Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj 2019
Matematisk statistik Kurskod HF1012
Skrivtid: 14:00-18:00
Lärare och examinator : Armin Halilovic
Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
=======================================================
Sida 1 av 14
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
Bland 500 produkter som finns på en lager har vi 300 av typ A, 150 av typ B och 50 av typ C. Vi tar ut på måfå 50 produkter, utan hänsyn till ordning och utan återläggning. Vad är sannolikheten att få
a) 20 av typ A, 25 av typ B och 5 av typ C b) exakt 10 av typ A
c) högst 2 av typ A
Du svarar med binomiska koefficienter.
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
En komponents livslängd antas vara exponentialfördelad med medelvärdet µ =10.
a) Bestäm sannolikheten att en komponent fungerar mer än 8 år.
b) Man köper 20 komponenter. Bestäm sannolikheten att minst 19 av dem fungerar mer än 8 år.
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En födelsedödsprocess med oändligt många tillstånd definieras av följande diagram
Bestäm p , 0 p1 och p . 10
================================================
Uppgift 4. (3p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Vi väljer 6 kort på måfå. Vad är sannolikheten att få
a) alla kort i samma färg.
b) fyra tior (och två vilka kort som helst)
c) tre olika par, dvs x,x,y,y,z,z ( t ex 5,5, 7,7, 8,8 eller 3,3,4,4, 9,9 eller liknande.) Du svarar med binomiska koefficienter.
Var god vänd.
Sida 2 av 14
Uppgift 5. (3p) Låt
+ ≤ <≤ ≤
=
övrigt för
x x
a
x ax
x f
, 0
2 1
), 2 (
1 0
, )
(
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X . a) Bestäm konstanten a
b) Bestäm väntevärdet E(X)
c) Bestäm sannolikheten P(0≤ X ≤1)
Uppgift 6. (2p) I en container skall lådor av tre olika storlekar packas. Totalt skall det packas 10 lådor av Typ1 vars vikt är normalfördelad med väntevärdet 13 kg och standardavvikelsen 1.5 kg, 20 lådor av typ 2 vars vikt är normalfördelad med väntevärdet 23 kg och
standardavvikelsen 2.0 kg samt 30 lådor av typ 3 vars vikt är normalfördelad med väntevärdet 33 kg och standardavvikelsen 5 kg. Hur stor är sannolikheten att containerns innehåll
kommer att väga mer än 1600 kg?
Uppgift 7. (4p) En forskare gjorde 5 mätningar i en flod strax nedanför ett industriutsläpp och fick följande resultat (enhet: mg/l) för ett giftigt ämne:
X: 227 231 232 223 228
Efter en månad gjorde forskaren 4 mätningar på samma plats och fick följande resultat:
Y: 226 230 233 228 Vi antar normalfördelning.
a) (3p) Bestäm ett konfidensintervall för µX −µY med konfidensgrad 95% .
b) (1p)Kan man med 95% konfidensgrad påstå att situationen i floden har förbättrats ? Motivera svaret.
Uppgift 8. (5p) En kommunikationskanal i ett datornät har kapaciteten K bitar/sekund. Till kanalen ankommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten λ=1200
meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med
medelvärdet v= 500000 bitar. Vi antar att vi kan modellera systemet som ett vanligt M/M/1 kösystem.
a) Bestäm det minsta värdet på K som erfordras för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir högst T= 0.05 sekunder.
b) Bestäm µ och W för detta K värde.
c) Bestäm sannolikheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir mindre än 1.2 sekunder men längre än 0.2 sekunder.
Notera att formelblad för M/M/1 och M/M/K finns på sidor 5 och 6.
Sida 3 av 14
Var god vänd.
Uppgift 9. (3p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/2/2 (två betjänare och 2 köplatser) . Ankomstintensiteten är λ =10 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=5 kunder/minut.
a) (2p) Bestäm sannolikheterna p0, p1,…,p4.
b) (1p) Bestäm medel väntetid W för en kund i detta system.
