfels- sannolikheten (BER) ¨ar stor. En f¨orb¨attring g˚ar att m¨ata f¨orst vid mycket l¨agre BER ¨an vad som ¨ar normalt i verkliga sammanhang.

Slutsatsen blir att DDCE ¨ar komplex, v¨aldigt ber¨akningskr¨avande, och ger liten f¨orb¨attring p˚a SNR vid normala BER, vilket g¨or det befogat att fr˚aga sig om det ¨ar m¨ojligt att anv¨anda metoden i ett mobiltelefonisystem.

F¨ orord

Examensarbetet utf¨ordes som avslutning p˚a Magisterprogrammet i Tele- kommunikation/Signalbehandling p˚a Ericsson Mobile Communications i Lund.

Programmet ges vid H¨ogskolan Karlskrona/Ronneby, senare Blekinge Tek- niska H¨ogskola. Det p˚agick under tiden 1998-11-02 till och med 1999-02-12.

Handledare p˚a Ericsson var teknologie doktor H˚akan Eriksson och examina- tor vid h¨ogskolan var professor Sven Nordholm.

Inneh˚ all

Abstract i

Sammanfattning ii

F¨orord iii

Inneh˚all iv

Figurer vi

Tabeller viii

F¨orkortningar ix

1 Inledning 1

1.1 Bakgrund och problemformulering . . . 1

1.2 Estimeringsmetoder . . . 1

1.3 Tredje generationens mobiltelefonisystem . . . 4

1.3.1 WCDMA . . . 4

1.3.2 Kanalformat . . . 4

1.3.3 Dataformat f¨or de fysiska kanalerna . . . 7

2 Systemmodell 8 2.1 Systemmodell . . . 8

2.2 S¨andaren (Tx) . . . 8

2.3 Kanalen . . . 10

2.4 Mottagaren (Rx) . . . 11

3 Kanalestimering 12 3.1 Optimal Feedforward Channel Estimation . . . 12

3.2 Decision Directed Channel Estimation . . . 14

3.2.1 Exempel p˚a algoritm . . . 14

3.3 Interpolator . . . 17

3.3.1 Signal-brus-f¨orh˚allandet . . . 17

4 Simuleringar och resultat 21

4.1 F¨oruts¨attningar . . . 21

4.2 Verifiering av modellen . . . 22

4.3 Simuleringsresultat f¨or OFCE och DDCE . . . 22

4.3.1 Val av tr¨oskelv¨ardet γ . . . 23

4.3.2 J¨amf¨orelse mellan OFCE och DDCE . . . 23

4.3.3 Antalet pilotgruppers p˚averkan p˚a DDCE . . . 23

5 Slutsatser och slutdiskussion 30 5.1 Slutsatser . . . 30

A Beskrivning av koden 31

Litteraturf¨orteckning 33

Figurer

1.1 Kanalestimetor f¨or mobiltelefon som f¨ardas i l˚ag hastighet . . 2

1.2 OFCE: Kanalestimator baserad p˚a interpolering av estimat. . 3

1.3 DDCE: Kanalestimator baserad p˚a s¨ant anv¨andardata. . . 3

1.4 Superramar, radioramar och tidsluckor. . . 7

2.1 Slutlig modell ¨over systemet. . . 9

2.2 Modell ¨over hela systemet. . . 9

2.3 Modell ¨over s¨andaren. . . 9

2.4 Modell ¨over mottagaren. . . 11

3.1 Detaljerad figur ¨over OFCE. . . 13

3.2 Detaljerad figur ¨over DDCE. . . 15

4.1 Estimerad kanal och verklig kanal samt ackumulerat antal bitfel f¨or DDCE med γ = +∞ (d.v.s. i praktiken en OFCE) vid ett SNR p˚a 4 dB. . . 24

4.2 Estimerad kanal och verklig kanal samt ackumulerat antal bitfel f¨or DDCE med γ = 1 vid ett SNR p˚a 4 dB. . . 24

4.3 Estimerad kanal och verklig kanal samt ackumulerat antal bitfel f¨or DDCE med γ = +∞ (d.v.s. i praktiken en OFCE) vid ett SNR p˚a 20 dB. . . 25

4.4 Estimerad kanal och verklig kanal samt ackumulerat antal bitfel f¨or DDCE med γ = 0.2 vid ett SNR p˚a 20 dB. . . 25

4.5 Optimalt γ erh˚allet genom simulering av 2000 tidsluckor/SNR i punkterna γ = {0, 0.1, · · · 1.5, +∞} . . . 26

4.6 Interpolerad bitfelskurva f¨or DDCE och OFCE simulerad i SNR 0, 4, 8, 12, 16 och 20 dB. DDCE har optimalt (diskret) tr¨oskelv¨arde γ ∈ {0, 0.1, · · · + ∞} och baseras p˚a tv˚a pilot- grupper, en fram˚at i tiden och en bak˚at. . . 26

4.7 Interpolerad bitfelskurva f¨or DDCE och OFCE simulerad i SNR 0, 4, 8, 12, 16 och 20 dB. DDCE har optimalt (diskret) tr¨oskelv¨arde γ ∈ {0, 0.1, · · · + ∞} och baseras p˚a tre pilot- grupper, en fram˚at i tiden och tv˚a bak˚at. . . 27

4.8 Interpolerad bitfelskurva f¨or DDCE och OFCE simulerad i SNR 0, 4, 8, 12, 16 och 20 dB. DDCE har optimalt (diskret) tr¨oskelv¨arde γ ∈ {0, 0.1, · · · + ∞} och baseras p˚a fyra pilot- grupper, en fram˚at i tiden och tre bak˚at. . . 27 4.9 Erh˚allen vinst i dB f¨or olika BER och antal pilotgrupper d˚a

man v¨aljer DDCE ist¨allet f¨or en OFCE. . . 28 4.10 Andel tidsluckor med potentiella dippar f¨or olika SNR. . . 28 4.11 Medell¨angd av dipp i procent av maximal l¨angd f¨or olika SNR. 29 4.12 Interpolerad bitfelskurva f¨or DDCE i SNR 0, 4, 8, 12, 16

och 20 dB. Estimatorn har optimalt (diskret) tr¨oskelv¨arde γ ∈ {0, 0.1, · · · + ∞} och baseras p˚a tv˚a, tre respektive fyra pilotgrupper. . . 29

Tabeller

1.1 Kontrollkanaler p˚a den logiska abstraktionsniv˚an. . . 5

1.2 Trafikkanaler p˚a den logiska abstraktionsniv˚an. . . 6

1.3 Gemensamma kanaler p˚a transportkanalsniv˚an. . . 6

1.4 Gemensam kanal p˚a transportkanalsniv˚an. . . 6

1.5 Fysiska kanaler. . . 6

F¨ orkortningar

ARIB Association of Radio Industries and Businesses AWGN Additive White Gaussian Noise

BCCH Broadcast Control CHannel BCH Broadcast CHannel

BER Bit Error Rate

BS Base Station

DCCH Dedicated Control CHannel DCH Dedicated CHannel

DDCE Decision Directed Channel Estimation

DS-CDMA Direct Sequence Code Dividion Multiple Access DTCH Dedicated Traffic CHannel

ETSI European Telecommunications Standards Institute FACCH Forward Access Control CHannel

