Exempeltenta 1
Introduktionskurs i Matematik HF1009 (1.5 hp) Datum: xxxxxx
Tentamen ger maximalt 12p. För godkänd tentamen krävs 6p.
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar!
Inga hjälpmedel tillåtna.
Skriv din klass på omslaget (TIMEL1, TIELA1, TIDAA1, TIBYH1A, TIBYH1B eller TIBYH1C).
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället, utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
ab
b a b a
5
) ( )
( + 2− − 2 .
Uppgift 2. (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck A
B A∧ )⇒¬
( .
Uppgift 3. (1p) Bestäm om följande relation
} 4 3 :
) ,
{( ∈ × 2+ 2 =
= x y R R x y
ρ
är en funktion. Motivera svaret. (0 poäng om motivering saknas).
Uppgift 4. (2p). Lös olikheten 0 2 4 5 ≥
− x
x .
Uppgift 5. (2p ) Lös ekvationen 0
6 ln ) 1 ln(
)
ln(x + x− − = .
Uppgift 6. (1p) Beräkna )
4 tan(5 6 )
sin(7 2 2)
arcsin(1 π π
+
+ . Svara exakt.
Uppgift 7. (2p) Förenkla uttrycket sinacosa⋅(tana +cota).
Uppgift 8. (2p)
Rita i xy-planet andragradskurvan som ges av ekvationen x2 −2x+y2−4y=4.
Lycka till!
FACIT
Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
ab
b a b a
5
) ( )
( + 2− − 2 . Lösning:
+ =
−
− +
= +
− +
− +
= +
−
− +
ab
ab b
a ab b
a ab
ab b
a ab b
a ab
b a b a
5
2 2
5
) 2 (
2 5
) ( )
( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5 4 5
4 =
= ab ab
Uppgift 2. (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck A
B A∧ )⇒¬
( .
Lösning:
A B A∧B ¬A (A∧ )B ⇒¬A
S S S F F
S F F F S
F S F S S
F F F S S
Uppgift 3. (1p) Bestäm om följande relation
} 4 3 :
) ,
{( ∈ 2 + 2 =
= x y R x y
ρ
är en funktion. Motivera svaret. (0 poäng om motivering saknas).
Lösning: Om vi löser ut y ur x2+ y3 2 =4får vi
3 4 x2
y −
±
= som visar att för två värden
på y för några x (t. ex. om x=0 har vi
3
± 4
=
y ). Detta medför att den givna relationen inte är en funktion.
Uppgift 4. (2p). Lös olikheten 0 2 4 5 ≥
− x
x . Lösning:
Notera att olikheten inte är definierad för x=2.
0 2
4x5 – 0 + + +
−2
x – – – 0 +
2 4 5
− x
x + 0 – ej
def
+
Vi ser i tabellen att
2 4 5
− x
x ≥ 0 om x∈(−∞,0]∪(2,∞)
Uppgift 5. (2p ) Lös ekvationen 0
6 ln ) 1 ln(
)
ln(x + x− − = . Lösning:
Notera att ekvationen är definierad om V1: x>0 och V2: x−1>0.
(Båda villkor är uppfyllda om x>1.)
Från ln(x)+ln(x−1)−ln6=0 har vi ) 0 6
) 1 ln(x(x− =
.
Härav 0
6 ) 1
(x e
x − =
eller 1 6 0
6 ) 1
( − = ⇔ 2− − =
x x x
x
Härav (med pq-formeln) får vi x1=3 och x2 =−2. Endast x1=3uppfyller kravet x>1 (och därmed båda krav).
Svar: Ekvationen har en lösning x1=3.
Uppgift 6. (1p) Beräkna )
4 tan(5 6 )
sin(7 2 2)
arcsin(1 + π + π
. Svara exakt.
Lösning:
Från
2 ) 1 sin(π6 =
har vi
) 6 2 arcsin(1 π
= Från enhetscirkeln får vi )
sin(6 6 )
sin(7π =− π
. Därför
2 ) 1 6 sin(7π =−
. Tangensfunktionen har perioden π . Därför ) 1
tan(4 4 )
tan(5π = π = Slutligen:
4 ) tan(5 6 )
sin(7 2 2)
arcsin(1 π π
+
+ =
1 6 2) ( 1 6 2
π π + ⋅ − + = .
Svar:
6 π
Uppgift 7. (2p) Förenkla uttrycket sinacosa⋅(tana +cota).
Lösning: )
sin cos cos
(sin cos sin ) cot (tan
cos
sin a
a a
a a a a
a a
a ⋅ + = ⋅ +
1 cos cos sin
sin cos cos sin
sin 2 2
2
2 + = + =
⋅
= a a
a a
a a a
a
Uppgift 8. (2p)
Rita andragradskurvan som ges av ekvationen x2 −2x+y2−4y=4.
Lösning: Vi kvadratkompletterar x- och y-delen och får 4
4 ) 2 ( 1 ) 1
(x− 2 − + y− 2 − = eller 9
) 2 ( ) 1
(x− 2 + y− 2 = .
Kurvan är en cirkel med radien 3 och centrum i punkten (1, 2).
(1,2) r=3
