FRITS WIGFORSS — A N N A MARIA R O M A N
STUDIEPLAN I MATEMATIK
För första, andra och tredje skolåren vid pedagogisk försöksverksamhet i överensstämmelse med beslut av
ig So års riksdag
S T O C K H O L M
A B M A G N . B E R G V A L L S F Ö R L A G
Studieplanerna i denna serie har1 utarbetats på uppdrag av kursplanedelegationen inom 1946 års skolkommission.
Författarna till studieplanerna har icke varit bundna av andra föreskrifter ä n de huvud- moment för försöksverksamheten, vilka på förslag av skolkommissionen och dess kurs- planedelegation fastställts av skolöverstyrel- sen. Ehuru kursplanedelegationen underkas- tat studieplanerna viss granskning, är res- pektive författare helt avsvariga för planer- nas utformning och innehåll.
S T O C K H O L M 19 51
F Ö R O R D
Denna studieplan har utarbetats av en k o m m i t t é inom skol- kommissionens kursplanedelegation. Arbetande ledamöter inom k o m m i t t é n var från början undertecknad samt Anna Maria Roman. Sedan ett förslag till studieplan utarbetats, i n - gick i k o m m i t t é n A n n - L i s Nordfelt, som genom granskning av förslaget medverkat till dess slutliga form.
I början av studieplanen meddelas de av s k o l ö v e r s t y r e l s e n fastställda huvudmomenten i matematik på lågstadiet samt a n m ä r k n i n g a r n a till dessa. Studieplanens h u v u d i n n e h å l l är ett detaljerat förslag till lärogång under de tre första skolåren vid de skolor, för vilka n ä m n d a huvudmoment skall gälla.
D å förslaget åtskilligt avviker från lärogången i nuvarande läroböcker, vilkas innehåll är i ö v e r e n s s t ä m m e l s e med 1919 års undervisningsplan, är en ny räknelära anpassad efter den nya planen behövlig. E n s å d a n är nu under utgivning på Magn.
Bergvalls förlag.
Anna Maria Roman avled den 12 april i år, varför det fort- satta arbetet tyvärr ej kan ske under hennes medverkan. Ma- nuskriptet till studieplanen var emellertid färdigt före hennes bortgång och h a r av henne granskats och g o d k ä n t s .
Kalmar i september 1951.
Frits Wigforss
I N N E H Å L L
Matematikundervisningens mål i enhetsskolan 5 Huvudmoment i enhetsskolans matematikkurs på lågstadiet 5
Anmärkningar till huvudmomenten 7 Enhetsskolans kurs i matematik på lågstadiet. En jäm-
förelse med kursen enligt 1919 års undervisnings plan 8
Studieplanens uppläggning 14 Särskilda metodiska frågor 16
Överkursuppgifter 16 H u v u d r ä k n i n g e n p å lågstadiet 17
Tabellinlärandet 18 Inlärande av sorterna 21 Problem och p r o b l e m l ö s n i n g 22 Prov och »luckor i k u n s k a p e r n a » 23 Räknemateriel och metodisk litteratur 24 Översikt av kursavsnitten i studieplanen 26
Kursavsnitt 1—XVIII 28
Matematikundervisningens mål i enhetsskolan
Undervisningen i matematik har till uppgift att ge kunskap och färdighet i räkning samt n å g o n förtrogenhet med algebrans och geometrins e l e m e n t ä r a begrepp och metoder. Eleverna bör förvärva s ä k e r h e t och snabbhet i såväl h u v u d r ä k n i n g som skriftlig r ä k n i n g . De bör göras förtrogna med a l l m ä n t bruk- liga matematiska uttryck, och deras natur- och s a m h ä l l s o r i e n - tering bör vidgas genom r ä k n e p r o b l e m e n s sakliga innehåll.
Ämnets logiska bildningsvärde bör tillvaratagas både inom aritmetiken, algebran och geometrin. Genom undervisningen i geometri bör f ö r m å g a n av r u m s f ö r e s t ä l l n i n g u p p ö v a s och den geometriska fantasin utvecklas. Elevernas personlighetsfost- ran bör b e f r ä m j a s därigenom, att de får erfara vikten av sam- vetsgrant och mycket noggrant arbete samt n ö d v ä n d i g h e t e n av tanke- och v i l j e a n s t r ä n g n i n g för att förelagda uppgifter skall kunna l ö s a s .
Huvudmoment i matematikkursen
A-skolor. Lågstadiet (klasserna 1—3)
Uppfattning och beteckning av talen inom talområdet 1—
10000.
R ä k n e s ä t t e t addition. Skriftlig addition av h ö g s t 3-siffriga tal med i a l l m ä n h e t ej mer ä n 6 termer. Inlärande av addi- tionstabellen.
R ä k n e s ä t t e t subtraktion. Skriftlig subtraktion av h ö g s t 3- siffriga tal. Inlärande av subtraktionstabellen.
R ä k n e s ä t t e t multiplikation. Multiplikationsuppgifter med multiplikatorer inom talområdet 1—10, uträknade med addi- t i o n s u p p s t ä l l n i n g , ö v n i n g av multiplikationstabellen till 10X10, men utan krav på full färdighet.
R ä k n e s ä t t e t division. I n n e h å l l s - och delningsdivisioner ut- räknade med stöd av multiplikationstabellen, samt i n n e h å l l s - divisioner med kvoten ej mer ä n 6, u t r ä k n a d e med subtrak- t i o n s u p p s t ä l l n i n g .
Särskilda h u v u d r ä k n i n g s ö v n i n g a r .
Övning att lösa enkla problem med ett räknesätt.
myntenheter och stycketalssorter. E n k l a sortförvandlingar mellan två sorter.
B-skolor. Första och andra klassen
Uppfattning och beteckning av talen inom talområdet 1—
1000.
Räknesättet addition. Skriftlig addition av högst 2-siffriga tal med i a l l m ä n h e t ej mer än 6 termer. Inlärande av addi- tionstabcllen.
R ä k n e s ä t t e t subtraktion. Skriftlig subtraktion av högst 2- siffriga tal. Inlärande av subtraktionstabellen.
R ä k n e s ä t t e t multiplikation. Multiplikationsuppgifter med multiplikator inom talområdct 1—6, u t r ä k n a d e med addi- tionsuppställning, ö v n i n g av multiplikationstabellen påbörjad men utan krav på inlärande.
Räknesättet division. I n n e h å l l s - och delningsdivisioner ut- räknade med stöd av multiplikationstabellen, samt i n n e h å l l s - divisioner med kvoten ej mer ä n 6, uträknade med subtrak- t i o n s u p p s t ä l l n i n g .
Särskilda h u v u d r ä k n i n g s ö v n i n g a r .
Övning att lösa mycket enkla problem med ett räknesätt.
ö v n i n g att använda följande sorter: L ä n g d m å t t : cm, dm, m, km. R y m d m å t t : dl, 1, hl. V i k t m å t t : hg, kg. T i d s m å t t : sek, min, timme, dygn, vecka, m å n a d , år. Styckctalssort: dussin.
Mynt: öre, kr.
E n k l a sortförvandlingar mellan två sorter.
B-skolor. Tredje och fjärde klassen
Uppfattning och beteckning av h ö g s t 7-siffriga tal. De fyra räknesätten i hela tal. Inledningsvis u t r ä k n a s multiplikation med additionsuppställning och i n n e h å l l s d i v i s i o n med subtrak- t i o n s u p p s t ä l l n i n g . Inlärande av multiplikationstabellen. Prak- tiska problem i vardagslivet och i anslutning till undervis- ningen i andra ä m n e n .
Särskilda h u v u d r ä k n i n g s ö v n i n g a r .
Några enkla geometriska begrepp. Längd- och y t m å t t e n i samband med m ä t n i n g och beräkning av rektanglar. Mätnings- övningar.
6
A l l m ä n t brukliga längd-, vikt-, rymd- och t i d s m å t t samt stycketalssorter. E n k l a sortförvandlingar mellan två till tre sorter.
Anmärkningar till huvudmomenten
1. Huvudmomenten anger, vad grundkursen i a l l m ä n h e t bör omfatta, dvs. det som samtliga elever på ifrågavarande sta- dium bör arbeta med. E n del av grundkursen — en k ä r n a av oumbärliga färdigheter och kunskaper — bör om m ö j l i g t alla elever lära sig att säkert behärska.