FACH Forward Access CHannel

IMT-2000 International Mobile Telecommunications in the year 2000 MS Mobile Subscriber

OFCE Optimal Feedforward Channel Estimation

PCH Paging CHannel

PCCH Paging Control CHannel PTCH Packet Traffic CHannel

QPSK Quadrature Phase Shift Keying RACH Random Access CHannel

RACCH Reverse Access Control CHannel

Rx Receiver

TPC Transmission Power Control

Tx Transmitter

UMTS Universal Mobile Telecommunications System WCDMA Wide-band Code Division Multiple Access

Kapitel 1

Inledning

1.1 Bakgrund och problemformulering

Vid mobiltelefoni uppr¨attas kontakt mellan en basstation (eng. Base Sta- tion (BS)) och en mobiltelefon (eng. Mobile Subscriber (MS)). Information skickas ¨over radio i b˚ada riktningarna, dels fr˚an basstation till mobiltelefon (framkanal), dels fr˚an mobiltelefon till basstation (bakkanal). Problemet ¨ar att p˚a ett s˚a bra s¨att som m¨ojligt estimera framkanalen, och p˚a s˚a s¨att f˚a en s˚a bra mottagning som m¨ojligt i mobiltelefonen.

Den signal som skickas kommer att reflekteras i olika hinder som t.ex.

byggnader och bilar. Det inneb¨ar att flera versioner av signalen kommer att n˚a mottagaren vid olika tidpunkter. Fenomenet kallas flerv¨agsf¨adning (eng.

multipath fading). Kanalen f˚ar ett impulssvar som best˚ar av komplexa koeffi- cienter med toppar i de punkter som motsvarar de olika f¨ordr¨ojningarna. Vi begr¨ansar oss till att enbart ta emot en reflektion, vilket inneb¨ar att im- pulssvaret enbart best˚ar av en enda komplex koefficient. D˚a mobiltelefonen f¨orflyttar sig kommer kanalen att f¨or¨andras. Ju h¨ogre hastighet, desto snabb- are f¨or¨andras kanalen.

1.2 Estimeringsmetoder

I detta avsnitt tas tre olika metoder att estimera kanalen upp. Den f¨orsta fungerar d˚a mobiltelefonen f¨ardas i en l˚ag hastighet och de andra tv˚a b¨attre d˚a den f¨ardas i h¨og hastighet. Det ¨ar de b˚ada senare metoderna som skall utv¨arderas i examensarbetet.

Den f¨orsta estimeringsmetoden som vi skall utv¨ardera, Optimal Feed- forward Channel Estimation (OFCE), ¨ar en konventionell estimeringsme- tod som baserar estimaten p˚a f¨or s¨andare och mottagare k¨and information, s˚a kallade piloter. Den andra metoden, Decision Directed Channel Estima- tion (DDCE), ¨ar en vidareutveckling av OFCE. Den ¨ar besluts˚aterkopplad och anv¨ander ¨aven anv¨andardata vid estimeringen.

Kapitel 1. Inledning

används i hela tidsluckan Samma estimat baserade på piloter Kanalestimat Mottagen tidslucka

Pilotsymboler Användarsymboler

Medelvärdesbildning Primär estimering

Figur 1.1: Kanalestimetor f¨or mobiltelefon som f¨ardas i l˚ag hastighet Metoderna beskrivs h¨ar endast ¨oversiktligt, se kapitel 3 f¨or mer ing˚aende beskrivningar.

Metod f¨or estimering vid l˚ag hastighet: Om mobiltelefonen f¨ardas i en l˚ag hastighet kommer kanalen inte att ¨andras speciellt snabbt. Ge- nom att med j¨amna mellanrum skicka f¨or b˚ade s¨andare och motta- gare k¨anda symboler, s˚a kallade piloter, kan en kanalestimator skat- ta kanalen varje g˚ang en pilot tas emot. F¨or att f¨orb¨attra estimatet kan eventuellt medelv¨ardesbildning till¨ampas. Skattningen kan sedan anv¨andas f¨or att estimera kanalen och, med hj¨alp av kanalestimatet, de s¨anda symbolerna. Kanalestimatet uppdateras varje g˚ang nya piloter tas emot. Figur 1.1 visualiserar hur det g˚ar till.

OFCE: Om den hastighet i vilken mobiltelefonen f¨ardas ¨ar h¨og, typiskt 200 km/h, kommer kanalen att ¨andras snabbare, och absolutbeloppet f¨or den komplexa koefficienten kommer oftare att “dippa”, dvs bli n¨ara noll. Detta inneb¨ar att estimatet, som metoden ovan tar fram, snabb- are kommer att bli “f¨or˚aldrat”, vilket i sin tur ger att de s¨anda symbo- lerna kommer att felskattas; mottagaren kommer att g¨ora m˚anga fel.

Ett s¨att att minska antalet fel ¨ar att buffra den mottagna informatio- nen och sedan estimera kanalen som en viktad linj¨arkombination av kanalestimat d¨ar piloter finns, se figur 1.2.

DDCE: Amplituden f¨or koefficienten ¨ar oftast st¨orre ¨an noll, f¨or att ibland

“dippa” till en amplitud mycket n¨ara noll. Under den tid som ampli- tuden ¨ar stor ¨ar det m¨ojligt att estimera kanalen genom att anta att de avkodade symbolerna ¨ar riktiga. Symbolerna anv¨ands som om de vore piloter. Metod tre ¨ar en utvigdning av metod tv˚a som tar h¨ansyn till detta, se figur 1.3.

Kapitel 1. Inledning

Primär estimering

Användarsymboler Pilotsymboler

Mottagen tidslucka

Kanalestimat baserade på piloter

tidsluckan

Pilotsymboler

Primär estimering

Olika estimat används i

Interpolering

Figur 1.2: OFCE: Kanalestimator baserad p˚a interpolering av estimat.

Kanalest.

Estimera sänt data Medelvärdesbildn.

Kanalest.

Estimera sänt data Medelvärdesbildn.

Primär estimering

Användarsymboler Pilotsymboler

Mottagen tidslucka

Kanalestimat baserade på piloter

Pilotsymboler

Primär estimering

Figur 1.3: DDCE: Kanalestimator baserad p˚a s¨ant anv¨andardata.

Kapitel 1. Inledning

1.3 Tredje generationens mobiltelefonisystem

De metoder vi utv¨arderar skall eventuellt kunna anv¨andas i tredje genera- tionens mobiltelefonisystem. Dessa system f¨oresl˚as vara baserade p˚a Wide- band Code Division Multiple Access (WCDMA). I detta avsnitt beskrivs WCDMA ¨oversiktligt.

1.3.1 WCDMA

M˚anga mobila tj¨anster, som utf¨ors av dagens mobilkommunikationssystem, t.ex. telefonsamtal eller ¨overf¨oring av data, har begr¨ansad datatakt. Dock, med tanke p˚a att vi n¨armar oss 2000-talet, v¨antas efterfr˚agan p˚a ett antal olika bredbandiga (h¨og bithastighet) tj¨anster, som t.ex. internet samt video- och h¨ogkvalitativ bild¨overf¨oring, ¨oka. N¨asta generations mobilkommunikations- system, Universal Mobile Telecommunications System (UMTS)/International Mobile Telecommunications in the year 2000 (IMT-2000), m˚aste vara flexi- belt f¨or att kunna st¨odja s˚adana tj¨anster med b¨attre kvalitet ¨an i fasta n¨at.

