IN
DEGREE PROJECT TEKNIK, FIRST CYCLE, 15 CREDITS STOCKHOLM SWEDEN 2019,
En lösning till ordproblemet för Coxetergrupper
EMANUEL STRÖM FILIP RYBLAD
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY SKOLAN FÖR TEKNIKVETENSKAP
Sammanfattning
I denna rapport undersöks en abstrakt representation av reflektionsgrupper kal- lade Coxetergrupper. Inledningsvis ges en introduktion till gruppteori. Sedan be- skrivs ett koncept som kallas ordproblemet. Efter det presenteras ett sätt att defi- niera grupper utifrån en mängd generatorer och relationer. Denna teori används för att definiera Coxetergrupper och ge en klassificering av de ändliga Coxetergrupper- na som H.S.M. Coxeter presenterade 1935. Avslutningsvis presenteras lösningen till ordproblemet i Coxetergrupper, och några tillämpningar av teorin diskuteras.
IN
DEGREE PROJECT TECHNOLOGY, FIRST CYCLE, 15 CREDITS
STOCKHOLM SWEDEN 2019,
A solution to the word
problem for Coxeter groups
EMANUEL STRÖM FILIP RYBLAD
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY SCHOOL OF ENGINEERING SCIENCES
Abstract
In this report, we study an abstract representation of reflection groups called Coxeter groups. Firstly, we introduce some important aspects of group theory.
Next, we describe a concept called the word problem. Then, a way of defining groups given a set of generators and relations is presented. This theory is used to define the Coxeter groups, followed by a complete classification of the finite Coxeter groups as presented by H.S.M. Coxeter in 1935. Finally, we present a solution to the word problem for Coxeter groups and discuss some applications.
Inledning
En grupp är en matematisk struktur som består av en mängd tillsammans med en binär operator som verkar på par av element i mängden. Alla grupper innehåller ett speciellt element kallat identiteten, och alla element har en motsvarande invers. Gruppteori är användbar inom många områden. Exempelvis är mängden av alla heltal under addition en grupp, där 0 är identiteten, liksom mängden av alla reellvärda kontinuerliga funktio- ner under addition. Mängden som genereras genom sammansättning av en uppsättning reflektioner i något vektorrum kallas för en reflektionsgrupp. I denna rapport siktar vi in oss på en abstraktion av reflektionsgrupper som kallas Coxetergrupper.
År 1934 introducerade H.S.M. Coxeter en abstrakt representation av reflektionsgrupper i artikeln Discrete Groups Generated by Reflections [Cox34]. Coxeter visade att reflek- tionsgrupperna kunde beskrivas med hjälp av en mängd generatorer tillsammans med en uppsättning inbördes relationer. Denna representation fick senare namnet Coxeter- grupper. Ett år senare klassificerade Coxeter alla ändliga Coxetergrupper i The Complete Enumeration of Finite Groups of the Form R2i = (RiRj)kij = 1 [Cox35].
Coxetergrupper går att studera geometriskt och algebraiskt genom att betrakta dem som reflektionsgrupper, men även kombinatoriskt genom att betrakta varje element i en Coxetergrupp som en produkt av generatorer, och sedan studera egenskaper hos såda- na produkter. Detta sätt att studera grupper ger upphov till ett speciellt problem som brukar kallas för ordproblemet. Ordproblemet är i allmänhet olösbart, men i Coxetergrup- per går ordproblemet att lösa. I den här rapporten kommer främst det kombinatoriska tillvägagångssättet utnyttjas, just för att kunna härleda en lösning till ordproblemet i Coxetergrupper. Kopplingen till reflektionsgrupper kommer dock även förklaras.
I avsnitt 1 presenteras grundläggande gruppteori, bakgrundsinformation som är nödvän- dig för att förstå resten av rapporten. Detta avsnitt baseras till stor del på en kursbok i abstrakt algebra, [Jud18]. Syftet med avsnitt 2 är att bygga upp teori om ord och pre- sentationsgrupper, som är ett sätt att generera en grupp givet en mängd generatorer och relationer. I avsnitt 3 används teorin från avsnitt 2 för att definiera Coxetergruppen. Här klassificeras även de ändliga Coxetergrupperna som presenterades av H.S.M. Coxeter i [Cox35]. Avsnitt 5 går ut på att lösa ordproblemet i Coxetergrupper.
Innehåll
Inledning 1
1 Gruppteori 3
1.1 Ekvivalensrelationer . . . 3
1.2 Grupper och delgrupper . . . 4
1.3 Några exempel på grupper . . . 8
1.4 Sidoklasser, kvotgrupper och Lagranges sats . . . 10
1.5 Grupphomomorfier och isomorfisatserna . . . 13
1.6 Genererade grupper . . . 15
2 Ordproblemet 18 2.1 Ord och förkortning av ord . . . 18
2.2 Den fria gruppen . . . 20
2.3 Presentationen av en grupp . . . 22
2.4 Exempel på presentationer av grupper . . . 25
2.5 Reducerade ord . . . 26
3 Coxetergrupper 27 3.1 Definitioner och begrepp . . . 27
3.2 Klassificering av ändliga Coxetergrupper . . . 29
3.3 En permutationsrepresentation av Coxetergrupper . . . 31
4 Reflektionsgrupper 36 4.1 Ändliga reflektionsgrupper . . . 38
5 Ordproblemet för Coxetergrupper 41 5.1 Ord i Coxetergrupper . . . 41
5.2 Bruhatordning . . . 42
5.3 Lösningen till ordproblemet i Coxetergrupper . . . 45
5.4 Exempel . . . 51
Tackord
Denna rapport hade inte varit möjlig utan vår handledare David Rydh. Tack för all konstruktiv återkoppling, goda idéer och engagemang. Tack även till Petter Brändén som höll i introduktionskursen till gruppteori.
1 Gruppteori
I detta avsnitt definieras några grundläggande begrepp i gruppteori, och några användba- ra satser bevisas. Det antas att läsaren har kunskap om mängdlära sedan innan, och att begrepp som kartesisk produkt, avbildning, ändliga mängder, snitt och union är bekanta.
Framställningen baseras till stor del på [Jud18], och när bevis till satser utelämnas finns de att hitta där.
1.1 Ekvivalensrelationer
Definition 1.1 (Ekvivalensrelation). Avbildningen ∼: A × A → {sant, falskt} kallas för en ekvivalensrelation på mängden A om ∼ är
(i) Reflexiv: ∼ (a, a) ∀a ∈ A.
(ii) Symmetrisk: ∼ (a, b) =⇒ ∼ (b, a) ∀a, b ∈ A
(iii) Transitiv: (∼ (a, b)) och (∼ (b, c)) =⇒ ∼ (a, c) ∀a, b, c ∈ A.
Då skrivs a ∼ b om ∼ (a, b) = sant och a 6∼ b annars. Eftersom värdemängden {sant, falskt} har två element definieras ekvivalensklassen implicit av mängden
R := {(a, b) ∈ A × A : a ∼ b} ⊆ A × A.
R används därför synonymt med ∼. Ekvivalensklassen [a]R av ett element a ∈ A med avseende på ∼ definieras som mängden
[a]R:= {x ∈ A : (x, a) ∈ R} = {x ∈ A : x ∼ a} ⊆ A.
