TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Fakulta strojní

Luděk Heller

Optimalizace rozměrů věnce ozubeného kola

Diplomová práce

2001

Fakulta strojní

Studijní program 23-01T - strojní inženýrství

Studijní obor: Aplikovaná mechanika Zaměření: Inženýrská mechanika

Katedra částí a mechanismů strojů

Optimalizace rozměrů věnce hnaného kola stálého převodu převodovky Škoda 14H

Optimization of the rim proportion of axle drive in gearbox of Skoda 14H

Luděk Heller

KST - 18491

Vedoucí práce: prof. Ing. Jan Honců, CSc.

Konzultant: Ing. Jaroslav Holý, ŠKODA-AUTO a.s.

Ing. Otakar Lébl, Energotech s.r.o.

Ing. Robert Urban, TU v Liberci

Počet stran: ...67 Počet příloh: ... 2 Počet tabulek: ...10

Počet obrázků: ...57 Datum odevzdání: 25.5. 2001

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta strojní

Katedra částí a mechanismů strojů

Studijní program 23-01T - strojní inženýrství Diplomant: Luděk Heller

Téma práce: Optimalizace rozměrů věnce hnaného kola stálého převodu převodovky Škoda 14H

Optimization of the rim proportion of axle drive in gearbox of Skoda 14H

Číslo diplomové práce: 18491

Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Jan Honců, Csc.

Konzultant: Ing. Jaroslav Holý, ŠKODA-AUTO a.s.

Ing. Otakar Lébl, Energotech s.r.o.

Ing. Robert Urban, TU v Liberci

Stručný výtah:

Práce se zabývá problematikou napjatosti v patách zubů kola se šikmým ozubením s využitím metody konečných prvků. Pro řešení úlohy je proveden návrh vhodných okrajových podmínek. Výpočty jsou zaměřeny na stanovení závislosti tloušťky věnce kola na napětí v patách zubů. Výsledky lze využít při optimalizaci rozměrů věnce. Dále je sledován vliv záběrové polohy na rozložení napjatosti v ozubení. Výsledky jsou porovnány s naměřenými hodnotami.

Abstract:

The work is focused on the stress problems at root of tooth of helical gear by using finite element method. The design of advisable boundary condition is done for problem solution. The computations are aimed at determination of stress at root of gear tooth with respect to rim thickness. The results can be used for rim thickness optimization. In the next part the stress of gear tooth with respect to the length of the contact path is monitored. The results of computation are compared with measured values.

Místopřísežné prohlášení:

„Místopřísežně prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.“

V Liberci 23.5. 2001 . . .

Podpis

Poděkování

Rád bych poděkoval své matce a sourozencům za podporu během mého studia.

Dále děkuji panu prof. Ing Janu Honců, CSc. za jeho rady a cenné připomínky při řešení diplomové práce a Ing. Robertu Urbanovi za ochotnou a přínosnou pomoc.

Děkuji také Ing. Jaroslavu Holému za odborné konzultace a poskytnuté podklady.

OBSAH

Obsah ... 5

Použité zkratky a symboly ... 7

1 ÚVOD... 9

2 NAMÁHÁNÍ OZUBENÝCH KOL ... 10

2.1 Namáhání na ohyb ... 10

2.1.1 Rovinný model... 10

2.1.2 Zhodnocení napjatosti... 12

2.2 Namáhání na dotyk ... 12

3 ANALÝZA NAPJATOSTI OZUBENÉHO KOLA... 14

3.1 Charakteristika soukolí ... 14

3.1.1 Zatížení kol ... 15

3.1.2 Rozměry kol... 16

3.2 Záběrové poměry ... 17

3.3 Délka dotyku... 19

3.3.1 Délka dotyku jednoho páru zubů ... 19

3.3.2 Celková délka dotyku ... 20

3.4 Výpočtový model... 22

3.4.1 Model soukolí ... 22

3.4.2 Diskretizace soukolí... 23

3.5 Okrajové podmínky ... 25

3.5.1 Uložení ozubených kol ... 25

3.5.2 Silové účinky ... 26

3.5.3 Náhrada tuhosti chybějící části hmoty hnaného kola ... 27

3.6 Řešení kontaktu ozubených kol ... 32

4 ROZBOR VÝSLEDKŮ... 36

4.1 Vliv okrajových podmínek ... 37

4.2 Řešení v jedné záběrové poloze... 39

4.3 Napjatost pat zubů v průběhu záběru... 46

4.4 Napjatost pat zubů podél šířky kola... 50

4.5 Kontaktní napětí... 55

4.6 Vliv tloušťky kola na napjatost v patě zubů ... 56

5 EXPERIMENTÁLNÍ OVĚŘENÍ VÝPOČTŮ ... 62

5.1 Popis měření ... 62

5.2 Výsledky měření a jejich porovnání s výpočtem... 63

6 ZÁVĚR ... 65

7 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY ... 67

PŘÍLOHY

POUŽITÉ ZKRATKY A SYMBOLY

F [N] celková síla

Fr [N] radiální síla

Ft [N] tečná síla

Fz [N] axiální síla

Mk [Nm] kroutící moment na hnací hřídeli převodovky

M

Mk [Nm] kroutící moment na hnaném hřídeli převodovky

b [mm] šířka hnaného kola

d [mm] průměr válce

dint [mm] vnitřní průměr věnce hnaného kola

i [-] převod

lp [mm] délka dotyku páru zubů

l p [-] poměrná délka dotyku páru zubů l_Σ [mm] celková délka dotyku zubů

l ∑ [-] poměrná celková délka dotyku zubů

mn [mm] normálný modul

mt [mm] čelní modul

n [min^-1] otáčky

p [mm] rozteč zubů

pk [MPa] kontaktní tlak

rF [mm] rameno síly

s [mm] tloušťka zubu

t [mm] tloušťka věnce hnaného kola

t^* [-] poměrná tloušťka věnce hnaného kola u_r [mm] deformace v radiálním směru

u_s [mm] celková deformace

ut [mm] deformace v tečném směru uz [mm] deformace v axiálním směru

x [-] součinitel posunutí základního profilu

αn [°] normálný úhel záběru

αt [°] čelní úhel záběru

β [°] úhel sklonu zubů

εα [-] součinitel záběru profilu

εβ [-] součinitel záběru kroku

εγ [-] součinitel celkového záběru

ζ [mm] délka úseku na záběrové čáře

ζ [-] poměrná délka úseku na záběrové čáře

σ1 [MPa] první hlavní napětí σ3 [MPa] třetí hlavní napětí σdov [MPa] dovolené napětí σr [MPa] radiální napětí

σred [MPa] redukované napětí podle hypotézy HMH

σt [MPa] tečné napětí

σz [MPa] axiální napětí

DOLNÍ INDEXY

1, 2 pastorek a hnané kolo

a hlavový válec

f patní válec

max maximální hodnota

min minimální hodnota

w valivý válec

HORNÍ INDEXY

I, II, III označení zubů v záběru

d tlaková strana zubu

t tahová strana zubu

ZKRATKY

MKP Metoda Konečných Prvků

AGAMA American Gear Manufactures Association

1 ÚVOD

Vývoj moderních strojů a výrobních prostředků je charakterizován zvyšujícími se výkonovými parametry při klesající hmotnosti zařízení. Při konstrukci strojů a zařízení patří mezi nejpoužívanější mechanismy ozubené převody, a proto jsou na jejich vlastnosti kladeny stále vyšší požadavky. To vyžaduje využívání vysoce kvalitních konstrukčních materiálů, nových technologií chemicko-tepelného zpracování a konstrukci nových typů ozubení. Ke zlepšování vlastností ozubených převodů přispívají také nové výpočetní postupy. Při optimalizace rozměrů ozubených převodů nevystačíme s pouhou znalostí jmenovitých napětí. Potřebujeme dokonalejší znalosti napjatostních poměrů, než které nám poskytují normalizované metodiky výpočtů ozubených převodů.

