Undersökning av resonansfenomen i en fläktkonstruktion, med förslag till optimering

EXAMENSARBETE FÖR CIVILINGENJÖR I MASKINTEKNIK

Handledare: Madeleine Hermann, Institutionen för maskinteknik, BTH

Undersökning av resonansfenomen i en

fläktkonstruktion, med förslag till

optimering

Max Svensson

Sammanfattning

Att konstruktioner som innehållande roterande element riskerar att utsättas för resonans är något en konstruktör alltid bör ha i åtanke. Alla konstruktioner har naturliga frekvenser även kallat egenfrekvenser, naturliga rörelsemönster, vars frekvens beror på dess massa och styvhet. Resonans uppstår då dessa naturliga frekvenser ligger nära angripande krafters frekvens. Resonansfenomenet amplifierar den dynamiska lasten och ofta uppstår väldigt höga påfrestningar på konstruktionen.

Denna rapport redogör för en vibrationsanalys av en fläktkonstruktion, samt ett

utvecklingsarbete för att optimera denna fläkt utifrån uppsatta krav från samarbetspartnern Quant Service Sweden AB. Fläktkonstruktionen finns hos kabeltillvärkaren NKT i Karlskrona. Arbetet har utförts tillsammans med Quant Service, ansvariga för underhållet på NKT.

Fläktkonstruktionen har under flera tillfällen havererat genom att motorfästets skruvförband har gett vika efter allt för stora påfrestningar. Mycket tyder på att konstruktionen utsätts för stora vibrationer, där man tror att orsaken är resonans. Detta eftersom roterande delar enligt leverantör och egna tester ska vara balanserade inom givna gränsvärden. Samarbetspartnern Quant vill nu ha en redogörelse för om de höga vibrationerna orsakas av resonans eller inte, samt hur

problemet kan lösas på bästa sätt.

Arbetet innehåller två olika experiment, ett impulstest med impulshammare och ett test där fläktens motor startas och körs under två minuter. Konstruktionens respons har mätts med en accelerometer och den erhållna datan har använts för att beräkna en frekvensresponsfunktion, samt ett Power Spectra Density (PSD) i Matlab. Syftet med dessa experiment var att kartlägga konstruktionens egenfrekvenser och dynamiska laster för att se om dessa ligger nära varandra, och på så vis bekräfta att resonansfenomenet orsakat de kraftiga vibrationerna. Det

experimentella resultatet visar på att konstruktionen har en dynamisk last på 48,3 Hz vilket motsvarar motorns varvtal på 2900 rpm. Denna dynamiska last ligger väldigt nära en utav

konstruktionens egenfrekvenser, 45 Hz, vilket stärker hypotesen om resonans. De experimentella resultaten har validerats med hjälp av en modalanalys gjord i FEM-programmet Simulation Mechanical. Det experimentella impulstestet har också simulerats i programmet.

Arbetet innehåller även utveckling av tre olika typer av förstärkning av fläktkonstruktionen. Syftet var att förstärka konstruktionen för att höja dess naturliga frekvenser och på så vis undvika resonansfenomenet. De tre konstruktionerna är rankade utifrån uppsatta krav med hjälp av en konceptbedömningsmatris enligt modellen concept scooring. Modalanalyser i FEM-programmet har gjorts för samtliga tre konstruktioner för att undersöka dess egenfrekvenser. Samtliga tre konstruktioner har inga egenfrekvenser under 100 Hz. Efter arbetet har Quant möjligheten att välja en utav de tre konstruktionerna för vidare implementering.

Summary

A designer must have in mind that constructions containing rotating elements risks being subjected to resonance. All constructions have got natural frequencies, also called

eigenfrequencies, natural motions, where the frequency depends on its mass and stiffness. This report describes a work consisting a vibrational analysis of a fan construction.

The fan construction is located at the cable manufacture NKT in Karlskrona. The work has been performed together with Quant Service, a company responsible for the maintenance at NKT. The fan construction struggle with recurrent breakdowns where the screw joints for the engine attachment were broken after large vibrations. The problem seems to occur due to the resonance phenomena, this because the rotating elements are balanced within limits according to the supplier of the fan wheels and own test performed by Quant themselves. The partner Quant service want to know if the large vibrations occurs due to resonance.

The work contains two different experiments, one impulse test with an impulse hammer, and one experiment where the fan’s engine was running and driven for 2 minutes. The construction response was sampled with an accelerometer and the obtained data was used to calculate a frequency response function, and a power spectra density (PSD) in Matlab. The aim of these experiments were to obtain a survey of the constructions natural frequencies and dynamic force to analyse if they are close to each other, and by that confirm that resonance is the causing factor. The experimental result show that the construction has got a dynamic force acting with 48,3 Hz, which corresponds to the engine speed at 2900 rpm. This dynamic force is very close to one of the constructions natural frequencies at 45 Hz. This supports the hypothesis that the problems occur due to resonance. The experimental results have been validated with a modal analysis in the FEM program Simulation Mechanical. The experimental impulse test has been simulated in the program as well.

The work also consists a development of three different types of strengthening of the fan construction. The aim is to increase the natural frequencies and by that avoid the resonance phenomena. The three constructions are ranked based on the requirements set by using a concept scooring matrix. Modal analysis for each of the three new constructions were created to

confirmed the increased natural frequencies. The constructions all seems to have the first natural frequencies over 100 Hz. When the work was finished Quant had the possibility to pick one of the new constructions for further implementation.

Förord

Detta arbete har utförts som examensarbete för civilingenjörsprogrammet i maskinteknik på BTH i Karlskrona. I flera kurser inom programmet återfinns teori om vibrationsanalys,

signalbehandling och hållfasthetslära vilket gjort att arbetet mycket väl passar utbildningen. Hela arbetet har utförts med stöd från flera personer på Quant Service Sweden AB där det finns

många att tacka. Ett extra tack till Jan Hansen som gav mig möjligheten att få kontakt med Quant Service. Jag vill även tacka Birger Melkersson och Niclas Frost på Quant som givit mig stöd under hela undersöknings- och utvecklingsarbetet. Från BTH:s sida har handledaren Madeleine Hermann agerat bollplank och varit en hjälpande hand under tillfällen där problem stötts på, vilket har uppskattats enormt. Jag vill även tacka BTH för utlånad experimentell utrustning.

Nomenklatur

Symbol Beskrivning c Dämpningskonstant (Ns/m) C Dämpningskonstant matrisform (Ns/m) E Elasticitetsmodul (Pa) f Frekvens (Hz) F Kraft N Fc Centrifugalkraft (N) fn Naturlig frekvens (Hz) k Fjäderkonstant (N/m) K Fjäderkonstant matrisform (N/m) m Massa (kg) M Massa matris (kg) r Radie (m) t Tid (s) 𝜔 Vinkelhastighet (rad/s) x Rörelse i x-led (m) 𝑥 Hastighet i x-led (m/s) ẍ Acceleration i x-led (m/s2) Förkortningar

CAD Computer Aided Design

CSD Cross Spectra Density

FEA Finite Element Analysis

FEM Finite Element Method

FRF Frequency Response Function

MDOF Multi Degree Of Freedom

PSD Power Spectra Density

SDOF Single Degree Of Freedom

1

1 INLEDNING

Detta kapitel skall ge en introduktion till examensarbetet. Här presenteras en övergripande bild av de ingående ämnesområdena, följt av en kortare beskrivning av samarbetspartnern Quant Service Sweden AB. Detta kapitel innehåller även en detaljerad problembeskrivning, uppsatta mål, syfte och avgränsningar för arbetet.

1.1 Introduktion

En konstruktions driftsäkerhet kan påverkas av många parametrar. Som konstruktör gäller det att lokalisera parametrar och faktorer som kan påverka konstruktionen och eliminera riskerna för ett haveri. En konstruktion kan utsättas för både statiska och dynamiska laster1, vilka inte alltid är självklara för konstruktören. Statiska laster är ofta förutsägbara vilket i många fall gör dem lätta att dimensionera mot, medans dynamiska laster och dess effekter ofta är svåra att förutse. En konstruktion som är utsatt av dynamiska laster är ofta beräknad att haverera på grund av utmattning efter en godtycklig tid. Konstruktörens uppgift är då att designa konstruktionen mot uppsatta krav så som minimalt antal livscykler, etc.

