3 1956

Å R G Å N G 1 • Mars 1956 N r 3

W A L D O R F S K O L A N PÅ VÄG MOT EN NY P E D A G O G I K

Så löd den stolta parollen för den upp- m ä r k s a m m a d e utställningen av elevar- beten från Waldorfskolor i 12 länder, som under tiden 4—12 januari fanns a t t be- skåda och begrunda i Östermans u t s t ä l l - ningslokaler i Stockholm.

P å grund av u t r y m m e s s k ä l kan h ä r endast ges en synnerligen kortfattad pre- sentation av vad Waldorf skolorna och de- ras speciella pedagogik innebär:

1919 startades den första W a l - dorfskolan i Stuttgart. Skaparen av den nya skoltypen var D r Rudolf Steiner. Under 20-talet fick denna nya skoltyp efterföl- jare även p å andra håll i Tysk- land och t r ä n g d e så småningom ut över landets gränser. Den has- t i g t expanderande verksamheten led emellertid ett s v å r t avbrott genom den politiska utvecklin-

gen under 30-talet. Hitlerregimen l ä t så- ledes efter fleråriga trakasserier småning- om helt s t ä n g a Waldorfskolorna. E t t i n - tensivt å t e r u p p b y g g n a d s - och nygrund- ningsarbete vidtog dock snart efter andra världskrigets slut och för n ä r v a r a n d e existerar det sammanlagt 62 Waldorf- skolor i 12 olika länder.

Sverige fick sin första och hittills enda Waldorfskola för 6% å r sedan. K r i s t - offerskolan i Stockholm grundades å r 1949 och har sedan dess burits upp av en s t ä n d i g t v ä x a n d e krets av entusiastiska lärare och föräldrar. Den omfattar nu 7 klasser med n ä r a 200 barn och har sina lokaler v i d Malmskillnadsgatan 58 A .

@ Waldorfskolornas pedagogik s t r ä v a r efter a t t söka inge sina elever känsla och v ö r d n a d för livet, dess utvecklingsmöj- ligheter och s k ö n h e t s v ä r d e n .

• T r y c k t a läroböcker a n v ä n d e s i myc- ket ringa u t s t r ä c k n i n g . I stället får ele-

verna själva efter lärarens diktamen ut- arbeta arbetsböcker och illustrera dem med teckningar och målningar. Teckning blir på så s ä t t ett h u v u d ä m n e , som u t - nyttjas v i d all undervisning.

• En huvudtanke i Waldorfpedagogi- ken ä r a t t man alltid u t g å r från helheten.

F ö r s t sedan eleven upplevat helheten tar man i t u med a t t s k ä r s k å d a detaljerna.

9 E t t specifikt övningsämne är den s. k. eurytmien, d ä r bar- nens förmåga att urskilja och efterbilda melodier och rytmer skolas m å l m e d v e t e t .

• E n levande och i n t i m växel- verkan mellan lärare och elever eftersträvas. Därför får i W a l - dorfskolorna samme lärare följa sin klass genom de första 8 skolåren och ta hand om huvudundervisningen.

Det ä r r ä t t intressant att studera hur Waldorfpedagogikens huvudsatser tilläm- pas p å räkneundervisningen; onekligen öppnas h ä r nya perspektiv, skapas nya vägar, som ä r v ä r d a att prövas.

U t g å från det hela! I den e l e m e n t ä r a räkneundervisningen tillämpas denna hu- vudregel — som g å r som en röd t r å d genom all Waldorfpedagogik — p å föl- jande s ä t t :

V i d r ä k n e s ä t t e t addition t . ex. börjar man inte med räkneexempel som 7 + 2 = ? 5 + 5 = ? osv. I dessa exempel u t g å r man från delarna och svaret har inga varia- tioner: 5 + 5 kan b l i ett enda. I stället ut- går man från det hela: 1 0 = ? + ? P å vilka olika s ä t t kan v i dela u t t . ex. 10 st. ä p p - len? Denna frågeställningen ger å t sva- ren en r i k variationsmöjlighet, d ä r eleven självständigt kan p r ö v a sig fram. Man

(Forts å sid. 7) 2

N Y U N D E R V I S N I N G S M A T E R I E L

F Ö R R Ä K N E U N D E R V I S N I N G E N

Norstedts räkneflanellograf, utarbetad av sem.-lär. fru Gudrun Malmer, har nu kommit. F ö r den första räkneundervis- ningen d ä r bilden spelar en mycket stor roll, då det gäller a t t åskådliggöra och konkretisera en r ä k n e s i t u a t i o n , innebär räkneflanellografen en stor fördel tack vare bildmaterialets rörliga form. Man kan snabbt och enkelt s ä t t a upp och ta bort bilder för att demonstrera en räkne- situation och barnen kan själva få hands- kas med materielen.

Flanellografen går dessutom lika bra att a n v ä n d a , vilken lärobok man än har och kan l ä t t omformas efter individuella önskemål. I den metodiska handledning- en som åtföljer materielen har givits exempel på olika kombinationsmöjlig- heter, men den intresserade läraren kom- mer säkert a t t kunna finna fler.

Flanellografen har innan den utkom- m i t i tryck under t v å års t i d p r ö v a t s i praktisk undervisning i Lerbäcksskolan i Lund och småskollärarinnan Inga Mag- nusson uttalar sig bl. a. på följande sätt:

»All undervisning bör så långt möjligt vara åskådlig, n ä m n e r Gudrun Malmer i sitt förord t i l l metodiken. Förvisso ä r p å s t å e n d e t r i k t i g t och omsattes snabbast och enklast i praktiken med hjälp av

flanellografen. Bilderna j ä m t e metodiken är rika på friska och nya idéer. Många små guldkorn kan v i småskollärare finna vilka ger oss impulser och omväxling i undervisningen, och får barnen att lät- tare uppfatta och komma ihåg alla räk- nebegrepp . . . Tack vare materielen har v i lyckats undvika m å n g a stötestenar under r ä k n e t i m m a r n a . Därför hoppas jag att småskolans lärare u t n y t t j a r möjlig- heten att anskaffa ett effektivt hj älpmedel v i d den grundläggande undervisningen».

Barnen får själva handskas med materielen. Under det att någon av eleverna får berätta en räknehistoria med flanellografens hjälp, uttrycker en kamrat samma sak med matema- tisk skrift.

3

N y a s t a n d a r d p r o v för f o l k s k o l a n i å r !

T O R S T E N H U S E N - Carl Hugo Björnsson Åke W. Edfeldt - Sten Henrysson

S t a n d a r d - p r o v e n

En redogörelse för konstruktion och standardisering En b o k s o m v a r j e l ä r a r e b ö r s k a f f a sig !

De "gamla" standardproven har använts inom folkskolan åren 1944 —1955. I år blir det nya standardprov. De kommer att sättas in redan i början av mars och utspridas med jämna tidsintervaller under tiden mars—maj.

Boken "Standardproven" redogör för hur de nya standardproven konstruerats och standardiserats.

8:75 - inb. 11; —

För rekvisition sänd in F r å n Almqvist & Wiksell, B o x 159, S t o c k h o l m 1. r e k v . vidstående kupong eller

1 ex. Husen m . fl.: S t a n d a r d p r o v e n å 8:75, inb. 11:— mot sätt in beloppet på post- sedvanlig l ä r a r r a b a t t , 7: — , inb. 8:80. (V. g. markera om giro 758 med angivande hft. eller inb. ex. önskas.)

på talongen vad beställ-

i Namn ningen avser.

1 Adress

1 Postadress

NÅGOT OM BARNENS

KVANTITETSVÄRLD V I D SKOL- GÅNGENS BÖRJAN

av Professor Torsten Husen

M

ålet för räkneundervisningen ä r a t t lära barnen a t t ur k v a n t i t a t i v synpunkt be- h ä r s k a en rad företeelser i deras omgivning. Rent a l l m ä n t betyder detta, a t t läro- gången skall syfta t i l l a t t systematiskt ge varseblivningarna av omvärlden en sådan struktur, a t t de k v a n t i t a t i v a momenten kommer a t t f r a m h ä v a s . Men redan under det första skolåret räcker det inte med bara detta. Undervisningen i elementär aritmetik avser att lära barnen ett system av begrepp och symboler för dessa, med vars hjälp de utan y t t r e manipulationer skall kunna komma t i l l r ä t t a med de kvantitetsproblem de m ö t e r .

R ä k n e ä m n e t ställer genom sin k a r a k t ä r av a t t vara ett slutet och logiskt uppbyggt system stora krav på att grunden läggs på ett psykologiskt och metodiskt r i k t i g t s ä t t . Då barnen under första skolåret börjar med den mera formella räkneundervisningen, gäller det a t t k n y t a an denna t i l l barnens tidigare erfarenheter av kvantiteternas värld. R ä k n e u n d e r v i s n i n g e n b ö r inte upplevas som n å g o t principiellt n y t t som har föga a t t göra med det »räknade», av vilket barnet tidigare har erfarenheter. Det ä r därför av största v i k t a t t läraren har k l a r t för sig, vilka kvantitetserfarenheter och kvantitetsbegrepp barn i a l l m ä n h e t har v i d skolans början. Det visar sig som v ä n t a t , a t t barnen redan v i d denna t i d p u n k t uppvisar mycket stora variationer i fråga om sin r ä k n e m o g n a d . S a m s t ä m m i g a erfarenheter ger v i d handen, att flickorna härvid är överlägsna pojkarna i flertalet avseenden. De a n v ä n d e r i större u t s t r ä c k n i n g spon- tant kvantitetsuttryck, då de skall beskriva omvärlden. De kan l ä t t a r e r ä k n a föremål, s a m m a n s t ä l l a föremål t i l l ett föreskrivet antal och skilja mellan olika antal. Vidare är barn från s. k . högre socialgrupp överlägsna dem från lägre socialgrupp, dock inte så påtagligt som i fråga om ordförråd och andra verbala prestationer.

