Textbaserade
problemlösningsuppgifter inom delmomentet area
En läromedelsanalys i två olika matematikböcker för elever i årskurs 6.
Författare: Rönngren, Sara
Självständigt examensarbete II
Abstrakt
Ett arbete om hur textbaserade problemlösningsuppgifter inom delmomentet area framställs i två matematikböcker. Syftet med arbetet är att skapa en djupare förståelse om läromedlen möjliggör ett lärande för eleverna. Metoden för arbetet är en kvalitativ innehållsanalys som präglas av Taflins (2007) beskrivningar av uppgifter och hennes sju kriterier för att ett problem ska anses vara ett rikt problem. Vidare används även opportunities to learn (OTL) för att undersöka lärandet med frågor. Teorin som formar arbetet är variationsteorin där lärandeobjektet, kritiska aspekter och variationsmönster är övergripande teman. Genom att använda en kvalitativ innehållsanalys tillsammans med variationsteorin och OTL ges möjligheter att enklare urskilja teman, mönster och begrepp i matematikböckerna.
Fynden som gjorts i matematikböckerna visar att det finns flera textuppgifter som uppfyller samtliga av Taflins (2007) sju kriterier för rika problem och blir sålunda textbaserade problemlösningsuppgifter. Dessa framställs på olika sätt då de har olika lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster. Olika teman påverkar även elevernas möjligheter till lärande då olika uppgifter fokuserar på olika saker. Slutligen påverkas elevernas lärande av mängden uppgifter och instruktioner i läromedlen.
Instruktionerna ger eleverna information om vad de ska arbeta med men det är eleven själv som behöver sin problemlösningsförmåga, förståelse och sina kunskaper samt erfarenheter för att kunna lösa uppgifterna och skapa sig ett individuellt lärande.
Nyckelord
Variationsteorin, opportunities to learn (OTL), area, textbaserade problemlösningsuppgifter och matematikböcker.
Tack
Jag vill tacka min handledare Susanne Erlandsson för sin tillgänglighet och vägledning. Jag vill även tacka min examinator Jeppe Skott och opponenter för värdefull återkoppling.
Innehållsförteckning
Frågeställningar 5
Val av fortsatt forskning 6
Läromedel 7
Opportunities to Learn (OTL) 7
Problem* -lösning, -förmåga 8
Olika uppgifter 9
Problem (rika och övriga) 10
Textuppgifter 10
Rutinuppgift 10
Relation mellan Taflins uppgiftsbeskrivningar 10
Area 11
Mätning och enhetsbyte 11
Bas och höjd 11
Area med hjälp av ”rutor” eller ”rutnät” 11
Svåra moment med area 12
Variationsteori 13
Lärandeobjekt 13
Kritiska aspekter 14
Variationsmönster 14
Tillämplig av teorin i arbetet 15
Val av läromedel 16
Val av matematikinnehåll 16
Metoddiskussion 16
Genomförande 17
Resultatredovisning till frågeställning 1 17
Resultatredovisning till frågeställning 2 18
Validitet och reliabilitet 19
Etiskt övervägande 19
Resultat utifrån frågeställning 1 20
Resultat utifrån frågeställning 2 24
Resultatsammanfattning 28
Framställning av textbaserade problemlösningar 30
Möjligheter till lärande 31
Analyssammanfattning 33
Resultatdiskussion 34
Analysdiskussion 35
Slutsats 37
Fortsatt forskning 37
Inledning
Area och problemlösning är två viktiga moment inom matematik och återkommande i kursplanen (Skolverket, 2019). Problemlösning möter eleverna ofta i matematikböcker då det är ett återkommande moment att arbeta med. Svårigheter som eleverna möter i textbaserade problemlösningsuppgifter är ordkunskap och matematiska termer. Förstår inte eleverna språket i uppgifterna så skapar det svårigheter att lösa dem (Duru & Koklu, 2011; Powell, Stevens & Hudghes, 2019).
Area är ett delmoment inom arbetsområdet geometri och kan skapa svårigheter för eleverna. En svårighet som uppmärksammats är att förstå skillnaden mellan omkrets och area (Murphy, 2016; Tan Sisman & Meral, 2016).
Vid undersökning av läromedel skapas en större förståelse om vilka kunskaper och förmågor som eleverna utvecklar. Läromedel är ett redskap som läraren kan använda i sin undervisning. Däremot används läromedel olika mycket och det beror på vilken lärare som undervisar. Ett läromedel kan användas flera gånger varje dag, vid enstaka tillfällen eller enbart användas som inspirationskälla (Ammert, 2011; Englund, 2011).
Skolan ska även bidra med kunskap och skapa en lärandemiljö i undervisningen (Skolverket, 2019). Därför blir förståelsen om elevers lärande i matematiken en viktig del som läraren behöver vara medveten på grund av att Skolinspektionen (2009) skriver att matematikböcker utgör en stor del av matematikundervisningen i skolan (Skolinspektionen, 2009).
Intresset för arbetet kommer från en tidigare litteraturstudie om språkets roll i textbaserade problemlösningsuppgifter och från verksamhetsförlagda utbildningar.
