Subtraktionsstrategier från lärares perspektiv
Subtraction strategies from teacher's perspective
Lina Bernhardsson
Grundlärare, förskoleklass, årskurs 1-3 2020
Luleå tekniska universitet
Institutionen för konst, kommunikation och lärande
Lärare ska utforma undervisningen på ett sätt där eleverna kan utveckla sitt lärande. I undervisningen i matematik ska eleverna lära sig att välja rätt räknestrategi som passar eleven i räkning av subtraktion (Skolverket, 2019). Syftet med den här studien är att belysa lärarnas val av subtraktionsstrategier i undervisning i årskurserna 1–3. Forskning visar att subtraktion är ett av de räknesätt i matematik som anses vara svårt för lärare att undervisa i. Det står i skolans läroplan (Skolverket, 2019) att elever ska få lära sig olika strategier för att kunna anpassa sitt räknande, vilket visar att lärarna måste ha kunskap i ett flertal gynnande strategier.
Som utgångspunkt i en lärandeteori valdes den kognitiva lärandeteori som behandlar hur elever lär sig och vad de behöver lära sig. I denna studie användes en kvalitativ metod som med hjälp av lärarintervjuer genomfördes för att ta reda på deras val av strategier och vilka strategier de ansågs vara gynnande för eleverna. Lärarintervjuerna genomfördes med fem stycken lärare i olika kommuner som valdes ut genom förfrågningar via sociala medier samt kontakt med studiens författare. Resultatet visade att lärare inte använder en strategi i undervisningen utan flertalet. Lärarna bekräftade att eleverna behöver få lära sig olika strategier. Lärarnas relation till subtraktion belystes samt orsaker till elevers eventuella svårigheter och negativa inställning.
Laborativt material används flitigt i några av lärarnas matematikklassrum och för det mesta tar lärare stöd i skolans läromedel. Fortsatt forskning kan vara en översyn av läromedel, att undersöka huruvida läromedlen har liknande innehåll och struktur för subtraktion samt om de har en stark koppling mellan subtraktion och addition.
Nyckelord: laborativt material, matematik, räknestrategi, subtraktion, undervisning.
Abstract
Teachers should design teaching in a way where students can develop their learning. In the teaching of mathematics, students will learn to choose the right calculation strategy that suits the student in counting subtraction (Skolverket, 2019). The purpose of this study is to shed light on the teachers' choice of subtraction strategies in teaching in grades 1–3. Research shows that subtraction is one of the maths in maths that is considered difficult for teachers to teach. It is stated in the school curriculum (Skolverket, 2019) that students should learn different strategies in order to adapt their calculations, which shows that teachers must have knowledge of a number of favorable strategies. As a starting point in a learning theory, the cognitive learning theory was chosen which deals with how students learn and what they need to learn. In this study, a qualitative method was used which, with the help of teacher interviews, was implemented to find out their choice of strategies and which strategies they considered to be beneficial to the students. The teacher interviews were conducted with five teachers in different municipalities.
The result showed that teachers do not use a strategy in teaching but the majority. The teachers confirmed that the students need to learn different strategies. The teachers 'relationship to subtraction was highlighted as well as reasons for students' possible difficulties and negative attitudes. Laboratory material is used extensively in some of the teachers' math classrooms and for the most part, support is provided in the school's teaching materials. Continued research may be a review of teaching materials, to investigate whether the teaching materials have similar content and structure for subtraction and whether they have a strong link between subtraction and addition.
Keywords: calculation strategy, laboratory material, mathematics, subtraction, teaching.
Förord
Först och främst vill jag ge det största tacket till alla informanter som ställde upp i min studie, utan er hade inte detta varit möjligt. Tack för era fylliga och bra svar med kloka reflektioner.
Jag hoppas vi en dag kan ses i verksamheten som kollegor och utbyta erfarenheter.
Tack till min handledare Hanna Viitala som har hjälpt mig genom detta arbete, och visat vägen fram till slutet av studien. Din kunskap och erfarenhet för detta är enorm och jag tackar för att jag fick ta del av den. Tack även till Maria Johansson som var handledare för andra gruppen för att ha gett input till studien utöver det som Hanna gav. Det var givande och betydelsefullt för studien. Ett stort tack till mina studiekamrater som med mig kämpat genom fyra års studier. Jag är glada att vi haft varandra som stöd under dessa år.
Ett stort tack till familj och vänner som stöttat mig i skrivandet av det här arbetet. Tack till Anna som gett feedback på mitt arbete och för att du lyssnat och hjälpt mig när jag behövt råd. Tack till min man som gett mig styrka och stöd när jag behövt det som mest, som har gett mig motivation när den lyst med sin frånvaro.
Tack.
Lina Bernhardsson Töre, juni 2020
Examensarbete i matematik U7012P
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
2 Syfte och forskningsfrågor ... 2
3 Bakgrund ... 2
3.1 Grundläggande subtraktion ... 2
3.2 Subtraktionsstrategier i undervisningen enligt tidigare forskning ... 3
3.3 Svårigheter vid subtraktion vid undervisning ... 5
3.4 Svårigheter vid subtraktion vid räkning ... 6
3.5 Taluppfattning och matematisk kompetens ... 7
3.6 Material ... 8
3.7 Lärarens roll för elevens utveckling ... 9
3.8 Lagar och förordningar ... 10
4 Teori ... 11
5 Metod ... 12
5.1 Kvalitativ metod ... 12
5.2 Urval ... 13
5.3 Semistrukturerade intervjuer ... 13
5.4 Etiska principer ... 15
5.5 Analys och bearbetning ... 16
5.6 Validitet och reliabilitet ... 17
6 Resultat ... 17
6.1 Förekommande subtraktionsstrategier i undervisning av subtraktion ... 17
6.2 Gynnande samt icke-gynnande subtraktionsstrategier ... 18
6.3 Elevers användning av strategier samt deras inställning till subtraktion ... 19
6.3.1 Samma strategi ... 19
6.3.2 Svårigheter ... 21
6.3.3 Inställning till subtraktion i matematikundervisningen ... 22
6.4 Sammanfattning av resultat ... 23
6.4.1 Vilka olika strategier i arbete med subtraktion beskriver lärare att de använder i årskurserna 1–3? ... 23
6.4.2 Vilka strategier anser lärarna vara gynnande för eleverna och varför? ... 24
6.4.3 Vilka strategier anser lärarna vara icke gynnande för eleverna och varför? ... 24
7 Diskussion ... 25
7.1 Tolkning av resultatet utifrån det kognitiva perspektivet ... 25
7.2 Metoddiskussion ... 26
7.3 Förekommande subtraktionsstrategier i undervisning av subtraktion ... 27
7.4 Gynnande samt icke-gynnande subtraktionsstrategier ... 28
7.4.1 Läromedel ... 28
7.4.2 Fingerräkning ... 29
7.5 Elevers användning av strategier samt deras inställning till subtraktion ... 29
7.5.1 Samma strategi ... 29
7.5.2 Svårigheter ... 30
7.5.3 Inställning till subtraktion i matematikundervisningen ... 31
8 Implikationer för yrket ... 31
9 Förslag för vidare forskning ... 32
10 Referenser ... 33 Bilaga 1 ...
Bilaga 2 ...
1
1 Inledning
”Matematik är roligt, spännande och användbart. Matematiken är den viktigaste och nyttigaste av alla vetenskaper. Matematik är svårt, teoretiskt, abstrakt och… nödvändigt!” (Dahl, 1991, baksidan av boken). Matematik utgör en stor del av en elevs skolgång och är både viktig och nyttig för kunskapsutvecklingen.
Under min verksamhetsförlagda utbildning erfarade jag att många elever finner matematikämnet utmanande. Jag har observerat att elever har en generellt sämre anknytning till matematik och i synnerhet subtraktion. Vid samspråk med andra lärare om vad elever använder för strategi till att räkna subtraktion, upptäckte jag att det finns mycket kunskap att inhämta och analysera inom det området. I samband med alla möten med andra lärare har det tillkommit reflektioner över hur lärare kan utveckla matematikundervisningen för elevernas gynnsamhet.
