Krav f¨or G: 13

IEK309 Institutionen f¨or matematik Datum 2008-03-19

Skrivtid 0900–1400

Tentamen i: Statistik AI, 10p

Antal uppgifter: 5

Krav f¨or G: 13

L¨arare: Robert Lundqvist, tel 49 24 04

Jour: Robert Lundqvist, tel 49 24 04

Resultatet ansl˚as senast: 11/4 2008

Till˚atna hj¨alpmedel:

• Vilket slags pappersbundet material som helst: b¨ocker, formelsamlingar, tabeller, anteckningar, gamla tentor eller liknande.

• Engelsk-svenskt lexikon

• Engelsk-svensk ordlista med statistiska termer

• Manual till minir¨aknare

• R¨aknedosa (dator ¨ar inte till˚aten)

T¨ank p˚a att redovisa dina l¨osningar p˚a ett klart och tydligt s¨att. Endast det nume- riska svaret r¨acker inte f¨or full po¨ang. Korrekt l¨osning ger det po¨angantal som st˚ar angivet efter uppgiftstexten.

LYCKA TILL!

1. F¨or att se hur l¨ange kunderna p˚a banken f˚ar v¨anta g¨ors ett urval av 100 kunder. Deras v¨antetider beskrivs i nedanst˚aende stambladdiagram:

Stem-and-leaf of v¨ antetider N = 100 Leaf Unit = 0,10

2 0 48

8 1 134688

17 2 023457899 28 3 12456778899

45 4 00123334455567789 (15) 5 011223445667888

40 6 1123334556778 27 7 0223445789

17 8 0134667

10 9 123589

4 10 279

1 11 6

(a) Best¨am kvartiler och median f¨or v¨antetiderna. Ange tydligt ordnings- v¨arde f¨or dessa m˚att.

(b) Beskriv materialet med en boxplot (l˚adagram). Best¨am om materia- let har n˚agra ”uteliggare” d¨ar du anv¨ander den g¨angse definitionen p˚a s˚adana, dvs v¨arden som hamnar utanf¨or intervallet

[q

− 1.5(q

− q

), q

+ 1.5(q

− q

)]

(c) Best¨am ett konfidensintervall f¨or den genomsnittliga v¨antetiden. Inter- vallet ska ha konfidensgrad 90%. Medelv¨ardet f¨or de 100 tiderna ¨ar 5.46 minuter och standardavvikelsen ¨ar 2.475 minuter.

(d) Vilka antaganden om f¨ordelning grundar sig ovanst˚aende konfidens- intervall p˚a? Kan dessa antaganden antas vara uppfyllda i detta fall?

Motivera tydligt dina svar.

(e) I ett senare steg vill man anv¨anda en modell f¨or att r¨akna andelen

”l˚anga” tider, en andel man t¨ankt f¨olja ¨over tiden. Om man utg˚ar fr˚an att v¨antetiderna kan beskrivas med en normalf¨ordelning med genom- snittet 5.4 och standardavvikelsen 2.5 minuter, hur l˚ang ¨ar d˚a den kor-

taste av de 10% l¨angsta tiderna? (10p)

I dina svar ska inf¨orda variabler vara tydligt definierade.

2. Tillverkaren av ett flytande tv¨attmedel har samlat data fr˚an de senaste 30 s¨aljperioderna (d¨ar en period best˚ar av fyra veckor). Tanken ¨ar att se om och i s˚a fall hur antalet s˚alda enheter p˚averkas av priset. I nedanst˚aende tabell ges uppgifter om antalet s˚alda enheter i tusental och skillnaden (i dollar) i pris mellan det egna tv¨attmedlet och n¨armaste konkurrerande tv¨attmedel:

S¨alj- S˚alda Pris- S¨alj- S˚alda Pris- period enheter skillnad period enheter skillnad

1 7.38 -0.05 16 8.87 0.30

2 8.51 0.25 17 9.26 0.50

3 9.52 0.60 18 9.00 0.50

4 7.50 0 19 8.75 0.40

5 9.33 0.25 20 7.95 -0.05

6 8.28 0.20 21 7.65 -0.05

7 8.75 0.15 22 7.27 -0.10

8 7.87 0.05 23 8.00 0.20

9 7.10 -0.15 24 8.50 0.10

10 8.00 0.15 25 8.75 0.50

11 7.89 0.20 26 9.21 0.60

12 8.15 0.10 27 8.27 -0.05

13 9.10 0.40 28 7.67 0

14 8.86 0.45 29 7.93 0.05

15 8.90 0.35 30 9.26 0.55

En regressionsanpassning g¨ors, och resultatet av denna blir ˆ

y = 7.81 + 2.67 · x

(a) Kan koefficienterna i den erh˚allna regressionsanpassningen ges me- ningsfulla tolkningar? Om s˚a ¨ar fallet, ge s˚adana tolkningar. Om det inte ¨ar meningsfullt, motivera d˚a detta.