Exempel 1.2. Modulo n definierar en ekvivalensrelation på heltalen. Det vill säga, om a, b ∈ Z kan vi definiera a ∼ b ⇐⇒ a ≡ b (mod n) som en ekvivalensrelation på Z.
Ekvivalensklassen till 1 ∈ Z är då {1 + nk, k ∈ Z}.
Sats 1.3. Låt A vara en mängd, och ∼ vara en ekvivalensrelation på A. Då partitioneras A av sina ekvivalensklasser:
A = [
a∈A
[a]R, (1)
[a]R∩ [b]R6= ∅ ⇐⇒ [a]R= [b]R, ∀a, b ∈ A. (2) Bevis.
(1) Låt x ∈ A. Relationen ∼ är reflexiv. Därför måste:
x ∼ x =⇒ x ∈ [x]R⊆ [
a∈A
[a]R ∀x ∈ A =⇒ A ⊆ [
a∈A
[a]R.
Samtidigt gäller att [a]R ⊆ A ∀a ∈ A =⇒ S
a∈A[a]R ⊆ A. Alltså måste A =S
a∈A[a]R.
(2) Vi börjar med att visa [a]R∩ [b]R 6= ∅ =⇒ [a]R = [b]R. Antag att [a]R∩ [b]R 6=
∅, a, b ∈ A. Då finns ett c ∈ [a]R ∩ [b]R =⇒ (c ∼ a) och (c ∼ b). Låt nu x ∈ [a]R. Relationen ∼ är transitiv, så (x ∼ a) och (c ∼ a) =⇒ x ∼ c. Re- lationen ∼ är symmetrisk, så c ∼ b =⇒ b ∼ c. Återigen, ∼ är transitiv, så (x ∼ c) och (b ∼ c) =⇒ x ∼ b =⇒ x ∈ [b]R. Alltså måste [a]R ⊆ [b]R. På samma sätt fås att [b]R⊆ [a]R, varför [a]R= [b]R.
Slutligen, [a]R= [b]R =⇒ [a]R∩ [b]R6= ∅ följer av att [a]R6= ∅ eftersom a ∼ a.
QED Definition 1.4 (Kvotmängd). Låt A vara en mängd och R vara en ekvivalensrelation på A. Definiera kvotmängden A/R av A med avseende på R som mängden av alla ekvivalensklasser [a]R till A.
Exempel 1.5. Låt A = {0, 1, 2, 3}, a ∼ b ⇐⇒ a ≡ b (mod 2). Då är A/ ∼ = {{0, 2}, {1, 3}}.
Exempel 1.6. Definiera ekvivalensrelationen ∼ på Z enligt a ∼ b om a ≡ b (mod 5).
Då är Z/ ∼ = {[0]∼, [1]∼, [2]∼, [3]∼, [4]∼}. Vi kan även välja andra representanter till ekvivalensklasserna, exempelvis [0]∼ = [5]∼ = [5n]∼, n ∈ Z. För just Z brukar vi välja de minsta positiva talen.
1.2 Grupper och delgrupper
Definition 1.7 (Binär operator). En avbildning ◦ : G × G → G kallas för en binär ope- rator på mängden G, och för element (x, y) ∈ G × G skrivs ◦(x, y) = x ◦ y.
Exempel 1.8. Additionsoperatorn på heltalen + : Z × Z → Z är en binär operator.
Definition 1.9 (Grupp). Om G är en mängd, ◦ är en binär operator på en mängd A ⊇ G och:
(i) G är sluten, x ◦ y ∈ G ∀x, y ∈ G,
(ii) ◦ är associativ, x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z ∀x, y, z ∈ G, (iii) G har en identitet, ∃e ∈ G : x ◦ e = e ◦ x = x ∀x ∈ G,
(iv) Alla element i G har inverser, ∀x ∈ G ∃x−1 ∈ G : x ◦ x−1= x−1◦ x = e,
kallas (G, ◦) för en grupp. Ofta skrivs bara G, och x ◦ y skrivs xy. Om operatorn ◦ dessutom är kommutativ, det vill säga om xy = yx ∀x, y ∈ G, sägs att G är abelsk.
Gruppens ordning skrivs |G| och definieras som mängdens kardinalitet.
Sats 1.10 (Kancellering). Om G är en grupp och x, y, z ∈ G gäller att y = z om xy = xz eller yx = zx. Elementet x kan alltså “kancelleras”.
Bevis. Antag att xy = xz. Eftersom G är en grupp gäller axiomen (i)–(iv).
y(iii)= ey(iv)= (x−1x)y (ii)= x−1(xy) = x−1(xz)(ii)= (x−1x)z(iv)= ez(iii)= z.
Varje steg är motiverat med ett av de fyra gruppaxiomen. Fallet yx = zx konstrueras
analogt. QED
Följdsats 1.11 (Unikhet).
1. Identiteten e är unik.
2. Inversen x−1 till ett element x är unik.
3. Om a ∈ A är (a−1)−1 = a.
4. Ekvationen ax = b har en unik lösning x = a−1b för varje a, b ∈ G.
Bevis.
1. Låt e, f vara identiteter i G. Då gäller att e(iii)= ef (iii)= f .
2. Om b, c är inverser till a ∈ G så gäller att ab (iv)= e och ac(iv)= f där e, f är identiteter på G. Det visades ovan att e = f , så ab = e = f = ac. Av kancellering följer att b = c.
3. a är en invers till a−1 ty aa−1 = a−1a = e. Men av punkt 2 följer då att a = (a−1)−1. 4. x = a−1b är en lösning. Men a−1 är unik av punkt 2, så detta är den enda lösningen.
QED Definition 1.12 (Cayleytabell). Ett enkelt sätt att representera alla relationer inom en grupp är att ställa upp en “multiplikationstabell”, kallad Cayleytabell, över alla produkter av element i gruppen. Varje grupp kan definieras genom sin Cayleytabell;
elementen läses i översta raden, och varje produkt gi◦ gj fås genom att avläsa elementet i rad i, kolumn j i Cayleytabellen. Varje element kan endast förekomma en gång per rad och kolumn för att Sats 1.10 ska uppfyllas. Att presentera grupper som Cayleytabeller är inte alltid den mest effektiva metoden att beskriva en grupp, speciellt för oändliga grupper. Ett alternativt sätt kommer diskuteras i avsnitt 2.
◦ g1 g2 g3 · · · gn g1 g1g1 g1g2 g1g3 · · · g1gn g2 g2g1 g2g2 g2g3 · · · g2gn g3 g3g1 g3g2 g3g3 · · · g3gn
... ... ... ... . .. ... gn gng1 gng2 gng3 · · · gngn
Tabell 1: Cayleytabell för en grupp G = {g1, g2, . . . gn} med operatorn ◦.
Exempel 1.13. Definiera gruppen Z6 som mängden {0, 1, 2, 3, 4, 5} tillsammans med operatorn + definierad som addition modulo 6. Det kan enkelt verifieras att Z6 är en grupp. Cayleytabellen till Z6 ses i Tabell 2:
+ 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 Tabell 2: Cayleytabell för Z6.
