Visa att det inte finns n˚agon punkt w p˚a str¨ackan mellan z1 och z2 s˚adan att f (z2

Komplex analys I, hemuppgifter till vecka 39

1. Unders¨ok, med hj¨alp av derivatans definition, i vilka punkter f (z) =

|z|² ¨ar deriverbar.

2. a) H¨arled L’Hospital’s regel: Om f (z) och g(z) ¨ar deriverbara i punkten z₀ d¨ar f (z₀) = g(z₀) = 0 och g⁰(z₀) 6= 0, s˚a g¨aller

z→zlim0

f (z)

g(z) = f⁰(z₀) g⁰(z₀). b) Best¨am limz→i 1+z⁶

1+z¹⁰.

3. L˚at f (z) = z³+ 1 och z₁ = (−1 + i√

3)/2, z₂ = (−1 − i√

3)/2. Visa att det inte finns n˚agon punkt w p˚a str¨ackan mellan z₁ och z₂ s˚adan att f (z₂) − f (z₁) = f⁰(w)(z₂− z₁).

4. Visa med hj¨alp av Cauchy-Riemanns differentialekvationer att a) f (z) = 2y − i x, (z = x + i y),

b) f (z) = Re z, saknar derivata i alla punkter.

5. Visa att Cauchy-Riemanns differentialekvationer i pol¨ara koordinater antar formen

∂u

∂r = 1 r · ∂v

∂θ , ∂v

∂r = −1 r ·∂u

∂θ .

( Antag att f (z) = u(x, y) + i v(x, y) ¨ar analytisk och s¨att x = r cos θ och y = r sin θ).

6. Unders¨ok i vilka punkter av z-planet funktionen f (z) = 2x³y + 3x²y²− y³+ i3xy², z = x + iy, ¨ar a) deriverbar, b) analytisk.

7. Definiera funktionen f f¨or z 6= 0 genom

f (z) = x⁵− 10x³y²+ 5xy⁴+ i(5x⁴y − 10x²y³+ y⁵)

(x²+ y²)² ,

och definiera f (0) = 0. Visa att Cauchy-Riemanns differentialekvatio- ner satisfieras i punkten z = 0 och att f saknar derivata i punkten.

1