F¨or att detta system skall bli effektivt, har Association of Radio Industri- es and Businesses (ARIB) f¨oreslagit en teknik som kallas WCDMA, som baseras p˚a Direct Sequence Code Dividion Multiple Access (DS-CDMA).

I WCDMA (DS-CDMA) delas varje symbol in i ett antal “chip”. Dessa chip moduleras med en kodsekvens vilket resulterar i en signal med st¨orre bandbredd ¨an originalsignalen. Antalet chip/symbol kallas f¨or spridnings- faktor och till˚ats variera f¨or olika anv¨andare inom systemet. I WCDMA s¨ander fler ¨an en anv¨andare samtidigt i samma frekvensband, d¨arf¨or b¨or koderna vara ortogonala f¨or att basstationen skall kunna skilja anv¨andarna fr˚an varandra.

WCDMA kan anv¨anda samma spektrum i n¨arliggande celler. F¨or att skil- ja ut vilken information som ¨ar associerad till vilken basstation s˚a anv¨ands andra koder, som dock ej ¨ar ortogonala. De koder som anv¨ands f¨or att se- parera anv¨andare fr˚an varandra kallas f¨or kortkoder och de som separerar basstationer f¨or l˚angkoder.

Mottagaren i WCDMA kan designas att ¨overvinna flerv¨agsegenskaperna associerade till flatf¨adning, d.v.s. amplitudsf¨or¨andring, och minimera deras effekt p˚a systemkapaciteten.

1.3.2 Kanalformat

Enligt ARIB skall det finnas tre klasser av kanaler i UMTS/IMT-2000, dessa

¨ ar:

• Logiska kanaler

• Transportkanaler

• Fysiska kanaler

Kapitel 1. Inledning

Kanal Fram- Bak- Beskrivning

kanal kanal Broadcast Con-

trol CHan-

nel (BCCH)

X Overf¨¨ or information som t.ex.

s¨andareffekt, interferens etc. f¨or den aktuella BS.

Paging Control CHannel (PCCH)

X Anv¨ands f¨or att skicka information som skall n˚a samtliga MS i ett visst omr˚ade.

Forward Access Control CHan- nel (FACCH)

X Anv¨ands for kontrollinformation n¨ar positionen f¨or MS ¨ar k¨and.

Reverse Access Control CHan- nel (RACCH)

X Anv¨ands f¨or kontrollinformation fr˚an MS till BS.

Dedicated Con-

trol CHan-

nel (DCCH)

X X Anv¨ands f¨or kontrollinformation mellan MS och BS. Kanalen ¨ar tilldelad en specifik MS.

Tabell 1.1: Kontrollkanaler p˚a den logiska abstraktionsniv˚an.

De logiska kanalerna definieras utifr˚an vilken typ av information som

¨overf¨ors och transportkanalerna hur samma information ¨overf¨ors. De fysiska kanalerna b¨ar sedan den information som skickas p˚a transportkanalerna.

Logiska kanaler

De logiska kanalerna indelas i tv˚a typer, kontrollkanaler respektive trafik- kanaler. De kontrollkanaler som ¨ar specificerade ˚aterfinns i tabell 1.1 och trafikkanalerna i tabell 1.2

Termerna framkanal och bakkanal som f¨orekommer i dessa tabeller defi- nieras som f¨oljande: framkanalen ¨ar en enriktnings radiokanal som anv¨ands f¨or informations¨overf¨oring fr˚an en BS till en eller flera MS. I bakkanalen

¨overf¨ors information fr˚an en MS till en eller flera BS, ist¨allet¹. Transportkanaler

Transportkanalerna delas in i gemensamma och tilldelade kanaler. De gem- samma ˚aterfinns i tabell 1.3 och den enda tilldelade i tabell 1.4.

Fysiska kanaler

De fysiska kanalerna ˚aterfinns i tabell 1.5.

1Ett exempel p˚a n¨ar en MS s¨ander till flera BS ¨ar vid soft hand over.

Kapitel 1. Inledning

Kanal Fram- Bak- Beskrivning

kanal kanal Dedicated Traffic

CHannel (DTCH)

X X Overf¨¨ or anv¨andardata i kretskopp- lat l¨age (eng. circuit switching mo- de).

Packet Traffic CHannel (PTCH)

X X Overf¨¨ or anv¨andardata i paketl¨age (eng. packet mode).

Tabell 1.2: Trafikkanaler p˚a den logiska abstraktionsniv˚an.

Kanal Fram- Bak- Beskrivning

kanal kanal Broadcast CHan-

nel (BCH)

X Anv¨ands f¨or att skicka information som skall n˚a alla MS.

Paging CHannel (PCH)

X Anv¨ands f¨or kontrollinformation d˚a positionen f¨or MS ¨ar ok¨and.

Forward Access CHannel (FACH)

X Anv¨ands f¨or kontrollinformation d˚a positionen f¨or MS ¨ar k¨and.

Random Access CHannel (RACH)

X Anv¨ands f¨or kontrollinformation fr˚an MS till BS.

Tabell 1.3: Gemensamma kanaler p˚a transportkanalsniv˚an.

Kanal Fram- Bak- Beskrivning

kanal kanal Dedicated CHan-

nel (DCH)

X X Overf¨¨ or anv¨andardata mellan MS och BS.

Tabell 1.4: Gemensam kanal p˚a transportkanalsniv˚an.

Kanal Fram- Bak- Beskrivning

kanal kanal

Perch channel X Den logiska kanalen BCCH s¨ands p˚a perch-kanalen. Kanalen ¨ar den f¨orsta som MS lyssnar p˚a d˚a den re- gistrerar sig. Ordet “perch” i sig ¨ar en fel¨overs¨attning fr˚an japanska.

Common physical channel

X X Delas av flera MS i samma sektor.

Dedicated physi- cal channel

X X Anv¨ands f¨or att skicka kontrollinfor- mation och anv¨andardata. Kanalen kopplas mellan en specifik MS och en BS, dvs den ¨ar punkt-till-punkt.

Tabell 1.5: Fysiska kanaler.

Kapitel 1. Inledning

T_f

Pilot #4 Pilot #3 Pilot #2

Pilot #1 Data

0.625 ms

= 10 ms super= 720 ms T

Ram #1 Ram #2 Ram #i Ram #72

Lucka #1 Lucka #2 Lucka #i Lucka #16

Figur 1.4: Superramar, radioramar och tidsluckor.

1.3.3 Dataformat f¨or de fysiska kanalerna

I den fortsatta framst¨allningen diskuteras enbart framkanalen, d˚a det bara

¨ar den som ¨ar intressant i det estimeringsproblem som skall studeras i detta examensarbete.

Generellt f¨or samtliga fysiska kanaler ¨ar att de kan delas in i en hierarki enligt f¨oljande, se figur 1.4. P˚a kanalerna skickas l¨opande s˚a kallade “super- ramar” som ¨ar 720 ms l˚anga. Dessa best˚ar av 72 “radioramar” om 10 ms vardera, som i sin tur inneh˚aller 16 tidsluckor (eng. time slots). En tidslucka

¨ar 0,625 ms och den inneh˚aller den information som skall skickas.