Det ä r uppenbart, a t t r ä k n e m o g n a d e n , liksom exempelvis läsmognaden, i någon m å n kan befrämjas och p å s k y n d a s genom a t t barnet erhåller systematisk t r ä n i n g i att betrakta omgivningen ur k v a n t i t a t i v a synpunkter. E n sådan t r ä n i n g kan givetvis inte å s t a d k o m m a några underverk, men den kan inom ramen för de anlagmässigt givna f ö r u t s ä t t n i n g a r n a å s t a d k o m m a åtskilligt. Mest givande ä r a t t s ä t t a i n sådan t r ä n i n g i förskolorna. Men eftersom inte alla barn får tillfälle a t t genomgå förskola, kan läraren med fördel ägna några veckor i början av första skolåret t i l l a t t dels söka fastställa vilket förråd av kvantitetsbegrepp barnet besitter och dels söka vidareut- veckla och befästa dessa begrepp. Självfallet m å s t e läraren även i den d ä r p å följande undervisningen hela tiden inrikta sig p å att skapa en fast grund av begrepp, på vilka sedan all fortsatt undervisning bygger.

Vad man kan å s t a d k o m m a genom ett r ä k n e m o g n a d s p r o g r a m under förskoletiden visar en undersökning av Koenker, publicerad i »Journal of Educational Research», årg. 1948. Man utgick från t v å ur intelligenssynpunkt ekvivalenta förskoleklasser, vilka bägge hade en genomsnittlig I K om 103. Den ena klassen undervisades som van- ligt, medan den andra fick en systematiskt upplagd t r ä n i n g i a t t r ä k n a och gruppera föremål samt a t t jämföra och gruppera. De fick vara med om räknelekar, räknehis- torier och bereddes tillfälle a t t m ä t a med linjal etc. Bägge grupperna testades med

ett r ä k n e m o g n a d s p r o v såväl före som efter försöksperioden. Resultaten framgår av n e d a n s t å e n d e t a b l å .

Genomsnittlig intelligenskvot

Genomsnittsresultat i r ä k n e m o g n a d s t e s t e t H ö s t t e r m i n e n V å r t e r m i n e n Experimentgrupp

Kontrollgrupp

103 103

13.2 13.6

23.4 18.7

V i ser, a t t experimentgruppen under den t i d experimentet pågick hade ö k a t sin genomsnittsprestation i r ä k n e m o g n a d s t e s t e t med 10.2 poäng mot 5.1 för k o n t r o l l - gruppen. Den senares p r e s t a t i o n s t i l l v ä x t berodde givetvis t i l l större delen på den mera spontana mognaden, varför man kan säga, att den t r ä n i n g experimentgruppen hade erhållit hade gett den ett lika stort tillskott som själva den spontana mognaden hade medfört. D ä r j ä m t e visade det sig, a t t barnen i experimentgruppen enligt lärar- nas intryck uppvisade ett större spontant intresse och en mera påtaglig förkärlek för a t t syssla med räkneuppgifter.

Jag skall inte i detta sammanhang söka summera upp de resultat som den utveck- lingspsykologiska forskningen k o m m i t t i l l i fråga om barnens kunskaper om k v a n t i - teter och t a l mot slutet av förskoleåldern. V å r kunskap om denna utvecklingsprocess är numera ganska betydande genom den forskning som bedrivits särskilt av Coward, Brownell och Martin. Samtliga dessa visar b l . a., a t t flertalet barn v i d skolgångens början har en betydande fond av kvantitetserfarenheter och -begrepp. Dessa visar en viss lagbunden sekvens, utvecklingsgång, med en b e s t ä m d ordningsföljd mellan de olika stadierna. Sålunda kan barnet först peka på och r ä k n a föremål av samma art.

N ä s t a steg ä r a t t barnet kan skilja grupper av olika storlek å t . F ö r s t därefter kan barnet »producera» t a l , t . ex. korrekt efterkomma en uppmaning av typen »Ge mig fyra kulor!»

Begrepp som avser jämförelser, »större», »mindre», »högre», »lägre», b e h ä r s k a r fler- talet barn långt före skolans början. Likaså kan slantar av olika valör utpekas. Där- emot kan barnen som regel inte behärska enkla aritmetiska uppgifter, där t . ex. slan- tar a n v ä n d e s , förrän v i d 6-årsåldern. Det visar sig dock att ganska m å n g a barn v i d denna ålder spontant kan lösa aritmetiska problem, som k r ä v e r enkla additioner eller subtraktioner — under f ö r u t s ä t t n i n g a t t dessa problem har en konkret anknytning.

(T. ex.: »Här har du t v å kakor. Om jag nu ger dig tre kakor t i l l , hur m å n g a har du då?») Förf. har i samband med standardiseringen av ett prov ( K A N D U . . . ) , som avser att ge l ä r a r i n n o r n a information om barnens behärskning av de grundläggande k v a n - titetsbegreppen v i d skolgångens början, haft tillfälle a t t fastställa, i vilken omfattning representativa grupper nybörjare är förtrogna med dessa begrepp. E n undersökning av barn i förskolor har också gjorts, men detta material har ä n n u inte färdigbearbetats.

H ä r skall bara några data från bearbetningen av n y b ö r j a r m a t e r i a l e t framläggas.

Provet b e s t å r av 88 uppgifter, vilka g e n o m g å t t s av en särskild standardiserings- grupp om 800 barn. A v dessa har resultaten för 400 barn gjorts t i l l föremål för n ä r - mare analys. Genomsnittsprestationen uppgick t i l l inte mindre ä n 81 uppgifter, vilket visar a t t majoriteten barn väl b e h ä r s k a r de begrepp som provet prövar. Eftersom barnen inte kan läsa presenteras provuppgifterna i form av tecknade bilder i ett sär- skilt häfte. Instruktionerna ges muntligt och barnen ger sina svar som regel i form av kryss. (Ex.: E n bild visar tre sandhögar och barnet skall s ä t t a kryss under den hög, som ä r störst).

F ö r s t a delen av provet innehåller de mest elementära kvantitetsbegreppen, såsom

»större», »mindre», »mera», »mest», »många», »alla», »några». Det visar sig att den över- väldigande majoriteten b e h ä r s k a r dessa begrepp. Frekvenstalen ligger mellan 89 och 6

98 %. Begreppet »ungefär», vilket prövas med en bild av tre grupper blommor, av vilka t v å innehåller n ä s t a n lika många, klaras d ä r e m o t endast av 64 % av barnen.

N ä s t a del av provet inkluderar rumsliga begrepp, såsom »före», »efter», »först,»

»sist», »uppåt», »nedåt», »höger» och »vänster». Även dessa begrepp har flertalet klart för sig med frekvenstal mellan 85 och 99 %. Begreppen »höger» och »vänster» klaras d ä r e m o t av n å g o t färre barn, 80 resp. 77 %.

Även längd- och viktrelationer, såsom »längst», »kortast», »tyngst» och »lättast» går n ä s t a n alla i land med. Valören hos slantar, såsom ett-, t v å - och femöringar, klarar mellan 73 och 88 %.

Talbegreppen »ett», »två», »tre» och »fyra» behärskas av mellan 90 och 95 %. Unge- fär samma antal kan också utpeka det antal föremål som anges av dessa begrepp.

*

Som framgår av den h ä r något fragmentariskt redovisade undersökningen upp- visar det överväldigande antalet barn i v å r t land v i d skolgångens början en s å d a n b e h ä r s k n i n g av de grundläggande räknebegreppen, a t t grunden för r ä k n e u n d e r v i s - ningen på det hela taget kan sägas vara ganska god. V å r a småskollärare har i detta avseende ett betydligt gynnsammare utgångsläge ä n sina kolleger i de länder, d ä r skolpliktstiden börjar ett eller t v å år tidigare. V i d mina diskussioner med amerikanska räknepedagoger fann jag, a t t man i USA får ägna en a v s e v ä r d del av första skolåret för att bringa barnens r ä k n e m o g n a d t i l l den nivå, a t t mera formell undervisning kan s ä t t a s i n .

Waldorfskolan . . . (forts. fr. sid. 2)

kan t . o. m. på detta enkla räkneexempel anlägga moraliska uppfostringsaspekter!

(Enligt Waldorfpedagogiken bör all undervisning även vara uppfostran.) 7 + 2 = innebär att jag har 7 äpplen och ytterligare får 2, således ett »egoistiskt insam- lande». 9 = ? + ? i n n e b ä r d ä r e m o t att jag har 9 äpplen och generöst delar u t dem t i l l t v å kamrater — onekligen ett mer altruistiskt h a n d l i n g s s ä t t !