System innehållande roterande komponenter är ständigt utsatta för dynamiska laster. Dessa laster uppstår på grund av centrifugalkraft från obalans i roterande element. Att påstå att en roterande komponent är fullständigt balanserad är, som vid all dimensionering, lika fel som att hävda att en komponent är exakt en centimeter lång. Istället är det en fråga om toleranser2. Visserligen kan vi genom finkänsligt arbete komma nära en eftersträvad noggrannhet, men vi kommer aldrig kunna nå hela vägen till ett exakt angivet mått. Att jobba med små toleranser är kostsamt och därför måste konstruktioner innehållande roterande komponenter vara

konstruerade för att tåla dynamiska laster från obalanserade element, inom givna gränsvärden. Okontrollerade haveri er kan uppstå även om roterade element är balanserade inom angivna toleranser. Förklaringen hittas ofta i att de dynamiska lasterna påverkar konstruktionen med en kritisk frekvens som sätter systemet i resonans. Alla konstruktioner har naturliga

frekvenser även kallat egenfrekvenser, naturliga rörelsemönster, vars frekvens beror på dess

massa och styvhet. Om den dynamiska lasten påverkar konstruktionen med samma eller närliggande frekvens som någon utav konstruktionens egenfrekvenser finns det stor risk att systemet sätts i resonans. Resonansfenomenet amplifierar då den dynamiska kraften och konstruktionen löper stor risk att kollapsa.

Samarbetspartnern, Quant Service, har problem med återkommande haveri av en fläktkonstruktion. Då roterande delar uppges vara i balans inom efterfrågade toleranser misstänks resonansfenomen ligga bakom problemet. Denna rapport redogör för ett utvecklingsarbete som är indelade i två olika steg.

1 _{Inom begreppet laster ingår samtliga typer av yttre krafter som påverkar en konstruktion.}

2

I Steg 1 undersöks om resonans orsakar haveri av dagens fläktkonstruktion. Detta redovisas genom en kartläggning av systemets egenfrekvenser samt dess dynamiska laster, för att avgöra om dessa är sammankopplade. Steg 1 innehåller praktiska mätningar i form av en experimentell vibrationsanalys, och numeriska beräkningar med hjälp av FEM-mjukvara. I Steg 2 tas förslag på förbättrad konstruktion fram utefter uppsatta krav från Quant, och med hänsyn till resultaten från Steg 1. Arbetet i Steg 2 följer en variant av

produktutvecklingsmetoden stage process och innehåller en systematisk måluppsättning, konceptgenerering och konceptbedömning.

1.2 Bakgrund

Samarbetspartnern Quant Service Sweden AB är ett företag som erbjuder kompletta underhållstjänster för industriföretag. Man tillhandahåller förebyggande underhåll,

uppgraderingar, modifieringar och akuta servicetjänster vid driftstopp. Till kunden, företaget och miljöns fördel upprätthåller Quant ett ständigt arbete för att optimera underhållsintervall och hantering av anläggningsstop. Detta för att ge kunden möjlighet att kunna utnyttja sin maximala produktionspotential. För att optimera ett underhållsintervall och samtidigt erhålla en godtycklig driftsäkerhet sätts höga krav på kvalité hos samtliga konstruktioner och maskinelement.

Idag bedriver Quant Service sin verksamhet på NKT, tidigare ABB High Voltage Cables, lokaliserat i Karlskrona. Man står för allt underhåll och är ytterst ansvarig för att

tillhandahålla NKT en driftsäker produktion. NKT tillverkar högspänningskablar, främst för strömledning under vatten, så kallad sjökabel. Kablarna kan leda spänningar upp till 525 kV och väger runt 100 kg/m. NKT kommer ha en central roll för arbetet som presenteras i denna rapport, detta eftersom den havererande fläktkonstruktionen i fråga är lokaliserad här.

3

Figur 1.1 Överblickande bild över arbetsstation VB51. Då fotografiet togs var locket nedfällt över grytan. I centrum är de tio fläktkonstruktionerna i fråga placerade.

Kabeln rullas upp i grytan efter att ett elektriskt isolerande lager har applicerats runt ledaren. Isoleringen består av en plastfilm som efter appliceringen innehåller oönskade gaser. I grytan skall kabeln avgasas i en temperatur runt 80 °C under 3-6 veckor, för att sedan kunna fortsätta bearbetas i nästa steg. Värt att nämna är att kabeln i denna fas är väldigt känslig för kontakt med dammpartiklar etc.

I centrum av grytan sitter tio monterade fläktar som skall cirkulera varmluft mellan grytans botten- och ovanskikt. De tio fläktarna arbetar oberoende av varandra och kan ses som individuella konstruktioner. Fläktkonstruktionen är av typen radialfläkt och består av 4 separata element; en fläkttrumma, en elmotor, ett fläkthjul och en infästningsbalk. Nedan presenteras en mer detaljerad beskrivning av de fyra elementen. Ritningar med dimensioner hittas i bilaga 1.1.

Fläkttrumma

4

Figur 1.2 Sammansvetsad fläkttrumma med motorfäste. Utgör huvuddelen av fläktkonstruktionen.

BEVI-Motor

Elmotorn är en trefasmotor levererad av BEVI. Motorn är tvåpolig med en effekt på 7,5 kW, och kan endast köras på ett varvtal på 2900 RMP (48,3 Hz) om inte frekvensomformare används, vilket det i dagens läge inte gör. Motorn väger 45 kg. En bild på motorn visas i figur 1.3 nedan. Ytterligare motorspecifikationer från BEVI är bifogade i bilaga 9.

5 ABB-Motor

Då vissa fläktkonstruktioner har havererat under åren så har dessa reparerats och motorerna bytts ut. Vissa konstruktioner har därför blivit utrustade med motorer levererade av ABB. Dess specifikationer är väldigt lika BEVI-motorns, dock skiljer sig vikten något. ABB-motorn är tyngre och väger 63 kg, jämfört med BEVI-motorns 45 kg. Motorspecifikationer är

bifogade i bilaga 10. Fläkthjul

Fläkthjulet är till för en så kallad radialfläkt och tillverkat i aluminiumplåt med en tjocklek på 3 mm. Samtliga plåtdetaljer är sammansatta med svetsfog. Ytterdiametern på fläkthjulet är 450 mm. En bild på fläkthjulet visas i figur 1.4 nedan. Ritningar finns bifogade i bilaga 4.

Figur 1.4 Konstruktionens fläkthjul. Tillverkad i aluminium.

Infästningsbalk

Infästningsbalken fungerar som länk mellan fläktkonstruktionen och grytans chassi. Balken är tillverkad i stålplåt av typ C-formad plåtprofil, med en höjd på 295 mm och en plåttjocklek på 3 mm. En bild på balken visas i figur 1.5 nedan.

6 Montering

Motorn är monterad på fläkttrumman med fyra M12 skruvar. Fläkthjulet är direktanslutet på motoraxeln. Kraften från motorn till hjulet överförs genom geometrisk passning mellan fläkthjul och motoraxel i form av ett så kallat kilspår, se bifogade ritningar i bilaga 4.

Fläkttrumman är svetsad på infästningsbalken med fogsvetsar. Balkens ände är sedan fixerad i grytans chassi. Även insugsdelen av fläkttrumman är sammanfogad med grytans chassi. En CAD-bild över den sammansatta fläktkonstruktionen visas i figur 1.6 nedan.

Figur 1.6 CAD-modell av den sammanställda fläktkonstruktionen. Två olika vyer.

Materialdata

I tabell 1.1 presenteras de ingående komponenternas materialegenskaper. Det saknas dokumentation om exakta materialparametrar från den ursprungliga tillverkaren av

konstruktionen. Materialdata för stål och aluminium är därför godtyckligt tagna ur Karl björks handbok, Formler och tabeller för mekanisk konstruktion (2012, 70).

Element Material Elasticitetmodul Poissons konstant Densitet

Fläktkåpa3 Stål 210 GPa 0,31 7850 kg/m3

Fläkthjul Aluminium 70 GPa 0,33 2700 kg/m3

Infästningsbalk Stål 210 GPa 0,31 7850 kg/m3

Tabell 1.1 Materialdata för fläktkonstruktionens ingående komponenter.

Problemet

Under flera år har NKT drabbats av återkommande haverier av fläktkonstruktionen. Vid flera tillfällen har motorfästet slitits sönder och orsakat defekta elmotorer, trummor samt fläkthjul. Enligt operatörerna på NKT har man t.o.m. hittat elmotorn på golvet nedanför fläkttrumman vid ett några av haverierna.

7

På grund av den känsliga miljön kan ett haveri skapa stora konsekvenser då metallflisor från trasiga delar med stor risk sprids i grytan. Att städa ur grytan och rengöra kabeln efter ett haveri är väldigt kostsamt för Quant och NKT. Det kan även skapa köer i

produktionsprocessen. För närvarande saknas tre utav tio fläktkonstruktioner i VB51 på grund av haverier under senaste månaderna. Haverierna är okontrollerade, sker utan förvarning och bör snarast åtgärdas.