Notera att formelblad för M/M/1 och M/M/K finns på sidor 5 och 6.
Uppgift 10. (3p)
a) (1p) Låt X vara en Poissonfördelad s.v. med parameter λ, dvs X ∈Po(λ). Då gäller = = =λ e−λ
p k k X P
k
k !
)
( . Bevisa att 1
0
∑
∞ =k=
pk .
b) (2p) Låt X vara en exponentialfördelad s.v. med parameter λ, dvs X∈Exp(λ). Bevisa att väntevärdet
λ ) 1 (X =
E .
Sida 4 av 14
FACIT
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
Bland 500 produkter som finns på en lager har vi 300 av typ A, 150 av typ B och 50 av typ C. Vi tar ut på måfå 50 produkter, utan hänsyn till ordning och utan återläggning. Vad är sannolikheten att få
a) 20 av typ A, 25 av typ B och 5 av typ C b) exakt 10 av typ A
c) högst 2 av typ A
Du svarar med binomiska koefficienter.
Svar
a)
50 500
5 50 25 150 20 300
b)
50 500
40 200 10 300
, c)
+
+
50 500
48 200 2
300
50 500
49 200 1
300
50 500
50 200 0
300
Rättningsmall: 1p för varje del.
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
En komponents livslängd antas vara exponentialfördelad med medelvärdet µ =10.
a) Bestäm sannolikheten att en komponent fungerar mer än 8 år.
b) Man köper 20 komponenter. Bestäm sannolikheten att minst 19 av dem fungerar mer än 8 år.
Lösning:
a)Låt ξ beteckna livslängden hos en komponent.
Enligt antagande är ξ exponentialfördelad.
1 . 0 10 / 1 10
)
(ξ =µ = ⇒λ = = E
e x
x
F( )=1− −0.1
=
=
−
−
=
≤
−
=
>8) 1 ( 8) 1 (1 −0,1⋅8) −0,8
( p e e
p ξ ξ 0.4493289641
Sannolikheten att en komponent fungerar mer än 3 år är p=0.4493289641.
b) Låt η beteckna antalet komponenter, bland 20 inköpta, som fungerar mer än 8 år.
41)
0.44932896
; 20 ( p)
; 20
( Bin
Bin =
η∈
Sida 5 av 14
20 . ) 20 1 19 (
20
) 20 ( ) 19 ( ) 19 (
20 1
19 p p
p
p p
p
⋅
+
−
⋅
⋅
=
= +
=
=
≥ η η
η
=2.870864423*10−6
Svar a) 0.4493289641. b) 2.870864423*10−6
Rättningsmall: 1p för korrekt λ =1/10=0.1. 2p för korrekt a-delen. 3p om allt är korrekt.
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En födelsedödsprocess med oändligt många tillstånd definieras av följande diagram
Bestäm p , 0 p1 och p . 10
Först uttrycker vi p , 1 p , 2 p ,... som funktioner av 3 p : 0
0 0
1 0
1 5
2 p p
p = =
µ
λ (*)
0 2 0
0 2 1
1 0
2 5
2 5
5 2
2 p p
p
p
=
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ
0 3
3 5
2 p
p
=
För att bestämmap substituerar vi (*) i villkoret 0
3 1
2 1
0 + p + p + p +=
p och får
5 1 2 5
2 5
2
0 3 0
2 0
0 + =
+
+
+ p p p
p .
Vi bryter ut p0
5 1 2 5
2 5 1 2
3 2
0 =
+
+
+
+
p
Sida 6 av 14
och använder formeln för den oändliga geometriska summan
x x x
x+ + + = −
+ 1
... 1
1 2 3 med
5
= 2
x (notera att |x|<1).
Vi får 1
5 1 2
1
0 =
−
p och därmed p =0
5 3 5 1−2 = .