På skolorna fanns det flera elever som hade svårigheter med att räkna och förstå begreppet area. Eleverna uppgav bland annat att area är ”krångligt” och ”svårt”, vilket i sin tur också påverkar förståelsen inom delmomentet. Utifrån dessa faktorer blir det intressant att undersöka både textbaserade problemlösningsuppgifter inom delmomentet area för att både bygga vidare på litteraturstudien samt verksamhetsförlagda utbildningar.
Arbetet kommer således att undersöka hur textbaserade problemlösningsuppgifter förekommer i två läromedel: Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016) och Matte direkt Borgen, 6A (Carlsson, Liljengren & Picetti, 2014). Arbetet har för avsikt att skapa en förståelse för hur läromedlen är uppbyggda och hur det påverkar elevers lärande. Att skapa förståelse om detta kommer att bidra med att yrkesverksamheten vid ett tidigt skede kommer att kunna urskilja lärandeobjektet, kritiska aspekter och variationsmönster som eleverna möter tillsammans med de textbaserade problemlösningsuppgifterna. När en medvetenhet skapas om uppgifternas framställning blir det även en förståelse om vad det är uppgifterna i böckerna lär ut till eleverna, vad eleverna tränar när de löser uppgifterna och vilka möjligheter uppgifterna erbjuder till ett lärande.
Syfte
Syftet är att genom en läromedelsanalys studera två matematikböcker i relation till textbaserade problemlösningar inom delmomentet area. Detta för att skapa en djupare förståelse om läromedlen möjliggör ett lärande för eleverna.
Frågeställningar
1. Hur framställs textbaserade problemlösningsuppgifter i de båda läromedlen inom avsnittet som behandlar area?
2. Vilka möjligheter till lärande erbjuds eleverna när de beräknar textbaserade problemlösningsuppgifter som finns tillsammans med area i respektive läromedel?
Tidigare litteraturstudie
I en tidigare systematisk litteraturstudie var syftet att undersöka vad forskningen framställde om språkets betydelse för förståelsen i textbaserade problemlösningsuppgifter och språkliga redskap. Resultatet i litteraturstudien visade att språket har stor betydelse för elevernas förståelse och möjligheter till lärande inom matematiken. Språket är ett verktyg för eleverna när de kommunicerar matematik, utökar sin ordförståelse och tolkningar av problemlösningarna. Sammanhanget och orden i uppgifterna avgör elevernas tankeprocesser samt vilka förmågor som eleverna visar. Förståelsen påverkades även av om ett matematikspråk eller ett vardagsspråk användes. Det var även av vikt att läraren uppmuntrade till att använda ett mer
”formellt matematikspråk” och hjälpte eleverna vid felsägningar av bland annat matematiska termer (Dunston & Tyminiski, 2013; Duru & Koklu, 2011; Thomas, et al., 2015).
Ett redskap som berör språket är att ställa frågor som exempelvis: Vad är målet med lektionen och vilka hinder kan uppstå? Frågorna skapar en medvetenhet kring vilka språkliga barriärer som eleverna kan möta i matematikundervisningen. Parallellt är det betydande att sätta de textbaserade problemlösningsuppgifterna i verklighetstrogna händelser och skapa diskussioner tillsammans med eleverna (Powell, Stevens & Hudghes, 2019; Thomas, et al., 2015; Wu & An, 2016). Ett annat redskap som främjar elevernas utveckling av matematikkunskaper är så kallat scaffolding, vilket innebär att eleverna utvecklar sina kognitiva förmågor till följd av att eleverna blir medvetna om deras tänkande och tankeprocesser (Anghileri, 2006;
Frederick, Courtney & Caniglia, 2013). Scaffolding skapar möjligheter att sortera informationen i uppgifter. När eleverna använder sig av scaffolding genom att sortera bort den onödiga informationen missar de inte viktig information som hjälper dem i deras problemlösningsprocess (Frederick, Courtney & Caniglia, 2013).
Val av fortsatt forskning
Folkhälsomyndigheten (2020) rekommenderar att inte utsätta sig själv eller andra för smitta under den rådande pandemin, Covid-19 (Folkhälsomyndigheten, 2020). Det försvårar det först tänkta arbetssättet med att intervjua elever och undersöka vilka språkliga hinder de ställs inför i undervisningen. Det medförde att detta arbetet fick ta en annat perspektiv. Följaktligen utgår arbetet från den praktiskt lagda undervisningen där eleverna har förmedlat sina svårigheter inom area.
Detta arbete har sålunda skapat anknytning till tidigare arbete genom att titta på hur textbaserade problemlösningsuppgifter framställs och vilka möjligheter till lärande som dessa uppgifter erbjuder eleverna i matematikböcker.
Språkets roll undersöks inte i lika stor utsträckning som tidigare på grund av att det skulle medföra att arbetet bygger på spekulationer och tolkningar. Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström (2013) skriver att när vi tolkar och spekulerar finns det ingen litteratur eller beprövad erfarenhet bakom de antagandena som görs (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Arbetet hade således inte vilat på en vetenskaplig grund.
Litteraturbakgrund
I detta avsnitt kommer en litteraturbakgrund som är väsentlig för studiens uppbyggnad och struktur att beskrivas. Avsnittet är till för att läsaren ska skapa sig en inledande förståelse kring matematikämnet och begrepp som förekommer tillsammans med problemlösningsuppgifter och area. Litteraturbakgrunden är även till för att senare kunna följa med i resultat-, analys- och diskussionsavsnitten.
