Tentamen i: Statistik 1, 7.5 hp Antal uppgifter: 5

Skrivtid 0900–1400

Tentamen i: Statistik 1, 7.5 hp Antal uppgifter: 5

Krav f¨or G: 11 L¨arare:

Jour: Robert Lundqvist, tel 49 24 04/076-839 30 56

Till˚atna hj¨alpmedel:

• En statistikbok, g¨arna Introduction to the Practice of Statistics av Moore &

McCabe. Undantag: kombinationen Praktisk statistik/R¨akna med slumpen

• Minir¨aknare (dator ¨ar inte till˚aten)

T¨ank p˚a att redovisa dina l¨osningar p˚a ett klart och tydligt s¨att. Endast det nume- riska svaret r¨acker inte f¨or full po¨ang. Korrekt l¨osning ger det po¨angantal som st˚ar angivet efter uppgiftstexten.

LYCKA TILL!

Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2008-12-22

1. V¨antetider f¨or svar fr˚an datasupporten m¨attes. I f¨oljande tabell ges tiderna f¨or n˚agra samtal till supporten:

12.3 13.2 9.1 8.5 13.9 7.5 12.2 11.2 9.5 10.0 14.3 14.6 7.2 14.6 13.3 9.7 12.7 12.1 9.5 14.0 6.1 9.8 (a) Beskriv materialet i ett l¨ampligt stambladdiagram. Ber¨akna ¨aven me-

dian och kvartiler d¨ar du tydligt beskriver hur dessa tagits fram.

(b) Beskriv materialet i en boxplot. Best¨am ocks˚a om det finns n˚agra ute- liggare d¨ar kriteriet ¨ar sedvanliga

q

− 1.5(q

− q

), q

+ 1.5(q

− q

)

(4p) 2. F¨or att se om anv¨andningen av ett tr¨aningsredskap kallat Cardio Glide f¨or-

¨andras med tiden g¨ors en mindre unders¨okning av kunder. S¨aljaren vet hur l¨ange man haft redskapet (Antal) och man fr˚agar efter hur m˚anga timmar redskapet anv¨ants den senaste veckan (Tid). Resultatet ges i nedanst˚aende tabell:

Person Antal Tid Person Antal Tid

1 12 4 6 2 8

2 2 10 7 8 3

3 6 8 8 4 8

4 9 5 9 10 2

5 7 5 10 5 5

(a) En regressionsanpassning med m˚anader som f¨orklarande variabel och tid som svarsvariabel f˚as f¨oljande resultat:

ˆ

y = 9.94 − 0.64 · x

Kan koefficienterna i det sambandet ges meningsfulla tolkningar? Om s˚a ¨ar fallet, ge s˚adana tolkningar. Om det inte g˚ar att tolka p˚a ett me- ningsfullt s¨att, motivera d˚a detta.

(b) Vad blir genomsnittlig anv¨andningstid f¨or personer som haft redskapet i 6 m˚anader?

(c) I en liknande unders¨okning f¨or ett annat tr¨aningsredskap fick man vid

ber¨akning av korrelationskoefficienten fram v¨ardet 0.058, dvs ett l˚agt

v¨arde. En tolkning av detta ¨ar att ett s˚a l˚agt v¨arde s¨ager att det inte

finns n˚agot samband mellan variablerna. Det p˚ast˚aendet kan st¨amma, men ¨ar inte sj¨alvklart korrekt. Redog¨or kort f¨or varf¨or p˚ast˚aendet kan

vara felaktigt. (5p)

3. Du har f˚att i uppdrag att studera studenters ekonomi och s¨att att hantera sin ekonomi. En del i detta ¨ar att fr˚aga om de f˚att f¨orseningsavgifter pga sena inbetalningar. F¨or att se till n¨arliggande m¨onster ska du ocks˚a fr˚aga om man f˚att p˚aminnelse fr˚an biblioteket om att l˚anetid g˚att ut p˚a l˚anade b¨ocker. En annan fr˚aga ¨ar hur stora kostnader de har f¨or sitt boende varje m˚anad. N˚agra av bakgrundsvariablerna i unders¨okningen ¨ar d˚a k¨on, ˚alder och k˚artillh¨orighet.