Formatet f¨or en tidslucka varierar mellan de olika typerna av fysiska kanaler och ¨ar inte fastst¨allt, d¨arf¨or antas i den fortsatta framst¨allningen att den best˚ar av ett variabelt antal s˚a kallade “pilotsymboler” och annan information. Informationen ¨ar placerad p˚a ett s¨att i tidsluckan som ARIB specificerar. Vissa luckor kanske inte har n˚agra pilotsymboler alls, men detta beror allts˚a av hur den slutgiltiga specifikationen kommer att se ut. Hur m˚anga symboler det finns i en tidslucka varierar f¨or de fysiska kanalerna.

Enligt [1] rymmer t.ex. perch-kanalen sex symboler, varav fyra ¨ar piloter, den gemensamma 36 symboler varav fyra ¨ar piloter och den tilldelade kanalen har ett variabelt antal symboler och piloter enligt en viss struktur som inte tas upp h¨ar.

I det h¨ar examensarbetet har vi valt en spridningsfaktor p˚a 16 chip/slot, vilket i dagsl¨aget, enligt [1], medf¨or att en tidslucka best˚ar av 4 pilot- och 156 datasymboler, se ¨aven figur 1.4.

Kapitel 2

Systemmodell

Ett digitalt kommunikationssystem best˚ar av en s¨andare och en mottagare.

Aven om informationen ¨¨ ar digital ¨ar ¨overf¨oringen analog och tidskontinu- erlig. Med antagande om ideal synkronisering och en l˚angsamt varierande kanal kan en ekvivalent tidsdiskret systemmodell tas fram [7] enligt figur 2.2

2.1 Systemmodell

Den modell vi anv¨ander vid simuleringarna ses i figur 2.1. Den ¨ar h¨arledd fr˚an systemmodellen, som visas ¨oversiktligt i figur 2.2, under antagandet att mottagaren (Rx) ¨ar idealt synkroniserad med s¨andaren (Tx). Det som ¨ar ritat mellan s¨andaren och mottagaren ¨ar den kanal ¨over vilken informationen skickas.

I modellen ¨ar b¹_j,k och b²_j,k den bin¨ara information som skall skickas, b_j,k QPSK-signalen, x_i,j,k den spridna signal (¨oversamplad samt multiplicerad med koden ci,j,k) som s¨ands ¨over kanalen, hi,j,k en komplex koefficient som modellerar f¨adning, och η_i,j,k och n_j,k additivt gaussiskt brus. Mottagaren tar emot z_i,j,k vilken avsprids (motsatsen till spridning) till y_j,k. Signalen y_j,k anv¨ands f¨or att besluta ˆb¹_j,k och ˆb²_j,k vilka optimalt har samma v¨arden som b¹_j,k och b²_j,k.

I beteckningarna anv¨ands i f¨or chipnumret, j f¨or symbolnumret och k f¨or numret p˚a tidsluckan (eng. slot).

I f¨oljande avsnitt beskrivs s¨andare, kanal och mottagare.

2.2 S¨ andaren (Tx)

I figur 2.3 ses modellen ¨over s¨andaren.

Den information som skall skickas ¨over kanalen ¨ar bin¨ar och modelleras som en bipol¨ar diskret signal, d.v.s. en bin¨ar etta kodas som talet +1 och en bin¨ar nolla som talet−1. Det f¨orsta steget som s¨andaren utf¨or ¨ar Quadrature

Kapitel 2. Systemmodell

b_j,k y_j,k

h_j,k n_j,k

Figur 2.1: Slutlig modell ¨over systemet.

Tx Rx

b¹_j,k

b²_j,k

x_i,j,k

h_i,j,k ηi,j,k

z_i,j,k bb¹_j,k

bb²_j,k

Figur 2.2: Modell ¨over hela systemet.

QPSK Gp

b¹_j,k

b²_j,k

x_i,j,k b_j,k

c_i,j,k

Figur 2.3: Modell ¨over s¨andaren.

Kapitel 2. Systemmodell

Phase Shift Keying (QPSK), och det motsvarar en operation som ¨overf¨or tv˚a konsekutiva bipol¨ara “tal”, b¹_j,k och b²_j,k, till ett komplext tal bj,k:¹

bj,k = (b¹_j,k+√

−1 · b²_j,k)· rE_s

2 .

Beteckningen E_s st˚ar f¨or symbolenergin, d.v.s. energin hos b_j,k. Energin hos symbolerna b_j,k definieras h¨ar som Var{b_j,k}. En annan beteckning som f¨orekommer ist¨allet f¨or symbolenergi ¨ar den f¨or bitenergi:

E_bc= Var{Re{b_j,k}} = Var{Im{b_j,k}} .

I fallet med QPSK (v˚art fall) kan man l¨att visa sambandet Es= 2E_bc. Den anv¨anda modellen ¨ar tidsdiskret. Samplingstakten ¨okas G_p = _T^T g˚anger, d¨ar T ¨ar l¨angden av den tidskontinuerliga signalform som motsva-c

rar en symbol och Tc l¨angden av en chip. Gp anger allts˚a hur m˚anga chip det g˚ar p˚a en symbol, och brukar ¨aven ben¨amnas spridningsfaktorn. Vid uppsamplingen anv¨ands ingen interpolering, de nya positionerna f˚ar samma v¨arde som senast tillg¨angliga sampel.

I det tredje och sista steget multipliceras slutligen signalen med koden c_i,j,k, d¨ar i betecknar chip-numret. I modellen antas koden vara en produkt mellan en l˚ang- och en kortkod. Den signal som uppkommer kan skrivas som

x_i,j,k= b_j,k· c_i,j,k.

Signalen x skickas sedan ¨over en kanal som beskrivs nedan i 2.3.

2.3 Kanalen

I figur 2.2 ses kanalmodellen som omr˚adet fr˚an pilen markerad med ett x till den markerad med ett z. I detta avsnitt beskrivs ¨oversiktligt varf¨or vi valt denna modell.

P˚a grund av reflektioner n¨ara mottagaren kommer den s¨anda signalen att n˚a den fr˚an olika infallsriktningar, vilka antas vara j¨amt f¨ordelade i inter- vallet [0, 2π]. Alla dessa reflektioner kommer att n˚a mottagaren vid samma tidpunkt men med olika fas (eftersom de reflekteras n¨ara den). F¨orutom des- sa reflektioner kommer s˚adana som reflekterats l¨angre bort fr˚an mottagaren ocks˚a att n˚a den, fast vid andra tidpunkter (p˚a grund av l¨angre v¨ag). Det ¨ar v¨aldokumenterat i litteraturen att en kanal enligt ovan kan modelleras enligt figuren, d¨ar koefficienten h_i,j,k antas vara komplex och ha Rayleigh-f¨ordelad amplitud med ett effektspektrum som beskrivs av Jakes modell ². F¨or mer information om Rayleigh-f¨ordelningen och Jakes-spektrum, se [2] och [6].

1Eftersom vi valt att anv¨anda i och j som index s˚a skriver vi √

−1 f¨or att markera imagin¨ardelen i komplexa tal.

2Det ¨ar allts˚a inte generellt den mottagna signalen som har Jakes effektspektrum, utan en specifik tapp i impulssvaret.

Kapitel 2. Systemmodell

.. . .

Kanalestimering

z_i,j,k

bb¹_j,k

bb²_j,k c^∗_i,j,k

y_j,k

bh^∗_j,k

Figur 2.4: Modell ¨over mottagaren.