Läromedel
För att kunna svara på frågeställningarna behövs en grundförståelse kring läromedlens funktion och varför de ser ut som de gör. Därför förklaras läromedlens övergripande funktion för att beskriva hur matematikboken framställs i undervisningen. Ammert (2011) skriver att läroboken har en central roll i undervisningen. Undervisningen påverkas av olika variabler likt elevgruppen, tidigare kunskaper och erfarenheter, lärarens intresse samt förkunskaper och förutsättningar i klassrummet. Däremot används inte läroböcker på samma sätt av olika lärare. En lärare kan exempelvis använda läroboken som referens, hämta material ur den eller använda den återkommande vid lektioner (Ammert, 2011).
Två frågor som Englund (2011) diskuterar är: Vad gör en lärobok? och vad åstadkommer den? De frågorna går inte att besvara innan man vet hur man ska titta på den och utifrån vilket perspektiv. Beroende på val av perspektiv kommer olika resultat att synliggöras. Det som också påverkar hans två frågor är synen på läroböckernas funktion och synen på kunskap. Skolans funktion är att ta vara på elevers kunskaper, omskapa kunskaper och sätta kunskap i andra perspektiv. Det är lärarens uppgift att hjälpa eleverna att omvandla informationen som står i läroboken på det sätt som fungerar bäst för elevgruppen. Lärobokens funktion är att vara ett praktiskt arbetsredskap för lärarna som underlättar deras arbete. Den är legitimerad och kunskapsgivande för eleverna och skapar en gemenskap och sammanhållning mellan lärare och elever (Englund, 2011).
Matematikboken är utformad utifrån ett socialt sammanhang av människor för att användas i utbildning. Läromedelsförfattarnas avsikt är att erbjuda ett redskap för elevers lärande utifrån kursplanen. Dessutom kategoriseras matematikboken av en stegvis förändring av svårighetsgraden i uppgiften. Detta kan missgynna elever som har svårt för matematik, men kan å andra sidan gynna högpresterande elever (Johansson, 2006). Skolinspektionen (2009) anser att matematikundervisningen är för starkt styrd av läroboken. Vilket gör att eleverna utvecklar otillräckliga kunskaper, de utveckla inte sin egen kompetens i problemlösning eller deras logiska resonerande och sätter heller inte matematiken i ett sammanhang. De anser även att matematikböckerna har snävt formulerade matematikuppgifter och att dessa oftast erbjuder eleverna att räkna utifrån lösta exempeluppgifter. Detta medför att uppgifterna sällan inbjuder till färdighetsträning av andra kompetenser och förmågor (Skolinspektionen, 2009).
Opportunities to Learn (OTL)
Den svenska översättningen av opportunities to learn är möjligheter att lära sig.
Skolverket (2019) skriver i läroplanen om elevers lärande och möjligheter till
utveckling. Eleverna har rätt till utbildning, där de ska bli kunskapssökande och nyfikna individer. Skolan ska vara för alla där eleverna utifrån sina erfarenheter och förutsättningar ska kunna vidareutveckla kunskaper (Skolverket, 2019).
Bingolbali och Bingolbali (2019) beskriver OTL som ett verktyg vid läromedelsanalys. OTL har enligt dem fått en större användning vid analyser av matematikböcker med förhållande till problemlösning. Inom matematiken ger OTL eleverna möjligheter att engagera sig och spendera tid på uppgifterna. Dessutom skapar förståelsen av vad som finns i läromedel en annan förståelse om elevers möjligheter till lärande. Därtill påverkar OTL också vilka instruktioner läraren ger eleverna vid olika arbetsområden samt moment. OTL används oftast för att presentera fynd som finns att hitta inom ett läromedel (Bingolbali & Bingolbali, 2019).
En sorts läromedelsanalys med OTL ger Wijaya, Van den Heuvel-Panhuizen och Doorman (2015; se Charalambous m fl. 2010) exempel på. Författarna delar in analysen av textboken i tre kategorier. Dessa kategorier kallas för ”horisontella, vertikala och kontextuella”. Den horisontala delen är att analysera de generella egenskaperna hos läromedlet, nämligen hur den ser ut och hur organisationen av läromedlet ser ut. I den vertikala delen undersöks hur själva läromedlet är uppbyggt, vad det är som presenteras i det och hur innehållet behandlas. I den sista kontextuella delen är det väsentliga hur läromedlet används vid instruktioner av exempelvis läraren eller ”instruktionsrutor” (Wijaya, Van den Heuvel-Panhuizen & Doorman, 2015; se Charalambous m.fl. 2010).
En annan författare, Murphy (2016) har tagit inspiration från OTL i sin textboksanalys i förhållande till läroplanen där författaren “bryter ner lärandet i bitar”. Hon ställer tre grundläggande frågor i perspektiv till kunskap, uttryckssätt och tajming. Detta i förhållande till elevers möjlighet till lärande. Frågorna är:
• “What area measurement knowledge is presented?
• How is that content presented on the textbook page?
• When and in what order is that content presented?” (Murphy, 2016:8).
