En mängd är en samling objekt
A = 0, 1 { } kallas element i mängden
M än gd er – gr un db egr ep p Ex:
B = 0 { }
∅
D = 1, 2, 3, …, 10 { }
tomma mängden (har inga element)
C = −7, 1, 5 { }
M = Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe { }
”mängden av alla hela tal mellan 1 och 10”
”mängden av mattelärare på skolan”
5 ∈ C
” elementet 5 tillhör mängden C”
Olof ∉ M
”Olof tillhör inte M”
N = 0, 1, 2, 3,… { }
M än gd er – gr un db egr ep p
Ex: ”mängden av alla naturliga tal”
Z = { …, − 2, −1, 0, 1, 2,… } ”mängden av alla hela tal”
N = 0, 1, 2, 3,… { }
M än gd er – gr un db egr ep p
Ex: ”mängden av alla naturliga tal”
Z = { …, − 2, −1, 0, 1, 2,… } ”mängden av alla hela tal”
Tillbaka till D:
D = x x är ett heltal och 1≤ x ≤10 { }
N = 0, 1, 2, 3,… { }
M än gd er – gr un db egr ep p
Ex: ”mängden av alla naturliga tal”
Z = { …, − 2, −1, 0, 1, 2,… } ”mängden av alla hela tal”
Tillbaka till D:
D = x x är ett heltal och 1≤ x ≤10 { } ” mängden av alla x sådana att x är ett heltal mellan 1 och 10”
namn på godtyckligt element i mängden
beskrivning (påstående som är
sant för de x som är element i mängden)
N = 0, 1, 2, 3,… { }
M än gd er – gr un db egr ep p
Ex: ”mängden av alla naturliga tal”
Z = { …, − 2, −1, 0, 1, 2,… } ”mängden av alla hela tal”
Tillbaka till D:
D = x x är ett heltal och 1≤ x ≤10 { } ” mängden av alla x sådana att x är ett heltal mellan 1 och 10”
namn på godtyckligt element i mängden
beskrivning (påstående som är
sant för de x som är element i mängden)
Ännu kompaktare: D = x x ∈ Z, 1≤ x ≤10 { }
M än gd er – gr un db egr ep p
Om varje element i en mängd B också tillhör mängden A,
kallas B delmängd av A. Skrivs
B ⊆ A eller A ⊇ B
M än gd er – gr un db egr ep p
Om varje element i en mängd B också tillhör mängden A,
kallas B delmängd av A. Skrivs
B ⊆ A eller A ⊇ B
Om men
är B en äkta delmängd av A. Skrivs
B ⊂ A eller A ⊃ B
B ⊆ A B ≠ A
M än gd er – gr un db egr ep p
Om varje element i en mängd B också tillhör mängden A,
kallas B delmängd av A. Skrivs
B ⊆ A eller A ⊇ B
Om men
är B en äkta delmängd av A. Skrivs
B ⊂ A eller A ⊃ B
B ⊆ A B ≠ A
Notera att är delmängd av varje mängd. ∅
M än gd er – gr un db egr ep p
Om varje element i en mängd B också tillhör mängden A,
kallas B delmängd av A. Skrivs
B ⊆ A eller A ⊇ B
Om men
är B en äkta delmängd av A. Skrivs
B ⊂ A eller A ⊃ B
B ⊆ A B ≠ A
Notera att är delmängd av varje mängd. ∅
En mängd med n element har 2 n delmängder.
M än gd op er at io ne r
Låt A och B vara två mängder som är delmängder av
någon grundmängd G.
A G
B
M än gd op er at io ne r
A∩ B = x x ∈ A och x ∈ B { }
Låt A och B vara två mängder som är delmängder av
någon grundmängd G.
Snittet av A och B:
A G
B
A G
B
M än gd op er at io ne r
A∩ B = x x ∈ A och x ∈ B { }
Låt A och B vara två mängder som är delmängder av
någon grundmängd G.
Snittet av A och B:
A∪ B = x x ∈ A eller x ∈ B { }
Unionen av A och B:
A G
B
A G
B
A G
B
M än gd op er at io ne r
A∩ B = x x ∈ A och x ∈ B { }
Låt A och B vara två mängder som är delmängder av
någon grundmängd G.