Kanalen ¨ar flat-f¨adande, d.v.s. den skickade signalens frekvensspektra kommer att d¨ampas lika mycket ¨overallt.

F¨orutom f¨adning kommer bruset η st¨ora signalen. Det modelleras som additivt vitt gaussiskt brus (eng. Additive White Gaussian Noise (AWGN)).

Den mottagna signalen z kan allts˚a skrivas

zi,j,k = xi,j,khi,j,k+ ηi,j,k.

2.4 Mottagaren (Rx)

I figur 2.4 ses modellen ¨over mottagaren. Den tar emot signalen z_i,j,k vil- ken avsprids genom multiplikation med konjugatet av koden c_i,j,k. D¨arefter adderas samtliga delresultat f¨or en symbol. Den operation som ¨overf¨or z_i,j,k till y_j,k kan allts˚a skrivas:

y_j,k = 1 G_p

Gp

X

i=1

z_i,j,kc^∗_i,j,k (2.1)

Kanalestimatorn anv¨ander y_j,kf¨or att ber¨akna estimatet ˆh_j,kav kanalen.

Signalen y_j,k multipliceras med ˆh^∗_j,koch man erh˚aller en signal som man kan anv¨anda f¨or att besluta vad som s¨ants.

I examensarbetet antar vi att mottagaren ¨ar synkroniserad med s¨andaren.

Det inneb¨ar att

y_j,k = 1 G_p

Gp

X

i=1

z_i,j,kc^∗_i,j,k= 1 G_p

Gp

X

i=1



b_j,kh_j,k+ η_i,j,kc^∗_i,j,k



=

= b_j,kh_j,k+ n_j,k, (2.2)

dvs inverkan av kodningen f¨orsvinner³. Det g˚ar att visa att den nya brus- termen n ocks˚a ¨ar AWGN. Vi antar h¨ar att bruset n har spektralt¨atheten

N0

2 . Den modell vi anv¨ander, d¨ar kodningen ¨ar borttagen, ses i figur 2.1.

3H¨ar har vi antagit attci,j,kc^∗_i,j,k= 1.

Kapitel 3

Kanalestimering

3.1 Optimal Feedforward Channel Estimation

OFCE-metoden ses i figur 3.1. ¨Overst ses de tidsluckor som mottagaren ba- serar estimaten av kanalen p˚a. Varje tidslucka best˚ar av n − 4 pilotsymboler och n stycken anv¨andardatasymboler. Enbart pilotsymbolerna anv¨ands f¨or att estimera kanalen. I detta fall anv¨ands tv˚a pilotgrupper (om fyra sym- boler) f¨or att vid den prim¨ara estimeringen erh˚alla estimat p˚a kanalen d¨ar piloterna s¨ants. Dessa estimat anv¨ands sedan vid interpoleringen d˚a kanalen

¨aven skall estimeras i de positioner d¨ar anv¨andardata s¨ants. Interpoleringen genomf¨ors genom att vikta de estimat som erh¨olls vid den prim¨ara estime- ringen. Vikterna f¨or¨andras f¨or varje position d¨ar kanalen skall estimeras. Se [4] och [5] f¨or information om hur dessa vikter kan ber¨aknas.

De prim¨ara estimaten tas fram som ˆh_j,k = b^∗_j,k· y_j,k

||b_j,k||² . (3.1)

Eventuellt kan man ist¨allet, f¨or att minska komplexiteten hos interpolatorn, medelv¨ardesbilda skattningarna inom en pilotgrupp. Generellt, d˚a antalet piloter i en pilotgrupp ¨ar N stycken, ber¨aknas allts˚a en skattning f¨or en pilotgrupp som

ˆh_k= 1 N

XN j=1

b^∗_j,k· y_j,k

||b_j,k||² . (3.2)

F¨or att ber¨akna vikterna ovan m˚aste man ta h¨ansyn till signal-brus-f¨or- h˚allandet (SNR) f¨or de medelv¨ardesbildade piloterna. Mer information om hur man h¨arleder dessa SNR finns i avsnitt 3.3.

Kanalen modelleras enligt uttryck 2.2 som yj,k = bj,k · hj,k + nj,k. Om man multiplicerar b˚ada leden med b^∗_j,k, dividerar med ||b_j,k||² och sedan tar

Kapitel3.Kanalestimering

. . . . . . . .

Interpolering

4 st piloter n-4 st användardata

4 st piloter

? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

Primärestimering

tidslucka # k tidslucka # k-1

Optimal Feedforward Channel Estimation

P1,k−1 P2,k−1 P3,k−1 P4,k−1 b5,k−1 b6,k−1 bn−1,k−1bn,k−1 P1,k P2,k P3,k P4,k

ˆh1,k−1 ˆh2,k−1 ˆh3,k−1

ˆh4,k−1

ˆh4,k−1 hˆ1,k ˆh2,k hˆ3,k ˆh4,k

ˆh1,k−1 ˆh2,k−1 ˆh3,k−1 hˆ1,k ˆh2,k hˆ3,k ˆh4,k

ˆˆ

h5,k−1 hˆˆ6,k−1 hˆˆn−1,k−1ˆˆhn,k−1

Figur 3.1: Detaljerad figur ¨over OFCE.

13

Kapitel 3. Kanalestimering

v¨antev¨ardet s˚a erh˚aller man E

b^∗_j,k· y_j,k

||b_j,k||²



= E{hj,k} + 0,

ty E{n_j,k} = 0. Detta motiverar att v¨alja skattningen av kanalen enligt 3.1 eller 3.2.

3.2 Decision Directed Channel Estimation

I ett f¨ors¨ok att f¨orb¨attra skattningarna av kanalen s˚a inf¨ordes en besluts-

˚aterkopplad kanalestimator. Metoden finns beskriven i figur 3.2.

DDCE estimerar kanalen i tv˚a steg. F¨orst utf¨ors en prim¨ar estimering och d¨arefter en sekund¨ar.

Tanken med algoritmen ¨ar att den successivt skall estimera kanalen fr˚an b¨orjan och slutet av en tidslucka s˚a l¨ange som |hj,k| < γ, d¨ar γ ¨ar ett tr¨oskelv¨arde beroende av hastigheten v och signal-brus-f¨orh˚allandet E_s/N₀ och | · | betecknar amplitud. Detta ¨ar den prim¨ara estimeringen. F¨or varje symbol d¨ar|h_j,k| ≥ γ skattas kanalen. Denna skattning anv¨ands f¨or beslut av den skickade symbolen. Beslutet betecknas h¨ar ˆb_j,k och det antas att ˆb_j,k = b_j,k. Detta antagande ¨ar rimligt d˚a γ ¨ar tillr¨ackligt stort, ty d˚a f¨adar inte kanalen vid skattningen. Det erh˚allna ˆb_j,k anv¨ands sedan som om det vore en pilot f¨or att skatta kanalen igen. P˚a detta s¨att kan man ut¨oka m¨angden av skattningar av kanalen som baseras p˚a skickat data.

