Joakim Edsj¨ o

Joakim Edsj¨ o

Fysikum, Stockholms Universitet Tel: 08-674 76 48

Tentamen i Analytisk Mekanik, 5p

2 juni 2001 9–15

5 problem p˚ a 6 timmar. Varje problem ger maximalt 5 po¨ ang.

Skriv namn p˚ a alla blad!

Om du vill ha resultatet skickat till dig per e-post, ange din e-postadress p˚ a f¨ orsta sidan.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook.

1. En massa m kan r¨ ora sig friktionsfritt l¨ angs en cirkul¨ ar tr˚ ad (se figur).

Tr˚ aden roterar kring den vertikala diametern (z-axeln) med en konstant vinkelhastighet ω. Massan m p˚ averkas av gravitationskraften ned˚ at i figu- ren. L˚ at θ vara vinkeln mellan lodlinjen och massan m enligt figur.

a) Tag fram r¨ orelseekvationen f¨ or θ. (2p) b) Vid l˚ aga vinkelhastigheter ¨ ar θ = 0 en stabil j¨ amviktspunkt, medan den ¨ ar labil det vid h¨ oga vinkelhastigheter. Best¨ am den kritiska vin- kelhastighet ω _c som skiljer dessa tv˚ a fall ˚ at. (2p) c) D˚ a ω < ω _c ¨ ar endast θ = 0 och θ = π j¨ amviktspunkter, men d˚ a ω > ω _c finns ytterligare en j¨ amviktspunkt. Best¨ am denna! (1p)

ω

θ R

m z

mg

Om du ¨ ar godk¨ and p˚ a inl¨ amningsuppgifterna beh¨ over du ej g¨ ora uppgift 2 nedan utan f˚ ar tillgodor¨ akna dig den ¨ and˚ a.

2. En homogen cylinder med massa M och radie R kan rulla utan friktion p˚ a en fix kil med toppvin- keln α (se figur). Runt cylindern l¨ oper ett tunt sn¨ ore (med f¨ orsumbar massa) vars ena ¨ ande ¨ ar f¨ ast i punkten A och vars andra ¨ ande ¨ ar f¨ ast i en massa m. Sn¨ oret l¨ oper ¨ over en friktionsfri och massl¨ os trissa vid A. Massorna m och M p˚ averkas

av gravitationskraften ned˚ at i figuren. α

m M radie R

A

a) Tag fram och l¨ os r¨ orelseekvationen f¨ or r¨ orelsen hos massan m. (3p) b) Best¨ am den toppvinkel α f¨ or vilken systemet befinner sig i j¨ amvikt. (2p) 3. a) Om f , g och h ¨ ar funktioner av de kanoniska variablerna, visa att f¨ oljande egenskaper

g¨ aller f¨ or Poisson-parenteserna

{f, gh} = g{f, h} + {f, g}h {fg, h} = f{g, h} + {f, h}g

(2p) b) Betrakta en partikel i tre dimensioner som r¨ or sig i potentialen

U = αz ² e ^βx

^+γy

; α, β, γ = konstanter, α = 0.

Best¨ am ett villkor p˚ a β och γ s˚ a att r¨ orelsem¨ angdsmomentets z-komponent ¨ ar bevarad

(f¨ or godtyckliga begynnelsevillkor). (3p)

1

4. a) Betrakta funktionalen

I[y] =

_x

x

f (y(x), y
(x), x)dx

d¨ ar y
= dy/dx och f ¨ ar en funktion av y, y
och x. x ₁ och x ₂ ¨ ar tv˚ a godtyckliga (men fixa) ¨ andpunkter med y(x ₁ ) = y ₁ och y(x ₂ ) = y ₂ . Visa att om I[y] antar ett extremv¨ arde s˚ a uppfyller y Eulers ekvation f¨ or variationsproblemet,

d dx

 ∂f

∂y



− ∂f

∂y = 0

(3p) b) Betrakta tv˚ a punkter (x ₀ , y ₀ ) och (x ₁ , y ₁ ) i xy-planet. Visa att den kortaste v¨ agen mellan

dessa tv˚ a punkter ¨ ar en r¨ at linje. (2p)

Ledning: Linjeelementet ges av ds = 

(dx) ² + (dy) ² = 

1 + y
² dx.

5. Genom att anv¨ anda en kanonisk transformation av typ B kan vi h¨ arleda Hamilton-Jacobis ekvation f¨ or den genererande funktionen S(q

, P

, t) s˚ a att den nya Hamilton-funktionen ¨ ar identiskt lika med noll.

a) Visa att man p˚ a samma s¨ att kan anv¨ anda en transformation av typ C med en genere- rande funktion U (Q

, p

, t) s˚ a att den nya Hamilton-funktionen ¨ ar identiskt lika med noll.

Vilken differentialekvation m˚ aste U i s˚ a fall uppfylla? (Denna kallas f¨ or Hamilton-Jacobis

ekvation i r¨ orelsem¨ angdsrepresentationen.) (2p)

b) Anv¨ and den ekvation du h¨ arledde i a) f¨ or att ta fram den genererande funktionen U (Q , p, t) f¨ or en partikel som kan r¨ ora sig vertikalt i ett homogent gravitationsf¨ alt, dvs med Hamiltonfunktionen

H = p ²

2m + mgq

d¨ ar q ¨ ar h¨ ojden ovanf¨ or horisontalplanet. Anv¨ and sedan detta U f¨ or att generera en ka- nonisk transformation som g¨ or problemet trivialt l¨ osbart. L¨ os r¨ orelseekvationerna f¨ or de nya kanoniska variablerna och best¨ am sedan r¨ orelsen {q(t), p(t)} om begynnelsevillkoren

¨ ar att p(t = 0) = mv ₀ och q(t = 0) = 0. (3p)

Lycka till!

L¨ osningar kommer s˚ a sm˚ aningom att ansl˚ as samt finnas tillg¨ angliga p˚ a http://www.physto.se/~edsjo/teaching/am/index.html.

Formelsamling

Kanoniska transformationer

Typ A. Φ = Φ(q

, Q

, t) - genererande funktion p

= ∂Φ

∂q

; P

= − ∂ Φ

∂Q

; H = H + ∂ ˜ Φ

∂t Typ B. S = S(q

, P

, t) - genererande funktion p

= ∂S

∂q

; Q

= ∂S

∂P

; H = H + ∂S ˜ ∂t

Typ C. U = U(Q

, p

, t) - genererande funktion q

= − ∂U ∂p

; P

= − ∂U ∂Q

; H = H+ ∂U ˜ ∂t Typ D. V = V (P

, p

, t) - genererande funktion q

= − ∂V ∂p

; Q

= ∂V

∂P

; H = H + ∂V ˜ ∂t Noethers teorem

Om Lagrangefunktionen L(q

, ˙q

) beskriver ett autonomt system som ¨ ar invariant under transforma- tionen q

→ h ^s (q

) d¨ ar s ¨ ar en reell kontinuerlig parameter s˚ adan att h ^s=0 (q

) = q

¨ ar identitetstrans- formationen s˚ a ¨ ar

I(q

, ˙q

) =

 f i=1

∂L

∂ ˙ q _i d ds h ^s (q _i )

 

 s=0

en r¨ orelsekonstant.

2