Definition 1.14 (Exponentiering av gruppelement). Låt G vara en grupp och g ∈ G vara ett element med inversen h. Om k ∈ Z är ett heltal definieras exponentiering av g som
gk :=
k element
z }| {
gg . . . g k > 0
e k = 0
h−k k < 0
(3)
Det kan enkelt verifieras att denna definition medför att gkgl = gk+l, (gk)l = gkl ∀k, l ∈ Z, samt att notationen h = g−1 är konsekvent även om −1 skulle förväxlas med en exponent.
Definition 1.15 (Direkt produkt). Om (G, ◦) och (H, •) är grupper definieras den di- rekta produkten av G och H, G × H, som gruppen (G × H, ), där
(g1, h1) (g2, h2) := (g1◦ g2, h1• h2).
Anmärkning 1.16. Att G × H är en grupp bekräftas enkelt. Uttrycket G × H är tvety- digt, det kan både hänvisa till den kartesiska produkten av mängderna G och H eller den direkta produkten av grupperna G och H. Detta orsakar emellertid sällan problem, eftersom den underliggande mängden till direkta produkten av två grupper G × H är just den kartesiska produkten G × H. Skillnaden är alltså att den direkta produkten också
“ärver” strukturen från gruppoperatorerna ◦ och •.
Exempel 1.17. Låt Z2 och Z3 vara grupper med mängderna {0, 1} respektive {0, 1, 2}
och operator analogt med Exempel 1.13. Den direkta produkten Z3× Z2 har sex element, nämligen {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}. Cayleytabellen till denna grupp kan ses i Tabell 3. Med avbildningen ψ : Z6 → Z3×Z2 som ψ(n) = (n (mod 3), n (mod 2)) Ses att Cayleytabellerna 2 och 3 är identiska. När Cayleytabellerna till två grupper är ekvivalenta sägs att grupperna är isomorfa. Två isomorfa grupper har exakt samma gruppegenskaper, skillnaden är att elementen har bytt namn. En mer robust definition av isomorfi kommer introduceras i nästa avsnitt, Definition 1.45.
Definition 1.18 (Delgrupp). Låt (G, ◦) och (H, ◦) vara två grupper med samma operator
◦, och H ⊆ G. Då kallas H för en delgrupp till G, vilket vi skriver som H ≤ G.
Definition 1.19 (Icketriviala äkta delgrupper). Låt G vara en grupp. Gruppen {e}
kallas för den triviala delgruppen till G, och G själv sägs vara den oäkta delgruppen till G. Med en icke-trivial äkta delgrupp till G menas alltså en grupp H ≤ G s.a {e} ⊂ H ⊂ G.
+ (0, 0) (1, 1) (2, 0) (0, 1) (1, 0) (2, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 1) (2, 0) (0, 1) (1, 0) (2, 1) (1, 1) (1, 1) (2, 0) (0, 1) (1, 0) (2, 1) (0, 0) (2, 0) (2, 0) (0, 1) (1, 0) (2, 1) (0, 0) (1, 1) (0, 1) (0, 1) (1, 0) (2, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 0) (1, 0) (1, 0) (2, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 0) (0, 1) (2, 1) (2, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 0) (0, 1) (1, 0)
Tabell 3: Cayleytabellen till Z3× Z2
Exempel 1.20. Betrakta gruppen Z med addition som operator. Då är 2Z = {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . . }
en delmängd till Z. Mängden 2Z är även en grupp med addition som operator, därför är 2Z en (icketrivial äkta) delgrupp till Z.
Sats 1.21. Låt G vara en grupp med identiteten eG och H ⊆ G. Då gäller att H ≤ G om och endast om:
1. eG ∈ H
2. gh ∈ H ∀(g, h) ∈ H × H 3. h ∈ H =⇒ h−1 ∈ H
Bevis. Antag att punkt 1–3 gäller. Gruppaxiom (i)–(iv) (se Definition 1.9) var för sig.
(i) Punkt 2 är definitionen av att H är sluten.
(ii) x, y, z ∈ H =⇒ x, y, z ∈ G och G uppfyller (ii), så därför gör H det med.
(iii) Punkt 1 garanterar eG ∈ H. Givet ett h ∈ H måste h ∈ G ty H ⊆ G, och eftersom G är en grupp gäller att eGh = heG= h. Alltså är axiom (iii) uppfyllt för H.
(iv) hh−1 = h−1h = eG ∈ H ∀h ∈ H, där vi använt att eG är en identitet på H med punkt 1.
Alltså är H en grupp, och eftersom H ⊆ G måste H ≤ G.
Antag istället att H ≤ G. Då är H en grupp. Vi bevisar punkter 1–3 för sig.
1. Enligt axiom (iii) finns en identitet i H, kalla den eH. Eftersom H ⊆ G måste eH ∈ G. Då gäller att eGeH = eH = eHeH, och efter kancellering fås att eH = eG ∈ H.
2. Denna punkt följer direkt av axiom (i).
3. Låt h ∈ H. Då finns enligt axiom (iv) inverser h−1H ∈ H och h−1 ∈ G. Då gäller att hh−1 = eG= eH = hh−1H av punkt 1, så med kancellering i G fås att h−1H = h−1 ∈ H.
QED Sats 1.22. Låt G vara en grupp och ∅ 6= H ⊆ G. Då är H ≤ G om och endast om:
(g, h) ∈ H × H =⇒ gh−1 ∈ H. (4)
Bevis. Antag att H ≤ G. Låt (g, h) ∈ H × H. Eftersom H är en grupp, finns h−1 ∈ H.
Eftersom H är sluten, måste gh−1 ∈ H.
Antag istället att ekvation (4) gäller. Eftersom ∅ 6= H finns minst ett element x ∈ H.
Då gäller att x ∈ G och
(x, x) ∈ H × H =⇒ xx−1 = eG ∈ H.
Då måste även
(eG, x) ∈ H × H =⇒ eGx−1 = x−1 ∈ H ∀x ∈ H.
Slutligen, tag ytterligare ett element y ∈ H, inte nödvändigtvis skilt från x.
(x, y−1) ∈ H × H =⇒ x(y−1)−1= xy ∈ H
där det sista steget använder resultatet från Följdsats 1.11. Alltså gäller punkt 1–3 från Sats 1.21 och därför måste H vara en delgrupp till G. QED
1.3 Några exempel på grupper
Exempel 1.23 (Heltalen). Definiera gruppen (Z, +) som mängden av alla heltal, Z, tillsammans med operatorn addition, +. Gruppen är sluten under sin operator, identiteten är 0 och varje element har en invers: n + (−n) = 0.
Exempel 1.24 (Heltalen modulo n). Låt n ∈ N. Definiera ekvivalensrelationen a ∼ b ⇐⇒ a ≡ b (mod n) på Z. Då ges gruppen (Zn, +) av kvotmängden (Z/ ∼) = {[0], [1], . . . , [n − 1]}, tillsammans med addition [a] + [b] = [a + b].