Härav
25 6 5 3 5 2 5
2
0
1 = p = ⋅ =
p och
10 0
10
10 5
2 5 3 5
2
⋅
=
= p
p
Svar: p0 5
= (=0.6) , 3
25 6
1 =
p (=0.24) och
10
10 5
2 5
3
⋅
=
p (=0.00006291456)
Rättningsmall: 1p för varje del.
================================================
Uppgift 4. (3p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Vi väljer 6 kort på måfå. Vad är sannolikheten att få
a) alla kort i samma färg.
b) fyra tior (och två vilka kort som helst)
c) tre olika par, dvs x,x,y,y,z,z ( t ex 5,5, 7,7, 8,8 eller 3,3,4,4, 9,9 eller liknande.) Du svarar med binomiska koefficienter.
Lösning:
Svar a)
6 52
6 4 13
b)
=
6 52
2 48
6 52
2 48 4 4
c)
6 52
2 4 2 4 2 4 3 13
Rättningsmall: 1p för varje del.
Sida 7 av 14
Uppgift 5. (3p) Låt
+ ≤ <≤ ≤
=
övrigt för
x x
a
x ax
x f
, 0
2 1
), 2 (
1 0
, )
(
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X . a) Bestäm konstanten a.
b) Bestäm väntevärdet E(X)
c) Bestäm sannolikheten P(0≤ X ≤1) Lösning:
a)
a a
a a x x
x a a dx x a axdx
Arean 2) 4
2 (1 ) 4 2 2 ( ) 2 2 2 (
) 2 (
2
1 1 2
0 2 2
1 1
0
= +
− + +
=
+
+
= +
+
=
∫ ∫
4 1 1
4
1⇒ = ⇒ =
= a a
Arean
b) E(X) =
12 17 12
) 12 2 4(
1 4
1 2
1 2 1 3
0 2 3
1 2 1
0
2 =
+
+
= +
+
∫
∫
x dx x x dx x x x (=1.416666667),c) 8
1 8 4
) 1 1 0
(
1
0 1 2
0 1
0
=
=
=
=
≤
≤ X
∫
axdx∫
xdx xP
Rättningsmall: Rättningsmall: 1p för varje del.
Uppgift 6. (2p) I en container skall lådor av tre olika storlekar packas. Totalt skall det packas 10 lådor av Typ1 vars vikt är normalfördelad med väntevärdet 13 kg och standardavvikelsen 1.5 kg, 20 lådor av typ 2 vars vikt är normalfördelad med väntevärdet 23 kg och
standardavvikelsen 2.0 kg samt 30 lådor av typ 3 vars vikt är normalfördelad med väntevärdet 33 kg och standardavvikelsen 5 kg. Hur stor är sannolikheten att containerns innehåll
kommer att väga mer än 1600 kg?
Lösning:
=
=
∑
431
ξi
η ξ1++ξ10+ξ11++ξ30+ξ31++ξ60
Väntevärdet:
Sida 8 av 14
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
(η E ξ1 E ξ10 E ξ11 E ξ30 E ξ31 E ξ60
E = ++ + ++ + ++
33 33
23 23
13
13+ + + + + + + +
=
=
⋅ +
⋅ +
⋅
=10 13 20 23 30 33 1580 Variansen:
) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 )
(η 2V ξ1 2V ξ10 2V ξ11 2V ξ30 2V ξ31 2V ξ60
V = ++ + ++ + ++
2 2
2 2
2 2 2
2
2 1.5 2 2 5 5 10 1.5 20 2 30 5
5 .
1 + + + + + + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅
=
= 852.50
Standardavvikelsen är variansen =29.19760264 Därmed är η∈N(1580; 29.1976).
Härav
0.2483 0.7517
1 ) 68 . 0 ( 1 1976 ) . 29
1580 (1600
1
) 1600 (
1 ) 1600 (
=
−
= Φ
−
− = Φ
−
=
≤
−
=
> η
η p
p
Svar: p(η>1600)=0.2483
Rättningsmall: 1p för E(η)=1580 eller korrekt V(η)=852.50. 2p om allt är korrekt.