N¨ar algoritmen ¨ar f¨ardig med den prim¨ara estimeringen, kommer man ha tillg˚ang till skattningar av kanalen i hela tidsluckan, f¨orutom eventuellt i en del “i mitten” av luckan. I forts¨attningen av rapporten f¨orekommer det att denna mittendel ben¨ams en “dipp”. Termen anv¨ands allts˚a i tv˚a olika me- ningar, dels som en fysikalisk “dipp” d¨ar kanalens amplitud verkligen n¨armar sig noll, dels som en potentiell “dipp” som algoritmen har detekterat i form av en mittendel d¨ar prim¨ara estimat saknas, d.v.s. d¨ar kanalens amplitud understigit tr¨oskelv¨ardet. Vid de hastigheter som studerats f¨orekommer det ungef¨ar en dipp per tidslucka i medel.

Slutligen interpoleras de tillg¨angliga estimaten f¨or att f˚a en utj¨amnad skattning av kanalen. Estimat ber¨aknas ocks˚a i den mittendel som det talas om ovan.

3.2.1 Exempel p˚a algoritm

I det f¨oljande beskrivs algoritmen med ett exempel.

Antag att en tidslucka inneh˚aller tio symboler och att det i b¨orjan av varje lucka finns en pilotgrupp om tv˚a k¨anda piloter. Antag vidare att man anv¨ander pilotgrupperna (om tv˚a piloter styck) n¨armast bak˚at och fram˚at i tiden f¨or att skatta kanalen, d.v.s. man introducerar en f¨ordr¨ojning av en lucka i systemet. Algoritmen f˚ar f¨oljande utseende:

Kapitel3.Kanalestimering

tidslucka # k-1 tidslucka # k

Primärestimering

4 st piloter n-4 st användardata 4 st piloter

Decision Directed Channel Estimation

? ?

? ?

Est. kanalen Ta beslut

Medelvärdesbilda Medelvärdesbilda

Ta beslut

Est. kanalen

Interpolering

. . . . .

. . . . .

|hj,k| γ

P1,k−1 P2,k−1 P3,k−1 P4,k−1 b5,k−1 b6,k−1 bn−1,k−1bn,k−1 P1,k P2,k P3,k P4,k

ˆh1,k−1

ˆh1,k−1

ˆh2,k−1

ˆh2,k−1

ˆh3,k−1

ˆh3,k−1

ˆh4,k−1

ˆh4,k−1 ˆh5,k−1 hˆ6,k−1 ˆhn−1,k−1ˆhn,k−1

hˆ1,k

hˆ1,k

ˆh2,k

ˆh2,k

hˆ3,k

hˆ3,k

ˆh4,k

ˆh4,k

ˆh1,k−1 ˆh2,k−1 ˆh3,k−1 ˆh4,k−1 ˆh5,k−1 ˆh6,k−1 ˆhn−1,k−1ˆhn,k−1 hˆ1,k ˆh2,k hˆ3,k ˆh4,k

ˆbj,k

ˆbj,k

ˆhj,k

ˆhj,k

ˆˆ

h5,k−1 hˆˆ6,k−1 hˆˆn−1,k−1ˆˆhn,k−1

h_c h_c

15

Kapitel 3. Kanalestimering

1. S¨att k = 2. k anger vilken tidslucka som tas emot, d.v.s. den sista tidsluckan vars piloter beh¨ovs f¨or att skatta kanalen i tidigare luckor.

2. Ber¨akna skattningen av kanalen f¨or samtliga piloter i b˚ada pilotgrup- perna med 3.1. Skapa vektorn ˆh s˚a att den f˚ar elementen

[ˆh_1,k−1ˆh_2,k−10 0 0 0 0 0 0 0 ˆh_1,kˆh_2,k] . Vektorn ˆh inneh˚aller allts˚a skattningarna av kanalen.

3. S¨att vektorn f = [1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1]. Att f har en etta som element i, d¨ar i ∈ [1, 2, · · · , 10 + 2], inneb¨ar att det finns ett kanalestimat f¨or samma symbol i vektorn ˆh. Nu ¨ar med andra ord de estimat som ber¨aknades i f¨orra steget markerade.

4. Estimering fr˚an v¨anster i lucka k − 1. S¨att j = 3 (positionen f¨or f¨orsta symbolen efter pilotgruppen) och d = +1 (riktning h¨oger).

5. G¨or ett beslut att kanalen ¨ar bra i position j. Vi f¨oresl˚ar metoderna (a) till (c) nedan. Den tempor¨ara variabeln hc ¨ar en skattning av kanalen i nuvarande (eng. current) position.

(a) Antag att kanalen ej ¨andrats sedan f¨oreg˚aende symbol, d.v.s. s¨att h_c = ˆh[j − d].

(b) Ber¨akna hc som ett medelv¨arde av n˚agra f¨oreg˚aende skattningar av kanalen.

(c) Ber¨akna h_c genom en viktad summa (filtrering) av samtliga esti- meringar som har gjorts; d.v.s. genom att anv¨anda de element i ˆh som ¨ar markerade med ettor i f .

6. Om mottagningen inte kan anses bra, d.v.s. om ||h_c|| < γ, hoppa till steg 8.

Om mottagningen kan anses bra, d.v.s. om ||h_c|| ≥ γ, d¨ar γ ¨ar en konstant, s˚a skatta s¨and symbol b_j,k−1 med ˆb_j,k−1, d¨ar ˆb_j,k−1 erh˚alls genom att ta beslut p˚a y_j,k−1· h^∗_c. Skatta d¨arefter kanalen som:

ˆh_j,k−1=

ˆb^∗_j,k−1· y_j,k−1

||b_j,k−1||² . (3.3)

Resultatet sparas som element j i vektorn ˆh, och samma element i f s¨atts till ett.

7. L˚at j = j + d. Om f [j] = 0, d.v.s. om det inte finns n˚agon skattning i position j, skall algoritmen f¨ors¨oka ta fram en s˚adan. Hoppa till punkt 5. Om det redan finns en skattning, forts¨att till 8.

Kapitel 3. Kanalestimering

8. Estimering fr˚an h¨oger i lucka k − 1. S¨att j = 10 (positionen f¨or sista symbolen i luckan) och d = −1 (riktning v¨anster).

9. Utf¨or f¨oljning p˚a samma s¨att som i steg 5 t.o.m. 7.

10. Nu ¨ar kanalen estimerad med hj¨alp av skattade symboler och riktiga piloter i slot k − 1. f ¨ar satt till ett p˚a de st¨allen d¨ar en skattning finns.

F¨or att f˚a en bra avkodning anv¨ands en interpolator f¨or att ber¨akna b¨attre skattningar i samtliga positioner, ¨aven de d¨ar en skattning redan finns. Interpoleringen motsvarar i praktiken en viktad summering av de skattningar som ber¨aknades ovan.

11. Avkoda kanalen med hj¨alp av kanalskattningen.

Kommentar till steg 6 ovan : Om γ ¨ar tillr¨ackligt stor och hc ≈ ˆhc s˚a kan man med stor tillf¨orlitlighet anta att skattningen av ˆb_j,k−1 ¨ar korrekt, och d¨arf¨or kan man nu skatta kanalen p˚a ett b¨attre s¨att ¨an i f¨oreg˚aende steg. Skattningen kan erh˚allas ur 3.1 d¨ar b^∗_j,k ersatts med ˆb^∗_j,k och indexet k med k − 1 f¨or att f¨olja exemplet, d.v.s. uttryck 3.3.