Utöver grundkursen skall elevernas arbete omfatta över- kurser. Av dessa kan en del vara gemensamma för klass- avdelningens elever och avpassade med h ä n s y n till klassens standard, lärarnas och elevernas särskilda intressen samt lokala förhållanden. Dessutom bör s å m å n g a elever som m ö j - ligt, enskilt eller i mindre grupper, arbeta med individuella överkursuppgifter, vilkas inriktning, o m f å n g och svårighets- grad självfallet blir beroende av varje elevs intresse och för- måga. Sådana uppgifter, såväl inom som utom huvudmomen- tens o m r å d e , bör väljas i s a m r å d med eleverna. I fråga om både grundkurs och överkurs bör arbetsmetoder och redovis- ningssätt s å långt m ö j l i g t avpassas efter elevernas individuella förutsättningar.
ö v e r k u r s e r n a i matematik kan omfatta fyllnads- och till- lämpningsuppgifter men också få den formen, att elever med stora förutsättningar för ä m n e t tillåts att arbeta med en kurs, avsedd för h ö g r e klass.
2. Eleverna bör systematiskt övas att arbeta självständigt och under eget ansvar och att därvid utnyttja olika slags stu- die- och arbetsmaterial, utföra egna försök, göra egna iakt- tagelser och s a m m a n s t ä l l n i n g a r och på grundval därav dra slutsatser. Det s j ä l v s t ä n d i g a arbetet, inklusive överkurserna redovisas bl.a. genom skriftliga rapporter, muntliga redogörel- ser och medverkan i diskussioner.
3. Målmedvetet bör man söka v ä n j a eleverna vid produktivt och friktionsfritt samarbete med kamrater. Åtskilliga av upp- gifterna inom ä m n e t kan lösas under grupparbete eller andra former för samarbete mellan eleverna.
4. Samverkan bör ske med undervisningen i fysik, sam- h ä l l s k u n s k a p , hemkunskap, teckning och slöjd. I görligaste m å n bör valet av uppgifter s t ö d j a undervisningen också i
övriga ä m n e n . Matematikundervisningen bör l ä m n a stöd åt undervisningen i m o d e r s m å l e t genom att ge övning i exakt l ä s n i n g samt i muntlig och skriftlig f r a m s t ä l l n i n g .
5. E t t huvudsyfte vid r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n bör vara, att eleverna erhåller färdighet i h u v u d r ä k n i n g . Så ofta det finnes lämpligt, bör de åskådliggörande räkneexempel, som avser att införa eleverna på ett nytt område, väljas så, att de kan lösas genom h u v u d r ä k n i n g . Under lågstadiets två första terminer är all räkning h u v u d r ä k n i n g . Först efter införande av skriftliga metoder för uträkning av tecknade uppgifter blir särskilda h u v u d r ä k n i n g s ö v n i n g a r behövliga.
6. Lågstadiets kurs innehåller momentet: »Uppfattning och beteckning av talen inom t a l o m r å d e t 1—10 000». Detta mo- ment kan fördelas på de tre å r s k u r s e r n a så, att talområdct utsträckes till 100 i första klass, till 1000 i andra klass och till 10000 i tredje klass. Därvid m å s t e dock iakttagas, att i första klass endast mycket lätta uppgifter behandlas inom talområdet över 10, t.ex. 56+3, men ej 56+8 (alltså ej tio- t a l s ö v e r g å n g ) . Lättare uppgifter inom det högre talområdet behandlas i allmänhet före svårare inom det lägre.
7. Additions- och subtraktionstabellerna bör i a l l m ä n h e t vara inlärda före andra skolårets slut. Med additionstabellen menas h ä r summorna av två ensiffriga tal vilka som helst, och med subtraktionstabellen de motsvarande subtraktions- uppgifterna.
8. Multiplikationstabellen övas särskilt under tredje skol- året och bör inläras fullständigt i fjärde klass.
9—13. (Dessa anm. hänför sig endast till mellanstadiets eller högstadiets kurs och medtages därför ej här.)
Enhetsskolans kurs i matematik på lågstadiet (A- skolor, klasserna 1—3). E n jämförelse med kursen
enligt 1919 års nndervisningsplan
Den kursplan i matematik, som av Skolöverstyrelsen fast- ställts för enhetsskolans l å g s t a d i u m , skiljer sig i flera av- seenden från föreskrifterna i 1919 års undervisningsplan. I det följande j ä m f ö r e s de båda planerna.
Lågstadiet i enhetsskolan omfattar de tre första årskurser- na. I 1919 års plan fastställes kursen för varje läsår, men i 8
enhetsskolans plan göres ej n å g o n uppdelning, utan de » h u - v u d m o m e n t » som anger kursens omfattning fastställer endast det s l u t m å l , som bör ha u p p n å t t s efter tre års skolgång. H u r mycket som skall medhinnas varje år blir lärarens sak att avgöra. De till huvudmomenten fogade » a n m ä r k n i n g a r n a » ger dock h ä r u t i n n a n vissa anvisningar. Ledning för läraren, n ä r det gäller detaljplaneringen av kursen, finns i »studieplaner», som utarbetats på uppdrag av skolkommissionens kursplane- delegation. Dessa är emellertid inte bindande för läraren, utan visar endast hur författarna av studieplanerna för sin del skulle vilja gestalta lärogången.
Det kunskapsstoff, som skall behandlas under de tre första åren, har noggrannare fixerats i enhetsskolans plan ä n i 1919 års plan. Det är ej troligt att detta kommer att leda till mins- kad variation i fråga om kursinnehållet. Uppdelningen i grund- kurs och överkurser i enhetsskolans kursplan (se a n m ä r k - ningarna till huvudmomenten) ger n ä m l i g e n tillfälle till be- tydande variationer i studieplaner, läroböcker och enskilda lärares u p p l ä g g n i n g av sitt arbete.
V i gör nu en detalj j ä m f ö r e l s e och citerar punkt för punkt huvudmomenten i cnhetsskolans kursplan och j ä m f ö r med motsvarande b e s t ä m m e l s e r i 1919 års undervisningsplan.
1. »Uppfattning och beteckning av talen inom talområdet 1—10000.»
I 1919 års plan föreskrives att t a l o m r å d e t 1—20 eller 1—30 skall behandlas i klass 1 och t a l o m r å d e t 1—100 i klass 2, men hur l å n g t behandlingen av talområdet skall sträcka sig i klass 3 finns ej angivet. Målet har alltså skarpare fixerats i enhetsskolans kursplan. N å g o n saklig olikhet torde dock ej föreligga, då läroböckerna i räkning för tredje klass brukar begränsa behandlingen av talen till talområdet 1—10000.
I a n m ä r k n i n g a r n a till huvudmomenten rekommenderas där- emot en lärogång som avsevärt skiljer sig från den i 1919 års plan f ö r e s k r i v n a : talområdet utsträckes till 100 i första klass, till 1000 i andra klass och till 10000 i tredje klass. »Därvid måste dock iakttagas att i första klass endast mycket lätta uppgifter behandlas inom t a l o m r å d e t över 10, t.ex. 56+3, men ej 56 + 8, alltså ej tiotalsövergång.» Liknande gäller för klass 2 i fråga om uppgifter över 100. »Lättare uppgifter inom det högre talområdet behandlas i a l l m ä n h e t före svårare inom det lägre.»
O m l ä g g n i n g e n av lärogången är motiverad såväl av psyko-
ganska m å n g a lärt sig räkna till hundra, och för flertalet h ä g - rar denna färdighet som ett mål de ö n s k a r uppnå. Att ett helt år h å l l a dem borta från dessa större tal och begränsa räkne- undervisningen till talområdet 1-—20 är psykologiskt ett miss- grepp. Man bör i stället tillvarataga vad barnen redan lärt då de kommer till skolan och inte hindra dem att följa sitt intresse.
Men b e g r ä n s n i n g e n till talområdet 1—20 i första klass är även ur ä m n e s m e t o d i s k synpunkt olämplig. Paradoxalt nog leder b e g r ä n s n i n g e n till att r ä k n i n g e n ofta blir för tung för barnen. I skolkommissionens p r i n c i p b e t ä n k a n d e (sid. 156) säges h ä r o m : »Eftersom talområdet i första klassen begrän- sas till ett så litet område som 1—20, kommer även de svå- raste additions- och subtraktionsuppgifterna inom detta om- råde att övas, vilket också hittills varit brukligt. Men då man fordrar, att även svaga elever skall lösa sådana uppgifter som 7+8 eller 17 — 9 ställer man för stora krav på deras minne och k o n c e n t r a t i o n s f ö r m å g a . Genom att barnen misslyckas i sin strävan att uppfylla fordringarna, får de olust för ä m n e t och mister tilltron till sin förmåga. Den nuvarande indelningen efter talområden, 1—20 i första klassen och 1—100 i andra klass, är endast skenbart en väg från det lättare till det svå- rare. Många räkneuppgifter inom högre t a l o m r å d e n är n ä m - ligen avsevärt lättare ä n vissa uppgifter inom det lägre. Så är t.ex. 42+3 eller 25 — 2 lättare än 7+8 eller 17 — 9.»