Tidigare åtgärder till problematiken har varit att lappa och laga den befintliga konstruktionen för att snabbt kunna har VB51 i drift. Man har även undersökt om de inköpta fläkthjulen varit obalanserade utanför angivna toleranser, vilket de varken varit enligt tester eller leverantören. Bifogad balanseringsrapport från leverantören finns bifogat i bilaga 13. Då konstruktionen ändå tycks utsättas för kraftiga vibrationer misstänks resonans ligga bakom problemet. Quant vill nu veta om resonans orsakar de kraftiga vibrationerna. Man önskar också en väl utarbetad plan på en förbättrad konstruktion.

1.3 Syfte

Syftet med detta arbete kan ses från två perspektiv. Dels ett praktiskt perspektiv där syftet är lösa ett faktiskt problem hos Quant Service. Quant förväntar sig ett resultat där man i första hand presenterar en undersökning av fläktkonstruktionens egenfrekvenser och dynamiska laster. Denna undersöknigna skall sedan ligga som underlag för en bedömning hur vida resonansfenomen ligger bakom dagens haverier. Man önskar också ett få antal genomarbetade förslag på en förbättringar av fläktkonstruktionen utifrån uppsatta krav.

Arbetet har också ett syfte att låta studenten fördjupa sig i de ämnesområden som är relevanta för den praktiska utmaningen. Betydande grenar inom ämnesområdet är bland andra

vibrationsanalys, modalanalys, hållfasthetslära med tillämpad FEM, dynamik och produktutvecklingsprocessen. Studenten kommer också få visa prov på huruvida man behärskar att koppla teori från ämnesområdena till ett praktiskt problem.

1.4 Avgränsning

Arbetets felsökningsfas, Steg 1, kommer starta utifrån en redan innan satt hypotes att haveriet är vibrations- och resonansrelaterat.

8

1.5 Frågeställningar och tekniskt problem

Hypotes: De tidigare haverierna av fläktkonstruktionen har orsakats på grund av för höga vibrationer. De höga vibrationerna uppstår på grund av resonansfenomen i konstruktionen pga. att de dynamiska laster från obalans i fläkthjul och andra roterande element ligger för nära konstruktionens egenfrekvenser.

Steg 1 – Felsökningsfasen

1. Ligger ett resonansfenomen bakom haveriet av dagens fläktsystem?

- Hur stora är de dynamiska lasterna och med vilken eller vilka frekvenser påverkar de konstruktionen?

- Vilka är konstruktionens naturliga frekvenser?

- Ligger den dynamiska lastens frekvenser och konstruktionens naturliga frekvenser nära varandra, och är det troligt att detta orsakar haveri?

Steg 2 - Förbättringsfasen

2. Vilken är den optimala fläktkonstruktionen?

- Vilka krav och önskemål finns på konstruktionen från Quant och NKT:s sida? - Vilken rangordning har kraven och önskemålen?

- Kan vi ta fram flera alternativ på förbättrade konstruktioner?

9

2 TEORETISK REFERENSRAM

I detta kapitel kommer teori från ämnesområdet presenteras. Stor del av arbetet som redovisas i denna rapport är knutet till teori kring vibrationsanalys och signalbehandling. Majoriteten av teorin som lyfts fram är taget från boken Noise and Vibration Analysis: Signal Analysis and

Experimental Procedures, skriven av en tidigare lärare, Anders Brandt, på Blekinge Tekniska

Högskola.

Den teoretiska referensramen kommer inte gå in så djupt på varje relevant avsnitt i boken pga. avgränsningsskäl. Dock kommer relevanta nyckelord tas upp, och en mer avancerad nivå kan studeras av läsaren i den angivna referensen.

I senare avsnitt av rapporten kommer antaganden att presenteras där ett viktigt antagande är att systemet i fråga är väldigt lågt dämpat och kan därför i många avseenden betraktas som odämpat. Detta har satt vissa ramar för den teoretiska referensramen då andra typer av dämpade system inte tas upp i samma utsträckning.

Många av de använda referenserna till nyckelorden är skrivna på engelska. Vissa nyckelord saknar direkt översättning till svenska, därför uttrycks många av dessa på engelska.

2.1 Naturliga frekvenser hos mekaniska system

Som tidigare nämnt i introduktionskapitlet så är det viktigt att lokalisera systemets naturliga frekvenser, samt yttre dynamiska laster för att försäkra sig om att dessa inte ligger för nära varandra. Om det är fallet löper systemet stor risk att sättas i resonans och utsättas för stora krafter. För att få en förståelse för resonansfenomenet presenteras i kapitel 2.1 en grundlig teori bakom dynamiska laster och mekaniska systems egenfrekvenser. Som tidigare nämnt är mycket teori kring hur hög dämpning påverkar ett system utelämnat.

2.1.1 Dynamiska laster i roterande system

10

Figur 2.1 Illustration över ett roterande obalanserat element (Brandt 2011, 108).

𝐹_% = 𝑟𝑚𝜔 𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 1 Då hjulet roterar med vinkelhastigheten (𝜔), skapar massan en centrifugalkraft (Fc), vinkelrät mot rotationsriktningen, enligt ekvation 1 (Brandt 2011,105). Denna dynamiska kraft med vinkelfrekvensen (𝜔) och magnituden (Fc) kan sedermera upplevas som en vibration.

Hjulet kan balanseras genom att sätta en exakt lika stor massa på exakt samma radie, motsatt sida om rotationscentrum. Lyckas man med detta skulle vibrationerna upphöra. Dock är ordet exakt direkt omöjligt att uppfylla. Viss obalans i roterande element kommer alltid finnas, vilket orsakar dynamiska laster på lager etc. Som konstruktör måste obalans, inom givna gränsvärden, tas hänsyn till för att förhindra ett haveri.

2.1.2 Ett mekaniskt system med en frihetsgrad (SDOF system)

För att ge en förståelse för de parametrar som påverkar egenfrekvenserna för ett system är det mest pedagogiska att börja med ett på engelska så kallat single degree of freedom system, förkortat SDOF system. Ett SDOF system är det enklast tänkbara mekaniska system, vilket utgörs av en enkel massa med en anknuten fjäder, samt en anknuten dämpare (figur 2.2).

11

Genom en friläggning av massan (figur 2.3), och med hjälp av Newtons andra lag (ekvation 2), kan vi ställa upp differentialekvationen (ekvation 3) för massans rörelse (Brandt 2011, 88).

Figur 2.3 Friläggning av massan (m) i figur 2.2.

𝐹 = 𝑚ẍ 𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 2

𝑓 − 𝑘𝑥 − 𝑐𝑥 = 𝑚𝑥 𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 3 Ekvationen för massans rörelse kan sedermera skrivas enligt ekvation 4.

𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 4 Viktigt att komma ihåg är att ett angivet system alltid har samma antal naturliga frekvenser som antal frihetsgrader. Genom att sätta yttre kraften till noll, anta att systemet är lågt

dämpat /odämpat, och att massan kommer oscillera harmoniskt med den naturliga frekvensen, kan differentialekvationen lösas. Från lösningen kan det visas att systemets naturliga

frekvens, i ett system med en låg dämpning/odämpat, kan beskrivas med ekvation 5 nedan (Henry P. 2016, 7).

𝑓_< = 2𝜋 𝑘

𝑚 𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 5 SDOF-systemets naturliga frekvens är alltså helt knutet till massan och fjäderkonstanten. Ökar vi massan sänks den naturliga frekvensen, medans en ökning av fjäderkonstanten höjer frekvensen. Denna egenskapen är viktig att komma ihåg. I praktiken kommer systemet naturligt vilja oscillera med denna frekvens.

12

mekaniskt system är det ofta nödvändigt att anta flera frihetsgrader. Hur man approximerar ett system till ett specifikt antal frihetsgrader illustreras i figur 2.4 nedan. Systemet är i detta fallet en infäst balk som utsätts för en ren drag/trycklast.

Figur 2.4 SDOF och 2DOF approximation av en balk.

2.1.3 Ett mekaniskt system med flera frihetsgrader (MDOF system)

För ett mekaniskt system innehållande två eller flera frihetsgrader används det engelska uttrycket, Multi Degree Of Freedom system (MDOF-system). Ett MDOF-system kan enklast exemplifieras genom ett system med två frihetsgrader bestående av två massor, tre fjädrar och tre dämpare enligt figur 2.5.

Figur 2.5 Illustration av ett 2DOF-system.

13

Figur 2.6 Friläggning av de två massorna.

Jämnviktsekvationerna för massa m1 och m2.

𝑓_?− 𝑘_?𝑥_?− 𝑐_?ẋ_?+ 𝑘_A 𝑥_A− 𝑥_? − 𝑐_A ẋ_A − ẋ_? = 𝑚_?ẍ_? (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 6) 𝑓A− 𝑘A 𝑥A − 𝑥? − 𝑐A ẋA− ẋ? − 𝑘C𝑥A− 𝑐CẋA = 𝑚AẍA (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 7)

Omskrivningar ger ekvationssystemet nedan.