P å liknande s ä t t u t g å r man från helheten v i d i n l ä r a n d e t av multiplikationsta- bellen. Man startar således med uppdelningsövningar t . ex.: 12 består av 2 sexor, 3 fyror, 4 treor, 6 t v å o r . Eleverna får självständigt undersöka talens uppdelnings- möjligheter.

Som n ä m n t s lägger man stor v i k t v i d musikaliska och rytmiska övningar. I r ä k n e - undervisningen t i l l ä m p a s detta genom a t t barnen får läsa — gemensamt i korus — tabellerna eller r ä k n e r i m i markerad r y t m . »Den uppodlade r y t m k ä n s l a n u n d e r l ä t t a r i hög grad arbetet med multiplikationstabellen, vars framsägande ackompagneras med klappning och stampning i v ä x l a n d e rytmer».

En av huvudtankarna i Waldorfpedagogiken är som n ä m n t s , att eleverna skall lära sig inse och uppskatta tillvarons skönhetsvärden. Denna grundtanke influerar även räkneundervisningen, framförallt då inom geometriundervisningen p å de högre sta- dierna. I stället för den t r å k i g a linealritningen, som tillämpas i v å r a gymnasier, får Waldorfskolornas elever a n v ä n d a linealen och passaren för a t t skapa vackra geomet- riska mönster, i vilka man även söker skönja former och m ö n s t e r från det levande livet: snäckformer, blad- och blomformer, s t j ä r n m ö n s t e r osv. N å g r a synnerligen vackra exempel h ä r p å återfinnes på första sidan i detta nummer. Onekligen b å d e originellt och vackert!

H ä r har i denna snabbskiss endast i korthet hunnits beröra vad Waldorfpedago- giken innebär. TfS planerar a t t i ett av h ö s t n u m r e n mera detaljerat presentera denna nya, intressanta pedagogik — och då givetvis i främsta rummet ta upp dess be- handling av räkneundervisningen.

7

En n

r ä k n e b o k s y s t e m e t

Wikström — Husen

R Ä K N E B O K E N

Första skolåret i : 90 Andra skolåret 1:90 Facit till andra skolåret 1: —

Tredje skolåret utkommer under våren

Anvisningar för läraren medföljer gratis varje lärarexemplar avjörsta skolåret

G O D K Ä N D A V S T A T E N S L Ä R O B O K S N Ä M N D

" W i k s t r ö m — Husen, Första skolåret blev en stor framgång. R ä k n e b o k e n

— A n d r a skolåret b l i r det säkert i n t e m i n d r e . — V i har all anledning att tacka R u t h W i k s t r ö m o c h T o r s t e n Husen för att de ger oss b öc ke r s o m lär barnen tänka och i a k t t a g a . "

Ellen Bengtsson i Svensk Skoltidning

SVENSKA BOKFÖRLAGET

s b S K O L B O K C E N T R A L E N Utställning David Bagares Gata 20 - Stockholm Lärarexemplar

Tel. 23 69 80 - Postgiro 5 5160 Rekvisitioner

F Utställning även Parkg. 19, Göteborg - Hamng. 4, Malmö

av Folkskoleinspektör Fil. Dr. Helge Haage

DEN GRUNDLÄGGANDE RÄKNINGENS PSYKOLOGISKA OCH

PEDAGOGISKA PROBLEM

ör den som sysslar ined mera avancerad matematik i skolorna och som därvid X. konstaterar hur vissa elever har relativt litet intresse och små anlag för ä m n e t , kan

det m å h ä n d a synas långsökt att s ä t t a detta i förbindelse med frågan, hur den första bekantskapen med talförhållandena gjordes före skolåldern och under de första s m å - skolåren. Och dock torde det inte vara alldeles utan betydelse. Särskilt torde avog- heten mot ä m n e t hos vissa elever och de t i l l synes n ä s t a n oöverstigliga svårigheterna att tillägna sig även de enklaste matematiska färdigheter i mycket väsentliga stycken kunna härledas tillbaka t i l l denna första bekantskap. Inte så a t t medfödda anlag skulle sakna betydelse för intresse och framgång p å detta o m r å d e . Vare det långt ifrån oss a t t vilja antyda något s å d a n t . Men även det s ä t t p å vilket de första stapp- lande stegen tagits ger å t m i n s t o n e delvis nyckeln t i l l m å n g e n olust inför ä m n e t .

H ä r ska endast i korthet skisseras några av de problem, som m ö t e r småskolans lärare v i d deras uppbyggnad av den första räknefärdigheten, s å d a n a dessa problem ter sig mot bakgrunden av en mera vetenskapligt funtad analys av de arbetsprocesser, varom h ä r ä r fråga.

Liksom så m å n g a andra av skolans arbetsprocesser har också den elementära räk- ningen varit föremål för psykologernas forskningar med relativt skralt resultat, där- för a t t inriktningen b l i v i t för ensidig och verklighetsfrämmande. Jag t ä n k e r h ä r när- mast på de m å n g a försöken för att u t r ö n a , hur eleven tillägnar sig talbilder och mate- matiska begrepp. Man u t g å r såsom från något självklart a t t barnet m å s t e ha talbilder och a t t begreppen uppkomma genom något slags abstraktion enligt logikens dogma- tik, och så gör man sina laboratorieförsök och författar läroböcker byggda på veten- skapens senaste rön med diagnostiska prov i stället för vanliga prov osv. I själva verket spelar dessa talbilder etc. en relativt liten roll i den första räknefärdigheten och även sedan, såsom v i h ä r ska försöka visa. Men vetenskapen, som h ä r varit för dogmatisk i sin tro p å talbilderna, har gjort mycken skada genom a t t den felinriktat lärarnas arbete, så a t t det inte sällan b l i v i t ett malande »i tomme».

Vad ger då en grundlig analys av de faktorer, som ä r verksamma i de elementära räknefärdigheterna för resultat? Jo, först och främst a t t barnet behöver veta hur räkneorden följer varandra i talramsan 1, 2, 3, 4, 5 osv. och få r u t i n i a n v ä n d n i n g e n av ramsan, så a t t det med hjälp av denna ramsa l ä t t kan r ä k n a föremål, taktslag, klockans k l ä m t n i n g a r , blinkningarna från en aga-fyr osv. Innan man kan detta ä r det lönlöst a t t börja någon annan räkning. Ramsan är räkningens abcd.

U r psykologisk synpunkt har i n l ä r a n d e t av denna ramsa ungefär samma f ö r u t s ä t t - ningar som i n l ä r a n d e t av en barnvisa, B ä , Bä, vita lamm eller vilken som helst. R ä k - ning blir det emellertid först, då man kan samordna ramsans ord med en handlings- serie, ex. a t t ta finger för finger och säga Bä, B ä , v i t a lamm osv. eller ett, t v å , tre, fyra osv., a t t stega och säga orden i ordning, lyssna t i l l taktslag och säga orden etc.

Ramsräkning

Denna övning, som ofta kan börja redan n ä r barnet är fyra-fem år, roar barnet men får naturligtvis på detta stadium inte p å t r u g a s den, som inte har lust. Den van- ligaste svårigheten i början är j u , att barnet säger ramsan ett, t v å , tre osv. utan a t t samordna den med handlingsserien. Ä n n u n ä r barnet börjar skolan ä r detta vissa barns utvecklingsstadium.

Vad gör nu skolan för a t t lära barnet r ä k n a ? Jo, i stället för att t r ä n a i n denna rams- räkning t i l l r u t i n börjar man under vetenskapens t ä c k m a n t e l inlära talbilder av ett, t v å , tre, fyra osv. punkter i gruppering. Man gör det mycket grundligt. Man ritar och m å l a r och f ö r s u m m a r därvid ofta det på detta stadium enda nödvändiga: a t t t r ä n a in talramsan såsom en räkningens fundamentala funktion. I verkligheten kan man, om man koncentrerar sig på denna färdighet i stället för på talbilderna och allsköns ovidkommande trams, relativt l ä t t på ett par m å n a d e r lära en första klass denna r a m s r ä k n i n g t i l l rutin, så att barnet kan a n v ä n d a den upp t i l l 20 ä 30, ja även upp t i l l 100, vilket eljest kan ta b å d e ett och t v å år.

P å detta stadium roar r a m s r ä k n i n g e n barnet omåttligt, om det bara börjar få fär- dighet i den. Man kan som övning r ä k n a n ä s t a n vad som helst, blommor i en vas, taktslag, b o k s t ä v e r p å en rad, kulorna p å en kulram etc. P å kulramen, som ä r v å r t utan jämförelse b ä s t a åskådningsmateriel för den första räkneundervisningen, därför att den k l a r t visar dekadsystemets enkla räknemodell och snabbt och l ä t t kan om- ställas så a t t funktionerna klart framstår för barnet, kan man visa, hur det första tiotalets r ä k n e o r d upprepas i det andra tiotalets motsvarande kulrad: tre blir t r e t t o n , fyra fjorton, fem femton, sex sexton osv. Själv brukar jag låtsas, a t t man h ö r det, n ä r man börjar andra raden med tre och ger en snärt å t den första för att få tonen—

ton. Detta lilla grepp gör inlärningen av talen tretton—nitton mycket l ä t t .