En till erfarenhet jag upplevt är att subtraktion verkar vara ett räknesätt som är svårare för eleverna att lära sig i jämförelse med addition, detta bekräftas med forskning som fastslår att subtraktion är svårare att lära sig (Fuson, 1986). Lärarna jag samspråkat med anser att det viktiga sitter i grunden av subtraktion, som handlar mycket om introduktionen. Lärarna nämnde även att det är viktigt med vilken räknestrategi eleven använder. Detta stämmer överens med det som står i skolans styrdokument (Skolverket, 2019), där nämns det att eleverna ska välja och använda lämpliga matematiska metoder, för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter.
Löwing (2011) skriver vid en sammanfattning av sin studie, att eleverna i lågstadiet har svårt att subtrahera med flyt. Detta kan bero på att läraren kanske inte tagit reda på om eleverna använder generaliserbara strategier vid matematikräkning eller om de verkligen förstår uppgiften. Enligt Läroplan för grundskolan, förskoleklass och fritidshemmet, hädanefter kallad Lgr11, ska elever få en grundläggande matematisk förståelse som kan nyttjas i vardagslivet (Skolverket, 2019). Detta framhävs även under lärarutbildningen. Studien kommer också behandla förekommande subtraktionsstrategier i undervisningen samt vilka av dem som är gynnande för elevernas matematikutveckling.
Matematik har redovisats vara ett ämne där elever har svårt att nå godkänd nivå (Sjöberg, Bergström & Nyberg, 2011). Matematik har därför blivit ett väl omprioriterat ämne med omfattande resurser. Trots detta har jag stött på elever som fortfarande inte ser matematik som ett lättare ämne och det är ofta negativ inställning till matematik, framför allt subtraktion. Vad är det som orsakar elevers eventuella svårigheter samt negativiteter i subtraktion? Forskning visar på att det kan uppkomma brister i den tidiga taluppfattningen, exempelvis subtraktion, vilket kan bidra till matematiksvårigheter under senare år (Neuman, 1993). För att eleven ska utveckla sina matematiska kunskaper i subtraktion behövs en grundläggande taluppfattning.
Med anledning till detta kommer den här studien att behandla vad som menas med elevers taluppfattning samt deras matematiska kompentens. Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) beskriver att god taluppfattning och elevernas grundläggande matematikkompetens går hand i hand. Med hjälp av en god taluppfattning förbereder lärarna eleverna i tidiga år för en mer påtaglig matematik för senare år. Med anledning av detta kommer denna studie bearbeta
2
möjliga orsaker till elevers eventuella svårigheter samt orsaker vid eventuell negativ inställning till subtraktion.
2 Syfte och forskningsfrågor
Syftet med studien var att belysa lärarnas val av strategier som används vid inlärning och undervisning av subtraktion. Med den här studien med kvalitativa metoder var syftet att skapa en djupare förståelse kring hur lärare kan utveckla och forma sin matematikundervisning till ett sätt som gynnar eleverna. Blivande lärare samt lärare har ett uppdrag vilket är att hjälpa eleven att utveckla grundläggande kunskaper i skolans ämnen samt en positiv inställning. I ämnet matematik handlar det om elevernas matematiska kunskaper och inställning.
Syftet resulterade till tre frågeställningar:
o Vilka olika strategier i arbete med subtraktion beskriver lärare att de använder i årskurserna 1–3?
o Vilka olika strategier anser lärarna vara gynnande för eleverna och varför?
o Vilka olika strategier anser lärarna vara icke gynnande och varför?
3 Bakgrund
Matematik är ett ämne som är omdiskuterat huruvida det finns brister i inlärningen och hur elevernas kognitiva förmåga lägger press på den matematiska förmågan, framför allt subtraktion (Häggblom, 2013). Detta avsnitt kommer att handla om vad Skolverket, tidigare forskning och litteratur säger om subtraktion och dess strategier. Vidare kommer det ges en djupare förståelse i vissa matematiska begrepp samt behandla vilka svårigheter som kan förekomma i subtraktion. Elevers matematiska utveckling i subtraktion handlar om att eleven behandlar sin matematiska kompentens och sin taluppfattning. Avsnittet kommer även ge en vidare förklaring kring matematisk kompetens och taluppfattning.
3.1 Grundläggande subtraktion
Subtraktion är en av de fyra räknesätten i matematik. Den korrekta matematiska definitionen av subtraktion är invers till addition (Larsson, 2011; Löwing, 2009). Term och differens är namnen på talen i subtraktion. I operationen 8 - 2 = 6 är 8 och 2 termer och 6 är differens. Vid illustration av subtraktion kan det förklaras att en mängd som delas upp i två delmängder och genom att ta bort en av delarna blir en differensmängd, exempelvis 9 – 3. Det kan delas ut en uppgift där det eftersöks en differens mellan två tal och automatiskt blir det att lägga till eller komplettera, exempelvis 8 + _= 15. Strategier är räknemetoder som används för att räkna ut en matematisk operation. Subtraktionsstrategier definieras som strategier vid användning av räkning vid subtraktion.
Det finns fyra olika kriterier för att kunna behärska subtraktion. Eleverna behöver kunna använda subtraktion som en matematisk modell. Eleven behöver därför kunna avgöra när ett
3
matematiskt problem kan tolkas som att vara en subtraktion. Den andra kriterien som Löwing (2009) beskriver är att eleven också behöver kunna identifiera olika strategier för att subtrahera samt förstå samspelet mellan subtraktion och addition (2009). McIntosh (2008) belyser strategier och metoder som exempelvis skriftliga beräkningar och huvudräkning, således de metoder människor använder för att lösa matematiska problem. Tredje kriterien som Löwing (2009) beskriver som är viktig för att kunna behärska subtraktion är automatisk hantering av de grundläggande subtraktionsoperationerna, att eleverna kan utföra dessa med flyt vid huvudräkning och problemlösning. En matematisk operation är flertal led där räknesätt används för att komma fram till en lösning. Exempelvis 5 - 2 = 3. Den fjärde och sista kriterien beskriver Löwing (2009) som att elever behöver kunna behärska en algoritm för att kunna subtrahera minst två tal med tre talsorter. Talsorter är de delarna i talen som kallas ental, tiotal, hundratal med mera (ibid.). Genom att behärska samtliga kriterier i räkning av subtraktion får eleven ett starkare förhållningssätt emot subtraktion och eleven behärskar det. Löwing (2009) beskriver även att detta inte räcker för läraren, utan läraren bör behärska kunskap för hur detta tas emot av eleven. Läraren bör exempelvis ta reda på vilka förutsättningar eleverna har. Genom detta kan lärare göra viktiga val av metoder, begrepp och räknestrategier att ta med i undervisningen i subtraktion.
För att eleverna ska kunna klara av en av punkterna i att behärska subtraktion, nämligen att upptäcka sambandet mellan addition och subtraktion, bör läraren behandla addition och subtraktion tillsammans. Att använda en annan subtraktionsstrategi som handlar om att kontrollräkna med addition (9 - 2 = 7, 9 - _ =2, 7+ 2 = 9), kan vara ett sätt för läraren att behandla addition tillsammans med subtraktion. Det är viktigt att eleverna blir introducerade för sambandet tidigt, att det kan bör integreras under inlärningen (Löwing 2009; Larsson, 2011).
Vidare skriver McIntosh (2008) att det inte är en självklarhet för elever i ett tidigt stadium att se sambandet mellan räknesätten till skillnad från oss vuxna. Logiken i standardalgoritmen i subtraktion är ej lika tydlig som vid addition, liksom att subtraktion i helhet är en mer omedgörlig. Alltså är sambandet mellan subtraktion och addition är svårare att se och bör synliggöras tidigt (McIntosh, 2008; Nunes, Bryant, Hallett, Bell & Evans, 2009). Det står i skolans styrdokument att elever ska få möjlighet att lära sig att se sambanden mellan räknesätten under de tidiga skolåren (Skolverket, 2019).
3.2 Subtraktionsstrategier i undervisningen enligt tidigare forskning
Studiens syfte är att belysa lärares val av subtraktionsstrategier. Med anledning till detta kommer studien att undersöka olika subtraktionsstrategier som enligt forskning används i svenska och internationella skolor idag. När eleverna inte behärskar subtraktion kan det uppkomma eventuella svårigheter i att räkna operationer samt att anpassa räknestrategi.