𝑚_?ẍ_? + 𝑥_? 𝑘_?+ 𝑘_A − 𝑥_A𝑘_A+ ẋ_? 𝑐_?+ 𝑐_A − ẋ_?𝑐_A = 𝑓_? 𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 8

𝑚_Aẍ_A− 𝑥_?𝑘_A+ 𝑥_A 𝑘_A+ 𝑘_C − ẋ_?𝑐_A+ẋ_? 𝑐_A + 𝑐_C = 𝑓_A (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 9) Ekvationssystemet kan skrivas om på matrisform enligt ekvation 10 (Brandt 2011, 121).

𝑚_? 0 0 𝑚_A ẍ_? ẍ_A + 𝑐_? + 𝑐_A −𝑐_A −𝑐_A 𝑐_A+ 𝑐_C ẋ_? ẋ_A + 𝑘_?+ 𝑘_A −𝑘_A −𝑘_A 𝑘_A+ 𝑘_C 𝑥_? 𝑥_A = 𝑓_? 𝑓_A (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 10)

Matrisen beskrivande systemets massa (ekvation 11).

𝑀 = 𝑚₀? _𝑚0

A (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 11)

Matrisen beskrivande systemets styvhet (ekvation 12).

𝐾 = 𝑘?_−𝑘+ 𝑘A −𝑘A

A 𝑘A+ 𝑘C (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 12)

14 𝐶 = 𝑐?_−𝑐+ 𝑐A −𝑐A

A 𝑐A + 𝑐C (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 13)

Det kan sedermera visas att ett system med ett godtyckligt antal frihetsgrader (N) kan skrivas på matrisform enligt ekvation 14-16.

𝑀 = 𝑚? 0 … 0 0 𝑚_A ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 … 0 𝑚_N (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 14) 𝐾 = 𝑘_?+ 𝑘_A −𝑘_A … 0 −𝑘_A 𝑘_A+ 𝑘_C ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ −𝑘_N 0 0 −𝑘_N 𝑘_N+ 𝑘_NO? (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 15) 𝐶 = 𝑐? + 𝑐A −𝑐A … 0 −𝑐A 𝑐A+ 𝑐C ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ −𝑐_N 0 0 −𝑐_N 𝑐_N+ 𝑐_NO? (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 16)

Att introducera rörelseekvationerna på matrisform är mycket tacksamt för att kunna göra analytiska beräkningar inom modalanalysen. Modalanalysen och dess verktyg har dock, som tidigare nämnts, valts att lämna utanför detta arbete då dess omfattning är för stor. Dock presenteras rörelseekvationerna i matrisform för att kunna visa sambandet mellan MDOF systemets parametrar massa [M], styvhet [K], dämpning [C] och dess naturliga frekvenser. Brandt (2011, 122) visar att ekvationssystemet 10 kan lösas genom

att anta att de yttre krafterna sätts till noll, att systemet antas vara lågt dämpat/odämpat, dvs [C]=0, samt att lösningarna antas vara harmoniskt oscillerande funktioner (ekvation 17-19).

𝑥 = 𝑋 𝑒RST _{(𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 17)}

ẋ = 𝑋 𝑖𝜔 ∗ 𝑒RST _{( 𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 18)}

ẍ = − 𝑋 𝜔A_𝑒RST _{(𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 19)}

Ekvation 10 kan då skrivas enligt ekvation 20.

[𝐾] − 𝑀 𝜔A _{𝑋 𝑒}RST _{= 0 (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 20)}

Ekvation 20 är ett egenvärdesproblem som har icke triviala lösningar då determinanten är lika med noll (ekvation 21).

15

Genom att lösa ut (𝜔) finner vi systemets egenvärden för den harmoniskt oscillerande funktionen, vilket är motsvarar det mekaniska systemets naturliga frekvenser.

Ekvation 21 visar att ett dämpat/odämpat MDOF systems naturliga frekvenser beror på systemets styvhet som representeras av K-matrisen och dess massa som representeras av M-matrisen. Med matematiska omskrivningar kan det även visas att en generellt ökad massa av systemet ger lägre naturliga frekvenser, medans en generellt ökad styvhet av systemet ger högre naturliga frekvenser.

Med denna teori i ryggen får vi en större förståelse för begreppet naturliga frekvenser och de påverkande faktorerna hos ett mekaniskt system. De naturliga frekvenserna hos komplexa system som fläktkonstruktionen i fråga kan vara svåra om näst intill omöjlig att beräkna genom analytiska beräkningar. Dock vet vi med säkerhet att, och med vilken effekt, en förändring av massan och styvheten hos det komplexa systemet kommer påverka dess egenfrekvenser. För att beräkna egenfrekvenserna hos dessa komplexa system används ofta numeriska beräkningsprogram i form av FEM program, kompletterat med experimentella analyser.

2.2 Dynamiska signaler och system

I kapitel 2.2 presenteras olika typer av signaler, samt det så viktiga linjära dynamiska

systemet. Att få en grundägande förståelse för de olika typerna av signaler som behandlas i

detta arbete är viktigt då de olika signalbehandlingsverktyg i verktygslådan lämpar sig mer eller mindre på vissa typer av signaler.

Vibrationssignalen från exempelvis en elmotor kan beskrivas som en periodisk signal. Signalen från exempelvis en kollision går under kategorin Transienta signaler. Kapitlet presenterar även egenskaperna hos det så viktiga Linjära tidsinvarianta systemet.

2.2.1 Det linjära tidsinvarianta systemet

16

Figur 2.7 Schematisk bild över det linjära systemet h(t), med insignalen x(t) och utsignalen y(t). H(s) är det Laplacetransformerade systemet, X(s) den transformerade insignalen och Y(s) den transformerade utsignalen (Brandt 2011, 286)

Då man talar om ett dynamiskt system antas det ofta vara linjärt. Linjäriteten ger systemet mycket fördelaktiga egenskaper för att bearbetas analytiskt, numeriskt och experimentellt. Att även anta att systemet är tidsinvariant gör att man antar att systemets parametrar inte varierar med tiden. Hos ett mekaniskt system betyder detta att massan, dämpningen och styvheten är konstant (Brandt 2011, 16 och 286).

Ett linjärt tidsinvariant system ger oss möjligheten att använda de så viktiga matematiska verktygen Laplacetransform och Fouriertransform. Vilket är ett verktyg för att lösa linjära differentialekvationssystem genom transformation till Laplace- och frekvensdomän (Brandt 2011, 17). Mer information om det linjära systemet och matematiken bakom Laplace- och Furier transform kan hittas i kapitel 2.6 och 2.7 i Brandts (2011) bok.

2.2.2 Periodiska signaler

En periodisk signal är en signal repeterar sig identiskt mot en föregående iteration.

Vibrationen från en roterande motor med konstant varvtal anses vara av periodisk karaktär (Brandt 2011, 8). Den enklaste periodiska signalen är sinussignalen, en typisk sinussignal presenteras i figur 2.8 nedan.

Figur 2.8 Sinussignal med Amplituden 5, frekvensen 10 Hz och fasförskjutningen

𝜋/4 (Brandt 2011, 9).

Signalen har konstant frekvens och amplitud vilket gör att den kan antas vara periodisk.

2.2.3 Transienta signaler

17

kollision, etc. Karaktären på en typisk transient signal visas i figur 2.9 nedan. Typiska drag hos signalen är den exponentiella minskningen av dess magnitud, samt periodiciteten som vi återfinner i en periodisk signal. Till skillnad från den periodiska signalen skiljer sig

magnituden för varje iteration då signalen med tiden tappar energi (Brandt 2011, 14).

Figur 2.9 Exempel på en transient signal. Signalen har konstant frekvens men en exponentiellt minskande amplitud på grund av energiförlusterna (Brandt 2011, 15).

2.3 Experimentell vibrationsanalys

Många gånger är vi intresserade av ta reda på ett systems/konstruktions egenskaper. Genom experimentell vibrationsanalys kan vi sända in en medveten och uppmätt insignal till systemet för att kontinuerligt mäta systemets respons. Om vi har en uppmätt in- och utsignal kan vi genom diverse signalbehandlingsverktyg beräkna viktiga egenskaper hos systemet i frekvensdomän, egenskaper som naturliga frekvenser och dämpning.

Många av de metoder som används för signalbehandling av experimentell data är till för att minimera eller om möjligt eliminera störningar i de uppmätta signalerna. Störningar finns alltid i antingen in eller utsignal och uppstår sällan pga. yttre påverkan som de anslutna givarna samlar upp, utan istället pga. inre påverkan från mätutrustningens elektronik.

