Technická univerzita v Liberci
FAKULTA PEDAGOGICKÁ
Katedra: matematiky a didaktiky matematiky Studijní program: 2. stupe
Kombinace: matematika–anglický jazyk
EGYPTSKÉ ZLOMKY EGYPTIAN FRACTIONS
Diplomová práce: 07-FP-KMD-004
Autor: Podpis:
Šimon CHLÁDEK Adresa:
Proletá ská 147 46312, Liberec 23
Vedoucí práce: RNDr. Daniela Bittnerová, CSc.
.
Po et
stran slov obrázk tabulek pramen p íloh
67 9 205 13 3 27 0
V Liberci dne: 1. 5. 2007
Prohlášení
Byl jsem seznámen s tím, že na mou diplomovou práci se pln vztahuje zákon . 121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.
Beru na v domí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé diplomové práce pro vnit ní pot ebu TUL.
Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si v dom povinnosti informovat o této skute nosti TUL; v tomto p ípad má TUL právo ode mne požadovat úhradu náklad , které vynaložila na vytvo ení díla, až do jejich skute né výše.
Diplomovou práci jsem vypracoval samostatn s použitím uvedené literatury a na základ konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.
V Liberci dne: 3. 1. 2007 Šimon Chládek
Pod kování:
Rád bych pod koval vedoucí práce RNDr. Daniele Bittnerové, CSc. za rady a p ipomínky, které pomohly k dokon ení této práce. D kuji všem, kte í m p i psaní této práce podporovali a bez nichž bych svoji práci nedokon il.
EGYPTSKÉ ZLOMKY
Šimon CHLÁDEK DP–2007 Vedoucí DP: RNDr. Daniela Bittnerová, CSc.
Resumé
Diplomová práce se zabývá metodami rozklad na egyptské zlomky. V první ásti práce je stru n popsán úsek historické egyptské matematiky. Další ást práce obsahuje tabulku rozklad a úvahu, jak mohli Egyp ané tuto tabulku sestavit. V poslední ásti práce jsou popsány dnešní metody rozklad na egyptské zlomky, které jsou stru n porovnány. Na záv r je uvedeno i n kolik zp sob , jak využít egyptské zlomky p i vyu ování.
Zusammenfassung
Diese Diplomarbeit befasst sich mit den Methoden des Zerfalls an ägyptische Bruchzahlen. In den ersten Teil der Arbeit wird kurz die Etappe der historische ägyptische Mathematik beschrieben. Der nächste Teil der Arbeit enthält die Zerfalltabelle und eine Betrachtung über die Zusammensetzung dieser Tabelle von den Ägyptern. In den letzten Teil der Arbeit sind gegenwärtige Methoden des Zerfalls an ägyptische Bruchzahlen beschrieben, die kurz vergleicht werden. Abschließend werden einige Methoden genannt, wie man ägyptische Bruchzahlen während des Unterrichts nutzen kann.
Summary
The thesis deals with methods of decompositions to Egyptian Fractions. In the first section a part of Egyptian Historical mathematics is described. The next section contains the table of decompositions and speculations on how could the Egyptians construct this table. In the last section of the thesis todays methods of decompositions to Egyptian Fractions are described and are also briefly compared. The closing part contains some ideas on how to use Egyptian Fractions in the class.
1. ÚVOD ...8
2. PRAMENY...9
2.1RHIND V PAPYRUS...9
2.2MOSKEVSKÝ PAPYRUS...10
2.3KÁHÚNSKÉ PAPYRY...11
2.4D EV NÉ TABULKY...11
2.5KOŽENÝ SVITEK...12
2.6BERLÍNSKÝ PAPYRUS...13
3. STAROEGYPTSKÁ MATEMATIKA ...14
3.1.ARITMETIKA...14
3.1.1. íselná soustava starých Egyp an ...14
3.1.2. S ítání a od ítání...18
3.1.3. Násobení a d lení ...18
3.1.4. Zlomky a smíšená ísla ...19
3.1.5. Jednotky ...20
3.2.POSLOUPNOSTI...20
3.2.1. Aritmetická posloupnost...20
3.2.2. Geometrická posloupnost...21
3.3.ALGEBRA...21
3.3.1. Úlohy vedoucí na lineární rovnice...21
3.3.2. Úlohy vedoucí na jednoduché kvadratické rovnice...22
3.4.GEOMETRIE...22
3.4.1. Obdélník, ty úhelník...23
3.4.2. Trojúhelník...23
3.4.3. Lichob žník ...24
3.4.4. Kruh...24
3.4.5. Krychle a kvádr ...25
3.4.6. Válec...25
3.4.7. Jehlan...25
3.4.8. Komolý jehlan ...26
3.4.9. Povrch válce nebo koule ...26
3.5.GEOMETRIE VPRAXI...26
3.5.1 Zem m ictví, vyty ování staveb ...26
3.5.2. Zobrazování ...27
3.6.OSTATNÍ ÚLOHY...27
3.6.1. Úlohy o chlebu a pivu ...27
3.6.2 Úlohy praktické ...28
3.7. AS...29
3.7.1 Kalendá ...29
3.8. ÍSELNÁ MYSTIKA...31
4. EGYPTSKÉ ZLOMKY (KMENNÉ ZLOMKY)...32
4.1.RHIND V PAPYRUS A EGYPTSKÉ ZLOMKY...33
4.1.1 Použití tabulky rozklad ...35
4.1.2 Vytvo ení tabulky rozklad ...36
4.1.3 Výjimky ...42
4.2.SHRNUTÍ...45
5. SOU ASNÉ METODY VYJÁD ENÍ RACIONÁLNÍHO ÍSLA POMOCÍ EGYPTSKÝCH ZLOMK ...46
5.1ALGORITMY...46
5.1.1 Št pící algoritmus...46
5.1.2 Fibonacci / Sylvester v algoritmus...48
5.1.3 Golomb v algoritmus ...50
5.1.4 Binární algoritmus...52
5.1.5 Bleicher/Erdös v algoritmus...54
5.1.6 Tenebaum/Yokot v algoritmus ...56
5.1.7 Faktoriálový algoritmus...59
5.2POROVNÁNÍ ALGORITM ...60
6. VYUŽITÍ EGYPTSKÝCH ZLOMK VE VYU OVÁNÍ...61
7. ZÁV R ...63
POUŽITÁ LITERATURA...64
1. Úvod
Dochované prameny ze starého Egypta mohou hodn vypov d t o starých Egyp anech samých. Jist vypovídají i o jejich matematických znalostech. Rhind v papyrus, nejstarší matematický dokument, íká, že užívali nap íklad stejnou íselnou soustavu. Jeden významný rozdíl tu ovšem je, a to rozdíl ve vnímání a užívání zlomk .
Egyp ané um li zaznamenávat ísla až do jednoho milionu, ovšem jejich metoda zápisu zlomk byla velmi limitovaná. Pro zápis zlomku 1
5 použili Egyp ané symbol pro íslo 5 a nad n j p ipsali další symbol pro zlomek. Obecn psali takto všechny zlomky s jedni kou v itateli. Sta í Egyp ané ale neznali jiný zp sob, jak zapsat zlomky, než tento, s výjimkou speciálních p ípad , jako nap íklad 2
3. Tímto nechceme íci, že nap . íslo 5 6 v Egypt neexistovalo. Egyp ané jednoduše 5
6 neum li zapsat jako jeden symbol. Místo toho psali 1 1
2 3. Díky tomu se dnes sou tu kmenných zlomk (tj. zlomk s jedni kou v itateli) íká egyptské zlomky. Dnes studium vlastností egyptských zlomk spadá do teorie ísel a stále poskytuje množství podn tných a nevy ešených otázek.
Tato práce podává stru ný p ehled matematických dovedností a znalostí starých Egyp an , dále se zabývá vznikem a užitím tabulky rozklad 2
n z Rhindova papyru a následnou problematikou egyptských zlomk . Na záv r se nalézá n kolik algoritm pro rozklad racionálního ísla na egyptské zlomky, jejich stru né porovnání a návrh, jak využít egyptské zlomky ve výuce.
2. Prameny
Uvedeme p ehled nejd ležit jších matematických text . V úvahu budou brány pouze texty, které jsou starší než matematika antická. Existence samotných matematických text nasv d uje tomu, že již v dob 12. dynastie (asi 1994 – 1797 p . Kr.) byla ve starém Egypt matematika konstituována jako samostatná disciplína.