Exempel 1.25 (Permutationsgrupper). Den symmetriska gruppen på en mängd A betecknas Sym(A) och består av alla bijektioner σ : A → A, med sammansättning (σ ◦ π)(a) = σ(π(a)) som gruppoperation. Den symmetriska gruppen till en ändlig mängd A = {a1, a2, . . . an} är isomorf (se Definition 1.45) med den symmetriska gruppen på mängden In := {1, 2, . . . , n} genom isomorfin som definieras av ai 7→ i, så denna grupp har fått en egen beteckning, Sn. Element i Sn skrivs ofta på formen:
σ = 1 2 3 . . . n i1 i2 i3 . . . in
, ij ∈ In ∀j ∈ In
med tolkningen σ(j) = ij. Alla permutationer kan skrivas som en produkt av cykliska permutationer. Ett annat sätt att skriva permutationer på är därför som en produkt av cykler. En k-cykel skrivs som
σ = (i1, i2, . . . , ik) där σ(ij) = ij+1 (mod k),
och σ(k) = k för alla element k ∈ In som inte är i cykeln. Identiteten i Sym(A) ges av enhetsoperatorn e : e(a) = a ∀a ∈ A. Inversen till varje bijektion σ ges av σ−1 som existerar eftersom σ per definition är inverterbar. Delgrupper till de symmetriska grupperna kallas permutationsgrupper.
Sats 1.26 (Cayley’s sats). Varje grupp G är upp till isomorfi (se Definition 1.45) en delgrupp till den symmetriska gruppen Sym(G).
Bevis. Detta fås genom avbildningen λ : G → Sym(G) definierad som λ(g) = λg där λg(a) = ga för varje a ∈ G. Det kan lätt kontrolleras att λg−1 är en invers till λg, så λg är bijektiv. Alltså är λg ∈ Sym(G) och λ är därför väldefinierad. Vidare, λgh(a) = gha = λg(λh(a)) så λ är en homomorfi. λ är dessutom injektiv, ty λg = λh medför att ga = ha för a ∈ G vilket ger g = h efter kancellering. λ : G → λ(G) ⊂ Sym(G) är därför
en isomorfi. QED
Exempel 1.27 (Dihedrala gruppen). Den dihedrala gruppen Dndefinieras som mängden av alla symmetrier på en regelbunden n-hörning, med sammansättning som gruppopera- tion. Det finns totalt 2n sådana symmetrier, varav n är speglingar och n är rotationer.
Ibland skrivs därför D2n istället för Dn. Alla symmetrier på n-hörningen kan bildas ge- nom sammansättningar av speglingarna i två symmetriaxlar som bildar vinkeln πn. Man säger att dessa två speglingar genererar den dihedrala gruppen, ett begrepp som intro- duceras i Definition 1.58. Framöver kommer vi använda notationen D2n för den dihedrala gruppen.
Figur 1: Varje streckad linje genom kvadratens centrum representerar en av de fyra spe- gelsymmetrierna i D8.
Exempel 1.28 (Matrisgrupper). Genom att multiplicera två n × n-matriser fås en ny n × n-matris, man kan därför definiera grupper med kvadratiska matriser som element.
Om Mn(R) är mängden av alla n × n-matriser med element i R, definieras den generella linjära gruppen som mängden
GLn(R) := {Q ∈ Mn(R) : det(Q) 6= 0} ⊂ Mn(R),
tillsammans med matrismultiplikation. Att determinanten är nollskild är nödvändigt för att varje element ska ha en invers. Den speciella linjära gruppen definieras som mäng- den
SLn(R) := {Q ∈ GLn(R) : det(Q) = 1} ⊂ GLn(R)
och är en delgrupp till GLn(R). Den ortogonala gruppen definieras som mängden On(R) := {Q ∈ GLn(R) : Q−1 = QT} ⊂ GLn(R)
där QT är transponatet till Q och Q−1 är inversen till Q. Gruppen On(R) kan även definieras i termer av ett godtyckligt reellt vektorrum V utan bas. Om V är ett reellt vektorrum med den inre produkten · och normen ||v|| = √
v · v (ett så kallat Euklidiskt vektorrum), definieras O(V ) som mängden av alla ortogonala transformationer på V , nämligen
O(V ) := {f : V → V är linjär : u · v = f (u) · f (v) ∀u, v ∈ V }.
Exempel 1.29 (Reflektionsgrupper). En reflektion är en linjär operator på Rn som speglar varje vektor i Rni något hyperplan. Om en grupp G genereras (se Definition 1.58) av en mängd reflektioner kallas G för en reflektionsgrupp.
Anmärkning 1.30. Låt v ∈ Rn. Varje hyperplan P har en normalvektor α ∈ Rn. Reflek- tionen vr av v ∈ Rn i P ges då av
vr =
S
z }| {
In− 2ααT αTα
v.
där Inär identitetsmatrisen. Utan att förlora i generalitet, låt α vara normerad (uttrycket ovan är oberoende av längden av α), det vill säga αTα = 1. Det gäller att S är symmetrisk, eftersom
Sij = δij − 2αiαj = δji− 2αjαi = Sji. Dessutom är S = S−1, ty
(SS)ij = (ei− 2αiα) · (ej − 2αjα) = δij− 4αiαj+ 4αiαj = δij,
där ei är enhetsvektorer med element (ei)j = δij, δij är 1 om i = j, 0 annars. Alltså är STS = Inoch därför S ∈ On(R). Därför är grupper som genereras av reflektioner delgrup- per till On(R), Vidare, reflektionerna uppfyller även att S2 = In så de är involutioner.
Exempel 1.31. Mängden av alla bijektiva funktioner på [0, 1], F = {f : [0, 1] → [0, 1] : f är bijektiv}, definierar en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation, det vill säga för f, g ∈ F definieras (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Att varje element i F är bijektiv är nödvändigt för att varje element ska ha en invers.
Exempel 1.32. Mängden av alla möjliga rotationer (och kombinationer av rotationer) som kan utföras på Rubiks kub utgör en grupp, med sammansättning som gruppope- ration. Inversen till varje sekvens av rotationer fås genom att reversera ordningen och riktningen på dem.
1.4 Sidoklasser, kvotgrupper och Lagranges sats
Definition 1.33 (Sidoklass). Låt G vara en grupp och H ≤ G. Vänstersidoklassen gH respektive högersidoklassen Hg till H med avseende på ett element g ∈ G definieras som
gH := {gh : h ∈ H}, Hg := {hg : h ∈ H}.
Om det för varje g ∈ G gäller att gH = Hg, sägs att H är en normal delgrupp till G, vilket skrivs H / G.
Sats 1.34. Låt g1, g2 vara element i en grupp G och H ≤ G. Då är följande påståenden ekvivalenta:
1. g1H = g2H 2. Hg1−1 = Hg−12 3. g1H ⊆ g2H 4. g2 ∈ g1H 5. g1−1g2 ∈ H
Bevis. Implikationen 1 =⇒ 3 är trivial. Antag att 3 gäller. Då finns h, h0 ∈ H så att g1h = g2h0 =⇒ g1 = g2h0h−1, alltså gäller 3 =⇒ 4. Antag att 4 gäller. Då finns ett h ∈ H så att g2 = g1h. Men då måste g−11 g2 = h ∈ H, alltså 4 =⇒ 5.