2.3.1 Impulstest

Ett utav de vanligaste sätten att experimentellt undersöka ett mekaniskt system är genom ett så kallat impulstest. Vid ett impulstest sätts systemet i rörelse genom en insignal i form av en kollision. Insignalen både appliceras och mäts upp av en så kallas impulshammare i en specifik punkt på systemet/konstruktionen. Samtidigt mäts systemets respons i en eller flera specifika punkter på konstruktionen med hjälp en eller flera accelerometrar. En utökad

18

Impulstestets fördelar jämfört med det också vanliga shaker-testet är dess simplicitet, insignalens starka definition, samt möjligheten att excitera högre frekvenser. Nackdelarna är att signalens signal-to-noise ratio (SNR) är låg i jämförelse med metoder som använder kontinuerliga signaler. Detta eftersom att energin i de transienta signalerna är så koncentrerad över kort tid jämfört med den kontinuerliga energitillförseln till systemet under tex ett shaker test (Brandt 2011, 298).

2.3.2 Kraftsignalen genom ett tidsfönster

Kraftsignalen (insignalen) från ett impulstest är en kort kraftpuls som uppstår precis vid kollisionen. Magnituden bör hållas inom angivna gränsvärden beroende på hammarstorlek specificerade av leverantören. För att minimera effekten störningar från den elektroniska mätutrustningen bör kraftsignalen multipliceras med ett tidsfönster. Det rekommenderade tidsfönstret har värdet 1 från t=0 och en bit förbi kraftimpulsen, där efter går värdet mjukt mot 0 (Brandt 2011, 299-300). En typisk kraftimpuls (skalad), samt ett typiskt tidsfönster för en kraftimpuls visas i figur 2.10 nedan.

Figur 2.10 Typisk kraftimpuls (blå) samt ett lämpligt tidsfönster (orange) för signalen.

2.3.3 Frekvensresponsfunktionen (FRF) från ett impulstest

För att beskriva ett mekaniskt system egenskaper beräknas ofta en Frekvensresponsfunktion (FRF). För att kunna beräkna en FRF krävs uppmätt in och utsignal. FRF:en beskriver systemets egenskaper genom att beräkna relationen mellan in och utsignal, och kan beräknas på tre olika sätt, antingen med hjälp av H1-estimator, H2-estimator eller Hc-estimator (Brandt

2011, 286). Vilken estimator som lämpar sig bäst för det specifika fallet beror in- och

utsignalens karaktär och i vilken utav signalerna vi förväntar oss dominerande störningar. För transienta signaler, tex signaler fån ett impulstest, lämpar sig H1-estimator bäst (Brandt 2011,

302). Då in och utsignal i detta arbete kommer bestå av transienta signaler så kommer H1

-estimator användas och därför presenteras i referensramen. Definitionen för H2- och Hc

-estimator, samt metodernas för och nackdelar kan läsas i Brandts bok under kapitel 13

19

2.3.3.1 FRF enligt H1-estimator för transienta signaler

Beräkning av en FRF av ett linjärt tidsinvariant system med hjälp av H1-estimator lämpas då

det är känt att insignalens störningar är relativt låga jämfört med störningarna i utsignalen, vilket enligt Brandt (2011, 302) kan antas vid ett impulstest. Störningarna i insignalen antas då vara noll, 𝑚(𝑡) = 0, medans det anses finnas störningar i utsignalen 𝑛 𝑡 ≠ 0. Detta illustreras i figur 2.11 nedan.

Figur 2.11 Schematisk bild över det linjära tidsinvarianta systemet med störningar m(t) i insignalen och n(t) i utsignalen (Brandt 2011, 287).

H1-estimator är definierad enligt ekvation 22 nedan.

𝐻_? 𝑓 =𝐺]^ 𝑓

𝐺_^^(𝑓) (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 22) Där 𝐺_]^ 𝑓 är en beräknad Cross Spectral Density (CSD) mellan utsignalen 𝑦(𝑡) och

insignalen 𝑥(𝑡), och där 𝐺^^(𝑓) är en beräknad Power Spectral Density (PSD) för insignalen

𝑥 𝑡 (Brandt 2011, 287). Hur en PSD och en CSD beräknas enligt Welchs metod presenteras i avsnitt 2.3.3.2 nedan.

2.3.3.2 PSD och CSD enligt Welchs metod

Ett Power Spectra Density (PSD) beräknar och skalar en specifiks signals effektdensitet i frekvensdomän. En utav de mest använda metoderna för att beräkna PSD och CSD är Welchs metod. Likt andra metoder beräknas PSD:n och CSD:n av signalen/signalerna med

medelvärdesberäkningar och tidsfönster.

Medelvärdesberäkning i frekvensdomän

20

överlappar varandra med en specifik procent. I tabell 2.1 nedan presenteras rekommendationer enligt Brandt (2011) för de tre olika typerna av signaler .

Signal Tidsfönster Antal medelvärdesberäkningar Överlappning [%]

Periodisk Hanning, Flattop 3-10 50

Random Half Sine 200-500 67

Transient Rektangulärt (inget) 3-5 0

Tabell 2.1 Rekomendationer av Brandt (2011) angående medelvärdesberäkningar för de tre olika typerna av signaler, Periodisk, Random och Transient.

Eftersom att en random signal är av random karaktär krävs avsevärt fler

medelvärdesberäkningar av denna typen av signal för att minimera effekten av random störningar jämfört med en periodisk eller transient signal. Detta arbete kommer dock inte behandla signaler av random karaktär, därför lämnas detta här.

Tidsfönster och läckage

En uppmätt signal multipliceras ofta med ett tidsfönster för att minimera effekten av läckage (Brandt 2011, 191). Läckage sker i alla samplade signaler då vi beroende på hur hög sampling frekvens ”missar” mer eller mindre information mellan varje mättillfälle. En finit tidssignal kommer också bli finit i frekvensdomän med ett visst frekvenssteg, ∆𝑓. På grund av den diskreta frekvensvektorn kan viktig information mellan frekvensstegen försvinna. I figur 2.12 nedan (övre graf) visas ett exempel på en samplad tidssignal av sinusfunktion med frekvensen 51 Hz och amplituden 1. Signalen har samplats med en samplingsfrekvens sådan att signalen efter furier serie transform har en frekvensvektor med steglängden ∆𝑓 = 2 𝐻𝑧.

Sinussignalens faktiska frekvens befinner sig då mitt emellan de två frekvensvärdena 50 och 52 Hz. Detta gör att signalens viktigaste information försvinner. Den transformerade

21

Figur 2.12 Övre grafen visar en samplad signal av funktionen sin(2pi51t). Nedre grafen visar furiertransformationen av signalen. På grund av det höga frekvenssteget på 2 Hz missar funktionen den viktiga informationen vid 51 Hz. Fenomenet kallas läckage (Brandt 2011, 188).

Effekten av läckage kan som nämnt minska genom att vi multiplicerar tidssignalen med ett tidsfönster. Det vanligaste fönstret som används vid periodiska signaler är hanning fönstret. Fönstret visas i figur 2.13.

22 PSD och CSD enligt Welchs metod

Nedan visas stegen hur ett Power Spectra Density (PSD) beräknas enligt Welchs metod (Brandt 2011, 211-212).

1. Den diskreta tidssignalen x(n) delas upp i M antal segment där varje segment 𝑥e 𝑛 har längden N.

2. Varje segment multipliceras med ett godtyckligt tidsfönster 𝑤(𝑛)och en Fouriertransform (DFT) för segmentet beräknas sedan enligt ekvation 23.

𝑋_g,e 𝑘 = 𝐷𝐹𝑇 𝑥_e 𝑛 ∗ 𝑤 𝑛 (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 23) 3. De furiertransformerade segmenten kvadreras, summeras och divideras med antal

segment enligt ekvation 24.

𝐺^^ = 1 𝑀 𝑋g,e 𝑘 A k el? (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 24)

4. För att sedan få korrekt skala på PSD:n beräknas sedan en skalfaktor Sp enligt

ekvationerna 25-28 där N är antal segment och ∆𝑓 är frekvenssteget i ett segment.

𝑆_n =2𝐴g A 𝑁A_𝐵 r 𝑘 ≠ 0 (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 25) 𝑆n = 𝐴_gA 𝑁A_𝐵 r 𝑘 = 0 (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 26) 𝐵_r = 𝑁∆𝑓 Ns?<lt𝑤 𝑛 A 𝑤 𝑛 Ns? <lt A (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 27) 𝐴g = 𝑁 𝑤(𝑛) Ns? <lt (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 28)

5. Ekvation 24 multipliceras sedan med skalfaktorn Sp enligt ekvation 29 och en

resultatet ger en PSD för insignalen x(n).

23

Ett Cross Spectra Density (CSD) beräknas på ett liknande sätt enligt ekvation 30. Istället för att ta kvadraten av den transformerade diskreta signalen x(n) beräknas nu effekten mellan in och utsignal y(n).