2.1 Rhind v papyrus
Též nazývaný jako Ahmos v nebo Londýnský papyrus. Byl nalezen spolu s dalšími texty v egyptských Thébách v polovin 19. století. Roku 1858 ho koupil v Luxoru právník a egyptolog Alexander Henry Hind, skotský znalec starožitností. Dnes je papyrus uložen v britském muzeu v Londýn . Tento papyrus byl p i výrob slepen ze trnácti list . Rhind v papyrus opsal v 33.
roce vlády krále Apopiho (kolem roku 1560 p . Kr.) písa Ahmose z materiálu pocházejícího z doby vlády Amenemheta III. (asi 1853 – 1809 p . Kr.). Jde o sbírku 87 úloh (budeme se na n odvolávat jako na R1 – R87) s návody a ešeními, navíc obsahuje tak zvanou tabulku 2/n; je to nejrozsáhlejší a nejvýznamn jší matematický text ze starého Egypta.
Obr. 2
2.2 Moskevský papyrus
Též Goleniš ev v papyrus. Tento papyrus získal roku 1893 egyptolog V. S. Goleniš ev a v noval ho Puškinov muzeu krásných um ní v Moskv . Text je opisem staršího textu z XII. dynastie, opsán byl patrn v dob XIII.
dynastie (asi 1797 – 1634 p . Kr.). Papyrus byl slepen z jedenácti list a obsahuje 25 p íklad (budeme je ozna ovat M1 – M25). P íklady nejsou tematicky uspo ádány; šlo snad o jakousi u ební pom cku i test znalostí. Je to druhý nejvýznamn jší matematický text pocházející ze starov kého Egypta.
Obr. 2
2.3 Káhúnské papyry
Káhúnské matematické papyry nalezl roku 1889 W. M. F. Petrie v Káhúnu. Jde o p t zlomk , dva nejv tší pocházejí z doby XII. dynastie, obsahují ást tzv. tabulky 2/n, hieratické zápisy velkých ísel a n kolik matematických úloh (K1 – K6).
2.4 D ev né tabulky
Dv d ev né tabulky pokryté štukem byly nalezeny patrn v Achmímu, dnes jsou uloženy v Káhirském egyptologickém muzeu. Pocházejí z doby XII.
dynastie a obsahují n jaké seznamy osob, jakýsi dopis a výpo ty díl objemové jednotky hekat (m ice); výsledky jsou uvedeny v menších jednotkách.
2.5 Kožený svitek
Kožený svitek byl nalezen údajn spolu s Hindovým papyrem, dnes je uložen v Britském muzeu. Pochází z doby XV. dynastie (asi 1634 – 1526 p . Kr.) Obsahuje tabulku 26 sou t kmenných zlomk ve ty ech sloupcích. Je zna n poškozen.
Obr. 3
2.6 Berlínský papyrus
Berlínský papyrus byl nalezen patrn v Thébách zhruba sou asn s Rhindovým papyrem. Dnes je uložen v Berlínském muzeu. Pochází nejspíše z doby XII. dynastie. Skládá se ze dvou v tších kus a n kolika zlomk . Obsahuje ešené úlohy (B1 – B4), patrn jde o ást jakési sbírky p íklad .
O matematických znalostech starých Egyp an sv d í i texty, které nejsou p ímo matematické. P íkladem jsou ty i svitky z doby Senusreta I. (asi 1971 – 1926, XII. dynastie), na kterých jsou zachyceny praktické ukázky aplikace matematiky (konstrukce lodí, obchod, apod.). Dále t eba papyrus ozna ovaný jako Anastasi I. Jde o dopis ú edníka Horiho písa i Amenemopovi, kterému Hori zadává t i úkoly. Další sv dectví o matematických znalostech starých Egyp an podávají mnohé projevy egyptské civilizace. Jsou to nap . stavby kanál , p ehrad, vodních nádrží, projektování pyramid, chrám a dalších staveb, rozpisy prací a p ísun materiálu, výb r daní a ú tování faraónových chrámových statk . Podle historických zpráv se pravideln
v celém stát již od prvních dynastií s ítali lidé, pozemky, dobytek i zlato.
3. Staroegyptská matematika
V této kapitole se stru n zmíníme o matematických dovednostech starých Egyp an . Budeme se v novat staroegyptským znalostem aritmetiky (mimo zlomk , jimž bude v nována samostatná kapitola), znalostem posloupností, algebry, geometrie teoreticky i v praxi, asu, íselné mystice a ostatním úlohám spojeným s každodenním životem ve starov kém Egypt .
3.1. Aritmetika
3.1.1. íselná soustava starých Egyp an
Se znaky p edstavujícími p irozená ísla se ve starém Egypt setkáváme již v Archaické dob (asi 3150 – 2930 p . Kr.). Již ve Staré íši byla b žn zaznamenávána pom rn velká ísla. Uvedeme dva p íklady.
Král Chasechem (II. dynastie) zanechal zprávu o potla ení velkého povstání v Dolním Egypt , p i n mž prý bylo zabito 48 205 vzbou enc a zajato 120 000 tisíc obyvatel.
Na reliéfech v Sahureov zádušním chrámu (V. dynastie) je zobrazen Sahure ve vít zných bitvách. Na jednom je vý et vále né ko isti získané v Lybii, a to 123 440 kus dobytka, 223 400 osl , 232 413 kus lovné zv e, 243 688 ovcí, celkem 822 941 kus .
Sta í Egyp ané užívali desítkové íselné soustavy, p i emž existovaly zvláštní íselné znaky po ínaje jedni kou v etn pro mocniny 10 do 106. Byly to tyto znaky:
1 … obraz m icí hole
Obr. 4 10 … hieroglyf znamenající kraví pouta
Obr. 5
100 … m ický provazec užívaný k m ení polí a d lící se na 100 lokt
Obr. 6
1000 … kv t lotosu
Obr. 7
10 000 … ukazovák
Obr. 8
100 000 … pulec
Obr. 9
1 000 000 … b h Hh, jeden z osmi praboh , který nesl oblohu pod zemí
Obr. 10
N které prameny uvád jí i samostatný symbol pro 10 000 000, a to podle r zných odhad jako slunce, obzor nebo prsten.
P irozená ísla byla zaznamenávána prostým nahromad ním pot ebných znak . Nap . ísla 2 465 a 2 126 013 by byla zapsána takto:
Obr. 11 a
Obr. 12
V dalším rozvoji egyptské kultury se hieroglyfické písmo – které vznikalo ve starší dob z obrázk – m nilo na hieratické (rychlopisnými zkratkami hieroglyf ) a pak na démotické (abecední). Obdobn se m nily i symboly
íslovek. Pro ukázku p edkládáme pár íslovek v hieratické podob .
Obr. 13
3.1.2. S ítání a od ítání
S ítání dvou nebo více p irozených ísel zapsaných v desítkové soustav ned lalo problémy. Posta ovalo jen „shrnout“ znaky obou ísel dohromady a p ípadn deset jednotek daného ádu nahradit jednou jednotkou ádu vyššího. P i od ítání se postupovalo obdobn , n kdy bylo t eba nahradit jednotku vyššího ádu deseti jednotkami ádu nižšího. Od ítalo se vždy menší íslo od v tšího. S ítání i od ítání se nazna ovaly hieroglyfy, které p vodn ozna ovaly „ch zi“ jedním nebo druhým sm rem.
3.1.3. Násobení a d lení
P i násobení se podle n kterých pramen Egyp ané opírali o tradici, kdy jejich p edkové ješt užívali dvojkové soustavy, podle jiných je jejich metoda postavena na dobrém pochopení p ímé úm rnosti. Egyp ané každopádn p evád li násobení na zdvojnásobování a s ítání, p i emž si sestavili tabulku. Uve me si p íklad: 15 13
/1 15
2 30
/4 60
/8 120
Dohromady 195
Každý následující ádek této tabulky byl dvojnásobkem p edcházejícího (se tením ísel samých se sebou). Poslední íslo v levém sloupci nesm lo p evyšovat násobitel (13). Pak vyhledávali v levém sloupci ísla, jejichž sou et byl 13, a ozna ili je šikmou arou. P itom postupovali od posledního ísla nahoru. P i násobení v tším íslem Egyp ané krom zdvojnásobování
používali rovn ž zdesateronásobení, n kdy využili i p tinásobku. Záleželo pravd podobn na obratnosti písa e.
Podle stejného vzorce se rovn ž d lilo. Tedy zdvojnásobovalo se tak dlouho, dokud ozna ená ísla v pravém sloupci nedala požadovaný sou et.
