c
L Ä R O B O K
I
PLAN ANALYTISK GEOMETRI,
FÖR E L E M E N T A R L Ä R O V E R K E N OCH HÖGRE
L Ä R O A N S T A L T E R ,
AF
M. F A L K .
S T O C K H O L M
O S C A R L . L A M M S F Ö R L A G .
F ö r o r d .
Den uppgift, en författare af en lärobok bör uppställa för sig, är att i hvarje fall efter bästa förmåga söka välja den framställning, som synes honom enklast och lärorikast, utan alt derför brista i grundlighet och s t r ä n g h e t ; läroboksförfattaren b ö r således hufvud- sakligen vara eklektiker, och han skulle handla synnerligen oklokt, om han mer sträfvade att göra sin framställning originel ä n att i hvarje fall välja den enligt hans åsigt bästa framställningen. I denna min bok har jag sökt vara denna regel trogen. Man skall derför i densamma finna, att jag t. ex. i anslutning t i l l den obestridligen bästa lärobok i analytisk geometri, som f. n. finnes på svenska språket, nemligen Lindelöfs, gifvit projektionsteorien dess fulla er- k ä n n a n d e såsom den b ä s t a grunden, hvarpå l ä r a n om punkters koordinater och åtskilliga dermed s a m m a n h ä n g a n d e formlers h ä r - ledning kan byggas, — en uppfattning, som numera vunnit a l l m ä n t e r k ä n n a n d e .
I frågan om krokliniers tangenter finner man i l ä r o b ö c k e r n a i analytisk geometri vanligen intet försök t i l l öfvergång från den Euklideiska definitionen på cirkelns tangent t i l l den inom analytiska geometrien befintliga för kroklinier i a l l m ä n h e t . P å sin höjd nöjer man sig med att konstatera, att den a l l m ä n n a definitionen, tillämpad på cirkeln, leder t i l l samma eqvation för cirkelns tangent, som den man enligt den Euklideiska definitionen erhåller. Denna lucka har jag i 54—56 sökt fylla, hvilket blifvit på ett enkelt sätt utförbart förmedelst de grundtankar, h v a r p å den nu för tiden s å s o m den bästa ansedda definitionen på en funktions differential grundas, — dock naturligtvis utan att gå utom det rent e l e m e n t ä r a s g r ä n s e r och utan att använda differentialbegreppet.
F ö r öfrigt m å i afseende på framställningssättet o m n ä m n a s , att jag sökt begagna hvarje tillfälle att analytiskt behandla sig
företeende frågor, äfven der en enkel och vacker syntetisk behand- ling lätt kunnat erhållas, och detta af det skäl, att en r ä t t l å n g l ä r a r e e r f a r e n h e t öfvertygat m i g derom, att nybörjaren ofta har svårt att riktigt komma i n i den analytiska metoden, och att derför intet godt tillfälle att a n v ä n d a densamma b ö r f ö r s u m m a s . Detta ä r ock anledningen, hvarför den i boken gifna exempelsamlingen blifvit så stor; jag ä r dock öfvertygad om, att den icke ä r för stor. Vid utarbetandet af denna exempelsamling har jag gjort m i g t i l l godo mycket, som finnes i exempelsamlingarne till Todhunters plane coordinate geometry, Briots och Bouquets lecons de géométrie analytique, Starnmers Lehrbuch der analytischen Geometrie der- Ebene m . fl. arbeten.
Slutligen m å n ä m n a s , att boken är afsedd såväl för de första studierna vid universitetet, som för högsta klassen å reallinien vid v å r a elementarläroverk. F ö r de förra skall säkerligen ingen anse den för stor, men m å h ä n d a torde någon e l e m e n t a r l ä r a r e vid första p å s e e n d e t finna den något för dryg för det senare ä n d a m å l e t . Der- vid b ö r dock beaktas att, om t i l l äfventyrs en e l e m e n t a r l ä r a r e ej skulle anse sig hinna ineddela en fullt sä utförlig framställning, som boken innehåller, det aldra mesta dock bör kunna g e n o m g å s i realliniens öfversta klass, samt att det är en synnerligen god och önskvärd sak att ega en ej allt för k n a p p h ä n d i g lärobok att sätta i h ä n d e r n a på så pass utvecklade ynglingar, som lärjungarne i denna klass böra förutsättas vara, och åt hvilka det b ö r vara l ä r a r e n s pligt och sträfvan att bereda tillfälle t i l l sjelfstudium, för att ej göra språnget mellan studiesättet vid e l e m e n t a r l ä r o v e r k e n och det vid högre läroanstalter för stort och i följd deraf för skadligt för dem.
Den brist på en för sådant ä n d a m å l l ä m p a d lärobok, hvilken jag både som universitets- och läroverkslärare synnerligen k ä n n b a r t erfarit, har jag nu genom denna lärobok sträfvat att i m å n af för- m å g a afhjelpa. Oaktadt all den omsorg, jag vid utarbetandet an- vändt, kan jag naturligtvis ej u n d g å att inse, att m i t t arbete m å s t e vara ofullkomligt; jag vet dock, att äfven det ofullkomliga kan verka gagneligt, och i medvetandet h ä r o m har jag vågat utgifva boken.
Upsala i November 1886.
Författaren.
I N L E D N I N G .
Om projektioner.1. Betraktar man en gifven rät lime ocli tänkei
densamma vara beskrifven i en viss led (limens led eller
positiva riktningi. så anses på henne hvarje längd, som
beskrifves i liniens positiva riktning, såsom positiv, hvaije
längd, som beskrifves i motsatt led, såsom negativ, hvarför
ock den senare riktningen kallas liniens negativa riktning.
Fäller man från en punkt en vinkelrät linie mot en
gifven linie. så kallas skärningspunkten mellan dem den
gifna p u n k t e n s p r o j e k t i o n p å l i n i e n .
Ar en längd gifven och tankes densamma beskrifven
i en viss led,- så erhålles dess projektion på en odetermi-
nerad linie med bestämd riktning, om man på den senare
uppsöker den determinerade del, som beskrifves af projek-
tionen af den punkt, som beskrifver den determinerade
linien. P r o j e k t i o n e n ä r a l l t s å det s t y c k e a f den
o d e t e r m i n e r a d e l i n i e n , h v i l k e t l i g g e r m e l l a n be-
g y n n e l s e - och s l u t p u n k t e r n a s p r o j e k t i o n e r och
r ä k n a s f r å n b e g y n n e l s e p u n k t e n s t i l l s l u t p u n k t e n s
p r o j e k t i o n .
Går den determinerade l i -
niens riktning från A t i l l B .
den odeterminerades från U t i l l
V, så går projektionen från A , «^~-"""**"^