Uppgift 7. (4p) En forskare gjorde 5 mätningar i en flod strax nedanför ett industriutsläpp och fick följande resultat (enhet: mg/l) för ett giftigt ämne:
X: 227 231 232 223 228
Efter en månad gjorde forskaren 4 mätningar på samma plats och fick följande resultat:
Y: 226 230 233 228 Vi antar normalfördelning.
a) (3p) Bestäm ett konfidensintervall för µX −µY med konfidensgrad 95% .
b) (1p)Kan man med 95% konfidensgrad påstå att situationen i floden har förbättrats ? Motivera svaret.
Lösning: x =228.2 s1 =3.5637 y = 229.25 s2 =2.9861
Sida 9 av 14
1 1
) 1 ( ) 1 (
2 1
2 2 2 2 1
* 1
− +
−
− +
= −
n n
s n s
s n =3.3284
% 5 . 2 2 / =
α
r = antal frihetsgrader=n1−1+n2−1= 5–1+4–1=7.
Konfidensintervall:
− − + − ⋅ + − + + − ⋅ +
2 1
* 2
1 2 / 2
1
* 2
1 2 /
1 ) 1
2 (
1 , ) 1
2
( x y t n n n n
n n n
n t y
x α s α s
Eftersom n1=5 , n2=4 s*=2.048
y
x− = –1.0500000
och tα/2(7)=2.3646
får vi ⋅ + =
4 1 5 ) 1 7
( *
2
/ s
tα 5.279712538
Härav får vi för µX −µYföljande konfidensintervall: [–4.23, 6.33].
Svar a) Konfidensintervall: [–4.23, 6.33].
b) Nej: Eftersom intervallet innehåller 0 kan man INTE med 95% konfidensgrad påstå att det finns en skillnad mellan X och Y.
Rättningsmall: 1p för korrekta xoch y . +1p för s1 och s2. +1p för s*. 4p om allt är korrekt.
Sida 10 av 14
Uppgift 8. (5p) En kommunikationskanal i ett datornät har kapaciteten K bitar/sekund. Till kanalen ankommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten λ=1200
meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med
medelvärdet v= 500000 bitar. Vi antar att vi kan modellera systemet som ett vanligt M/M/1 kösystem.
a) Bestäm det minsta värdet på K som erfordras för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir högst T= 0.05 sekunder.
b) Bestäm µ och W för detta K värde.
c) Bestäm sannolikheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir mindre än 1.2 sekunder men längre än 0.2 sekunder.
Notera att formelblad för M/M/1 och M/M/K finns på sidor 5 och 6.
Lösning:
a) Vi ska använda samma tidsenheter i alla beräkningar, t ex sekunder.
λ=1200 meddelanden/minut ger att λ=1200/60 =20 meddelanden/sekund.
Från
λ
= µ −1
T har vi
40 20
20 20 1 20
1 20 05 1
.
0 ⇒ − = ⇒ =
= −
− ⇒
= µ µ
µ
µ meddelande/s.
Alltså för att få T=0.05 s krävs det betjäningsintensitet µ =40meddelande per sekund.
Eftersom 1 meddelande har i genomsnitt v= 500000 bitar drar vi slutsats att vi behöver en överföringskapacitet med minst
K=40⋅500000=20 000 000 bitar per sekund.
b) µ har vi redan bestämt.
Först
40 1 = 1
= µ
x s. Från T =W +x har vi
40 1 40
1 20
1 − =
=
−
=T x
W .
c) Fördelningsfunktionen för den totala tiden i systemet för en kund är
t t
s
t P s t e e
F
~( ) = ( ~ ≤ ) = 1 −
−(µ−λ)= 1 −
−20 . Därför) 1
( ) 1
( ) 2 . 0 ( ) 2 . 1 ( ) 2 .
~ 1 2 . 0
( <s < =F −F = −e−20⋅1.2 − −e−20⋅0.2 P
=e−20⋅0.2 −e−20⋅1.2 =e−4 −e−24 = 0.01831563885.