Nap . v p íkladu R69 je zachyceno d lení ísla 1 120 íslem 80.
1 80
/10 800
2 160
/ 4 320
Dohromady 1 120
Tedy íslo 1 120 je sou tem desetinásobku a ty násobku ísla 80, proto z uvedeného schématu dostáváme výsledek: 1 120:80 = 14.
Se zápisem d lení p irozených ísel, které je „beze zbytku“, se setkáváme v egyptských textech z ídka, asto je však zachyceno d lení se zbytkem, d lení smíšenými ísly, sou ty zlomk apod. Násobení i d lení je založeno na stejném principu. Je vid t, že násobení a d lení jsou inverzní operace. Komutativnost násobení není p i tomto po etním algoritmu zjevná.
3.1.4. Zlomky a smíšená ísla
O tomto tématu bude pojednáno dále a podrobn ji v samostatné kapitole.
3.1.5. Jednotky
P vodní egyptskou délkovou mírou byl tzv. krátký loket, který m il asi 45 cm; m l 6 dlaní o 4 prstech, tj. celkem 24 prst . Pozd ji byla k tomuto lokti p idána tzv. „královská“ dla , a tak vznikl královský loket, mehnisut nebo jen meh. Královský loket byl ur en pro m ení související se stanovováním naturálních dávek panovníkovi a v královských loktech byly vym ovány nejr zn jší stavby. Nap íklad p i stavbách pyramid byla v tšinou délka základní hrany násobkem deseti královských lokt . V Egypt byla jako jednotka délky používána i míra chet, která m la sto lokt .
Základní plošnou mírou byla jednotka secat-johet (krátce secat), která byla rovna 10 000 tvere ních královských lokt . Jednotka secat-johet se skládala ze sta jednotek meh-ta (tzv. loket zem ).
Základem dutých m r byla jednotka hekat (n kdy do eštiny p ekládána jako m ice), která m la asi 4,8 litru. Jednotka hekat se rovn ž d lila na 10 hin a jeden hin na 32 ro. Užívána byla i jednotka char (n kdy p ekládána jako pytel), která obsahovala 20 jednotek hekat.
Hodnota zboží byla udávána vahou st íbra. Jednotka se nazývala jeden šena, který m l asi 91 gram a d lil se na 12 kit.
3.2. Posloupnosti
3.2.1. Aritmetická posloupnost
V Rhindov papyru jsou dv úlohy, v nichž se pracuje s aritmetickou posloupností o p ti, resp. o deseti lenech, v Káhúnských zlomcích lze nalézt aritmetickou posloupnost o deseti lenech.
Uve me si jeden p íklad. V úloze R64 je t eba rozd lit 10 m ic je mene mezi 10 muž tak, aby získaná množství tvo ila aritmetickou
posloupnost s diferencí 1
8. Tato úloha je nadepsána Metoda po ítání s rozdílem peru a samotném textu je uvedeno, že rozdíl peru každého muže v i druhovi je
1
8 me ice.
3.2.2. Geometrická posloupnost
Úloha R79 je ukázkou úloh, ve kterých nacházíme p ti lenou geometrickou posloupnost a její sou et. Je klasickou úlohou rekrea ní matematiky. Její zadání zní: Je sedm dom a v každém dom je sedm ko ek, každá ko ka chytne sedm myší, každá myš sežere sedm klas pšenice, každý klas pšenice je rozd len do sedmi m ic. Kolik je všeho dohromady?
Poznamenejme že podobné úlohy nacházíme i dále v historii. Nap . u Leoparda Pisánského (Fibonacci) najdeme formulaci: Sedm sta en mí í do íma, každá má sedm mul , na každém je sedm pytl , v každém pytli sedm chleb , u každého chleba sedm nož a každý n ž je v sedmi pochvách. Kolik je všeho dohromady?
3.3. Algebra
V egyptských matematických textech nalézáme úlohy, jenž je možno ešit lineárními rovnicemi. Jsou to p íklady na vypo tení neznámého množství, které je zadáno n jakou podmínkou. Úlohy tohoto typu jsou v tšinou formulovány abstraktn , tj. postrádají jakýkoliv praktický kontext.
3.3.1. Úlohy vedoucí na lineární rovnice
Úlohy, které vedou na lineární rovnice, nalézáme zejména v Rhindov a Moskevském papyru. Uve me si jeden z p íklad (R30): Když ti písa
ekne, výsledek 10 je 2 1
3 10, z eho, a slyší, po ítej s 2 1
3 10, až najdeš 10.
Tento p íklad lze v naší symbolice zapsat následující rovnicí:
2 1 10
3 10 x 13 1 x 23
3.3.2. Úlohy vedoucí na jednoduché kvadratické rovnice
Na Berlínském papyru je úloha, která obsahuje neznámou ve druhé mocnin . Na Káhúnském zlomku se zachovala nep íliš srozumitelná úloha K5, ve které se neznámá rovn ž objevuje ve druhé mocnin .
K5: (v naší symbolice)
10 1 1 120
x 2 4 x
Oba p íklady, v nichž se odmoc uje, vedou na kvadratické rovnice, jež neobsahují lineární len. V dochovaných egyptských matematických textech se nesetkáváme s žádnou úlohou, vedoucí na úplnou kvadratickou rovnici.
3.4. Geometrie
V dochovaných egyptských matematických textech nacházíme úlohy následujících typ :
- úlohy na výpo et obsahu obdélníka, trojúhelníka, lichob žníka a kruhu - úlohy, ve kterých jsou z daného obsahu trojúhelníka, resp. obdélníka, a
z daného pom ru jejich rozm r tyto rozm ry vypo teny - úlohy na výpo et objem kvádru, válce a komolého jehlanu
- úlohy, ve kterých je z daného objemu a známé podstavy kvádru po ítána jeho výška
- úlohy na výpo et velikosti úhlu, který svírá základna a st na jehlanu
- úlohy, ve kterých je ze znalosti tohoto úhlu a velikosti základny po ítána výška jehlanu
- úloha, ve které je patrn po ítán povrch poloviny plášt válce
V dalším textu budou stru n popsána jednotlivá geometrická témata, jež se v egyptských matematických textech vyskytují.
3.4.1. Obdélník, ty úhelník
Obsah obdélníka po ítali Egyp ané jako sou in délek jeho stran. Je pravd podobné, že obdobným zp sobem po ítali i obsah obecného
ty úhelníka, který se od obdélníka „p íliš nelišil“.
Po ítali tak, že vynásobili aritmetické pr m ry protilehlých stran.
Tzn.
2 2
a c b d
S .
Na st nách Horova chrámu v Edfu z 2. stol. p . Kr. jsou takto po ítány obsahy v tšího po tu ty úhelník .
3.4.2. Trojúhelník
Výpo ty obsahu trojúhelníka, se kterými se setkáváme v egyptských textech, odpovídají našemu vzorci, podle n hož je polovina základny trojúhelníka násobena jeho výškou. Nem žeme si však být zcela jisti, zda údaj, který v egyptských textech chápeme jako výšku, není ve skute nosti délkou jedné ze stran trojúhelníka. K dispozici je velmi málo p íklad .
Pro ilustraci uve me jeden p íklad z Rhindova papyru R51, nadepsaný jako Metoda výpo tu trojúhelníkové plochy. Je zadán trojúhelník, jehož základna má délku 400 a výška 1000 lokt a slovní popis ešení:
Vypo ti 1
2 ze 4, je to 2, pro udání jeho obdélníka. Po ítej s 10 dvakrát a to je obsah jeho plochy (rozm ry trojúhelníka jsou zadány v jednotkách chet).
Dále jsou to p íklady M4 a M17.
3.4.3. Lichob žník
Obsah lichob žníka po ítali Egyp ané podobným zp sobem jako obsah trojúhelníka.
3.4.4. Kruh
Egyptský výpo et obsahu S kruhu o pr m ru d odpovídá v naší symbolice vzorci:
2 2
1 8 64 2
9 9 81
S d d d d
Srovnáme-li sou asný vzorec pro výpo et obsahu kruhu o pr m ru d se vzorcem odpovídajícím egyptskému výpo tu, dojdeme k rovnosti
2 2
1 64
4 d 81d
a získáme tak „egyptskou hodnotu“ ísla 1605 , 81 3
256 .
Egyp ané tedy úsp šn nahradili obsah kruhu obsahem tverce; jeho stranu nebylo t žké získat, sta ilo odebrat od pr m ru kruhu jeho devítinu.