(a) Unders¨okningen ska g¨oras som ett stratifierat urval d¨ar stratifiering g¨ors utifr˚an programinriktning (teknologer, h¨alsovetare, l¨ararstuderan- de, ekonomer, juridikstudenter, psykologi- och sociologistudenter och statsvetar/nationalekonomi/systemvetarstudenter). Totalt ska 50 stu- denter fr˚an var och en av de inriktningarna v¨aljas ut. Du har best¨amt dig f¨or att g¨ora det enkelt med slumptalstabell som hj¨alpmedel vid urvalen. Beskriv kortfattat hur urvalet ska g¨oras: vad du beh¨over f¨or underlag och hur du g˚ar tillv¨aga.

(b) Ge exempel p˚a hur variabeln boendekostnad kan beskrivas med ett l¨ampligt diagram. Ge g¨arna en enkel principiell skiss p˚a hur resultatet kan se ut.

(c) Ge exempel p˚a hur man kan ge en grafisk beskrivning av sambandet mellan variabeln som beskriver om personerna i unders¨okningen f˚att betalningsp˚aminnelser och variabeln boendekostnad.

(d) Ge exempel p˚a hur sambandet mellan ˚alder och boendekostnad kan beskrivas numeriskt, dvs inte med en grafisk metod utan med en ”sif-

ferbaserad” beskrivning. (5p)

4. Temperaturen i kallvattnet in i fastigheterna i ett omr˚ade har visat sig kunna beskrivas med en normalf¨ordelning med genomsnittet 8 grader och stan- dardavvikelsen 1.5 grader.

(a) Hur stor ¨ar sannolikheten att temperaturen p˚a vattnet ¨overstiger 12 gra- der?

(b) Ett annat s¨att att beskriva hur stor variation det ¨ar i temperaturen ¨ar att ange l¨agsta temperatur bland de 10% h¨ogsta vattentemperaturerna.

Vad blir denna? (4p)

Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2008-12-22

I denna uppgift ¨ar det f¨orst˚as viktigt att det framg˚ar hur du definierat variabel och angett f¨ordelning f¨or denna.

5. I nedanst˚aende tabell ges genomsnittlig m˚anadsl¨on i januari f¨or tj¨anstem¨an i privat sektor i kronor inklusive r¨orliga till¨agg och konsumentpris f¨or aktuellt

˚ar:

Ar ˚ 1996 1997 1998 1999 2000

Medell¨on 20030 20860 21930 22790 23390

KPI (180=100) 256.30 257.99 257.30 258.49 260.81 (a) R¨akna om medell¨onen till en indexserie d¨ar bas˚aret (det ˚ar d˚a index ¨ar

100) ¨ar ˚ar 1997.

(b) Vad blir medell¨onen fr˚an ˚ar 2000 uttryckt i penningv¨arde fr˚an ˚ar 1996?

(c) Hur stor ¨ar den ˚arliga genomsnittliga l¨one¨okningen ber¨aknat p˚a siff-

rorna i tabellen ovan, dvs inte omr¨aknade i fast penningv¨arde? (5p)

1. (a) Ett stambladdiagram kan se ut p˚a f¨oljande s¨att:

1 6|1

3 7|25

4 8|5

9 9|15578

10 10|0

11 11|2

11 12|1237 7 13|239 4 14|0366

1|1 represents 1.1 Leaf digit unit = 0.1

Median ¨ar det mittersta v¨ardet, dvs medelv¨ardet av v¨arde nr 11 och 12 (10.6). undre kvartil ¨ar median i undre halvan, dvs v¨arde nr 5 (9.1) och

¨ovre kvartil ¨ar median i ¨ovre halva, dvs v¨arde nr 5 uppifr˚an (13.9).

(b) +----+---+----+----+----+---+----+----+----+

| |

| |

| |

| +---+---+ |

|+---| | |---+|

| +---+---+ |

| |

| |

+----+---+----+----+----+---+----+----+----+

6 7 8 9 10 11 12 13 14

Gr¨anser f¨or uteliggare ges av

q

− 1.5(q

− q

), q

+ 1.5(q

− q

)

d¨ar q

= 9.1 och q

= 13.9, vilket ger gr¨anserna 1.9 och 21.1. Inga v¨arden ¨overskrider dessa gr¨anser, s˚a det finns med de givna gr¨anserna inga uteliggare.