3.3 Interpolator

De vikter som anv¨ands av interpolatorn i algoritmen ovan ber¨aknas med hj¨alp av speciella uttryck. I [4] och [5] finns mer information om dessa. I den h¨ar rapporten n¨ojer vi oss med att n¨amna att interpolatorns koefficienter f˚as ur signal-brus-f¨orh˚allandet samt korrelationsegenskaperna hos kanalen.

Uttrycken f¨or SNR:en tas fram nedan.

3.3.1 Signal-brus-f¨orh˚allandet

N¨ar man ber¨aknar de vikter, som anv¨ands av interpolatorerna i de b˚ada estimeringsmetoderna, m˚aste man ha tillg˚ang till signal-brus-f¨orh˚allandet.

Dels m˚aste man k¨anna det d˚a man anv¨ander vanliga piloter f¨or att skatta kanalen, dels d˚a man anv¨ander data som piloter. D˚a man anv¨ander OFCE beh¨over man bara k¨anna SNR i det f¨orsta fallet.

Vi definierar, generellt, SNR som energin hos den ¨onskade signalen di- viderat med energin hos bruset. I de ber¨akningar som f¨oljer nedan ¨ar det kanalen som ¨ar den ¨onskade signalen, helt enkelt d¨arf¨or att det ¨ar den vi f¨ors¨oker skatta.

Signal-brus-f¨orh˚allandet hos piloterna

I det h¨ar avsnittet h¨arleds SNR:et d˚a man anv¨ander en pilot f¨or att skatta kanalen.

Kapitel 3. Kanalestimering

Utg˚a fr˚an att kanalen skattas med uttryck 3.1, vilket upprepas h¨ar av bekv¨amlighetssk¨al:

ˆhj,k = b^∗_j,k· y_j,k

||bj,k||² . Genom att s¨atta in uttrycket 2.2 f¨or y_j,k erh˚alls

ˆh_j,k = h_j,k+nj,kb^∗_j,k Es .

Med andra ord best˚ar skattningen ˆhj,k av tv˚a termer, dels den ¨onskade hj,k, dels en brusterm

_j,k = nj,kb^∗_j,k

E_s . (3.4)

Det faller sig d¨arf¨or naturligt att definiera SNR:et, d˚a en pilot anv¨ands f¨or att skatta kanalen, som:

SNR_pilot = Var{h_j,k}

Var{_j,k} . (3.5)

H¨armed definieras beteckningen E_h som:

E_h = Var{h_j,k} . N¨amnaren i 3.5 kan l¨att ber¨aknas:

Var{_j,k} = Var

n_j,kb^∗_j,k E_s



= E

n_j,kn^∗_j,kb_j,kb^∗_j,k E²_s



= N₀

E_s . (3.6) Ins¨attning av 3.6 i 3.5 ger slutligen det efters¨okta uttrycket:

SNR_pilot = E_sE_h

N₀ (3.7)

Signal-brus-f¨orh˚allandet d¨ar data anv¨ands som piloter

Skattningen av kanalen baserat p˚a “skattade piloter” erh˚alls enligt 3.1 som ˆh_j,k = 1

Es · y_j,k· ˆb^∗_j,k.

Genom att s¨atta in uttrycket 2.2 f¨or den mottagna signalen och anv¨anda att ˆbj,k kan skrivas som¹

ˆb_j,k = b_j,ke^{√−1π2αj,k}

1Formeln uttrycker att den verkliga symbolenbj,kfeldetekteras och vrids i det komplexa talplanet.Pindexanger sannolikheten f¨or olika fasvridningar.

Kapitel 3. Kanalestimering

d¨ar α_j,k antas antaga v¨ardena 0,1,2 eller 3 med sannolikheterna P₀, P₁, P₂ respektive P3, erh˚alls

ˆh_j,k = h_j,kb_j,k



b_j,ke^{√−1π2αj,k}

_∗

+ ˆb^∗_j,kn_j,k

E_s =

= h_j,ke^{−√−1π2αj,k}+ 1 Es

ˆb^∗_j,kn_j,k

= hj,ke^{−√−1π2αj,k}+ j,k=

= h_j,k+ v_j,k+ _j,k

= h_j,k+ n⁰_j,k, (3.8)

d¨ar _j,k, v_j,koch n⁰_j,k alla ¨ar f¨or ¨andam˚alet definierade brustermer, den senare en summa av de f¨orra. Observera att _j,k ej ¨ar samma brus som anv¨ands i f¨oreg˚aende avsnitt.

Vi ¨ar intresserade av att ber¨akna SNR:et SNRskattad pilot= Var{h_j,k}

Var{n⁰_j,k},

d¨ar n⁰_j,k¨ar det brus som inverkar p˚a skattningen. Vad ¨ar d˚a Var{n⁰_j,k}? Antag att v_j,k och _j,k ¨ar oberoende och man erh˚aller sambandet

Var{n⁰_j,k} = E{v_j,kv^∗_j,k} + E{_j,k^∗_j,k} . Vidare ber¨akningar ger att

E{v_j,kv_j,k^∗ } = E{h_j,kh^∗_j,k} Ene^{−√−1π2αj,k}− 1²o , d¨ar den sista faktorn kan f¨orenklas ytterligare:

En

e^{−√−1π2αj,k}− 1²o

= 2− E

e^{−√−1π2αj,k}

− E

e^{√−1π2αj,k}

=

= 2−X³

x=0

P_x· e^√−1π2x+ e^{−√−1π2x}

=

= 2− 2P₀+ 2P₂ = 2 1− P₀+ P₂
. S˚a l˚angt har vi allts˚a sammanfattningsvis att

SNRskattad pilot = Var{hj,k}

Var{n⁰_j,k} = E_h 2 1− P₀+ P₂

+ E n

_j,k^∗_j,ko . (3.9) Sannolikheten f¨or bitfel, BER, p˚a en AWGN-kanal med QPSK ¨ar enligt [7]

Pe= 1 2erfc(

rE_bc N0) ,

Kapitel 3. Kanalestimering

vilket direkt ger att

P₀ = P{tv˚a bitar ok} = (1 − P_e)² och

P₂= P{tv˚a bitar fel} = P_e². Ins¨attning i 3.9 resulterar i det slutliga uttrycket:

SNRskattad pilot = Eh

2Eherfc

qEbc

N0

 +^N_E⁰_s

, (3.10)

d¨ar vi har utnyttjat att E

n

j,k^∗_j,k o

= Var{_j,k} = Var

b^∗_j,kn_j,k E_s



=

= E

||b_j,k||²||n_j,k||² E_s²



= E

||n_j,k||² E_s = N₀

E_s . Notera att om P_e = 0 ger uttryck 3.10

SNRskattad pilot = E_sE_h N0 ,

dvs samma v¨arde som i det fall d˚a verkliga piloter anv¨ands i uttryck 3.7

Kapitel 4

Simuleringar och resultat

4.1 F¨ oruts¨ attningar

F¨or de resultat av simuleringar som presenteras i detta kapitel g¨aller gene- rellt, om inte annat anges, att:

• Energin hos kanalen E_h ¨ar 1, likas˚a bitenergin E_bc.

• Mobiltelefonen f¨ardas i en hastighet av v = 300 km/h.

• Spridningsfaktorn ¨ar G_p = 16, vilket ger en symboltakt p˚a 16 g˚anger chiptakten. Eftersom chiptakten i nul¨aget, enligt [1] ¨ar fixerad, kan man ber¨akna att symboltakten blir 256000 symboler/sekund.