3.4.5. Krychle a kvádr
V n kolika p íkladech, které v dochovaných egyptských textech nacházíme, je po ítán objem tverhranných obilnic tvaru krychle. Lze však p edpokládat, že podle t chto p íklad byl egyptský po tá schopen spo ítat objem kvádru. Objem kvádru je nap . po ítán v p íkladu R44 nadepsaném Metoda výpo tu tverhranné obilnice.
3.4.6. Válec
Objem válce je po ítán standardním zp sobem, obsah základny (kruh) je vynásoben výškou. Objem válce je po ítán v p íkladu R41, který se jmenuje Metoda výpo tu kruhové obilnice.
3.4.7. Jehlan
V n kolika p íkladech Rhindova papyru se pracuje se sklonem rovin.
Bu je t eba vypo ítat sklon st ny pyramidy, nebo je t eba naopak ze zadaného sklonu a velikosti základny pyramidy vypo ítat její výšku. Poznamenejme, že se tyto p íklady týkají nikoliv abstraktních jehlan , ale vždy p ímo pyramid, jak je z ejmé z p ipojených obrázk . Podstavnou hranu pyramidy nazývali Egyp ané wecha-cebet a výšku per-em-wes; hledaný sklon byl ozna ován jako seked. Jako p íklad m že sloužit problém z Rhindova papyru R56 nadepsaný Metoda po ítání pyramidy. Je zde úkolem vypo ítat sklon st ny pyramidy, která má tvercovou základnu o stran 360 a výšku 250 lokt . Bylo by také jist zajímavé v d t, jak Egyp ané pyramidy projektovali.
3.4.8. Komolý jehlan
V egyptských textech se nezachoval žádný p íklad na výpo et objemu jehlanu (pyramidy), v Moskevském papyru je ale zajímavý p íklad na výpo et objemu komolého jehlanu. Je to p íklad M14 pojmenovaný Metoda výpo tu komolé pyramidy.
3.4.9. Povrch válce nebo koule
Velmi zajímavou úlohou je p íklad M10, ale jeho interpretace je velmi obtížná. Zdá se jisté, že jde o výpo et obsahu n jaké plochy, není však jisté, o jaký objekt se jedná. Útvar po ítaný je ozna en jako koš nebo košík. Jeví se ale málo pravd podobné, že by Egyp ané po ítali povrch koule i kupolovitého útvaru. Praktické využití t chto výpo t je problematické a teoretické odvození p esného návodu pro výpo et povrchu koule a povrchu kupole se dá t žko p edpokládat.
3.5. Geometrie v praxi
3.5.1 Zem m ictví, vyty ování staveb
Každoro ní záplavy vedly k výrazným zm nám v pom rn velkém pruhu zem d lské p dy kolem Nilu; pozemky proto bylo nutno na tomto území vždy znovu vym it. Další rozsáhlá území se Egyp ané nau ili zavlažovat a zúrod ovat, proto projektovali zavlažovací kanály, zjiš ovali výšku terénu apod. Vym ování zem d lských pozemk a po ítání jejich vým r bylo nutné i z dalších d vod . Výše pozemkových daní totiž závisela na velikosti polí, da byla odvád na v naturáliích. Rovn ž bylo t eba vypo ítat množství zrna pot ebné k osetí pole známé vým ry. Egyp ané se proto museli dob e nau it po ítat vým ry ploch, vym ovat, m it objemy v tšího i menšího množství zrna, p evád t m rné jednotky atd.
Základními pom ckami byly m ický prut, m ický provazec a h lka, kterou zem m i i kreslili p ímo do písku. M ické provazy byly pomocí uzl rozd leny na stejné úseky. P i stavbách bylo zapot ebí vyty ovat vodorovné roviny, konstruovat pravé úhly, stanovit svislice, na rtnout p dorysy staveb ve skute ných rozm rech atd. Vynikající schopnosti egyptských zem m i se projevily p i stavbách pyramid a chrám . P esnost orientace je fascinující a odchylky jsou v tšinou nepatrné.
3.5.2. Zobrazování
Krom p dorys rýsovali sta í Egyp ané v ad situací i nárysy a bokorysy.
Nap . v Edfu se dochoval nákres ezu ímsy pylonu. Pro rozkreslování rys , zv tšování a zmenšování v daném m ítku byla v Egypt užívána tvercová sí . P dorysy, nárysy a bokorysy byly asto ve tvercových sítích rozpracovávány.
3.6. Ostatní úlohy
V této ásti se budeme zabývat p íklady, které eší praktické problémy a nespadají p ímo do aritmetiky, algebry i geometrie, i když poznatky z t chto disciplín využívají. Spadají sem zejména úlohy o chlebu a pivu a n kolik dalších úloh.
3.6.1. Úlohy o chlebu a pivu
Pom rn zajímavým souborem egyptských po etních problém jsou úlohy, které se zabývají r znými p epo ty chleb a piva. Pivo bylo v Egypt d ležitým artiklem, chlebem a pivem byli placeni ú edníci i vojáci, plné a zape et né pivní džbánky se mohly sm ovat za jiné výrobky. Pivo bylo
vyváženo, bylo sou ástí ob tních dar , využívalo se v léka ství atd.
V p íkladech o chlebu a pivu se objevuje výraz pesu, který vyjad uje kvalitu chleba, resp. piva. Numericky je hodnota pesu dána jako po et bochník chleba, resp. džbán piva, které je možno vyrobit z jedné m ice zrna. ím v tší tedy pesu, tím mén kvalitní je bochník chleba a tím slabší je pivo.
Na ukázku uve me dva p íklady, a to M5 a M8, v nichž je t eba vypo ítat po et džbán piva o pesu 4, které odpovídají 100 chleb m o pesu 20.
Dodate ným údajem je zde „ 4 1 2
1 sladu pro datle“. ešení: Z jedné m ice
obilí se podle zadání upe e dvacet chleb ; sto chleb se tedy upe e ze z p ti m ic.
Z postupu ešení se dá zjistit, že uvedený údaj „ 4 1 2
1 sladu pro datle“
odpovídá koeficientu 2
1, který je t eba použít. Vypo tených p t m ic se tedy
vynásobí jednou polovinou a ty mi; vychází 10 džbán piva.
3.6.2 Úlohy praktické
Dále se zmíníme o n kolika dalších zajímavých úlohách. P íklad M21, pojmenován Metoda výpo tu míšení chleba, pat í k problematice sm šovacího po tu. P íklad M23, jenž je jednoduchou slovní úlohou, je nadepsán Metoda po ítání prací výrobce sandál : … když eže, je to 10 za den; když dokon uje, je to 5 za den. Když eže i dokon uje, kolik ud lá za den? Se ti dobu t ch 10 s t mi 5, vyjde celkem 3. Po ítej s tím, až najdeš 10, vyjde
3
3 -krát. 1
Hle, 3
3 je to pro jeden den. Nalezl jsi správn 1 3
3 . V p íkladech 1 R54 a R55
je t eba odd lit obsah 7 secat z 10 polí, resp. 3 secat z 5 polí. V p íkladu R63 je t eba 700 chleb rozd lit ty em muž m v pom ru
4 :1 3 :1 2 :1 3
2 . V p íkladu
R66 je t eba vypo ítat denní p íd l z 10 m ic tuku ur ených pro celý rok.
P íklad R67 se týká s ítání dobytka. V p íkladu R68 se d lí 100 m ic obilí mezi ty i mužstva o 12, 8, 6, a 4 osobách. P íklady R82 až R84 jsou v novány výpo t m množství krmiva pro domácí zví ata.
3.7. as
Matematické a astronomické znalosti prvních civilizací byly využívány v chronologii, nauce o m ení asu. Nejprve byla budována na poznatcích získaných sledováním pohyb nebeských t les na obloze, pozd ji byl její teoretický základ postaven na znalostech skute ných pohyb Zem a M síce.
Hlavním úkolem chronologie bylo propojit délky dne, m síce a roku v jeden jednotný a jednoduše konstruovaný celek, kterému se íká kalendá . Dalšími úkoly chronologie bylo rozpracování r zných metod m ení asu, zavád ní jednotek pro m ení apod.
3.7.1 Kalendá
Nejvýrazn jší asovou jednotkou byl odpradávna den. V pásu ekliptiky vymezili Egyp ané 36 souhv zdí, tzv. dekan . Tato souhv zdí, jak se ráno p ed východem slunce objevovala nad obzorem, vymezovala rok. Každých 10 dn bylo ve znamení n jaké hv zdy nebo souhv zdí. Každý dekanus kulminoval 10 dn . V tší po ty dn se stávaly základem delších, r znými zp soby vytvá ených asových odobí.