Antag att 5 gäller, och låt h ∈ H samt h0 = g−11 g2. Då fås att hh0g2−1 = g1h, vilket medför att Hg1−1 ⊆ Hg−12 . Det gäller även att hh0−1g1−1 = hg2−1, så Hg−12 ⊆ Hg1−1. Alltså måste 5 =⇒ 2 gälla. Antag att 2 gäller. Låt h1 ∈ H. Då finns ett h2 ∈ H så att h−11 g1−1 = h2−1g2−1. Men då måste g1h1 = (h1−1g1−1)−1 = (h−12 g2−1)−1 = g2h2. Alltså är g1H ⊆ g2H. Analogt fås att g2H ⊆ g1H. Alltså måste 1 gälla. Vi har nu visat att 1 =⇒ 3 =⇒ 4 =⇒ 5 =⇒ 2 =⇒ 1 vilket avslutar satsen. QED Sats 1.35 (Ordning av sidoklass). Låt H ≤ G vara grupper. Då är |H| = |gH| ∀g ∈ G.
Bevis. Definiera avbildningen f : H → gH genom h 7→ gh. Att f är injektiv och väl- definierad följer direkt av Sats 1.10. Att f är surjektiv följer av definitionen av gH.
Alltså är f bijektiv. Om H är ändlig måste därför |H| = |gH|∀g ∈ G, annars är
|H| = |gH| = ∞. QED
Sats 1.36 (Bijektion mellan sidoklasser). Låt G vara en grupp och H ≤ G. Då finns lika många vänstra sidoklasser till H som det gör högra sidoklasser.
Bevis. Låt LH och RH vara mängden av alla vänstra respektive högra sidoklasser. De- finiera en avbildning f : LH → RH genom gH 7→ Hg−1. Antag att g1H = g2H. Då fås Hg1−1 = Hg2−1 genom punkt 1 och 2 i Sats 1.34, så
f (g1H) = Hg−11 = Hg2−1 = f (g2H).
Alltså är f väldefinierad. Vidare, om Hg ∈ RH kan vi välja g−1 ∈ G : f (g−1H) = H(g−1)−1 = Hg, så f är surjektiv. Låt g1H, g2H vara sidoklasser så att f (g1H) = Hg−11 = Hg2−1 = f (g2H). Återigen fås genom Sats 1.34 att g1H = g2H, därför är f injektiv. Alltså
är f bijektiv. Därför måste |LH| = |RH|. QED
Definition 1.37 (Index). Låt G vara en grupp och H ≤ G. Då definieras index [G : H]
av H i G som antalet distinkta vänstra sidoklasser av H i G. Det är uppenbart att [G : H] ≥ 1.
Sats 1.38 (Lagranges sats). Låt G vara en grupp och H ≤ G. Då partitioneras G av sidoklasserna till H i G. Vidare, |G| = |H|[G : H].
Bevis. Definiera funktionen
∼ : G → {sant, falskt} : ∼ (g1, g2) =
(sant, om g1H = g2H falskt, om g1H 6= g2H Relationen ∼ är en ekvivalensrelation, ty ∼ är
(i) Reflexiv, eftersom gH = gH.
(ii) Symmetrisk, eftersom g1H = g2H ⇐⇒ g2H = g1H
(iii) Transitiv, eftersom (g1H = g2H) och (g2H = g3H) =⇒ g1H = g3H.
Av Sats 1.3 följer därför att ekvivalensklasserna [g]∼ := {x ∈ G : xH = gH} partitionerar G. Enligt Sats 1.34 gäller xH = gH ⇐⇒ x ∈ gH, vilket medför att [g]∼ = {x ∈ G : x ∈ gH} = gH. Detta visar att G partitioneras av sidoklasserna till H. Låt nu n := [G : H].
Eftersom G partitioneras av sidoklasserna till H, måste det finnas element {gi}ni=1, giH ∩ gjH = ∅ ∀i 6= j : G =
n
[
i=1
giH.
Via Sats 1.35 fås att |giH| = |H|. Då måste det gälla att
|G| =
n
X
i=1
|giH| =
n
X
i=1
|H| = n|H| = |H|[G : H].
QED Sats 1.39 (Normal delgrupp ekvivalenssats). Låt H vara en delgrupp till en grupp G.
Då är följande påståenden ekvivalenta:
(1) H / G
(2) gHg−1 ⊆ H ∀g ∈ G (3) gHg−1 = H ∀g ∈ G
Bevis. Vi visar satsen i fyra delar:
• Antag (1), alltså att H är normal i G. Då gäller att
gHg−1 = g(Hg−1) = g(g−1H) = {gg−1h, h ∈ H} = {h, h ∈ H} = H, Därför fås att (1) =⇒ (3).
• Antag (3). Betrakta gh ∈ gH. Då gäller att gh = ghe = gh(g−1g) = (ghg−1)g men eftersom gHg−1 = H måste ghg−1 ∈ H och därför måste även gh ∈ Hg per definition. Eftersom g−1Hg = H kan vi på samma sätt genom g−1hg ∈ H visa att hg = (gg−1)hg = g(g−1hg) =⇒ hg ∈ gH. Då gäller gH ⊆ Hg ⊆ gH och därför är gH = Hg. Alltså fås att (3) =⇒ (1).
• Antag (2).Givet ett g ∈ G och h ∈ H, låt a = g−1hg ∈ H. Att a finns i H följer av (2). Vidare, gHg−1 3 gag−1 = g(g−1hg)g−1 = h. Alltså h ∈ gHg−1∀g och därför fås att (2) =⇒ (3).
• Uppenbarligen, gHg−1 = H =⇒ gHg−1 ⊆ H. Därför gäller att (3) =⇒ (2).
Vi har nu visat att (1) ⇐⇒ (3) ⇐⇒ (2). QED
Definition 1.40 (Kvotgrupp). Låt N vara en normal delgrupp till G. Definiera ekviva- lensrelationen ∼ på samma sätt som i Sats 1.38. Beteckna kvotmängden G/ ∼, det vill säga mängden av alla sidoklasser till N i G, som G/N . Definiera en operation ◦ genom (aN ) ◦ (bN ) = abN på G/N . Paret (G/N, ◦) kallas för kvotgruppen av G och N . Sats 1.41. Om N / G är kvotgruppen G/N en grupp.
Bevis. Att operationen är väldefinierad är inte självklart. Välj a, b, c ∈ G. Då vill vi visa att om aN = bN så är (aN )(cN ) = (bN )(cN ). Men aN = bN =⇒ a−1b ∈ N av Sats 1.34. Vidare, (ac)−1(bc) = c−1(a−1b)c ∈ N eftersom a−1b ∈ N och N / G =⇒
gN g−1 ∀g ∈ G med Sats 1.39. Genom att igen tillämpa Sats 1.34 ser vi att acN = bcN . Det är alltså nödvändigt att N är en normal delgrupp till G för att operationen ska vara väldefinierad. Identiteten i G/N är eN = N , och inversen till något element gN är g−1N .
Slutenhet följer av operatorns definition. QED
Exempel 1.42. Om G är en abelsk grupp så är alla delgrupper H ≤ G normala i G, eftersom gH = {gh : h ∈ H} = {hg : h ∈ H} = Hg.
