Exempeltenta 3
Introduktionskurs i Matematik HF1009 (1.5 hp) Datum: xxxxxx
Tentamen ger maximalt 12p. För godkänd tentamen krävs 6p.
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar!
Inga hjälpmedel tillåtna.
Skriv din klass på omslaget (TIMEL1, TIELA1, TIDAA1, TIBYH1A, TIBYH1B eller TIBYH1C).
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället, utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Uppgift 1. (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck )
( )
(A∨B ⇔ A∧B .
Uppgift 2. (1p) Vi betraktar tre mängder A, B och C (som ligger i en grundmängd G).
Använd lämpliga mängdoperationer för att beskriva en mängd som består av alla element x sådana att x ligger i exakt två av mängderna A , B, C.
Uppgift 3. (2p). Beräkna och förenkla
y x
y x
3 3
1 1
2 2
−
−
Uppgift 4. (2p ) Lös följande ekvationer a) 2x +2x+2 =40 b) log3(2x+1)=2. Uppgift 5. (2p) Beräkna arcsin(− + 1) arctan(1). Uppgift 6. (2p).
Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att n3−n är delbart med 3 för n≥0. (Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt.)
Uppgift 7. (2p)
Rita följande punktmängder i xy-planet
a) {(x,y)∈R2:x2 +4y2 =4} b) {(x,y)∈R2:x2+4y2 ≤4}
Sida 1 av 4
Lycka till!
FACIT
Uppgift 1. (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck )
( )
(A∨B ⇔ A∧B . Lösning:
A B A∨ B A∧ B (A∨B)⇔(A∧B)
S S S S S
S F S F F
F S S F F
F F F F S
Uppgift 2. (1p) Vi betraktar tre mängder A, B och C , som är delmängder av en
grundmängd G. Använd lämpliga mängdoperationer för att beskriva en mängd som består av alla element x sådana att x ligger i exakt två av mängderna A , B, C.
Svar: (AC∩B∩C)∪(A∩BC ∩C)∪(A∩B∩CC).
Uppgift 3. (2p). Beräkna och förenkla
y x
y x
3 3
1 1
2 2
−
−
Lösning:
xy y x x y
xy y
x
x y x y x y
xy y
x x y xy
x y
y x
x y
y x
y x
3 ) ( 3 ) )(
( 3 3 3
3 3 3
1 1
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 = +
⋅ − +
= −
⋅ −
= −
−
−
=
−
−
Svar:
xy y x
3 +
Uppgift 4. (2p ) Lös följande ekvationer a) 2x +2x+2 =40 b) log3(2x+1)=2. Lösning:
a) 2x +2x+2 =40 (Faktorisera VL genom att bryta ut 2x) 2x(1+22)=40 eller
8 2x = .
Sida 2 av 4
Härav 2x =23 som ger x=3.
b) Notera att ekvationen är definierad om 2x+1>0 dvs 2
−1
>
x
Från log3(2x+1)=2har vi
4 8
2 9 1 2 3 1
2x+ = 2 ⇔ x+ = ⇔ x= ⇔x= (som uppfyller 2
−1
>
x ).
Svar: a) x=3 b) x=4
Uppgift 5. (2p) Beräkna arcsin(− + 1) arctan(1). Lösning:
Beräkna arcsin(− + 1) arctan(1)
4 4 2
π π π + =−
−
= .
Svar:
4
− π
Uppgift 6. (2p).
Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att n3−n är delbart med 3 för alla hela tal
≥0 n .
(Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt.)
Lösning:
a) (Induktionsbas)
För n=0 får vi n3−n=0 vilket är delbart med 3.
Alltså gäller påståendet för n = 0.
b) (Induktionssteg)
Antag att det för givet n gäller påståendet, P(n), dvs n
n3− =3c (*) , där c är ett helt tal.
Vi vill visa att då gäller P(n+1) d v s att )
1 ( ) 1
(n+ 3 − n+ = 3d för ett heltal d.
Vi utvecklar ) 1 ( ) 1
(n+ 3− n+
=n3+3n2+3n+1−n−1 n n n
n3− +3 2+3
= (enligt (*) gäller n3 −n=3c ) n
n
c 3 3
3 + 2+
=
d n n
c ) 3
(
3 + 2 + =
= (där d =c+n2 +n är uppenbart ett heltal).
Detta betyder att (n+1)3−(n+1) är delbart med 3 Alltså P(n)⇒P(n+1).
Sida 3 av 4
Från a) och b) får vi, enligt den matematiska induktionen, att påståendet gäller för alla heltal
≥0 n .
Uppgift 7. (2p)
Rita följande punktmängder i xy-planet
a) {(x,y)∈R2:x2 +4y2 =4} b) {(x,y)∈R2:x2 +4y2 ≤4}
Lösning:
a) Om vi delar ekvationen x2+ y4 2 =4 med 4 får vi 4 1
2 2
= x + y
ser vi (genom att jämföra med 2 1
2 2
2 + =
b y a
x ) att grafen är en ellips med centrum i origo och halvaxlarna a=2 och b=1.
b) Punktmängden som definieras av {(x,y)∈R2:x2 +4y2 ≤4}består av alla punkter som ligger inuti elipsen och på randen till ellipsen i frågan a.
Svar: Se ovanstående grafer.
Sida 4 av 4