St ídání fází M síce, které je rovn ž výrazným a velmi snadno pozorovatelným jevem, se stalo základem nejstarších kalendá , tzv. m sí ních nebo lunárních. Protože se fáze m síce opakují p ibližn v intervalu 29,5 dne, byla v nejstarších kalendá ích délka m síce st ídav 29 a 30 dn .
Periodicita p írodních d j je zp sobena ob žným pohybem Zem okolo Slunce. B hem jednoho ob hu se na Zemi vyst ídají ty i ro ní období a prob hne celý cyklus p írodních d j . Tato doba se nazývá rok. P ibližná délka roku je 365,25 dne.
Sta í Egyp ané užívali nejprve lunární kalendá . Pozd ji jako první národ v bec zavedli solární kalendá , ve kterém m l rok 365 dn . Skládal se z 12 m síc po 30 dnech a dodate ných 5 sváte ních dn . Každý m síc m l 3 velké týdny po 10 dnech. Vytvo ený kalendá dával rytmus hospodá skému životu, zem d lským pracím, náboženským slavnostem, svátk m atd.
Náboženská funkce kalendá e vedla k tomu, že se jím zabývali p evážn kn ží.
Podle n kterých historik byla délka egyptského roku stanovena podle pom rn pravideln se opakujících záplav; jejich p íchod, následné rozvodn ní Nilu, jeho pozd jší návrat do koryta, setba, doba vegetace a sklize , to vše tvo ilo dlouhý p irozený cyklus, kterému bylo nutno se p izp sobit a který bylo dobré znát. Dlouhodobé zaznamenávání interval mezi po átky záplav mohlo vést ke stanovení délky roku na 365 dn , odchylka od skute né délky roku nebyla po adu let pozorována, nebo záplavy nep icházely zcela pravideln .
Poznamenejme ješt , že Egyp ané ne íslovali roky tak jako my.
D ležité události byly ozna ovány rokem, m sícem a dnem vlády jednotlivých panovník . V dob Staré íše byly vztahovány ke s ítání dobytka, které bylo provád no každým druhým rokem. Proto je obtížné události v Egypt p esn datovat.
3.8. íselná mystika
Ve starém Egypt se postupn rozvinula íselná mystika, patrn byla ovlivn na sledováním pohyb nebeských t les a m ením asu.
4. Egyptské zlomky (Kmenné zlomky)
Není známo, jak p esn vznikaly zlomky, nebo stejn jako o vzniku p irozených ísel nemáme ani o vzniku zlomk žádné p ímé sv dectví.
P edpokládá se, že tvo ení pojmu zlomk bylo podmín no rostoucími hospodá skými pot ebami. Nap íklad v Egypt to bylo nejspíše kv li m ení a d lení plochy pole na ásti. Zlomek se proto vyjad oval jako ást jednotky.
Nejstaršími zlomky, které se v Egypt objevily, byly patrn jedna polovina a jedna tvrtina. Jejich vznik byl z ejm , jak již bylo uvedeno, inspirován procesem p lení. Pot eby kalendá ních výpo t si vynutily další rozvoj po ítání se zlomky. Data dn v m síci se odm ovala ástmi (zlomky délky) celého m síce a tento p sob se pak p enesl na jiné p ípady. První den m síce byla
30
1 m síce, t etí 10
1 a dvacátý 3
2. V dob Staré íše byly užívány i jiné
zlomky, pro které existovaly zvláštní symboly. V dob St ední íše za aly být v Egypt užívány pouze kmenné zlomky, tj. zlomky ve tvaru 1, n
n , ke nimž se ješt p idával zlomek
3
2. (Dnes vyjád ení zlomku x
y pomocí sou tu r zných kmenných zlomk nazýváme vyjád ením pomocí egyptských zlomk .) Toto též velmi zjednodušilo symboliku, a to jak v hieroglyfickém, tak i v hieratickém zápisu. Zlomek o itateli jedna se psal v hieroglyfickém písmu tak, že se nad symbol vyjad ující jmenovatel napsal hieroglyfický znak ra:
To znamená, že 1
3 vypadala takto: V hieratickém písmu se nadepisovala árka nebo te ka.
Speciální symboly byly používány pro 1
2 a pro 2
3 . Pokud byl jmenovatel velmi dlouhý, symbol ra se psal jen nad jeho ást
1 331
4.1. Rhind v papyrus a egyptské zlomky
Kladná racionální ísla vyjad ovali Egyp ané pouze jako sou et p irozeného ísla, navzájem r zných kmenných zlomk a p ípadn zlomku dv t etiny. Pro tento zp sob bylo však nutno vyjád it zlomky 2
n jako sou et kmenných zlomk .
Bylo-li n sudé, zlomek se jednoduše zkrátil. Pro lichá n byly zhotoveny zvláštní tabulky. Jedna je zaznamenána na Káhúnském papyru. Zde jsou v deseti ádcích uvedena ísla týkající se zlomk 2
n pro lichá n 3, ..., 21 . V Rhindov papyru je rozkladu zlomk 2
n na kmenné zlomky v nována ješt v tší pozornost. Nalezneme lze rozklad pro lichá n 3, ..., 101 . Rozklady jsou se azeny do tabulky a na papyru je popsán i její vznik. Tabulka vypadá takto:
5 3 15 39 26 78 73 60 219 292 365
7 4 28 41 24 246 328 75 50 150
9 6 18 43 42 86 129 301 77 44 308
11 6 66 45 30 60 79 60 237 316 790
13 8 52 104 47 30 141 470 81 54 162
15 10 30 49 28 196 83 60 332 415 498
17 12 51 68 51 34 102 85 51 255 19 12 76 114 53 30 318 795 87 58 174
21 14 42 55 30 330 89 60 356 534 890
23 12 276 57 38 114 91 70 130
25 15 75 59 36 236 531 93 62 186 27 18 54 61 40 244 488 610 95 60 380 570 29 24 58 174 232 63 42 126 97 56 679 776 31 20 124 155 65 39 195 99 66 198
33 22 66 67 40 355 536 101 101 202 303 606 35 30 42 69 46 138
37 24 111 296 71 40 568 710
Tab. 1
Tu nými ísly jsou zde vyzna eny jmenovatele u zlomku 2
n a ve vedlejší bu ce tabulky jsou vypsány jmenovatelé s ítaných zlomk , které mají v itateli jedni ku. První záznam tabulky lze tedy p epsat do tvaru:
15 1 3 1 5
2 .
Zám rn není uveden rozklad zlomku 3 2 3
2 , který, jak již bylo zmín no,
Egyp ané užívali a m li pro n j i samostatný symbol, nebo by se nehodil do námi formulovaného zápisu tabulky rozklad .
4.1.1 Použití tabulky rozklad
Zde si ukážeme, jak je možné pomocí tabulky rozklad rozložit zlomek x
y , jehož itatel je v tší než 2 a jehož jmenovatele lze nalézt v tabulce rozklad , na sou et kmenných zlomk .
Vezm me si zlomek 5 21.
Postup:
1) 5 21
1 2 2
21 21 21
2) 1 2 2 1 1 1 1 1
21 21 21 21 14 42 14 42
3) 1 1 1 1 1 1 2 2
21 14 42 14 42 21 14 42
4) 1 2 2 1 1 1
21 14 42 21 7 21
5) 1 1 1 1 2
21 7 21 7 21
6) 1 2 1 1 1
7 21 7 14 42
Tedy 5 1 1 1
21 7 14 42.
Tento rozklad, jak je vid t, je celkem pracný a zdlouhavý, ale nakonec vede ke kýženému cíli. Je nutno poznamenat, že ve všech dochovaných tabulkách nebo jejich zlomcích jsou stejné rozklady. Dá se z toho usoudit, že se pravd podobn používalo pouze t chto rozklad , které byly p ijaty jako ur itá rozumná a všeobecn uznávaná konvence. Je to ur it i z d vodu, že pokud by jednotliví písa i požívali r zné rozklady, bylo by obtížné výsledky porovnávat.
Jak bylo e eno výše, zlomek 5
21 se dá rozložit i jinak, než 5 1 1 1 21 7 14 42. Další možné rozklady jsou nap . 5 1+ 1 + 1
21 5 27 945 anebo 5 1 1+ 21 6 14. Stejn tak se dají ale zlomky tvaru 2
n rozložit r znými zp soby. Uvažujme op t rozklad 2 1 1
21 14 42.
