CFD-simulering av fl öde i inloppstub och spiral

E X A M E N S A R B E T E

2005:191 CIV

JENNIE ÅSTRÖM

CFD-simulering av fl öde i inloppstub och spiral

CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET Maskinteknik

Luleå tekniska universitet

Institutionen för Tillämpad fysik • Maskin- och materialteknik Avdelningen för Strömningslära

Jennie Åström juni 2005

Abstract

In this work CFD is applied to simulate the flow in a hydropower plant. CFD is a numerical method for simulating the behaviour of systems involving flow process- es. The flow in a hydropower plant is turbulent and non-steady, which makes the simulations a highly challenging task.

The aim was to simulate the flow through the penstock and spiral casing in the model of the Hölleforsen turbine. To find a good approach, a case with turbulent pipe flow was first simulated.

For the turbulent pipe flow, the friction factor according to the simulations was calculated and compared to that from a Moody chart. For the final simulations, the difference was found to be less than one percent.

Due to the complex geometries of the penstock and spiral casing, these simulations are of lower quality. The results are still in agreement with those from previous simulations of the spiral casing. They are also somewhat similar to the results from previous experiments.

I detta arbete har CFD tillämpats för att simulera flödet i ett vattenkraftverk. CFD är en numerisk beräkningsmetod för simulering av strömningsprocesser. Flödet i ett vattenkraftverk är turbulent och icke-stationärt, vilket gör simuleringarna till en utmanande uppgift.

Syftet var att simulera flödet genom inloppstuben och spiralen i en modell av Hölle- forsens turbin. För undersöka hur simuleringarna bör utformas, var syftet också att simulera ett testfall med turbulent rörströmning.

För fallet med turbulent rörströmning beräknades friktionsfaktorn för det simu- lerade flödet och jämfördes med den friktionsfaktor som kan utläsas ur ett Moody- diagram. Slutligen uppnåddes en skillnad mellan de två värdena som var mindre än en procent.

Vid simuleringarna av inloppstuben och spiralen var avsikten att använda samma tillvägagångssätt som för testfallet. Men geometrin är mer komplicerad och samma kvalitet på simuleringarna har inte kunnat uppnås. Resultaten visar ändå god över- ensstämmelse med resultat från tidigare simuleringar av spiralen. De har också en viss likhet med resultat från tidigare experiment.

Förord

Denna rapport är resultatet av ett examensarbete på 20 poäng för civilingenjörs- utbildningen i maskinteknik vid Luleå tekniska universitet. Arbetet har utförts in- om Research Trainee-programmet under läsåret 2004/2005, vid avdelningen för strömningslära.

Ett tack till berörda personer på Vattenfall Utveckling AB i Älvkarleby, Sebastian Videhult på GE Energy i Norge, Dr. Håkan Nilsson vid institutionen för termo- och fluiddynamik på Chalmers och Eduardo Oliveira från Departamento de Engen- haria Mecânica vid Universidade de Brasília i Brasilien. Jag vill också tacka min handledare Dr. Michel Cervantes och övriga på avdelningen för strömningslära vid Luleå tekniska universitet.

Jennie Åström Luleå, juni 2005

Innehåll

1 Inledning 1

1.1 Vattenkraften i Sverige . . . 1

1.2 Hur fungerar ett vattenkraftverk . . . 1

1.3 Syfte med arbetet . . . 2

2 CFD som analysmetod 4 2.1 Arbetsgång vid simuleringar . . . 4

2.1.1 Nätgenerering . . . 5

2.1.2 Gränsskiktsmodellering . . . 6

2.1.3 Val av diskretiseringsschema . . . 8

2.1.4 Turbulensmodellering . . . 9

2.1.5 Felkällor . . . 11

2.2 Verifiering och validering . . . 13

3 Testfall med turbulent rörströmning 14 3.1 Geometri och randvillkor . . . 14

3.2 Nät . . . 15

3.3 Simuleringar . . . 17

3.4 Resultat . . . 18

4 Hölleforsens inloppstub och spiral 21 4.1 Geometri och randvillkor . . . 21

4.2 Nät . . . 22

4.3 Simuleringar . . . 22

4.4 Resultat . . . 24

5 Diskussion 29 5.1 Om resultaten . . . 29

5.2 Fortsatt arbete . . . 29

Referenser 31

1 INLEDNING

1 Inledning

1.1 Vattenkraften i Sverige

I Sverige står vattenkraften för nära 50 procent av elproduktionen [1]. Årsproduk- tionen kan variera mellan 50 och 75 TWh beroende på tillrinningen, men under ett normalår blir det cirka 65 TWh. Det finns omkring 1200 vattenkraftverk i landet, varav de flesta är små med effekter på några tiotal eller hundratal kW. Totalt uppgår den installerade effekten till ungefär 16 100 MW [2].

Den huvudsakliga utbyggnaden av älvarna skedde under åren 1910 till 1970. Vi- dare har maskinparken och dammarna under de senaste 20 åren underhållits utan större investeringar i förnyelse. Härav har många av experterna gått i pension och intresset för hithörande utbildningar har varit lågt. Det har i sin tur skapat oro för att kompetensen inom branschen ska urholkas. Men efter avregleringen av elmark- naden börjar vattenkraften bli ett aktuellt område igen. Konkurrens och ökade krav på miljö och säkerhet har lett till nya satsningar. Till exempel planerar Vattenfall att inverstera sex miljarder fram till år 2011 för att byta till modernare teknik och bygga säkrare dammar [3].

Fördelarna med vattenkraften är flera. Det är en förnyelsebar energikälla som ger små utsläpp till miljön. Genom att vatten lagras i magasin kan el produceras när den som bäst behövs. Detta gäller under året, men också under dygnet. Ju mer vårt beroende av elektronisk utrustning ökar desto viktigare blir det att frekvensen i elnäten regleras effektivt. För att hålla frekvensen konstant krävs att produktio- nen i varje ögonblick motsvarar efterfrågan. Vattenkraften kan snabbt kompensera för variationer i elförbrukningen genom att produktionen i ett antal kraftverk au- tomatiskt ökas eller minskas och lämpar sig därför väl som reglerkraft. Dessutom är vattenkraftsel bland de billigaste att producera, sett till såväl rörliga som tota- la kostnader [4]. Bränslet, vatten, är gratis och livslängden för maskineriet ligger mellan 40 och 50 år [5]. Verkningsgraden för ett vattenkraftverk är hög, cirka 90 procent [6], trots att principen för energiutvinning är enkel.

1.2 Hur fungerar ett vattenkraftverk

I ett vattenkraftverk utnyttjas höjdskillnaden mellan två vattennivåer för att produ- cera elektricitet. För att kunna lagra vatten i magasin och samtidigt öka nivåskill- naden byggs dammar. När el produceras leds vatten från ett magasin genom en turbin och får dess löphjul att rotera. Därigenom omvandlas vattnets lägesenergi till mekanisk energi. En generator omvandlar löphjulets roterande rörelse till elektrisk energi. Innan electriciteten når ut till ledningsnätet ökas spänningen till rätt nivå i en transformator. Förloppet illustreras i figur 1. Ledningarna närmast de större kraftverken är högspänningsledningar som ingår i stamnätet. För att electriciteten ska kunna transporteras ut över hela landet är spänningen här 400 kV.