Snittet av A och B:
A∪ B = x x ∈ A eller x ∈ B { }
Unionen av A och B:
A B = x x ∈ A och x ∉ B { }
Mängddifferensen av A och B:
A G
B
A G
B
A G
B
A G
B
M än gd op er at io ne r
A∩ B = x x ∈ A och x ∈ B { }
Låt A och B vara två mängder som är delmängder av
någon grundmängd G.
Snittet av A och B:
A∪ B = x x ∈ A eller x ∈ B { }
Unionen av A och B:
A B = x x ∈ A och x ∉ B { }
Mängddifferensen av A och B:
A
C= G A
Komplementet till A med avseende på G:
A G
B
A G
B
A G
B
A G
B
A G
”ingår i både A och B”
”ingår i A eller B eller i båda”
[”eller/och”]
”ingår i A men inte i B”
Alla element som…
”ingår i G men
inte i A”
Ve nn di agr am
Om A och B inte har något gemensamt element (det vill säga om ) sägs de vara disjunkta.
A ∩ B = ∅
AG
B
Ve nn di agr am
Om A och B inte har något gemensamt element (det vill säga om ) sägs de vara disjunkta.
A ∩ B = ∅
AG
B
Antalet element i en mängd M betecknas
M
Ve nn di agr am
Om A och B inte har något gemensamt element (det vill säga om ) sägs de vara disjunkta.
A ∩ B = ∅
AG
B
Antalet element i en mängd M betecknas
M Principen om inklusion och exklusion:
A ∪ B = A + B − A ∩ B
Lådpr incipen
Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla två eller flera av föremålen.
Lådpr incipen
Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla två eller flera av föremålen.
Lådpr incipen
Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla två eller flera av föremålen.
Lådpr incipen
Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla två eller flera av föremålen.
Om n • k + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla
k + 1 eller fler av föremålen.
k
n
Addit ion sprin cipe m, multiplikatio nsprincipen
Om ett (1) föremål ska väljas från en mängd
med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, kan detta göras på på p + q sätt.
Addit ion sprin cipe m, multiplikatio nsprincipen
Om ett (1) föremål ska väljas från en mängd
med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, kan detta göras på på p + q sätt.
Om ett första val kan göras på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt,
så kan de båda valen utförda efter varandra
göras på p • q sätt.
Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning
Pe rm ut at io ne r
Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning
Pe rm ut at io ne r
A B
C
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning
Antalet permutationer av n element är
Pe rm ut at io ne r
A B
C
där n är ett positivt heltal.
n! = n ⋅ (n −1)⋅ (n − 2)⋅... ⋅ 3⋅ 2 ⋅1
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning
Antalet permutationer av n element är
Pe rm ut at io ne r
A B
C
där n är ett positivt heltal.
n! = n ⋅ (n −1)⋅ (n − 2)⋅... ⋅ 3⋅ 2 ⋅1
0! = 1 (def.)
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning
Antalet permutationer av n element är
Pe rm ut at io ne r
A B
C
där n är ett positivt heltal.
n! = n ⋅ (n −1)⋅ (n − 2)⋅... ⋅ 3⋅ 2 ⋅1
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
Antalet permutationer av k element bland n givna element är
P(n, k) = n!
(n − k)!
A B C D
AB AC AD CA CB CD BA BC BD DA DB DC
0! = 1 (def.)
(ordnat urval)
(ordnade urval)
Ex: 2 kort bland 4:
P(4, 2) = 4 ⋅ 3 = 12
Ex 1: Hur många ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet BRA?
Bilda ord
Ex 1: Hur många ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet BRA?
Bilda ord
3! = 3⋅ 2 ⋅1 = 6
BRA BAR ABR ARB RAB RBA
Antal ord =
Ex 1: Hur många ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet BRA?
Bilda ord
Ex 2: Hur många olika ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet OMM?
3! = 3⋅ 2 ⋅1 = 6
BRA BAR ABR ARB RAB RBA
Antal ord =
Ex 1: Hur många ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet BRA?
Bilda ord
Ex 2: Hur många olika ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet OMM?
3! = 3⋅ 2 ⋅1 = 6
BRA BAR ABR ARB RAB RBA
Skriv OMM som OM 1 M 2 . Notera att t.ex.
OM 2 M 1 och OM 1 M 2 är samma ord.
M 1 och M 2 kan kombineras på sätt.
Det finns alltså dubbletter av varje ord.
Antal olika ord = Antal ord =
2! = 2 ⋅1 = 2 2!
3!
2! = 3
OMM, MOM, MMO
Ex 3: Hur många olika ord med fem bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet MUMMA?