Tento zlomek lze ješt rozložit následujícím zp sobem:
2 1 1
21 11 231,
2 1 1
21 12 84,
2 1 1
21 15 35
Pro Egyp ané požívali jeden zp sob rozkladu a jak sestavovali tabulky není stále s kone nou platností roz ešeno a jsou o tom r zné dohady. V další ásti kapitoly porovnáme r zné náhledy, jak byla tabulka 2
n sestavena a jaké zákonitosti lze v tabulce nalézt.
4.1.2 Vytvo ení tabulky rozklad
M žeme si položit otázku, jak asi tabulka vznikla. Dá se usuzovat, že tabulka nevznikla naráz, ale postupn se p icházelo na jednotlivé rozklady.
V dnešní dob stále není jasné, zda Egyp ané používali na rozklad jeden ur itý postup, i zda m li r zné postupy pro r zná ísla. Uvažujme ísla d litelná t emi, p ti, sedmi, jedenácti atd. Lze íci, že v tšina zp sob rozkladu ukazuje na jedno ur ité místo v papyru, a to na p íklad R61.
Tento p íklad zní: ekne-li se ti, co jsou 2 3 z 1
5, po ítej s tím 2-krát a 6-krát, toto jsou 2
3 z toho. Hle, a se po ítá podobn pro každý lichý zlomek, který se vyskytne. Pokud tento zobecn ný návod zapíšeme v sou asné symbolice, bude vypadat takto: 2 1 2 1 1
3 k 3k 2k 6k
Když se podíváme dále do tabulky, vidíme, že Egyp ané rozkládali všechny zlomky, jejichž jmenovatel byl d litelný t emi, tímto zp sobem a zacházeli s nimi jako s jedním druhem. Rozklad zlomk s jmenovatelem d litelným t emi je tedy možné provést také podle vzorce
2 1 1
2 2 3
n n n.
Dalším rozkládaným zlomkem v tabulce jsou 2
5. Tento zlomek je rozložen na 1 1
3 15. Všechny zlomky se jmenovatelem, jenž je d litelný 5, jsou rozkládány pomocí jednoduchého násobku tohoto výrazu, a to 2 1 1
5k 3k 15k . Neboli jsou rozloženy podle vzorce
2 1 1
3 3 5
n n n.
Podobn p i adili k tabulkové hodnot 2
7 rozklad 1 1
4 28. Poté vyhledali v tabulce všechny zlomky jejichž, jmenovatel je d litelný sedmi. Ty poté rozkládali podle výrazu 2 1 1
7k 4k 28k , ten lze upravit na vzorec
2 1 1
4 4 7
n n n.
Nakonec p i adili 1 1
6 66 ke zlomku 2
11. Všechny další zlomky, jejichž jmenovatel je násobkem jedenácti, rozkládali do tvaru 2 1 1
11k 6k 66k . Lze jej zapsat
2 1 1
6 6 11
n n n.
Tento vztah platí pro k 5, pro násobky 3 a 7 již byly použity p edchozí rozklady.
S touto procedurou skon ili u prvo ísla jedenáct, což odpovídá tomu, že v tabulce se vyskytují pouze jmenovatelé do ísla 101. Je obdivuhodné, že Egyp ané již v roce 1850 p . Kr. m li jakousi p edstavu o vztahu mezi prvo ísly a ísly z nich složených. Domníváme se, že Egyp ané v dom t ídili násobky malých prvo ísel až do ísla 11 do skupin a ostatním prvo ísl m poté p i azovali unikátní rozklady.
Jak již bylo e eno, rozklad zlomku 2
n, kde je n jedno z prvo ísel 3, 5, 7, 11 nebo jejich násobky, provád li Egyp ané podle pravidel, která se dají shrnout do jednoho jednoduchého vzorce:
2 1 1
1 1
2 2
n n n
n (1)
(Stejný vzorec je použit i pro zlomek 2
23, ale toto m že být náhoda.)
Poté, co Egyp ané „vy ešili“ tato malá prvo ísla (3, 5, 7, 11) a jejich násobky, záznamy v tabulce ukazují, že Egyp ané pro rozklad zbylých jmenovatel používali identitu
2 1 2a n
n a an . (2) Zde je a voleno tak, aby spl ovalo podmínku
2
a n a zárove bylo a „p kné
kulaté íslo“.
Abychom našli zbývající leny rozkladu, rozd líme hodnotu 2a n na jednu, dv nebo t i rozdílné celo íselné ásti, a to tak, že každá ást je d litelem a.
(Proto je dobré volit a jako „p kné kulaté íslo“, aby m lo hodn d litel .) Ukažme si to na p íkladu. Vezm me zlomek 2
89.
Zvolíme a 60 89
60 2 ; poté nám rozdíl 2a n dává hodnotu 31. Nyní pot ebujeme vyjád it íslo 31 jako sou et t í nebo mén rozdílných celých ísel, z nichž každé bude d litelem 60. Jedno z možných rozd lení je 31 15 10 6 . Po dosazení do vzorce (2) dostáváme:
2 1 31
89 60 5340 Toto lze zapsat jako:
2 1 15 10 6
89 60 5340 5340 5340 Po zkrácení dostáváme rozklad, jenž lze nalézt v tabulce:
2 1 1 1 1
89 60 356 534 890
Lze tedy shrnout tabulku rozklad zlomk 2
n také tak, že vyjád íme pro každé prvo íslo n ísla , ,a b c d , když a 2 1 1 1 1
n a b c d .
Celkem dostaneme:
n 2a - n a B c D zahrnuje
3 1 2 6 násobky 3
5 1 3 15 25, 65, 85
7 1 4 28 49, 77
11 1 6 66 55
23 1 12 276
13 3 8 52 104
17 7 12 51 68
19 5 12 76 114
31 9 20 124 155
37 11 24 111 296
41 7 24 246 328
47 13 30 141 470
53 7 30 318 795
59 13 36 236 531
67 13 40 335 536
71 9 40 568 710
97 15 56 679 776
29 19 24 58 174 232
43 41 42 86 129 301
61 19 40 244 488 610
73 47 60 219 292 365
79 41 60 237 316 790
83 37 60 332 415 498
89 31 60 356 534 890 Výjimky
35 25 30 42
91 49 70 130
95 25 60 380 570
101 1111 101 202 303 606
Tab. 2
Tato tabulka (Tab. 2) navozuje dv otázky. Za prvé, pokud budeme p epokládat, že Egyp ané používali vzorec (2), aby ur ili rozklady zlomk 2
n, kde n je „velké“ prvo íslo, jak volili hodnotu a a zp sob rozd lení hodnoty 2a n ze všech r zných možností? Toto bylo zkoumáno a pomocí po íta e se p išlo na ur ité zajímavé zákonitosti. Omezíme se na rozklady zlomk , p i nichž vycházejí t i nebo ty i leny. Dále budeme uvažovat ur ité íslo x. íslo x je nejmenší íslo, které dostaneme, když rozd líme hodnotu 2a n na sou et d litel a. Omezme se na p ípady, kdy je x 1. Pokud splníme p edchozí podmínky, zjistíme, že rozklad, jenž se vyskytuje v Rhindov papyru je rozklad pro který a
x vychází jako nejmenší. Jako p íklad si vezm me n 43.
Uve me možná ešení:
rozd lení 2a - n
n a 2a-n x y z a/x
43 24 5 2 3 12
43 28 13 2 4 7 14
43 30 17 2 15 15
43 30 17 2 5 10 15
43 36 29 2 9 18 18
43 42 41 6 14 21 7
Tab. 3
Rozklad, jenž se objevuje v tabulce rozklad (Tabulka 1), je roven a 7 x . Egyp ané užívali rozklady s nejmenším a
x pro „velká“ prvo ísla 13, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43, 59, 67, 73, 79, 83, 97. Opominuli prvo ísla 47, 53, 61, 71 a 89. V t chto „opominutých“ p ípadech se ovšem nejmenší hodnoty a
x lišily o 2, 6, 1, 3 a 1.
4.1.3 Výjimky
Druhou otázkou již si m žeme položit, je, jak vysv tlíme výjimky uvedené v tabulce rozklad . První t i výjime né zlomky jsou zlomky se jmenovateli 35, 91 a 95. Ty z n jakého d vodu nebyly rozloženy jako ostatní ísla, i p es to, že nejsou prvo ísly. Z našeho pohledu nap . zlomek
2 2
95 5 19 , by m l být rozložen podle formule 2 1 1
5k 3k 15k , kde k 19. V tabulce je ovšem rozložen podle výrazu 1 1 1
12k 76k 114k , kde k = 5.