Exempel 1.43. Gruppen Znär isomorf med kvotgruppen Z/nZ, där nZ ≤ Z är gruppen av alla heltal som är multiplar av n ∈ N, tillsammans med addition som operator. Notera att notationen nZ är något missvisande; nZ är inte är en sidoklass till mängden Z ⊂ Z.
Exempel 1.44. Betrakta Z12 och delgruppen N = {0, 3, 6, 9}. Då är N en normal del- grupp till Z12 eftersom aN = {a, a + 3, a + 6, a + 9} = {a, 3 + a, 6 + a, 9 + a} = N a för alla a ∈ Z12(N är isomorf med Z4). Kvotgruppen Z12/N har då elementen {0N, 1N, 2N } och är isomorf med Z3. Detta följer direkt av den tredje isomorfisatsen (se Sats 1.53), ty Z12/N ∼= 3Z/12ZZ/12Z ∼= Z/3Z ∼= Z3, där nZ är gruppen av alla multiplar av n i Z med addition. Lagranges sats gäller ty 12 = |Z12| = |N ||Z12/N | = 3 · 4.
1.5 Grupphomomorfier och isomorfisatserna
Definition 1.45 (Homomorfi). Låt (G, ◦), (H, •) vara grupper. En avbildning φ : G → H kallas för en homomorfi från G till H om den uppfyller att
φ(g ◦ h) = φ(g) • φ(h) ∀(g, h) ∈ G × G. (5) Kärnan till φ definieras som ker φ := {g ∈ G : φ(g) = eH} där eH är identiteten i H, och den homomorfa bilden av φ definieras som φ(G) := {φ(g) : g ∈ G}. Om φ även är en bijektion, kallas φ för en isomorfi. Om det finns en isomorfi mellan två grupper G och H skrivs G ∼= H.
Anmärkning 1.46. Två isomorfa grupper är i princip lika. All struktur från gruppopera- torn ärvs genom isomorfin, så grupperna är lika sånär som på ett byte av symboler. Att beräkna produkten i den ena gruppen är alltså ekvivalent med att avbilda variablerna på den andra gruppen, beräkna produkten och sen ta inversen. Isomorfi är ett mycket viktigt begrepp inom gruppterori, eftersom det är ett sätt att sortera bort all “överflödig”
information om en grupp.
Sats 1.47. Låt φ : G1 → G2 vara en homomorfi från en grupp G1 till en grupp G2. Då är
1. φ(eG1) = eG2
2. φ(g−1) = φ(g)−1 ∀g ∈ G1
3. Om H1 ≤ G1 gäller för bilden φ(H1) av H1 att φ(H1) ≤ G2. Homomorfin avbildar alltså delgrupper på delgrupper.
4. Om H2 ≤ G2 så är mängden φ−1(H2) := {g ∈ G1: φ(g) ∈ H2} en delgrupp till G1. Bevis. Beviset delas upp punktvis.
1. Med kancellering fås att
eG2φ(eG1) = φ(eG1eG1) = φ(eG1) phi(eG1) =⇒ eG2 = φ(eG1).
2. Det gäller från punkt 1 att
φ(g)−1 = eG2φ(g)−1 = φ(g−1g)φ(g)−1 (5)= φ(g−1)φ(g)φ(g)−1 = φ(g−1).
3. Låt φ(x), φ(y) ∈ φ(H1). Då måste φ(x)φ(y)−1 = φ(xy−1) ∈ φ(H1) eftersom xy−1 ∈ H1 gäller av Sats 1.22. Men då uppfyller även φ(H1) detta kriterie, så φ(H1) är en delgrupp till G2.
4. Låt x, y ∈ φ−1(H2). Då gäller att φ(xy−1) = φ(x)φ(y)−1 ∈ H2 eftersom H2 är en delgrupp till G2. Alltså måste xy−1 ∈ φ−1(H2) så φ−1(H2) uppfyller kriteriet i Sats 1.22 och är därför en delgrupp till G1.
QED Sats 1.48 (Kärna normal delgrupp). Låt φ : G → H vara en homomorfi från en grupp G till H. Då är ker φ / G.
Bevis. Låt N := ker φ = φ−1({eG}). N är en delgrupp till G enligt punkt 4 i Sats 1.47.
Tag nu n ∈ N och låt g ∈ G. Då måste
φ(gng−1) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 = φ(g)φ(g)−1 = e,
så gng−1 ∈ N . Därför är gN g−1 ⊂ N . Enligt Sats 1.39 är N en normal delgrupp till
G. QED
Sats 1.49. Låt G ∼= H vara grupper med en isomorfi φ : G → H. Då är φ−1: H → G en isomorfi.
Bevis. Låt h, h0 ∈ H. Då finns unika g, g0 ∈ G sådana att φ(g) = h och φ(g0) = h0. Då gäller att
φ−1(hh0) = φ−1(φ(g)φ(g0)) = φ−1(φ(gg0)) = gg0 = φ−1(h)φ−1(h0),
vilket avslutar satsen. QED
Definition 1.50 (Kanoniska homomorfin). Låt H / G. Den kanoniska homomorfin φ : G → G/H definieras genom φ(g) = gH.
Sats 1.51 (Första isomorfisatsen). Låt G och H vara grupper med en homomorfi ψ : G → H. Om φ : G → G/ ker ψ är den kanoniska homomorfin finns en unik isomorfi
η : G/ ker ψ → ψ(G),
där ψ(g) = η(φ(g)) ∀g ∈ G, det vill säga att diagrammet nedan kommuterar.
G H
G/ ker ψ ψ φ η
Bevis. Se Sats 11.10 i [Jud18]. QED
Sats 1.52 (Andra isomorfisatsen). Låt G vara en grupp och N / G vara en normal delgrupp till G och H ≤ G vare en delgrupp till G. Då är HN := {hn : n ∈ N, h ∈ H}
en delgrupp till G, H ∩ N / G och
H/(H ∩ N ) ∼= (HN )/N.
Bevis. Se Sats 11.12 i [Jud18]. QED
Sats 1.53 (Tredje isomorfisatsen). Låt G, H, N vara grupper så att H / G, N / G och N ⊆ H. Då är
G/H ∼= G/N H/N.
Bevis. Se Sats 11.14 i [Jud18]. QED
1.6 Genererade grupper
Definition 1.54 (Cyklisk delgrupp). Låt (G, ◦) vara en grupp och g ∈ G. Definiera hgi := {gk: k ∈ Z}. Då är (hgi, ◦) den minsta delgruppen till G som innehåller g. Om det finns ett a ∈ G så att hai = G, kallas G för en cyklisk grupp, och g kallas för en generator till G.
Exempel 1.55. För alla n ∈ N är Znen cyklisk grupp eftersom 1 genererar hela gruppen.
Definition 1.56 (Ordning). Låt G vara en grupp och g ∈ G. Låt k ∈ N vara det minsta positiva heltalet så att gk = e. Då sägs att g har ordning k, och man skriver |g| = k.
Om inget sådant heltal finns, sägs g ha oändlig ordning, och man skriver |g| = ∞.
Sats 1.57 (Ordning av cyklisk grupp). Låt G vara en ändlig cyklisk grupp med generatorn g. Då gäller att |G| = |g|.