Figur 1: Schematisk bild av hur elektricitet produceras i ett vattenkraftverk; 1. vattenmagasin, 2. turbin, 3. generator, 4. transformator [7].

Nettoeffekten för en turbin, N, kan bestämmas med hjälp av uttrycket

N = ρQgHη, (1)

där ρ är vattnets densitet, Q är volymflödet genom turbinen, g är gravitationskon- stanten och H är nettofallhöjden. Den sistnämnda beräknas vanligen som den sta- tiska fallhöjden, det vill säga höjdskillnaden mellan vattennivåerna, minus de to- tala hydrauliska förlusterna i vattenvägarna. Turbinens effekt är därmed beroende av hela det system som leder vattnet mellan nivåerna. Nettofallhöjden är ett mått på hur mycket turbinen sänker vattnets specifika energi (Joule per Newton). Tur- binens verkningsgrad, η, anger hur stor del av denna energi som faktiskt öveförs till generatorn. Det handlar då om förluster av icke-hydraulisk karaktär. För optimala driftsförhållanden med avseende på flöde och varvtal ligger verkningsgraden för en turbin omkring 92 till 95 procent [8]. Ytterligare förluster uppstår i generatorn och transformatorn.

1.3 Syfte med arbetet

Svensk vattenkraft är i ett förnyelseskede. Från branschens sida finns en efterfrå- gan på ny kunskap, för att möjliggöra utvecklandet av bättre teknik med avseende på effektivitet, flexibilitet och säkerhet.

Traditionellt har analyser av nya komponeneter gjorts med hjälp av experiment på nedskalade modeller. Men detta är en dyr och tidskrävande metod. Ett modell av ett löphjul till en Francisturbin kostar ungefär 250 000 SEK och tar minst tre veckor att tillverka. Skovlarna till löphjulet i en modell av en Kaplanturbin kostar cirka 100 000 SEK och tar omkring fem veckor att tillverka [9].

1.3 Syfte med arbetet 1 INLEDNING

Idag finns även numeriska beräkningsmetoder för simulering av flöden. Dessa går under samlingsnamnet CFD, Computational Fluid Dynamics. I jämförelse med modelltester är CFD ett mer flexibelt verktyg, då det är möjligt att göra föränd- ringar av både geometrier och fysikaliska förhållanden. Vidare ger experimentella analyser vanligen ett specifikt resultat, medan en numerisk analys genererar en mängd variabelvärden för hela flödet. Men trots fördelarna kan inte CFD ersätta modelltester helt. Tillförlitligheten hos resultaten är inte självklar utan bör på nå- got sätt kontrolleras med experiment. Svårigheterna med att göra bra simuleringar kommer främst av att flödena i fråga är icke-stationära och turbulenta.

Det ideala när CFD tillämpas för vattenkraftssimuleringar skulle vara att inklu- dera hela vattenvägen, eftersom flödet i de olika delarna samverkar. Förutom att en sådan simulering skulle kräva mer beräkningskraft än vad som nu är rimligt, utgör det en alltför komplicerad uppgift. Först behövs mer kännedom om svårigheterna med att simulera flödet i varje enskild del.

Här har simuleringar gjorts utifrån en modell av Hölleforsens turbin, se figur 2.

Modellen finns hos Vattenfall Utveckling AB i Älvkarleby och det fullskaliga kraftverket ligger i Indalsälven. De delar som har studerats är inloppstuben och spi- ralen. Sugröret har redan varit föremål för ingående CFD-studier [10][11][12][13].

Även av löphjulet och spiralen har simuleringar gjorts [9][14]. En del av referenser- na omfattar dessutom experimentella analyser.

”Syftet var att göra CFD-simuleringar av flödet genom inloppstuben och spiralen i en modell av Hölleforsens turbin, men att först undersöka hur simuleringarna bör utformas med hjälp av ett testfall med turbulent rörströmning.”

Figur 2: Uppställning för modell av Hölleforsens turbin [15].

2 CFD som analysmetod

CFD är ett datorbaserat beräkningsverktyg för simulering av strömningsrelaterade system, det vill säga flöden av vätskor och gaser eller värmeöverföringsprocesser.

För att beskriva rörelsemängd, mass- och värmetransport i sådana system används Navier-Stokes ekvationer. Dessa är icke-linjära partiella differentialekvationer av andra ordningen och härleddes i början av 1800-talet. Här antas flödet vara inkom- pressibelt och ha konstant temperatur, vilket innebär att Navier-Stokes ekvationer kan skrivas som

−∂p

∂x + µ µ∂²u

∂x²+∂²u

∂y²+∂²u

∂z²

¶

= ρ µ∂u

∂t + u∂u

∂x+ v∂u

∂y+ w∂u

∂z

¶

, (2)

−∂p

∂y + µ µ∂²v

∂x²+∂²v

∂y²+∂²v

∂z²

¶

= ρ µ∂v

∂t + u∂v

∂x+ v∂v

∂y+ w∂v

∂z

¶

, (3)

ρg −∂p

∂z + µ µ∂²w

∂x² +∂²w

∂y² +∂²w

∂z²

¶

= ρ µ∂w

∂t + u∂w

∂x + v∂w

∂y + w∂w

∂z

¶ , (4) där p är trycket, µ är dynamiska viskositeten, ρ är densiteten, g är gravitations- konstanten och u,v och w är hastigheten i x-, y- respektive z-led [16].

Navier-Stokes ekvationer har ingen känd generell analytisk lösning, men med hjälp av CFD kan de diskretiseras och lösas numeriskt. Diskretiseringen innebär att dif- ferentialekvationerna omformuleras till så kallade algebraiska ekvationer, vilka kan lösas med hjälp av en algoritm. För att kunna applicera de diskretiserade ekvation- erna måste också flödesdomänen diskretiseras. Detta sker genom att den delas in i små subregioner, volymelement, med hjälp av ett nät. Elementindelningen gene- rerar specifika punkter, noder, i domänen. I dessa nodpunkter itereras numeriska lösningar till de diskretiserade ekvationerna fram. En kontinuerlig beskrivning av flödet erhålls genom interpolation av variablevärden mellan noderna.

Ekvationer som beskriver andra processer kan lösas i kombination med Navier- Stokes ekvationer. Ett speciellt viktigt exempel på detta är turbulensmodeller som används vid simulering av turbulenta strömningsförlopp.

2.1 Arbetsgång vid simuleringar

Första steget när en simulering ska göras är att modellera geometrin i ett CAD- program, om den inte redan finns tillgänglig. Efter det skapas nätet i någon pro- gramvara för nätgenerering. Randvillkor och andra fysikaliska förhållanden defini- eras i en pre-processor. Här görs även inställningar för hur ekvationerna ska lösas.

Sedan kan systemet behandlas av en lösare. Resultaten kan slutligen analyseras, numeriskt eller grafiskt, i en post-processor. De tre sista stegen utgör själva simu- leringen.

2.1 Arbetsgång vid simuleringar 2 CFD SOM ANALYSMETOD

Arbetsgången vid CFD-simuleringar innebär att vissa steg måste göras flera gånger.