Předmětem diplomové práce je výpočet napjatosti pat zubů šikmého ozubeného kola soukolí stálého převodu při statickém zatížení pastorkem. Úloha je řešena pomocí metody konečných prvků (MKP). Cílem práce je nalézt závislost napětí na tloušťce věnce ozubeného kola.

Obsah práce lze rozdělit do několika dílčích kroků. V první fázi je hledána závislost maximálních napětí v patě zubů na záběrové poloze . Poté jsou v nejnepříznivější záběrové poloze zatěžovány jednotlivé tvarové modifikace ozubeného kola. Významnou podmínkou úspěšného řešení je volba vhodných okrajových podmínek a posouzení jejich vlivu na výsledná řešení. V závěru jsou výsledky výpočtů porovnány s hodnotami získanými měřením.

2 NAMÁHÁNÍ OZUBENÝCH KOL

Provozní zatížení ozubených převodů vyvolává velmi složité namáhání ozubených kol, které nelze řešit komplexně. Proto se jednotlivé druhy namáhání řeší odděleně. Také teoretický výpočet těchto namáhání je značně složitý a výpočtové vztahy vznikají často ve formě empirických vzorců na základě experimentů. V literatuře i ve výpočetní praxi existuje řada metod výpočtu ozubení, které se liší jak obsahově, tak formálně. To však neumožňuje zobecňovat a přejímat zkušenosti různých výrobců a uživatelů. Z těchto důvodů dochází k normalizaci metod výpočtů ozubení (ČSN, ISO, DIN, AGAMA) v národním i mezinárodním měřítku.

Vzhledem k charakteru práce uvádí tato kapitola pouze stručný popis způsobů výpočtu ozubení na ohyb a na dotyk, které používá řada normalizovaných metod výpočtů.

2.1 NAMÁHÁNÍ NA OHYB

2.1.1 ROVINNÝ MODEL

Klasický model výpočtu ozubení na ohyb vychází z rovinného modelu. Zub se uvažuje jako vetknutý nosník zatížený osamělou silou v záběru (Obr.1). Za nebezpečné působiště síly F (bod Y v obr.1b) se považuje bod A hlavové kružnice, nebo začátek jednopárového záběru, tedy bod B (viz. obr.1a). Podle klasické teorie ohybu nosníku proměnného průřezu je nebezpečný průřez F-F určen vepsáním paraboly konstantní ohybové pevnosti do profilu zubu (viz. levá část zubu v obr.1b).

Empiricky bylo zjištěno, že je-li zub zatížen v bodě B, pak se nejnebezpečnější průřez nachází v místě, kde tečna k patní přechodové křivce svírá s osou zubu úhel přibližně 30° (viz. pravá část zubu v obr.1b).

a) b)

A

B

F^A

F^B

F Y

Y`

F F

s_F sF

30°

Obr. 1

(1) F

_d

2 2

d o red

F F

o F F

d d

F 2 F

F o o

o o o

3 ) (

b s

F b s

F

b s

h F 6 W M

) sin(

F ),

cos(

F F

τ

⋅ + σ

± σ

= σ

= ⋅ τ

= ⋅ σ

⋅

⋅

= ⋅

= σ

α

⋅

= α

⋅

=

V nebezpečném průřezu vzniká napětí ohybové σo, tlakové σt a smykové τ, jejichž teoretické průběhy jsou znázorněny v dolní části obr.2. Z rovnice (1) vyplývá, že maximální redukované napětí podle hypotézy HMH vzniká na tlakové straně zubu.

Tento model výpočtu na ohyb dobře vyhovuje ozubení s přímými zuby. Používá se však také pro šikmá ozubení, která jsou zjednodušeně nahrazována svými náhradními koly s přímými zuby.

Z uvedeného modelu vychází řada normalizovaných postupů výpočtu ozubení na ohyb (ISO, ČSN). Většina z nich však zanedbává smyková a tlaková napětí.

Ohybové namáhání šikmého ozubení lze přesněji vyšetřovat na prostorovém modelu. Zatížení je diskretizováno v úzkých řezech ozubení. Výsledné namáhání lze určit součtem jeho hodnot v jednotlivých řezech. Tento model využívá metodika výpočtu AGAMA.

σo

σt

σ σo + σt

σo - σt sF

h_F Fo

Fd

tlaková strana

tahová strana

Obr. 2

F Y

Y`

α

τ

F F

0

0 0 0

2.1.2 ZHODNOCENÍ NAPJATOSTI

Výpočty podle uvedených modelů získáme jmenovitá napětí v patě zubu.

Vzhledem k časově proměnnému zatížení jsou zuby namáhány únavově a složitý tvar patního přechodu způsobuje v jeho okolí zvýšenou koncentraci napětí. Maximální přípustná napětí proto musí vzít v úvahu tvarovou a únavovou pevnost.

Z uvedeného vyplývá, že vypočtená jmenovitá napětí musí splňovat následující podmínku:

: značí kde níž

v v ,

K ,

c

* c min

* c p

red β

η

⋅

⋅

= σ σ σ

= σ

≤

σ

2.2 NAMÁHÁNÍ NA DOTYK

Při dotyku ozubených kol dochází k vzniku kontaktních napětí na aktivních bocích zubů. Úlohu dotyku dvou pružných těles řešil jako první Hertz, proto se tato napětí nazývají také Hertzova.

Dotyk čelního ozubení s přímými zuby se přibližně nahrazuje dotykem dvou válců s poloměry křivosti, které odpovídají zakřivení evolvent v příslušných místech.

Dotykem obou válců vzniká napjatost, jejíž rozložení v čelním řezu ukazuje obr.3. Za dotykové napětí se považuje maximální hodnota napětí σz, která se označuje σH. Kromě toho vzniká při kontaktu také smykové napětí, jehož maximum je ve vzdálenosti z_τ od povrchu.