Bevis. Definiera en avbildning ψ : Z → G genom ψ(n) = gn. Då är ψ en homomorfi, ty ψ(n + m) = gm+n = gmgn = ψ(m)ψ(n) ∀m, n ∈ Z.
Vidare, ker ψ ges av n ∈ Z : gn = e. Detta gäller om och endast om g−n= e, så antag utan att förlora i generalitet att n ∈ N. Låt k = |g|. Med restdivision får vi att n = km + r där m ∈ N, r ∈ N och r < k. Då måste
gn = gkm+r = gkmgr = gr = e.
Men k är det minsta positiva talet sådant att gk = e, därför måste r = 0. Alltså ges kärnan av exakt kZ. Av första isomorfisatsen (se Sats 1.51) finns nu en isomorfi Zk ∼= Z/kZ→ G.∼= Därför måste Zk∼= G, alltså |G| = |Zk| = k = |g|. QED Definition 1.58 (Genererad grupp). Låt S vara en delmängd till en grupp G. Gruppen hSi som genereras av S definieras som mängden av alla produkter av elementen i S och deras inverser. Alltså:
hSi = n
s1k1sk22· · · snkn: si ∈ S, ki ∈ {−1, 1} ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ No . Elementen i S kallas för generatorer till hSi.
Sats 1.59 (Minsta delgruppen). Låt S vara en delmängd till en grupp G. Då är hSi en delgrupp till G. Vidare, hSi är den minsta delgruppen till G som innehåller S.
Bevis. Enligt Sats 1.22 räcker det att visa att g, h ∈ hSi =⇒ hg−1 ∈ hSi. Tag g, h ∈ hSi. Då finns per definition tal n, m ∈ N, tal {ki}ni=1, {li}mi=1 i {−1, 1} och ele- ment {gi}ni=1, {hi}mi=1 i S så att g = g1k1g2k2. . . gnkn och h = h1l1hl22. . . hlmm. Per definition av hSi gäller att
gh−1 = g1k1gk22. . . gnknh−lmm. . . h−l2 2h−l1 1 ∈ hSi.
Eftersom gi, hi ∈ S, ki, −li i {−1, 1} och m + n ∈ N. hSi är alltså en delgrupp till G.
S ∈ hSi eftersom s1 ∈ hSi ∀s ∈ S. Vidare, hSi är den minsta delgruppen till G som innehåller S, eftersom varje delgrupp K till G så att S ⊆ K måste innehålla hSi, annars
är inte K sluten. QED
Exempel 1.60. Om G är en grupp och g ∈ G är ett element i g, är h{g}i = hgi, så intuitivt stämmer definitionen överens med cykliskt genererade grupper.
Exempel 1.61. Tag C = {2, 3} ⊆ Z6. Då är hCi = Z6.
Definition 1.62 (Konjugathölje). Låt S vara en delmängd till en grupp G. Definiera SG som mängden av alla konjugatelement till S i G, det vill säga:
SG = {gsg−1: g ∈ G, s ∈ S} = [
g∈G
gSg−1.
Konjugathöljet till S i G definieras som hSGi.
Sats 1.63 (Minsta normala delgruppen). Låt S vara en delmängd till en grupp G. Då är hSGi den minsta normala delgruppen till G som innehåller S.
Bevis. Enligt Sats 1.59 är hSGi den minsta delgruppen till G som innehåller SG. Enligt Sats 1.39 är hSGi ≤ G normal i G om och endast om ghSGig−1 ⊆ hSGi ∀g ∈ G. Låt x ∈ hSGi. Då finns ett tal n ∈ N och {ki}ni=1 i {−1, 1} samt {gi}ni=1 i G och {si}ni=1 i S, så att:
x = (g1sk11g1−1)(g2s2k2g2−1) . . . (gnsknng−1n ).
För något g ∈ G gäller att
gxg−1 = g(g1sk11g−11 )(g2s2k2g−12 ) . . . (gnsknngn−1)g−1
= g(g1sk11g1−1)(g−1g)(g2sk22g2−1)(g−1g) . . . (g−1g)(gnsknngn−1)g−1
= (gg1sk11g1−1g−1)(gg2sk22g−12 g−1) . . . (ggnsknngn−1g−1)
= (g1∗sk11g1∗−1)(g2∗s2k2g2∗−1) . . . (gn∗sknngn∗−1)
| {z }
∈hSGi
,
där gi∗ = ggi ∈ G ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. Därför måste gxg−1 ∈ hSGi och därför är hSGi normal i G. SG är per definition den minsta mängden som innehåller alla konjugat till element i S. För att en grupp K så att S ⊆ K ≤ G ska vara normal på G krävs genom Sats 1.39 att SG ⊆ K, och den minsta gruppen som uppfyller detta är alltså hSGi. Därför måste hSGi vara den minsta normala delgruppen till G som innehåller S. QED Exempel 1.64. Om S är en delmängd till en abelsk grupp G är SG = {gsg−1: g ∈ G, s ∈ S} = {s : s ∈ S} = S, så hSGi = hSi.
Exempel 1.65. Om S3 är mängden av alla permutationer av {1, 2, 3} och vi betraktar delmängden S = {(12)}, det vill säga permutationen som byter plats på det första och andra objektet (se Definition 1.25), så är SG= {(12), (23), (31)} och hSGi = S3.
2 Ordproblemet
Det finns andra sätt att definiera grupper än som en mängd G tillsammans med en bi- när operator ◦ på formen (G, ◦). Ett alternativ är att definiera en grupp med en mängd S tillsammans med en uppsättning relationer R på produkter av elementen i mängden, vilka implicit genererar en grupp hS | Ri när gruppaxiomen påtvingas. Ett problem som uppstår med detta sätt att definiera grupper är hur relationerna kan användas för att bestämma om två produkter av element är lika. Detta problem brukar kallas för ordpro- blemet. Detta avsnitt baseras på D.L. Johnsson [Joh97] samt föreläsningsanteckningar från M. Cohen [Coh08].
Exempel 2.1. I permutationsgruppen S3 så är
(1 2 3) = (1 3)(1 2) = (1 3)(2 3)(1 2)(1 3) = . . . .
I allmänhet, givet en produkt av permutationer i S3, så är det enkelt att avgöra värdet på produkten genom att undersöka vad produkten avbildar 1, 2 och 3 på.
Exempel 2.2. I Z4 så är
1 = 2 + 3 = 3 + 3 + 3 = . . . .
I allmänhet så är a + b + c + · · · = 1 i Z4 om och endast om a + b + c + · · · ≡ 1 (mod 4) Exempel 2.1 och 2.2 demonstrerar att det är enkelt att avgöra om två produkter eva- lueras till samma element i grupperna S3 och Z4, ordproblemet är därmed löst i dessa två grupper. I båda fallen presenteras en algoritm som kan avgöra om två produkter evalueras till samma element eller inte, men existens av en sådan algoritm är inte garanterad för godtyckliga grupper.
