1
Matematiska Institutionen KTH
Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 31 maj 2017, kl 08.00–13.00.
Examinator: Maurice Duits Kursansvarig: Olof Sisask
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Betygsgränser: (OBS: Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning är 37p.) 13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx
15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 28 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger minst betyget A
Observera: Generellt gäller att för full poäng krävs korrekta och väl presenterade resonemang.
Tentan består av 10 frågor i tre delar.
DEL I
Var och en av nedanstående fem uppgifter svarar mot en kontrollskrivning. Godkänt resultat på kontrollskrivning nr i under vårterminen 2017 ger automatiskt full poäng på uppgift nr i. Att lösa en uppgift som en på detta sätt redan har till godo ger inga extra poäng.
1. (3p) Bestäm samtliga lösningar x i Z36till ekvationen 15x + 33 = 0.
2. (3p) I en grupp med 7 dataloger och 9 matematiker ska en arbetsgrupp med 4 personer utses, med åtminstone en datalog och åtminstone en matematiker. Hur många olika möjliga sådana arbets- grupper finns det? (Ditt svar ska ges som summor och/eller produkter av heltal.)
3. (3p) Betrakta gruppen G = (Z24, +).
(a) (1p) Skriv ned elementen i delgruppen genererad av elementet 9.
(b) (1p) Finns det ett element i G av ordning 4? Om ja, skriv ned ett sådant element. Om nej, förklara varför det inte finns.
(c) (1p) Finns det ett element i G av ordning 5? Om ja, skriv ned ett sådant element. Om nej, förklara varför det inte finns.
4. (3p) Bestäm antalet Booleska funktioner g(x, y, z) sådana att x y(yz + x)g(x, y, z) = 0 för alla värden på variablerna x, y, z.
5. (3p) En planär graf G har 2 sammanhängande komponenter och 25 noder. Det finns en plan ritning av grafen som, om en lägger till en kant mellan de två sammanhängande komponenterna på ett sådant sätt att ritningen fortfarande är plan, har 13 områden (ytterområdet medräknat). Hur många kanter har G?
VGV för del II
2
DEL II
6. Betrakta den symmetriska gruppen (S9, ◦) som består av permutationer på mängden {1, 2, 3, . . . , 9}, och låt σ ∈ S9vara permutationen
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 6 5 8 7 4 9 2 1
.
(a) (3p) Finns det en permutation τ ∈ S9 sådan att σ2◦ τ2= τ2◦ σ?
Om det finns en sådan permutation τ , skriv ned en. Förklara annars varför inga sådana τ finns.
(b) (1p) Finns det en permutation π ∈ S9sådan att σ2◦ π−1 = σ3?
Om det finns en sådan permutation π, skriv ned en. Förklara annars varför inga sådana π finns.
7. (4p) För varje av graferna (A), (B), (C) nedan, bestäm om grafen (a) (1p) har en Eulerväg,
(b) (1p) har en Eulerkrets, (c) (1p) har en Hamiltoncykel, (d) (1p) är planär.
Där svaret är ja ska en Eulerväg, Eulerkrets eller Hamiltoncykel skrivas ned, eller en planär ritning av grafen ges, som vederbörligt. Där svaret är nej så ska det ges en förklaring varför. (Hänvisningar till satser från kursen är tillåtna.)
a
b c
d e
f g
h i
j k
l
(A)
a
b c
d e
(B)
a b
c d
e
f g h
(C)
8. (4p) Bestäm en 1-felsrättande kod C av längd 10, med 64 kodord, sådan att C innehåller ordet 1111111111 samt att ordet 1111000000 rättas till 1111000001. (Du behöver inte skriva upp alla kodorden i C om du istället tydligt anger hur koden definieras.) Delpoäng kan fås om du lyckas skapa en kod som uppfyller endast några av egenskaperna.
VGV för del III
3
DEL III
Om du i denna del använder eller hänvisar till satser från kursen skall dessa citeras, ej nödvändigtvis ordagrant, där de används i lösningen. Redovisa tydligt för vad definitionerna av koncepten du använder är.
9. En sportklubb har 30 medlemmar: basketlaget har 9 medlemmar, volleybollslaget har 12 medlem- mar och fotbollslaget har 9 medlemmar. Det ska formas 3 administrativa grupper för att organisera klubben: finansgruppen, schemagruppen och hemsidegruppen. Varje lag måste skicka 2 represen- tanter för att arbeta inom dessa administrativa grupper (men dessa 2 representanter behöver ej arbeta inom samma grupp).
(a) (3p) Hur många olika möjliga sätt finns det att bilda dessa administrativa grupper enligt ovan krav, om det måste finnas åtminstone 1 person i varje grupp? (Ditt svar ska ges som summor och/eller produkter av heltal.)
(b) (2p) Om, utöver kraven ovan (inklusive från del (a)), finansgruppen måste ha representanter från åtminstone två olika lag, hur många möjliga sätt finns det att bilda de administrativa grupperna? (Ditt svar ska ges som summor och/eller produkter av heltal.)
10. (5p) Visa att varje delgrupp till gruppen (Z, +) är cyklisk. (Var väldigt tydlig med att skriva ned definitionerna av koncepten du använder.) Hint: om H ⊆ Z utgör en delgrupp till (Z, +), vad skulle en kandidat för en generator till H vara?