𝐺_^^ = 𝑆n

𝑀 𝑌g,e 𝑘 ∗ 𝑋g,e∗ 𝑘

k

el?

(𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 30)

Där 𝑌g,e 𝑘 är en beräknad DFT för varje segment ym(n) multiplicerat med ett godtyckligt

tidsfönster, på samma sätt som i ekvation 23. För CSD:n beräknas skalfaktorn Sp på samma

sätt som för PSD:n.

Energy spectra density (ESD) för transienta signaler

För transienta signaler lämpas ofta att beräkna ett Energy Spectra Density (ESD) snarare än en PSD. Detta på grund av transienta signalens diskontinuitet. En ESD beräknas med hjälp av en PSD enligt ekvation 31 nedan där T är den totala längden i sekunder av varje segment beräknad i PSD:n (Brandt 2011, 173).

𝐸𝑆𝐷 = 𝑇 ∗ 𝑃𝑆𝐷 (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 31)

2.3.4 Error i FRF:er från samplade signaler

Många verktyg inom signalbehandling används för att minimera effekten av de fel och störningar som finns i samplade signaler. Man brukar tala om två olika typer av fel, bias och

random error. För att få en mer förståelse om dessa fel, varför de uppstår och hur de kan

identifieras presenteras de mer i detta kapitel. Då H1-estimator kommer användas för att beräkna FRF:erna har fokus lagts på att beskriva error i just den typen av estimator.

2.3.4.1 Bias error i FRF:er

24

Figur 2.14 Den heldragna funktionen representerar den verkliga funktionen. Den erhållna PSD/CSD:n är en diskontinuerlig stegfunktion pga. att den samplade signalen är diskret. Skillnaden mellan den verkliga funktionen och stegfunktionen kallas bias error (Brandt 2011, 213).

Magnituden på det uppstådda felet, skillnaden mellan det verkliga värdet och det beräknade, kallas bias error och beskrivs i figur 2.14 som 𝜀_x. Bias error kan minskas genom längre segmentlängd vid medelvärdesberäkningar som i Welchs metod för att på så sätt erhålla en högre frekvensupplösning (Brandt 2011, 212 292).

2.3.4.2 Random error i FRF H1-estimator

Random error uppstår på grund av yttre störningar, i H1-estimator betecknat n(t) i figur 2.11 ovan. Effekten av random error beror på tidsfönster, fönsteröverlappning och antal

medelvärdesberäkningar. Speciellt den sistnämnda faktorn. Ju högre antal

medelvärdesberäkningar vi använder ju längre random error kan erhållas (Brandt 2011, 295).

2.3.4.3 Balansgång för att hålla ner random och bias error

Enligt Brandt (2011) erhålls en lägre bias error genom att öka segmentlängden vid beräkning av PSD eller CSD enligt Welchs metod. För att minska random error bör man se till att öka antal medelvärdesberäkningar, detta görs genom fler antal segment och en kortare

segmentlängd. Att hitta rätt segmentlängd är således en balansgång mellan bias och random error. Att föredra under experimentell datainsamling är därför mycket insamlad data, dvs hög samplingsfrekvens och relativt långa signaler. Särskilt om randomsignaler används som insignal, som vid tex ett shaker test. Detta kan dock vara svårt vid ett impulstest då signalens varaktigheten är begränsad eftersom en kontinuerlig tillförning av energi inte sker (Brandt 2011, 295).

2.3.4.4 Koherensfunktionen - en kvalitetsindikator

25

FRF:en har hög bias error. I figur 2.15 nedan visas ett exempel på hur en FRF med för hög bias error ger utslag i koherensfunktionen (Brandt 2011, 291).

Figur 2.15 Ett exempel på koherensfunktion då hög bias error existerar. Vid dessa frekvenser avviker funktionen från 1 (Brandt 2011, 307).

I ekvation 32 nedan beskrivs hur koherensfunktionen, 𝛾]^A , beräknas (Brandt 2011, 291).

𝛾_]^A ₌ 𝐺]^ 𝑓 A

𝐺_^^ 𝑓 𝐺_]] 𝑓 (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 32)

2.4 Hållfasthetslära

I arbetets senare del, Steg 2 utvecklingsfasen, kommer hållfasthetsförbättringar göras för att om möjligt skapa en starkare fläktkonstruktion. Nedan presenteras därför ett kortare bevis på hur ett element effektivast stärks i böjningsavseende. Då signalbehandlingsbiten utgör den största delen av arbetet finns inte lika stort fokus på hållfasthetslära.

2.4.1 Böjtröghetsmoment i ett balkelement

För att förstärka ett balkelement är det viktigt att ha koll på i vilken riktning de yttre krafterna påverkar elementet. Böjspänningar i ett element är i direkt proportion till den angripande yttre Momentet, M, och balkens så kallade böjtröghetsmoment, I. Den maximala böjspänningen (σ_{|}) kan beräknas enligt ekvation 33 nedan där (h) är tvärsnittshöjden.

𝜎_e^ = ±𝑀e^ℎ

26

Figur 2.16 Formler för hur man beräknar böjtröghetsmoment för rektangulära, triangulära och cirkulära tvärsnitt (Björk 2013, 27).

Om vi utgår från det rektangulära tvärsnittet i figur 2.16 och tänker oss en kraft som angriper elementet i vertikalled så skall böjtröghetsmomentet, Ix, användas i ekvation 33. Wx för det

rektangulära tvärsnittet beräknas enligt ekvation 34 nedan. Eftersom rektangelns höjd, h, kvadreras är denna dimension dominerande för tvärsnittets böjmotstånd. Att öka ett balkelements höjd är därför det mest effektiva vid förstärkning då yttre krafter angriper elementet vertikalt (Björk 2013, 27).

𝐼^ =

𝑏ℎC

12 𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 34

2.5 Konceptbedömningsmodellen – Concept scooring

Concept scooring är en väl beprövad konceptbedömningsmodell. Ett antal framtagna koncept ställs emot varandra under en rad olika kriterier. Då varje kriterium många gånger inte anses vara av lika stort intresse viktas dessa procentuellt. Den totala viktsumman av samtliga kriterier skall uppgå till 100 %. Varje koncept får sedermera poäng för varje kriterium utifrån dess egenskaper och eventuella testresultat. Poängintervallet kan variera, men ofta används skalan 1-5 eller 1-10. Varje poäng multipliceras sedan med det specifika kriteriets viktning. På så vis erhålls en viktad poänggivning. De viktade poängen räknas sedan samman till en totalpoäng. Totalpoängen rankar sedan de olika koncepten. Nedan visas en

27

28

Steg 1

- Felsökningsfas med vibrations och resonansundersökning

I detta avsnitt presenteras arbetet från projektets första fas, felsökningsfasen. I Steg 1 har två olika praktiskt experiment gjorts på fläktkonstruktionen i syfte att kartlägga systemets dynamiska laster och naturliga frekvenser. Data från experimenten är bearbetad med diverse verktyg inom signalbehandlingsområdet, och jämförda med resultat från en modalanalys och simulering av ett av experimenten av en FEM modell avfläktkonstruktionen. Målet är att undersökningarna skall kunna ge tillräckligt underlag för en slutsats om hur vida orsaken till de havererande fläktarna är resonansrelaterad eller ej. Om så är fallet skall resultaten från experimenten och FEM modellen ligga till grund för en förbättrad konstruktion i steg 2. Kan slutsatsen dras att haverierna inte uppstår på grund av resonans får en ny analys av

29

3 METOD – Steg 1

I detta kapitel presenteras en genomgång av den praktiska vibrationsanalysen. Samt hur den samlade datan har analyserats med hjälp av matematiska signalbehandlingsverktyg som

Frequency respons function (FRF) och Power Spectra Density (PSD) enligt Welchs metod.

Här presenteras även hur den digitala FEM modellen modellerats och hur data har samlats och analyserats från denna. Mjukvaror som använts är MATLAB 2016, Autodesk Inventor 2017, samt Autodesk Simulation Mechanical 2017.

Kapitlet börjar med att ta upp viktiga antaganden som möjliggör användning av diverse matematiska verktyg och en förenklad modell av det verkliga fallet.

3.1 Antaganden

1. Konstruktionen antas uppträda linjärt och tidsinvariant.

2. Systemet är så pass lågt dämpat så att de odämpade och de dämpade naturliga frekvenserna kan antas vara lika.

3. Fläktkonstruktionen är totalt fixerad i trumman vid både den svetsade balkinfästningen och fläkttrummans skruvförband.

4. Då ingen exakt materialdata för de ingående komponenterna finns dokumenterad av tidigare konstruktör är dessa antagna efter standardvärden för stål och aluminiumplåt. 5. Den uppritade fläkttrumman reserveras för felmodellering på upp till 5 mm på grund

av eventuella mätfel.