Man bör också beakta, att ur matematisk synpunkt saknar räkneuppgifterna mening, om den naturliga heltalsserien ej förut utbildats. Problemet 7+8 saknar innehåll, om man ej vet att det är fråga om att identifiera summan med ett tal i heltalsserien. I och för sig är j u svaret 7 och 8 lika förnuftigt som 5 och 10 (femton). Barnen bör helst under en längre tid ha varit förtrogna med hcltalsserien innan de ställas inför sådana räkneuppgifter.
Tydligt är alltså att barnen på ett tidigt stadium bör för- värva de räkneföreställningar som är nödvändiga för uppfatt- ningen av den naturliga talserien.
2. Räknesättet addition. Skriftlig addition av högst 3-siff- riga tal med i allmänhet ej mer än 6 termer. Inlärande av additionstabellen.
I 1919 års plan finns för tredje klass endast föreskriften att de fyra r ä k n e s ä t t e n i hela tal skall behandlas. Och i första och andra klass står att »övningar för vinnande av färdighet särskilt böra avse tilläggning och fråndragning».
10
Preciseringen av kursen i enhetsskolan torde medföra mind- re ö v n i n g av vissa moment och mera ö v n i n g av andra. Be- g r ä n s n i n g e n till tresiffriga termer är n ä r m a s t motiverad av att t a l o m r å d e t ej utvidgats över 10 000. V i d fyrsiffriga addi- tionstermer överskridas j u l ä t t detta t a l o m r å d e . B e s t ä m m e l - sen bör dock inte hindra additioner av typen 10 k r 15 öre
+ 15 k r 35 öre vilka vid skriftlig räkning uppfattas som addition av tvåsiff- riga tal.
B e g r ä n s n i n g e n till »i a l l m ä n h e t ej mer ä n 6 termer», har gjorts, därför att erfarenheten visat att m å n g a barns kon- c e n t r a t i o n s f ö r m å g a inte räcker till för att hålla samman ett större antal termer. Tvingas de därtill uppkommer o l u s t k ä n s - lor av det stora antalet fel som de gör. Detta hindrar emeller- tid ej att de barn som orkar med det får räkna additionstal med flera termer. Huvudmomenten anger en kurs, som alla barnen skall syssla med, men förhindrar inte att kurser av mera omfattande art ges. I huvudmomenten står »i allmänhet ej mer än 6 termer». Undantaget hänför sig till multiplikation med multiplikatorerna 7—10, som u t r ä k n a s med additions- metod. Denna »serieaddition» ställer emellertid ej s å stora krav på barnens u p p m ä r k s a m h e t som addition av termer av växlande storlek.
Fordran att additionstabellen skall inläras är en viktig ny- het. I 1919 års plan o m n ä m n e s endast multiplikationstabellen.
Betydelsen av additionstabellens inlärande synes ej ha be- aktats av författarna av 1919 års undervisningsplan. Det är då ej underligt att s å ej heller är fallet för m å n g a lärare. Sko- lan har här på en viktig punkt f ö r s u m m a t att ge lärjungarna den kunskap som de behöver för att lära sig räkna säkert och snabbt. Av olikheterna mellan kursplanerna är m å h ä n d a denna den betydelsefullaste. Det är väl troligt att även de lärare som officiellt har att rätta sig efter 1919 års plan, snart följer enhetsskoleplanen på denna punkt. Så blir kanske även fallet i andra punkter. Att m ä r k a är att föreskrifterna i 1919 års plan ge huvudsaklig ledning och ej är avsedda att binda i detalj. Skillnaderna mellan planerna torde, även om de är viktiga, dock ej vara av den karaktär att de hindrar en lärare som s å ö n s k a r att använda enhetsskolans kursplan och läro- böcker i matematik.
3. Räknesättet subtraktion. Skriftig subtraktion av högst 3- siffriga tal. Inlärande av subtraktionstabellen.
Grundkursens begränsning till 3-siffriga tal innebär en ej oväsentlig lättnad j ä m f ö r d med kursen i räkneläror, som ut- arbetats på basis av 1919 års plan. Skriftlig subtraktion av 4-siffriga tal har varit ett viktigt och ganska svårt kurs- moment. Forceringen har medfört att de l å n g s a m m a r e bar- nen haft svårt att följa med undervisningen. Det har inte hel- ler varit ovanligt att osäkerhet i skriftlig subtraktion blivit följden av forceringen.
Här bör emellertid erinras om att idén med överkurser möjliggör för läraren att låta de mera s n a b b r ä k n a n d e barnen räkna med större tal.
Fordran att subtraktionstabellen skall inläras är ett nytt inslag i kursen. Om den inlärts i klass 2, underlättas i h ö g grad den skriftliga subtraktionen i tredje klassen.
4. Räknesättet multiplikation. Multiplikationsuppgifter med multiplikatorer inom talområdet 1—10, uträknade med addi- tionsuppställning, övning av multiplikationstabellen till 10-10, men utan krav på full färdighet.
Räknesättet division. Innehålls- och delningsdivisioner ut- räknade med stöd av multiplikationstabellen, samt innehålls- divisioner med kvoten ej mer än 6, uträknade med subtrak- tionsuppställning.
Motsvarande b e s t ä m m e l s e i 1919 års plan lyder: »De fyra räknesätten i hela tal , dock med den begränsningen, att multiplikator och divisor i regel h ä m t a s från talområdet 1—10 ».
Och i anvisningarna står: »Multiplikationstabellens inläran- de grundlägges genom additionsserier, i första klassen inom talområdet 1—20 eller 1—30, och i andra klassen inom det större talområde, varmed barnen vunnit förtrogenhet. Det bör icke fordras att lärjungarna under de två första skolåren skola uppnå färdighet inom multiplikationstabellen.»
Enhetsskolans grundkurs på lågstadiet är alltså åtskilligt mera begränsad. Färdighet i den vanliga multiplikations- eller divisionstekniken eller i multiplikationstabellen ingår ej i grundkursen på lågstadiet. Men naturligtvis kommer »över- kursuppgifterna» ofta att bestå i arbete av detta slag.
»Multiplikationsuppgiftcr — — — uträknade med addi- tionsuppställning» kan betraktas som ett kursmoment, som inte ingår i 1919 års plan, fastän multiplikationstekniken bru- kar införas med ett par räkneuppgifter av detta slag. Enligt enhetsskolans kursplan är det d ä r e m o t meningen, alt barnen skall bli förtrogna med detta sätt att räkna, och först sedan 12
sådan förtrogenhet vunnits övergå till en tekniskt sett mera fulländad metod. Samma gäller om kursmomentet: »Innehålls- divisioner u t r ä k n a med s u b t r a k t i o n s u p p s t ä l l n i n g » . Detta kursmoment får alltså inte bara tas som en helt kort övergång till den vanliga tekniken utan barnen bör bli för- trogna med detta sätt att räkna.
F u l l färdighet i multiplikationstabellen skall visserligen inte krävas, alltså inte vara oundgängligt villkor för g o d k ä n t betyg i ämnet, men tabellen skall grundligt övas, särskilt under tredje skolåret. Och man kan räkna med att flertalet barn redan på lågstadiet når fram till den »fulla färdigheten».
Uttrycket » i n n e h å l l s - och delningsdivisioner med stöd av multiplikationstabellen» betyder att uppgifterna skall ligga inom tabellens talområde. T i l l den obligatoriska grundkursen hör s å l u n d a uppgifter som 63 : 7 eller 64 : 7, men ej t.ex. 98 : 7 eller 99 : 7. Läraren har emellertid frihet att med h ä n s y n till klassens standard utöka grundkursen till uppgifter av det se- nare slaget. Dclningsdivisioner torde i a l l m ä n h e t kunna ut- sträckas till delning av tresiffriga tal, i vilka den ensiffriga
936 divisorn går j ä m n t upp i envar av talsorterna, t.ex. - g - = 312.
3 5. Särskilda huvudräkningsövningar.
Samma b e s t ä m m e l s e finnes i 1919 års plan.