Hong, et al. (2018) gör i sin artikel också en läromedelsanalys där de tittar på vilka möjligheter till lärande matematikböcker ger eleverna. Deras analys utgår från tre övergripande områden och är:
• “how much attention is given to area and area-related lessons,
• how area topics are treated and distributed, and
• how well-known challenges in area measurement are addressed“ (Hong, et al., 2018:331).
Denna studie kommer i enlighet med tidigare studier att använda OTL vid läromedelsanalysen och arbetet har tagit inspiration av författarnas frågor. Det här arbetet kommer således ställa egna frågor till läromedlen vilket är en del av metoden och det är mer utförligt beskrivet i delen: genomförande.
Problem* -lösning, -förmåga
Ett problem kan vara många saker och är sällan likadant för alla. Det är därför viktigt att poängtera att ett problem inte behöver vara ett problem för alla, det beror på
problemlösares färdigheter, erfarenheter och kunskaper (Karlsson & Kilborn, 2015).
Ett problem är när det finns en okänd komponent som problemlösaren ska beräkna.
Problemlösaren ska finna en strategi som fungerar för att lösa problemet och på så sätt behöver problemlösaren kompetens för detta. En annan viktig faktor till att problemet ska bli löst är motivationen. Har inte problemlösaren motivation till att lösa problemet är risken stor att den kommer att avbryta om problemet är för komplext.
Det är också viktigt att problemlösaren inte direkt känner till hur problemet ska lösas.
Problemlösaren behöver få anstränga sig för att utvecklas och finna lösningen till problemet (Fülöp, 2019; Taflin, 2007). Således anses ett problem vara när en problemlösare ska lösa en uppgift där det inte finns en given standardmetod. Björn, Aunola och Nurmi (2016) och Taflin (2007) förespråkar även att elevernas problemlösningsförmåga förbättras om eleverna har en god läsförståelse. Detta genom att arbetsminnet kan sortera bort onödig information och fokusera på det väsentliga i uppgiften (Björn, Aunola & Nurmi, 2016; Taflin, 2007).
Eleverna behöver känna till vilken kontext problemlösningsuppgifterna är hämtade ifrån för att förstå vad det är de ska göra för att sedan kunna successivt öka svårighetsgrad i uppgifterna. Eleverna behöver likaså få möjligheter att individuellt ställas inför problem. Därpå behöver eleverna fundera, prova och gissa sig fram till hur de kan lösa problemen. Eleverna ska utnyttja sina egna förmågor och kunskaper för att lösa problemen. De skapar på så sätt erfarenheter och en “ryggsäck” som de bär med sig genom hela skolgången och även efter det. Eleverna lär sig att anpassa strategier och modeller utifrån sina tidigare erfarenheter till problem som de stöter på.
Elevernas problemlösningsförmåga utvecklas hela tiden när de arbetar med olika problem (Holgersson, 2014; Karlsson & Kilborn, 2015).
Vidare är matematiska termerna av stor betydelse i problemlösningsuppgifter. Förstår inte eleverna exempelvis att ordet kan ha dubbel betydelse beroende på i vilket sammanhang det används så kommer eleverna ha svårigheter med att lösa problemet och/eller få ett felaktigt svar. Detta då eleverna kan ha förståelse för ordet i ett vardagligt sammanhang och tro att ordet i matematik menar samma som i det vardagliga sammanhanget. (Duru & Koklu, 2011; Myndigheten för skolutveckling, 2008). Ett exempel är ordet rymmer. Rymmer betyder i ett vardagligt sammanhang att en person flyr från någon/någonting. I ett matematiskt sammanhang har ordet rymmer en annan betydelse, det vill säga hur mycket får det plats i eller innehåller någonting. Skulle eleverna få en uppgift där det står ”hur mycket rymmer figuren?”
så kan eleverna gissa, tro eller anta att det står ”hur mycket flyr figuren?” vilket i sin tur skapar förvirring.
Olika uppgifter
Det finns olika typer av uppgifter som eleverna möter i matematikundervisningen.
Taflin (2007) beskriver i sin avhandling hur uppgifter kan delas upp. Hon har delat in dem i tre kategorier: problem, textuppgifter och rutinuppgifter. Hennes olika uppdelningar av uppgifter kan anses vara problem beroende på vem det är som ska lösa dem (Taflin, 2007). Definitionen av rutinuppgifter, textuppgifter och rika problem kommer användas till arbetets framställning av resultat utifrån arbetets syfte och frågeställningar.
Problem (rika och övriga)
Problem är uppdelade i två kategorier, rika och övriga problem. Ett problem utgår från att uppgiften inte har en given standardmetod och att den kräver utmaning av eleverna för att lösa den. För att ett problem ska klassas som ett rikt problem behövs samtliga av Taflins (2007) sju kriterier uppfyllas och dessa är:
1. “Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier.
2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det.
3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer.
5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer.
6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem” (Taflin, 2007:21).
Övriga problem är de problem som i en situation inte uppfyller alla de sju kriterierna som finns till de rika problemen. Däremot kan ett övrigt problem bli ett rikt problem i en annan situation och ett rikt problem kan bli ett övrigt problem (Taflin, 2007).
Textuppgifter
Textuppgifter består av mer än matematiska symboler. I dessa uppgifter utgör språket en stor roll och förmedlar till problemlösaren vilken metod som är lämplig att använda. Språket i textuppgifter kan också försvåra hur uppgifterna ska bli lösta.
