School of Mathematics and Systems Engineering
Reports from MSI - Rapporter från MSI
Laborativ matematikundervisning
Ett tänkbart komplement till traditionell
gymnasieundervisning
Mattias Johansson Mikael Wahlberg
Examensarbete 10 poäng Lärarutbildningen HT 2006 Växjö universitet Författare: Mattias Johansson Mikael Wahlberg Titel:
Laborativ matematikundervisning
Ett tänkbart komplement till traditionell gymnasieundervisning Sökord:
Laboration, matematik, undervisning, gymnasie, didaktik Abstract
Innehåll
1 Inledning 5 2 Syfte 6 2.1 Problemdiskussion . . . 6 2.2 Avgränsning . . . 6 3 Teoretisk bakgrund 7 3.1 Styrdokument . . . 7 3.2 Teoretisk modell . . . 8 3.2.1 Förberedelse . . . 9 3.2.2 Praktisk lösning . . . 9 3.2.3 Muntlig lösning . . . 10 3.2.4 Formell lösning . . . 11 4 Metod 12 5 Resultat och analys 14 5.1 Laborationsdesign . . . 14 5.1.1 Utförande . . . 14 5.2 Eget genomförande . . . 15 5.2.1 Lektionen . . . 15 5.2.2 Didaktiska reflektioner . . . 16 5.3 Intervjuer . . . 18 5.3.1 Lärare 1 . . . 18 5.3.2 Lärare 2 . . . 19 5.3.3 Lärare 3 . . . 19 5.4 Intervjuanalys . . . 205.4.1 Förberedelser och förutsättningar . . . 20
5.4.2 Undervisning . . . 20
6 Slutdiskussion 22 A Lektion 1 25 A.1 Teori . . . 25
A.1.1 Differens- och differentialekvation . . . 25
A.1.2 Avsvalning . . . 26
A.1.3 Proportionalitet . . . 26
A.2 Materiel . . . 26
A.3 Genomförande . . . 27
A.5 Instuderingsfrågor . . . 28
A.5.1 Övning 1 . . . 28
A.5.2 Övning 2 . . . 28
A.5.3 Övning 3 . . . 28
1
Inledning
Vi tror att elevernas möjligheter att utvecklas och införskaffa sig kunskaper står i relation till deras intresse för ämnet. Det är just detta som väckt vårt engagemang för matematiklaborationer. De kan fungera som en språngbräda in i matematikens värld och väcka elevernas intresse. Eleverna får chansen att sätta in sina kunskaper i deras egen vardag och livssituation.
Att arbeta med en laborativ undervisning har potentiella fördelar. Det är en inbjudan till tematisering av skolans andra ämnen samtidigt som det visar på ett väldigt effektivt sätt hur vår komplexa verklighet går att mo-dellera. Lärande på ett laborativt sätt, ger eleverna möjlighet att inte bara införskaffa sig teoretiska kunskaper utan även koppla ihop det med praktiska handlingar. Vilket skulle kunna leda till att skolans undervisning i matematik kan omsättas till kunskaper för den enskilde eleven i dess vardag.
2
Syfte
Vårt syfte med detta arbete är att presentera och analysera ett tänkbart komplement till matematikundervisningen på gymnasial nivå. Vi tror att ett laborativt undervisningstänkande kan vara ett sådant tänkbart komplement.
2.1
Problemdiskussion
Förhoppningen är att arbetet utreder huruvida matematiklaborationer kan vara lämpliga att införa i matematikundervisningen samt hur dessa konkret kan användas i undervisningen. Bland de frågor som väcks hör följande:
1. Kan en mer praktisk undervisning vara ett komplement vi söker till matematikundervisningen?
2. Vilka krav ställer det på läraren och förberedelserna?
3. I vilka kontexter implementeras matematiklaborationer i undervisning-en?
2.2
Avgränsning
Den traditionella matematikundervisningen, genomgång följt av uppgiftslös-ning på egen hand, har haft och har en viktig funktion i matematikämnets undervisning. Alternativa eller kompletterande undervisningsmetoder skulle kunna variera den mer beprövade undervisningen.
3
Teoretisk bakgrund
Arbetet kommer framförallt att utgå från två olika teoretiska utgångspunk-ter, styrdokument och matematikdidaktisk litteratur. Med hjälp av dessa utgångspunkter definieras de ramar som gäller och vad som skall eftersträvas i arbetet med laborationerna. Ämnesmålen och kursmålen i styrdokumenten kommer att styra förutsättningarna i framtagandet av vårt laborationsexem-pel så att det motsvarar kunskaperna som eleverna skall sträva mot.