Subtraktionsstrategier kan jämföras med att eleven tar till sig en ny kunskap i matematik och anpassar den till den redan befintliga kunskapen eftersom man lär sig oftast subtraktion efter addition. I en lärarteori som används i den här studien förklaras detta som assimilation, eleven tar till sig kunskapen och assimilerar den, alltså bygger på den kunskap som redan finns. Det finns även ett annat sätt att ta till sig en ny strategi, nämligen att ackommodera. Eleven använder
4
ackommodation vid stunder i exempelvis matematik, när en ny strategi presenteras och eleven utvecklar sitt sätt att tänka (Piaget, 1968; Säljö, 2011; Säljö, 2015). Det finns alltså väldigt många strategier som kan anpassas till olika elever. Den här strategin används sedan, eleven använder strategin för att i en matematisk operation få fram ett svar, i det här fallet är det subtraktion.
Enligt Löwing (2008) kan subtraktioni svenska skolor definieras som tre olika räknestrategier, ta bort, komplettera och jämför. Det beskrivs som att dessa olika räknesätt sker i olika händelser i vardagen. Det kan vara ett problem där det söks efter en differens mellan två tal således använda strategin komplettera, exempelvis 7-_=6. Det går att ta bort en mängd och se över hur många som finns kvar, exempelvis 7–1. Det kan även förekomma uppgifter där behöver göra en jämförelse mellan två olika mängder och svaret är differensen, alltså det som blir över.
Löwing (2008) skriver att läraren måste hjälpa eleverna att förstå att ett tal i subtraktion kan innebära användning av någon av de tre räknesätten. Vidare nämner Häggblom (2013, s.118) om fem andra strategier som kan användas i subtraktion:
o Nedräkning till 10 15–6→10–1=9 o Öka båda termerna
345–167→ (345+3) - (167+3) →348–170=178 o Minska båda termerna
675–368 → (675–8) – (368–8) → 667–360=307 o Utfyllnad
405–398. Mellan 398 och 400 är det 2. Mellan 400 och 405 är det 5. 2+5=7 o Räkna varje talenhet för sig:
678–345=600–300→70–40→8–5→300+30+3=333
De strategier som Löwing (2008) skriver om är tre strategierna årskurserna 1–3 och Häggblom (2013) beskriver att det finns fem andra strategier som lärare kan använda att styra upp eleverna mot ett mer effektivt sätt att räkna subtraktion. Eleverna börjar med de strategier Löwing (2008) nämner och när talen blir två- eller tresiffriga tal, introduceras liknande strategier som Häggblom (2013) nämner. De strategier som Löwing (2008) nämner är mer behjälplig vid inlärning av subtraktion och föregående strategier är mer för utvecklad subtraktion. Eleverna tar sin tid i början att etablera sig och kan utveckla sin strategi sedan. Löwing (2008) skriver att läraren måste få eleverna att förstå att ett subtraktionstal kan svara mot alla tre strategierna.
Genom att behärska alla strategierna och räkneregler kan eleven anpassa räkneoperation efter uppgift. Eleverna måste förstå att subtraktion även kan tolkas som addition. Skrivsätten bör blandas under inlärningen (7 - 2 = 5, 5 + 2 = 7, 7 - _ =2).
Utöver samtliga nämnda strategier skriver Häggblom (2013) att det används uppställning i anslutning till subtraktion, en så kallad standardalgoritm. Eleverna övar på talsorter och där de räknar varje talenhet för sig. För att kunna använda uppställning med flyt, behöver eleverna lära sig att kunna hantera växling, kunna uppskatta rimlighet i svaret, ha en säker
5
huvudräkningsförmåga, vara säkra på positionssystemet och också kunna räkna de olika talsorterna.
Andra räknestrategier som används i svenska skolor i undervisning i subtraktion är räkna upp och räkna ned. Fuson (1986) skriver om räknestrategier som räkna upp (8 - 5 räknas 5, 6, 7, 8) och räkna ned (8 – 5 räknas 8, 7, 6, 5, 4, 3), varav båda räknesätten innehåller att räkna med fingrarna. I Fusons studie (1986) ansågs det vara mer effektivt att använda strategin att räkna upp med anledning att det visades ett positivt resultat i studien när lärare introducerade räknesättet räkna upp-strategin för elever i årskurs 1. I resultatet i Fusons studie framkom det även att eleverna presterade bättre i svårare problemlösningar, när de använde räkna upp- strategin. Här skriver Fuson (1984) att eleverna kan välja dessa olika strategier vid subtraktionsräkning, men när eleverna väljer att räkna ned, måste de ha koll på två saker.
Eleverna måste ha koll på hur många steg nedåt de tagit samtidigt som de måste ha koll på antal steg de tar i räkningen också. Eleverna ska således räkna upp och samtidigt räkna ned, detta kan med tiden försvåra processen. Baroody (1984) tar även upp svårigheterna med subtraktionen när eleverna måste hålla koll på steg i räkningen, vilket resulterar i både uppåt- och nedåträkning. Baroody (1984) bekräftar att det blir nästintill omöjligt för eleverna att räkna större subtraktionsalgoritmer med fingrarna. I Fusons (1986) nämnda räknestrategier används fingerräkning, dock är tanken att strategierna ska utvecklas över tid till mer avancerade strategier när det tillkommer större subtraktionsalgoritmer (Fuson & Willis, 1988; Fuson 1986).
Studien kommer även att undersöka internationella strategier och det finns de som påminner om strategier som används i svenska skolor. Beishuizen (1993; 1997) beskriver två andra strategier, som har i sin forskning introducerat de båda strategierna i holländska skolor i klasser med elever i årskurs två. De två andra strategier är N10 och 1010 och kan användas i både addition och subtraktionsräkning. N10 eller nummer-+ 10 kallas för jumpmethod och är en effektiv strategi där talet räknas i steg, exempelvis 46–23 räknar personen 46–20=26, 26–3=23 där det börjar med att räkna ner med tiohopp. Den andra strategin heter 1010 eller 10–10 samt splitmethod. Vid räkning med 1010-strategin används fler steg än N10 och räkningen startar med tiotalen. I liknande uträkning 46–23 räknar personen 40–20=20, 6–3=3, 20+3=23.
Beishuizen benämner också (1993;1997) att strategierna används i många av världens skolor, med varierande fokus på strategierna i skolorna. Exempelvis Tyskland fokuserar på att använda N10 strategi i större delar av matematikundervisningen för att främja en starkare aritmetik hos eleverna, medan exempelvis Holland använder en varierande undervisning med N10 och 1010 där eleverna använder 1010 i addition och N10 i subtraktion. En av strategierna påminns om svenska skolors sätt att jobba med konkret material. Strategin 1010 arbetar lärare med att eleverna ska fokusera på talsorterna för sig och i svenska skolor används talblock som påminner om samma sätt.
3.3 Svårigheter vid subtraktion vid undervisning
Subtraktion har visats sig att vara ett område i matematik som är svårt att undervisa. Mundia (2012) nämner att elever blir introducerade för subtraktion som att det är svårare än addition.
En orsak för att det är svårare att undervisa i kan vara att lärarna möjligen inte har kunskaper
6
om vilka strategier som ska undervisas, vilka som är gynnande. Selter (2001) skriver att lärare i undervisningen bör ha mer fokus på sådana subtraktionsstrategier som bör användas så att det inte uppkommer för många strategier för eleverna. Men det får inte heller bli för få strategier i undervisningen. Det skriver Kilborn (1989) och beskriver att vissa lärare kan fastna i att endast undervisa en strategi, den strategi som passar läraren själv. Orsaken till detta kan vara den Selter (2001) nämner att det lätt kan bli för mycket och leda till förvirring vid uträkningar.
McIntosh (2008) belyser att missförstånd kan ske när elever inte ser sambandet emellan uppräkning och subtraktion samt addition. Eleven tror att det är en bestämd process där räkningen börjar vid ett, vilket kan leda till svårigheter. Det är vanligt att elever räknar ett steg i taget, speciellt om de räknar med fingrarna. Detta kan leda till misstag när de börjar räkna på det talet de ska utgå ifrån, talet kan då bli för högt eller för lågt. Elever som räknar subtraktion går igenom en process med flera steg, när de egentligen tror att det bara handlar om att ta bort eller subtrahera. Processen blir därefter en automatiserad kunskap som gör det enklare att räkna huvudräkning i subtraktion. Detta visar på att lärare bör arbeta med elevers subtraktionsräkning i tidigt skede för att utveckla individens erfarenheter.
