Sida 1 av 5 TENTAMEN
Introduktionskurs i Matematik HF1009 (1.5 hp) Datum: 19 dec 2019 Tid: 14-16
Tentamen ger maximalt 12p. För godkänd tentamen krävs 6p.
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar!
Inga hjälpmedel tillåtna.
Skriv din klass på omslaget (TIBYH1A, TIBYH1B eller TIBYH1C; TIDAA, TIELA, TIMEL, TITEH).
Du kan göra flera uppgifter på samma sida.
Student får inte behålla tentamenslydelsen eller skriv- och kladdpapper som använts under tentamen.
Uppgift 1. (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck A
B A∨ )⇒
( .
Uppgift 2. (1p) Bestäm om följande påstående är sanna eller falska a) (∀x∈R)(∀y∈R):(x−y =3) b) (∀x∈R)(∃y∈R):(x−y=8) c) (∃x∈R):(x2 =5)
(Det räcker med korrekta svar.)
Uppgift 3. (2p) Relationen ρ från A={2,3,4,5} till B={7,8,9,10,11} definieras som }
6 :
) ,
{( ∈ × < +
= x y A B y x
ρ .
a) Ange alla par som tillhör ρ .
b) Bestäm om ρ är en funktion och motivera svaret. (Noll poäng för svaret utan motivering.) Uppgift 4. (2p). Beräkna och förenkla nedanstående uttryck, så långt som möjligt
y b y a
xy ay
ax ab a
2 2 2
⋅ − +
− .
Uppgift 5. (1p) Lös ekvationen )
sin( 2 6)
2
sin( +π = +π
x
x .
Uppgift 6. (1p) Beräkna 2arctan(1)+5arcsin(1). Uppgift 7. (2p).
Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att n
n2+5 (där n≥0 är ett heltal) är delbart med 2.
(Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt.)
Uppgift 8. (2p)
Rita följande punktmängder i xy-planet
a) {(x,y)∈R2:x2 −2x+ y2 =8} b) 1} 9 :25 )
, {(
2 2
2 + =
∈ x y
R y
x .
Lycka till!
FACIT
Uppgift 1. (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck A
B A∨ )⇒
( .
Lösning:
𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴 ∨ 𝐵𝐵 𝐴𝐴 (𝐴𝐴 ∨ 𝐵𝐵) ⇒ 𝐴𝐴 S S S S S
S F S S S F S S F F F F F F S
Rättningsmall: Allt korrekt=1p.
Uppgift 2. (1p) Bestäm om följande påstående är sanna eller falska a) (∀x∈R)(∀y∈R):(x−y =3) b) (∀x∈R)(∃y∈R):(x−y=8) c) (∃x∈R):(x2 =5)
(Det räcker med korrekta svar.) Lösning:
a) ”För alla reella tal 𝑥𝑥 och alla reella tal 𝑦𝑦 gäller att 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3” FALSKT!
b) ”För varje reellt tal 𝑥𝑥 finns det ett reellt tal 𝑦𝑦 sådant att 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 8” SANT!
c) ”Det finns minst ett reellt tal 𝑥𝑥 sådant att 𝑥𝑥2 = 5” SANT!
Rättningsmall: Allt korrekt=1p.
Uppgift 3. (2p) Relationen ρ från A={2,3,4,5} till B={7,8,9,10,11} definieras som }
6 :
) ,
{( ∈ × < +
= x y A B y x
ρ .
a) Ange alla par som tillhör ρ .
b) Bestäm om ρ är en funktion och motivera svaret. (Noll poäng för svaret utan motivering.) a) Alla par som tillhör A B× är:
(2,7) , (2,8) , (2,9), (2,10), (2,11) (3,7) , (3,8) , (3,9), (3,10), (3,11) (4,7) , (4,8) , (4,9), (4,10), (4,11) (5,7) , (5,8) , (5,9), (5,10), (5,11)
De som tillhör ρ är: (2,7), (3,7) , (3,8), (4,7) , (4,8) , (4,9), (5,7) , (5,8) , (5,9), (5,10) b) Om ρ är en funktion så gäller att till varje x finns det endast ett y-värde. Paren tex (3,7) och (3,8) visar att ρ inte är en funktion då x=3 har två olika y-värden.