Kravet på färdighet i h u v u d r ä k n i n g är dock olika. Uppgifter som 17 — 9 h ö r ej till grundkursen i första klass i enhets- skolan, medan så är fallet enligt 1919 års plan. Samma är förhållande med uppgifter som 83 — 37 i andra klass. Huvud- räkningsuppgifter av det senare slaget passar bättre på mel- lan- och högstadiet ä n på lågstadiet.
6. övning att lösa enkla problem med ett räknesätt.
I 1919 års plan s t å r : »De fyra räknesätten med hela tal j ä m t e tillämpningar, dock med den b e g r ä n s n i n g e n
att i a l l m ä n h e t endast ett räknesätt f ö r e k o m m e r i varje upp- gift». E n d a skillnaden mellan planerna är att i rubriken h ä r ovan inte finns uttrycket »i allmänhet». Men naturligtvis kan en lärare på enhetsskolans lågstadium ta med enkla uppgifter med mer än ett räknesätt som »överkurser».
7. Allmänt brukliga längd-, vikt-, rymd- och tidsmått samt myntenheter och stycketalssorter. Enkla sortförvandlingar mellan två sorter.
Huvudmomenten preciserar inte vilka sorter, som skall in- läras. Så sker inte heller i 1919 års plan. Visserligen medde- las där att i klass 1 och 2 skall ö v a s : centimeter, decimeter
och meter, deciliter och liter, hektogram och kilogram samt ören och kronor, men för tredje klassen står sedan endast:
»Övningar i a n v ä n d n i n g av även andra a l l m ä n t brukliga m å t t och vikter ä n de förut u p p t a g n a » .
B e s t ä m m e l s e n i 1919 års plan rörande sortförvandlingar lyder: »Särskilda övningar i sortförvandling, även omfattande stycketalssorter och t i d s m å t t » . Här innebär b e s t ä m m e l s e n i enhetsskolans kursplan att sortförvandlingarna endast skall avse förvandling mellan två sorter, en viktig precisering och begränsning.
Den nu gjorda j ä m f ö r e l s e n har visat att den obligatoriska grundkursen i matematik p å enhetsskolans lågstadium ej är så omfattande som de fordringar som byggts upp på basis av de ofta något o b e s t ä m d a kurserna i 1919 års plan.
F ö r l ä n g n i n g e n av den obligatoriska skoltiden har möjlig- gjort en mindre forcerad takt vid inlärandet av de n ö d v ä n - diga kunskapselementen. Och genom den frihet som givits enhetsskolans lärare i fråga om grundkurser och överkurser finns m ö j l i g h e t att anpassa undervisningen efter olika klas- sers standard, varför i åtskilliga klasser den a l l m ä n n a n i v å n sannolikt kommer att ligga högre än vid undervisningen enligt 1919 års plan.
Studieplanens uppläggning
Matematikkursen för lågstadiet (klasserna 1—3) har här delats i 18 avsnitt. Inom varje kursavsnitt finns en A-avdel- ning, som ger det matematiska h u v u d i n n e h å l l e t i kursavsnit- tet och består av ett antal systematiskt ordnade kursmoment.
V a r j e kursavsnitt påbörjas med hela undervisningsgruppen samtidigt, och de olika momenten g e n o m g å s i den angivna ordningen. Därefter ges ett prov, vilket bör vara av diagnos- tisk art, s å att det kan visa, p å vilka punkter eleverna be- höver ytterligare h j ä l p med kursavsnittet i fråga.
Meningen är emellertid inte att låta denna metod helt be- h ä r s k a undervisningen. Mycket av det som hör till ä m n e t l ä m - par sig inte för strängt avgränsade kursmoment i b e s t ä m d ordningsföljd. F ö r att inte programmet för detta mera fria arbete skall störa översiktligheten i studieplanen har för varje
L4
kursavsnitt vissa arbetsuppgifter förts samman i en B-avdel- ning, som är avsedd att löpa parallellt med A-avdelningen.
Arbetet inom B-avdclningen är inte bundet av n å g o n be- s t ä m d ordningsföljd. I vissa fall k a n det vara lämpligt att låta ett moment utbreda sig över hela den tid kursavsnittet studeras genom att några minuter av varje räknelektion ägnas åt ö v n i n g a r n a i fråga. I andra fall lägges arbetsuppgifterna in i undervisningen när läraren finner ett passande tillfälle.
E t t exempel p å uppgifter som upptagits i B-avdelningen är de genom hela kursen fortlöpande repetitionerna. V i d en strängt genomförd kursmomentmetod f ö r s u m m a s lätt dessa repetitioner.
E n annan art av uppgifter som blivit placerade i B-avdel- ningarna är förberedelser. Dessa avse att v ä c k a barnens in- tresse för att lära det nya, som skall komma, och göra dem förtrogna med ord och beteckningar, som är f r ä m m a n d e för dem, och därför kan bli till hinder vid själva inlärandet.
Förberedelserna kan gälla kursmoment, som snart skall tagas upp till systematisk behandling. Det kan emellertid ä v e n vara fråga om att förbereda p å lång sikt. Som ett exempel p å det senare kan tagas bråkräkning, som hör till mellanstadiets kurs. Bråkläran kräver relativt lång mognadstid för eleverna.
Redan på lågstadiet kan förberedandet sättas in. Barnen kan t.ex. lära sig använda uttryck som »en halv, en fjärdedel» etc.
E n s t ä n d i g t å t e r k o m m a n d e rubrik i B-avdelningarna är
»Luckor i kunskaperna» (se h ä r o m n ä r m a r e sid. 2 3 ) . D å ar- betet m å s t e bedrivas individuellt och eleverna sysslar med flera olika kursavsnitt, kan denna undervisning ej tagas upp som kursmoment i A-avdelningen.
I B-avdelningarna f ö r e k o m m e r vidare tillämpningsuppgifter från skilda kursavsnitt. Hit h ö r behandlingen av intresse- o m r å d e n , s.k. »units». Även andra uppgifter kan tagas in h ä r , t.ex. stimulerande och för utvecklingen av elevernas mate- matiska sinne betydelsefulla lekar och spel.
I fråga om uppgifterna hör ä m n e t matematik samman med o r i e n t e r i n g s ä m n e n a . Detta innebär att liksom räkning kan f ö r e k o m m a vilken undervisningstimme som helst, kan också kunskaper av betydelse för barnens orientering i sin omvärld meddelas i samband med r ä k n i n g . Under talövningar k a n barnen a n v ä n d a ord som h ö r till r ä k n i n g e n s vokabulär, och under räkneövningarna kan läsning och skrivning övas. Även
detta samarbete mellan s k o l ä m n e n a har fått sin plats i B - avdelningarna.
Slutligen kan sägas, att de för studiearbetet i cnhetsskolan så viktiga överkursuppgifterna i en studieplan naturligt har sin plats i B-avdelningarna.
Skillnaden mellan A- och B-avdelningarna skulle kunna uttryckas s å : de förra är mera inriktade mot det matematiska h u v u d i n n e h å l l e t i kursen och dess logiska uppbyggnad, de senare ger mera av praktiska t i l l ä m p n i n g a r och s a m h ä l l s - orientering samt tillvaratager mera de psykologiska synpunk- terna. Detta gör arbetsplanen rörlig och levande och stimu- lerar läraren till personliga initiativ utan att ä m n e t s inne- boende krav på reda ä v e n t y r a s .
Särskilda metodiska frågor
överkursuppgifter
I skolkommissionens p r i n c i p b e t ä n k a n d e säges att studie- planerna bör r ä k n a med två slags stoff, grundkurs och över- kurser. D å innehållet i de följande kursavsnitten, särskilt A- avdelningarna, n ä r m a s t motsvarar grundkursen, m å h ä r n å - got s ä g a s om överkursuppgifter i matematik på lågstadiet.
De vanligaste överkursuppgifterna m å s t e säkerligen bli de som berikar kursen utan att förutsätta k ä n n e d o m om kurs- moment som behandlas i senare kursavsnitt. Sådana uppgifter kan emellertid vara av i n å n g a slag. H ä r några exempel:
E t t m å l att arbeta för kan vara uppövning av färdigheten i mekanisk räkning. Intresset härför är stort hos m å n g a ele- ver. H ä r är det o c k s å lätt att tillgodose vars och ens behov, ö v n i n g a r av detta slag vinner i intresse för eleverna, om de får tillfälle att m ä t a sina framsteg och föra protokoll över dem.
