Komplex analys I, hemuppgifter till vecka 41
1. a) S¨ok en analytisk funktion w = f (z), som avbildar parallellstrimlan
|x + y| < 1 konformt p˚a ¨ovre halvplanet Im w > 0. (z = x + iy) b) Best¨am bilden av rektangeln med h¨ornpunkterna 1, 1 + iπ, −1 + iπ och −1 i z-planet, under avbildningen w = ez.
2. Ber¨akna a) 1i och b) (1 + i)i.
3. S¨ok en funktion w = f (z) som avbildar halvplanet Im z > 0 p˚a paral- lellstrimlan 0 < Re w < 1.
4. Bevisa formlerna a) sin(z1+ z2) = sin z1 cos z2+ sin z2 cos z1, b) sin z = sin z.
5. Best¨am alla r¨otter till ekvationerna a) sin z = i, b) cot z = 1 + i.
6. Vilka kurvor i w-planet svarar mot paralleller till koordinataxlarna i z-planet vid avbildningen w = cos z ?
7. F¨or komplext z definieras sinh z = ez− e−z
2 och cosh z = ez+ e−z
2 .
Best¨am derivatorna f¨or de hyperboliska funktionerna. Bevisa identite- terna
cosh z = cos(iz), sinh z = −i sin(iz) och cosh2z − sinh2z = 1.
Utred periodiciteten f¨or sinh z och cosh z. Best¨am reella och imagin¨ara delarna av sinh(x + iy) och cosh(x + iy).
1