Dotyková napětí závisejí na materiálových vlastnostech kol, ekvivalentních poloměrech křivosti a délkovém zatížení q, jež podle (2) závisí na normálové síle F působící na válce a délce dotyku l. Vyjádření závislostí dotykových napětí na těchto parametrech je uvedeno např. v [1].

l q= F (2)

σc - mez únavy hladké součásti Kmin - minimální bezpečnost v - součinitel velikosti η - součinitel jakosti povrchu β - součinitel vrubu.

Při dotyku ozubených kol s šikmými zuby dochází ke kontaktu evolventních šroubových ploch. Také tato úloha se řeší jako kontakt dvou válců za následujících zjednodušujících předpokladů:

• Třecí síly vznikající při relativním pohybu boků jsou zanedbány.

• Neuvažuje se změna rozdělení tlaku v dotyku způsobená elastohydrodynamickým mazáním.

• Dotyk evolventních šroubových ploch se nahrazuje dotykem oskulačních kuželů se společnou površkou (dotyková čára) a osami totožnými s přímkami dotyku záběrové roviny se základními válci.

• V určitém místě dotyku se nahrazují oskulační kužele oskulačními válci.

Při výpočtu dotyku šikmých ozubených kol je nutné uvažovat proměnnost délky dotyku a nerovnoměrnost zatížení po délce dotyku způsobenou proměnností tuhosti zubů po délce záběru. Výpočetní vztahu jsou opět uvedeny např. v [1].

Uvedené metody výpočtů ozubených kol na ohyb a dotyk jsou i přes značná zjednodušení při návrhu a kontrole ozubených soukolí nejpoužívanější. V souvislosti s rozvojem výpočetní techniky jsou v poslední době tyto metody doplňovány numerickými výpočty namáhání ozubených kol. Mezi nejrozšířenější patří výpočty metodou konečných prvků. Pomocí MKP lze zjistit maximální místní napětí, ať již dotyková, nebo ohybová. To dovoluje optimalizaci ozubených kol, která vede k úspoře materiálu a k zlepšení hmotnostních charakteristik kol.

ZmaxH z

z(x)

max

z

x

Obr. 3 Rozložení napjatosti v místě dotyku dvou válců

3 ANALÝZA NAPJATOSTI OZUBENÉHO KOLA

3.1 CHARAKTERISTIKA SOUKOLÍ

Vyšetřované soukolí stálého převodu s šikmými zuby přenáší kroutící moment z hnaného hřídele převodovky na unašeč diferenciálu. Pastorek je součástí hřídele, hnané kolo je upevněno k unašeči osmi šrouby. Soukolí je znázorněno na obr.4, pastorek na obr.5 a hnané kolo na obr.6.

Obr. 4 Soukolí stálého převodu

Obr. 5 Pastorek

Obr. 6 Hnané kolo

3.1.1 ZATÍŽENÍ KOL

Zatížení soukolí se mění v závislosti na zařazeném převodu a na okamžitém kroutícím momentu motoru. Při řešení úlohy je nutné uvažovat nejnepříznivější zatěžovací případ. K němu dochází, jak vyplývá z tab.1, při zařazeném prvním převodovém stupni a současně při maximálním kroutícím momentu motoru (Obr.7).

n⋅10³ [min^-1]

Mk

[Nm]

P

[kW] M^M_kmax =84 Nm

Obr. 7 Průběh výkonu a kroutícího momentu motoru v závislosti na otáčkách P(n)

M ) n (

Mk

převodový stupeň

1 2 3 4 5 R

převodový

poměr

i₁ = 3,833 i₂ = 1,957 i₃ = 1,310 i₄ = 0,975 i₅ = 0,756 i_R = 3,727

Tab. 1 Převodové poměry řazených stupňů

Největší kroutící moment přenášený soukolím je dán výrazem:

Nm 322 M

i M M

max k

1 M

max k max k

=

⋅

=

3.1.2 ROZMĚRY KOL

Rozměry kol jsou dány výkresovou dokumentací. Spolu s ostatními hlavními veličinami soukolí jsou uspořádány v tab.2. Tvar zubů byl zadán formou datového souboru se souřadnicemi bodů profilů v čelní rovině.

jednotky pastorek kolo

převod [-] i = 4,867

normálný modul [mm] m_n = 2,25

úhel záběru základního profilu [°] α= 20°

úhel sklonu zubu na roztečné

kružnici [°] β = 30°

úhel sklonu zubu na základní

kružnici [°] βb = 28° 28′ 50′′

smysl stoupání šroubovice [-] levý pravý

čelní modul [mm] m_t = 2,5981

čelní úhel záběru [°] αt = 20° 0′ 19′′

valivý úhel záběru [°] αwt = 20° 55′ 50′′

šířka ozubení [mm] b = 23

počet zubů [-] z₁ = 15 z₂ = 73

průměr roztečné kružnice [mm] d₁ = 38,971 d₂ = 189,660 průměr základní kružnice [mm] db1 = 36,620 db2 = 178,216 součinitel posunutí základního

profilu [-] x₁ = 0,567890 x₂ = -0,256870

průměr valivé kružnice [mm] dw1 = 39,205 dw2 = 190,795 průměr hlavové kružnice [mm] da1 = 46,600 da2 = 193,650 Průměr patní kružnice [mm] df1 = 35,227 df2 = 182,204 Součinitel záběru profilu a kroku [-] ε_α = 1,463 ε_β = 1,627

Tab. 2 Přehled hlavních veličin soukolí

3.2 ZÁBĚROVÉ POMĚRY

Při vyšetřování napjatosti v patě zubu hrají důležitou roli záběrové poměry v ozubení. Jejich znalost je nutná také pro vzájemnému natáčení modelů ozubených kol.

Z těchto důvodů je vhodné pro další výpočty zavést některé geometrické veličiny a odvodit vztahy mezi nimi. Na obr.8 je znázorněna čelní rovina ozubených kol v obecné záběrové poloze.

Na obrázku jsou vyznačeny charakteristické body záběrové přímky, kde:

A, B jsou koncové body záběru určené průsečíkem hlavových kružnic se záběrovou přímkou, C, D jsou koncové body jednopárového záběru v čelní rovině a Y je obecný bod záběru.

Ød^f2

Ød²

Ød^w2

Ød^y2

Ød^a2

Ød^b2

Ød^f1

Ød^b1

Ød¹

Ød^w1

Ød^a1

wt

wt

wt

Y2

N²

N¹ O¹

O² P

N

¹

B A C D

2

Y

P

Obr. 8 Geometrie ozubení v obecné záběrové poloze

Pro hnané kolo platí:

tloušťka zubu na roztečném průměru 2 n

( )

t

t

2 2 x m tg

2

s = p + ⋅ ⋅ ⋅ α

čelní rozteč

( )

^β

⋅

= π cos p_t mⁿ

průvodič bodu Y

^Y2

(

²

)

^{2 b2 2 2 a2 2 b2 2}

2 d 2

B d N 2 , B d

N

r 



 



−



 



= 



 

 + ζ

−

=

úhel ϕY2

( )

w2

( )

wt

2 2 b 2 2 Y 2

Y t 2

Y r sin

2 d 2

PY d r ,

cos

arcsin PY  − ⋅ α



 



−



 



= 











 ⋅ α

= ϕ

úhel υY2

( ) ( )

_







 + α − α

⋅

⋅

⋅ =

=

υ _{t Y2}

2 2 2 Y 2

Y 2 Y 2 Y 2

Y inv inv

d r s 2 s r , 2 ) s

( ) ( ) ( ) ( )

_









= ⋅ α α

− α

= α α

− α

= α

2 Y

2 b 2

Y 2 Y 2 Y 2

Y t

t

t 2 r

arccos d

, tg

inv , tg

inv ) )

. Analogické vztahy platí také pro pastorek.