(b) Om regressionsanpassningen antas ge en bra bild av sambandet mellan de tv˚a variablerna, vilken prisskillnad h¨or d˚a ihop med en f¨ors¨aljnings-

volym p˚a 8000 enheter? (3p)

3. Kaffeautomaterna ger inte alltid samma temperatur p˚a det f¨ardiga kaffet.

En tekniker har efter idoga m¨atningar tyckt sig se att temperaturen i en viss automat kan beskrivas med en normalf¨ordelning d¨ar genomsnittet ¨ar 82 grader och standardavvikelsen ¨ar 1.2 grader.

(a) Hur stor andel av alla kaffekoppar har kaffe som ¨ar varmare ¨an 80

grader?

(b) Salim dricker g¨arna kaffe till rasterna p˚a arbetet, normalantalet ¨ar 20 koppar per vecka. Han ¨ar ocks˚a n˚agot av en finsmakare och blir irrite- rad om temperaturen ¨ar f¨or l˚ag, dvs i hans tycke under 80 grader.

Ange en slumpvariabel med tillh¨orande slumpmodell som kan anv¨an- das f¨or att beskriva antalet tillf¨allen Salim blir irriterad p˚a f¨or l˚ag kaffe- temperatur.

(c) Hur stor ¨ar sannolikheten att Salim blir irriterad vid mer ¨an tre tillf¨allen

under en vecka? (6p)

I ditt svar ska det tydligt framg˚a vilka antaganden om slumpmodell du gjort, och variabler ska vara tydligt och klart formulerade.

4. Du ska g¨ora en unders¨okning av vad de anst¨allda i den r¨att stora organi- sationen anser om sin arbetsmilj¨o. Totalt finns det 1473 anst¨allda, och du best¨ammer att unders¨okningen ska g¨oras genom att intervjua ett slumpm¨as- sigt urval av anst¨allda. Efter ¨overv¨aganden om tillg¨anglig tid och andra re- surser best¨ammer du att intervjuer ska g¨oras med 20 av de anst¨allda.

F¨or att g¨ora urval av detta slag kan olika hj¨alpmedel anv¨andas. Du best¨am- mer dig dock f¨or att anv¨anda en vanlig slumptalstabell, se f¨orsta sidan av en s˚adan tabell l¨angst bak i denna tentamen. Du best¨ammer dig ocks˚a f¨or att du inte ska g¨ora vare sig urval eller intervjuer, utan bara sk¨ota samman- st¨allningen. Detta f¨or att respondenterna inte ska befara att deras svar ska kunna identifieras.

Din f¨orsta uppgift ¨ar d˚a att st¨alla samman en instruktion till den som ska g¨ora urvalet. Vad beh¨over den personen f¨orutom slumptalstabellen? Hur ska den personen g¨ora? Ge en kort men tydlig beskrivning p˚a hur ett slump- m¨assigt urval ska g¨oras med slumptalstabell och ¨ovriga hj¨alpmedel som d˚a

beh¨ovs. (3p)

5. M¨obeltillverkaren ¨overv¨ager att k¨opa in en ny maskin f¨or ett visst moment i tillverkningen. Valet st˚ar mellan tv˚a maskiner, och b˚ada tas hem f¨or utv¨ar- dering. Bland annat m¨ater man antalet enheter som hinner bearbetas under en dag, och eftersom det antalet ¨ar beroende av hur skickliga operat¨orerna ¨ar g¨or man en studie d¨ar varje operat¨or anv¨ander b˚ada maskinerna. Resultatet ges i nedanst˚aende tabell:

Operat¨or

1 2 3 4 5 6 7 8

Maskin 1 53 60 58 48 46 54 62 49

Maskin 2 51 58 56 45 48 50 57 47

Kan man p˚avisa att det finns n˚agon skillnad i genomsnittligt antal bearbe- tade enheter f¨or de tv˚a maskinerna? G¨or ett l¨ampligt hypotestest med signi- fikansniv˚an 5% d¨ar du tydligt anger hypoteser och testvariabel. Formulera dina slutsatser tydligt i ord. Utg˚a fr˚an att antalen kan beskrivas med en nor-

malf¨ordelning. (4p)

1. (a) Ordningsv¨arde f¨or undre kvartil ¨ar v¨arde nr 25.5, dvs undre kvartil ¨ar medelv¨ardet av v¨arde nr 25 och 26, f¨or medianen blir medelv¨ardet av v¨arde nr 50 och 51 och ¨ovre kvartil blir medelv¨ardet av v¨arde nr 75 och 76.

Kvartil Ordningsv¨arde V¨arde

q

25.5 3.8

median 50.5 5.25

q

75.5 7.2

(b) En boxplot kan se ut p˚a f¨oljande s¨att:

+---+---+---+---+---+---+

| |

| |

| |

| |

| +---+---+ |

|+---| | |---+|

| +---+---+ |

| |

| |

| |

+---+---+---+---+---+---+

2 4 6 8 10

N˚agra uteliggare finns inte, f¨or gr¨anserna f¨or s˚adana blir intervallet [−1.3, 2.1].

