• No results found

Joakim Edsj¨o

N/A
N/A
Info
Download
Protected

Academic year: 2021

Share "Joakim Edsj¨o"

Copied!
2
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Download now ( 2 Page )

Full text

(1)

Joakim Edsj¨o

Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26

E-post: edsjo@physto.se

Noethers teorem

Noethers teorem ser ut som f¨oljer:

Om Lagrangefunktionen L(q

e

, ˙q

e

) beskriver ett autonomt system som ¨ar invariant under transformationen q

e

→ h

e s (q

e

) d¨ar s ¨ar en reell kontinuerlig parameter s˚ adan att h

e s=0 (q

e

) = q

e

¨ ar identitetstransformationen s˚ a ¨ ar

I(q

e

, ˙q

e

) =

f

X

i=1

∂L

∂ ˙q i

d ds h s i (q

e

) s=0

en r¨ orelsekonstant.

och bevisas t.ex. p˚ a f¨oljande vis:

L˚ at q

e

= ϕ

e

vara en l¨osning till Lagranges ekvationer. Eftersom systemet ¨ar invariant under transfor- mationen h

e s ¨ar

q

e

(s, t) = φ

e

(s, t) = h

e s (ϕ

e

(t)) ocks˚ a en l¨osning till Lagranges ekvationer,

d dt

 ∂L

∂ ˙q i

(φ

e

(s, t), ˙ φ

e

(s, t)



= ∂L

∂q i

(φ

e

(s, t), ˙ φ

e

(s, t)) (1)

Vidare ¨ar L invariant under transformationen, d.v.s.

0 = d ds L(φ

e

(s, t), ˙ φ

e

(s, t)) =

f

X

i=1

"

∂L

∂q i

dφ i

ds + ∂L

∂ ˙q i

d ˙ φ i

ds

#

(2)

Anv¨and nu Ekv. (1) f¨or att byta ut ∂q ∂L

i

i Ekv. (2) samt byt ordning p˚ a deriveringarna i den sista termen s˚ a erh˚ aller vi

f

X

i=1

 d dt

 ∂L

∂ ˙q i

 dφ i

ds + ∂L

∂ ˙q i

d dt

 dφ i

ds



= 0

Detta m˚ aste speciellt g¨alla d˚ a s = 0 och vi erh˚ aller d˚ a slutligen (med dφ i /ds = dh s i /ds)

d dt

f

X

i=1

∂L

∂ ˙q i

dh s i ds

! s=0

= 0 ⇒ d

dt I = 0

1

(2)

Joakim Edsj¨o

Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26

E-post: edsjo@physto.se

Noether’s theorem

Noether’s theorem looks like this If the Lagrangian L(q

e

, ˙q

e

) describes an autonomous system which is invariant under the transformation q

e

→ h

e s (q

e

) where s is a real continuous parameter such that h

e s=0 (q

e

) = q is the identity transformation, then e

I(q

e

, ˙q

e

) =

f

X

i=1

∂L

∂ ˙q i

d ds h s i (q

e

) s=0

is a constant of motion.

and it is proven e.g. like this:

Let q

e

= ϕ

e

be a solution to Lagrange’s equations. Since the system is invariant under the transfor- mation h

e s

q

e

(s, t) = φ

e

(s, t) = h

e s (ϕ

e

(t)) is also a solution to Lagrange’s equations,

d dt

 ∂L

∂ ˙q i

(φ

e

(s, t), ˙ φ

e

(s, t)



= ∂L

∂q i

(φ

e

(s, t), ˙ φ

e

(s, t)) (3)

Further on, L, is invariant under the transformation, i.e.

0 = d ds L(φ

e

(s, t), ˙ φ

e

(s, t)) =

f

X

i=1

"

∂L

∂q i

dφ i

ds + ∂L

∂ ˙q i

d ˙ φ i

ds

#

(4)

Now use Eq. (3) to replace ∂q ∂L

i

in Eq. (4) and change the order of the derivates in the last term.

We then get

f

X

i=1

 d dt

 ∂L

∂ ˙q i

 dφ i

ds + ∂L

∂ ˙q i

d dt

 dφ i

ds



= 0

This must especially hold when s = 0 and we then finally get (with dφ i /ds = dh s i /ds)

d dt

f

X

i=1

∂L

∂ ˙q i

dh s i ds

! s=0

= 0 ⇒ d

dt I = 0

2

References

Download now ( PDF - 2 Page - 74.20 KB )

Related documents

Joakim Edsj¨o

We realize that the problem has two degrees of freedom and choose x and y as generalized coordinates according to the figure. x is the position of mass 1 with respect to the

Joakim Edsj¨o

En stege st˚ ar p˚ a en altan lutad mot en nyoljad v¨agg (mot vilken friktionen ¨ar f¨orsumbar) med lutningsvinkeln α (se figur). Det b¨orjar pl¨otsligt att regna, varvid

Joakim Edsj¨o

a) Problemet har en frihetsgrad och vi v¨aljer vinkeln θ mel- lan stegen och v¨aggen som generaliserad koordinat.. b) Stegen f¨orlorar kontakten med v¨aggen d˚ a accelerationen i

Joakim Edsj¨o

Vi kommer s˚ aledes att erh˚ alla sin- och cos-l¨osningar varf¨or st¨orningen ej kommer att v¨axa med tiden. Vi vet att r¨ orelsem¨ angdsmomentet ¨

Joakim Edsj¨o

Vi v¨aljer h¨ar att anv¨anda θ som generaliserad koordinat (vilket i detta fall visar sig ge enklare r¨orelseekvationer)... a) Stavarnas r¨orelseenergi best˚ ar av tv˚ a delar,

Joakim Edsj¨o

Eftersom vi ¨ar intresserade av sm˚ a sv¨angningar kan vi Taylorutveckla dessa uttryck och bara beh˚ alla de termer som ¨ar l¨agst i ordning.. Problemet har tv˚ a frihetsgrader och

Joakim Edsj¨o

for each volume element at (x, y, z) there is a volume element at (x, y, −z) that contributes as much to I xz , but with opposite sign.. when the body does not have any extension in

Joakim Edsj¨o

Endast r¨orelsen s˚ a l¨ange massan m har kontakt med st˚ angen beh¨over beaktas.. Under den f¨oljande r¨orelsen kommer st˚ angen under inverkan av gravitationen att b¨orja vrida