Föreläsning 12 Innehåll

Föreläsning 12

Innehåll

Sortering

O(n²)-algoritmer:

urvalssortering

insättningssortering

O(n log n)-algoritmer:

Mergesort Quicksort

Sortering

Varför sortera?

För att göra sökning effektivare.

För att förenkla vissa algoritmer.

Varför olika sorteringsalgoritmer?

Olika sorteringsalgoritmer passar bra i olika sammanhang.

Ingen enskild algoritm är bäst i alla möjliga situtioner.

Sortering i Java

I klassen java.util.Arrays finns metoder för att sortera vektorer t ex:

public static void sort(int[] items)

public static void sort(Object[] items)

elementen jämförs med compareTo

public static <T> void sort(T[] items, Comparator<?

super T> comp)

elementen jämförs med comp.compare

Exempel:

int[] a = {1, 4, 1, 9, 5, 2, 6};

Arrays.sort(a);

I interfacet java.util.List finns en metod sort för att sortera listan (fungerar alltså för t.ex. ArrayList och LinkedList).

Sortering i Java

Exempel

En vektor med Book-objekt ska sorteras.

Klassen Book:

public class Book implements Comparable<Book> { private String isbn;

private String title;

private String author;

private int nbrPages;

// konstruktor och övriga metoder public int compareTo(Book o) {

return isbn.compareTo(o.isbn);

Sortering i Java

Comparable

Book[] a = new Book[4];

a[0] = new Book("isbn4", "titleB", "authorC", 125);

a[1] = new Book("isbn3", "titleA", "authorC", 523);

a[2] = new Book("isbn2", "titleD", "authorA", 199);

a[3] = new Book("isbn1", "titleC", "authorB", 278);

...

// sortera efter isbn-nummer - jämförs i compareTo Arrays.sort(a);

...

Klassen Book måste implementera interfacet Comparable.

Inuti metoden sort används compareTo för att jämföra elementen.

Sortering i Java

Comparator

Book[] a = new Book[4];

a[0] = new Book("isbn4", "titleB", "authorC", 125);

a[1] = new Book("isbn3", "titleA", "authorC", 523);

a[2] = new Book("isbn2", "titleD", "authorA", 199);

a[3] = new Book("isbn1", "titleC", "authorB", 278);

...

// sortera efter titlar

Arrays.sort(a, new TitleComparator());

...

Klass som implementerar interfacet Comparator:

public class TitleComparator implements Comparator<Book> { public int compare(Book b1, Book b2) {

return b1.getTitle().compareTo(b2.getTitle());

Sortering i Java

Lambdauttryck

Sortera efter titlar:

Arrays.sort(a, (b1, b2) ->

b1.getTitle().compareTo(b2.getTitle()) );

Sortera efter antal sidor:

Arrays.sort(a, (b1, b2) -> b1.nbrPages() - b2.nbrPages() );

Istället för att skriva en klass som implementerar interfacet Comparator kan vi använda ett lambdauttryck.

Inuti metoden sort används compare för att jämföra elementen.

Kommentar: om subtraktion i Comparator

I föregående bild används subtraktion för att få ett värde < 0, == 0, > 0:

b1.nbrPages() - b2.nbrPages()

Differensen får fel tecken om termerna är väldigt stora (i storleksordningen Integer.MAX_VALUE eller MIN_VALUE), och har olika tecken. Problemet kallas overflow, och har att göra med att datatypen int har ett begränsat maximalt antal siffror (32 bitar, binära siffror).

Overflow kan inte inträffa i vårt exempel med böcker och sidantal. (Varför?) Om man hanterar stora tal kan hjälpmetoden Integer.compare användas:

Urvalsortering i vektor

Urvalsortering (eng. selection sort)

Sök minsta elementet i den osorterade delen av vektorn och byt plats med första osorterade element (first = första elementet i den

osorterade delen):

3.5 6.2 2.8 5.0 1.1 4.5 first

min

1.1 6.2 2.8 5.0 3.5 4.5 first

min

1.1 2.8 6.2 5.0 3.5 4.5 first

min

1.1 2.8 3.5 5.0 6.2 4.5 first

min

1.1 2.8 3.5 4.5 6.2 5.0 first

min

1.1 2.8 3.5 4.5 5.0 6.2

Tidskomplexitet: n − 1 + n − 2 + ... + 1 = O(n²)

Urvalssortering

Tidskomplexitet är O(n²).