Výsledné závislosti mají tvar:

ϕYs2

( )

ζ =ϕY2 −υY2 ϕYs1

( )

ζ =ϕY1+υY1.

Polohu bodu Y lze určit souřadnicí ζ nebo úhlem ϕY1 resp. ϕY2. Natočení kol v této poloze charakterizují úhly ϕYs1 a ϕYs2 mezi osami zubů a spojnicí středů kol.

Závislost mezi souřadnicí ζ a úhly natočení kol ϕYs1, ϕYs2 lze odvodit následujícím postupem.

3.3 DÉLKA DOTYKU

Síla od kroutícího momentu je přenášena z pastorku na hnané kolo prostřednictvím dotyku jednotlivých zubů. V průběhu záběru se délka dotyku jednotlivých párů zubů lp

( )

^ζ a celková délka dotyku všech zubů ^l∑

( )

^ζ mění. Z uvedeného vyplývá, že také zatížení kola a jednotlivých párů zubů se mění v závislosti na záběrové poloze resp. na párové a celkové délce dotyku. Při vyšetřování délky dotyku se využívá jednotkových parametrů vztažených na čelní základní rozteč p_bt. Poměrná délka dotyku je pak dána vztahem ^lp

( )

^{ζ =lp}

^{( )}

^{ζ /pbt} , resp.

( )

^l

^{( )}

^/pbt

l∑ ζ = ∑ ζ , kde ζ=ζ/p_bt. Analogicky se vypočtou také ostatní poměrné parametry.

3.3.1 DÉLKA DOTYKU JEDNOHO PÁRU ZUBŮ

V záběrovém poli existují tři zóny I, II, III. V zóně I délka dotyku roste od nuly do maximální hodnoty l_pmax, v zóně II zůstává konstantní a v zóně III klesá opět do nuly. Délka dotyku je závislá také na vzájemném poměru εα,εβ, jak je znázorněno na Obr.10. Výpočet délky dotyku pro případ εβ > εα se provádí dle vztahů v Tab.3, jejichž odvození je uvedeno např. v [1]. Na obr.9 je graf závislosti délky dotyku vyšetřovaného soukolí na záběrové poloze, uvedena je také hodnota maximální poměrné délky dotyku.

zóna fáze záběru

l_p I 0≤ζ≥εα

( )

b

sin β ζ II εα ≤ζ≥εβ

( )

b ^pmax

sin =l β ε_α

III εα ≤ζ≥εγ

( )

b

sin β ζ

− ε_γ

Tab. 3 K výpočtu délky dotyku páru zubů ^ζ

[ ]

⁻

[ ]

^l−p

07 , 3 lpmax =

Obr. 9 Závislost délky dotyku páru zubů vyšetřovaného soukolí

3.3.2 CELKOVÁ DÉLKA DOTYKU

Celková délka dotyku je dána součtem délek dotyku všech páru zubů, které jsou současně v záběru. Tvar průběhu a výpočet závisí na poměru a velikostech necelých částí součinitele záběru profilu δα a součinitele záběru kroku δβ. Průběh celkové délky lze rozdělit do čtyř fází, přičemž v první fázi je délka dotyku minimální a konstantní, ve druhé roste do maximální hodnoty, ve třetí je konstantní s maximální hodnotu a ve čtvrté klesá na minimum (Obr.11). Poměrná délka dotyku se mění s periodou jedna.

Výpočet je rozsáhlejší (viz. [1] ), a přesahuje rámec diplomové práce.

εγ

εβ

ε_α εβ - εα ε_α

βb

b

ζ lp

A I

II III

b) εβ > εα

B

a) εα > εβ

ε_γ εα

ε_β εα - εβ ε_β

βb

b lp

B A

I II III

ζ

Obr. 10 Průběh délky dotyku páru zubů v závislosti na poměru ε_α, ε_β

29 , 5 l^∑max =

50 , 4 l^∑min =

[ ]

⁻

ζ

[ ]

^l−∑

Obr. 11 Průběh celkové délky dotyku vyšetřovaného soukolí

V záběrové oblasti, kde je celková délka dotyku minimální, dochází k největšímu zatížení ozubených kol. Jednotlivé páry zubů jsou namáhány nejvíce, jestliže jejich vzájemná délka dotyku je maximální. Z rozboru délky dotyku lze tedy říci, že k maximálnímu namáhání zubů by mělo docházet v místě maximální délky dotyku páru zubů při minimální celkové délce dotyku. Určení těchto míst je zřejmé z obr.12, kde je znázorněna křivka celkové délky dotyku a křivky délek dotyku všech párů zubů v záběru. První předpokládané místo největšího namáhání jednoho ze zabírajících zubů je v tomto případě ve vzdálenosti ζkrit = 0,09 od začátku záběru, neuvažujeme-li místo začátku záběru.

Oprávněnost uvedené představy bude posouzena porovnáním s výsledky výpočtů.

[ ]

^l−p,l∑

ζkrit

[ ]

^-

ζ

Obr. 12 Vliv záběrové polohy na namáhání zubů

3.4 VÝPOČTOVÝ MODEL

Před každou analýzou pomocí MKP je nutné zavést určité zjednodušující předpoklady, které usnadní řešení, ale přitom významně neovlivní správnost výsledků.

Pro řešení této úlohy byly zvoleny následující zjednodušující předpoklady.

• Ozubení je rozměrově přesné, bez výrobních odchylek.

• Tvar zubu tvoří evolventní šroubová plocha bez uvažování výškové a podélné modifikace.

• Materiál kol je homogenní izotropní, bez tepelného zpracování povrchových vrstev zubů.

• Silové působení na ozubená kola a jejich uložení je podstatně zjednodušeno, jak o tom bude pojednáno v kap. 3.5.

3.4.1 MODEL SOUKOLÍ

Podkladem pro výpočty metodou konečných prvků jsou objemové modely, které s ohledem na zjednodušujícím předpoklady odpovídají skutečným součástem. Pro tvorbu parametrických trojrozměrných modelů existuje v současnosti řada CAD systémů. Parametrický způsob tvorby modelů umožňuje snadnou modifikaci tvarů a rozměrů, což hraje významnou roli při optimalizaci rozměrů strojních součástí.

