1
Matematiska Institutionen KTH
Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl 08.00–13.00.
Examinator: Petter Brändén Kursansvarig: Olof Sisask
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Betygsgränser: (OBS: Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning är 37p.) 13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx
15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 28 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger minst betyget A
Observera: Generellt gäller att för full poäng krävs korrekta och väl presenterade resonemang.
Tentan består av 10 frågor i tre delar.
DEL I
Var och en av nedanstående fem uppgifter svarar mot en kontrollskrivning. Godkänt resultat på kontrollskrivning nr i under vårterminen 2018 ger automatiskt full poäng på uppgift nr i. Att lösa en uppgift som en på detta sätt redan har till godo ger inga extra poäng.
1. (3p) Bestäm samtliga lösningar (m, n) till den diofantiska ekvationen 24m + 29n = 2.
2. (3p) En kiosk säljer fyra olika sorters godisbitar som kostar 4 kr styck. Du ska fylla en godispåse med sådana, och du ska spendera exakt 40 kr på detta. Hur många olika godispåsar kan du skapa?
(Ordningen som godisarna läggs in i påsen på spelar ingen roll. Ditt svar ska ges som ett heltal.) 3. (3p) Betrakta gruppen G = (Z60, +).
(a) (1p) Bestäm en delgrupp H till G sådan att varje nollskilt element i H har ordning 5. (Skriv ned samtliga element i delgruppen.)
(b) (2p) Låt K vara en cyklisk delgrupp till G som innehåller både elementen 4 och 57 men som annars har så få element som möjligt. Bestäm en generator för K. På denna fråga speciellt väger motiveringen tyngre än själva svaret.
4. (3p) En linjär binär kod C har kontrollmatris
H =
1 0 0 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 1 a b 1
0 0 1 0 1 0 1 0 1 c
0 0 0 1 1 1 0 1 1 0
där a, b, c ∈ {0, 1}.
(a) (1p) Bestäm en trippel (a, b, c) sådan att koden C är 1-felsrättande. Hur många möjligheter för en sådan trippel (a, b, c) finns det?
(b) (1p) Bestäm antalet ord i koden C för ditt val av (a, b, c) ovan.
(c) (1p) Rätta ordet 1111010000 i koden, med ditt val av (a, b, c) ovan, om det går. Om det inte går, motivera varför så är fallet.
2
5. (3p) Km,n betecknar den kompletta bipartita grafen med m noder i bipartitionens ena del och n noder i den andra, där m, n ≥ 1. Bestäm för vilka par (m, n) det gäller att Km,nhar
(a) en Eulerkrets.
(b) en Eulerväg.
DEL II
6. (4p) En talföljd definieras rekursivt genom a1= 1
an+1= an+ 6n för n ≥ 1 Visa att
ak = 3k2− 3k + 1 för alla k ≥ 1.
7. (a) (2p) Ett RSA-krypto har parametrar n = 55 och krypteringsnyckel e = 17. Bestäm dekrypte- ringsnyckeln d och dekryptera meddelandet b = 5.
(b) (2p) Låt p = 5 och q = 21, från vilka beräknas n = 105 m = 80.
Med krypteringsnyckel e = 7 har beräknats dekrypteringsnyckel d = 23. Använd dessa nycklar för att kryptera meddelandet a = 3 och sedan dekryptera resultatet. Finn en anledning till att du ej fick tillbaka ursprungsmeddelandet.
8. En sammanhängande planär graf kallas löjlig om varje nod har grad åtminstone 2 och den har en plan ritning med totalt 3 områden, ytterområdet medräknat.
(a) (1p) Rita en löjlig graf med 10 noder.
(b) (3p) Visa att en löjlig graf inte kan ha en nod med grad 5 eller mer.
DEL III
Om du i denna del använder eller hänvisar till satser från kursen skall dessa citeras, ej nödvändigtvis ordagrant, där de används i lösningen.
9. (5p) Det påhittade spelet Calvinball spelas i lag, med 3 personer i varje lag. Varje spelare har åtminstone en utav rollerna
anfallsspelare, försvarsspelare, löpare, målvakt, och sprinter.
Varje roll måste finnas med precis 1 gång i varje lag. Observera att varje spelare måste ha åtminstone en roll, men kan ha flera.
9 personer ska delas upp i tre icke-namngivna lag, med roller utdelade i varje lag. På hur många sätt kan detta ske?
Svaret ska uttryckas som ett explicit heltal eller en produkt av explicita heltal.
10. (5p) Låt G vara mängden av alla funktioner f : Q → Q som har formen f (x) = ax + b, där a, b ∈ Q och a 6= 0. Låt ◦ beteckna sammansättning av funktioner, så att om f (x) = ax + b och g(x) = cx + d då är f ◦ g funktionen
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = a(cx + d) + b.
Detta gör (G, ◦) till en grupp.
(a) (1p) Bestäm identitetselementet i G och finn inversen till funktionen h(x) = 3x + 5.
(b) (1p) Ge ett exempel på ett element i G som har ordning 2.
(c) (3p) Bestäm samtliga element i G som har ändlig ordning. För delpoäng, visa att inget element i G har ordning 3.