Problem av lämplig svårighetsgrad kan ges som ö v e r k u r s - uppgifter. V a r och en vill gärna g å till g r ä n s e n av sin för- m å g a . B l i r problemen för svåra eller för lätta mister eleverna intresset. Även de svagare kan få problem att lösa. F ö r de mera matematiskt begåvade kan »tankenötter» vara av stort intresse.
I vissa fall kan arbetet samlas om ett intresse och bilda en 16
s.k. unit. H ä r k a n samarbete mellan olika läroämnen ske. I klass 3 kan arbetet ordnas som grupparbete.
I m å n g a fall kan eleverna själva framställa överkursupp- gifter. Sedan några exempel på en uppgiftstyp r ä k n a t s , får eleverna fortsätta och s j ä l v a hitta på uppgifter av den typen.
Så k a n ske i stor u t s t r ä c k n i n g . D å elevernas aktivitet h ä r v i d är mera allsidig ä n vid arbetet med av läraren givna uppgif- ter, och då de s j ä l v a b e s t ä m m e r uppgifternas svårighetsgrad är arbete av detta slag mycket l ä m p l i g t som överkursarbete.
I studieplanen göres p å några s t ä l l e n anvisningar om sådant arbete under rubriken: Läs, skriv, räkna (se t.ex. I V : B sid.
41).
Barnen läser, skriver av och fyller i luckorna. Sedan detta är gjort får de själva hitta på liknande räknehistorier och skriva dem.
E x . : I kursavsnitt X I I I sid. 69 finns under rubriken: Meka- nisk räkning, följande uppgift:
Uppgiften ger 8 additionsexempel: 3 rad- och 3 kolumnadditioner samt sedan dessa 6 exempel r ä k n a t s ytterligare en rad- och en kolumnaddition. D å de båda sista additio- nerna skall ge samma summa är hela upp- giften s j ä l v k o n t r o l l e r a n d e . Barnen kan själ- va få göra uppgifter av detta slag och göra dem så svåra som de tror sig kunna g å i land med.
V a r j e lärare m å s t e emellertid arbeta ut förslag till över- kursuppgifter och därvid taga h ä n s y n till de enskilda elever- nas b e g å v n i n g och intressen.
Man torde för övrigt kunna säga att varje u p p l ä g g n i n g av studiearbetet, som på ett tillfredsställande sätt differentierar arbetet efter de enskilda elevernas krafter, förverkligar det mål, man velat vinna med kravet på överkurser.
Huvudräkningen på lågstadiet.
H u v u d r ä k n i n g övas helt naturligt i nära anslutning till de uppgifter verkliga livet ställer på barnen. De går ärenden, be- talar och får pengar tillbaka. De får slantar ibland, sparar eller köper för dem. De tillverkar föremål, m ä t e r och be- räknar.
Under de första terminerna p å lågstadiet inläres och övas 38 56 75
23 19 87 39 25 42
2 17
h u v u d r ä k n i n g s m c t o d e r . Sedan barnen lärt metoderna vid skriftlig u t r ä k n i n g h ä n d e r det emellertid att de försöker komma ifrån h u v u d r ä k n i n g och lösa även mycket lätta upp- gifter genom att ställa talen under varandra och räkna skrift- ligt. Det är då n ö d v ä n d i g t att sätta in »särskilda huvudräk- ningsövningar». Därvid kan det redan inlärda repeteras samt n å g o t försvåras genom a n v ä n d n i n g av flera sorter och ett större talområde. De nya svårigheterna får emellertid inte leda till att r ä k n c t e k n i k e n blir för svår för barnen. I anslut- ning till a n m ä r k n i n g a r till huvudmomenten kan som exempel på uppgifter som är för svåra vid den för alla lärjungar av- sedda h u v u d r ä k n i n g e n n ä m n a s :
Under första skolåret: uppgifter som 8 + 5 och 14—6.
Under andra skolåret: uppgifter som 56+23, 37 + 25 och 57—24, 43 — 18.
Under tredje skolåret: uppgifter som 143 + 78 och 127 — 79.
L i k a svåra eller till och med svårare h u v u d r ä k n i n g a r kan emellertid f ö r e k o m m a i individuella övcrkursuppgifter, då barnen i a l l m ä n h e t s j ä l v a b e s t ä m m e r svårighetsgraden.
Vid h u v u d r ä k n i n g har barnen ofta stöd för minnet av de siffror de skriver av från tavlan eller ur en lärobok. Huvud- räkning utan sådant stöd bör o c k s å ö v a s . Den kan med för- del a n v ä n d a s som uppryckning och drill. Det är viktigt att sådana övningar göres så lätta, att även de svagaste barnen kan följa med något, men lika viktigt är att uppgifterna kan sporra de duktigare till a n s t r ä n g n i n g . E t t par exempel: Jag lägger 7 öre i min sparbössa, jag lägger 3 öre till och 10 öre till — vad har jag nu? Jag fortsätter och lägger 8 öre till och 5 öre till och 10 öre till — vad har jag nu? Osv.
T ä n k på 3 ! F ö r d u b b l a ! Fördubbla igen! Osv. s å långt n å g o n kan följa med.
T ä n k på 80! Halvera! Halvera igen! Halvera igen! Igen! Är det n å g o n som kan fortsätta?
Efter hand som barnen går vidare i A-avdelningarna kom- mer nytt in o c k s å i den särskilda h u v u d r ä k n i n g e n . E x . : Vad kostar tre 10-öres f r i m ä r k e n ? T r e 5-öres? T r e 15-öres? Hur m å n g a 3-öres kulor får jag för 30 öre? F ö r 60 öre? För 36 öre?
Tabellinlärandet
Enligt huvudmomenten skall additions- och subtraktions- tabellerna inläras på lågstadiet. Multiplikationstabellen skall 18
grundligt övas, men krav på full färdighet i den skall ej stäl- las. Kravet på inlärandet av additions- och subtraktionstabel- lerna är en nyhet, som noga m å s t e observeras.
F ö l j a n d e översikt visar g å n g e n av tabellinlärandet enligt v å r studieplan.
Additionstabellen inom t a l o m r å d e t 1—10 b e r ä k n a s vara in- lärd efter kursavsnitt I V och motsvarande subtraktionstabell efter kursavsnitt V . Hela additionstabellen b e r ä k n a s vara i n - lärd efter kursavsnitt V I I I och motsvarande subtraktionstabell efter kursavsnitt X .
Multiplikationstabellen är grundligt övad efter kursavsnitt X V I .
Additions- och subtraktionstabellerna inom t a l o m r å d e t 1—
10 b e r ä k n a s alltså vara inlärda under första skolåret och hela additions- och subtraktionstabellerna under andra skolåret.
ö v n i n g av multiplikationstabellen börjar mot slutet av and- ra skolåret, och hela tabellen har grundligt övats mot slutet av tredje skolåret, men full färdighet i denna tabell skall enligt huvudmomenten inte fordras förrän under fjärde skol- året.
Divisionstabellcn övas som t i l l ä m p n i n g av multiplikations- tabellen.
Memorerandct av enskilda kombinationer bör inte ske ge- nom rabbcl i bestämd ordningsföljd, alltså t.ex. ej s å : 7 gånger 1 är 7, 7 gånger 2 är 14, 7 g å n g e r 3 är 21, osv. D ä r e m o t kan mcmoreringen av 7-tabelIcn mycket väl vara en särskild in- lärningsuppgift, om man blott undviker att inlära kombina- tionerna i en stel ordningsföljd. Förslag till uppdelningen av tabellinlärandet i lämpliga avdelningar finns i studieplanen.
Många trevliga metoder för memoreringen finns, och lära- ren bör ta reda på dem i r ä k n e m e t o d i s k a handledningar. H ä r kan h ä n v i s a s till Wigforss: Den g r u n d l ä g g a n d e matematik- undervisningen.
F ö l j a n d e metoder lämpar sig vare sig det är fråga om addi- tions-, subtraktions- eller multiplikationstabellen.
1. Winnetkatekniken
Denna är synnerligen värdefull, kanske den bästa av alla.
Redogörelse finns i Wigforss, anf. arb.
Korten kan erhållas från Bergvalls förlag och ingår i Ro- man-Wigforss räknemateriel.
2. Räknepussel: Pallinspelen
Spelen kan erhållas från E h l i n s förlag.
V i d dessa spel användes kort med en räkneuppgift på ena sidan och n å g o n slags geometrisk figur på den andra. Vidare behövs en platta med svar på uppgifterna i rutor som passar till korten, samt en ram och v ä n d s k i v a , s å att alla korten kan v ä n d a s på en gång. Efter v ä n d n i n g e n framträder på baksidan av korten en regelbunden figur, som visar om de lagts rätt.