3.4 Svårigheter vid subtraktion vid räkning
Subtraktion är den del i matematik som beskrivs som mer komplicerad för elever att räkna. Det visades att elever i alla årskurser har ett märkbart lägre resultat i subtraktion, i jämförelse med addition från resultatet från en kartläggning som Löwing (2009) arbetade med. Detta är likt resultatet från Selters (2001) studie där är gjort tre olika mätningar i Tyskland hur 298 elever i årskurs tre till fyra under nio månader ständigt visade prov på sämre resultat för beräkning av subtraktion, i jämförelse med addition. Andra studier har visat att elever har tolkat räkneoperationer i subtraktion som mer komplicerade än addition (Wiles, Romberg & Moser, 1973; Löwing, 2008).
Elevers sätt att behöva förenkla uppgiften kan bidra till fel svar och förvirring. Vissa elever som räknar subtraktion använder enklare åtgärder för att utföra uppgiften. Skolverket nämner i en rapport i Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) som skapades av Bently (Skolverket, 2008) att vissa elever lätt förenklar uppgiften för lättare förståelse, vilket ytterligare visar på att svenska elevers prestation i subtraktion är lågt. Analysen visade att eleverna gör enkla fel som att vända på ordningen i talet och byter plats på det minsta talet och det största. Exempelvis vid räkning av 3–8 räknar eleverna 8–3, vilket bidrar till problem med att identifiera tiotalsväxling. Det som även belystes mer i analysen var andra vanliga fel i räkning av subtraktion, att eleverna växlade fel eller inte växlade när de använder vertikaluppställning. Detta tyder på att eleverna inte hade nog med kunskap i uppställning och därför skedde missförstånd. Baroody (1984) skriver att orsaken till att det uppkommer svårigheter för eleverna kan vara elevers fria tillvägagångssätt vid räkning av subtraktion, det vill säga att de använde egna sätt och strategier de själva formulerat än de som skolan lärt eleverna med anledning till att det är enklare. I det här fallet kan eleverna ha använt sitt eget sätt att tänka när de inte visste hur de skulle arbeta med uppställning.
7
Orsaken som kan leda till många felsvar på tester är om eleverna inte kan, detta kan i sin tur negativt påverka elevernas förmåga att räkna subtraktion, som i sin tur bidrar till negativ inställning till subtraktion och matematik i allmänhet (Baroody, 1984; McIntosh, 2008).
Neuman beskriver att med elevers matematiksvårigheter kan det förekomma att eleverna kan få en negativ inställning till matematik (1993). En negativ inställning till subtraktion gör det svårare att räkna subtraktion samt undervisa i subtraktion. Elever som räknar subtraktion är motiverade och de vill utveckla sina kunskaper, tills insikten kommer att det är för svårt (McIntosh, 2008).
3.5 Taluppfattning och matematisk kompetens
Elever som har svårigheter i subtraktion behöver hjälp att förbättra sin kunskap om subtraktion och matematik. För att kunna utveckla sina kunskaper i matematik behöver elever en stark matematisk kompentens och förståelse samt bra och grundläggande taluppfattning (Löwing, 2009; Kilpatrick et. al., 2001; McIntosh, 2009). Eftersom litteraturen beskriver att en god taluppfattning är en förutsättning för att utveckla den matematiska kompetensen kommer studien beröra vid båda begreppen (Löwing, 2009; Kilpatrick, et. al., 2001; McIntosh, 2009).et Matematisk taluppfattning handlar om kunskapen hos människor för hur talen är uppbyggda och att personer kan arbeta med talen utan reflektion (Löwing, 2009). För att kunna utveckla sin matematiska kompentens behöver elever en bra och grundläggande taluppfattning.
Taluppfattning kan förklaras att eleverna i subtraktion exempelvis behärskar positionssystemet med tiotalsövergångar, talens ordning samt talens uppdelning i termer. Yngre elever kan ej bygga upp kunskaper om grundläggande taluppfattning själva utan detta kräver en grundlig planering av läraren, med uppföljning (Löwing, 2009). En bra taluppfattning är en given omständighet för att utveckla matematiska kunskaper hos eleverna. Därför är det viktigt att kursplanerna i matematik betonar vikten av förståelse, reflektion och meningsfullhet (Reys, et.
al., 1995).
Synen på hur forskning definierar elevers matematiska kompetens har förändrats (Kilpatrick et al. 2001). Tidigare har den matematiska kompetensen värderats till en snabb och felfri färdighet i matematik. Nutida forskare anser att det är förmågor som matematisk förståelse, förmågan att kunna se samband mellan matematiska idéer, problemlösning samt förmågan att kunna kommunicera i matematik med andra elever, är de centrala förmågorna som matematiken i skolan behandlar. Den matematiska kompentensen delas in i fem olika delar, begreppsförståelse, problemlösningsförmåga, matematiskt och logiskt resonemang, räknefärdighet och en positiv inställning till matematik. Dessa fem delar är beroende av varandra vilket gör att utvecklingen sker samtidigt (Kilpatrick et. al., 2001). De fem delarna beskrivs på följande sätt: Begreppsförståelse finner sig i att elever innehar en förståelse för matematiska begrepp och operationer. Eleverna får med en begreppsförståelse, en djupare förklaring hur subtraktion används. När eleverna möter en problemlösning med olika begrepp, ska eleven kunna förstå och komma fram till en lösning. Problemlösningsförmåga innebär att eleven kan utföra problemlösningar på ett flytande och effektivt sätt. Genom begreppsförståelse kan eleven ta till sig en problemlösning på en automatiserat sätt. Eleven kan enkelt läsa sig till
8
operationen utan att ha själva operationen framför sig. Matematiskt och logiskt resonemang handlar om att eleverna kan resonera, förklara och reflektera. Eleven kan resonera hur lösningen ska göras, förklara med matematiska och logiska resonemang och avslutningsvis reflektera över lösningen. Eleven kan också använda sitt resonemang för att komma fram till vilken strategi som behöver användas i lösningen. Även Reys, Reys och Emanuelsson (1995) förklarar att eleverna måste bli motiverade till att vilja förklara kring sina tankegångar samt kunna resonera kring dem. Räknefärdighet beskrivs när eleverna har en förmåga att formulera, representera och lösa matematiska operationer. Genom att eleverna innehar en matematisk kompentens innebär det att eleverna har kunskaperna att använda räknesätten på ett effektivt sätt, om det ej skulle finnas andra orsaker till svårigheter. Eleverna kan lära sig detta inom räknesättet subtraktion och kan effektivt ta till sig en uppgift och anpassa räknestrategi till uppgiftens behov. En positiv inställning beskrivs som den inställning elever tar till sig när de ser att matematiken är användbar och motiverande. Genom att förbättra elevernas positiva inställning bör lärare försöka få eleverna att förstå varför det är viktigt att kunna räkna matematik. Detta är viktigt att det förmedlas av läraren (Kilpatrick et. al., 2001). Dessa fem delar passar ihop med det Löwing (2009) nämner tidigare om de fyra punkter att behärska subtraktion. Alla dessa färdigheter spelar en stor roll i elevernas matematiska färdigheter i subtraktion.
3.6 Material
Matematik idag behöver inte bara handla om att arbeta i matematikböckerna, det kan vara kul och laborativt också. Forskning skriver att användandet av laborativa material förbättrar elevers prestation i matematik samt att lärare bör uppmuntras till att använda konkret material eller laborativa material i skolans matematikundervisning (Okigbo & Osuafor, 2008). Synes till den Svenska Akademins ordbok beskrivs laboration (SAOB, tryckår, 1937) som ett utförande av ett experimentellt arbete och att det inom pedagogisk verksamhet kan ingå i undervisningen vid läroanstalt. Det som betecknar laborativ matematikundervisning är människans sinnen. Fler sinnen används i laborativ undervisning jämfört med det enskilda arbetet i läromedlet, där det finns en stark koppling mellan orden konkret och abstrakt (Rystedt & Trygg, 2010). I detta sammanhang benämns konkret sådant som människan uppfattar med sina fem sinnen, det som för människan är påtaglig och gripbar medan abstrakt är sådant som kan uppfattas med enbart tanken (SAOB, tryckår, 1821;1779).