3.1
Styrdokument
I Lpf 94 står att skolan skall sträva mot att varje elev i gymnasieskolan kan formulera och pröva antaganden, lösa problem, reflektera över erfarenheter, kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden samt lösa praktis-ka problem och arbetsuppgifter (Skolverket 1994). I matematikens styrdoku-ment finns mycket att ta fasta på i utformandet av en laborativ undervisning med ambitionen att utveckla eleverna (Skolverket 2007). I ämnets syfte står det bland annat att utbildningen:
• skall leda till förmåga att kommunicera med matematikens språk och symboler, som är likartade över hela världen,
• i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor, som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor,
• syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik.
Vidare skall undervisningen i matematik sträva efter att eleverna:
• utvecklar sin tilltro till den egna förmågan att lära sig mera matematik, att tänka matematiskt och att använda matematik i olika situationer, • utvecklar sin förmåga att tolka, förklara och använda matematikens
språk, symboler, metoder, begrepp och uttrycksformer,
• utvecklar sin förmåga att tolka en problemsituation och att formulera den med matematiska begrepp och symboler samt välja metod och hjälpmedel för att lösa problemet,
3.2
Teoretisk modell
Den teoretiska modellen bygger på Gudrun Malmers idéer i “Kreativ mate-matik“, där hon anser att lärare på samtliga stadier bör i större utsträckning utforma undervisningen på ett sådant sätt att eleverna får vara aktivt verk-samma och får ett tillfälle att undersöka, upptäcka och förhoppningsvis också uppleva räknehandlingen (Malmer 1990).
Vid en introduktion av ett nytt matematiskt område finns det flera sätt att angripa problematiken på. Vilken typ av ingångssätt till matematikområ-det som tillämpas kan bero på flera faktorer, såsom elevernas förkunskaper, litteratur, tidstillgång, bedömningsmöjligheter med mera.
Ett vanligt förekommande sätt är att introducera ett matematiskt områ-de med hjälp av ett korrekt matematiskt symbolspråk områ-definiera formler och olika delmoment i kursen. När alla små delmoment har behandlats knyts det till sist ihop till en helhet. Utifrån matematiksymbolerna översätts sedermera momentet till en mer konkret vardagssituation. Man går således från mate-matisk terminologi och definitioner till att visa en större helhet och innebörd. Motsatsen till detta är att introducera den matematiska helheten och dess roll i samhället för att sedermera bryta ner det i mindre delmoment och på så sätt börja definiera och behandla den matematiska kärnan.
Den första metoden går rakt på den matematiska kärnan i momentet. Därför går det med fördel att använda detta i ett matematiskt område som eleverna redan behärskar och känner sig någorlunda trygga med. Då skolans verksamhet, liksom all annan, ofta är tidsbegränsad så kan denna metod kännas trygg på det sättet att den garanterar att den matematiska kärnan kommer att behandlas. Nackdelen är dock att det ofta blir tillrättalagda uppgifter som kräver ett givet svar. Vilket leder till att elevernas kritiska tänkande inte utvecklas (Malmer 1990: 46). Fördelen med den andra metoden är att den väcker ett intresse då den sätts in i en vardaglig kontext och således berör det även den enskilde eleven. Matematik är som bekant inte bara ett lösryckt skolämne som bara behandlas under undervisningar, utan det är ett ämne som finns i allas vardag.
3.2.1 Förberedelse
För att åstadkomma en bra laboration krävs en del förberedelser. Framförallt betonas vikten av att läraren har förtrogenhet med det matematiska inne-hållet samt val av laborationsuppgift eftersom laborativ undervisning ställer helt andra krav på lärarens kompetens. Häggmark som förespråkar labora-tiv undervisning i geometri förklarar att för att kunna organisera en sådan aktiv elevverksamhet och framgångsrikt leda den måste läraren under sin utbildning inta en undersökande attityd till de geometriska objekten, själv genomföra experiment och studera laborativt inriktade övningsuppgifter pa-rallellt med motsvarande teori (Häggmark 1989).
En förtrogenhet med innehållet i laborationen kräver inte att läraren skall veta alla svar och ha alla lösningar, men det är viktigt att läraren vet vilken problematik eleverna ställs inför och vilka frågor som kan komma. Labora-tionsuppgiften skall vara väl genomtänkt. Det är viktigt att den är tillräckligt svår för att väcka elevernas intresse men samtidigt skall den kunna lösas på en konkret nivå. Laborationen skall dessutom kunna utvidgas eller fördjupas, så att olika svårighetsgrader finns inom en och samma laboration (Berggren, Lindroth 2004).