3. Räknepussel av andra slag
Läraren kan själv tillverka pussel av liknande art som P a l - linspelen, s å att efter kortens v ä n d n i n g framträder en bild av n å g o t slag, t.ex. en landskapstavla. Man kan o c k s å ordna så att p å baksidan framkommer en text eller berättelse, t.ex.:
»Du har räknat alla talen rätt. Det var mycket bra.»
E n k l a r e än pussel av dessa slag, där alla korten v ä n d e s på en gång med h j ä l p av en v ä n d s k i v a , är de i vilka varje kort v ä n d e s för sig. De är lätta att tillverka. På baksidan av korten kan o c k s å här framträda en bild eller en berättelse.
E n lustig variant är f ö l j a n d e :
Antag att det gäller inlärandet av 7-tabellen. På 10 lappar skrives på ena sidan 7 • 1 till och med 7-10, och på andra sidan orden: m ä n n i s k a n , hunden, katten, tuppen, h ä s t e n , spar- ven, lammet, björnen, grodan, flugan i nu n ä m n d ordning. P å ytterligare tio lappar skrives på ena sidan = 7 osv. till och med
= 70 och p å andra sidan orden: talar, skäller, jamar, gal, gnäggar, kvittrar, bräker, brummar, kväker, surrar i nu n ä m n d ordning. Barnen lägger sen ut lapparna två och två med siff- rorna upp. Uppgifterna bör inte stå i ordning. Sedan v ä n d e s lapparna var och en för sig. Om barnet lagt rätt får de t.ex.
tuppen gal, men om de lagt fel kan de t.ex. f å : flugan jamar.
Även pussel i vilka v ä n d n i n g av korten ej erfordras, kan vara mycket effektiva, t.ex. »pytagoreiska multiplikationsta- bellen». (Se Wigforss, anf. arb.)
å. Rostads standardprov
Dessa prov erhålles från Rostads elevförbund, Kalmar.
Om proven a n v ä n d e s på ett riktigt sätt kan svagheter i bar- nens tabellkunnande lätt upptäckas. F ö r provens a n v ä n d n i n g h ä n v i s a s till Wigforss, anf. arb. Om Rostadsproven, Winnctka- metoden och arbetet med räknepussel kombineras på ett l ä m p - ligt sätt kan tabellerna läras mycket effektivt, samtidigt som inlärningsarbelet för barnen blir verkligt roligt.
Att m ä r k a är emellertid att memorcringen av tabellerna inte bör sätta in, förrän barnen väl förstår innebörden i räkne- operationerna och behärskar n å g o n metod att utföra dem. Mot ett för tidigt memorerandc av tabellerna m å s t e varnas. Man bör också observera att vissa talkombinationer inte i egentlig mening skall »memorcras» utan övas genom att »begripas».
Hit hör alla » n o l l k o m b i n a t i o n e r n a » , t.ex. 5 + 0, 5 — 0, 5 - 0 . T i l l denna kategori hör o c k s å multiplikationskombinationerna med faktorn 1, t.ex. 5 • 1 eller 1 • 5. Men även dessa övningar måste göras grundligt, så att barnen ofta ställes inför upp- gifter av detta slag.
Hur tabellinlärandet sker enligt studieplanen m å exempli- fieras med additionstabellen inom talområdct 1—10. I kurs- avsnitt I I får barnen lära sig vad som menas med att ö k a eller lägga samman. De får sedan utföra dessa räkneoperationer med h j ä l p av å s k å d n i n g s m e d e l och därefter lära en uträk- ningsmetod, med vars h j ä l p de kan klara uträkningarna utan å s k å d n i n g s m e d e l . Enligt denna metod får barnen lägga t.ex.
4 till 5 genom att r ä k n a : 6, 7, 8, 9, alltså 5 + 4 = 9. E n upp- gift som 3 + 6 klaras genom att barnen lär sig inse att 3 + 6 är lika mycket som 6 + 3. I kursavsnitt I I I börjar barnen att intresseras för att komma ihåg resultaten av tilläggningarna.
Det sker i samband med uppdelning av vart och ett av talen inom talområdet 2—10 i två delar. I kursavsnitt I V sätter s å memoringen av tabellen in på allvar. Det sker med använd- ning av förut n ä m n d a h j ä l p m e d e l , alltså Winnetkakort, Ro- stads standardprov, Pallinspcl osv.
Inlärande av sorterna
Enligt m å n g a lärares erfarenhet misslyckas ett stort antal barn med inlärandet av sorterna. Sannolikt beror misslyckan- det på att man söker lära barnen sortförvandlingar, och ofta rätt svåra s å d a n a , innan de blivit förtrogna med själva sor- terna. I v å r studieplan har vi konsekvent sökt tillämpa idén att barnen skall ha grundligt sysslat med en sort, innan frå- gan om dess samband med andra sorter och sortförvandlings- uppgifter tas upp till behandling.
Exempel: Sedan barnen i första klass i kursavsnitt I gjort j ä m f ö r e l s e r mellan föremål av olika längd och bekantats med sådana uttryck som lika långa, längre, längst, kortare, kortast, får de i kursavsnitt I I göra bekantskap med c e n t i m e t e r m å t t e t och använda det för m ä t n i n g av längder. På liknande sätt får
de lära sig a n v ä n d a hektogram för v ä g n i n g och deciliter för r y m d m ä t n i n g . Några andra längd-, vikt- och r y m d m å t t får de inte lära under de tre första kursavsnitten. Barnen får sedan i ett följande kursavsnitt bekanta sig med m å t t e n decimeter, liter och kilogram, men utan att sambandet med de förut in- lärda m å t t e n övas. Först sedan de är väl förtrogna med dessa nya och större m å t t tas frågan om deras samband med de mindre m å t t e n upp. Och därefter kan enkla sortförvandlings- uppgifter ö v a s .
I kursavsnitt V I (slutet av första å r s k u r s e n ) får barnen m ä t a längder med ett än större m å t t : metern, s å att de får en god föreställning om längden av detta m å t t , men utan att dess samband med de mindre l ä n g d m å t t e n behandlas. Sam- bandet utredes först i andra klass, där barnen får konstatera och lära sig att en meter är lika lång som 10 decimeter, och lika lång som 100 centimeter. Sortförvandlingsuppgifterna gäller endast förvandlingen mellan två sorter, alltså t.ex. 1 meter 25 cm = 125 cm, 3 m 4 dm = 34 dm, men ej 1 m 3 dm 4 cm = 134 cm.
Problem och problemlösning
För att individuellt arbete så fort som möjligt skall kunna sättas in i undervisningen, är det nödvändigt, att barnen får lära sig förstå uppgifter, som ges dem, och ordentligt redo- göra för sitt arbete.
Det behöver inte dröja länge, innan barnen i första klass kan lösa den sortens uppgifter, som i denna studieplan kallas
»Läsa — skriva — räkna». De får i dem enkla meningar att skriva av, och det gäller att förstå problemet och visa detta genom att fylla i ett ord eller en siffra, som blivit u t e l ä m n a d . Den sortens övningar kan under lågstadiets följande klasser försvåras genom att barnen får i uppgift att s j ä l v a hitta på meningar med räkneproblem och skriva dem.
Så snart barnen lärt sig siffrorna, kan de få svara på munt- ligt givna problem av vanlig sort med siffror. Redan på det stadiet är det viktigt, att barnen håller reda i sitt skriftliga arbete. De bör därför inte tillåtas att skriva sina siffror huller om buller utan bör ordna dem på ett överskådligt sätt. Så s m å n i n g o m ökas kravet på ordning genom att sort fordras i svaret, att fullständigt svar skall ges och till sist att uppgif- terna tecknas på vanligt sätt.
22
D å barnen lär de skriftliga metoderna med u p p s t ä l l n i n g och u t r ä k n i n g bör de för varje räknesätt som g e n o m g å s få tillämpningsexempel, som ger övning på det nya och repeti- tion på den terminologi, som barnen på lågstadiet så s m å - ningom skall göras förtrogna med. Som t i l l ä m p n i n g bör o c k s å ges uppgifter, där barnen s j ä l v a hittar på »räknehistorien» och därigenom visar att de förstår vilken sorts problem, som hör dit.