P å samma s ä t t ä r det med tiotalens upprepning upp t i l l 100. Man r ä k n a r tiotalen med hjälp av den första talramsan 1—10, tre-tio, fyr-tio, fem-tio osv. för att slutligen ge s l u t k l ä m m e n 100. Även d ä r brukar jag l å t a barnet just som markera antalsupp- repningen genom a t t tiotalsraden får smälla mot kulramssidan, n ä r den förs över.

Det ger barnet en lustkänsla, samtidigt som det markerar talet.

Detta a t t talupprepningen får en klar markering i samband med a t t man säger r ä k n e o r d e t , ä r p å detta stadium mycket v i k t i g t . Det ä r j u särskilt detta som ska läras och upplevas. Särskilt vissa barn med mindre god koncentration och kanske slapphet i hållning etc. v i l l så g ä r n a slarva ifrån markeringen av r ä k n e o r d e t i fast anknytning t i l l handlingskedjan och får därigenom ett klent underlag för räkningen. Ofta v i l l barnet också skena iväg för a t t inte tappa bort ramsan som sådan. Men även detta ger dåligt underlag för den kommande räkningen. Man m å s t e därför se t i l l a t t färdig- heten rutineras så, a t t barnet kan r ä k n a hur l å n g s a m t som helst och ä n d å r ä k n a r i k t i g t . F ö r detta ä n d a m å l kan det vara n ö d v ä n d i g t a t t man låter nybörjaren gå om- kring och r ä k n a barnen eller b ä n k a r n a i klassrummet. Han tvingas då a t t göra långa uppehåll och ä n d å f o r t s ä t t a serien på r ä t t s ä t t .

U r vissa synpunkter ä r det ö n s k v ä r t a t t denna första r a m s r ä k n i n g , n ä r det gäller föremål i rad, också sker från v ä n s t e r t i l l höger. Varför hinner jag inte h ä r förklara, men det ä r ett led i den fasta ordningen i räkningen.

Denna första fasta t r ä n i n g i samordning mellan talramsa och sakupprepning' ger som biprodukt en allmän k a r a k t ä r s u t f o r m n i n g som också t j ä n a r räkneutvecklingen.

N ä r barnet k ä n n e r rytmen i upprepningen och ramsans melodi i anslutning t i l l denna, lägger sig mycket av den oro och spänning som finns hos m å n g a oroliga barn. Barnet blir fastare i sina rörelser, mera viljebetonat. Det kan prestera något. Och n ä r barnet går fram och utför dessa v ä l inlärda prestationer v i d kulramen, får det vana a t t upp- t r ä d a . Självförtroendet och modet s t ä r k s . Detta är påtagligt för den som sett meta- morfosen i hundratals och hundratals fall. Mer behövs det ofta inte som en första hjälp

K)

Helt enligt den nya

undervisningsplanen

Barbro Billing — Helga Nilsson

M I N R Ä K N E B O K

Teckningar, delvis i f ä r g , av Birgitta Nordenskjöld

P r ö v n i n g s u p p g i f t e r efter varje k u r s a v s n i t t

F ö r a t t u n d v i k a a t t barnen b l i r medvetna om exemplens k a r a k t ä r av p r o v anges d e t t a endast i anvisningar för läraren

"En lärobok av stort pedagogiskt värde — rekommenderas på det varmaste"

Läroboksnämndrns granskare småskollärarinnan Märta Karlsson

D e l 1 och 2 ä r kombinerade l ä r o - och a r b e t s b ö c k e r - D e l 3 h a r separat arbetsbok D e l 1. H ö s t t e r m i n e n i f ö r s t a klassen ( t a l o m r å d e t 1— 10) 1:90 (1:40)

» 2. V å r t e r m i n e n » » » ( t a l o m r å d e t 1— 100) 1:65 (1:25)

» 3. H e l a andra s k o l å r e t ( t a l o m r å d e t 1 — 1000) 1:90 (1:40) A r b e t s b o k t i l l del 3 0:90 (0:65)

En lärobok på stark frammarsch

L ä r a r e x . expedieras p o r t o f r i t t , o m de i n o m parentes angivna beloppen i n s ä n d e s p r postgiro 3 08 43 - A n v i s n i n g a r för l ä r a r e n e r h å l l e s gratis p å b e g ä r a n

Ett utmärkt hjälpmedel i räkneundervisningen

M Y N T T A V L A N

Sammanställd av

Barbro Billing — Helga Nilsson

M e d m y n t t a v l a n s h j ä l p k a n m a n p å e t t enkelt s ä t t å s k å d l i g g ö r a t a l e n 1 — 1000 och t a v l a n a n v ä n d e s m e d stor f ö r d e l v i d a d d i t i o n och s u b t r a k t i o n Till mynttavlan hör: 20 st. 1 - ö r i n g a r , 20 st. 1 0 - ö r i n g a r , 10 st. 1 - k r o n o r

Format 30x60 cm - Myntens diam. ca 7 o. 11 cm

Pris komplett med m y n t 1 2 : —

Erhålles direkt-från

C W K GLEERUP - LUND

i k a r a k t ä r s d a n i n g e n . Har läraren humor finns h ä r tillfälle t i l l a n v ä n d n i n g även för den.

Men medan man bygger upp denna enkla Bä-Bä-historia i räkningen, skapar man också de första f ö r u t s ä t t n i n g a r n a för att kunna t i l l ett antal saker lägga en, t v å eller tre andra av samma slag eller ta bort en, t v å eller tre. Detta sker enklast på det s ä t t e t , att barnet, för vilket r ä k n e o r d e t ä r det mest påtagliga, får a n v ä n d a ramsans ordföljd som hjälpmedel. Har man tre kulor och lägger t i l l en, ska man säga det ord i ramsan som kommer n ä r m a s t , alltså fyra. Skulle man a n v ä n d a ramsan Bä, Bä, vita lamm, finge man för talet efter v i t a säga lamm. P å samma s ä t t när man lägger t i l l t v å eller tre. Man bara säger r ä k n e o r d e n som kommer n ä r m s t det som ä r u t g å n g s p u n k t e n . Ex. sjutton, lägg t i l l t v å : arton, nitton.

P å samma s ä t t , n ä r det är fråga om fråndragning. U t g å n g s p u n k t e n är exempelvis arton kulor, då ska man ta bort i ordning nummer arton, sjutton och sexton. Alltså femton kvar. Det är påfallande hur l ä t t barnet på denna v ä g lär sig att lägga t i l l och dra ifrån en, t v å och tre enheter från ett givet antal. Om färdigheterna rutinerats i r ä t t följd, är det heller ingen större svårighet att snart u t s t r ä c k a denna ramsräkning upp t i l l 100. 88 ta bort 3 blir inte n ä m n v ä r t svårare än 8 ta bort 3. Inte heller 71 ta bort 3. H ä r framgår emellertid, hur v i k t i g t det är att den första direkta räkningen 1—20 är så fast förankrad, att barnet kan stanna var som helst och fortsätta i r ä t t ordning efter pausen. Det är f ö r u t s ä t t n i n g a r n a för att kunna hålla fast talet v i d r ä k - ningen och för a t t ta r ä t t t a l v i d t i l l - och frånräkningen.

Blockräkning

Denna r a m s r ä k n i n g är emellertid, hur v i k t i g den än är, endast en del av det kun- nande och den färdighet, som nybörjaren m å s t e b e h ä r s k a för att inte få oöverkomliga svårigheter redan v i d den räkning, som börjar i tredje klassen och som bör vara var mans egendom genom hela livet. Redan då man ska lägga t i l l eller dra ifrån ett antal av 4, 5, 6 osv. blir det opraktiskt att varje gång vara nödsakad att r ä k n a med en enhet i sänder. Ä n n u orimligare blir detta om enheterna, som ska läggas t i l l eller dras ifrån, u p p g å r t i l l t i o t a l eller mera. F ö r att klara dessa uppgifter m å s t e man införa ett helt n y t t r ä k n e s ä t t , som bygger på helt andra psykologiska f ö r u t s ä t t n i n g a r än r a m s r ä k - ningen. F ö r enkelhetens skull har v i kallat detta r ä k n e s ä t t blockräkning.

Redan i samband med ramsräkningen kan det vara bra att man på något s ä t t grup- perar kulorna på kulramen så att man kan ta fram exempelvis sex kulor utan a t t b e h ö v a r ä k n a dem för varje gång. Detta låter sig göra om man låter de fem kulorna på ramens v ä n s t r a sida få en färg och de t i l l höger en annan färg, genomgående för hela kulramen. Ä v e n ur andra synpunkter är en sådan indelning av dekadsystemet bra för inlärningen av räkningen. En kulram med olikfärgade kulor huller om buller är d ä r e m o t en styggelse för räkneundervisningen. Ä v e n en kulram, där man döljer kulorna bakom en skiva och tar fram endast de kulor man för tillfället r ä k n a r med, är ett felkonstruerat hjälpmedel, eftersom det just är funktionerna i sina stora sam- manhang som ska läras genom att man ser hur spelet fungerar i sin helhet.