(c) Ett 90% konfidensintervall f¨or den genomsnittliga v¨antetiden ¨ar [5 .048, 5.872]

.

(d) Allm¨ant g¨aller att konfidensintervall av detta slag grundar sig p˚a ett antagande om att variabeln, i detta fall v¨antetiden, ¨ar normalf¨ordelad.

Detta ¨ar ett krav f¨or sm˚a stickprov. F¨or n˚agot st¨orre stickprov (en tum- regel ¨ar storlekar st¨orre ¨an 15, se IPS sidan 463) r¨acker det med att variabeln ¨ar symmetrisk och att det inte finns n˚agra uteliggare. N¨ar stickprovet ¨ar s˚a stort (tumregel: n ≥ 40) som h¨ar fungerar t-f¨ordel- ningsantagandet ¨aven om det finns uteliggare eller om materialet ¨ar snedf¨ordelat.

(e) L¨angd f¨or kortaste av de 10% l¨angsta v¨antetiderna ¨ar 8.604 minuter.

2. y: f¨ors¨aljningsvolym i tusental enheter; x: skillnad i dollar mellan pris p˚a eget tv¨attmedel och n¨armaste konkurrerande tv¨attmedel. Regressionsanpass- ningen blev

ˆ

y = 7.81 + 2.67 · x

(a) V¨ardet 7.81 kan tolkas som att f¨ors¨aljningsvolymen per s¨aljperiod i genomsnitt var 7810 enheter n¨ar det var samma pris p˚a det egna tv¨attmedlet och det konkurrerande medlet.

V¨ardet 2.67 kan tolkas som att n¨ar priset p˚a konkurrerande tv¨attmedel var 2.67 dollar h¨ogre ¨an p˚a det egna medlet s˚a s˚aldes i genomsnitt 2670 fler enheter av det egna medlet.

3. Kaffeautomaterna ger inte alltid samma temperatur p˚a det f¨ardiga kaffet.

En tekniker har efter idoga m¨atningar tyckt sig se att temperaturen i en viss automat kan beskrivas med en normalf¨ordelning d¨ar genomsnittet ¨ar 82 grader och standardavvikelsen ¨ar 1.2 grader.

(a) Andelen koppar med kaffe varmare ¨an 80 grader ¨ar 95.22%.

(b) Om K st˚ar f¨or antalet koppar med f¨or l˚ag tempteratur b¨or det vari- ablen kunna beskrivas med en binomialf¨ordelning med n = 20 och p = 0.04779. Detta f¨oruts¨atter att tempteraturen i en kopp kan antas vara oberoende av tempteraturen i en annan kopp, n˚agot som antagli- gen kan betraktas som rimligt om det g˚att n˚agorlunda l˚ang tid mellan kopparna.

(c) Sannolikheten att Salim blir irriterad vid mer ¨an tre tillf¨allen under en vecka blir 0.06778.

4. Ett slumpm¨assigt urval med hj¨alp av slumptalstabell kan g¨oras p˚a f¨oljande ds¨att:

• En lista/f¨orteckning ¨over alla de 1473 anst¨allda tas fram, dvs en urvals- ram.

• En startpunkt i slumptalstabellen tas fram p˚a ett n˚agorlunda slump- m¨assigt s¨att.

• I den grupp av fem siffror som ing˚ar i den grupp som valts i f¨oreg˚aende

steg tas de fyra f¨orsta ut. Om det v¨ardet motsvarar ett v¨arde i serien

0001, 0002, . . . , 1473 tas motsvarande person ut. Om talet inte ¨ar ett i

denna serie hoppas den sifferkombinationen ¨over och n¨asta grupp om

fyra siffror tas ut.

• Denna procedur forts¨atts tills 20 personer tagits ut.

5. H

: µ = 0 och H

: µ 6= 0. Testet kan g¨oras p˚a flera s¨att:

• Ber¨akning av p-v¨arde, som i detta fall blir 0.01732 om det r¨aknas mer exakt och om det st¨angs in mellan gr¨anser i tabell 1% och 2% (7 fri- hetsgrader, t-kvot p˚a 3.1).

• J¨amf¨orelse av t-kvot (3.1) och kritisk gr¨ans (t

= 2.365), d¨ar nollhypo- tesen f¨orkastas om t-kvoten ¨ar l¨agre ¨an -2.365 eller h¨ogre ¨an 2.365.

• Best¨amning av konfidensintervall f¨or µ : om intervallet t¨acker 0 s˚a ac-

cepteras nollhypotesen, annars f¨orkastas den. I detta fall blir intervallet

[0.5337556, 3.9662444].