Bilda ord
Ex 3: Hur många olika ord med fem bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet MUMMA?
Bilda ord
Skriv MUMMA som M 1 UM 2 M 3 A. Notera att t.ex.
M 3 UM 2 M 1 A och M 3 UM 1 M 2 A är samma ord.
M 1 , M 2 och M 3 kan kombineras på sätt.
Det finns alltså dubbletter av varje ord.
Antal olika ord =
3! = 6 3!
5!
3! = 20
Ex 3: Hur många olika ord med fem bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet MUMMA?
Bilda ord
Ex 4: Hur blir det med MAMMA då?
Skriv MUMMA som M 1 UM 2 M 3 A. Notera att t.ex.
M 3 UM 2 M 1 A och M 3 UM 1 M 2 A är samma ord.
M 1 , M 2 och M 3 kan kombineras på sätt.
Det finns alltså dubbletter av varje ord.
Antal olika ord =
3! = 6 3!
5!
3! = 20
Ex 3: Hur många olika ord med fem bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet MUMMA?
Bilda ord
Ex 4: Hur blir det med MAMMA då?
Skriv MUMMA som M 1 UM 2 M 3 A. Notera att t.ex.
M 3 UM 2 M 1 A och M 3 UM 1 M 2 A är samma ord.
M 1 , M 2 och M 3 kan kombineras på sätt.
Det finns alltså dubbletter av varje ord.
Antal olika ord =
3! = 6 3!
5!
3! = 20
Skriv MAMMA som M 1 A 1 M 2 M 3 A 2 .
M 1 , M 2 och M 3 kan kombineras på sätt.
Antal olika ord =
3!
5!
3! 2! =
5!
3!⋅ 2! = 10
A 1 och A 2 kan kombineras på sätt. 2!
AB AC AD CA CB CD BA BC BD DA DB DC
Kombination: urval av element ur en mängd utan hänsyn till ordningen
Ko m bi na ti on er
A B C D
Ex: 2 kort bland 4:
Antalet permutationer = P(4, 2) = 4 ⋅ 3 = 12
Kombination: urval av element ur en mängd utan hänsyn till ordningen
Ko m bi na ti on er
A B C D
AB AC AD CA CB CD BA BC BD DA DB DC
Ex: 2 kort bland 4:
Antalet permutationer =
Två element kan kombineras (ordnas) på sätt.
P(4, 2) = 4 ⋅ 3 = 12
Antalet kombinationer
2!
C(4, 2) = P(4, 2)
2! = 4 ⋅ 3 1⋅ 2 = 12
2 = 6
Kombination: urval av element ur en mängd utan hänsyn till ordningen
Ko m bi na ti on er
Antalet kombinationer av k element bland n element är
C(n, k) = n!
k!(n − k)! = n k
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
A B C D
AB AC AD CA CB CD BA BC BD DA DB DC
Ex: 2 kort bland 4:
Antalet permutationer =
Två element kan kombineras (ordnas) på sätt.
P(4, 2) = 4 ⋅ 3 = 12
Antalet kombinationer C(4, 2) = P(4, 2)
2! = 4 ⋅ 3 1⋅ 2 = 12
2 = 6 2!
n k
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ = n
n − k
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
Observera att
Ett slumpförsök kan resultera i olika utfall.
Sa nn ol ik he ts lä ra
P(A) = antal gynnsamma utfall antal möjliga utfall
Ω = etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa { }
möjligt resultat vid ett slumförsök
Utfallsrum (för ett försök): mängden av alla möjliga utfall
Ex:
Tärning kastas en gång.
Händelse: delmängd av utfallsrummet
P(A) sannolikheten för en händelse A
Om alla utfall har samma sannolikhet:
P är egentligen en Funktion som till varje händelse ordnar
ett tal mellan 0 och 1.
A = tvåa { } B = trea, fyra, femma, sexa { }
P(A) = 1
6 P(B) = 4
6
Komplementhändelse till en händelse A: A C
Sa nn ol ik he ts lä ra
P(A
C) = 1− P(A) ⇔ P(A) = 1− P(A
C) Ω = etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa { }
Ex:
Tärning kastas en gång.
P är egentligen en Funktion som till varje händelse ordnar
ett tal mellan 0 och 1.
A = tvåa, trea, fyra, femma, sexa { }
A
C= etta { }
P(A) = 1− P(A
C) = 1− 1 6 = 5
6
komplementet till A
A G