2. (a) Med y som antal timmar som redskapet anv¨ants senaste veckan och x som antalet m˚anader anv¨andaren haft redskapet f˚as allts˚a

ˆ

y = 9.94 − 0.64 · x

L¨osningar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2008-12-22

H¨ar kan sk¨arningspunkten med y-axeln, dvs 9.94, inte ges n˚agon me- ningsfull tolkning eftersom det inte ges n˚agra v¨arden p˚a y-variabeln n¨ar x-variabeln ¨ar n¨ara 0. Riktningskoefficienten −0.64 kan d¨aremot tolkas p˚a f¨oljande s¨att: f¨or varje ytterligare m˚anad som redskapet finns hos anv¨andaren minskar anv¨andningstiden med i genomsnitt 0.64 tim- mar per vecka.

(b) Genomsnittlig anv¨andningstid f¨or personer som haft redskapet i 6 m˚a- nader blir 9.94 − 0.64 · 6 = 6.1 timmar.

(c) Att korrelationskoefficienten ¨ar s˚a l˚ag som 0.058 betyder att det inte finns n˚agot starkt linj¨art samband, men det kan finnas ett icke-linj¨art samband.

3. (a) F¨or att urvalet ska kunna genomf¨oras beh¨ovs en lista fr˚an vardera stu- dentgruppen, dvs en urvalsram som inneh˚aller aktuella individer. Ur var och en av dessa g¨ors slumpm¨assiga urval p˚a 50 personer genom att f¨orsta numrera namnen och sedan v¨alja ut tv˚a siffror ur slumptalsta- bellen. Om talet ¨overensst¨ammer med ett tal i listan tas personen ut.

Om talet ¨ar f¨or stort hoppas det ¨over, likas˚a om det ¨ar ett tal som redan dragits. De tv˚a siffrorna kan v¨aljas p˚a vilket s¨att som helst, bara det finns ett konsekvent m¨onster: tv˚a siffror efter varandra, de tv˚a f¨orsta siffrorna i varje kolumn d¨ar man g˚ar radvis eller liknande.

(b) Boendekostnad ¨ar en kvantitativ variabel och kan l¨ampligen beskrivas med ett histogram, en boxplot eller ett l˚adagram.

(c) Ett l¨ampligt s¨att att ˚ask˚adligg¨ora sambandet mellan dessa variabler ¨ar att g¨ora ett diagram med tv˚a boxplottar: en boxplot f¨or gruppen som inte f˚att p˚aminnelser och en plott f¨or de som s˚att p˚aminnelse.

(d) F¨or att beskriva sambandet mellan tv˚a kvantitativa variabler kan man till exempel g¨ora en regressionsanalys.

4. L˚at X beteckna temperaturen i kallvattnet in i fastigheterna i ett omr˚ade har visat sig kunna beskrivas med en normalf¨ordelning med genomsnittet 8 grader och standardavvikelsen 1.5 grader.

(a) Andelen X > 12 = andelen z > 12 − 8

1.5 = andelen z > 2.67

Nu ¨ar andelen z ≤ 2.67 enligt tabell 0.9962, vilket betyder att andelen z > 2.67 blir 1 − 0.9962 = 0.0038.

(b) Vi ska utg˚a fr˚an att andelen X < c = 0.10. Det betyder att andelen z < c − 12

1.5 ocks˚a ¨ar 0.10. Enligt tabell ¨ar andelen z < −1.28 ungef¨ar

0.10, vilket inneb¨ar att c − 12

1.5 = −1.28 vilket i sin tur inneb¨ar att c = 10.08.

5. (a) Ny serie med ˚ar 1997 som bas˚ar:

Ar ˚ 1996 1997 1998 1999 2000

Index 96.0 100 105.1 109.3 112.1

(b) Medell¨onen fr˚an ˚ar 2000 uttryckt i penningv¨arde fr˚an ˚ar 1996 blir 22985.54 kr.

(c) Den ˚arliga genomsnittliga l¨one¨okningen blir 3.95%