Efter k pass är de k minsta (eller största) elementen sorterade. Kan därför vara lämplig om man bara vill få fram de k minsta (eller

största) och k är litet.

Tidskomplexitet är då O(k ∗ n)

Insättningssortering i vektor

Insättningssortering (eng. insertion sort)

Element på plats k i vektorn sätts in på rätt plats bland de redan sorterade elementen på platserna 0..k − 1

Detta görs för k = 1, 2, . . . , n

3.5 6.2 2.8 5.0 1.1 4.5 sort

osort

3.5 6.2 2.8 5.0 1.1 4.5

2.8 3.5 6.2 5.0 1.1 4.5

2.8 3.5 5.0 6.2 1.1 4.5

1.1 2.8 3.5 5.0 6.2 4.5

1.1 2.8 3.5 4.5 5.0 6.2 sort

osort sort

osort sort

osort sort

osort sort

Tidskomplexitet (värstafall):

1 + 2 + 3 + . . . + n − 1 = n(n − 1)/2 = O(n²).

Även medelfallet kan visas vara O(n²).

Diskutera

Blir urvalssortering snabbare eller långsammare om vektorns element råkar vara sorterade i stigande ordning?

Blir insättningssortering snabbare eller långsammare om vektorns element råkar vara sorterade i stigande ordning?

Insättningssortering

Tidskomplexitet är O(n²) i värsta fall och i medelfall.

Dock bra metod om vektorn är ”nästan” sorterad från början:

Om vektorn är sorterad utförs bara en jämförelse per pass – tidskomplexiteten blir då O(n).

Om vektorn består av n sorterade element följda av k osorterade behövs endast k pass.

Man börjar med att sortera in det (n + 1):a sedan det (n + 2):a o s v. I varje pass görs i värsta fall O(n) jämförelser.

Totalt O(k ∗ n) d.v.s. O(n) om k är litet i förhållande till n.

Insättningssortering

public static <T extends Comparable<T>> void sort(T[] a) { for (int i = 1; i < a.length; i++) {

T nextVal = a[i];

int nextPos = i;

while (nextPos > 0 &&

nextVal.compareTo(a[nextPos - 1]) < 0) { a[nextPos] = a[nextPos - 1];

nextPos--;

}

a[nextPos] = nextVal;

} }

Kommentar: begränsad typparameter

Metoden sort skulle kunna skrivas så här:

public static void sort(Object[] a) {...}

För att anropet av compareTo inuti sort ska fungera måste nextVal typkonverteras till Comparable:

... ((Comparable) nextVal).compareTo(...)...

Klassen som beskriver elementen i vektorn måste implementera Comparable. Annars genereras ClassCastException vid

exekveringen.

Man kan istället låta klassen vara generisk och begränsa

typparametern T så att det redan vid kompileringen krävs att klassen som ersätter T implementerar Comparable<T>:

public static <T extends Comparable<T>> void sort(T[] a) {...}

Insättningssortering

Variant med komparator

public static <T> void sort(T[] a, Comparator<T> comp) { for (int i = 1; i < a.length; i++) {

T nextVal = a[i];

int nextPos = i;

while (nextPos > 0 &&

comp.compare(nextVal, a[nextPos - 1]) < 0) { a[nextPos] = a[nextPos - 1];

nextPos--;

}

a[nextPos] = nextVal;

}

? super T

Överkurs

”? super T” kan utläsas ”okänd superklass till T (inklusive T)”

Deklarationen av typparametern T bör egentligen se ut så här: <T extends Comparable<? super T> istället för bara <T extends Comparable<T>>.

Förklaring: Antag att vi har följande klasser:

class Person implements Comparable<Person> { ... } class Student extends Person { ... }

Om den andra, enklare varianten används kan vi inte kan vi inte skriva:

Student[] v = ...

sort(v);

Klassen Student implementerar inte Comparable<Student> utan istället genom arv Comparable<Person>.

Mergesort

Sortera med söndra- och härskateknik

Sortera vänstra halvan Sortera högra halvan

Samsortera de båda sorterade halvorna

7 2 5 9 3 8 10 2

2 5 7 9 2 3 8 10

Merge – samsortering av sorterade följder

Algoritm

Givet två följder v1 och v2 med element sorterade i växande ordning.

Samsortera till en följd res.

Algoritm:

i = j = k = 0

så länge det finns obehandlade element kvar i både v1 och v2 jämför elementet i v1[i] med elementet i v2[j]

om det minsta elementet är från v1 res[k] = v1[i]

i = i + 1 annars

res[k] = v2[j]

j = j + 1 k = k + 1

En av följderna v1 och v2 har obehandlade element kvar.