Utifrån lösarens förmåga att behandla systemet justeras volymnätets uppbyggnad, randvillkorens sammansättning och de instruktioner som ges för ekvationslösning- en. Förändringar görs även utifrån de resultat som erhålls. För att hjälpa lösaren kan resultat från en körning användas som initialvärden i nästa. Figur 3 illustrerar översiktligt hur arbetet går till, med utgångspunkt från de programvaror som har använts. Dessa är

• ANSYS Workbench 8.1 för geometrimodellering,

• ANSYS ICEM CFD 5.0 för nätgenerering,

• ANSYS CFX-5.7 för simulering.

Vidare följer en genomgång av några centrala aspekter vid arbete med CFD. Även om terminologi och inställningsmöjligheter kan variera mellan olika programvaror, gäller resonemangen generellt.

Figur 3: Översikt av arbetsgång vid simuleringar.

2.1.1 Nätgenerering

Volymnätets egenskaper är avgörande för resultatens riktighet. Förenklat ökar nog- grannheten med antalet element, men både distributionen av noder och elementens kvalitet har stor inverkan. Fler element kräver mer beräkningskraft och ger längre beräkningstider, vilket utgör en begränsning för upplösningen av flödesdomänen.

För att hålla elementantalet nere kan lokala förfiningar av nätet göras där det be- hövs. En mindre elementstorlek krävs ibland i områden med komplex geometri, för att nätet ska följa ytorna väl. Det kan också vara så att delar av flödet är av större intresse för användaren och därmed kräver högre upplösning. Vidare är det viktigt att nätet är tillräckligt fint i områden med stora gradienter. Var sådana uppstår vari- erar naturligtvis, men ett generellt exempel är invid ytan på en geometri. Här är gradienterna stora i normalriktning mot ytan, vilket gör det lämpligt att använda element som är låga men relativt långsträckta.

Det finns två kategorier av nät, ostrukturerade och strukturerade. För ostrukturerade nät skapas elementen slumpartat utifrån givna instruktioner om minimala, maxi- mala och relativa elementstorlekar. För strukturerade nät kontrollerar användaren elementindelningen i hela flödesdomänen. Ett strukturerat nät är mer komplicerat att generera, men underlättar resterande arbete med en simulering.

I ICEM CFD 5.0 kan båda nättyperna skapas. Ostrukturerade nät byggs huvud- sakligen av tetraedrar. Nära väggytor kan även prismor användas. Dessa får au- tomatiskt samma ytstorlek som närliggande tetraederelement, men höjden vinkel- rätt mot ytan bestäms av användaren. Strukturerade nät byggs av hexaedrar, men det ligger utanför ramen för detta arbete.

2.1.2 Gränsskiktsmodellering

Vid strömning invid en yta utvecklas ett gränsskikt till följd av fluidens viskositet.

Viskositeten gör att flödeshastigheten går mot noll närmast ytan, vilket ger upphov till stora gradienter i normalriktningen. Gränsskiktet kan indelas i två regioner. In- nerst uppstår ett visköst underskikt där strömningen är närmast laminär. Längre ut finns ett logaritmiskt skikt, där turbulenta processer dominerar. En skiss återfinns i figur 4. De viskösa effekterna och den snabba variationen av variabelvärden försvårar den numeriska beskrivningen av flödet. Inom CFD har därför olika meto- der för att modellera gränsskikt utvecklats.

Ett sätt är med hjälp av väggfunktioner. Då antas hastighetsdistributionen nära ytan kunna approximeras med hastighetsprofilen i det logaritmiska skiktet, se figur 5.

Därmed krävs ingen upplösning av det viskösa underskiktet. Med utgångspunkt från [17] ges den logaritmiska hastighetsprofilen av

u₊=U u_τ =1

κln y₊+ C, (5)

där U är flödets medelhastighet parallellt med ytan, u_τ är skjuvhastigheten, κ är von Karmans konstant (κ = 0.41), y₊är det dimensionslösa avståndet till ytan och C är en empiriskt bestämd konstant vars värde beror på tjockleken av det viskösa

2.1 Arbetsgång vid simuleringar 2 CFD SOM ANALYSMETOD

Figur 4: Gränsskikt invid yta [18].

underskiktet (C ≈ 5.5 för en slät och plan platta). Skjuvhastigheten ges i sin tur av

u_τ= s

|τ_w|

ρ , (6)

där τ_w är skjuvspänningen vid väggen och ρ är densiteten. Variabeln y₊ används som ett dimensionslöst mått på avståndet till den första noden och beräknas enligt

y₊=ρ∆yu_τ

µ , (7)

där ∆y är avståndet från ytan till första noden och µ är fluidens dynamiska viskositet.

Om gränsskiktet modelleras med väggfunktioner ska första noden ligga i det log- aritmiska området. Detta innebär att y₊-värdena bör ligga i intervallet 20 till 100.

Vidare rekommenderas att gränsskiktet löses upp av minst 10 noder vinkelrätt mot ytan [18]. De väggfunktioner som utgör standard i CFX-5.7 är skalbara och kan hantera ett godtyckligt fint nät nära ytor. De fungerar alltså även för y₊-värden un- der 20.

Gränskiktet kan även modelleras med Low Reynolds Number -metoden (LRN), vilken fordrar upplösning av det viskösa underskiktet. Då gäller det att värdena på y₊ ska vara högst två. Det rekommenderas också att minst 15 noder placeras vinkelrätt mot ytan inom gränsskiktet [18]. LRN kräver ett mycket fint nät i områ- den nära ytor och därmed betydligt mer beräkningskraft än väggfunktioner. Meto- den är lämplig att använda i de fall där gränsskiktet är av särskild vikt. I CFX-5.7 finns också en funktion för automatisk växling mellan LRN och väggfunktioner.

Figur 5: Hastighetsprofil i gränsskikt. Heldragna linjer representerar experimentella värden och streckade linjer kommer från ekvationerna [20].

2.1.3 Val av diskretiseringsschema

Den vanligaste diskretiseringsmetoden inom CFD är finita volymmetoden (FVM).

Denna metod använder en ekvation på integralform för kontinuiteten av någon kvantitet φ, så som massa eller rörelsemängd. Ekvationen i fråga ges allmänt av

Z

Sρφu · n dS − Z

SΓ ∇φ · n dS = Z

Vq_φdV, (8)

där ρ är densiteten, u är hastighetsvektorn, Γ är diffusiviteten för φ, ∇φ är gradien- ten och q_φär en sänka eller källa till φ. För massan är φ = 1 och för rörelsemängden är φ = u [17]. Den första ytintegralen i ekvation 8 representerar transport genom advektion och den andra transport genom diffusion. Ju mer turbulent ett flöde är desto mer dominerar advektionprocesserna över diffusionsprocesserna [19].