3.2.2 Praktisk lösning
Den inlärning som sker i skolan är beroende av det konkreta sammanhanget den är insatt i. Att således inte låta eleverna själva knyta an till verkligheten utan i stället överlåta konkretiseringen av det nya matematiska området till läroboken eller läraren kan ge problem i elevernas förståelse för området. Då läroboken eller läraren skall knyta an till verkligheten kommer den att utgå ifrån vad som anses vara i elevernas intresse, inte vad som faktiskt är in-tressant för eleverna. Utan denna verklighetsförankring kan eleverna uppleva att de står vid sidan av matematiken. Deras bristande delaktighet kan bero på att de inte kan associera de matematiska problemen till någon konkret situation. Det kommer dessutom att förmedla att eleverna bör förhålla sig som en passiv mottagare av information istället för att uppmuntra eleverna till en mer aktiv roll i sin lärandeprocess (Löthman 1992).
finns det risk att eleverna på vägen tappar bort verklighetsanknytningen. Då är det viktigt att eleverna känner förtrogenhet och har möjlighet att kunna återkomma till det materiel som en gång introducerade dem i problemformu-leringen (Berggren och Lindroth 2004).
3.2.3 Muntlig lösning
Sambandet mellan språkets betydelse för elevers kunskapsutveckling är väl dokumenterad. Allt från Vygotskij till mer nutida utredningar från till exem-pel skolverket visar på att språket är starkt sammankopplat med inlärning. Matematiken är inget undantag (Skolverket 2003), (Hwang, Nilsson 1995: 48).
Matematiken är i sig ett eget språk med en termonologi som är speci-fikt för just matematiken. Det finns flera exempel på ord med en matematisk innebörd men som utanför den matematiska horisonten har en annan vardag-lig betydelse. Till exempel: produkt, bråk, axel har en annorlunda innebörd i matematiksalarna än utanför (Berggren och Lindroth 2004: 76). För att kun-na kommunicera och förstå varandra är det viktigt att alla har en språklig grund att stå på. Många gånger introduceras nya matematiska svårigheter samtidigt som språket och termonologin blir allt mer komplicerad. På detta sätt kan uppgifterna kännas övermäktiga för många elever och de riskerar att möta en allt för stor svårighetsökning. Därför bör ökningen av de ma-tematiska svårigheterna och de språkliga svårigheterna inom undervisningen ske stegvis. Matematiken och språkets svårighetsgrad bör inte ökas samtidigt (Malmer 1990). Vygotskij talade om proximal utveckling, det vill säga en ut-veckling som ligger steget före men inte alltför långt före barnets nuvarande punkt i utvecklingen (Hwang och Nilsson 1995: 50).
Nya begrepp och ord kan med fördel introduceras exklusivt från den ma-tematiska kärnan. Det finns olika sätt att behandla denna problematik på. Förutom att hantera nya begrepp som rena glosor går det även att ta hjälp av olika begreppskartor innan introduktionen av det nya matematiska området görs (Malmer 1990: 99).
labora-tionens utformning. För att en givande diskussion skall kunna uppstå krävs det en mer öppen uppgiftsformulering, så att eleverna uppmuntras att ta till sig av andras lösningar.
3.2.4 Formell lösning
Det sista steget är att formulera en praktisk lösning och muntlig förklaring till en formell lösning. Detta steget anses många gånger som det mest kom-plicerade och är ofta förenat med problem för eleverna (Malmer 1990). Detta underlättas dock då eleverna ha arbetat med ett praktiskt material och för-ankrat kunskaperna praktiskt innan de gör en formell lösning (Oskarsson och Svahn 2005: 8). Det matematiska symbolspråket måste utgå från och förbin-das med elevernas eget språk om det ska få en innebörd för eleverna. Ett sätt att lyckas med detta är att elevernas vardagsliv kan uttryckas med matema-tiskt symbolspråk (Ahlberg 2001). Här spelar läraren en väldigt central och väsentlig roll för undervisningen, eftersom läraren anges av eleverna som den viktigaste faktorn för elevernas lust till lärande. Det är just lärarens förmåga att knyta an till verkligheten och engagera eleverna i utmanande samtal som är viktig för elevernas lust till ämnet (Skolverkets nyhetsbrev 2003).