För att lära barnen k ä n n a igen vad för sorts räknesätt, som skall komma till a n v ä n d n i n g i de problem de fått att lösa, är det lämpligt att ge dem beteckningsuppgifter. Redan tidigt kan de få b e s t ä m m a vilket tecken som fattas i en ut- r ä k n a d uppgift, t.ex. 5 2 = 7; 5 2 = 3. Ä v e n problem bör ges som ö v n i n g i att b e s t ä m m a räknesättet. T i l l en början kan det vara l ä m p l i g t att endast ge uppgifter på två räkne- sätt, som barnen har att v ä l j a emellan.
Genom att s a m m a n f ö r a problem av skilda slag omkring ett intresse bildar man en s.k. unit. R ä k n i n g e n kommer där- igenom i n ä r m a r e kontakt med verkliga livet. N å g r a exempel på units: L e k a affär. V i ska göra en utflykt. V a d kostar j u l - granen? Lasses kaniner. Vårt äppelträd. Vad skolans arbets- ordning talar om. Vad man kan få veta i almanackan. Barnen i klassen v ä g e s och m ä t e s . V i får nya roliga böcker till klassen.
I den m å n det är m ö j l i g t bör barnen under detta r ä k n a n d e s j ä l v a skaffa sig de pris- och andra uppgifter som behövs.
E n del av detta arbete kan bli överkursuppgifter.
Prov och »luckor i kunskaperna»
Enligt studieplanen hör i a l l m ä n h e t till ett kursavsnitt prov, genom vilka barnen får visa om de inlärt det v ä s e n t l i g a av det som behandlats i avsnittet. Dessa prov bör ges på sådant sätt att barnen uppfattar dem som övningsarbete och ej som krav som läraren ställer på dem.
Utan att barnen oroas bör proven emellertid läggas s å att läraren får en klår uppfattning om vilka brister i barnens kunnande som finns. Och avsikten med dem är att sätta lära- ren i stånd att ge barnen lämplig undervisning. Man brukar säga, att proven skall vara av diagnostisk art och menar där- med att proven inte bara skall tala om huruvida barnet be- härskar kursavsnittet i fråga utan i vilka särskilda moment som event. osäkerhet förefinnes. Man behöver därvid använda
både grupprov och individualprov. J u mer detaljerad upplys- ning som provet ger om förefintliga brister dess bättre. Det gäller att u p p t ä c k a »luckor i k u n s k a p e r n a » .
E n ständigt å t e r k o m m a n d e rubrik i studieplanens B-avdel- ningar är just »luckor i k u n s k a p e r n a » . De övningar som det där är fråga om har stor betydelse i undervisningen. De mot- svarar vad som i engelskspråkig litteratur kallas »remedial teaching». Meningen är att elevernas svårigheter att tillgodo- göra sig undervisningen på grund av frånvaro vid genom- g å n g e n av ett kursmoment, l å n g s a m t arbetstempo eller andra orsaker skall under hand a v h j ä l p a s .
Av särskilt stor betydelse är diagnostiska prov vid tabell- inlärandet. Proven skall h ä r visa, om det finns några tabell- kombinationer som inte är ordentligt inlärda, ö v n i n g e n skall sedan koncentreras just på dem.
Det är klart att dessa diagnostiska prov är av stor betydelse vid b e t y g s ä t t n i n g e n , men de räcker dock ej helt till för denna.
De ger framför allt kunskap om huruvida lärjungen sitter inne med det mest n ö d v ä n d i g a vetandet, men ger ej full klar- het om hans hela kapacitet i ämnet. De för klass 2 utar- betade s.k. standardproven, som tillhandahålles av skolöver- styrelsen, är mera ägnade för en genomförd betygsgradering.
Dessas uppgift är dock framför allt att ge läraren m ö j l i g h e t att justera sin betygsskala, och läraren bör även oberoende av standardproven nå fram till en b e t y g s ä t t n i n g . F ö r denna behövs repetitionsprov som innehåller uppgifter från större områden av kursen och av mycket olika svårighetsgrader, från s å lätta att alla barnen kan klara dem till så svåra att endast n å g o n enstaka går iland med dem. V i d sådana prov är det emellertid av stor vikt att läraren talar om för barnen att de flesta av uppgifterna är s å svåra att han inte alls fordrar att alla talen skall räknas.
Räknemateriel och metodisk litteratur
V i h ä n v i s a r h ä r endast till sådana h j ä l p m e d e l som nära ansluter sig till arbetet enligt föreliggande studieplan.
Roman-Wigforss räknemateriel. Denna har s a m m a n s t ä l l t s med direkt sikte på arbetet enligt studieplanen. Materielen kan rekvireras från Magn. Bergvalls Förlag, Stockholm. Den omfattar f ö l j a n d e :
24
Winnetkakort Addition, 65 kort, 80 öre.
Subtraktion, 80 kort, 90 öre.
Multiplikation, 64 kort, 80 öre.
Talbildstavla Per st 7 öre; per 100 st kr 6:—. Varje barn i klassen bör ha en sådan tavla. Med hjälp av ett pappersblad av talbildstavlans storlek samt en smal pappersremsa kan barnen täcka över så mycket av tavlan, att antalet figurer som synas är lika med det tal, som skall framställas.
På tavlan finns 100 småfigurer ordnade i tio rader med 10 figurer i var rad.
Centimeterkuber av trä i tre färger. Påsar om 100 st kuber i samma färg kr 2:—.
Räknelappar tvåfärgade. 100 st kr 1:—.
Råknemyni 30 st I-öringar, 10 st 10-öringar, 5 st enkronor.
Pris tillsammans 70 öre.
Rutat papper för talserier och tabeller (15x15 cm). 100 st kr 1: 60.
Linjal för småskolan, 30 cm och försedd med cm- och dm-mått i två färger. 24 öre st.
Mått och vågar till dagspriser.
Prover på dc mindre artiklarna 40 öre i frimärken.
Pallins räknespel (Ehlins F ö r l a g ) . V i d memoreringen av tabellerna, kan som redan omtalats dessa spel göra god tjänst.
Läraren får med ledning av förteckningen över spelen göra ett för klassen l ä m p l i g t urval.
Rostads standardprov i mekanisk räkning. Proven kan rek- vireras från Rostads elevförbund, Kalmar.
För tabellinlärandet i första klassen rekommenderas: Addi- tion I (uppg. av typen 3 + 4) och Subtraktion I (8—5).
För andra klassen: Addition I I (uppg. av typen 7+8) samt Subtraktion I I (15 — 6 ) .
För tredje klassen: Multiplikation I (uppg. av typen: en- siffrigt tal gånger ensiffrigt).
Räknelära i anslutning till studieplanen .
För att läraren skall kunna arbeta enligt studieplanen be- höver barnen ha en räknelära som följer denna plan. Någon sådan finnes ej ä n n u helt färdig, men har börjat utkomma på Bergvalls Förlag. Av den föreligger n u :
Räknelära av Wigforss-Roman-Nordfelt. 1 a och 1 b. Häftet 1 a är avsett för h ö s t t e r m i n e n och häftet 1 b för v å r t e r m i n e n i första klassen.
Arbetsböcker i räkning av Roman-Wigforss, häft. 1—6 av- sedda för första skolåret. T i l l arbetsböckerna finnes ett sär- skilt häfte »Anvisningar». (Bergvalls Förlag)
Räknemetodisk litteratur
Wigforss: Den grundläggande matematikundervisningen. Tredje omarbetade upplagan. Bergvalls förlag, Stockholm 1950. Detta arbete ansluter sig nära till metodiken i studieplanen. Det behandlar ej blott lågstadiets kurs utan även mellanstadiets.
Lindström: De två första skolårens räkneundcrvisning. Gebers Förlag, Stoockholm. Detta arbete behandlar alltså ej hela lågstadiets kurs utan endast de två första årens.
Och i enlighet med 1919 års undervisningsplan.
Översikt av kursavsnitten i studieplanen
F ö r kursen i matematik har i timplanen anslagits 3 vecko- timmar i första, 4 i andra och 5 i tredje klass.
Av föreliggande studieplans 18 kursavsnitt har 6 beräknats för var och en av lågstadiets 3 årsklasser. De olika kursav- snitten har dock ej beräknats ta samma tid i anspråk. Särskilt tidskrävande torde avsnitten I I och V I I vara.
Lärare som undervisar i B-skolans tredje och fjärde klass h ä n v i s a s till studieplanen för mellanstadiet i vad det gäller fjärde klassens kurs.