Ett diskretiseringsschema avgör hur advektionstermens värden på elementytorna ska relateras till dess värden i närmsta noden. Många diskretiseringsscheman inom CFD baseras på Taylorutvecklingar och deras ordning syftar på den högsta ordnin- gens inkluderade termer. Med de diskretiseringsscheman som används i CFX-5.7 kan värdena på någon av elementytorna, φ_ip, uttryckas som

φ_ip= φ_up+ β∇φ · ∆r, (9)

där φ_up är värdena i närmaste noden uppströms, β är en koefficient som avgör diskretiseringsschemats ordning, ∇φ är gradienten och ∆r är vektorn från noden till punkten i fråga. Värdet noll på β ger ett diskretiserigsschema av första ordning- en, vanligen kallat Upwind. Om β väljs till ett fås ett andra ordningens diskreti- seringsschema. Det är också möjligt att ange en blandfaktor, det vill säga ett värde på β mellan noll och ett. Ett högre värde ger större noggrannhet men kräver mer beräkningskraft och är mindre robust. Ett annat alternativ i CFX-5.7 är High Reso- lution, som innebär att blandfaktorn varieras automatiskt. I områden med stora

2.1 Arbetsgång vid simuleringar 2 CFD SOM ANALYSMETOD

gradienter går β mot noll för ett robust beteende, men är annars omkring ett för hög nogrannhet. För slutliga resultat rekommenderas att β ges värdet 0.75 eller högre [18]. Det kan påpekas att i CFX-5.7 används alltid ett första ordningens diskretiseringsschema för de turbulenta ekvationerna om inte annat specifikt anges.

2.1.4 Turbulensmodellering

De flesta flöden som påträffas inom ingenjörsarbete eller i naturen är turbulenta.

Ett turbulent flöde kännetecknas av irregulära, icke-linjära och tredimensionella rörelser, bildande av virvlar och stora förluster [20]. Se även figur 6. Turbulens uppstår när tröghetskrafterna blir tillräckligt mycket större än de viskösa krafterna och karakteriseras av höga Reynolds tal, se ekvation 25.

Figur 6: Karakteristisk bild av turbulens [21].

I princip gäller Navier-Stokes ekvationer både för laminära och för turbulenta flö- den. Men kraftiga variationer av längds- och tidsskalor gör att en direkt numerisk simulering (DNS) ofta kräver mer beräkningskraft än vad som är rimligt. Därför har mycket arbete lagts ner inom CFD för att utveckla modeller som behandlar turbulens utan upplösning av de minsta längdskalorna. De flesta av dessa är så kallade statistiska turbulensmodeller. Följande ekvationer för beskrivning av dem är på tensorform och kommer från [17].

De statistiska turbulensmodellerna modifierar Navier-Stokes ekvationer genom att uttrycka hastigheten respektivive trycket i form av ett statistiskt medelvärde och en fluktuation enligt

ˆu_i= ¯u_i+ u⁰_i, (10)

ˆp = ¯p + p⁰, (11)

där ¯u_i respektive ¯p är medelvärden och u⁰_i respektive p⁰ är fluktuationer. Med an- vändning av ekvationerna 10 och 11 kan Reynolds medelvärdesbildade Navier- Stokes (RANS) ekvationer tecknas. De medelvärdesbildade ekvationerna för kon- tinuitet respektive rörelsemängd ges av

∂(ρ ¯u_i)

∂x_i = 0, (12)

∂(ρ ¯u_i)

∂t + ∂

∂x_j

³

ρ ¯u_iu¯_j+ ρu⁰_iu⁰_j

´

= −∂ ¯p

∂x_i+∂¯τ_{i j}

∂x_j, (13)

där ρu⁰_iu⁰_j benämns Reynolds spänningar och τ_{i j} är den viskösa spänningstensorn som i sin tur ges av

τ_{i j}= µ µ∂ ¯u_i

∂x_j+∂ ¯u_j

∂x_i

¶

. (14)

På grund av att det resulterande ekvationssystemet innehåller fler obekanta än ekva- tioner är det icke lösbart. Därför introduceras för Reynolds spänningar sambandet

− ρu⁰_iu⁰_j= µ_t µ∂ ¯u_i

∂x_j+∂ ¯u_j

∂x_i

¶

−2

3ρδ_{i j}k, (15)

där µ_t är den så kallade eddy-viskositeten vilken beror av flödets egenskaper, δ_{i j}är Kroneckers delta och k är den turbulenta kinetiska energin. Eddy-viskositeten kan uttryckas som

µ_t = ρC_µk²

ε, (16)

där ε är dissipationen. Den turbulenta kinetiska energin definieras som variationen av hastighetsfluktuationerna och ges av uttrycket

∂(ρk)

∂t +∂(ρ ¯u_jk)

∂x_j = ∂

∂x_j µ

µ∂k

∂x_j

¶

− ∂

∂x_j

³ ρ

2u⁰_ju⁰_iu⁰_i+ p⁰u⁰_j

´

− ρu⁰_iu⁰_j∂ ¯u_i

∂x_j− µ∂u⁰_i

∂x_k

∂u⁰_i

∂x_k. (17)

Dissipationen talar om i vilken takt den turbulenta kinetiska energin dissiperas genom viskös skjuvning. Den bestäms vanligen genom sambandet

∂(ρε)

∂t +∂(ρu_jε)

∂x_j = −C_ε1ρu⁰_iu⁰_j ∂ ¯u_i

∂x_j ε

k− ρC_ε2ε² k + ∂

∂x_j µµ_t

σ_ε

∂ε

∂x_j

¶

. (18) Den turbulensmodell som baseras på ekvationerna 16, 17 och 18 går under namnet k − ε. Modellen innehåller fem parametrar vars värden oftast sätts till

C_µ= 0.09; C_ε1= 1.44; C_ε1= 1.92; σ_k= 1.0; σ_ε= 1.3.

Dess beteende är robust och den ger i många fall rimliga resultat. Detta har lett till att k − ε är en av de mest använda turbulensmodellerna och mer eller mindre standard inom industrin. Beskrivningen ovan är inte fullständig och bara ett av flera sätt att modellera turbulens, men den ger en inblick i problemet och hur det kan behandlas.

2.1 Arbetsgång vid simuleringar 2 CFD SOM ANALYSMETOD

2.1.5 Felkällor

En CFD-simulering är en approximation av verkligheten och innehåller därmed olika typer av fel. Det handlar om geometriska förenklingar, osäkerhet angående randvillkor, fel i den kod som används och numeriska fel. De numeriska felen kan indelas i iterativa konvergensfel och gridkonvergensfel.

Iterativa konvergensfel

Ekvationerna löses genom att approximativa värden itereras fram. Om iteration- erna medför att lösningarna för de olika volymelementen närmar sig de exakta lösningarna av ekvationerna, sägs systemet konvergera. Det iterativa konvergens- felet utgörs av de kvarstående avvikelserna.

I CFX-5.7 rapporteras avvikelserna i form av residualer som talar om hur mycket vänsterledet i en ekvation skiljer sig från högerledet. För att ge meningsfull infor- mation om obalansen i ekvationssystemet normaliseras residualerna.

Det finns två typer av normaliserade residualer, MAX- respektive RMS-residualer.

MAX-residualer ger värden för det volymelement där avvikelsen är störst. RMS- residualer (Root Mean Square) ger medelvärden för alla element. RMS-residualerna är typiskt tio gånger lägre än MAX-residualerna. Är skillnaden en faktor hundra eller mer beror det troligtvis på lägre konvergens i en mycket liten del av flödes- domänen. Höga residualer uppkommer vanligen i separationspunkter och områden med recirkulation och behöver inte försämra resultaten för hela flödet [18].