Laborativa strategier och läromedel är en stor innebörd. Det kan vara material som eleven kan plocka isär och sätta samman, vrida och vända och omfördela. Dessa är ofta tillverkade i olika material, exempelvis plast, trä, papper och även om eleven använder tillgängliga material så som kuber, kapsyler, pennor (Rystedt & Trygg, 2010). Laborativa material kan även vara digitala, exempelvis datorprogram, program på ipads och smartboards. Forskare har lyft fram
’computer manipulatives’ som en hög grad utveckling och viktiga tillägg eller ersättare för vissa typer av konkreta laborativa matematikmaterial (Clements, 1999). Karlsson och Kilborn (2015) betonar att konkret material är brukbart vid inlärningen av algoritmer, orsak till detta är att lärare kan på ett tydligt sätt visa deras tankegångar vid räkning av matematik (subtraktion).
Läraren kan visa med material att det tas bort något från operationen i subtraktion och det blir
9
mer tydligt för eleven. Lärarna behöver visa hur materialet ska användas och inte bara tilldela det till eleverna och ge förklaring att det är gynnande för dem i räkning av subtraktion. Detta redogör Flores (2009) i en studie där syftet var att studera elevernas förståelse i det abstrakta.
Forskaren till studien strukturerade upp ental och tiotal i uppställningar i subtraktion med hjälp av konkret material. Eleverna som deltog i studien gick igenom tre steg från konkret tänkande till abstrakt tänkande (Flores, 2009). Resultatet visade att eleverna gick från att inte uppnå målen till att faktiskt göra det, men hjälp av konkret material. Detta stöds av andra studier (Jao, 2013; Sci, 2011) där liknande positiva resultat framkom genom att använda konkret material i subtraktion. Eleverna fick i studierna nämnda ovan, en tydligare bild av subtraktion i sitt konkreta tänkande.
3.7 Lärarens roll för elevens utveckling
De personer som är betydelsefulla och de som påverkar elevernas resultat i skolan är lärarna och det är läraren som har störst påverkan på hur elever presterar (Bentley & Bentley, 2011).
Det har visat sig att ju mer ämneskunskap läraren innehar påverkas på kvaliteten på undervisningen. Detta betyder att det är av stor vikt att läraren besitter en högre kunskap i vilka subtraktionsstrategier som bör användas för att få fram en lösning i räkneuppgifter. Detta stämmer överens med vad Grevholm (2014) betonar att lärarna är betydande för eleverna gällande kunskapsutvecklingen hos eleven. Vidare beskriver Bentley & Bentley (2016) att eleverna följer med läraren i vissa stadier i utvecklingen där lärare inledningsvis förklarar att subtrahera betyder att det minsta talen dras bort från det största talet. Eleverna får regeln att det största talet skrivs först, som sedan måste förändras när det kommer negativa tal in i bilden.
Elevens sätt att tänka följs med i lärarens sätt att undervisa. Här är det lärarens uppgift att ta reda på elevens förkunskaper och utmana eleven efter det. Löwing och Kilborn (2002) skriver att matematiken är progressiv och bygger på förkunskaper. En elev som saknar förkunskaper inom ett visst område kommer inte vidare i sin matematikutveckling inom detta område.
Eleverna måste få möjlighet att i egen takt bygga upp sin förståelse, alltså krävs det en långsiktig planering från förskoleklass till gymnasium på när och hur olika moment tas upp i undervisningen, även Kilpatrick et. al., (2001) skriver om detta. Vidare skriver Löwing (2009) att lärarens grundliga planering är den som sätter starten för elevens matematiska utveckling.
Enligt skollagen (2010:800) i Sverige ska alla elever få stöttning i sin utbildning för framtida kunskapsutveckling.
§ 3 Alla barn och elever i samtliga skolformer och i fritidshemmet ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt lärande och sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsättningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål.
Det är läraren som ska ge eleverna den ledning och stimulans de behöver för att utvecklas i matematik, med hjälp av att läraren planerar för det. Reys, Reys och Emanuelsson (1995) beskriver lärarens roll som viktig för elevernas utveckling samt för att eleverna ska känna tilltro till sin vilja och till sin egen förmåga att lära sig matematik. Lärarens roll innebär att skapa ett
10
meningsfullt klassrumsklimat med tillåtelse för reflektion över några didaktiska frågor över olika lösningar (hur, varför, vad).
3.8 Lagar och förordningar
Genom att gå igenom skolans styrdokument i kapitlet matematik kan läsare se att skolan har lagt ett grundläggande arbete i ämnet. I skolans styrdokument för matematik står det att eleverna ska ges möjlighet att utveckla ett intresse för matematik och en tilltro att använda matematik i vardagliga och olika sammanhang (Skolverket, 2019). Det står alltså att lärarna ska hjälpa eleverna att stärka sin tro på att eleven kan räkna subtraktion, för att eleven ska kunna lösa de räkneproblem de stöter på. Detta kräver planering och kunskap om elevens nivåer. I läroplanen framgår tydligt att syftet med undervisningen i matematik är att eleverna ska utveckla sina förmågor att:
o formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder.
o välja och använda lämpliga matematiska metoder, för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter (Skolverket 2019, s. 56).
Vid slutet av årskurs tre är det som mål i skolans styrdokument att eleverna ska kunna välja den räknemetod som anses som lämplig vid subtraktion och addition samt att kunna utföra enklare beräkningar med naturliga tal (Skolverket, 2019). Eleverna ska alltså i början av grundskolan få tillgång till ett flertal räknestrategier, i det här fallen subtraktionsstrategier, och lära sig vilken som är mest lämplig att använda i vardagliga situationer.
o använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp (Skolverket 2019, s. 56).
McIntosh (2008) beskriver hur viktigt det är att det finns en grundläggande begreppsbildning.
Vidare belyses att missförstånd kan ske när elever inte ser sambandet emellan uppräkning och subtraktion samt addition. Även Kilpatrick med kollegor (2001) nämner att begreppsförståelse är en av delarna i matematisk kompentens, likt den förmågan som beskrivs i läroplanen som nämns ovan.
o föra och följa matematiska resonemang (Skolverket 2019, s. 56).
Som nämnt i föregående avsnitt beskriver Kilpatrick et. al., (2001) att eleverna bör ha ett matematiskt och logiskt resonemang, och även detta nämns i skolans styrdokument. Eleven kan resonera hur lösningen ska göras, förklara med matematiska resonemang vad som krävs av eleven att räkna ut.
o använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket 2019, s. 56).
11
Denna del i syftet i matematik bekräftas med det Reys, Reys och Emanuelsson (1995) förklarar att eleverna måste bli motiverade till att vilja förklara kring sina tankegångar samt kunna resonera kring dem. Även från det Kilpatrick et. al., (2001) skriver att eleven ska kunna föra logiska resonemang och redogöra för det. Löwing (2009) beskriver målet med svenska skolors matematikundervisning ska vara att elever ska få möjlighet att lära sig använda och förstå matematiska begrepp och modeller. Detta bekräftas i skolans läroplan där det står skrivet att:
”Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp” (Skolverket, 2019, s.59). Detta kan kopplas till subtraktion genom att eleverna i inlärningen av subtraktion ska lära sig sambandet mellan addition och subtraktion.
De lär sig att kontrollräkna subtraktion genom att använda addition. Läraren ska anpassa undervisningen ifrån elevens behov och ska ge eleven det stödet som behövs för att utvecklas:
”Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den ska främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper” (Skolverket, 2019, s.6). Detta kan kopplas till subtraktion genom att läraren bör forma en grundlig planering för elevens utveckling i matematik. Läraren ska utifrån elevers tidigare erfarenheter och kunskaper i subtraktion främja fortsatta kunskapsutveckling.
4 Teori
I den här delen av studien kommer den kognitiva lärarteorin att belysas med utgångspunkt i studiens syfte.
Kognitiv lärandeteori, närmare bestämt kognitivism växte fram tillsammans med Jean Piaget som blev en av de mest betydande utvecklingspsykologerrna i modern tid (Säljö, 2015). Med ett intresse för människor och främst barn och elever mentala processer, utvecklade Piaget i mitten av 1900-talet en lärande teori med elevers kognitiva förmåga som fokus. Det kognitiva perspektivet bygger på människors tankeprocess och hur den är uppbyggd, dess utveckling (Piaget, 1968; Säljö, 2015). Människan är en tänkande varelse som är kapabel att på egen hand utveckla nya förmågor. Genom att observera vår närmiljö och inhämta kunskap och information är det människan själv som formar synen på omgivningen och vår verklighet. Detta menar Säljö kan kallas för assimilering, exempelvis när eleven tar del av ny information och bygger på kunskap i det redan befintliga (Säljö, 2011; Säljö, 2015). Det finns även ackommodation som används i kognitivsm, vilket är människans sätt att tänka och om lära om vid nyfunnen kunskap (Säljö, 2011; Säljö, 2015). Även lärare använder assimilering och ackommodation när det inhämtar kunskap om eleven och formar undervisningen utifrån den kunskapen, samt att läraren tänker om i sitt sätt att undervisa vid behov.