Flytta dessa element till res.

Samsortering av sorterade följder – exempel

1 4 6 6 2 4 7 res

v1 v2

1 4 6 6 2 4 7

res v1 v2

1

2 4 7 res

v1 v2

1 2

2 4 7 res

v1 v2

1 2 4 1 4 6 6 1 4 6 6

1 4 6 6 2 4 7

res v1 v2 2 4 7

res v1 v2

1 2 4 4 1 4 6 6

1 2 4 4 6

1 4 6 6 2 4 7

res v1 v2

1 2 4 4 6 6

Samsorteringen i Mergesort

I samsorteringssteget i Mergesort (merge) motsvaras de båda följderna v1 och v2 av de båda sorterade vektorhalvorna.

Det går inte att utföra samsorteringen i den ursprungliga vektorn. En hjälpvektor, lika stor som den som ska sorteras, behövs.

När man i merge-steget skall slå samman två delvektorer:

används motsvarande utrymme i hjälpvektorn (tmpArray):

Resultatet flyttas sedan tillbaka till ursprungsvektorn.

Samsorteringen i Mergesort

Exempel

Slå samman delvektorerna v1 och v2 i vektorn a (bestående av ett element vardera):

Resultatet flyttas sedan tillbaka till den ursprungliga vektorn.

7 2 5 9 3 8 10 2

2 7

tmpArray a

merge – implementeringsskiss

Slå samman de sorterade delvektorerna a[leftPos] .. a[rightPos - 1]

och a[rightPos] .. a[rightEnd]:

private static <T extends Comparable<T>> void merge(T[] a,

T[] tmpArray, int leftPos, int rightPos, int rightEnd) { int leftEnd = rightPos - 1;

int tmpPos = leftPos;

...

leftPos rightPos rightEnd

merge – implementeringsskiss

Forts

while (leftPos <= leftEnd && rightPos <= rightEnd) { if (a[leftPos].compareTo(a[rightPos]) <= 0) {

tmpArray[tmpPos] = a[leftPos];

leftPos++;

} else {

tmpArray[tmpPos] = a[rightPos];

rightPos++;

}

tmpPos++;

}

/* Nu är en av delvektorerna tom. Kopiera över resten av elementen i den icke tomma vektorn till tmpArray */

Mergesort – implementering

/** Sorterar elementen i vektora a */

public static <T extends Comparable<T>> void sort(T[] a) { T[] tmpArray = (T[]) new Comparable[a.length];

mergeSort(a, tmpArray, 0, a.length - 1);

}

private static <T extends Comparable<T>> void

mergeSort(T[] a, T[] tmpArray, int first, int last) { if (first < last) {

int mid = first + (last - first) / 2;

mergeSort(a, tmpArray, first, mid);

mergeSort(a, tmpArray, mid + 1, last);

merge(a, tmpArray, first, mid + 1, last);

} }

Stabila sorteringsalgoritmer

Stabila sorteringsalgoritmer

Bibehåller ordningen för element med lika nycklar efter sorteringen.

Exempel: Antag att vi har personer ordnade efter förnamn:

Ada Andersson, Bo Eriksson, Lars Andersson, Lena Andersson

Om vi vill sortera efter efternamn istället, men samtidigt bibehålla den tidigare ordningen mellan förnamnen så måste vi använda en stabil

sorteringsalgoritm.

Ada Andersson, Lars Andersson, Lena Andersson, Bo Eriksson

Mergesort – tidskomplexitet

Att samsortera två sorterade delvektorer av sammanlagd storlek n kostar O(n).

1 merge av två delvektorer av storlek n/2, kostnad n

2 merge av två delvektorer av storlek n/4, kostnad 2 ∗ n/2 = n 4 merge av två delvektorer av storlek n/8, kostnad 4 ∗ n/4 = n

Antal nivåer = log n =⇒ total kostnad O(n log n)

Quicksort

Söndra- och härskaalgoritm.

Oftast snabb

Sämre än Mergesort i värsta fall – O(n²).

Bra (snabb) i medelfall – O(n log n).

Värstafallet kan göras statistiskt osannolikt.

Inget extra minnesutrymme för temporär vektor krävs.

Quicksort – algoritm

Välj ut ett element (pivotelement).