Pro vytvoření modelu soukolí byl použit systém Pro/Engineer. Nejdříve byla odděleně vymodelována jednotlivá ozubená kola, která se poté sestavila do záběrové polohy. Způsob tvorby evolventní šroubové plochy, která reprezentuje tvar zubů, byl následující: profil zubu v čelní rovině byl nahrazen funkcí "spline"; tvar zubu byl vytvořen šroubovým pohybem čelního profilu. Parametrická rovnice šroubovice, kterou při pohybu profil sleduje, je ve válcových souřadnicích určena vztahy (3), přičemž osa z leží na ose kola.

( ) ( )

(3)

0;

i 1,2

tan 2 k d , k z

d tan 2 , b

t , t 2 r d

i i

i

i bi bi i

=















β

= ⋅ ϕ

⋅

=

β

⋅ ⋅

= ϕ ϕ

=

= ϕ

=

Obr. 13 Model soukolí

Vzhledem k potřebám výpočtu stačilo vytvořit pouze segmenty kol a následně je sestavit do záběrové polohy (Obr.13). Správná vzájemná poloha kol byla zajištěna použitím pomocných rovin, jejichž polohu určovaly úhly ϕYs1 a ϕYs2 (viz. Obr.8).

3.4.2 DISKRETIZACE MODELU

Při diskretizaci zvolené oblasti je kromě jiného nutné zvolit přiměřenou hustotu sítě konečných prvků (síť MKP) a jejich typu. Při volbě prvku s jednoduchou tvarovou funkcí je nutné volit větší hustotu sítě MKP a naopak při volbě prvků s vyšším stupněm polynomu aproximační funkce je možné použít menší počet prvků.

Jak zvýšení hustoty sítě MKP, tak výběr prvků se složitější tvarovou funkcí vede k nárůstu doby výpočtu a k vyšším požadavkům na "hardwarové" prostředky. Volba hustoty sítě ovlivňuje velikost tzv. diskretizační chyby, která má při výpočtech pomocí MKP významný vliv. Hustota by měla být zvyšována v místech, kde je předpokládán velký gradient napětí. Jsou to hlavně oblasti prudkých změn průřezů. U ozubení se jedná o oblast patní přechodové křivky, kde dochází ke koncentraci napětí.

Velikost této oblasti je v poměru k celkové šířce ozubení velmi malá. Vezme-li se v úvahu počet elementů délky zubu, je zřejmé, že i při poměrně malé hustotě prvků v okolí vrubu bude celkový počet prvků značný.

Z uvedeného vyplývá obrovská náročnost řešené úlohy na již zmíněný výpočetní čas a "hardwarové" požadavky. Proto je třeba při výpočtu uvažovat pouze zuby, které jsou v záběru.

Při diskretizaci vyšetřovaného soukolí byly použity dvacetiuzlové izoparametrické šestistěny (Obr.14). Přenos sil z pastorku na hnané kolo zajišťovaly plošné kontaktní elementy připojené k evolventním šroubovým plochám na aktivních stranách zubů.

Zvolená hustota sítě MKP (Obr.15) odpovídá "hardwarovým" prostředkům, které byly při řešení dostupné. Je třeba poznamenat, že podmínky byly vzdálené od optimálních. Ale i přes poměrně hrubou síť MKP se dosažené výsledky výpočtů ukázaly být uspokojivými.

Obr. 15 Struktura konečných prvků

X

Y Z

Q J I

T

L

R K M

U N V

O P W

X

S

R I

I

Obr. 14 Izoparametrický šestistěn

3.5 OKRAJOVÉ PODMÍNKY

Způsob zavedení okrajových podmínek zásadním způsobem ovlivňuje výsledky výpočtů. Je nutné přijmout při jejich volbě zjednodušující předpoklady idealizující skutečné vazby mezi tělesy. Při řešení této úlohy měly okrajové podmínky tyto funkce:

• Upevnění kola k tělesu unašeče a uložení hřídele s pastorkem.

• Zajištění silového působení.

• Náhrada tuhosti chybějící hmoty hnaného kola.

3.5.1 ULOŽENÍ OZUBENÝCH KOL

Hnané ozubené kolo je k unašeči přímo přišroubováno osmi šrouby, jejichž hmotu lze považovat za součást kola. Vzhledem k velikosti unašeče lze přepokládat, že se při zatížení bude jen velmi málo deformovat stejně jako část šroubu, která jím prochází. Potom je možné uvažovat část šroubu jako dokonale vetknutou na hranici mezi kolem a unašečem.

Podle této úvahy byly zavedeny okrajové podmínky na hnaném kole (Obr.16), přičemž podpůrný vliv plochy unašeče přiléhající ke kolu byl zanedbán. Vzhledem k značné odlehlosti okrajových podmínek od pat zubů má zřejmě toto zjednodušení na sledovanou napjatost přijatelně malý vliv.

oblast vetknutí hnané kolo

unašeč

Obr. 16 Okrajové podmínky nahrazující upevnění hnaného kola

Při volbě okrajových podmínek uložení pastorku se vycházelo z předpokladu velmi tuhého hřídele. To lze uskutečnit odebráním všech stupňů volnosti uzlům ležících na ose pastorku. Pro zachycení axiálních sil, které vznikají při záběru kol, bylo částem čelních ploch pastorku zamezeno v pohybu v osovém směru (Obr.17).

3.5.2 SILOVÉ ÚČINKY

Silové okrajové podmínky nahrazují skutečné vnější zatížení reálných součástí. V případě řešeného soukolí je pastorek zatížen kroutícím momentem M_kmax přenášeným hnaným hřídelem převodovky. Kroutící moment byl nahrazen působením diskrétně vložených sil na čelech pastorku (Obr.18). Velikost sil vyplývá z podmínky:

F max k

r 2 F M

= ⋅ .

r_F

r_F

F F

Obr.18 Silové okrajové podmínky

omezení pohybu v axiálním směru

Obr. 17 Okrajové podmínky uložení pastorku

3.5.3 NÁHRADA TUHOSTI CHYBĚJÍCÍ ČÁSTI HMOTY HNANÉHO KOLA

Jak bylo výše uvedeno, je řešení úlohy kontaktu ozubených kol náročné na výpočetní prostředky, a proto matematický model soukolí tvoří pouze části ozubených kol. Tím však dochází ke snížení tuhosti kol, což ovlivní správnost vlastního řešení.

Vzhledem k tomu, že úkolem bylo analyzovat napjatost hnaného kola, byl vliv menší tuhosti segmentu pastorku zanedbán. Toto zjednodušení zřejmě ovlivní z větší části napjatost zubů pastorku.

Otázka velikosti zkreslení řešení vlivem menší tuhosti segmentu hnaného kola byla studována v semestrálním projektu, který předcházel diplomové práci. Výpočet byl prováděn na velmi zjednodušeném modelu kola s přímým ozubením, který byl zatížen po šířce zubu silou odpovídající přenášenému momentu. Ukázalo se, že vliv menší tuhosti na řešení není zanedbatelný a byly navrženy některé způsoby náhrady chybějící hmoty.