Ber man barnet att utan att r ä k n a ta fram fem kulor, sex kulor, sju kulor osv., vinner man redan d ä r m e d att barnet lär sig ta femman som block och tillräkna endast enheterna ovanför, på samma s ä t t med femton och t v å , tjugufem och tre osv.

Men detta ä r dock endast en liten början t i l l blockräkningens teknik. Även denna blockräkning m å s t e , n ä r den skall genomföras, byggas mycket planmässigt och ges rutin, så att den fungerar smidigt och utan större hinder. Fungerar blockräkningen exempelvis i tredje klassen inte rutinmässigt, går barnet tillbaka t i l l den mera p r i m i - t i v a r a m s r ä k n i n g e n . 5 + 8 blir 13 först sedan barnet plöjt igenom hela talserien från fem t i l l tretton kanske med fingrarnas hjälp. A t t detta är högst opraktiskt förstår var och en. Men det är också h ä m m a n d e på räkneintresset och ett hinder för barnet 12

att lära sig den r ä k n i n g som då ska läras. De e l e m e n t ä r a r ä k n e o p e r a t i o n e r n a tar så mycket t i d och kraft, a t t man inte hinner och orkar lära det nya. Och då kommer olusten för ä m n e t . Man skyller på bristande anlag även d ä r bristen egentligen endast är bristande r u t i n .

Målsättningen för de första övningarna i blockräkning, som psykologiskt sett ä r ofantligt mycket svårare än ramsräkningen, har man k l a r t utstakad för sig, om man bara lägger framför sig ett räkneexempel för andra eller tredje klassen, exempelvis:

28 16 19 34

98 11

Varken h ä r eller i ramsräkningen är det på något s ä t t fråga om a t t snabbt kunna uppfatta ett givet antal som i en talbild exponeras i fyrkant, fyrkant med prick i n u t i eller d y l i k t . S å d a n t förekommer endast i laboratoriet och v i d dominospel och d y l i k t . F ö r räkningen sådan den förekommer i skolans r ä k n e b ö c k e r och i det dagliga livet ä r det helt andra funktioner som behöver t r ä n a s . Ska man summera ned 8 och 6 och 9 osv. m å s t e man för varje s å d a n t steg veta, hur exempelvis en sexa kan uppdelas i 1 + 5 , 2 + 4 , 3 + 3 , en å t t a i 1 + 7 , 2 + 6 , 3 + 5 , 4 + 4 . Vet jag inte detta som minnessak, blir min r ä k n i n g oerhört h ä m m a d . P å samma s ä t t m å s t e jag veta hur man v i d sam- manläggning av 8 + 7 eller 18 + 7 delar sjuan så a t t 2 fyller upp tiotalet och de 5 som blir över ger femton eller tjugufem. Detta ä r som sagt en helt annan r ä k n i n g än rams- räkningen och även annat än talbilder. T y v ä r r har detta inte tillräckligt observerats vid räkneundervisningen. Man sammanblandar r ä k n e s ä t t e n och inriktar sig mest p å a t t lära in statiska talbilder, som blir t i l l ingen n y t t a för räkningen som sådan.

Men även om man inriktar sig på a t t lära r ä k n a blockvis, gör man det ofta på ett mycket opsykologiskt s ä t t . Man tillämpar logikens lagar för begreppsbildningen och söker genom a t t hopa föreställning på föreställning om sju kor och å t t a kor som blir femton kor, sju äpplen och å t t a äpplen som blir femton äpplen osv. så småningom få fram begreppet 7 + 8 = 15. Verkligheten ä r t y v ä r r helt annorlunda. R ä k n i n g e n med dessa block ä r i själva verket intet begreppsskapande i logikens gängse mening utan ett spel som skall läras såsom spel och tillämpas p å livet. Blockräkningen bygger huvudsakligen p å en storleksjämförelse. Man ska se hur fem kulor och t v å kulor blir mindre t i l l u t s t r ä c k n i n g e n än fem likadana kulor och tre kulor. Varje sammanbland- ning av brokiga åskådningsmedel v i d inlärningen av blockräkningen försvårar v ä s e n t - ligt inlärningen, därför a t t barnet inte förstår sammanhangen. Man kan inte se a t t fyra elefanter och tre elefanter blir lika mycket som fem äpplen och t v å äpplen. Dessa sammanhang kan man d ä r e m o t visa p å ett enhetligt åskådningsmedel. Blockräknin- gen m å s t e inläras p å ett åskådningsmedel, d ä r man k l a r t kan se hur storleken ä n d r a s vid blockens sammanfogning. N ä r man kan spela p å denna r ä k n e a p p a r a t , kan man också utan svårighet tillämpa vad man l ä r t på nya o m r å d e n . Vet man att sju kulor och fem kulor p å r ä k n e a p p a r a t e n blir 12 vet också varje barn utan större omgång a t t sju små svarta negerbarn och fem s m å svarta negerbarn i m ö r k a s t e Afrika blir tolv små svarta negerbarn. Man behöver inte ha sett dem.

B ä s t läres denna blockräkning på klossar, som barnet kan s a m m a n s t ä l l a i par:

r — i

13

L ä r man barnet hur exempelvis en å t t a kan s a m m a n s t ä l l a s med paren 1 + 7 , 2 + 6, 3 + 5 , 4 + 4 , har man h ä r den fasta grunden för den blockräkning, som förekommer i uppställningstalen ovan. Men kunskapen får inte stanna v i d denna å s k å d n i n g s b u n d - na r ä k n e k o n s t . Den m å s t e övergå t i l l en mera minnesmässig sådan. F ö r s t får barnet lära sig a t t göra operationerna utan a t t se på klossarna. Så småningom övergår k u n - skapen och färdigheten t i l l ett direkt sifferminne. Man vet genom oupphörligt upp- repande a t t 7 + 8 blir 15 osv. Siffran som sådan blir den symbol som i olika samman- hang representerar blocket och ger fasta minnesband. Det ä r v i k t i g t , att utvecklingen t i l l denna sifferkombination inte fördröjes alltför länge genom för mycket åskådnings- r ä k n i n g . A l l t b ö r ha sin t i d . L i k a v i k t i g t ä r det att det finns en säkring även via å s k å d - ningsmedlet. Om räkningen direkt klickar eller ä r osäker, ska man kunna hjälpa och kontrollera sig med en eftertanke efter annan linje.

Det ä r intressant a t t iaktta hur blocken fogas samman olika alltefter olika biom- s t ä n d i g h e t e r i sammanfogningen. 6 + 6 , 7 + 7 osv. med speciell r y t m , n ä r man säger ramsan g å r alltid l ä t t a r e a t t lära än s a m m a n s t ä l l n i n g av olika t a l . E n småsak ä r det att lära kombinationerna 1 0 + 3 , 1 0 + 4 osv. därför a t t man bara säger -ton efter en- talssiffran och vet a t t -ton på kulramen representeras av den odelade tiotalsraden överst. P å samma s ä t t med 2 0 + 3 , 2 0 + 4 , 4 0 + 6 osv.

Svårare ä r det med de ungefär 10 kombinationerna av typen 9 + 6 , 8 + 7 osv., d ä r sammanläggningen eller fråndragningen överskrider tiotalsgränsen. H ä r hjälper inga nemotekniska hjälpmedel. Man m å s t e inlära dessa kombinationer ungefär som man inlär multiplikationstabellen, n ö t a in dem mekaniskt. Gör man detta i småskolans andra klass i stället för att leka med målning av gubbar etc. som symboler för r ä k n i n - gen, ger man barnet en mycket god start för den kommande räkningen. K a n barnet dessa g r u n d l ä g g a n d e moment i räkningen så a t t de fungera lätt, fortskrider uppbygg- naden av räknefärdigheten också mera normalt. Det blir inte dessa t i l l synes oför- klarliga stopp i räkneutvecklingen och denna ovilja mot att syssla med ä m n e t , som man så ofta kan få se. En sådan olust ä r fullt förklarlig, om man inte b e h ä r s k a r ens det mest e l e m e n t ä r a i de funktioner som sen ska bringas a t t samspela i en mera kom- plicerad räkneuppgift, komplicerad i den betydelse, som den kan ha i t . ex. tredje eller fjärde klassens räkneböcker.

Multiplikationstabellen

T i l l slut endast ett par ord om multiplikationen. I regel går denna mycket l ä t t a r e att lära i småskolan ä n addition och subtraktion, därför a t t man inte h ä r beslastas av talbildsteorierna utan går enkla och lättfattliga v ä g a r , som stå i linje med vad man behöver kunna. Man gör r ä t t i att först göra s. k. serier med hjälp av additionskun- nandet för a t t så småningom övergå t i l l u t a n l ä x a n . Kulramen ä r ett u t m ä r k t medel att lära in serierna. Man tar 3 kulor i taget och bygger upp serien uppifrån och ner.

P å samma s ä t t med fyrans, femmans, sexans osv. serier. Därvid befästes de t a l i m i n - net som ingår i tabellerna 6, 12, 18, 24 osv. som en grund för tabellen.