4
Metod
Först och främst tog vi reda på vilka av våra frågor som redan besvarats i matematikdidaktisk litteratur. Vi ville med hjälp av litteraturen, bekräf-ta våra föraningar om att en mer praktisk undervisningsmetod kan vara ett lämpligt komplement till traditionell matematikundervisning. Eftersom det är en laborativ undervisningsmetod vi vill presentera och analysera så sökte vi dessutom efter konkreta exempel på matematiska laborationer. Vi under-sökte den gymnasiala kurslitteraturen med avsikten att ta reda på huruvida det finns uppgifter som skulle kunna utvidgas till laborativa övningar eller kanske fullständiga laborationer.
När vi hittat tillräckligt som tydde på att laborativ matematikunder-visning kunde vara ett komplement till traditionell matematikundermatematikunder-visning fortsatte vi med att konkretisera detta. Vår avsikt var att ta fram ett konkret exempel på en matematisk laboration och genom det presentera och analy-sera en laborativ matematikundervisning. I första hand hoppades vi finna konkreta exempel i litteraturen som vi sedan hade tänkt analysera och be-skriva. Det blev emellertid så att vi tog fram ett eget laborationsexempel, se appendix A. Fördelen med det var att vi var väl införstådda med laboratio-nens syfte, krav och användningsområde. Laborationen genomfördes också rent praktiskt, utan elever.
I nästa steg skickade vi det framtagna laborationsexemplet till några verk-samma lärare med tanken att få ta del av deras erfarenheter i en intervju. Dessutom bad vi lärarna titta på tre specifika frågor inför intervjun, se ap-pendix B. De förutbestämda frågorna utarbetades med arbetets syfte och frågeställning som utgångspunkt.
På grund av att syftet och dess frågeställning är av ett mer öppet slag, be-stämdes tidigt att en kvantitativ undersökningsmetod inte skulle användas. Då en kvantitativ metod skulle innebära en kontakt med en stor urvalsgrupp skulle det vara svårt att få tillfredsställande och utredande svar. Dessutom är en kvantitativ undersökning många gånger mer tidskrävande än en kvalitativ undersökning. Då vi nyliggen har förlagt vår praktik på ett gymnasium hade vi de nödvändiga möjligheterna för att åstadkomma en kvalitativ undersök-ning.
lämpligt för att få tydligare svar på vilka krav som ställs för att genomföra laborationen på ett för eleverna fördelaktigt sätt.
Antalet intervjuade var tre stycken verksamma lärare med många års erfarenhet av undervisning och då inom matematikämnet i synnerhet. På grund av bristande intresse men även laborationens matematiska innehåll var det svårt att hitta lärare som ville bli intervjuade, då de inte ansåg sig tillräckligt insatta på grund av att de inte hade undervisat i matematikens C-, D- eller E-kurser. Givetvis hade vi gärna sett ett större deltagande, men tyckte ändå vi fick in tillräckligt med underlag för att besvara våra frågor.
5
Resultat och analys
5.1
Laborationsdesign
Laborationsexemplet är utformat på ett sådant sätt att det kan användas an-tingen som introduktion eller som fördjupning i området matematisk model-lering. Eleven får vara med om datainsamling, modellering och slutdiskussion. Laborationen spänner över en 80 minuters lektion. Laborationshandledning delas ut vid ett tidigare tillfälle.
5.1.1 Utförande
Eleverna delas in i grupper om fyra personer. Grupperna tilldelas var sin vattenkokare, en termometer och ett kärl som de sedan ska fylla med 400 ml vatten. Eleverna ombedes värma vattnet till 100C och sedan hälla vatt-net från kokaren till kärlet och mäta av vattvatt-nets temperaturfall med jämna mellanrum. Tidsintervallet för temperaturmätningen kan successivt ökas allt eftersom vattnet blir kallare. Parallellt med datainsamlingen diskuterar lä-raren samt eleverna vilka faktorer som påverkar avsvalningen av vattnet. Elevernas synpunkter noteras på tavlan och diskuteras.
5.2
Eget genomförande
Här beskriver vi vårt eget genomförande av laborationen och de resultat vi fick samt de didaktiska reflektioner som väcktes.