Språket komplicerar uppgifterna genom att innehålla ”onödig information” som egentligen inte har med matematiken att göra (Taflin, 2007). Fosnot och Dolk (2018) skriver att textuppgifter skapar en bild av att det finns flera lösningsstrategier även om det inte alltid är sant. Läraren kan förutspå att eleverna kommer använda en viss räkneprocedur. Däremot är det viktigt att poängtera att vissa elever kommer likväl hitta andra lösningssätt (Fosnot & Dolk, 2018).
Rutinuppgift
Om uppgiften inte skapar några svårigheter för problemlösaren kan den inte betecknas som ett problem. Den blir istället en ren färdighetsträning och blir således kallad rutinuppgift (Taflin, 2007). Det betyder att uppgiften är uppbyggd så att problemlösaren direkt ser hur personen ska lösa uppgiften och vilken strategi som är bäst lämpad att använda. Ett exempel på en rutinuppgift och när eleverna känner till arbetssättet vid addition är: [3 + 4 = X].
Relation mellan Taflins uppgiftsbeskrivningar
En rutinuppgift kan inte vara ett problem för en problemlösare om uppgiften har en given standardmetod. Vilket gör att en annan uppgift som inte har en given standardmetod anses vara ett problem. Detta medför att en textuppgift kan placeras både som en rutinuppgift och som ett problem beroende på om den har en given standardmetod eller inte. Har inte textuppgiften en given standardmetod kan den undersökas i relation med Taflins (2007) sju kriterier för rika problem. Om uppgiften uppfyller alla kriterier kommer den att klassas som ett rikt problem men om den inte
uppfyller alla kriterier kommer den kvarstå som en textuppgift. Därför att den fortfarande inte har en given standardmetod och kan således inte bli benämnd som en rutinuppgift.
Area
Area handlar om att mäta hur stort utrymmet är i en omsluten tvådimensionell figur.
Tvådimensionella figurer har en sluten form, saknar djup och kan ligga på en plan eller icke plan yta (Smith, Males, & Gonulates, 2016). Exempel figur 1. Area har flera viktiga begrepp och några förklaras nedanför.
Figur 1. Rektangel och triangel.
Mätning och enhetsbyte
Det finns flera olika saker som kan mätas. Det kan vara längd, avstånd, volym, tid eller vikt (Bäckman, 2015). Genom att mäta längden på vissa delar av olika figurer går det att beräkna arean. Eleverna behöver förstå grunden med att mäta, jämföra, rimlighetsbedöma och uppskatta längder. Samtidigt som de mäter är det bra om eleverna också utvecklar kunskaper om enhetsbyte. Enhetsbyte är när enheter växlar mellan andra enheter som har ett konstant värde. Exempel på enhetsbyte [1 m = 10 dm = 100 cm] (Karlsson & Kilborn, 2015).
Bas och höjd
Basen och höjden är figurens längd och bredd, se exempel i figur 3. Det finns olika formler till att beräkna arean beroende på figur. Ett exempel är rektangelns area som beräknas med [basen x höjden] medan en triangels area beräknas med [!"#$% ' (ö*+$%
, ].
Då två likadana trianglar tillsammans bildar en rektangel och därför behövs formeln divideras med två (Karlsson & Kilborn, 2015).
Figur 2. Basen och höjden vid en rektangel.
Area med hjälp av ”rutor” eller ”rutnät”
När elever lär sig räkna area har oftast de första figurerna rutor inuti sig. Dessa rutor hjälper eleverna att lättare se exempelvis hur många kvadratcentimeter som får plats inuti en rektangel. En ytterligare faktor är att elever använder rutnät för att lättare kunna rita geometriska figurer (Karlsson & Kilborn, 2016). Exempel på rutnät i en rektangel där arean för figur 3 är: [3 cm x 4 cm = 12 cm] Svar: 12 𝑐𝑚,. Det går samtidigt att kontrollera att svaret stämmer genom att räkna “rutorna” i figuren.
Figur 3. Rutnät
Svåra moment med area
En svårighet vid area är när det finns plats inuti figurerna att “fylla”. Det handlar om att eleverna ska “täcka” regioner utan “luckor” eller överlappning med lika stora delar, växla mellan enheter (𝑐𝑚,, 𝑚,, 𝑘𝑚, osv) och kombination av olika enheter (Hong, et al., 2018; Murphy, 2016). Detta kan eleverna göra när de tar reda på hur långa sidorna är på en figur eller när de ska rita en figur från grunden. Enligt Murphy (2016) utvecklar inte eleverna några större matematikkunskaper om area genom att mäta och rita figurer, utan eleverna blandar lättare ihop begreppet med omkrets (Murphy, 2016).
Karlsson och Kilborn (2015) visar tre rektanglar med samma area men med olika omkretsar. Figurerna är alla uppbyggda 12 stycken rutor som utgör 1 𝑐𝑚, vardera.
Figurerna har därmed lika stor area men omkretsen förändras, se figur 4. Författarna menar att det är viktigt att redan vid ett tidigt stadium uppmärksamma att om flera figurer har samma area betyder det inte att de har samma omkrets (Karlsson &
Kilborn, 2015).
Figur 4. Rektanglar med samma area men olika omkretsar (Karlsson & Kilborn, 2015:162).