Konvergensgraden för en simulering påverkas av flera faktorer. I fråga om volym- nätets egenskaper har element med små vinklar, långsträckta element och tvära förändringar i elementstorlek negativ inverkan. När det gäller olika diskretiserings- scheman konvergerar ett av lägre ordning bättre. Konvergens uppnås lättare för ett laminärt flöde än för ett turbulent, men av turbulensmodellerna är k − ε ofta den mest robusta. Även randvillkorens sammansättning inverkar. Mest robust är en flödeshastighet eller ett massflöde vid inloppet i kombination med ett relativt sta- tiskt tryck vid utloppet [18]. Generellt medför ökad komplexitet hos de ekvationer som ska lösas ökade krav på volymnätet för att samma konvergensgrad ska uppnås.

I CFX-5.7 specificeras konvergenskriteriet utifrån MAX- eller RMS-residualerna.

För MAX-residualerna rekommenderas en konvergensnivå på 10⁻⁶ till 10⁻⁷ vid akademiska tillämpningar [18]. Konvergensnivån för de turbulenta ekvationerna påverkar inte huruvida konvergenskriteriet anses uppfyllt.

Gridkonvergensfel

I och med att ekvationerna endast löses för ett antal noder i varje volymelement, ger ett finare nät större noggrannhet. Gridkonvergensfelet är det fel som uppstår till

följd av att nätet inte är oändligt fint. Storleken av det uppskattas genom att under- söka förändringen av någon variabel om nätet successivt förfinas. Detta kallas för gridkonvergensstudie och utgör en viktig del av arbetet med en simulering.

Följande metod för uppskattning av gridkonvergensfelet baseras på Richardsons extrapolation, som innebär att om lösningar för minst tre nät är tillgängliga kan en mer exakt lösning än för det finaste nätet erhållas genom extrapolation [17]. Meto- den är utarbetad för strukturerade nät, där en systematisk nätförfinig kan göras. För ostrukturerade nät kan den endast förväntas ge en indikation om storleksordningen av felet. Beskrivningen är gjord med utgångspunkt från [22].

Det relativa gridkonvergensfelet, e_r, definieras som e_r=

¯¯

¯¯φ − φ_h φ

¯¯

¯¯ , (19)

där φ är det egentliga värdet av någon variabel och φ_här variabelvärdet för ett nät med elementstorlek h. Det egentliga värdet är vanligen okänt, men ett approxima- tivt gridkonvergensfel kan tecknas med hjälp av Taylorutveckling,

φ − φ_αih≈ a₁(α_ih)^p+ H, (20) där a₁är en koefficient som är oberoende av elementstorleken och H står för högre ordningens termer. En nätförfingsfaktor, α_i, har introducerats för att omfatta nät av olika elementstorlek. Denna ges av

α_i= µN₁

N_i

¶_1/3

, (21)

där N₁är antalet element i det finaste nätet och N_iär antalet element i det nät som avses. Genom att teckna ekvation 20 för tre olika nät erhålls sambandet

φ_α2h− φ_α3h

φ_h− φ_α2h =α₃^p− α₂^p

α^p₂− 1 , (22)

ur vilket ett värde för exponenten p kan beräknas. Detta värde bör överensstämma med ordningen av det diskretiseringsschema som används. Med hjälp av p kan sedan ett extrapolerat variabelvärde för oändlig nätfinhet, φ_ext, bestämmas som

φ_ext =α^p₂φ_h− φ_α2h

α₂^p− 1 (23)

Slutligen kan det extrapolerade värdet användas för att ge en approximation av det relativa gridkonvergensfelet, e_{r, approx}, enligt

e_{r, approx}=

¯¯

¯¯φ_ext− φ_h φ_ext

¯¯

¯¯ . (24)

För att metoden ska fungera krävs att alla nät har tillräckligt små element.

2.2 Verifiering och validering 2 CFD SOM ANALYSMETOD

2.2 Verifiering och validering

Då simuleringar av strömningsprocesser är förknippade med osäkerhet är det vik- tigt att undersöka resultatens tillförlitlighet. Två begrepp som ofta förekommer är verifiering och validering. Verifiering avser en kontroll av att programvaran löser ekvationer på rätt sätt. Detta är en uppgift både för utvecklaren av programvaran och för användaren. Validering innebär en test av att rätt ekvationer löses, vilket vanligen är användarens uppgift. I praktiken handlar validering om att utföra någon form av experiment som visar att resultaten har tillräckligt god överensstämmelse med verkligheten.

3 Testfall med turbulent rörströmning

För att undersöka hur en simulering av flödet i inloppstuben och spiralen bör utfor- mas, simulerades ett testfall med turbulent rörströmning. I en gridkonvergensstudie med tre nät beräknades friktionsfaktorn för det simulerade flödet och jämfördes med den friktionsfaktor som kan utläsas ur ett Moody-diagram, se exempelvis [16].

Testfallet utgör också en verifiering av att programvaran, CFX-5.7, kan behand- la turbulenta strömningsförlopp.

3.1 Geometri och randvillkor

Simuleringar gjordes av ett 70 meter långt rör med en diameter av en meter. En- dast ett 60 graders segment av röret modellerades, sedan nyttjades symmetrivillkor på snittytorna. För rörväggen användes ett väggvillkor som innebär att mediets hastighet går mot noll närmast väggytan. Vid inloppet sattes en pluggprofil med normalhastigheten 1.785 m/s. Vid utloppet angavs ett relativt statiskt tryck med värdet noll.

Med angivna värden kan Reynolds tal för flödet, Re, beräknas enligt Re =V D

ν ≈ 2 · 10⁶, (25)

där V är flödets medelhastighet, D är rörets diameter (generellt avses en karak- teristisk längd för flödet) och ν är vattnets kinematiska viskositet [16]. I simu- leringarna är vattnets temperatur 25^◦C, vilket ger den kinematiska viskositeten 0.893·10⁻⁶ m²/s. Storleksordningen av Reynolds tal är representativ för flödet i ett vattenkraftverk. För att klargöra att det handlar om en hög grad av turbulens, kan det sägas att för rörströmning sker övergången mellan laminärt och turbulent flöde normalt vid ett Reynolds tal omkring 2300 [23].

Rörets längd valdes så att flödets pluggprofil skulle övergå till en fullt utvecklad hastighetsprofil före rörets slut, se figur 7. Med en fullt utvecklad hastighetspro- fil menas att hastigheten över tvärsnittet inte längre varierar med koordinaten för flödesriktningen. Övergången kräver en ingångssträcka, l_isom ungefärligen ges av

l_i= 4.4D(Re)^1/6≈ 50 m. (26)

Detta är en uppskattning som gäller turbulenta flöden [24]. Ett korrekt värde av friktionsfaktorn kan beräknas först efter att en sådan övergång har skett. Därför har det även kontrollerats i CFX-Post var i röret flödet får en fullt utvecklad hastighets- profil. Det gjordes genom undersöka var tryckgradienten blir konstant, se kapitel 3.4.

3.2 Nät 3 TESTFALL MED TURBULENT RÖRSTRÖMNING

(a)Pluggprofil vid inloppet. (b)Fullt utvecklad hastighetsprofil vid utloppet.

Figur 7: Flödets hastighetsprofil.