5.2.1 Lektionen
Vi kokade upp vatten i en vattenkokare till 100C och hällde sedan över vatt-net i ett kärl, som innehöll en termometer och en omrörare. Temperaturen mättes vid olika tidpunkter och fördes in i en tabell. Mätningen pågick i 40 minuter. Utifrån de uppmätta värdena beräknades övriga tabellvärden fram. Vi utförde mätningar för två olika volymer av vatten. Syftet med att utföra mätningen på två olika volymer var för att konstatera vilken volym som gav tydligast mätvärden. För att beräkna fram tabellens värden använde vi oss av Newtons avsvalningslag som säger att temperaturförändringen per tidsintervall är proportionell mot temperaturdifferensen mellan föremålet och omgivningen. Vi betecknar temperaturen hos föremålet med T , omgivningens temperatur med T0 och tiden med t, då gäller följande differensekvation:
∆T
∆t ≈ −k(T − T0) (1)
Vi fick följande mätnings- och beräknings-resultat på ett kärl med 400 ml vatten: t T T − T0 ∆T k 0 100 75 0 2 83 58 17 -0,15 4 76 51 7 -0,07 6 70 45 6 -0,07 8 66 41 4 -0,05 10 62 38 4 -0,05 12 58 33 4 -0,06 14 56 31 2 -0,03 16 53 28 3 -0,05 18 50 25 3 -0,06 20 49 24 1 -0,02 . . 30 41 16 8 -0,05 . . 40 36 11 5 -0,05
Vi redovisar också värdena vi fick när vi mätte temperaturfallet på ett kärl med 800 ml vatten: t T T − T0 ∆T k 0 100 2 90 4 85 6 81 8 78 10 75 12 72 14 70 16 68 18 66 20 64 . . 30 56 . . 40 51
Efter att ha studerat värdena för de olika vattenvolymerna såg vi att volymen 400 ml var lämpligast, ty temperaturförändringarna var tydligare inom en kortare tidsram. Därför genomförde vi inte beräkningen av k utifrån mätvärdena på 800 ml vatten. Kurvan vi fick utifrån våra mätvärden och beräkningar av 400 ml vattnets var av exponentiellt avtagande karaktär. 5.2.2 Didaktiska reflektioner
5.3
Intervjuer
Vi tog kontakt med ett antal matematiklärare med avsikten att få till en inter-vju, enskilt med var och en. Endast tre av de kontaktade hade möjlighet att ställa upp. Under intervjuerna diskuterade vi en laborativ matematikunder-visning i generellt perspektiv, men även vår specifika laboration diskuterades. Som förberedande underlag inför intervjun fick lärarna ett försättsblad med frågor, se appendix B, samt vårt laborationsexempel. Vi benämner intervju-objekten som lärare 1, lärare 2 och lärare 3.
5.3.1 Lärare 1
Lärare 1 har ämneskombinationen matematik och kemi. Läraren hade haft laborationer i matematikundervisningen inom A-kursen och tror att det är bra att jobba praktiskt för att skapa förståelse. Eleverna pratar och samarbe-tar mera och bättre. Läraren förklarade vidare att eleverna oftast lyssnar på dennes tankar men att laborationen nog hjälper till att öppna upp eleverna och deras tankar.
På frågan om laborationer med sax och papper anses för barnsligt för gymnasieelever så skakade läraren på huvudet. Läraren trodde själv först att så var fallet, men efter att ha provat visade sig antagandet vara falskt. Det är dock inte alltid så att eleverna vill ha laborationer. Elever på det naturvetenskapliga programmet föredrar oftast att få räkna vidare på egen hand i boken. Det är ju också viktigt förklarar läraren. Förståelse är en sak och förtrogenhet en annan. För att få förtrogenhet måste man räkna jättemycket. Det ska sitta i ryggmärgen.
Läraren tror att laborationer kan vara bra som motivationsfaktor och att få in karaktärsämnet i matematiken. Det är också bra för förståelsen, men kräver mer tid. Läraren förklarar att tiden inte finns och om han tar tid från övrig matematikundervisning så klarar eleverna inte kraven. Vår framtagna laboration tror läraren kan vara bäst som introduktion för att skapa intresse, men tillägger också att om man börjar med genomgång kanske den kan vara bra för att koppla ihop sina kunskaper.
På frågan hur man kan tänkas gå vidare efter att ha genomfört vårt laborationsexempel menar läraren att det beror på om man har den som introduktion, i så fall förbereder den för genomgång och eleverna förstår att de saknar nödvändiga kunskaper. Används den som fördjupning så ska den befästa matematiken och användas konkret.
workshops för lärare där man fick laborationsmateriel med sig hem. Labora-tionsutrustningen finns och tiden den får man stjäla från den traditionella undervisningen. När det gäller lokalfrågan så kan den vara ett problem tror läraren.
5.3.2 Lärare 2
Lärare 2 som undervisar i matematik förklarade att vårt laborationsexempel var för svårt för dennes elever, den ligger minst på matematik C-nivå. Läraren tyckte vidare att laborationen var ämnesövergripande, inpå fysikämnet.
Läraren tänkte på begreppsbildning i samband med laborationer och lyfte fram area som exempel. Många elever vet inte vad area är för något. Apropå detta så berättade läraren att denne gjort en laboration som handlade om att mäta arean på huden.