Vid inlärning av multiplikationstabellerna får man inte glömma, a t t det akustiskt- motoriska rabblandet därvid spelar en mycket betydelsefull roll för alla. Ramsan sex gånger å t t a ä r f y r t i o å t t a blir som en slagdänga som ger u t r ä k n i n g e n utan a t t man behöver ens t ä n k a . F ö r a t t denna slagdänga skall i n n ö t a s ä r det v i k t i g t , att barnet får säga hela ramsan. Den fastnar då b ä t t r e i minnet. Även h ä r behövs det emellertid dubbla och flerdubbla säkringar. Om minnet klickar skall man kunna reducera fram resultatet på annan v ä g , ex. om sex gånger å t t a ä r fyrtioåtta, m å s t e sex gånger nio vara sex mer.

En god variant t i l l den traditionella t a b e l l t r ä n i n g e n ä r att p å svarta tavlan skriva (Forts, å sid. 24) 14

Multiplikationstabellen

blir lätt som en lek med

I R M A P E R S S O N

T a b e l l b o k e n

På ett flertal sätt nöts tabellen in genom additionsserier (långa sättet) och genom multiplikation (korta sättet), med hjälp av produktbilder och träningstal.

"Klarare och tydligare kan v ä l knappast multiplikation för- klaras och åskådliggöras - Säkert kommer också Tabellboken att roa eleverna."

Ingrid Améen i Svensk Skoltidning

Pris 80 öre Boken för skolan

Boken från A. V. CARLSONS

Rekvireras från Skolbokcentralen

D a v i d Bagares gata 20 - S t o c k h o l m - Pg 55 160

D E N R O L I G A S I D A N

Ett par " i En jordbrukare anlitade en god v ä n t i l l deklarationen. Började på jordbruks- bilagan, inkomster.

— Vad har du i inkomst av mjölkför- säljningen?

— Ja, det blir j u nu noll det.

— J a s å , inkomst av försäljning av k ö t t och fläsk ?

— Ja, det blir nu noll, det.

— F å se, inkomst på försäljning av s p a n n m å l ?

— Det blir nu noll det, kan inte b l i annat.

— Men vad ä r detta? D u förstår väl, a t t så kan man inte deklarere!

— Åja, åja, v ä n t a du t i l l v i får sum- mera ner't!

(Insänt av Herr D. Larbery, Hammarii)

l-Iiistorier"

P å den "gamla goda t i d e n " h ä n d e det sig, att en latinlektor fick i uppgift a t t diktera de matematiska skrivningsupp- gifterna, då man inte hade tillgång t i l l någon duplikator. Sedan han stakat

avslutade han ekvationen med: är lika med (bokstaven) o. E t t ljushuvud ö n s k a r dock få sig meddelat, om det inte skall vara: ä r lika med noll.

Lektorn: S ä t t dej stolle! Dä kan du la begripe, a t t så m ö c k e inte kan b l i n o l l !

(Insänt av j . d. elev vid Karlstad läroverk)

16

SYNPUNKTER

PÅ M A T E M A T I K U N D E R V I S N I N G E N

av Överlärare Staffan Åberg

I .

I Jör några å r sedan skrev undertecknad ett inlägg i den s t ä n d i g t aktuella diskus- _L sionen om den elementära matematikundervisningen. A r t i k e l n infördes i nr 11 av

Folkskollärarnas tidning år 1952. D ä r skisserades en metod, som möjligen innebär, att man inom matematikundervisningen kan följa samma linje från ett mycket tidigt stadium snart sagt hur långt som helst.

Enligt denna metod kan varje problem lösas enligt n e d a n s t å e n d e sammanställning:

I . Den principiella t a n k e g å n g e n utredes och formuleras.

I I . De i problemet givna uppgifterna uppställas.

I I I . Uppgifterna enligt punkt I I . sammanställes enligt den princip, som framkommit enligt p u n k t I .

I V . Talet u t r ä k n a s , varvid sorterna behandlas som algebraiska u t t r y c k .

Ordet »dimensionsbetraktelse» låter f r ä m m a n d e och kanske s k r ä m m a n d e . Det tillhör j u terminologien för den mera avancerade matematiken. Men kanske m å n g a problem i folkskolan l ä t t a r e förstås, om man får a n v ä n d a en enkel form av »dimen- sionsräknande». — A t t behandla sorter som algebraiska u t t r y c k verkar inte bara f r ä m m a n d e , det verkar absurt. Ä r det alltid så?

H å r k l y v e r i e r h ö r väl inte hemma i en saklig diskussion. Men någon gång kan man genom a t t gå in på detaljer belysa sidor i en fråga som man annars inte ä g n a r mer ä n f l y k t i g u p p m ä r k s a m h e t . Ett r ä k n e p r o b l e m skall n ä r m a r e granskas och få belysa en del av den metod, jag v i l l ha diskuterad.

Exemplet gäller b e r ä k n i n g av rektangelns yta. — V i k ä n n e r alla den gängse meto- den v i d inlärningen. E n rad y t m å t t placeras efter rektangelns ena sida, och ett antal sådana rader staplas p å varandra. Och så finner man, a t t y t a n blir lika med produk- ten av antalet rader och antalet y t m å t t i en rad. Så får man fram formeln y = 1 • b, och ingen — eller i varje fall få — opponerar sig. Men man menar i f o r t s ä t t n i n g e n inte vad man skrivit: a t t rektangelns y t a ä r lika med produkten av längdens (ba- sens) m ä t e t a l och breddens (höjdens) m ä t e t a l , utan man tolkar formeln så, a t t y t a n är lika med produkten av längden — utan sort — och bredden, y t t r y c k t i y t m å t t !

I vissa läroböcker förekommer problem av denna t y p :

En rektangels y t a ä r 12 m². L ä n g d e n är 4 m . H u r stor ä r bredden? Med gängse inlär- ningsmetod borde väl det problemet ha formulerats ungefär så: E n rektangels y t a ä r 12 m². L ä n g d e n är 4 m .

a. H u r m å n g a m² kan placeras utefter längden?

b. T i l l hur m å n g a s å d a n a rader räcker 12 m²? c. H u r stor ä r då bredden?

Och a blir allmän bedömning, b innehållsdivision och c allmän bedömning.

Om bredden ä r k ä n d , blir frågorna:

a. H u r m å n g a rader med m² kan placeras o v a n p å varandra?

b. H u r m å n g a m² blir det i varje rad?

c. H u r stor ä r då längden?

Och a blir allmän bedömning, b delberäkning och c allmän bedömning.

17

S ä t t sedan i n krångligare siffertal — decimalbråk — och börja resonemanget en gång t i l l ! — H u r behandlas sorterna, om man inte benar upp problemet i a, b och c?

— Som algebraiska uttryck?

Vad ovan sagts är hårklyverier, men det har tagits med för att visa, hur det går.

om man ä r alltför systematisk, tappar bort helheten och förirrar sig i detaljer.

Innan jag »lärde ut» s ä t t e t att b e r ä k n a rektangelns y t a — enligt räknebokens me- tod — gjorde jag ett litet försök. V i talade om namnet på figuren, om sidornas be- n ä m n i n g a r och om yta. Och så frågade jag: »Hur stor yta har en rektangel?» — Den egendomliga frågeställningen var kanske inte helt obekant, eftersom jag tidigare v i d något tillfälle i samband med k o s t n a d s b e r ä k n i n g a r frågat ungefär som så: »Hur myc- ket kostar det att k ö p a äpplen i en affär, d ä r man har flera olika sorters äpplen?» D å fick jag t i l l svar, a t t det beror på hur mycket man k ö p e r och så beror det på priset.

— N u fick jag t i l l svar, att rektangelns yta beror på hur lång den ä r och hur bred den är. Formeln Y = 1 • b fanns där — innan v i hade börjat lägga rader med y t m å t t . — Sedan började jag om på det vanliga s ä t t e t för att uppfylla allan rättfärdighet.

Med den metod, som skisserats i denna artikel, skulle v i i fortsättningen ha r ä k n a t så:

Ex. 1. Y t a n = söks längden = 4 m bredden = 3 m

» 2. » = 12 m² » = söks » = 3 m

» 3. » = 12 m² » = 4 m » = söks

I . (Formulering av principiell t a n k e g å n g ) .

E n rektangels yta beror på hur lång den är och hur bred den är. Y = 1 • b (Gäller samtliga exempel).

I I . (Uppställning av givna uppgifter).

ex. 1 ex. 2. ex. 3.

Y t a n x 12 m² 12 m²

L ä n g d e n 4 m x 4 m

Bredden 3 m 3 m x (Det sökta betecknas alltid med x — utan sort).

I I I . ( S a m m a n s t ä l l n i n g av uppgifterna).

Ex. 1. x = 4 m • 3 m

» 2 . 12 m² = x • 3 m

» 3. 12 m² = 4 m • x

I V . ( U t r ä k n i n g , varvid sorterna behandlas som algebraiska uttryck).

Ex. 1. 4 gånger 3 är 12 • m gånger m är m². x = 12 m².

r, ¹⁰ , o 12 m²

Ex. 2. 12 m² = x - 3 m. x = — ;

3 m F ö r k o r t a med 31 F ö r k o r t a med m! x = 4 m Ex. 3. Se ex. 2!