För ett rör som detta med slät innervägg ges friktionsfaktorn, f, av uttrycket f = D

L 2g

V²h_f, (27)

där D är rörets diameter, L är rörets längd eller den längd som friktionsfaktorn beräknas för, g är gravitationskonstanten, V är flödets medelhastighet och h_f är de hydrauliska friktionsförlusterna. Dessa erhålls i sin tur genom sambandet

h_f = ∆z +∆p

ρg, (28)

där ∆z är skillnaden i elevation och ∆p är tryckfallet, båda över sträckan L. Efter- som röret här är horisontellt placerat är ∆z lika med noll. Flödet drivs alltså inte av gravitationen, utan endast av en tryckgradient. Utifrån ekvationerna 27 och 28 hämtade från [23] ges det resulterande uttrycket för friktionsfaktorn av

f = D L

2 V²

∆p

ρ . (29)

Ekvation 29 visar att friktionsfaktorn endast är en funktion av tryckgradienten, det vill säga ∆p/L. Övriga parametrar är i detta fall konstanta.

Resultat från en jämförelse mellan den friktionsfaktor som beräknats utifrån simu- leringarna och den som kan utläsas ur ett Moody-diagram återfinns i kapitel 3.4.

3.2 Nät

De nät som användes består av extuderade tetraeder- och prismelement, se figur 8.

Varje nät skapades utifrån ett ostrukturerat nät med önskad nätfinhet. Alla element

utom de på inloppsytan raderades. Från det kvarvarande ytnätet extruderades ett antal exakt likadana elementlager över rörlängden. Denna metod användes för att få en helt jämn rörvägg, vilket resulterar i en mer korrekt friktionsfaktor. Genom extruderingen ökar också nätets kvalitet. Vidare kan elementindelningen i flödes- riktningen kontrolleras som för ett strukturerat nät. I simuleringarna användes tre olika nät med samma förhållande mellan elementens kantlängd och lagrens tjock- lek. Det totala elementantalet varierar mellan 140 000 och 450 000 element.

För att lösa upp gränsskiktet invid rörväggen skapades tio lager av prismelement.

Höjden vinkelrätt mot väggen sattes till 1 mm för det första lagret. För de övri- ga sattes den till 1.1 gånger höjden av föregående lager. En bild av nätet närmast rörväggen återfinns i figur 9. Då dessa inställningar ger önskade värden av y₊, se vidare kapitel 3.4, användes de för alla tre nät.

Figur 8: Extruderat ostrukturerat nät av tetraeder- och prismelement.

Figur 9: Prismelement för upplösning av gränsskikt invid rörvägg.

3.3 Simuleringar 3 TESTFALL MED TURBULENT RÖRSTRÖMNING

3.3 Simuleringar

Som turbulensmodell vid simuleringarna användes k − ε med skalbara väggfunk- tioner. Trots dess robusta egenskaper krävdes att simuleringarna gjordes i två steg.

När det gäller Navier-Stokes ekvationer för massa och rörelsemängd kunde ett an- dra ordningens diskretiseringsschema direkt användas utan några konvergensprob- lem. För de turbulenta ekvationerna användes till att börja med ett diskretiserings- schema av första ordningen, ner till en konvergensnivå av 10⁻⁴för MAX-residual- erna. Med resultat från dessa körningar kunde sedan High Resolution användas för de turbulenta ekvationerna. Som slutligt konvergenskriterium sattes 10⁻⁷ för RMS-residualerna, vilket uppnåddes för samtliga nät. I figur 10 återfinns RMS- residualerna för det finaste nätet.

(a) Navier-Stokes ekvationer för massa och rörelsemängd.

(b)Turbulenta ekvationer förkochε.

Figur 10: RMS-residualer för det finaste nätet.

3.4 Resultat

Här presenteras de resultat som erhållits i CFX-Post från simuleringarna av testfal- let med turbulent rörströmning. Samtliga figurer avser det finaste nätet.

Flödets tryckgradient

Tryckgradienten kontrollerades genom att plotta trycket invid rörväggen som funk- tion av avståndet från inloppet, se figur 11. Ur plotten framgår att tryckfallet är konstant efter knappt 10 meter, vilket innebär att friktionsfaktorn med god mar- ginal kan beräknas för någon sträcka i slutet av röret.

Figur 11: Trycket invid rörväggen som funktion av avståndet från inloppet.

Värden av y₊

Då simuleringarna gjordes med k − ε som turbulensmodell, vilken använder skal- bara väggfunktioner för gränsskiktsmodellering, ska värdena på y+ helst ligga i intervallet 20-100. Utifrån tabell 1 framgår att detta uppfylls väl av samtliga nät.

I ett begränsat område närmast inloppet ligger y₊-värdena något över 100, men varierar annars mycket lite över rörväggen. Detta illustreras i figur 12.

3.4 Resultat 3 TESTFALL MED TURBULENT RÖRSTRÖMNING

Antal element y_+min[ ] y_+max [ ] y_+medel [ ]

140 272 55 112 64

252 590 60 108 64

448 796 60 110 64

Tabell 1:Värden av y+över hela rörväggen.

Figur 12: Värden avy+närmast inloppet.

Friktionsfaktorn

Friktionsfaktorn för de tre näten beräknades för en sträcka av fem meter, med början 63 meter från inloppet. Här har flödet en fullt utvecklad hastighetsprofil.

Dessutom är det ytterligare 2 meter kvar till slutet av röret, vilket minskar risken för störningar från randvillkoret vid utloppet. Beräkningarna gjordes enligt ekva- tion 29. En gridkonvergensstudie där ett extrapolerat värde av friktionsfaktorn togs fram, utfördes på det sätt som beskrivs i kapitel 2.1.5. De olika nätens värden av friktionsfaktorn, f , approximativa relativa gridkonvergensfelet, e_{r, approx}, och nät- förfiningsfaktorn, α_i, redovisas i tabell 2. Friktionsfaktorns extrapolationskurva återfinns i figur 13.

Antal element f [ ] e_{r, approx}[%] α_i[ ] 140 272 0,0103797 0,52 1.47 252 590 0,0103618 0,35 1.21 448 796 0,0103501 0,23 1

∞ 0,0103261 0 0

Tabell 2:Värden från gridkonvergensstudie av friktionsfaktorn.

Figur 13: Extrapolationskurva från gridkonvergensstudie av friktionsfaktorn.

Det extrapolerade värdet av friktionsfaktorn är en approximation av det värde som ett oändligt fint nät hade gett. Ur tabell 2 kan detta värde utläsas till 0.0103261 eller avrundat till 0.0103. Ett Moody-diagram ger friktionsfaktorn 0.0104 för sam- ma fall. Därmed är skillnaden är mindre än en procent, vilket innebär att simu- leringarna har mycket god överenstämmelse med verkligheten. Extrapolationskur- van visar hur den beräknade friktionsfaktorn varierar med elementantalet. Ur figur 13 framgår att de relativa variationerna mellan näten inte är så stora.

Vid gridkonvergensstudien erhölls värdet 2.07 för exponenten p. Dess värde bör sammanfalla med ordningen av diskretiseringsschemat. Eftersom ett andra ordning- ens diskretiseringsschema användes för ekvationerna för massa och rörelsemängd och High Resolution användes för de turbulenta ekvationerna, stämmer detta rela- tivt bra. I alla fall med tanke på att metoden är framtagen för strukturerade nät.