Det främsta hindret anser läraren vara tiden, därför är det extra viktigt att ha ett bra syfte med laborationen. Sen finns det ju en tumregel som säger att variation förnöjer.
Läraren tyckte att man skulle utnyttja laborationen som utgångspunkt. Det är svårare att ha det som fördjupning, särskilt för svaga elever. För svaga elever är det bättre att hoppa över fördjupning för att hinna med alla områden.
5.3.3 Lärare 3
Lärare 3 som undervisar i matematik och datorkunskap tror att laborativ verksamhet fördjupar förståelsen. Läraren förklarade att eleverna ofta har svårt att förstå matematik eftersom de upplever det som ett mycket teoretiskt ämne. Vidare trodde lärare 3 att praktiska laborationer kan vara stimulerande för eleven. Anledningen tror läraren är att eleverna får en konkret uppgift att jobba med.
Läraren har själv arbetat med laborationer i sin undervisning och då kopplat till avsnittet geometri. Det var mycket uppskattat. Eleverna tillde-lades uppgiften att mäta olika möbler på skolan och sedan beräkna bland annat volym och omkrets på dessa.
Läraren tror att det går att börja ett avsnitt med en laboration för då för-står eleven varför matematikförståelsen och kunnandet behövs. Det kan vara inspirerande för fortsatta studier och ge motivation för teoretiska övningar efter laborationen.
5.4
Intervjuanalys
Analysen har vi delat upp i två områden, utifrån vad lärarna betonat under intervjuerna.
5.4.1 Förberedelser och förutsättningar
Vikten av ordentliga förberedelser betonade alla lärarna. I litteraturen be-tonas inte detta i lika stor grad. Vår reflektion av det är att det beror på att en lärares jobb i mångt och mycket handlar om just förberedelser. Som vi redan har nämnt i teoriavsnittet så poängtera litteraturen främst lärarnas ämneskunskaper som det viktigaste förberedande åtgärden. Det är viktigt att läraren är förtrogen i ämnet för att kunna göra de föreberedelser som krävs, vad gäller framtagande av syfte samt analys av målgrupp. Lärarnas största oro verkar vara de praktiska förutsättningarna, så som lokal och laborations-materiel. Medan litteraturen många gånger ser detta som en självklarhet. 5.4.2 Undervisning
Lärarnas inställning till laborationers nytta för eleverna var nästan uteslu-tande positiv. Detta bekräftade våra föraningar i syftets avgränsning. Den la-borativa undervisningsformens fördelar avseende kommunikation, begrepps-förståelse, verklighetsanknytning och variation poängterades av lärarna och är helt i linje med våra litteraturstudier. Vikten av kommunikativ verksam-het i matematik samt begreppsförståelse understryks även i styrdokumenten (Skolverket 2007).
laborationer som ett hjälpmedel för fördjupning av ett ämnesområde, vilket skulle vara önskvärt.
6
Slutdiskussion
Vårt syfte att presentera och analysera en laborativ undervisningsmetod i matematik är uppfyllt. Det konkreta laborationsexempel vi tog fram som underlag för våra undersökande intervjuer är också testad rent praktiskt, av oss själva. Vår föraning om att laborationer i matematik kan vara ett bra komplement till den traditionella matematikundervisningen har i och med våra litteraturstudier samt intervjuer med verksamma lärare bekräftats. Vägen fram till uppfyllandet av vårt syfte har inte varit helt utan problem. Frågeställningar har reviderats och val av undersökningsmetod har påverkats av detta. Intresset för att delta i vår undersökning var lägre än väntat men av intervjuresultaten att döma tror vi antalet var tillräckligt. Lärarnas syn på laborationer i matematikundervisningen verkar nämligen förhållandevis enig.
Vi upptäckte att åsikterna, avseende laborativ undervisningsmetod, skilj-de lärare och litteraturförfattarna åt. Lärarnas vardag styrs av praktiska och administrativa göromål och tidsproblematiken med laborationer lyfts därför fram av dem. I litteraturen verkar problem kopplat till laborativ undervisning knappt existera. Medan lärarna utgår från hur undervisningen är, behandlar litteraturen hur den istället bör vara. I litteraturens vision om hur undervis-ningen bör vara finns inte problem rörande lokal och tid, endast det positiva lyfts fram.
Problemen med tidsaspekten för laborativ undervisning var något vi ha-de farhågor om på förhand och därför har vi aldrig sett laborationer som en ersättande undervisningsmetod utan snarare som ett komplement. Att vari-erande undervisning är fördelaktig är både lärarna i vår undersökning samt litteraturförfattarna eniga om.