Lektor Ferner citerar i nr 1 av TfS Frits Wigforss:

»Då tankens skolning är en huvuduppgift, följer därur, att begripandet av k u n - skapsstoffet energiskt m å s t e eftersträvas . . .» Men »begripandet av kunskapsstoffet»

är detsamma som att kunna prestera en korrekt principiell lösning. Varje sådan lös- ning kan uttryckas i en formel — d. v. s. en ekvation.

Bör man inte tidigare än som nu är fallet lära barnen att lösa enkla ekvationer?

Ekvationer är inga matematiska finesser. Under sin första termin r ä k n a r barnen dessa exempel:

1. 1 + 2 = 2. 1 + = 3 18

Dessa bägge exempel ä r av ekvationstyp. S ä t t ett »x» d ä r det står ett tomrum — eller d ä r vissa läroböcker har ett frågetecken — och ekvationen s t å r där.

Den elev, som verkligen kan lösa ekvationerna 1 + x = 3 och 5 • x = 20, kan så mycket av ekvationsläran, att han eller hon kan lösa de flesta problemen i folkskolans räknebok enligt den h ä r angivna metoden. Och då kommer man ifrån b å d e »innehålls- division», »delberäkning» och »reguladetri*.

I enhetsskolan kommer barnen förr eller senare a t t lära sig, att a • a = a² och a t t

— = a men också a t t m • m = m² och a t t — = m, oberoende av vad »m» betyder, a m Varför inte r ä k n a p å samma s ä t t litet tidigare än man gör nu och låta m betyda meter och m² kvadratmeter, n ä r man r ä k n a r geometriska uppgifter?

Men när man skall ta steget från att r ä k n a problem av ekvationstyp — u t a n ( x ) — t i l l a t t r ä k n a rena ekvationer — det ä r en annan historia.

I I .

En mycket stor del av de, räkneproblem, som behandlas i folkskola och realskola, kan kallas k o s t n a d s b e r ä k n i n g a r . Det ä r v ä l den t y p av problem, som ligger n ä r m a s t barnens egna upplevelser, för alla har v a r i t med och handlat i olika affärer. V i d be- handlingen av dessa problem i skolan borde man kunna enas om viss nomenklatur.

H ä r skall förslagsvis a n v ä n d a s beteckningarna kostnad, m ä n g d och pris i följande betydelse:

K = kostnad = sammanlagda v ä r d e t av varor eller t j ä n s t e r . M = m ä n g d = sammanlagda m ä n g d e n av varor av en sort.

P = pris = kostnaden per enhet.

Av dessa ä r »P» intressantast. P är nämligen alltid en kvot- och bör tecknas som a l l m ä n t b r å k . Detta b r å k har i regel n ä m n a r e n 1 plus en sort, och ettan utsattes näs- tan aldrig. Ettans uteslutande är kanske den direkta orsaken till att man har räknesättet reguladetri. (Reguladetri uppfattas nämligen ofta som ett särskilt r ä k n e s ä t t ) . Det förefaller emellertid egendomligt, a t t man skall b e h ö v a a n v ä n d a ett r ä k n e s ä t t , om man skall r ä k n a u t kostnaden för 4 kola, om priset ä r 5 öre per styck, och ett helt annat, om priset är 15 öre för 3 stycken.

H u r behandlas k o s t n a d s b e r ä k n i n g a r n a nu? F ö r a t t inte uppta alldeles för stort utrymme, så uteslutes de beräkningar, som ger upphov t i l l additions- eller subtrak- tionsproblem. Men de övriga? — Med l ä t t överdrift v i l l n e d a n s t å e n d e s a m m a n s t ä l l - ning ge ett svar.

( P¹ = pris, om n ä m n a r e n är annat ä n 1 — plus sort.

x = det sökta).

Kostnad Mängd Pris R ä k n e s ä t t

Ex. 1. X M P multiplikation

» ^2. K M X delberäkning

» 3. K X P innehållsdivision

» 4, x X M Pi reguladetri

5. K X P¹ då ger man upp.

Man v i l l med r ä t t a p å m å n g a håll föra samman r ä k n e s ä t t e n multiplikation, delbe- räkning, innehållsdivision och reguladetri t i l l en enda matematisk familj. H ä r ges ett osökt tillfälle. Det ä r nämligen bara ett enda problem, som h ä r behandlas, nämligen sambandet mellan kostnad, mängd och pris.

Det naturliga sambandet mellan dessa storheter förstår barnen också på ett tidigt stadium. (Jfr föregående artikel!) Och n ä r barnen förstår, a t t kostnaden beror på 1<1

m ä n g d e n och priset, då har de också »begripit kunskapsstoffet». De behöver d ä r e m o t inte kunna u t t r y c k a detta så, a t t »kostnaden ä r direkt proportionell mot m ä n g d och pris». Ä r denna form av dimensionsbetraktelse så m ä r k v ä r d i g eller s k r ä m m a n d e ?

N ä r ekvationen K = M • P har formulerats, då b ö r barnen också i fortsättningen få a n v ä n d a sig av denna ekvation precis som den står, med sorterna utsatta och sedan behandlade som algebraiska u t t r y c k . Om barnen får syssla med sina b e r ä k n i n g a r p å det s ä t t e t , då ser de, a t t man kan r ä k n a precis som man t ä n k e r sig sambandet, och så kommer svaret att uttryckas i r ä t t sort på en gång.

En s a m m a n s t ä l l n i n g över 5 exempel, som läsaren själv får formulera med ledning av uppgifterna, får visa, hur dessa exempel kan behandlas. Kostnaden ä r i alla exem- pel 40 kronor, m ä n g d e n 5 kg och priset 8 kronor per kilo.

I . Formulering av principen (Jfr föregående artikel!) K = M • P (Gäller samtliga exempel).

I I . U p p s t ä l l n i n g av givna uppgifter.

Kostnad Mängd Pris

Ex. 1. X 5 k g 8 k r

kg

Ex. 2. 40 k r 5 kg X

Ex. 3. 40 k r X 8 k r

kg

Ex. 4. X 5 k g 24 k r

3 kg

Ex. 5. 40 k r X 24 k r

I I I . S a m m a n s t ä l l n i n g av uppgifterna. 3 kg

Ex. 1. 5 k i 8 k r

Ex. 1. _{X —•}

kg Ex. 2. 40 k r = 5 kg • x Ex. 3. 40 k r = ^X • 8 k r

Ex. 3. 40 k r =

kg

Ex. 4. ^{X =} 5 kg • 24 k r

Ex. 4. ^{X =}

3 kg Ex. 5. 40 k r = ^X • 24 k r

Ex. 5. 40 k r =

3 k g

I V . U t r ä k n i n g . ( H ä r medtages endast ett ex. för a t t visa förfaringssättet).

5 ks • 24 k r

Ex. 4. x = — ; F ö r k o r t a med 3; F ö r k o r t a med kg!

6 kg x = 40 kronor.

Vilken av o v a n s t å e n d e 5 ex. är multiplikation, vilket ä r innehållsdivision, v i l k e t är delberäkning och vilket ä r reguladetri?

F ö r a t t belysa den metod, som behandlats i dessa t v å artiklar, har tagits exempel ur geometrien och ur den grupp av problem, som kan kallas k o s t n a d s b e r ä k n i n g a r . Metoden kan a n v ä n d a s med alla r ä k n e s ä t t och inom alla o m r å d e n . Men den ä r föga p r ö v a d i praktiskt skolarbete, främst därför, a t t den p å s ä t t och vis v ä n d e r upp och ned p å så m å n g a vedertagna metoder. Kanske en folkhögskola vore lämpligaste plat- sen för ett praktiskt försök. Dess friare a r b e t s s ä t t och elevernas större mognad borde snabbt visa, om n å g o t av v ä r d e finnes i metoden, eller om allt ä r en i och för sig i n - tressant teori — men intet annat.

20

5 / V I H A R R O L I G T , N A R V I R Ä K N A R

Jtm Seminarielärare Sune Tibell

U

nder de senaste åren har man glädjande nog ä g n a t ett mycket stort intresse å t undervisningsmaterielen i räkning. L ä r a r e n har f å t t t i l l sitt förfogande en rad goda hjälpmedel i undervisningen. Naturligtvis har även sådan materiel framkommit, som är b å d e komplicerad och svårhanterlig och därför l ä m p a r sig mindre väl. I ett tidigare nummer av denna tidskrift har framhållits, hur flanellografen med fördel kan a n v ä n d a s inom räkneundervisningen. Den äger dessutom den förtjänsten, att den går mycket l ä t t att tillverka för en billig penning ute i skolorna.

Det m å s t e nog annars framhållas, att man numera i sin iver att tillverka och salu- föra r ä k n e m a t e r i e l skjutit något över målet. Vissa uppgifter från förlagen tala om en verklig stormflod av ny materiel. Det kan nog vara på sin plats att d ä m m a upp s t r ö m m e n något. U r allmän uppfostringssynpunkt kan det inte vara lämpligt, att barnen får allting liksom serverat på ett fat. Man stjäl m å n g a gånger från dem den skaparglädje de k ä n n e r över ett egenhändigt utfört arbete. Varför inte låta barnen själva tillverka var sin flanellograf? En liten masonitskiva, t. ex. 30 gånger 30 cm, och ett stycke enfärgad flanell är allt som behövs. Flanellen spännes eller klistras över masoniten. Den övriga materielen kan vara pappbitar med flanell på ena sidan.