4 HÖLLEFORSENS INLOPPSTUB OCH SPIRAL

4 Hölleforsens inloppstub och spiral

Vid simuleringarna av Hölleforsens inloppstub och spiral var intentionen att i störs- ta möjliga utsträckning använda samma tillvägagångssätt som för testfallet med turbulent rörströmning.

4.1 Geometri och randvillkor

En CAD-modell av spiralen erhölls av Eduardo Oliveira vid Universidade de Brasília i Brasilien. Denna modifierades genom att inloppstuben lades till. Hela den geometri som användes vid simuleringarna presenteras i figur 14.

(a)Isometrisk vy. (b)Sidovy.

Figur 14: CAD-modell av inloppstub och spiral.

Hölleforsens turbin är av Kaplantyp med betongspiral. Modellen är i skala 1:11 och har ett slutet system där vattnet cirkulerar. Löphjulets diameter är en halv me- ter och har en rotationhastighet av 595 rpm [14].

Inloppstuben fungerar som en ledning fram till spiralen. Spiralens uppgift är att ge en jämn distribution av vatten runt löphjulets hela omkrets. Den ska vara utfor- mad så att flödets hydrauliska förluster blir minimala. För att lämna spiralen måste vattnet passera genom två kransar av skenor. Den yttre kransen består av stagpelare och finns för att ge strukturen ökad hållfasthet och stabilitet. Den inre kransen ut- görs av ställbara ledskenor som används för att reglera flödet [8].

Som randvillkor vid inloppet angavs ett volymflöde av 0.522 m³/s. Detta motsvarar 60 procent av maximal last och är det optimala för modellens effektivitet [14]. Vid utloppet angavs ett relativt statiskt tryck med värdet noll. In- och utloppets place- ring visas i figur 15. På alla väggytor applicerades ett väggvillkor.

Figur 15: In- och utlopp.

4.2 Nät

Nätet för inloppstuben och spiralen är inte extruderat då detta kräver ett konstant tvärsnitt. Vidare består det endast av tetraederelement. Inga nät med prismor av god kvalitet har kunnat skapas. Lokala förfiningar invid ytorna gjordes med hjälp av tetraedrar av mindre storlek, men det är enligt y₊-värdena i kapitel 4.4 inte till- räckligt. Även området vid utloppet har ett finare nät, se figur 16. Här är geometrin som mest komplicerad. Dessutom händer det mycket med flödet, se vidare kapitel 4.4. Totalt består nätet av drygt 6 040 000 element.

4.3 Simuleringar

Precis som i testfallet användes k − ε med skalbara väggfunktioner som turbulens- modell. På grund av problem med recirkulation angavs initialt ett öppningsvill- kor vid utloppet. Till skillnad från ett utloppsvillkor tillåter ett sådant att fluiden passerar i båda riktningarna. Diskretiseringsschemat sattes till första ordningen för samtliga ekvationer. Efter att en konvergensnivå av 10⁻⁶ uppnåtts för RMS- residualerna var det möjligt att ändra från öppning till utlopp. Konvergenskriteriet sattes då till 10⁻⁷för RMS-residualerna. Tyvärr gick det inte att uppnå denna kon- vergensgrad annat än med ett diskretiseringsschema av första ordningen, varför det är vad som slutligen användes. I figur 17 återfinns RMS-residualerna för det nät som användes.

4.3 Simuleringar 4 HÖLLEFORSENS INLOPPSTUB OCH SPIRAL

Figur 16: Vy från ovan av spiralens nät.

(a) Navier-Stokes ekvationer för massa och rörelsemängd.

(b)Turbulenta ekvationer förkochε.

Figur 17: RMS-residualer.

4.4 Resultat

Här presenteras de resultat som erhållits i CFX-Post från simuleringarna av Hölle- forsens inloppstub och spiral. Resultaten innehåller också jämförelser mellan dessa simuleringar och tidigare simuleringar samt experiment.

Flödets kontinuitet

Till att börja med kontollerades flödets kontinuitet, det vill säga om flödet vid ut- loppet motsvarar det vid inloppet. Ur tabell 3 framgår att skillnaden mellan de två värdena är cirka 0.3 procent.

Inlopp Utlopp Volymflöde Q [m³/s] 0.52197 0.52029

Tabell 3:Volymflödet vid in- respektive utloppet.

Värden av y₊

Precis som i testfallet användes k − ε som turbulensmodell i simuleringarna och värdena på y₊bör ligga i intervallet 20-100. Ur tabell 4 framgår att så inte är fallet.

Det faktum att nätet inte har några prismelement för upplösning av gränsskiktet resulterar i värden som överlag är för höga. Men enligt tabell 4 finns också värden som är alldeles för låga. I figur 18 finns en plott av y₊-värdena. Här ses att de lå- ga värdena huvudsakligen återfinns i ett sammanhängande område i framkant av inloppstubens takyta. Orsaken är uppkomst av separation, vilket innebär att flödet släpper från väggen. Vid utloppet kan det område som har ett finare nät klart urskil- jas genom att y₊-värdena är lägre än för övriga väggytan.

y_+min y_+max y_+medel Värden av y₊[ ] 2 1 103 207

Tabell 4:Värden av y+över alla väggytor.

Strömlinjer

Strömlinjerna illustrerar flödets hastighet och hur det rör sig genom domänen, se figur 19. Här ses det tidigare nämnda området med separation, i främre delen av inloppstubens takyta. Strömlinjerna visar också att spiralen distribuerar flödet runt hela löphjulet som det är avsett. Vidare framgår det att de största hastighetsvaria- tionerna återfinns vid utloppet.

4.4 Resultat 4 HÖLLEFORSENS INLOPPSTUB OCH SPIRAL

Figur 18: Värden avy+.

Figur 19: Strömlinjer.

Tryck

I figur 20 finns en bild av tryckfördelningen i inloppstuben och spiralen. Tryck- et är relativt konstant förutom precis innan utloppet där det sjunker. Orsaken är ökade förluster till följd av minskad area och därigenom ökad hastighet för flödet.

Passagen mellan stagpelarna och ledskenorna ger också upphov till förluster.

Figur 20: Tryck.

Jämförelse med tidigare simuleringar

Som nämnts i kapitel 1.3 har simuleringar tidigare gjorts av spiralen utan inlopps- tuben, se vidare [14]. Här följer en jämförelse mellan resultat från dessa och resultat från de simuleringar som har gjorts i detta arbete. I de tidigare simuleringar som jämförelsen avser har k − ε använts som turbulensmodell. Figur 21 och figur 22 visar axialhastigheten vid utloppet för de två fallen. Överensstämmelsen mellan dem är stor. En intressant sak att notera är att det innersta (rödfärgade) fältet inte är helt symmetriskt i någon av figurerna. Det tyder på att flödets hastighet runt löphjulet inte är uniform, till skillnad från vad som är syftet med spiralens utform- ning. Detta gäller dock en mycket liten del av utloppet, för en övervägande del är hastighetsfördelningen till synes uniform.

4.4 Resultat 4 HÖLLEFORSENS INLOPPSTUB OCH SPIRAL

Figur 21: Axialhastighet vid utloppet från de simuleringar som gjorts i detta arbete.