• Antalet simulerade tidsluckor ¨ar 2000, dvs 640 000 bitar (inkl. piloter).

• En tidslucka best˚ar av 160 symboler, varav de fyra f¨orsta ¨ar piloter och resten anv¨andardata. Transmission Power Control (TPC) ing˚ar allts˚a ej i simuleringarna.

• Piloterna ¨ar satta till det konstanta v¨ardet 1 +√

−1.

• Vid ber¨akning av hcmedelv¨ardesbildas fyra estimat n¨armast till v¨anster eller h¨oger om aktuell symbol, dvs alternativ 5b (se sidan 16) anv¨ands.

• Redovisade v¨arden p˚a BER baseras enbart p˚a de 156 datasymbolerna i tidsluckorna. Pilotsymbolerna ing˚ar allts˚a ej.

• Antalet infallande reflekterade radiov˚agor, L, ¨ar 1.

• OFCE till¨ampar uttryck 3.1, d.v.s. ingen medelv¨ardesbildning utf¨ors.

Anledningen till att vi valt att simulera just 2000 tidsluckor ¨ar f¨oljande.

Vid ett SNR p˚a 20 dB ¨ar gr¨ansen f¨or vad man kan ˚astadkomma ungef¨ar ett BER p˚a 10^−2.7. F¨or att man skall kunna anta att ett s˚a l˚agt BER erh˚allet

Kapitel 4. Simuleringar och resultat

vid simulering ¨ar riktigt, brukar man, kanske n˚agot ovetenskapligt, kr¨ava att antalet felaktiga bitar ¨ar fler ¨an 1000 till antalet, dvs att x · 10^−2.7 ≥ 1000, d¨ar x ¨ar antalet bitar. L¨oser man ekvationen erh˚aller man x ≥ 501200, dvs 250600 symboler eller ²⁵⁰⁶⁰⁰₁₅₆ ≈ 1700 tidsluckor. Talet 156 ¨ar antalet databitar/tidslucka. Med andra ord beh¨ovs det ca 1700 tidsluckor f¨or att resultat d¨ar BER vid SNR 20 dB skall vara trov¨ardiga. F¨or att vara p˚a den s¨akra sidan valde vi 2000 luckor.

4.2 Verifiering av modellen

F¨or att vara s¨akra p˚a att implementationen av modellen ¨ar riktig s˚a testade vi mottagaren med k¨and kanal¹. Anledningen ¨ar den att den signal som mottagaren skall ta beslut p˚a d˚a ¨ar en summa av s¨and information och vitt gaussiskt brus, och i det fallet finns slutna analytiska uttryck framtagna f¨or BER. F¨or en kanal d¨ar hj,k = 1 blir BER (Pb)

P_b = 1 2erfc√

γ¯_b och f¨or en Rayleigh-f¨adande kanal

P_b= 1

2 1−p µ 2− µ²

L−1X

k=0

2k k

 1− µ² 4− 2µ²

! ,

d¨ar

µ = r γ¯_c

1 + ¯γ_c .

I formlerna ovan ¨ar ¯γc genomsnittligt SNR/kanalv¨ag och symbol, d.v.s. ¯γc = 2^¯γ_L^b, d¨ar ¯γ_b h¨ar ¨ar definierad som SNR/bit, d.v.s. ^E_N^bc

0. L ¨ar, som kanske framg˚ar, antalet kanalv¨agar, och ¨ar i v˚art fall 1. Formlerna ¨ar tagna ur [7]

p˚a sidorna 270 respektive 741.

Simuleringar visade att v˚ara modeller gav resultat som ¨overrensst¨amde mycket bra med de analytiska uttrycken.

4.3 Simuleringsresultat f¨ or OFCE och DDCE

I det h¨ar avsnittet redovisas de resultat vi erh˚allit genom simuleringar av en OFCE med respektive en DDCE. Samtliga resultat baseras p˚a simuleringar vid SNR p˚a 0, 4, 8, 12, 16 och 20 dB.

1I praktiken inneb¨ar detta att vi satte ˆhj,k=hj,k vid simuleringarna

Kapitel 4. Simuleringar och resultat

4.3.1 Val av tr¨oskelv¨ardet γ

DDCE kr¨aver ett bra v¨arde p˚a tr¨oskelv¨ardet γ.

I figur 4.3.3 till och med 4.3.3 visas den skattade kanalen i samma graf som den verkliga samt ackumulerat BER. De ger en bra bild av hur al- goritmen arbetar. D˚a γ = +∞ fungerar DDCE exakt som en OFCE. F¨or optimalt γ erh˚alls b¨attre estimeringar, vilket tydligt ses b˚ade p˚a hur v¨al den estimerade kanalen f¨oljer den verkliga och p˚a att det ackumulerade antalet bitfel ¨ar l˚agt. Skulle man g˚a vidare och s¨anka γ under det optimala v¨ardet, resulterar det givetvis i fler fel.

F¨or att v¨alja ett bra tr¨oskelv¨arde simulerades 2000 tidsluckor f¨or γ ∈ {0, 0.1, · · · , 1.5, +∞} f¨or varje SNR som skulle utv¨arderas. Det γ som gav l¨agst BER kallas i forts¨attningen f¨or optimalt. Det ¨ar det l¨agsta BER-v¨ardet som ˚aterfinns i samtliga f¨oljande figurer. I figur 4.5 visas de optimala v¨ardena f¨or γ.

4.3.2 J¨amf¨orelse mellan OFCE och DDCE

I figur 4.6 t.o.m. 4.8 visas BER f¨or en OFCE och en DDCE i samma graf.

Figur 4.9 visar den vinst i dB som erh˚alls f¨or olika BER d˚a man anv¨ander DDCE.

F¨orst noteras att f¨or h¨oga BER ¨ar vinsten i SNR mycket liten. Vinsten ¨ar 1 dB f¨orst d˚a BER understiger 5·10⁻². Mest vinns genom att anv¨anda DDCE om skattningen baseras p˚a ett litet antal pilotgrupper. Ju fler pilotgrupper som anv¨ands, desto mer lika i prestanda blir de b˚ada estimatorerna.

I figur 4.10 respektive 4.11 visas hur m˚anga procent av tidsluckorna som inneh˚aller en potentiell dipp respektive hur m˚anga procent av en tidslucka som en s˚adan dipp utg¨or i medel. D˚a SNR ¨ar l˚agt fungerar DDCE likadant som en OFCE, eftersom att vid t.ex. 0 dB ¨ar andelen tidsluckor med dipp ca 100%, och varje s˚adan dipp fyller n¨astan hela luckan. N¨ar SNR:et ¨okar, minskar ocks˚a antalet dippar och dess l¨angder och DDCE blir b¨attre ¨an OFCE.

4.3.3 Antalet pilotgruppers p˚averkan p˚a DDCE

I figur 4.12 visas BER-kurvor f¨or en DDCE f¨or olika antal pilotgrupper. ¨Okas antalet grupper fr˚an tv˚a till tre eller fyra, vinns mindre ¨an 1 dB. Detta kan bero p˚a att vi ej anv¨ander alla tillg¨angliga estimat vid ber¨akningen av h_c, kanske blir det b¨attre om man anv¨ander metod c p˚a sidan 16 ist¨allet.