3.2 Experimentell vibrationsanalys

Nedan presenteras den experimentiella vibrationsanalysen med information om vertygen som använts, genomförandet, samt hur datan har bearbetats och analyserats.

3.2.1 Mätutrustning

Verktygen som använts i det experimentella arbetet är accelerometer, impulshammare, datainsamlingsenhet, samt en dator med mjukvaran MATLAB.

3.2.1.1 Accelerometer

I laborationssammanhang används accelerometrar för att mäta accelerationen i en speciell punkt på ett objekt i rörelse. Generellt är accelerometern är ett verktyg med en hög

30

Figur 3.1 PCB 333A32 accelerometer. Denna accelerometer har använts vid det experimentella arbetet.

Accelerometern som använts i detta experiment är levererad av PCB Piezotronics. Modellen heter 333A32 (figur 3.1) och är av typen IPEP (Integrated Electronics Piezo Electric) vilket betyder att den har inbyggd impedanskonverterare. Accelerometerns geometri är av typen

shear ICP där tekniken bygger på at mäta skjuvkraften mellan piezoelektriska kristaller och

en seismisk massa, se figur 3.2 (Brandt 2011, 152). Accelerometerns tekniska data presenteras i tabell 3.1. Utökad information om accelerometern kan hittas i det tekniska bladet bifogat i bilaga 11.

Figur 3.2 Accelerometer där uppbyggnaden är av typen shear IPC. Tekniken bygger på att mäta skjuvkraften mellan piezoelektriska kristaller och en seismisk massa.

Sensitivitet 𝟏𝟎, 𝟐 𝒎𝑽(𝒎𝒔s𝟐₎

Mätningsräckvidd ±490 𝑚/𝑠A

Frekvensräckvidd 0,5 till 3000 Hz Egenfrekvens accelerometer > 20 𝑘𝐻𝑧

Tabell 3.1 Teknisk data PCB 333A32 accelerometer.

Med hjälp av accelerometern skall utsignaler från fläktkonstruktionen mätas.

3.2.1.2 Impulshammare

Ett vanligt verktyg inom den experimentella vibrations- och modalanalysen är

31

ett mekaniskt system, och samtidigt ge möjligheten att mäta denna insignal. Responsen från det mekaniska systemet efter en excision av en impulshammare kallas som tidigare nämnt impulsresponsen. Storleken på impulshammare kan variera från 15 cm till 1,5 m där hammarstorlek bör anpassas efter det mekaniska systemets storlek.

Figur 3.3 PCB 086C03 Impulshammare. Denna impulshammare har använts vid det experimentella arbetet.

Impulshammaren som använts i detta experiment är som accelerometern levererad av PCB Piezotronics. Modellen heter 086C03 (figur 3.3), är ca 22 cm lång, och kan mäta krafter upp till 2224 N. Tekniska data presenteras i tabell 3.2 nedan. Utökad information om modellen är bifogat i bilaga 12.

Sensitivitet 𝟐, 𝟐𝟓 𝒎𝑽(𝒎𝒔s𝟐₎

Mätningsräckvidd ± 2224 𝑁

Tabell 3.2 Teknisk data PCB 086C03 impulshammare.

3.2.1.3 Datainsamlingsenhet

För att kunna samla ihop all information från accelerometern och impulshammaren krävs en datainsamlingsenhet, på engelska data aquisition unit, mellan dator och givare. Enheten som använts under detta experiment är levererad av National Instruments och består av två delar med modellnummer NI USB-9162 och NI 9233 (figur 3.4). Den sammansatta enheten har ingångar för upp till fyra olika givare.

32

3.2.1.4 MATLAB

Matlab är en mjukvara som lämpar sig väldigt bra för att bygga matematiska program och algoritmer för bland annat signalbehandling. Med hjälp av Matlabs tilläggspaket, data

acquisition toolbox, kan datainsamlingsenheten styras med hjälp en rad kommandon skrivna i

en Matlabkod. Med hjälp av dessa kommandon kan mättid och mätfrekvens styras, samt vilka av enhetens ingångar som skall vara aktiva.

MATLAB är också ett bra verktyg för att analysera den samlade datan. Med hjälp av inbyggda funktioner som fast furier transform (FFT) kan en tidssignal omvandlas från tidsdomän till frekvensdomän. Matlab har även flera funktioner inom

signalbehandlingsområdet för att förfina signaler och minimera effekterna från random och

bias error.

3.2.2 Experimentellt arbete

Två olika typer av experiment har gjorts. I det första experimentet, Experiment 1, användes en impulshammare för att ge en insignal till systemet. Samtidigt mättes systemets utsignal i en godtycklig punkt med hjälp av en accelerometer. Eftersom det finns fläktkonstruktioner med två olika typer av motorer, BEVI (45 kg) eller ABB-motor (63 kg), gjordes detta experiment på konstruktioner med båda typerna av motor. En sammanfattning av tillvägagångssättet i Experiment 1 kan ses i figur 3.5 nedan. Syftet med Experiment 1 var att finna

33

Figur 3.5 Processchema över Experiment 1.

I det andra experimentet, Experiment 2, startades motorn upp och kördes under en angiven tid. Vibrationer från motorns rotation skapade då en insignal till systemet. Utsignalen mättes i samma godtyckliga punkt som vid första experimentet. Denna typ av test gjordes endast på en fläktkonstruktion med BEVI motor. En sammanfattning av processen i Experiment 1 kan ses i figur 3.6. Syftet med Experiment 2 var att finna de dynamiska lasterna från motorn som påverkar konstruktionen. Då både BEVI och ABB-motorn enligt motorspecifikationer körs på samma varvtal räckte det att endast göra experimentet på en utav konstruktionerna.

Ge en Insignal till systemet (fläktkonstruktionen) mha slag från impulshammare.

Kontinuerlig mätning av in och utsignal (spänning) med angiven mätningsfrekvens och mätnignstid.

Formatera in och utsignal från spänning till kraft respektive acceleration.

Undersök in och utsignal, vi söker ett en ren kraftimpuls samt en typisk impusrespons.

OK om vi har data från tre likvärdiga tester där samtliga signaler är av GOD kvalite.

34

Figur 3.6 Process-schema över Experiment 2.

I tabell 3.4 nedan visas mätningsparametrar för Experiment 1 och 2.

Mätfrekvens Mättid

Experiment 1 2?A_{= 4096 𝐻𝑧 2}ç _{= 16 𝑠}

Experiment 2 2??_{= 2048 𝐻𝑧 2}é _{= 256 𝑠}

Tabell 3.3 Mätningsparametrar under Experiment 1 och 2.

3.2.2.1 Experiment 1 – Konstruktionens impuls respons

Som nämnt i processchemat så utfördes Experiment 1 i tre iterationer. Detta för att med hjälp av data från tre signaler kunna minimera effekten från yttre faktorer och störningar genom medelvärdesberäkningar vid senare signalbehandling. Mättiden var 16 sekunder per test, mätfrekvensen var 4096 Hz.

Insignal – Experiment 1

I Experiment 1 användes en impulshammare för att ge en insignal i form av en impuls. Insignalen placerades vid punkt 2 i figur 3.7.

Ge en Insignal till systemet (fläktkonstruktionen) mha att starta upp och köra elmotorn

Kontinuerlig mätning av utsignalen (spänning) med angiven mätningsfrekvens och mätnignstid.

Formatera utsignal från spänning till acceleration.

35

Figur 3.7 I figuren ses baksidan av upphängningsbalken. På balken är tre punkter markerade, punkt 2 användes för att applicera insignalen från impulshammaren.

Valet av punkt för insignalen valdes godtyckligt med avsikt att ge en god respons vid fästpunkten av accelerometern. Fläktkonstruktionens moder (rörelsemönster) enligt FEM-modellen fanns också i åtanke vid val av insignalspunkt. Processen gjordes i tre iterationer för att med hjälp av data från tre signaler kunna minimera effekten av yttre faktorer.

I figur 3.8 visas impulshammarens insignal i den första iterationen av Experiment 1. I detta Test användes en fläktkonstruktion med BEVI motor.

Figur 3.8 Plotten visar kraftimpulsen vid iteration 1 i Experiment 1, kraft [N] vs tid [s]. Detta resultat är från ett test på en fläktkonstruktion med BEVI motor.

36 Utsignal – Experiment 1

Utsignalen mättes med en accelerometer som placerades på fläktkonstruktionen enligt figur 3.9. Accelerometern fästes med hjälp av bivax.

Figur 3.9 Figuren visar motorn upphängd i fläktkåpan. Under motorfästet är accelerometern placerad med hjälp av bivax.

Denna mätpunkt valdes dels för att den är väldigt nära motorinfästningen, vilket verkar har varit en kritisk punkt vid samtliga haverier. Punkten valdes också med hänsyn till resultatet från FEM modellen. Enligt modalanalysen från FEM-modellen har mätpunkten goda utslag vid samtliga naturliga frekvenser som är av intresse.