Figur 22: Axialhastighet vid utloppet från de simuleringar som tidigare gjorts [14].

Jämförelse med tidigare simuleringar och experiment

Här görs en jämförelse mellan resultat från de simuleringar som har gjorts i detta arbete och resultat från de simuleringar samt experiment som tidigare gjorts. Simu- leringarna är desamma som i föregående jämförelse. Experimenten avser LDV- mätningar av hastigheten i spiralen, se vidare [9] och [14]. Jämförelsen gäller axialhastigheten precis innan utloppet. En översiktsbild av det plan för vilket axial- hastigheten har plottats återfinns i figur 23(a). Ur figur 23(b) och figur 24(a) framgår att likheten mellan simuleringsresultaten är stor. Samma hastighetsmönster kan identifieras i resultaten från de exprimentella mätningarna, se figur 24(b), men här finns ändå en viss skillnad. Hastighetsskalan i figur 23 gäller endast delfigur 23(b).

(a)Översiktsbild av plan. (b)Del av plan nära utloppet.

Figur 23: Axialhastighet från de simuleringar som gjorts i detta arbete.

(a)Simuleringar. (b)LDV-mätningar.

Figur 24: Axialhastighet från de simuleringar och experiment som tidigare gjorts [14].

5 DISKUSSION

5 Diskussion

5.1 Om resultaten

Simuleringarna av Hölleforsens inloppstub och spiral har inte kunnat göras på sam- ma sätt som för testfallet med turbulent rörströmning. Orsaken är antagligen att inloppstubens och spiralens geometri är mycket mer komplicerad.

Eftersom nätet inte innehåller prismor och diskretiseringsschemat är av första ord- ningen är det inte lämpligt att nyttja några kvantitativa resultat från simuleringarna.

Däremot kan de mycket väl användas för att ge en kvalitativ bild av flödet. Arbetet har vidare gett insikt i de problem som simuleringarna är förknippade med.

Att resultaten stämmer väl överens med resultat från de tidigare simuleringarna, beror förmodligen på att båda är tillräckligt bra för att fånga flödets beteende i stort. Det finns dock ingen garanti för att överenstämmelsen gäller alla resultat. En annan sak att notera i fråga om likheten mellan simuleringarna, är att de som tidi- gare gjorts inte inkluderar inloppstuben. Kanske är det så att den kan den utelämnas utan att det påverkar resultaten nämnvärt. Om så är fallet bör det göras till förmån för ett finare nät i spiralen.

5.2 Fortsatt arbete

För att få tillförlitliga resultat för inloppstuben och spiralen återstår en hel del ar- bete. Nycklen till att lyckas med simuleringarna är ett bra nät. Därför är det aktuellt att göra nya simuleringar med strukturerade HEXA-nät. Förhoppningsvis kan en bättre gränsskiktsupplösning och konvergens för ett diskretiseringsschema av an- dra ordningen då erhållas.

I ett längre perspektiv är det aktuellt att simulera flödet genom hela modellen av Hölleforsens turbin. Största utmaningen utgörs av löphjulet, vars rotation ger upp- hov till icke-stationära och asymmetriska krafter. Lyckligtvis ökar hela tiden möj- ligheterna med CFD. Datorerna blir kraftfullare, programvarorna utvecklas och den samlade kunskapen inom området växer.

Referenser

[1] Vattenfall AB, http://www.vattenfall.se/om_vattenfall/energikunskap/

vatten/ (2005-03-27).

[2] Svensk Energi, http://www.svenskenergi.se/energifakta/vattenkraft.htm (2005-05-10).

[3] Virgin, K., Det våras för vattenkraften, Civilingenjören, 2004, 4, s. 20-25.

[4] Svensk Energi, http://www.svenskenergi.se/skolan/underlag/kk6_15.pdf (2005-03-24).

[5] Sydkraft AB, http://www.sydkraft.se/templates/InformationPage.aspx?id=

12104 (2005-03-24).

[6] Vattenfall AB, http://www.vattenfall.se/om_vattenfall/energikunskap/sol/

sa_fungerar_det.asp (2005-03-24).

[7] Vattenfall AB, http://www.vattenfall.se/om_vattenfall/energikunskap/

vatten/sa_produceras_el.asp (2005-03-25).

[8] Krivchenko, G. (1994), Hydraulic machines: turbines and pumps, 2:a uppl., Lewis Publishers, Boca Raton, ISBN 1-56670-001-9.

[9] Nilsson, H. (2002), Numerical Investigations of Turbulent Flow in Water Tur- bines, doktorsavhandling, Chalmers tekniska högskola, Göteborg, ISBN 91- 7291-187-5.

[10] The IAHR/ERCOFTAC Turbine-99 Workshops, http://www.sirius.luth.se/

strl/Turbine-99/ (2005-04-22).

[11] Cervantes, M. (2003), Effects of Boundary Conditions and Unsteadiness on Draft Tube Flow, doktorsavhandling, Luleå tekniska universitet, Luleå, ISRN LTU-DT–03/11–SE.

[12] Marjavaara, D. (2004), Parameterisation and Flow Design Optimisation of Hydraulic Turbine Draft Tubes, licentiatavhandling, Luleå tekniska univer- sitet, Luleå, ISRN LTU-LIC–04/32–SE.

[13] Hellström, G. (2005), Redesign of an Existing Hydropower Draft Tube, exa- mensarbete, Luleå tekniska universitet, Luleå, ISRN LTU-EX–05/67–SE.

[14] Oliveira, E. et al, Assessment of turbulence modelling for CFD simulations into hydroturbines: spiral casings, Proceedings of the 17th International Me- chanical Engineering Congress, 2003, São Paulo, Brasilien.

[15] Vattenfall Utveckling AB

REFERENSER REFERENSER

[16] Finnemore, J. och Franzini, J. (2002), Fluid Mechanics with Engineering Ap- plications, 10:e uppl., McGraw-Hill, Boston, ISBN 0-07-243202-0.

[17] Ferziger, J. och Peri´c, M. (2002), Computational Methods for Fluid Dynam- ics, 3:e uppl., Springer, Berlin, ISBN 3-540-42074-6.

[18] ANSYS CFX-5.7 Help.

[19] Kanwal Rekhi School of Information Technology, http://www.it.iitb.ac.in/

∼vweb/engr/civil/computation_mechanics/personalpages.umist.ac.uk/

staff/david.d.apsley/lectures/comphydr/scalar.pdf (2005-05-31).

[20] Kundu, P. och Cohen, I. (2002), Fluid Mechanics, 2:a uppl., Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-178251-4.

[21] Sea Launch, http://www.sea-launch.com/mission_estrela_do_sul-t14/

mission_album/jan_4/jan_4.html (2005-05-20).

[22] Nordlund, M. (2004), Permeability of Non-Crimp Fabrics: A Computation- al Fluid Dynamics Approach, licentiatavhandling, Luleå tekniska universitet, Luleå, ISRN LTU-LIC–04/60–SE.

[23] White, F. (1979), Fluid mechanics, McGraw-Hill, Tokyo, ISBN 0-07-069667- 5.

[24] Young, D. (2001), A brief introduction to fluid mechanics, 2:a uppl., Wiley, New York, ISBN 0-471-36243-3.