Vi tycker att litteraturen tenderar till att vara något okritisk till labora-tioner. I praktiken finns fortfarande en del problem kvar att hantera. Förutom just nämnda tidsaspekten så är inte heller bedömningen av eleverna i en la-borationssituation lätt att lösa. Kraven på lärarna är annorlunda, i och med laborativ undervisning, eftersom det behövs mer omfattande förberedelser. För att konstruera eller välja bra uppgiftsmateriel krävs stor förtogenhet i ämnet vilket understryks både i vår teoretiska bakgrund samt av de inter-vjuade lärarna. Ibland framstår nästan traditionell undervisning som något föråldrat och något som bör ersättas. Faktum kvarstår att matematiken till stora delar kräver eget arbete med traditionella uppgifter för att skapa den förtrogenhet för de matematiska räkneprocesserna som är nödvändiga.
Referenser
[1] Ahlberg, Ann, Lärande och delaktighet, Studentlitteratur AB, Lund, 2001
[2] Berggren, Per, Lindroth, Maria, Lustfyllt lärande för alla, Ekelunds För-lag AB, Solna, 2004
[3] Hwang, Philip, Nilsson, Björn, Utvecklingspsykologi, Natur och Kultur, Stockholm, 1995
[4] Häggmark, Per, Laborativ geometri, Studentlitteratur AB, Lund 1989 [5] Löthman, Anna, Om matematikundervisning - innehåll, innebörd och
tillämpning, Doktorsavhandling Uppsala universitet, Almqvist Wiksell International, Stockholm, 1992
[6] Malmer, Gudrun, Kreativ matematik, Ekelunds Förlag AB, Solna, 1990 [7] Oskarsson, Johanna, Svahn, Sandra, Funktionslära genom ett laborativt
arbetssätt, Växjö Universitet, 2005
[8] Skolverket, Lusten att lära - med fokus på matematik, Skolverkets rap-port nr 221, Stockholm, 2003
[9] Skolverket, Läroplan för de frivilliga skolformerna 94, SKOLFS 2003:18, Danagårds grafiska, Ödeshög, 2006
[10] Skolverkets Nyhetsbrev Nummer 3 2003:
http://www.skolverket.se/content/1/c4/17/62/nyh030325.pdf (2007 01 05)
[11] Styrdokument för ämnet Matematik:
A
Lektion 1
Eleverna delas upp i grupper om fyra personer. Grupperna tilldelas vatten-kokare, varsin termometer och ett kärl som de sedan skall fylla med 400 ml vatten. Eleverna ombeds att värma vattnet till 100◦C och sedan hälla
vattnet från kokaren till kärlet och mäta vattnets temperaturfall med jäm-na mellanrum. Tidsintervallet för temperaturmätningen kan successivt ökas allt eftersom vattnet blir kallare. Parallellt med datainsamlandet diskuterar läraren samt eleverna vilka faktorer som påverka avsvalningen av vattnet. Elevernas synpunkter noteras på tavlan och diskuteras. Lektionen går ut på att hitta den konstant som är nödvändig för att modellen ska ge ett resultat som stämmer överens med mätningen. Temperaturmätningarna avbryts efter att eleverna har dokumenterat temperaturfallet under fyrtio minuter. Innan lektionen är slut skall eleverna har fyllt i luckorna i avsvalningstabellen samt ritat ett diagram för deras mätningar av temperaturfall med avseende på tiden.
Under denna lektion kommer vi att samla in data för vattnets avsvalning och utifrån dessa mätdata beräkna proportionalitetskonstanten för avsval-ningen. Eleverna bör, förutom tidigare fundamentala matematiska kunska-per, även ha en viss förkunskap och begreppförståelse innan laborationen kan starta. I teoridelen tas vissa nödvändiga begrepp upp som eleverna bör ta del av på något sätt. Efter teoridelen finns en materiellista som är nödvändig för att genomföra laborationen följt av en kort beskrivning av hur laborationen bör genomföras. Sedan följer ett exempel på en avsvalningstabell där mätre-sultaten sammanställs. Allra sist kommer exempel på instuderingsfrågor som med fördel kan behandlas innan laborationstillfället.
A.1
Teori
Under denna del behandlas ett urval av de förkunskaper som eleverna bör ha införskaffat sig innan laborationen. Givetvis finns det ytterligare kunskaps-områden som bör behärskas, men följande kan ses som ett minimikrav. A.1.1 Differens- och differentialekvation
lösning på grund av att tidsintervallet ∆t är ändligt, men i en differentia-lekvation är ∆t oändligt liten och betecknas dt.