Exaktním způsobem náhrady je předepsání příslušných posuvů uzlům

náležícím hraniční ploše (Obr.19) částečného modelu. Velikost těchto posuvů by měla odpovídat skutečné deformaci této plochy v případě, že je zatíženo celé kolo. Přesné určení těchto deformací je prakticky nemožné, a proto byl hledán způsob výpočtu alespoň přibližných posuvů hraničních ploch v některých uzlech. Jako vhodný postup se ukázalo zjištění deformace celého modelu hnaného kola zatíženého po délce dotyku rovnoměrně rozloženou silou odpovídající přenášenému momentu.

Proces zjišťování posuvů hraničních ploch zobrazuje diagram na obr.20.

Následující část kapitoly je věnována popisu jednotlivých kroků výpočtu.

Obr. 19 hraniční plochy

Tvorba výpočtového modelu celého

hnaného kola

Zadání okrajových podmínek upevnění

kola

Zadání silových okrajových

podmínek

Výpočet souřadnic teoretických míst

dotyku

Souřadnice uzlů jednotlivých zubù

porovnání souřadnic

Rovnoměrné rozložení sil do uzlů nejbližších místům dotyku

Výpočet

Posuvy uzlů v oblasti hraničních ploch

Obr.20 Proces výpočtu posuvů hraničních ploch

profil zubu na čele kola

profil zubu ve vzdálenosti z od čela kola KZ

záběrová přímka y

x φdw2

φdb2

Obr. 22

♦ Výpočtový model celého hnaného kola

Model celého hnaného kola zahrnoval pouze několik zubů v okolí záběru s pastorkem. Hustota sítě MKP odpovídala rozsáhlosti modelu a je znázorněna na obr.21

♦ Souřadnice teoretických míst dotyku

Výpočet vycházel z předpokladu, že geometrickým místem bodů dotyku jsou průsečíky záběrové roviny s evolventní šroubovou plochou boku zubu. Tato úloha byla s výhodou řešena v jednotlivých řezech rovnoběžných s čelní rovinou kola.

Následující popis ukazuje způsob výpočtu bodu dotyku v obecné rovině řezu. Rovinu řezu lze definovat vzdáleností z od čela ozubení. Bod dotyku zubů KZ

obecné záběrové polohy v řezu je dán průsečíkem pootočené evolventy o úhel ψZ se záběrovou přímkou (Obr.22). Průsečík K_Z lze hledat nejdříve v natočené konfiguraci jako bod K (Obr.23). `_Z Obr. 21 Výpočtový model celého hnaného kola

y

x natočená záběrová přímka

K`^Z

Obr. 23 Bod K`_Z lze vypočítat následujícím postupem:

úhel natočení evolventy ψZ je dán vztahem

ψ_Z =ϕ_Ys2 +γ_Z +δ_b, úhel ϕYs2 charakterizuje záběrovou polohu úhel γZ lze vypočítat z rovnice šroubovice

2

Z k

= z γ

úhel δb se vypočte

2 b

2 b

b d

= s δ)

, kde sb2 je tloušťka zubu na základní kružnici rovnice evolventy, resp. záběrové přímky v polárních, resp. kartézských souřadnicích natočené konfigurace mají tvar

( )

^{ϕ =} _⋅

(

_α

( )

_ϕ

)

^{, úhly αaϕjsouvázányrovnicíϕ=tg}

( )

^{α −α}

cos 2

r_e d^b2

yZ =kZ⋅

(

xZ −rw2⋅cos

( )

ψZ

)

+rw2⋅sin

( )

ψZ

rovnici záběrové přímky v polárních souřadnicích lze získat pomocí transformačních vztahů

( )

( )

^{⇒ =}

( )

^ϕ



 ϕ

⋅

=

ϕ

⋅

=

Z Z Z

Z Z

Z r r

sin r y

cos r x

poloha průsečíku K`Z vyplývá z podmínky

re

( )

ϕ =rZ

( )

ϕ ⇒

[

rK`Z,ϕK`Z

]

,resp.

[

xK`Z,yK`Z

]

poloha průsečíku K_Z v původní konfiguraci se získá transformací

( ) ( )

( )

Z K`

( )

Z

` K K

Z

` K Z

` K K

sin y

cos x

y

cos y

sin x

x

Z Z

Z

Z Z

Z

ψ

⋅ + ψ

⋅

=

ψ

⋅

− ψ

⋅

=

x

Ys2+ ^Z

i wt

Fti

Fri

xⁱ yⁱ

r_i

Obr. 24 Silové působení v uzlech Uvedené rovnice tvoří algoritmus pro zpracování programu, jenž vypočítal souřadnice bodů dotyku pro libovolný počet řezů.

♦ Okrajové podmínky

Okrajové podmínky upevnění kola nahradily účinek všech šroubů se stejnými zjednodušeními jako v případě kontaktní úlohy (viz. kap. 3.5.1).

Silové působení, ekvivalentní přenášenému momentu, bylo rovnoměrně rozloženo do uzlů nejbližších teoretickým bodům dotyku. K hledání těchto poloh byl sestaven algoritmus, jehož vstupními daty byly souřadnice uzlů zubů a souřadnice teoretických bodů dotyku. Jednotlivé síly působící v uzlech byly rozloženy do směru radiálního Fri, tečného F_ti a osového F_zi (Obr.24) a vypočítaly se takto:

Ve výpočtech sil byla zanedbána skutečnost, že úhel sklonu zubu β se podél dotykové čáry mění. Proces vkládání sil do jednotlivých uzlů byl usnadněn vytvořením programu.

Na obr.25 je výpočtový model celého hnaného kola s vloženými okrajovými podmínkami pro určitou záběrovou polohu.

n

M_ki = M^kmax , n je počet zatížených uzlů

( )

^{κ =}

( ) ( )

^{κ ⋅ β}

⋅

=

= tg

cos F F

tg F r F

F M _{ri ti zi} ^ti

i ki

ti

ri je průvodič i-tého uzlu a je určen jeho souřadnicemi xi, yi :

2 i 2 i

i x y

r = +

úhel κ je zřejmý z obr. 24 a vypočte se:







=  α α

+ γ + ϕ + α

= κ

i i i

i Z 2 Ys

wt y

arctg x kde

, .

Obr. 25 Výpočtový model celého hnaného kola

♦ Výpočet

Vzhledem k lineární povaze úlohy nebyl výpočet časově náročný a byl proveden pro postupně volené záběrové polohy. Řešení přineslo alespoň přibližné posuvy hraničních ploch hnaného kola při zatížení kroutícím momentem.

3.6 ŘEŠENÍ KONTAKTU OZUBENÝCH KOL

Vlastní řešení kontaktní úlohy bylo provedeno ve dvou fázích. V první byla hledána nejnepříznivější záběrová poloha, kde dochází k největšímu namáhání jednoho ze zabírajících zubů. Druhá fáze představovala optimalizaci tloušťky věnce.

Výpočet probíhal v nejnepříznivější záběrové poloze pro několik rozměrových variant ozubeného věnce. Pro výpočty byl použit systém ANSYS.