I figur 3.10 visas accelerometerns utsignal i den första iterationen av Experiment 1.

Figur 3.10 Plot över Impulsresponsen vid iteration 1 i Experiment 1, acceleration

[m/s2] vs tid [s]. Detta resultat är från ett test på en fläktkonstruktion innehållande

37

Grafen visar en tydlig accelerationsrespons vid 5,8 sekunder, samma tid som vi finner kraftimpulsen i figur 3.8. I figur 3.11 har impulsresponsen zoomats in. Här syns tydligt den klassiska karaktär av en vibrationssignal vid en impuls, där vibrationsmagnituden dör ut exponentiellt.

Figur 3.11 In-zooming av figur 3.8. Visar karaktären över impulsresponsen.

3.2.2.2 Experiment 2 – Motor responsen

I Experiment 2 startades och kördes motorn i en konstruktion innehållande en BEVI motor. Motorn kördes i ca 2 minuter medan en accelerometer mätte konstruktionens respons. Mättiden var 256 sekunder och mätfrekvensen var 2048 Hz. Anledningen till att responsen mättes under två minuter var för att få ett godtyckligt antal mätvärden för att kunna göra medelvärdesberäkningar för en PSD med god kvalité.

Insignal – Experiment 2

I Experiment 2 användes den dynamiska kraften (vibrationen) från motorn själv som insignal. Insignalen mättes inte i detta test. Det fanns inte heller några givare att mäta motorns varvtal i realtid, vilket därför fick uteslutas. Under testet startades motorn upp och kördes en kortare stund. Uppstarten av motorn började efter ca 100sekunder, och tog ca 1 sekund (se figur 3.12).

Utsignal – Experiment 1

38

Figur 3.12 Konstruktionens respons under körning, acceleration [m/s2] vs tid [s].

Man kan se hur motorn börjar snurra vid ca 100 sekunder, för att sedan gå upp och stanna på ett stadigt värde under körning. Noterbart är att den högst uppmätta accelerationen sker under uppstart av motorn, och är så stor som en faktor 2 av motorns acceleration under fullt valtal, 2900 rpm.

Matlabkoder som användes under experimenten finns bifogade i bilaga 5.

3.2.3 Frekvensanalys av samlad data i MATLAB

Med hjälp av diverse signalbehandlingsverktyg kan den samlade datan från experimenten undersökas i frekvensdomän. Från Experiment 1 användes data från test på fläktkonstruktion med både BEVI-motor och ABB-motor för att beräkna en frekvensresponsfunktion (FRF) vardera. Från Experiment 2 användes datan för att beräkna en Power Spectra Density (PSD) av utsignalen från accelerometern.

3.2.3.1 Frekvensresponsfunktionen (FRF) från Experiment 1

Som tidigare nämnt beräknas ofta en Frekvensresponsfunktion (FRF) för att beskriva ett mekaniskt system. Genom att använda in och utsignalerna från samtliga tre tester under Experiment 1 beräknades en FRF av fläktkonstruktionen. Detta gjordes med data erhållen från experiment på fläktkonstruktioner med både BEVI och ABB-motorer.

Frekvensresponsfunktionen är beräknad enligt H1-estimator. De ingående frekvensspektra av in- och utsignal är beräknade enligt vad Brandt anser vara mest lämpliga metoden för

transienta signaler. Nedan beskrivs samtliga steg som gjorts i Matlab för att erhålla en FRF med god kvalité. För att minska random error används medelvärdesberäkningar där signalerna har valts att delas in i totalt 6 segment.

39

medelvärdet av signalen (bortsätt från området runt själva impulsen), för att sedan subtrahera detta medelvärde från hela signalen.

2. Kraftsignalen gångas sedan med ett tidsfönster lämpat för en impulssignal. Tidsfönstret är plottat i figur 3.13.

Figur 3.13 Tidsfönster som multipliceras med samtliga tre kraftsignaler.

3. Signalerna från de tre iterationerna i Experiment 1 läggs ihop till en sammansatt signal. Tidssignalerna kan ses i figur 3.14.

Figur 3.14 Sammansatt kraft– (blå) och accelerationssignal (röd).

40

delar upp hela den sammansatta signalen i sex segment, vilket enligt Brandt (2011, 302) är tillräckligt för att minimera effekterna av random error i data från ett impulstest (ekvation 35).

𝐺_^^ 𝑓 = 𝑇 ∗ 𝑃𝑆𝐷 𝑥 𝑡 (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 35) 5. Samma process som i steg 4 utförs sedan på den sammansatta utsignalen y(t) (ekvation

36).

𝐺_]] 𝑓 = 𝑇 ∗ 𝑃𝑆𝐷 𝑦 𝑡 (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 36) 6. I steg 6 beräknas en ESD mellan in och utsignalen. ESD:n beräknas genom att

multiplicera signallängden av signalsegmentet (T), med en CSD, Cross specrtal density, mellan in och utsignal. CSD:n är beräknad med ett rektangulärt tidsfönster, 0% överlapp en segmentlängd på 215 enligt Welchs metod (ekvation 37).

𝐺_]^ 𝑓 = 𝑇 ∗ 𝐶𝑆𝐷 𝑦 𝑡 , 𝑥(𝑡) (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 37) 7. Frekvensresponsfunktionen beräknas sedan enligt definitionen av estimator.

H1-estimator är enligt Brandt (2011, 302) den mest lämpade beräkningsmetoden för att ta fram en FRF från transienta signaler (ekvation 38).

𝐻(𝑓) =𝐺]^(𝑓)

𝐺_^^(𝑓) (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 38) I figur 3.15 och 3.16 är FRF:erna för fläktkonstruktion med BEVI- respektive ABB-motor plottade.

41

Figur 3.16 FRF accelerans från impulstestet på fläktkonstruktion med ABB-motor. FRF:en är beräknade enligt H1-estimator där signalerna är medelvärdesberäknade med en segmentlängd på 2^15, vilket gav sammanlagt 6 segment.

8. För att kontrollera kvalitén på FRF:en beräknades också koherensfunktionen mellan in- och utsignal. Koherensfunktionen ger en indikation om det finns störningar i in- eller utsignal till FRF:en (ekvation 39).

𝛾_]^A ₌ 𝐺]^ 𝑓 A

𝐺_^^ 𝑓 𝐺_]](𝑓) (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 39) I figur 3.17 och 3.18 nedan visas Koherensfunktionerna för vardera FRF. Då

42

Figur 3.17 Övre graf (Blå): FRF accelerans för fläktkonstruktion med BEVI-motor (samma som figur 3.15). Nedre graf (röd): Koherensfunktion till den erhållna FRF:en. Då koherensen avviker från 1 ges en indikation på att det finns störningar med den specifika frekvensen i in- eller utsignal till FRF:en.

Figur 3.18 Övre graf (svart): FRF accelerans för fläktkonstruktion med BEVI-motor (samma som figur 3.16). Nedre graf (röd): Koherensfunktion till den erhållna FRF:en. Då koherensen avviker från 1 ges en indikation på att det finns störningar med den specifika frekvensen i in- eller utsignal till FRF:en.

Coherensfunktionerna för båda FRF:erna håller sig väldigt nära värdet 1 längs hela frekvensregistret 20-200 Hz. Detta ger en indikation på att både i och utsignal till FRF:erna är relativt störningsfria. Dock finns vissa avvikelser i intervallet 60-80, samt runt 37 Hz, vilket tyder på att yttre störningar har påverkat systemet med dessa

frekvenser under experimentet. Avvikelserna i koherensfunktionerna är ändå så pass låga att kvalitén på FRF:erna kan bedömas vara okej.

9. Eftersom utsignalen var acceleration och insignalen kraft, beskrivs FRF:erna i accelerans. För att gå från accelerans [m/Ns2], till det i detta fallet mer önskade flexibilitet [m/N], görs en beräkning enligt ekvation 40, där f är frekvensvektorn.

𝐻_èêr^ 𝑓 = 𝐻%%(𝑓)

2𝜋𝑗 ∗ 𝑓 A (𝐸𝑘𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 40)

43

Figur 3.19 FRF flexibilitet från impulstestet på fläktkonstruktion med BEVI-motor.

Figur 3.20 FRF flexibilitet från impulstestet på fläktkonstruktion med ABB-motor.

Matlabkod finns bifogat i bilaga 6.

3.2.3.2 Power spectra density (PSD) från Experiment 2

Under Experiment 2 mättes endast utsignalen medans den dynamiska kraften från motorn satte systemet i rörelse. Med hjälp av den kontinuerliga signalen kan vi undersöka med vilka frekvenser motorn påverkar systemet genom att beräkna en Power spectra density (PSD) för signalen.