Säljö beskriver det matematiska tänkandet som det mest utvecklande tänkandet i kognitivism (Säljö, 2011). Den kognitiva utvecklingen är viktig för den matematiska utvecklingen.
Woolfolk och Karlberg (2015) beskriver lärande ur ett kognitivt perspektiv att det är viktigt med repetitioner och att veta om hur processen går till. Jean Piaget delade in den kognitiva
12
utvecklingsteorin i fyra stadier som kan kopplas ihop med den matematiska utvecklingen.
Utvecklingsteorins fyra stadier kallas senso-motoriska stadiet, konkreta operationernas stadie, preoperationella stadiet och det formella operationernas stadie. I det första stadie tänker barnet genom sina sinnesuttryck och genom motoriken således barnen använder sin fantasi till att skapa representationsformer mentalt (ibid.).
Vidare beskrivs de nästkommande stadier, preoperationella och de konkreta operationernas stadie berör barnets yngre åldrar vilket är de åldrar som den här studien berör (Woolfolk &
Karlberg, 2015). I det preoperationella stadiet berör åldrarna 2–6 år där barnets symboliska tänkande utvecklas, vilket betyder att det är i detta stadie som barnet utvecklar sin empatiförmåga, hur någon annan tänker. De konkreta operationernas stadie berör åldrarna 7–
12 år. Här är barnet i behov att använda sig av konkret material när de gör beräkningar. De kan genomföra logiska tankeoperationer men det behöver vara verkliga och konkreta händelser. Här kan barnen utveckla sin empatiförmåga och sätta sig in i hur andra människor tänker. I det sista och avslutande stadie, det formella operationernas stadie, som sker efter barnet är 12 år är barnet inte i behov av konkret underlag för sitt tänkande (ibid.). Romberg och Collins (1987) skriver att elever redan i de lägre årskurserna visar tendens till att ha svårigheter med textuppgifter vid räkning av addition och subtraktion. Eleverna visar främst sina svårigheter genom översättning från text till symboler. Forskarna anser att detta kan komma an på elevernas kognitiva förmåga.
Vidare skriver Barrouillet, Mignon & Thevenot (2008) att räkning i subtraktion är något som hämtas i minnet, detta står i kontrast till de resultat som redovisas i kognitiv neuropsykologisk forskning.
5 Metod
I detta avsnitt beskrivs det vilka metoder som använts i datainsamlingen samt analysen. Det kommer även tas upp hur urvalet gjordes till datainsamlingen. Avsnitt gällande etiska forskningskrav samt validitet och reliabilitet förekommer också i detta kapitel.
5.1 Kvalitativ metod
Syftet med kvalitativa metoder är att undersöka information om olika och multipla mönster, samt att exemplifiera olika strategier (Olsson & Sörensen, 2011). I anslutning till ett teoretiskt perspektiv och den aktuella frågeställningen kommer studien ha grund i en kvalitativ metod.
Vidare skriver Starrin och Svensson (1994) att kvalitativ metod handlar om att forskare ska gestalta eller karaktärisera något i sin studie. I den här studien handlar det om lärarnas åsikter som ska gestaltas. Fejes och Thornberg (2012) belyser att vid skrivande av examensarbeten är det en fördel att använda en kvalitativ metod med anledning av personkontakt och i mindre utsträckning data än kvantitativ metod. En kvalitativ metod kännetecknar även typen och mängden av data. Kvalitativa data anses vara den typ av data som innefattar subjektiva upplevelser samt data som är en grov uppskattning och inte en precis uppskattning Vidare nämner Trost (2010) att vid val av en kvalitativ studiemetod fokuserar forskaren på att försöka förstå människors sätt att reagera och resonera.
13
5.2 Urval
I detta avsnitt kommer det en sammanställning av personerna som blivit intervjuade. Dessutom förklaras hur valet av personer gick till. Urvalet till den här studien var lärare som arbetar i lågstadiet i någon av årskurserna 1-3. Bryman (2011) skriver detta som att målinriktat urval i en studie, där forskaren gör urvalet ur utgångspunkten att informanter ska ha en relevant betydelse för studiens syfte och frågeställning. I studien användes lärarintervjuer som genomfördes med fem stycken lärare i olika kommuner i årskurs 1–3, som valdes ut genom förfrågningar via sociala medier samt kontakt med studiens författare. Lärarna är intervjuade om deras ståndpunkt i val av subtraktionsstrategier. Studien har valt att använda lärare 1–3 och inte inkludera förskoleklass med anledning av att eleverna i förskoleklass blir förberedda för årskurs 1, vilket gör att fokus på subtraktionsstrategier minskar i förskoleklass.
Tabell 1 nedan föreställer en kort och sammanfattad presentation av informanter som deltog i studien. Namnen på informanter kommer att bytas ut till kodord Lärare 1,2,3 (exempelvis L1) med anledning av att studiens intervjuer enligt krav skedde under konfidentialitet.
Informanternas arbetserfarenhet inom läraryrket sträcker sig från 2 månader upp till 30 år.
Tabell 1. Informantion om deltagande informanter.
Namn Nuvarande
placering
Kommun
L1 Åk 2–3 A
L2 Åk 2 B
L3 Åk 2 C
L4 Åk 3 B
L5 Åk 1 D
5.3 Semistrukturerade intervjuer
Intervjuerna gjordes med lärare. En intervju genomfördes på informantens arbetsplats, detta med anledning till att det skulle öka bekvämligheten för informanten. Två av intervjuerna skedde via telefonsamtal, detta var med anledning att avståndet var för långt för att göra intervjun på plats. Med de resterande två informanter genomfördes intervjuerna via mejlkontakt, med anledning att informanter själv valde det alternativet som passade dem vid tillfället.
14
Till föreliggande studie valdes kvalitativa intervjuer med anledning av att det var den som lämpar sig till denna studie. Enligt Bryman (2011) är fördelen med att använda kvalitativa intervjuer är att intervjuaren kan låta intervjun röra sig i olika riktningar samt att intervjun riktar sig in i den intervjuandes ståndpunkter. Användning av kvalitativa intervjuer ger personen som intervjuar mer utrymme att ställa sin egen typ av frågor. Trost (2010) skriver även att interaktion inte bara sker via samtal utan även genom kroppsspråket därav valet av kvalitativa intervjuer för mer utrymme till innehåll i svaren. I olika typer av intervjuer kan det vara en styrd intervju eller en öppen intervju (Bryman, 2011). Det tredje alternativet är att ha en semistrukturerad intervju, vilket den här studien använde som intervjutyp. En semistrukturerad intervju har frågor som en intervjuguide som forskare och informant går efter, men informanten har stor frihet att utforma svaren på sitt sätt. Följdfrågor som inte ingår i guiden kan ställas om forskaren kopplar samman med något som informanten sagt. Men intervjun går efter intervjuguiden för övrigt.
Under intervjuer som skedde via mejlkontakt, ställdes följdfrågor direkt vid mottagandet.
Genom att i studien använda intervjuer var målet att erhålla personliga ståndpunkter hos informanten. Informanten erhöll ett antal olika frågor om dennes åsikter om forskningsämnet, följaktligen gällande subtraktionsstrategier. Vidare nämner Bryman (2011) att fördelen att genom att använda kvalitativa intervjuer är målet att erhålla fylliga och detaljerade svar för ett bättre resultat med plats för diskussion. Detta gör att målet för informanters personliga ståndpunkter kommer fram i intervjusvaren.
Intervjun startade med bakgrundsfrågor om information om informanten. Detta gjordes för en omfattande och kort sammanfattning om läraren.
o Hur lång är din erfarenhet som lärare?
o Vilka klasser är du utbildad inom?
o Vilken klass arbetar du i?
o Hur länge har du jobbat med matematik?
o Vad är din relation till subtraktion, matematiskt sätt? Vad är din attityd till undervisningen av subtraktion?