Ett grundproblem till lärande som Tan Sisman och Meral (2016) skriver om är elevers missuppfattningar. När eleverna missuppfattar uppgifterna kommer även deras strategier och svar bli fel eftersom eleverna saknar grundläggande fakta och färdigheter. Författarna delger även fem punkter som är förekommande problem som elever har vid förståelsen av area:
• Förstå hur längdenheter producerar areaenheter (varför cm blir 𝑐𝑚,).
• Ta vara på området som har med area att göra.
• Förstå “matriser/modeller” och rutnät.
• Förstå att arean finns inom tvådimensionella figurer.
• Förstå skillnaden mellan area och omkrets (Tan Sisman & Meral, 2016:1296).
Slutligen har elever svårt att förstå innebörden av en formel. Genom att inte förstå att formeln [ !"#$% ' (ö*+$%
, ] enbart fungerar med trianglar så kommer eleverna att anpassa den till andra figurer innan de förstår att den inte fungerar vid beräkning av arean i exempelvis en cirkel (Hong, et al., 2018; Murphy, 2016).
Teori
I detta avsnitt kommer variationsteorin att introduceras. Teorin kommer beskrivas tillsammans med tre centrala teman och begrepp. Slutligen kommer tillämpning av teorin till arbetet att förklaras eftersom den utgör en stor del i analysen och diskussionen med utgångspunkt i arbetets syfte samt två frågeställningar.
Variationsteori
Variationsteorin utgår från fenomenografins intresse att kvalitativt studera de skilda sätt människor upplever samma sak eller fenomen. I variationsteorin är lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster viktiga teman (Björklund & Reis, 2015;
Bäckman, 2015; Lo, 2014). Variationsteorin har tidigare använts i andra sammanhang inom matematiken och forskning. I dessa fall har den använts för att kartlägga elevers kunskaper (Bäckman, 2015; Fülöp, 2019). Därförutom handlar variationsteorin om vad elever behöver lära sig och hur innehållet behandlas för att eleverna ska kunna lära sig det. När vi använder de olika teman i variationsteorin och i samband med en undersökning får vi svar på vad eleven lär sig, vad som kan anses vara svårt och hur kunskapen varieras (Björklund & Reis, 2015; Bäckman, 2015; Lo, 2014).
Lärandeobjekt
Lärandeobjektet är det som sker vid början av ett arbete. Det är “vad” eleverna lär sig och kan förändras under arbetets gång. Då vi inte riktigt kan säga vad det är eleverna lär sig även om vi har en tanke bakom och vad vi vill att de ska lära sig.
Lärandeobjektet blandas lätt ihop med “lärandemål” som är resultatet av vad eleverna lärt sig i slutet av en lärprocess. Det är även viktigt att lärandeobjektet är en del av en helhet (Lo, 2014). Eleverna kan till exempel inte lära sig 9ans multiplikationstabell (helheten) innan dem har lärt sig och sett de olika multiplikationerna som finns i den tabellen (delar av helheten).
Det går att se lärandeobjektet genom att dela upp det i två komponenter, det direkta och det indirekta lärandeobjektet. I det direkta lärandeobjektet finner vi lärandets innehåll och det eleven försöker lära sig om. I det indirekta lärandet finner vi den förståelse, förmåga och färdighet som eleven behöver utveckla (Bäckman, 2015; Lo, 2014). Det direkta lärandet för eleverna är till exempel att lära sig olika geometriska figurer medan det indirekta lärandet är att kunna skilja figurerna åt. För att eleverna ska lära sig ett planerat lärandeobjekt är det viktigt att ställa frågor om lärandet. Lo (2014) tar upp tre frågor som är väsentliga att överväga när ett lärande objekt väljs.
• ”Vad kan elever göra med den kunskap de får?
• Vad kan lärandet av objektet göra för att hjälpa dem i deras framtida lärande?
• Vilka färdigheter kan elever utveckla genom att lära sig detta lärandeobjekt?
(Lo, 2014:60).
Dessa tre frågor är bra att ställa i relation till läromedlen när eleverna ska arbeta med problemlösning och area. Därför att medvetenheten ökar kring vilka möjligheter eleverna har till utveckling av matematikkunskaper. Dessutom hjälper frågorna till att omsätta det tänka lärandet i olika situationer. Förekommer frågorna när läromedel granskas kan det även hjälpa till med att synliggöra både det direkta och indirekta lärandeobjektet. Exempelvis kan kunskapen om area för fyrhörningar senare i
framtiden hjälpa eleverna att beräkna hur stort ett rum är eller hur många tapetrullar behövs för att tapetsera en vägg med höjden 3 meter och bredden 5 meter, när en rulle utgör 1,74 kvadratmeter. Till den sista frågan kan eleverna när de utveckla kunskaper om beräkningen av fyrhörningars areor även utveckla färdigheten att välja strategi, rimlighetsbedöma, utveckla sin problemlösningsförmåga och begreppsförståelse.