2.1 Ord och förkortning av ord
Definition 2.3 (Ord). Låt S vara en mängd. Uttrycket
s11s22. . . snn, där si ∈ S, i = ±1 ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}
kallas för ett ord i S. Ordet sägs ha längden n och betecknas `(w) = n. Det tomma ordet ε (eller bara ett tomt mellanrum), är det unika ordet som har längd 0. Om ett element upprepas på rad i ett ord kan det istället skrivas med hjälp av exponentiering, exempelvis a−1a−1baaa = a−2ba3. Med att evaluera ett ord menas att betrakta S som en delmängd i en grupp G och betrakta ordet som en produkt av element i G, evalueringen av ett ord är alltså ett element i G.
Anmärkning 2.4. Uttrycket s11. . . snn används för att beteckna ett ord. För att beteckna en produkt av gruppelement, evalueringen av ordet, används istället notationen s11· · · snn. Av situationen kommer även framgå om ett sådant uttryck ska betraktas som ett ord eller en produkt av gruppelement.
Exempel 2.5. Betrakta mängden S = {x, y, z}. Exempel på ord som kan bildas från element i S är
• xyx
• xx−1z−1x
• ε (det tomma ordet)
• z
Definition 2.6 (Delord). Låt w = s11s22. . . skk vara ett ord i S. Ett ord v = tξ11tξ22. . . tξll är ett delord till w om det existerar en heltalsföljd {ni}li=1 sådan att
1 ≤ n1 < n2 < · · · < nl ≤ k tξii = snnii ∀ i ∈ {1, 2, . . . , l}
Om ni = ni−1+ 1 för alla i > 0, sägs v vara ett sammanhängande delord till w.
Exempel 2.7. Betrakta ordet w = abcaacc. Följande ord är delord till w:
1. abcaa (sammanhängande delord) 2. aaa
3. bac 4. abcaacc 5. ε
Definition 2.8 (Förkortning). Låt S vara en mängd och s11s22. . . snn ett ord i S. Om sii = s−i+1i+1 så kallas operationen
s11s22. . . si−1i−1siisi+1i+1si+2i+2. . . snn 7→ s11s22. . . si−1i−1si+2i+2. . . snn
för en förkortning. Om ingen förkortning kan utföras på ett visst ord sägs att ordet är förkortat.
Exempel 2.9. Låt mängden S = {a, b}, om a−1abb är ett ord i S så kan a−1abb förkortas till ordet bb. Ordet bb är ett förkortat ord.
Sats 2.10. Varje ord w i någon mängd S kan förkortas till ett unikt förkortat ord r.
Bevis. Om w är förkortat till att börja med, är vi klara. Annars finns ord u, v i S och ett element s ∈ S så att w = uss−1v eller w = us−1sv. Anta att w med en följd förkortningar kan förkortas till något förkortat ord r. Då vill vi visa att varje följd av förkortningar till r kan göras så att w → uv är den första förkortningen i följden. Då fås ett nytt ord w0 med `(w0) < `(w) så att w0 också kan förkortas till r, och av induktion följer att oavsett vilken följd av förkortningar vi väljer så blir resultatet r. Antag att w = uss−1v (w = us−1sv hanteras på samma sätt) och kalla förkortningen ss−1 → ε för f . Om följden av förkortningar till r innefattar f , kommer alla förkortningar innan f göras i u och v, och lämna delordet ss−1 orört. I det fallet kan vi göra f först utan att ändra resultatet.
Antag istället att f inte är med bland förkortningarna. Då måste det finnas en förkortning som antingen förkortar bort s−1 eller s, alltså att vi har ett ord på formen u0s−1(ss−1)v0 eller u0(ss−1)sv0 där alla föregående förkortningar har lämnat f orörd. Resultatet av den nu följande förkortningen blir u0s−1v0 eller u0sv0, men då hade lika gärna f kunnat göras i början, och resultatet hade fortfarande blivit detsamma. Alltså kan alltid f flyttas till början av förkortningarna, och därför följer att r är det unikt förkortade ordet av induktion.
QED
2.2 Den fria gruppen
Definition 2.11 (Fria gruppen). Låt S vara en mängd, och låt FS vara mängden av alla förkortade ord i S. Operatorn ◦ : FS × FS → FS ges av sammanfogning (följt av förkortning om det är möjligt), det vill säga
(s11s22. . . snn) ◦ (tξ11tξ22. . . tξmm) 7→ (s11s22. . . snnt1ξ1tξ22. . . tξmm) följt av förkortning.
Gruppen (FS, ◦) kallas för den fria gruppen på S. Om |S| = n ∈ N, skrivs ofta Fnistället för FS, eftersom alla fria grupper till mängder med samma kardinalitet är isomorfa. Fn kallas för den fria gruppen av rank n. Betraktat som en grupp, vilket vi snart ska se är möjligt (se Sats 2.13), gäller att FS = hSi.
Exempel 2.12. Låt S = {a}, då ges FS av
FS = {. . . , a−1a−1, a−1, , a, aa, . . . } = {ak, k ∈ Z}
Det finns även en naturlig isomorfi till Z genom φ(an) = n, alltså är FS ∼= Z.
Sats 2.13. Låt S vara en mängd. Då är den fria gruppen FS en grupp.
Bevis. Till att börja med måste vi visa att ◦ är väldefinierad. Detta följer av Sats 2.10.
Gruppaxiom (i)–(iv) visas nedan:
(i) Att ◦ är sluten följer av att resultatet av en operation per definition resulterar i ett förkortat ord i S.
(ii) Tag u, v, w ∈ FS. Ordet uvw kan förkortas antingen genom att först förkorta uv, eller vw. Notera att detta är synonymt med att antingen ta produkten (u ◦ v) ◦ w, eller u ◦ (v ◦ w). Från Sats 2.10 vet vi att ordet uvw kan förkortas till ett unikt förkortat ord r. Därför måste u ◦ (v ◦ w) = r = (u ◦ v) ◦ w och alltså är ◦ associativ.
(iii) Det tomma ordet ε är identiteten på FS, ty ε ◦ w = w ◦ ε = εw = w ∀w ∈ FS. (iv) Varje ord w = s11s22. . . snn ∈ FS har en invers w−1 = s−n n. . . s−2 2s−1 1 ∈ FS där
i ∈ {−1, 1} ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. Att w ◦ w−1 = w−1◦ w = ε kan enkelt visas:
ww−1= s11s22. . . snns−n n. . . s−2 2s−1 1,
där vi kan eliminera snns−n n vilket resulterar i ordet s11s22. . . sn−1n−1s−n−1n−1. . . s−2 2s−1 1. Med induktion följer att vi kan reducera ww−1 till ε. Alltså måste w ◦ w−1 = ε. Att w−1◦ w = ε visas på samma sätt.
Vi har alltså visat gruppaxiom (i)–(iv). Därför måste FS vara en grupp. QED Framöver utelämnas ◦ när det rör sig om produkter i FS, och vi skriver istället w ◦ v = wv. Det är viktigt att skilja på när detta skrivsätt betraktas som en hopskrivning, och när det betraktas som en produkt i FS, då produkten medför att hopskrivningen måste förkortas.
Sats 2.14. Låt S vara en mängd och FS vara den fria gruppen till S. Då har varje element w ∈ FS\ {ε} obegränsad ordning (se Definition 1.56), det vill säga att |w| = ∞.