Intervjuerna fortsatte sedan med frågor om subtraktionsstrategier i undervisning. För att enklast ta reda på vilken strategi som används av eleverna, utan att fråga dem, frågas elevernas lärare.
Elevernas klasslärare introducerar räknesättet och använder strategin vid vidare förklaring av en matematisk operation, vilket blir den metoden som används av läraren i undervisningen.
Detta besvarar en av studiens forskningsfrågor; Vilka olika strategier i arbete med subtraktion beskriver lärare att de använder i årskurserna 1–3? Vidare bör studien nudda vid vilka strategier som är gynnande att använda i undervisningen samt att belysa de strategier som inte används således de strategier som inte är gynnande. Detta är för att inhämta kunskap för studiens syfte.
Detta syftar att besvara en av frågorna i frågeställningarna; Vilka olika strategier anser lärarna vara gynnande till eleverna och varför? Vilka olika strategier anser lärarna vara icke gynnande till eleverna och varför?
15
o Vilken räknestrategi i subtraktion använder du att lära ut till eleverna? Varför använder du just den strategin? Vilka andra strategier använder du (enskilda elever)?
o Vilka eller vilken strategi inom subtraktion anser du är mest gynnande för eleverna?
Varför? Vilken är inte så gynnande? Varför inte?
När en lärare introducerar och undervisar subtraktion används strategier. Vad studien kommer inhämta kunskap om är ifall eleverna använder samma strategi, eller om eleven anpassar svårighetsgraden till räknesättet.
o Använder eleverna den strategin du använder eller använder de en annan strategi? Vad anser du är orsaken till att eleven använder en annan strategi?
McIntosh (2008) och Löwing (2009) skriver om hur viktigt det är att elever har en grundläggande taluppfattning för att inte utveckla svårigheter inom subtraktion. Med anledning till detta frågades lärare om vad de anser är orsakerna till elevers eventuella svårigheter. Fuson (1984) skriver att räkning av subtraktion är mer komplext än addition, vilket även McIntosh (2008), Häggblom (2013), Löwing (2009) bekräftar. McIntosh (2008) skriver att elever kan utveckla en negativ inställning till matematik och därav viktigt att läraren redan i ett tidigt skede arbetar med elevernas matematiska kompetens. Studien ska inhämta information om deras åsikt i vad orsaken till att eleverna utvecklar en positiv eller negativ inställning.
o Vid eventuella svårigheter för elever att räkna subtraktion, vad anser du kan vara orsaken till det?
o Om du mött elever som haft en negativ inställning till subtraktion, vad anser du kan har varit orsaken eller orsakerna?
5.4 Etiska principer
I samband med ett arbete av en forskningsstudie finns det forskningsetiska krav som har i syfte att skydda forskaren (Vetenskapsrådet, 2004). Dessa fyra forskningsetiska krav syftar i att ge normer i det förhållandet mellan forskaren och deltagaren att vid eventuell konflikt sker en god avvägning mellan forskning- och individskyddskravet. Informationskravet (Vetenskapsrådet, 2004) grundar sig i att forskaren ska delge uppdraget och syftet med forskningen till personen som deltar samt deltagarens uppgift. Forskaren är också insatt i deltagarens rättigheter i deltagandet av studien. Deltagarens medverkan är frivillig och kan avslutas på deltagarens begäran och alla uppgifter som insamlas i studien har endast en inriktad användning och det är till studien. Deltagaren ska också ge sitt samtycke i att delta vilket syftar till samtyckeskravet.
Forskaren ska även arbeta under konfidentialitetskravet, vilket för studien innebär att deltagarens medverkan ska ske anonymt. Avslutningsvis ska också nyttjandekravet förespråkas i studien. Detta innebär att all data som samlas in får endast användas i ett forskningssyfte. Det får följaktligen inte spridas för kommersiellt bruk eller ickevetenskapliga syften. Med det sagt skedde intervjuerna att deltagarna informerades att det var frivilligt att delta samt att det var anonymt att delta, alla lärare blev informerade det via ett brev från forskaren av studien (Se Bilaga 1) (konfidentialitetskravet och informationskravet). De informerades vad materialet
16
skulle användas till, följaktligen till forskningen gällande examensarbetet (nyttjandekravet).
Deltagarna upplystes att de kunde vid val avstå att svara, spelas in eller rent ut avstå att bli intervjuad (samtyckeskravet).
5.5 Analys och bearbetning
Materialet bearbetades direkt i samband med genomförandet av intervjun, för att mer grundligt bearbeta materialet efter intervjun. Trost (2010) skriver att forskaren bearbetar materialet under arbetet, utan att det ej märks att tid till bearbetning gått. Detta är med anledning av att forskare själv utför intervjuerna och går igenom materialet innan och under tillfället, det bidrar till ytterligare kunskap om materialet. Vidare anser Trost (2010) att transkriberingen ej bör ske direkt i intervjutillfället. Samtliga intervjuer spelades in via forskarens telefon under samtalet, detta är med anledning av att forskaren okomplicerat ska kunna transkribera samtalet till text efteråt, i personligt möte spelades samtalet även då också in. Med hjälp av detta kunde distans skapas till intervjumaterialet under intervjun. Varje intervju varade mellan 15–25 minuter. Alla intervjuer via telefon och möte spelades in för att all information skulle analyseras. Detta underlättade för dokumentationen och den senare transkriberingen, då inget utesluts (Bryman, 2011). På inspelningen kan det även höras om någon av frågorna var ledande. I arbetet med att analysera intervjuer, framför allt kvalitativa intervjuer, innebar det att intervjuaren lyssnade upprepade gånger på sina genomförda intervjuer, läste igenom eventuella anteckningar och reflekterade över materialet (Trost, 2010). Eftersom studiens syfte är att belysa vilka subtraktionsstrategier lärarna i lågstadiet arbetar med, med hjälp av intervjuer, valdes en fenomenografisk forskningsansats som analysmetod. Fejes och Thornberg (2012) skriver att denna med fördel kan användas i studier där datainsamlingen är mindre omfattande.
En fenomenografisk analysmodell användes i studien. Fenomenologi beskriver Bryman (2011) som en filosofisk inriktning som behandlar en människas uppfattningar. Studien behandlar lärares tankar och uppfattningar kring strategival. Lärarnas uppfattningar kan tillämpas med den analysmodell med sju steg som användes (Dahlgren & Fallsberg, 1991; Fejes & Thornberg, 2012). Med dessa sju steg arbetades datamaterialet på ett effektivt sätt och därmed även höja reliabiliteten. Analysen startade genom att bekanta sig med intervjuerna och med materialet, således steg ett i fenomenografisk analysmetod. Materialet lästes in där anteckningar fördes samtidigt. Vidare fortsatte steg två där alla väsentliga delar grupperades i materialet, som kallas kondensation. Allt material samlades och strukturerades upp för en tydligare överblick över materialet och informanter. Fortsättningsvis följdes det upp med steg tre. Under detta steg jämfördes intervjuerna och under tiden hittades likheter och skillnader. Denna del skedde ett flertal gånger med anledning till en stor del material. Under steg tre jämfördes även anteckningar som skett på sidan om analysen. Analysen fortsattes med steg fyra skedde en gruppering mellan skillnaderna samt likheterna och även relaterad till varandra som skulle fortsätta i steg fem, att artikulera kategorierna. I steg fem lyftes likheterna fram för en tydligare överblick till resultatet för att enklare i steg sex kunna namnge kategorierna. I sjunde och avslutande steget, kontrastiv fas, skedde en större överblick för att se om informationen kunde
17
placeras i mer än en kategori (Dahlgren & Fallsberg, 1991; Fejes & Thornberg, 2012). Varje intervju analyserades i direkt anknytning till den utförda intervjun.
5.6 Validitet och reliabilitet
En studies innehåll vilar på dess validitet och reliabilitet. Fejes & Thornberg (2012) skriver att validitet och reliabilitet är kvalitén i forskningen och det åsyftar studiens omfattning och metoder. Validitet handlar om ifall forskningsfrågorna är relevanta för studien och dess syfte, vilket studiens syfte och forskningsfrågor är. För att sträva efter en hög validitet har forskningsfrågorna formulerats i den utsträckning att ta grund i syftet i studien, alltså genom studiens frågeställningar riktades fokus ta reda på vilka strategier inom subtraktion används vid undervisning. Vidare formulerades intervjufrågor med utgångspunkt i studiens syfte och frågeställningar för bidra till att resultatet ska vara så brett som möjligt. Backman (2012) beskriver hur viktigt det är att det finns en hög tillförlitlighet i datainsamlingen, detta kallas för studiens reliabilitet. Vidare nämner Bryman (2011) liknande som Backman, men jämför det med pålitlighet, vilket kan vara att forskaren ska ha ett granskande synsätt genom studiens gång.