První fáze výpočtu kontaktu kol se provedla v několika zvolených záběrových polohách, přičemž postačovalo pohybovat se v záběrové oblasti mezi počátkem záběru a koncem jednopárového záběru v čelní rovině (mezi body B a C na záběrové přímce). Ostatní záběrové polohy jsou již obsaženy ve zmíněné oblasti a opakují se.

Záběrovou polohu hnaného kola charakterizují zavedené souřadnice ζ a ϕYs2 podle obr.8, přičemž záporná hodnota ϕYs2 značí úhel záběrové polohy mezi body A a P záběrové přímky.

2 B 3 4

5 6

7 8

C

P D

wt

Obr. 26 Zvolené záběrové polohy pro výpočet Tab. 3

dint df2

t

Obr. 27

Jak je zřejmé z tab.3 pro výpočet bylo zvoleno osm poloh, přičemž první poloha odpovídá ζkrit (viz. kap. 3.3.2). Grafické znázornění poloh spolu s charakteristickými body záběru je na obr. 26.

záběrová poloha

1 2 3 4 5 6 7 8

ζ [mm] 0,090 0,706 1,421 2,672 3,920 5,169 6,420 7,670 ϕYs2 [°] 1,416 1,020 0,560 -0,244 -1,047 -1,850 -2,654 -3,458

Druhá fáze výpočtu zahrnovala samotnou optimalizaci věnce hnaného kola, jehož průřez vidíme na obr.27. Výpočtem měla být zjištěna závislost

optimalizovaného rozměru, kterým byla tloušťka t věnce na hodnotě maximálního napětí v patě zubu. Velikost tloušťky věnce je nutné hodnotit vzhledem k výšce zubu. Proto je vhodné zavést bezrozměrný parametr tloušťky t^*, vztažený na velikost modulu:

n int 2 f

*

m 2

d t d

⋅

= − .

Kromě původní tloušťky bylo zvoleno pět tvarových variant (Tab. 4) věnce kola, pro něž bylo vypočteno maximální napětí pat zubů v nejnepříznivější záběrové poloze.

Tab. 4

varianta

1 (původní)

2 3 4 5 6

t^* [-] 6,156 5,5 4,5 3,5 2,5 1,5

t [mm] 27,704 24,75 20,25 15,75 11,25 6,75

d_int [mm] 154,5 157,454 161,954 166,454 170,954 175,454

Obě fáze výpočtů názorně popisují schémata na obr.28, obr.29.

Záběrová poloha f ⁱYs2

Natočení kontaktního

modelu

Výpočet celého modelu

hnaného kola

Posuvy uzlů hraničních ploch

Zadání okrajových

podmínek

Výpočet

Maximální napětí v patě zubusⁱmax

i = 1..8

Nejnepříznivější záběrová poloha

krit 2

ϕYs

Obr. 28 Postup při hledání nejnepříznivější záběrové polohy

Jak již bylo shora uvedeno, výpočtový model soukolí obsahuje tři druhy okrajových podmínek, nahrazujících upevnění kol, vnější zatížení pastorku kroutícím momentem a tuhost chybějícího objemu hnaného kola. Zadávání posuvů na hraniční plochy hnaného kola bylo opět zajištěno programem.

Tloušťka zubu t^*i

Natočení kontaktního modelu do polohy

Výpočet celého modelu

hnaného kola

Posuvy uzlů hraničních ploch

Zadání okrajových

podmínek

Výpočet

Maximální napětí v patě zubu sⁱmax

i = 1..6

Závislost sⁱ_max(t^*i)

krit 2

ϕYs

Obr. 29 Postup při optimalizaci tvaru věnce hnaného kola

4 ROZBOR VÝSLEDKŮ

Z analýzy provedených výpočtů lze určit závislost napětí v patě zubů na tloušťce věnce kola a závislost napětí na záběrové poloze. Nejdříve je však ukázáno, jaký vliv na řešení má zavedení okrajových podmínek na hraniční plochy.

Vzhledem k rozsahu výpočtů jsou graficky reprezentovány pouze nejdůležitější výsledky, které dávají názornou představu o napjatosti zubů. Předmětem sledování je oblast zubů, zejména pak okolí patních přechodů. Z tohoto důvodu není ve většině případech zobrazen celý model hnaného kola, ale pouze zmíněné části. Při zobrazování napjatosti pat zubů nemůže volený rozsah zobrazovaných veličin postihnout napjatost v okolí dotyku zubů, kde dosahuje napětí mnohem vyšších hodnot. Místa, kde zobrazovaná veličina převyšuje zvolený rozsah, jsou vyplněna šedou barvou.

Napjatost pat zubů je posuzována napětím: radiálním σr, tečným σt, axiálním σz, ve válcovém souřadném systému, jehož osa z je totožná s osou hnaného kola.

Dalšími zobrazovanými veličinami jsou první a třetí hlavní napětí σ1, σ3 a redukované napětí podle hypotézy HMH σred. Dotykové zatížení zubů je charakterizováno kontaktním tlakem pk.

Při výpočtu prvních dvou zvolených poloh byly v kontaktu čtyři páry zubů, v dalších polohách zabíraly pouze tři páry. Pro snadnou formulaci výsledků je vhodné zavést označení zubů, které byly trvale v záběru. Zuby jsou označeny římskými číslicemi I, II, III podle polohy v záběrovém poli. Zub I, resp. III je na začátku, resp.

na konci záběru (Obr.30). Veličiny příslušející určitému zubu jsou označeny horním indexem odpovídajícím číslu zubu. Další horní indexy t, d označují tahovou, resp.

tlakovou stranu zubu, přičemž tahová strana zubů přísluší zabírajícím bokům profilů.

III II I

t

d

4.1 VLIV OKRAJOVÝCH PODMÍNEK

Pro ověření vlivu chybějící části hmoty hnaného kola na výsledky výpočtů byla provedena analýza jedné ze záběrových poloh také bez zavedení okrajových podmínek na hraničních plochách. Jednotlivé obrázky porovnávají řešení bez okrajových podmínek (část a) a s nimi (část b).