Zlomky 2
35 a 2
91 jsou ješt „zvláštn jší“. Jsou to v podstat nejzajímav jší rozklady v celé tabulce. Jsou to jediné zlomky, jejichž jmenovatele jsou ísla „složená“ (tzn. 35 5 7 a 91 7 13 ). Jejich rozklady v tabulce nejsou pouhými násobky jednoho z prvo ísel. Dá se íct, že pro tato dv ísla se Egyp ané uchýlili od jejich tradi ního rozkladu pomocí násobení, k rozkladu takzvan „harmonicko-aritmetickému“.
Je známo, že sta í ekové znali definice r zných typ pr m r . 1) Aritmetický pr m r: ,
2 A p q p q
2) Geometrický pr m r: G p q, p q 3) Harmonický pr m r: H p q, 1 12 p q
Historici se domnívají, že ekové zd dili tyto v domosti po Babylo anech, ale je jist možné, že byly známy i starým Egyp an m. Konkrétn , podíváme-li se na harmonický pr m r, rozhodn alespo „vypadá“ egyptsky. Povšimn me si, že G p q není geometrickým pr m rem pouze p a q, ale i geometrickým , pr m rem A p q a , H p q . Jinými slovy, pro jakékoliv p a q platí: ,
, , ,
G p q pq A p q H p q . Toto je vid t jednoduše, nebo pq AH. Tedy AH , udává jiný zp sob rozd lení ísla, jenž vzniklo jako p q . Dostáváme se k výrazu:
2 2 2 1 1
, ,
pq A p q H p q p q p q
2 1 1
p q p q (3)
Je z ejmé, že zlomek 2
p q bude kmenným zlomkem, nebo p q je vždy sudé íslo.
Výraz (3) nám poté skýtá rozklady
2 1 1 1 1 1
5 7 6 5 7 30 42
a
2 1 1 1 1 1
7 13 10 7 13 70 130, které m žeme najít v Rhindov papyru.
Nyní nám zbývá prozkoumat poslední rozklad který, je
2 1 1 1 1
101 101 202 303 606. Tento rozklad m že být proveden pomocí výrazu (2), pokud zvolíme a 606 a rozd lení 1111 202 303 606 . Ovšem rozklad je zvláštní tím, že jeho leny jsou pouze násobky 1
n. Zápis v tabulce možná m že být pouhou formalitou, jež nám nazna uje, že pro každé n neobsažené v tabulce (tedy v tší než 100) m žeme použit ty lenný rozklad
2 1 1 1 1
2 3 6
n n n n n,
který nám tímto uzavírá celou tabulku.
4.2. Shrnutí
Tabulka rozklad , která pochází z doby asi 1850 let p . Kr., vypovídá, že Egyp ané nejspíše m li pov domí o prvo íslech a íslech z nich složených, dále také také mohli znát aritmetický, harmonický a geometrický pr m r. Toto vše nazna uje celkem vysokou sofistikovanost v teorii ísel, než bývá Egyp an m b žn p isuzována. Ovšem je otázka, zda si Egyp ané zmín né znalosti „nevyp j ili“ od n koho jiného, nap . od Babylo an . Nem li bychom ovšem p ehlédnout možnost, že by to mohlo být i naopak.
5. Sou asné metody vyjád ení racionálního ísla pomocí Egyptských zlomk
Egyp ané vyjad ovali racionální ísla jako sou et p evrácených hodnot r zných celých ísel. To jsme již uvedli v p edcházejících kapitolách.
Problémem, jak vyjád it racionální íslo pomocí egyptských zlomk , se však zabývají matematici dodneška. V sou asnosti tento problém spadá do oblasti teorie ísel a je p i jeho ešení hojn využívána výpo etní technika. V této kapitole popíšeme n kolik „moderních“ metod, jak je možné rozklad na egyptské zlomky provést. N které metody provedeme do hloubky, jiné pouze popíšeme, protože jejich dokazování je nad možnosti této práce (a už délkou, nebo obtížností).
Problémem tedy je, jak vyjád it dané racionální íslo p
q pomocí sou tu p evrácených hodnot r zných celých ísel. To znamená
1
1 1
k
p
q n n ;
1 2
0 n n n , k n1, ,nk . Omezme se ješt tím, že p 1 q . 5.1 Algoritmy
5.1.1 Št pící algoritmus
Toto je pravd podobn „nejhorší“ metoda pro rozklad na egyptské zlomky. Je založena na opakovaném použití výrazu 1 1 1
1 1
q q q q .
Algoritmus:
1) Uvažujme racionální íslo p q. 2) Rozepíšeme p
q jako sou et p zlomk ve tvaru 1 q. 3) Pokud dostaneme totožné zlomky 1
q, jeden z nich zachováme a zbylé rozepíšeme podle výrazu 1 1 1
1 1
q q q q .
4) Opakujeme krok 3, dokud nedostaneme rozklad bez totožných kmenných zlomk .
P íklad 1.
3 1 1 1 7 7 7 7
3 1 1 1 1 1
7 7 8 56 8 56
3 1 1 1 1 1
7 7 8 8 56 56
3 1 1 1 1 1 1 1
7 7 8 9 72 56 57 3192
3 1 1 1 1 1 1 1
7 7 8 9 56 57 72 3192
D kaz tohoto algoritmu existuje (viz. [Cam]). Je ovšem obtížné dokázat, zda n kdy skon í. D kaz je ovšem nad náš rámec možností.
Algoritmus ovšem v tšinou dává výsledky s nejv tším po tem zlomk a s velkými ísly ve jmenovatelích.
5.1.2 Fibonacci / Sylvester v algoritmus
Mnohem intuitivn jší a „použiteln jší“ je Fibonacci/Sylvester v algoritmus. Ten byl poprvé objeven Leopardem Pisánským (Fibonacci), který ho také hojn užíval, nebo up ednost oval práci s kmennými zlomky. Pozd ji se jím zabýval i J. J. Silvestr, jenž dokázal pravdivost algoritmu v roce 1880.
Algoritmus je ob as také nazýván chamtivý (Greedy) algoritmus, protože jednoduše bere nejv tší kmenný zlomek z rozkládaného zlomku nebo jeho zbytku. Hledáme co nejlepší aproximaci zlomku p
q kmenným zlomkem menším než p
q a stejný postup poté aplikujeme na jeho zbytek.
Algoritmus:
1) Uvažujme racionální íslo p
q. Ozna me p p'a q q'.
2) Pokud p' 1, potom je zlomek kmenný a nerozkládáme. Jinak rozepíšeme íslo q ve zbytkovém tvaru a dostáváme q' sp r' , r p'.
3) Uv domme si, že ' 1 '
' 1 ' 1
p p r
q s q s . Poté tedy vyjde první zlomek z rozkladu: 1
1 s . 4) Zbude další zlomek '
' p
q , kde p' p r' a 'q q s' 1 . 5) Zlomek '
' p
q se poté zkrátí na základní tvar a pokra uje se krokem 2).
P íklad 2.
Zlomek 3 7
1) p 1, a proto píšeme 7 2 3 1, tedy r 1 a s 2 2) dostáváme tvar 3 1 2
7 3 21 3) dále po ítáme se zlomkem 2
21, protože 1
3 již je kmenný zlomek 4) íslo 21 rozepíšeme 21 10 2 1, r 1 a s 10
5) dostáváme 2 1 1 21 11 231
6) vznikl nám tedy rozklad 3 1 1 1 7 3 11 231
Otázkou je zda Fibonacci / Sylvester v algoritmus vždy skon í.
Algoritmus nám íká, že ' 1 '
' 1 ' 1
p p r
q s q s . Intuitivn lze íci, že algoritmus vyprodukuje nejvíce p len rozkladu, nebo itatelé se nám stále zmenšují.
Obecn :
Protože ' ' p
q je v základním tvaru, víme, že r 0.
V kroku 4) máme p' p r' , takže nové p'je menší nebo rovno p edchozímu p' 1.
V kroku 2) již nepokra ujeme, pokud p' 1, tudíž m žeme mít nejvíce p len rozkladu.
Nejvíce len tedy dostáváme, když r se vždy rovná jedné a výsledný zlomek je v základním tvaru. Poté má rozklad p esn p len . Toto se ovšem stává málokdy.