Kritiska aspekter
Kritiska aspekter är ett viktigt begrepp inom teorin. Kritiska aspekter är det som utgör lärandeobjektet, det som är viktigt att se för att kunna utveckla kunskaper och förståelse om lärandeobjektet. Inom de kritiska aspekterna finner vi även elevers förförståelse, erfarenheter och förmågor. Dessa påverkar vilka kritiska aspekter som synliggörs och gör så att eleverna uttrycker lärandeobjektet på olika sätt (Björklund
& Reis, 2015). Lo (2014) skriver att det inte går att urskilja kritiska aspekter från kritiska drag. De kritiska aspekterna utgör en dimension av variation medan kritiska drag är värdet i dimensionen av variation. Hon beskriver en hund som en stor, brun schäferhund och att stor, brun samt schäfer är de kritiska dragen. När de kritiska dragen upplevs kan en urskiljning inträffa och skapa de kritiska aspekterna; storlek, färg samt ras. Hon fortsätter sedan att skriva att ”om vi inte förstår begreppet storlek kan vi heller inte prata om stor eller liten. När vi kan skilja mellan stor och liten öppnar sig en dimension av variation (storlek)…” (Lo, 2014:81).
För att ett lärande ska inträffa behöver elever se lärandeobjektet i kontrast mot ett annat objekt, någonting behöver till en början vara konstant medan något annat varieras. Variation är en viktig del i lärandet, vilket påpekar att det finns flera sätt att förstå samma sak. Att inse att saker varierar i olika sammanhang är betydande för lärandeprocessen eftersom uppfattningen av saken förändras hos eleven. När det konstanta och det varierande synliggörs blir skillnader och likheter synliga för eleverna. Samtidigt bidrar det även till att eleverna lättare kan urskilja kritiska aspekter av det tänkta lärandeobjektet. Eleven får stöd i variationen av fenomen genom att uppfatta och skilja dem åt. Genom att urskilja kritiska aspekter utvecklas elevers lärande. Vissa kritiska aspekter är lättare att urskilja för eleverna och det är på grund av deras tidigare erfarenheter. För att eleverna ska kunna urskilja kritiska aspekter av ett fenomen eller lärandeobjekt behöver eleverna se vad det är och vad det inte är (Bäckman, 2015). Exempelvis så behöver eleverna se en rektangel bredvid en triangel för att lättare kunna urskilja vad det är som skiljer de båda figurerna åt.
Sedan kan figurerna bytas ut för att i stället se skillnader och likheter mellan en rektangel och en kvadrat.
Variationsmönster
Inom de kritiska aspekterna med fokus på variation finns det fyra olika mönster.
Bäckman (2015) och Lo (2014) skriver att de olika mönstren är: kontrast, generalisering, separation och fusion (Bäckman, 2015; Lo, 2014).
Kontrast
Om cirkeln används som exempel behöver barn se olika figurer i stark skillnad för att kunna se vad det är som skiljer dem åt, men även vad som gör att cirkeln inte är en triangel eller en kvadrat (Bäckman, 2015). Lo (2014) skriver att om vi inte kan jämföra två objekt bredvid varandra blir det väldigt svårt att se skillnader mellan dem.
“Endast genom förändringar i företeelser kan man börja ta till sig den information
som behövs för att abstrahera generella egenskaper eller definiera särdragen i sådana företeelser” (Lo, 2014:106).
Generalisering
Enligt Lo (2014) är det lättast att synliggöra generalisering när kontraster skapas. I ett första skede ändras den fokuserade aspekten, exempelvis cirkeln. Detta genom att sätta cirkeln och en annan geometrisk figur bredvid varandra. “Eftersom innebörd härleds ur skillnad, inte ur likhet” (Lo, 2014:114). Vidare behöver lärandeobjektet ses på flera sätt. En cirkel med diametern 10 cm är lika mycket en cirkel som en cirkel som har diametern 30 cm. Eleverna behöver uppleva cirkeln i olika storlekar och färger. Eleverna behöver även se att en cirkel fortfarande är en cirkel även om sådana aspekter ändras (Bäckman, 2015).
Separation
När eleven blir medveten om att någonting kan delas in i mindre enheter sker en separation. Då eleven tidigare hanterade objekten som en odelad helhet. Värdet har nu förändrats och bildat en variation. När eleven ser en variation kan eleven fokusera på, benämna eller ändra det. Konsekvensen är att vi aldrig vet hur eleverna kommer uppfatta variationen eller jämföra variationen (Lo, 2014). Exempelvis måste eleven kunna separera en cirkel från en triangel. Eleven måste lära sig vad skillnaden är mellan figurerna för att sedan kunna separera figurer från varandra (Bäckman, 2015).
Fusion
Eleven behöver se flera kritiska aspekter samtidigt vilket kallas för fusion. Genom att flera kritiska aspekter förhåller sig till varandra skapas en helhet av lärandeobjektet (Bäckman, 2015; Lo, 2014). De olika kritiska aspekterna för exempelvis cirkeln är kontrast till en annan geometrisk figur, storlek och färg. När eleverna upplevt alla kritiska aspekter kan de skapa helheten och säga att det är en cirkel utan att behöva se den i kontrast mot en annan figur och inte heller behöva tänka på vilken färg eller storlek den har. Eleverna förstår nu grundprinciperna för vad det är som utgör en cirkel.