A.1.2 Avsvalning
Enligt Newtons avsvalningslag så är temperaturförändringen per tidsintervall i varje ögonblick proportionell mot temperaturdifferensen mellan föremål och omgivningen. Vi betecknar temperaturen hos föremålet med T , omgivningens temperatur med T0 och tiden med t, då gäller följande differensekvation:
∆T
∆t ≈ −k(T − T0) (2)
där ∆t är tidsintervallet och ∆T är temperaturskillnaden mellan föremå-lets temperatur och omgivningens temperatur. Även i fallet för uppvärmning gäller Newtons avsvalningslag, då ett föremål är kallare än omgivningens tem-peratur. I detta fall är k positivt. Differensekvationen motsvaras av följande differentialekvation:
dT
dt = −k(T − T0) (3)
A.1.3 Proportionalitet
En direkt proportionalitet mellan y och x skrivs i matematisk terminologi y = k · x där k 6= 0. Vi säger att y är proportionell mot x med proportiona-litetskonstanten k. Proportionaliteten gäller även omvänt, det vill säga x är proportionell mot y enligt följande x = y/k. I detta fall är således propor-tionalitetskonstanten 1
k. Grafiskt kan proportionaliteten y = k · x beskrivas
av en rät linje genom origo med riktningskoefficienten lika med proportiona-litetskonstanten.
Ett exempel på detta är omkretsens, O, förhållande till radien, r. Formeln ser ut som följer: O = 2πr. Omkretsen är således proportionell mot radien med proportionalitetskonstanten 2π.
A.2
Materiel
Den materiel som är nödvändig för att genomföra laborationen är:
A.3
Genomförande
Fyll kokaren med vatten och starta den sedan. Mät rumstemperaturen och notera. Stoppa sedan termometern i det snart kokande vattnet. När vattnet börja koka, häll över det i kärlet till 400 ml sträcket på kärlet. Glöm inte att flytta termometern till kärlet snabbt och röra om innan ni mäter första temperaturen. Läs av temperaturen enligt tidsintervallet i tabellen och no-tera. När tidsintervallerna är tillräckligt stora kan eleverna läsa teoridelen. Glöm inte att notera ∆T , T − T0 samt k i tabellen. Titta på
avsvalningsfor-meln i teoridelen för ledning. När tabellen är helt ifylld kan ni beräkna ett genomsnittsvärde på k och notera detta.
A.4
Avsvalningstabell
Sammanställ era mätvärden i denna tabell.
t T T − T0 ∆T k 1 2 3 4 6 8 10 15 20 25 30 35 40 Rummets temperatur, T0=... Genomsnittligt värde på k=....
A.5
Instuderingsfrågor
Dessa frågor är ämnade som hjälpmedel för att repetera diverse kunskaper hos eleverna innan laborationen.
A.5.1 Övning 1 Finn proportionalitetskonstanten, k, då y = kx x y k 1 −1 4 2 −1 2 4 -1 A.5.2 Övning 2
Illustrera grafiskt en linjär funktion, y = kx + m, med: a) en negativ riktningskoefficient. b) en positiv riktningskoefficient. c) en riktningskoefficient som är 0. 6 x -y A.5.3 Övning 3
B
Försättsblad
Hej!
Vi arbetar med sista fasen i vår utbildning, nämligen vårt examensar-bete i matematikdidaktik, och skulle uppskatta Er hjälp. Vår tanke är att introducera en laborativ undervisning i matematikämnet och vi har därför tagit fram ett konkret exempel på en laboration som behandlar matematisk modellering. Laborationsunderlaget är bifogat i detta utskick.
Ni behöver inte detaljstudera materialet utan vi önskar att Ni tittar och funderar på hur och om laborationen skulle kunna passa in i Er undervisning. Nedan har vi också några specifika frågor som vi gärna vill att Ni besvarar förutom Era allmänna reflektioner. Vi är också ute efter Era synpunkter och erfarenheter av laborativ undervisning.
1. Vilka förberedelser skulle Ni göra inför laborationen?
2. I vilket skede av Er undervisning vore det lämpligast att ha laboratio-nen?
3. Hur skulle Ni vilja gå vidare efter att ha haft laborationen?
Vår förhoppning är att vi ska kunna sitta ner och prata med Er, en och en, i cirka 15 minuter någon gång under nästa vecka. Vårt förslag är måndag, då några av Er redan gett klartecken om detta. Svara detta mail med ett tidsförslag. Tack på förhand!
Växjö
universitet
Matematiska och systemtekniska institutionen SE-351 95 Växjö