Se till att det hamnar på rätt plats:

Flytta om elementen så att element ≤ pivot hamnar till vänster och element ≥ pivot hamnar till höger.

Kallas partitionering av vektorn.

x

≤ x ≥ x

Pivot-elementet, på rätt plats

Upprepa rekursivt på de båda delvektorerna till vänster respektive till höger om pivotelementet.

Quicksort – implementering

public static <T extends Comparable<T>> void sort(T[] a) { quickSort(a, 0, a.length - 1);

}

/* Privat hjälpmetod.

Sorterar delvektorn a[first]..a[last]

*/

private static <T extends Comparable<T>> void

quickSort(T[] a, int first, int last) { if (first < last) {

int pivIndex = partition(a, first, last);

quickSort(a, first, pivIndex - 1);

quickSort(a, pivIndex + 1, last);

Quicksort – val av pivot

I princip kan vilket element som helst väljas.

Vi börjar för enkelhets skull med att välja första elementet i vektorn.

Inte särskilt bra val. Vi återkommer senare med en diskussion om bättre val.

Quicksort – partitioneringssteget

Sök från vänster upp ett element som är ≥ pivot.

Sök från höger upp ett element som är ≤ pivot.

Byt plats på dessa.

Fortsätt tills hela vektorn genomletats.

Pivotelementet kan sättas in mellan de båda vektordelarna som uppstår.

Arbetet blir proportionellt mot vektorns längd.

Partitionering – exempel

6 1 8 9 4 3 5 2 0

pivot = 6 7

6 1 0 9 4 3 5 2 8 7

6 1 0 9 4 3 5 2 8 7

6 1 0 2 4 3 5 9 8 7

Efter byte:

Efter byte:

6 1 0 2 4 3 5 9 8 7

Byt plats på detta och pivot

5 1 0 2 4 3 6 9 8 7

pivot

Partitionering – sorterad vektor

Dåligt val av pivot

Om vektorn är sorterad och om pivot väljs som första elementet hamnar Quicksort i sitt värsta fall:

1 2 3 4 5 6 7 8

pivot = 1

Byt plats på detta och pivot

1 2 3 4 5 6 7 8

pivot

Quicksort – tidskomplexitet

Man kan visa att det bästa fallet för Quicksort är när vektorn delas mitt itu i varje rekursiv upplaga.

Då är tidskomplexiteten = O(n log n) x

≤ x pivot ≥ x

Sämsta fall är när den ena delvektorn blir tom i varje rekursiv upplaga.

Då är tidskomplexiteten = O(n²) x

≥ x pivot

Quicksort – bättre val av pivot

Välj median av första, mittersta och sista elementet.

Eliminerar riskerna i samband med sorterad eller nästan sorterad indata.

6 1 4 9 8 3 5 2 7 0

left mid right

Sortera de tre elementen i växande ordning:

0 1 4 9 6 3 5 2 7 8

left mid right

pivot

Quicksort – bättre val av pivot

Forts

Byt elementet på plats mid med elementet på plats left.

Då hamnar pivotelementet längs till vänster precis som förut.

6 1 4 9 0 3 5 2 7 8

pivot

Nu kan partitioneringssteget utföras som förut.

Varianter av partitioneringssteget

Stanna eller ej (och byta) vid likhet med pivot?

Om vi inte stannar och byter och alla nycklar är lika hamnar vi i sämsta fallet.

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

pivot

Om vi stannar och byter och alla nycklar är lika blir det bästa fallet.

5 5 5 5 5

5 5 5 5 5

Quicksort – efter partitioneringen

Efter partitioneringen sorteras delvektorerna

a[low]. . . a[pivIndex-1] och a[pivIndex+1]. . . a[high] rekursivt.

I praktiken låter man av effektivitetsskäl metoden avstanna när delvektorn i det rekursiva anropet är mindre än 10-20.

Den då nästan färdigsorterade vektorn kan sorteras av någon metod som är bra på nästan sorterad indata. T.ex. är insättningssortering lämplig.

Sortering

Exempel på vad du ska kunna

Redogöra för och jämföra olika sorteringsalgoritmer:

Insättningssortering i vektor Urvalssortering i vektor

Heapsort (behandlas i samband med prioritetsköer).

Mergesort Quicksort

Genomföra sortering på enkla exempel med ovan nämnda metoder Samsortera två sorterade följder

Förklara begreppen pivot-element och partitionering (Quicksort).

Använda idéerna från sorteringsalgoritmerna för att lösa andra