För att åstadkomma en hög reliabilitet i studien är artiklarna som nämns i studien granskade av experter inom området, således refereegranskade. Vid urvalet av artiklar har de granskats kritiskt och senare återgivits på ett så sakligt sätt som möjligt. Reliabilitet i studien visar på att resultatet blivit densamma om studien genomförts igen, i annat fall hade studiens pålitlighet kunnat ifrågasättas (Bryman, 2011).
6 Resultat
I det här avsnittet kategoriseras resultaten efter forskningsfrågorna.
6.1 Förekommande subtraktionsstrategier i undervisning av subtraktion
Läromedlets innehåll har en stor betydelse i vilka strategier som lärarna använder. L1 använder uppställningar mestadels av inlärningen, detta för att uppställning förekommer i skolans läromedel. L1 sade ”När vi lär dem blir det ganska vanligt med uppställningar, att man benar ut det, att man har framför allt entalen för sig alltså verkligen under varandra, det är det man trycker på”.
Även L2 använder läromedlets innehåll. Hen anser att innehållet är tydligt och strukturerat. L2 nämnde även att läromedlen såg annorlunda ut för 15 år sedan när lärare ej räknade addition och subtraktion parallellt, vilket görs idag.
Läromedlen för 15–20 år sedan de höll på väldigt mycket med addition länge och då lärde vi oss det och de blev så lätt och sen kom det subtraktion kanske efter någon månad eller så. Och då var ju det jättesvårt och kämpigt. Medan läromedel nu sista åren de har ju som samtidigt, man lär sig det samtidigt. Man tar sambandet mellan addition och subtraktion, man jobbar parallellt med det. (L2)
18
Samtliga informanter nämnde inte bara en strategi utan flera stycken. L3 nämnde lika tillägg, jämföra, räkna upp och räkna ned, uppställning, talsorter var för sig. Hen nämnde även:
”Eleverna behöver utveckla flera strategier för att framgångsrikt kunna hantera att räkna subtraktion i olika vardagliga situationer.”L2 nämnde bilder och föremål, jämföra och ta bort och att använda tallinjen. L2 sa också att tallinjen är enkel att förstå. L5 nämnde att hen använder ett flertal strategier, exempelvis ta bort och räkna neråt, dubbelkolla med addition och räkna upp.
Ett flertal informanter (4 av 5) nämnde hur mycket de anser att basen är väsentlig för matematikkunskaperna. L2 berättade om hur elever innan de börjar arbeta med subtraktion, har fördjupat sig i tiokamraterna. Med ökad förståelse i tiokamrater blir subtraktion lättare, speciellt tiotalsövergångar i subtraktion. Även L5 nämnde att tiokamraterna är en del man kan ta hjälp av i subtraktion ”börja med att subtrahera ner till närmaste tiotal.” (L5) Två av lärarna pratade om att matematik ska vara tydligt för eleverna och med hjälp av material kan det bli mer tydligt.
De informanter som intervjuats använder konkret material vid inlärning, eleverna får använda bildstöd eller material vid inlärning av subtraktion. L4 nämnde att ett fåtal av eleverna ingår i en grupp med extramatematik och där använder läraren stavar, hen pratade om stavar som går att bygga ihop med tio klossar till en stav för att trycka mer på ental och tiotal. L4 sade också att vissa elever klarar att räkna på fingrarna om det inte är för stora tal, och då behövs inte material, även fast hen anser att det blir mycket att skriva och rita på whiteboardtavlan samt användning av klossar och fyrkanter med tiotal och ental. Även L2 nämnde att hen använder material i form av bilder och föremål.
6.2 Gynnande samt icke-gynnande subtraktionsstrategier
Lärarna hade delade meningar om vilka strategier som var mest gynnande för eleverna. L4 sade att det är den visuella tallinjen som funkar bäst. L4 nämnde också att förhoppningsvis blir strategin automatiserad för eleverna vid ett senare tillfälle men att den behöver ske visuellt i början. ”Att jag som lärare visar hoppen till eleverna på en tallinje på golvet… Eleverna måste förstå att du måste göra hoppet så att säga innan du börjar räkna”. (L4) L2 sade att bilder och föremål är mest gynnande för eleverna med anledning att det är väldigt tydligt för eleverna. L4 nämnde att eleverna använder material, det blir mer konkret.
L4: En del elever förstår mer när man ritar upp tallinjer och det här med skutt
”hopp”, att hoppa bak. Och sedan det här med det konkreta också att ha antingen stavar, en del har centrikuber och en del har de här blocken som sitter ihop, [att en hel sådan där rad är 10] och en del har ental. Kulramar används också.
Intervjuaren: Skulle man kunna säga att du använder mycket bildstöd och material för att lära?
L4: Jo, och sedan är det att alla elever behöver ju inte det, en del är så att de fattar på något sätt. Och en del fixar det med fingrarna så länge det inte är för stora tal. En del ser ju sambanden men nå har det ju varit en del att rita på tavlan, tallinje och just det här fyrkanterna [tiotal, ental].
19
L5 anser att delgivning av varandras strategier är gynnande. Hen sade: ”Tror inte att en strategi passar alla, utan är väldigt individuellt. Tror att det är viktigt att synliggöra olika strategier, och att eleverna själva får diskutera med varandra för att ta del av varandras olika sätt att tänka samt användandet av olika strategier” (L5). L1 anser att uppställning är den strategin som funkar bra, med grundläggande kunskaper i uppställning. Med uppställning kan du lära dig räkna vilket tal som helst och hur stort som helst. L1 förklarade att grundläggande kunskaper är exempelvis att kunna växla, hur du lägger talsorterna under varandra. Även L3 använder uppställning och anser att denne är en gynnande strategi.
Strategin att räkna på fingrarna beskrev L1 som en icke gynnsam strategi. L2 sade att eleverna lätt kan tappa bort sig räkningen. Med forskning i ryggen berättade hen att räkningen sker utan problem de första tre siffrorna, sedan sorterar eleven bort och tappar bort sig själv i räkningen.
L1 sade att istället för fingrar kan eleven använda konkret material.
Jag har elever som har räknat på fingrarna eller räknar på fingrarna, det är att dem tappar bort sig själv i det här. Även om de gör det abstrakta till det konkreta genom sina egna fingrar, men det som forskning och allt sådant som när man läser om just det här med att förstå matematik i svårigheter, så säger dem att man kan räkna på fingrarna upp till tre sen så ”sållar” man bort sig själv. Så att räkna på fingrarna är absolut inte en gynnsam strategi, utan då behöver man konkret material, ja men i klossar eller i vad som helst. (L1)
L2 nämnde föregående försök till nya strategier och det väsentliga av att lära ut en strategi eller område i taget. Att eleverna blev förvirrade när läromedlet försökte undervisa olika metoder samtidigt. Hen berättade:
I ett läromedel som kom för några år sedan som användes i lågstadiet, så lärde de ut en metod som var skriftlig huvudräkning. Man skulle skriva i många led hur man gjorde, var i ett uppslag, och sedan i andra uppslaget som man tog en annan lektion då visade de en annan metod. Vilket gjorde att det var jättesnurrigt för alla och många skolor och varje år sa nej, nu kommer det där igen. Man visste ej vilken metod man skulle lära dem. Det är bra att man bara lär ut en metod att räkna och inte flera.
(L2)
Informant L4 och L5 valde att inte nämna någon som inte är gynnande med anledning av att de ej hade något att nämna. L4 nämnde att det finns väldigt många sätt att räkna subtraktion på, men inte någon speciell strategi som hen stött på som inte är gynnande.
6.3 Elevers användning av strategier samt deras inställning till subtraktion
6.3.1 Samma strategi
Samtliga informanter beskrev att de har elever som ibland inte använder den strategin de lärt ut. Orsaken till detta kan vara ett flertal, men lärarna är sammanfattningsvis på samma spår.
Eleven använder den strategi som passar den själv. L2 nämnde att eleven får gärna visa vilken strategi eleven använder. Om strategin är hållbar kan eleven självklart använda strategin. Är