Rättningsmall: 1p för varje del.
Uppgift 4. (2p). Beräkna och förenkla nedanstående uttryck, så långt som möjligt y
b y a
xy ay
ax ab a
2 2 2
⋅ − +
− .
Lösning:
Sida 2 av 5
2
2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a ab xy a a b xy a a b xy
ax ay a y b y a x y a b y a x y a b a b y x
x y a b
− ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =
+ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅
= + ⋅ +
Svar:
( ) ( )
x x+ ⋅ +y a b
Rättningsmall: Faktoriserar fullständigt (till ( )
( ) ( ) ( )
a a b xy
a x y a b a b y
⋅ − ⋅
⋅ + − ⋅ + ⋅ ) +1p
Allt korrekt +2p
Uppgift 5. (1p) Lös ekvationen )
sin( 2 6)
2
sin( +π = +π
x
x .
sin(2 ) sin( ) 2 2 2 ( ) 2
6 2 6 2 6 2
x+π = x+π ⇒ x+ = + + ⋅π x π n π eller x+ = − +π π x π + ⋅n π
i) 2 2 2
6 2 3
x+ = + + ⋅π x π n π ⇒ x= + ⋅π n π
ii) 2
2 ( ) 2 3 2
6 2 3 9 3
x+ = − +π π x π + ⋅n π ⇒ x= + ⋅π n π ⇒ x= + ⋅π n π Rättningsmall: Allt korrekt=1p.
Uppgift 6. (1p) Beräkna 2arctan(1)+5arcsin(1). Lösning:
2 arctan(1) 5arcsin(1) 2 5 5 6 3
4 2 2 2 2
π π π π π π
+ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ = =
Rättningsmall: Allt korrekt=1p.
Uppgift 7. (2p).
Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att n
n2+5 (där n≥0 är ett heltal) är delbart med 2.
(Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt.)
Sida 3 av 5
Lösning:
a) (Induktionsbas)
För n=0 får vi n2 +5n=0 vilket är delbart med 2.
Alltså gäller påståendet för n = 0.
b) (Induktionssteg)
Antag att det för givet n gäller påståendet, P(n), dvs n
n2+5 =2c (*) , där c är ett helt tal.
Vi vill visa att då gäller P(n+1) d v s att )
1 ( 5 ) 1
(n+ 2 + n+ = 2d för ett heltal d.
Vi utvecklar ) 1 ( 5 ) 1
(n+ 2 + n+
=n2+2n+1+5n+5 (vi grupperar (n2+5n), uttrycket som vi vet är delbart med 2 ) 6
2 ) 5
(n2 + n + n+ (enligt (*) gäller n2+5n=2c ) 6
2 2c+ n+
d n
c 3) 2 (
2 + + =
= (där d =(c+n+3) är uppenbart ett heltal).
Detta betyder att (n+1)2+5(n+1) är delbart med 2 Alltså P(n)⇒P(n+1).
Från a) och b) får vi, enligt den matematiska induktionen, att påståendet gäller för alla heltal n≥0 .
Rättningsmall: 1p för korrekt induktionsbas. Allt korrekt=2p.
Uppgift 8. (2p)
Rita följande punktmängder i xy-planet
a) {(x,y)∈R2:x2−2x+ y2 =8} b) 1} 9 :25 )
, {(
2 2
2 + =
∈ x y
R y
x .
Lösning:
a) Vi kvadrat kompletterar och får:
9 )
1 ( 8 1
) 1 ( 8
2 2 2 2 2 2
2− x+ y = ⇔ x− − +y = ⇔ x− +y =
x
Ekvationen (x−1)2+y2 =9 representerar en cirkel med centrum i (1,0) och radien r=3.
Sida 4 av 5
b) Ekvationen 1 9 25
2 2
= + y
x representerar en ellips med halvaxlarna a=5 och b=3.
Rättningsmall: 1p för varje del.
Sida 5 av 5