Svar: a) K=20 000 000 bitar per sekund.
b) µ =40meddelande per s.
40
= 1 W
c) P(0.2<s~<1.2)= e−4 −e−24 = 0.01831563885
Rättningsmall: a,b: 2p för varje del. c=1p
Sida 11 av 14
Uppgift 9. (3p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/2/2 (två betjänare och 2 köplatser) . Ankomstintensiteten är λ =10 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=5 kunder/minut.
a) (2p) Bestäm sannolikheterna p0, p1,…,p4.
b) (1p) Bestäm medel väntetid W för en kund i detta system.
Notera att formelblad för M/M/1 och M/M/K finns på sidor 5 och 6.
Lösning:
a)
Diagram:
Från ovanstående diagramm får vi
Först p1 =2 p0 , p2 =2 p0 , p3 =2 p0 p4 =2 p0, Substitutionen i p0+ p1+p2+ p3+ p4 =1 ger
9 / 1 1
9 1 2 2 2
2 0 0 0 0 0 0
0+ p + p + p + p = ⇒ p = ⇒ p =
p
Därmed:
p0=1/9= 0.1111111111, p1=2/9= 0.2222222222 p2= 2/9=0.2222222222 p3= 2/9=0.2222222222
Sida 12 av 14
p4=2/9= 0.2222222222
Svar b) Först N = 2.222222222, λeff= 7.777777777 , x =0.2 min , T = 0.2857142857 och slutligen W =T −x=0.0857142857
Rättningsmall: a) 1p för korrekt diagram. 2p om allt är korrekt.
b) rätt eller fel.
Uppgift 10. (3p)
a) (1p) Låt X vara en Poissonfördelad s.v. med parameter λ, dvs X ∈Po(λ). Då gäller = = =λ e−λ
p k k X P
k
k !
)
( . Bevisa att 1
0
∑
∞ == k
pk .
b) (2p) Låt X vara en exponentialfördelad s.v. med parameter λ, dvs X∈Exp(λ). Bevisa att väntevärdet
λ ) 1 (X =
E .
Lösning:
a) Vi använder Taylorserien
∑
∞=
=
0 !
k k x
k e x .
! 1
!
0 0
0 0
=
=
=
=
= ∞ −
=
∞ −
=
∞ −
=
∑ ∑
∑
p k e e k e e ek k
k k
k k
λ λ λ
λ λ
λ (V.S.B.)
b) Låt f( x) vara täthetsfunktionen till X, alltså
<
=
−≥
0 0
0 ) ,
( x
x x e
f
λx
λ
Väntevärdet:
dx e x dx x xf X
E ∞ ∞λ −λx
∞
−
∫
=∫
=
0
) ( )
(
Partiell integration:
𝑢𝑢 = 𝜆𝜆𝜆𝜆 , 𝑣𝑣′ = 𝑒𝑒−𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑢𝑢′ = 𝜆𝜆, v = 𝑒𝑒−𝜆𝜆−𝜆𝜆𝜆𝜆 .
� 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝜆𝜆𝑑𝑑𝜆𝜆 = 𝑢𝑢𝑣𝑣 − � 𝑢𝑢′𝑣𝑣𝑑𝑑𝜆𝜆 = −𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝜆𝜆 + � 𝑒𝑒−𝜆𝜆𝜆𝜆𝑑𝑑𝜆𝜆 = −𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝜆𝜆−𝑒𝑒−𝜆𝜆𝜆𝜆 𝜆𝜆 .
Sida 13 av 14
Därför
∫ 𝜆𝜆𝜆𝜆𝑒𝑒0∞ −𝜆𝜆𝜆𝜆𝑑𝑑𝜆𝜆= �−𝜆𝜆𝑒𝑒−𝜆𝜆𝜆𝜆 −𝑒𝑒−𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆 �
0
∞ = 1𝜆𝜆 (V.S.B.)
Rättningsmall: a) rätt eller fel.
b) 1p för korrekt obestämd integral.
Sida 14 av 14