Är färgen lämplig på flanellen, kan eleverna även skriva eller rita med vanlig tavel- krita på flanellografen.

Vad som ovan sagts om räknematerielen i a l l m ä n h e t gäller i viss m å n även de m å n g a nya arbetsböcker i ä m n e t , som under de allra sista åren sett dagens ljus.

Flera av dem är mycket goda och säkert instruktiva men de kan likväl inte helt er- s ä t t a sådana, som tillverkats av barnen själva. E t t exempel på en sådan är helt enkelt ett vanligt räknehäfte med rutorna 5 gånger 8 mm.

o o o o o o o

7 7

o o o o o o o o o o o o o

E t t helt uppslag a n v ä n d e s t i l l varje siffra. P å v ä n s t r a sidan ritar (klistrar etc) eleverna antalet. D ä r u n d e r finns plats för tecknet eller siffran. H ö g r a uppslagssidan delas m i t t i t u på längden. Därefter delar man i n sidan i ett lämpligt antal rum. I o v a n s t å e n d e exempel 14 st.

V i har då t. ex. från början 7 pojkar eller flickor i översta våningens v ä n s t r a rum.

(Man kan j u variera på en mångfald s ä t t . Det kan vara kaniner i burar etc).

21

Barnen ritar med färgkrita in 7 prickar i rummet ifråga. I våningen under kan v i öppna en dörr mellan rummen. En pojke kan få gå in i rummet bredvid. Han »målas»

dit. De övriga stannar kvar i det v ä n s t r a rummet. ( = 6 st.). Eleverna kan sedan fortsätta själva, och man får på så s ä t t fram de olika möjligheterna att uppdela talet sju. De kan få b e r ä t t a små sagor om det som inträffat på t. ex. tredje våningen etc, och ordningstalen t r ä n a s .

N ä r eleverna själva, arbetat en stund, ä r det läraren, som b e s t ä m m e r antalet i ett av rummen, och då gäller det att kunna tala om, hur m å n g a det bör finnas i det andra.

T i l l o m v ä x l i n g tar v i en räknelek eller en räknesaga. Det brukar stimulera intres- set. Exempel på s å d a n a följer h ä r nedan.

»Principen om elevernas aktiva deltagande i arbetet bör alltid vara vägledande för läraren i hans undervisning», säger j u den nya undervisningsplanen.

1. En lystrings- oeh räknelek

L ä r a r e n ställer frågor eller b e r ä t t a r en saga. I stället för

att uttala räkneorden, slår han med pekpinnen i golvet. Ex.: J^2fff $iVy^

Sven bor med sin mor och far på landet. H u r gammal är Sven? *rr~?TO (Slår 5 slag). P å gården finns m å n g a djur. B ä k n a hur m å n g a kor där finns! (Slår 3 slag). H u r m å n g a h ä s t a r ? H u r m å n g a grisar? D ä r finns hundar också. R ä k n a ! o. s. v.

Man spinner vidare på sagan om Sven. Barnen tycker det är roligt, dels att höra talas om alla djur, som finns, och dels att uppfatta ljuden och kunna tala om hur m å n g a de hörde.

2. Veckans dagar

V i d i n l ä r a n d e t av ordningstalen kan man exempelvis rita följande på tavlan, söndag m å n d a g tisdag onsdag torsdag fredag lördag

Söndagen är veckans första dag. Vilken dag i ordningen är m å n d a g ? Vilken blir veckans 4:e dag o. s. v.

Då man t r ä n a t detta, kan en lek s ä t t a s in: sju barn blir veckans sju dagar. Sön- dagsflickan får en stjärna. Barnen får stiga fram och representera veckans dagar.

De ger dels en bild av antalet 7 och talbegreppet 7 men även av ordningstalen.

En och en t r ä d e r fram några steg och läser sin vers.

Jag är söndan med min stjärna.

Kalla mig den första dagen gärna.

Jag är m å n d a g , veckans andra dag.

H ä r skall r ä k n a s tappert. Friska tag!

Jag ä r tisdag, veckans tredje dag.

H ä r skall läsas tappert etc.

Jag är onsdag, veckans fjärde dag.

H ä r ska skrivas tappert etc.

H ä r är torsdag, veckans femte dag.

H ä r skall ritas tappert, etc.

Jag är fredag, veckans sjätte dag.

H ä r skall målas tappert etc.

Jag är lördag, veckans sjunde dag.

Tack för alla glada dagar i v å r t lag!

22

3. Lagtävling i huvudräkning

Klassen indelas i 2 grupper. Var och en i varje grupp får ett nummer (numrens storlek l ä m p a d e efter deras kunskaper).

Lag I

2

IM 0

3

• ""1 L±J E

^{, 2 |}

3 H

¹³

Lag I I

6 10

m

⁷

M

8 [12]

H JL 0

L ä r a r e n säger t . ex. 5 + 3. Den i varje grupp, som har f å t t nummer 8 svarar. P å så s ä t t får alla vara verksamma. Den, som hade nr 8 och som först svarar av de b å d a lagen, får 1 poäng. Protokoll föres av läraren på tavlan.

P å detta s ä t t utpekas ingen särskild, utan det blir laget, som ä r bra eller dåligt.

Även n ä r det gäller subtraktion och multiplikation kan detta s ä t t a n v ä n d a s . 4. Gissa nötter

Materiel: en låda, nötter.

Man delar i n barnen i grupper med 4 eller 5 i varje grupp. Barnen i samma grupp samlas i en krets. Varje barn får 3 nötter. Ä r det 5 i gruppen blir det 15 n ö t t e r t i l l - sammans. I mitten sättes en låda a t t lägga tillbaka n ö t t e r i . Var och en g ö m m e r n ö t t e r i ena handen (ex. 1, 2 eller 3 nötter); alla sträcker fram den handen, vari de g ö m t n ö t t e r n a . Barnen får gissa hur m å n g a nötter, som finns i h ä n d e r n a tillsammans.

Den som gissar r ä t t , får lägga tillbaka 1 n ö t i lådan. Den, som först har lagt tillbaka alla 3 n ö t t e r n a , har vunnit. N ä r t . ex. en har lagt tillbaka en n ö t , får de t ä n k a på a t t endast 14 n ö t t e r finns kvar osv.

5. Tävling med multiplikationstabellen.

Varje b ä n k r a d bildar ett lag. Ex. 5 rader med 4 i varje rad:

1—10 1—10 1—10 1—10 1—10 Led 1

Led 2

11—20 11—20 11—20 11—20 11—20

Led 1 Led 2

21—30 21—30 21—30 21—30 21—30 Led 3

Led 4

31—40 31—40 31—40 [ 3 L - 4 0 31—40

Led 3 Led 4 Talen 1—10 delas ut t i l l första ledet, 11—20 t i l l andra ledet, 21—30 t i l l tredje ledet o. s. v.

L ä r a r e n ger frågor: 5 • 2 = '? Det blir då första ledet, som t ä v l a r . Den rad, som först svarar r ä t t , får 1 poäng. 6 • 3 = ? Det blir andra ledets t u r a t t svara. Leken kan avslutas n ä r som helst. Poängen r ä k n a s , och den rad, som k o m m i t upp t i l l de flesta poäng, har vunnit.

Fördelen med tävlingen ä r den a t t alla blir sysselsatta på' en gång, och a t t de svagare inte k ä n n e r sig särskilt utpekade. Efter några gånger ä r de väl förtrogna med leken och vet, hur de ska göra.

23

Den grundläggande räkningens . . . (forts fr. sid. 14)

upp multiplikationstabellens produkttal: 48, 24, 15, 72, 56, 9, 35, 21, 81, 18 osv. och låta barnet utifrån dessa »stickord» säga tabellens ramsa 3 x 8 ä r 24 och 6 x 4 ä r 24 osv. E t t speciellt ä n d a m å l t j ä n a r också denna övning, i det a t t den ger b ä t t r e under- lag för divisionen, d ä r det ofta gäller att finna den produktsiffra som motsvarar d i - visorns tabellserie och ligger n ä r m a s t under det givna talet ex. 42 i talet 4582 j 7

Mycket finns a t t ytterligare säga om denna g r u n d l ä g g a n d e räkneundervisning och dess psykologiska förutsättningar, men utrymmet tillåter inte mera denna gång. Jag v i l l endast som slutpåminnelse än en gång p o ä n g t e r a vikten av a t t räkningen på det grundläggande stadiet inriktas på inlärning av r ä k n i n g efter verkligt psykologiska och pedagogiska grunder och inte tramsas bort i ovidkommande övningar som endast gör barnet oharmoniskt och föga lämpligt för den fortsatta uppbyggnaden av en verk- lighetsbetonad räknefärdighet.

T I D S K R I F T F Ö R S K O L M A T E M A T I K Jungmansgatan 1, Karlstad. Tel. 163 13

utkommer med 4 nr per läsår

Helårsprenumeration K r . 5: — Postgironummer 49 02 82

R e d a k t ö r och ansvarig utgivare:

Lektor Edvin Ferner

N y a \ V e r m ] a n d s - T

9 5 6

n g e n s A k t i e b o ! !