F ö r s t a momentet i kursavsnitt I är egentligen en inledning till undervisningen. Barnens f ö r k u n s k a p e r i räkning är före- m å l för lärarens u p p m ä r k s a m h e t . Undervisningens gestalt- ning när det gäller de enskilda barnen påverkas av det resul- tat läraren kommer till vid denna u n d e r s ö k n i n g . Den indivi- dualisering av undervisningen som läraren bör genomföra be- handlas emellertid föga i kursavsnitten. Dessa redogör när- mast för en lärogång som passar barn, vilka ej förut förvärvat de kunskaper som i kursavsnitten behandlas. V i d de avvikel- ser från lärogången, som läraren anser ä n d a m å l s e n l i g a för en- skilda elever, m å s t e han dock tillse att kursavsnittens innehåll verkligen b e h ä r s k a s av dessa elever. Man kan hålla det stora flertalet elever samlade i arbetet på samma kursavsnitt — utan men vare sig för de snabbt eller l å n g s a m t arbetande — om svårighetsgraden av uppgifterna inom samma k u r s o m r å d c anpassas efter de enskilda elevernas förmåga. Om läraren fin- ner det ä n d a m å l s e n l i g t bör h a n emellertid inte tveka att upp- dela klassen i två eller tre grupper som får arbeta igenom kursavsnitten olika hastigt.
E n översikt över kursavsnitten meddelas här. Den upptar endast innehållet i kursavsnittens A-avdelningar. F ö r B-av- 26
delningarnas a l l m ä n n a innehåll har i det föregående redo- gjorts.
I . Uppfattning och beteckningar av talen 1—10. Några förberedande övningar.
I I . R ä k n e o r d e n till tjugo. Additioner inom talområdet 1—
10. Plus- och likhetstecken. Sorter: centimeter, hekto- gram, deciliter samt minuter.
I I I . R ä k n e o r d e n till fyrtio. Uppdelning av varje tal inom t a l o m r å d e t 1—10 j ä m t e träning av motsvarande addi- tionstabeller. Tecknet för noll. Sorter: vecka och dagar, tioöringar och ettöringar. Udda och j ä m n a tal.
I V . Uppfattning och beteckning av talen 1—40. Subtrak- tioner inom t a l o m r å d e t 1—10. Minustecknet. Sorter:
decimeter, liter, kilogram, timmar. Prov p å additions- tabellen inom talområdet 1—10.
V. Uppfattning och beteckning av talen 1—60. Lätta addi- tioner och subtraktioner inom t a l o m r å d e t 1—60. Prov på subtraktionstabcllen inom talområdet 1—10. Sorter:
decimeter och centimeter, liter och deciliter, kilogram och hektogram.
V I . Uppfattning och beteckning av talen 1—100. Sorter:
krona och öre, meter. Lätta additioner och subtraktio- ner inom t a l o m r å d e t 1—100.
V I I . Behandling av talområdet 1—100. Addition och sub- traktion av ental samt av tio inom talområdet. Sorter:
timmar och minuter, meter och decimeter, meter och centimeter.
V I I I . Utvidgning av t a l o m r å d e t till 200. Skriftliga additions- metoden med högst tvåsiffriga tal och ej mer ä n 6 ter- mer. Prov p å hela additionstabellen.
I X . Utvidgning av talområdet till Ö00. Sorter: sekund, dus- sin. Multiplikation med multiplikatorn h ö g s t 6, uträk- ning med additionsmetod. Klockan.
X . Sorter: år och m å n a d e r , millimeter. Skriftliga subtrak- tionsmetoden med högst tvåsiffriga tal. Prov p å hela subtraktionstabcllen.
X I . Utvidgning av talområdet 1—1000. Sort: kilometer.
I n n e h å l l s d i v i s i o n med beteckning. Uträkning med h j ä l p av multiplikationstabell och upprepad subtraktion.
X I I . Likadelning (delningsdivision) utförd med h j ä l p av å s k å d n i n g s f ö r e m å l . A n v ä n d n i n g av det vågräta strec- ket som divisionstecken.
X I I I . Utvidgning av talområdet till 2 000. Skriftlig addition med högst tresiffriga tal och i a l l m ä n h e t ej mer ä n 6 termer. Sorter: mm, cm, dm och m. Tidsbeteckningar.
X I V . Utvidgning av talområdet till 9000. Sort: gram. Multi- plikation med multiplikatorn högst 10.
X V . Skriftlig subtraktion med högst tresiffriga tal. Sorter:
hektogram och gram, kilogram och gram.
X V I . Utvidgning av talområdet till 10 000. I n n e h å l l s d i v i s i o n , även med rest. Dividenden h ö g s t tresiffrigt tal, kvoten h ö g s t 10. U t r ä k n i n g med h j ä l p av multiplikationstabel- len och upprepad subtraktion. Sorter: mil.
X V I I . T a l o m r å d e t 1—10000. Sort: mil. Likadelning i 2—10 delar. Uträkning med h j ä l p av multiplikationstabellen.
X V I I I . Individuellt arbete i anslutning till diagnostiska prov.
Avslutande av överkursuppgifter. Standardiserade prov för betygssättningen.
Kursavsnitt
I . Uppfattning och beteckning av talen 1—10 Några förberedande övningar
1. Allmän orientering samt undersökning av barnens förkun- skaper i räkning
Vid början av första skolåret m å s t e n å g o n tid ä g n a s åt att göra u n d e r s ö k n i n g a r om varje barns förutsättningar för skol- arbetet. Läraren behöver få veta så mycket som möjligt om barnens h ä l s a , begåvning och redan i n h ä m t a d e kunskaper och färdigheter, men o c k s å om deras h e m f ö r h å l l a n d e n , övervak- ning, skolvägar, förmåga att klara sig i trafiken på vägar och gator och att passa tider.
Uppgifter om dessa ting samlas inte in under förhör med barnen utan under samtal och prov i form av lekar, där ingen behöver bli b r ä n n m ä r k t för vad som m ö j l i g e n brister. Viktigt för den rätta i n s t ä l l n i n g e n till skolan är att barnen på samma gång som de får tillfälle att visa vad de redan kan o c k s å får lära n å g o t nytt.
Arbetet med dessa ting ligger givetvis inom orienterings- ä m n e n a s ram, men i fråga om s a k i n n e h å l l e t bör r ä k n i n g re- dan från början föras samman med de andra s k o l ä m n e n a . Att 28
handskas med pengar, m ä t a och v ä g a är exempel på övningar som med fördel kan sättas in i större sammanhang. L ä s n i n g och räkning kan övas samtidigt. Hela den för räkneundervis- ningen nödvändiga vokabulären kan a n v ä n d a s som ö v n i n g s - material vid talövningar osv.
Nybörjarnas f ö r k u n s k a p e r i räkning samt deras förmåga att arbeta med matematiska uppgifter bör u n d e r s ö k a s grund- ligt, så alt läraren från början kan lägga sin undervisning efter klassens och de enskilda barnens behov. Sådan under- s ö k n i n g kan ske redan vid s k o l m o g n a d s p r ö v n i n g e n .
2. Uppfattning av talen 1—10
Barnen får r ä k n a föremål i klassrummet. Även andra sin- nen ä n synen tages i anspråk. Barnen får t.ex. r ä k n a hur m å n g a slag en klocka slår, hur m å n g a gånger läraren klappar i h ä n d e r n a eller anslår toner på orgeln, hur m å n g a steg varje barn behöver ta för att komma från sin plats i skolrummet till lärarbordet, hur m å n g a ord det är i en mening etc. Be- grepp som »lika m å n g a , flera, inte s å m å n g a » klargöres.
Att kunna r ä k n a till hundra sättes upp som ett m å l att sträva efter. F ö r s t a etappen på v ä g e n är 10. Talserien 1—10 i n ö v a s av alla, för övrigt får barnen räkna så långt de kan.
3. Skrivning av talen 1—10 med siffror
Siffrornas betydelse inläres i anslutning till talbilder. Att talet tio tecknas 10 inläres utan att n å g o n förklaring av nol- lan ges. L ä s n i n g och skrivning av siffror övas.
i. Köp och betalning med pengar
Barnen får leka »affär» (handelsbod), köpa t.ex. skrivböc- ker och pennor, en sak åt g å n g e n , samt betala med ettöringar eller (helst runda) papperslappar, som får föreställa ett- öringar.
Sträng ordning råder under leken, och vikt lägges lika myc- ket vid barnens fostran till hövlighet, ordentlighet och nog- grannhet som vid själva r ä k n e ö v n i n g e n .
5. Inlärande av ordningstalen 1—10
Nummerlekar av olika slag anordnas. E x . Tummeliten och hans bröder (Snövit och dvärgarna, tio tomtebobarn) kommer ut ur skogen och säger: Här kommer den första, här kommer