Z porovnání kontaktních tlaků (Obr.31) je zřejmé, že okrajové podmínky výrazněji ovlivňují tuhost zubů v blízkosti hraničních ploch. Menší tuhost zubů vede k odlišnému rozdělení zatížení na jednotlivé zuby, což se odráží na rozdílném rozložení napětí v patách zubů (Obr.32). Okrajové podmínky byly připojeny na hraniční plochy ve formě diskrétních posuvů uzlů, což způsobilo v těchto místech lokální zvýšení napětí (vyznačená oblast v obr.32 b), obr.33 b)), které se zde u úplného kola neobjeví.

p_k [MPa]

Obr. 31 Porovnání kontaktních tlaků

a) b)

b) a)

σ3 [MPa]

Obr. 32 Porovnání třetího hlavního napětí

a) b) σred [MPa]

Obr. 33 Porovnání ekvivalentního napětí

Kvantitativní vyjádření vlivu okrajových podmínek ukazuje tab.5, která srovnává maximální hodnoty napětí obou řešení. Z rozdílů hodnot je zřejmé, že vliv okrajových podmínek není zanedbatelný, a proto je doplnění odpovídajících okrajových podmínek nezbytné.

srovnávané veličiny

bez okrajových

podmínek

s okrajovými podmínkami

srovnávané veličiny

bez okrajových

podmínek

s okrajovými podmínkami

I d

min

σr [MPa] 527 182 σ^dred^Imax[MPa] 625 452

II d

min

σr [MPa] 620 569 σ^dred^IImax[MPa] 717 649

III d

min

σr [MPa] 296 513 σ^dred^IIImax[MPa] 352 631

I d

min

σt [MPa] 329 409

II d

min

σt [MPa] 480 445

III d

min

σt [MPa] 246 504

Tab. 6 Vliv okrajových podmínek vyjádřený pomocí vybraných napětí

4.2 ŘEŠENÍ V JEDNÉ ZÁBĚROVÉ POLOZE

V této kapitoly je podrobně zobrazena napjatost a deformace ozubení hnaného kola v páté záběrové poloze (viz. kap. 3.6). Průběh dotykové plochy a kontaktního tlaku znázorňuje obr.34. Zvlnění průběhu kontaktního tlaku je způsobeno nedostatečnou hustoty elementů podél šířky ozubení.

Další obrázky znázorňují jednotlivé složky napětí na obou stranách patních přechodů. Dotykové napětí a jeho zvlnění silně ovlivňuje napjatost na tahových stranách zubů. Programem daný rozsah veličin nezobrazí napětí v patách zubů optimálně. Využitím možnosti volby krajních mezí stupnice lze dosáhnout u některých obrázků zřetelnějšího zobrazení. Pak se ovšem některé (méně důležité oblasti) znázorní šedou barvou.

V souladu s rovinným modelem leží oblast maximálního napětí na tlakových stranách zubů. Nejvíce namáhaný je zub II, jehož délka dotyku se zubem pastorku je největší ze všech zabírajících párů.

pk[MPa]

Obr. 34 Průběh kontaktního tlaku

σr[MPa]

σr[MPa]

Obr. 35 Zobrazení radiálního napětí

σt[MPa]

σt[MPa]

Obr. 36 Zobrazení tečného napětí

σ3[MPa]

σ1[MPa]

Obr. 37 Zobrazení prvního a třetího hlavního napětí

σred[MPa]

σred[MPa]

Obr. 38 Zobrazení redukovaného napětí

Dále jsou uvedena zobrazení deformací hnaného kola. Na obr.39 je znázorněn tvar deformovaného kola a celková deformace u_s. Další obrázky ukazují deformaci hnaného kola v tečném (u_t), radiálním (u_r) a axiálním (u_z) směru. Velikost deformace v axiálním směru bude ve skutečnosti menší vlivem podpůrného účinku přiléhající plochy unašeče, jenž byl v zavedených okrajových podmínkách zanedbán.

us[mm]

Obr. 39 Zobrazení celkové deformace segmentu kola

u_r[mm]

ut[mm]

Obr. 40 Zobrazení deformace v tečném a radiálním směru

4.3 NAPJATOST PAT ZUBŮ V PRŮBĚHU ZÁBĚRU

Vypočtením napjatosti ozubení v několika záběrových polohách umožnilo přibližně určit závislost napětí v patě zubů na záběrové poloze. V průběhu záběru dochází nejen ke změně velikosti jednotlivých složek napětí, ale také k odlišnému rozložení napjatosti podél šířky kola. Výsledky částečně potvrzují vliv délky dotykové čáry na napjatost zubů. Napětí v patě zubu I se v průběhu záběru zvyšuje , protože se délka dotykové čáry na tomto zubu zvyšuje. V případě zubu III, kterých vychází ze záběru je situace opačná a napětí klesá. Vliv záběrové polohy na rozložení třetího hlavního napětí ukazují obr.4, obr.43. Podobný průběh mají také ostatní složky napětí.

uz[mm]

Obr. 41 Zobrazení deformace v axiálním směru

záběrová poloha 5 záběrová poloha 6

záběrová poloha 7 záběrová poloha 8

σ3[MPa]

Obr. 43 Třetí hlavní napětí v průběhu záběru

Analýzou výsledků provedených výpočtů lze zjistit přibližnou závislost maximálních hodnot napětí v patách zubů na záběrové poloze. Potom lze určit kritické místo záběru, v kterém dochází k největšímu namáhání jednoho ze zabírajících zubů.

Pro posouzení prostorové napjatosti, která vzniká v patách zubů, vzhledem k pevnosti je možné použít redukované napětí σred podle hypotézy HMH. K maximálnímu namáhání podle tohoto kritéria nastává na tlakové straně zubu II ve druhé záběrové poloze jak je vidět z obr.44. Nesplnil se tedy přesně předpoklad vyslovený v souvislosti s analýzou délky dotyku zubů, podle kterého měl nastat nejnepříznivější stav namáhání v první záběrové poloze. Rozdíl maximálního napětí mezi první a druhou polohou je však v rozmezí jednotek MPa. Lze tedy říci, že k největšímu namáhání dochází v blízkém okolí záběrové polohy charakterizované ζ_krit (viz. kap.

3.3.2).

Kromě průběhu redukovaného napětí je na obr.45 ukázána také závislost extrémů třetího hlavního napětí tlakových stran zubů na záběrové poloze.

σred

[MPa]

záběrová poloha

σ^d_red^I_max σ^d_red^II_max

σ^d_red^III_max

Obr. 44 Maximální hodnoty redukovaného napětí v průběhu záběru

4.4 NAPJATOST PAT ZUBŮ PODÉL ŠÍŘKY KOLA

Z provedených výpočtů lze určit průběh napjatosti v patě zubů podél šířky kola.

To umožňuje sledovat rozdělení celkového zatížení na jednotlivé zuby.

Změna napjatosti po šířce kola je patrná z obr.46, který zobrazuje redukované napětí v několika řezech zabírajících zubů hnaného kola první záběrové polohy. Z obrázku je zřejmá změna poloh míst dotyku a její vliv na průběh napjatosti v patních přechodech.

Obr. 45 Extrémní hodnoty třetího hlavního napětí v průběhu záběru záběrová poloha

σ₃^d_min^I σ₃^d_min^II σ^d_3min^III

σ3 [MPa]

σred [MPa]

Obr. 46 Průběh napjatosti zubů v řezech hnaným kolem

Podle kap.4.3 došlo k největšímu vypočtenému namáhání v druhé záběrové poloze u zubu II. K maximální napjatosti v patě tohoto zubu dochází pouze v určitém průřezu. Kritický průřez spolu s průběhy vybraných napětí je zobrazen na obr.47.

σ1 [MPa]

σ3 [MPa]

σred [MPa]

Obr. 47 Průběhy napětí v nejnamáhanějším průřezu zubu