Jiný problém u Fibonacci/Sylvesterova algoritmu jsou hodnoty jmenovatel , jež v rozkladu vycházejí. Ty mohou být zna n velké. Nap íklad rozklad zlomku 5
121 pomocí Fibonacci/Sylvesterova algoritmu vychází:
5 1 1 1 1 1
121 25 757 763309 873960180912 1527612795642063418846225 Srovnejme to s optimálním výsledkem 5 1 1 1
121 33 121 363. Fibonacci o tomto problému v d l, nebo sám uvádí 4 1 1 1
49 13 319 319 637 , ale
4 1 1
49 14 98. Navrhuje proto, pokud nevyjde napoprvé „elegantní“ ešení, že bychom m li vyzkoušet menší první zlomek v rozkladu. Ne íká ovšem, co považuje za elegantní ešení, a proto se poté z algoritmu stává spíše metoda
ešení pokus-omyl.
5.1.3 Golomb v algoritmus
S. W. Golomb popsal jednoduchý algoritmus, který m že být použit pro rozložení racionálního ísla p
q na sumu p nebo mén kmenných zlomk .
Algoritmus:
1) Uvažujme racionální íslo p
q. Ozna me p p'a q q'. 2) Pokud p' 1, potom je zlomek kmenný a nerozkládáme.
3) Zvolme p''tak, že p p' '' q r' 1, 0 p'' q', r . 4) Dostáváme rozklad ' 1
' '' ' ''
p r
q p q p . Zlomek 1 '' '
p q je první zlomek rozkladu.
5) Ozna íme q' p'' a p' r a pokra ujeme krokem 2).
P íklad 3.
Rozložme 3
7 podle Golombova algoritmu.
1) p' 3, q' 7, p' 1
2) máme najít p'' a r tak, aby 3 '' 7p r 1 a zárove 0 p'' q', r , zcela evidentn jsou to ísla p'' 5 a r 2
3) dostáváme rozklad 3 1 2 7 35 5 4) rozkládáme 2
5, r 1 a p'' 3 5) rozklad tedy pokra uje 2 1 1
5 15 3 6) výsledný rozklad tedy je 3 1 1 1
7 3 15 35
Golomb v algoritmus je lepší než Fibonacci/Sylvester v algoritmus, pokud budeme porovnávat jmenovatele, jež v rozkladech vycházejí. Jak jsme vid li, u Fibonacci/Sylvesterova algoritmu vycházejí jmenovatelé u n kterých ísel velmi velcí a není žádné omezení jejich velikosti. U Golombova algoritmu
jedno omezení velikosti jmenovatel existuje. Jmenovatelé budou vycházet nejvýše v hodnot q q 1 . Toto se dá dokázat, podíváme-li se zp t na algoritmus.
V kroku 3) vidíme, že p'' q', a tedy p'' q' 1.
Jmenovatel v kroku 4) je roven p q'' ', tudíž jmenovatel q' 1 'q .
Povšimn me si, že v kroku 5) je nový jmenovatel q' p'' menší než p vodní jmenovatel q'. Z toho vidíme, že q' se stále zmenšuje, a proto jmenovatel nem že být v tší než q q 1 .
5.1.4 Binární algoritmus
Uv domme si, že pokud máme zadáno n jaké íslo N 2n, lze jakékoliv íslo m N zapsat jako sou et r zných d litel (d) N. Jednoduše zapíšeme íslo v binární soustav . Ve skute nosti m m že být zapsáno jako sou et n nebo mén d litel , nebo íslo 2n má p esn n d litel (2 , 2 , 2 ,... , 20 1 2 n 1). Nap íklad 5 1 4 1 1
16 16 16 4.
Algoritmus:
1) Uvažujme racionální íslo p 1 q . 2) Najd me Nk 1 q N . k
3) Pokud q N , rozepíšeme p jako sou et k nebo mén d litel k N : k
1 j
i i
p d . Dostaneme tedy vyjád ení
1 1
j j 1
i
i k i k
i
p d
q N N
d
. Jinak
pokra ujme ke kroku 4.
4) Pro n která celá ísla s a r, kde 0 r N , k
platí: k
k k k k
pN
p qs r s r
q qN qN N qN
5) Zapíšeme s d , kde i d jsou r zní d liteléi N . Zapišme k r d , kde i,
,
di jsou r zní d litelé Nk. 6) Dostáváme rozklad
,
1 1
k k
i i
N qN
d d
.
P íklad 4.
Jako p íklad si vezm me zlomek 5 21. 1) 16 21 32
2) 5 5 32 21 21 32 3) 5 7 21 13
21 21 32
4) 5 7 13
21 32 21 32
5) 5 1 2 4 1 4 8
21 32 21 32
6) 5 1 1 1 1 1 1
21 8 16 32 84 168 672
Binární algoritmus dává rozklad, kde je maximální hodnota jmenovatele D n n2. Maximální po et len rozkladu je L n O logn .
Nejd íve si ukažme, že algoritmus opravdu funguje. V kroku 2) vidíme, že p q Nk, a tedy pNk qNk. Dále víme, že qs r pNk qNk, a tudíž s Nk. Díky tomu m žeme vždy najít vyjád ení pro s a r. Výslední jmenovatelé ve vyjád ení jsou r zní, nebo q d lí druhou skupinu jmenovatel (odpovídající r). Q nem že d lit jmenovatele p íslušné k s, pokud q není mocnina 2. Ovšem pokud by q bylo mocnina dvou, nedostali bychom se nikdy za krok 2). Tudíž m žeme íci, že algoritmus funguje. V p ípad , že q Nk, bude mít rozklad z ejm nejvíce len . V p ípad , že q Nk, bude mít rozklad nejvíce 2k len . Protože k log2 Nk, dá se íci, že rozklad bude mít nejvíce 2log q len . Tedy L n O logn . V p ípad q Nk je nejv tším jmenovatelem práv q. V p ípad q Nk m že mít nejv tší jmenovatel hodnotu q Nk, to znamená q q 1 . Z toho plyne D n n2. (Gong [12])
5.1.5 Bleicher/Erdös v algoritmus
ísla ve tvaru 2n jsou ísla s nejmenším po tem d litel . Toto zp sobuje, že minimální hranice po tu len v rozkladu je log q. Je z ejmé, že pokud bychom m li íslo s více d liteli, mohli bychom zapsat itatel jako sou et mén d litel , ímž by se zmenšil po et len v rozkladu. Abychom zvýšili po et d litel , m žeme se vyhnout vícenásobným len m v rozkladu, to
ísla q!. Bleicher a Erdös používají tento postup ve svém algoritmu z roku 1976, zde si definují íslo Nk k (sou in po sob jdoucích prvo ísel
2,3, , k)
Algoritmus:
1) Uvažujme racionální íslo p 1
q . Najd me íslo k tak, že Nk-1 q Nk.
2) Pokud q Nk, potom
k
p b
q N a píšeme b di, kde všechna di Nk.
3) Pokud ne, je k
k k k k
pN sq r
p s r
q qN qN N qN ,
kde 1 1
1 2
k k
N r N
k k .
len
k
s
N jej totožný se lenem
k
b N .
4) Nalezneme rozklad pro r a vynásobíme jmenovatele q.
P íklad 5.
1) 5
121 tedy k 4 a Nk 2 3 5 7 2) 5 2 3 5 7 5
121 2 3 5 7 121
3) 1 315
1 157,5
k 2
N k
1 735
2 367,5
k 2
N k
4) Uv domme si, že 5 2 3 5 7 121 pNk
q 8,7.
Tedy s 7 a sq r 7 121 203.
5) 5 7 203
121 2 3 5 7 2 3 5 7 121
5 1 29
121 30 2 3 5 7 121
5 1 3 5 6 15
121 30 2 3 5 121
5 1 1 1 1 1
121 30 1210 726 605 242
5 1 1 1 1 1
121 30 242 605 726 1210
Pro Bleicher/Erdös v algoritmus platí, že maximální hodnota jmenovatele log 3
D N O N N . (Gong [15])
5.1.6 Tenebaum/Yokot v algoritmus
Tenebaum/Yokot v algoritmus je velmi podobný Bleicher/Erdösovu algoritmu. Stejn definuje Nk a je identický pro ást
k
s
N . Rozklad má tedy stejný po et len jako u Bleicher/Erdösova algoritmu. Nicmén ást algoritmu
k
r
NN a to, jak s ní algoritmus nakládá, zajistí rozklad s menšími hodnotami ve jmenovateli. Definujme tedy Nk k.