Tillämplig av teorin i arbetet
De begrepp som återfinns i teorin kommer relatera till de fynd som görs i de båda läromedlen och för att besvara framställningen av textbaserade problemlösningsuppgifter samt vilka möjligheter till lärande dessa uppgifter erbjuder eleverna. Detta inträffar genom att undersöka uppgiftens lärandeobjekt, vilka kritiska aspekter som eleverna kan uppleva i uppgifterna och även om det förkommer variationsmönster. Fortsättningsvis är det viktigt att ställa frågor kring det tänkta lärandet eftersom det är genom frågor lärandet kan synliggörs. Därför kommer arbetet senare att använda tre frågor som är inspirerade utifrån Lo (2014). När uppgifterna blir undersökta är det för att uppmärksamma vilka möjligheter till lärande som erbjuds till eleverna. Med hjälp av frågorna urskiljs således de övergripande teman från variationsteorin i uppgifterna. Frågorna är följande; 1) Är lärandeobjektet relevant i förhållande till area? 2) Vilka kritiska aspekter har identifierats i uppgiften och i relation till area? 3) Vilka variationsmönster synliggörs i uppgiften om area? Dessa frågor kommer dock inte besvaras utan är till för att skapa en medvetenhet om vad som är viktigast att titta på i uppgifterna och i relation till teorins teman.
Metod
I detta avsnitt kommer metoden för undersökningen av de två matematikböckerna att presenteras. Syftet med arbetet är att skapa en djupare förståelse om läromedlen möjliggör ett lärande för eleverna. Avsnittet presenterar även olika val som varit väsentliga att göra under arbetets gång.
Val av läromedel
Valet av de båda matematikböckerna grundar sig i verksamhetsförlagda utbildningar och arbete som vikarie. Böckerna Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016) och Matte direkt Borgen, 6A (Carlsson, Liljengren & Picetti, 2014) har observerats på flera skolor och i tre olika kommuner. Ammert (2011) skriver att det är läraren som väljer läromedel till undervisningen och att det varierar vilket läromedel det är som används från skola till skola (Ammert, 2011). Därför ansågs de valda matematikböcker vara relevanta för studien att undersöka då böckerna används aktivt i undervisningen och i en närmiljö.
Val av matematikinnehåll
Valet av matematikinnehåll grundar sig i ett tidigare arbete där kärnpunkten var språkets roll i textbaserade problemlösningar. För att bygga vidare på tidigare arbete gav en snabb överblick i de båda matematikböckerna en inblick på att en gemensam komponent var area. Samtidigt har möten ägt rum med elever som påvisat svårigheter inom area vid de olika verksamhetsförlagda utbildningarna. Därför ansågs detta var ett tillfälle att fördjupa förståelse kring arbetsområdet area och textbaserade problemlösningar.
Metoddiskussion
För att kunna ta reda på hur de textbaserade problemlösningsuppgifter förekommer i läromedlen och vilka möjligheter till lärande dessa ger eleverna har den kvalitativa innehållsanalysen valts som metod. Enligt Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström (2013) är den metoden passande att använda när arbetet syftar till att identifiera teman och mönster i läroböcker. Dessutom är målet med en kvalitativ forskning att utveckla begrepp som kan hjälpa till att skapa förståelse om sociala fenomen i deras naturliga miljö (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013).
När en kvalitativ innehållsanalys används som metod görs det på ett systematiskt sätt.
Analysen kategoriserar delar av kvalitativa data stegvist med hjälp av ett kodschema.
Vid en innehållsanalys måste material och källor väljas. När det är bestämt behövs ytterligare ett val göras, kodningen. Detta då kodningen kan genomföras manuellt eller datoriserat. Kodning som kräver mer komplicerad tolkning måste göras manuellt och utgångspunkten är för den datoriserade kodningen att texterna finns tillgängliga digitalt. Det gäller att bekanta sig med materialet för att kunna skapa ett kodschema där det tydligt framkommer hur kodningen görs (Boréus & Kohl, 2018).
Med hänsyn till Ericsson Barajas, Forsberg och Wengström (2013) och Boréus och Kohls (2018) beskrivning så utgör det grunden för arbetets resultatframställning (Ericsson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013; Boréus & Kohl, 2018). På det sättet används Taflins (2007) beskrivningar för att kategorisera variationen av uppgifter.
Dessa uppgifter delades in i rutinuppgifter eller textuppgifter. Textuppgifterna blev sedan undersökta för att se om de kunde klassas som rika problem. Detta för att kunna urskilja vilka av textuppgifterna som kan anses vara textbaserade problemlösningsuppgifter. De uppgifter som ansågs vara rika uppgifter blev även klassade som textbaserade problemlösningsuppgifter då uppgifterna bestod av text och uppfyllde de sju kriterierna.
En faktor som påverkar metoden är det tredje kriteriet som Taflin (2007) beskriver som att ”problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid” (Taflin, 2007:21). Det kriteriet har varit svårt att uppskatta utan elevers tankar och erfarenheter. Det har varit svårt att veta säkert att de rika problemen i arbetet upplevs som en utmaning från elevernas sida eller att eleverna behöver anstränga sig för att lösa det. Därför har arbetet varit kritiskt till det tredje kriteriet då den inte till 100 procent går att besvara utan att tillfråga elever.
En ytterligare beståndsdel i metoden är valet av läroböcker. Eftersom antalet uppgifter skiljer sig åt mellan böckerna och på så sätt ger en skev bild av elevernas möjligheter till lärande baserat på uppgifterna. Därför hade granskning av en läroboksserie varit att föredra eftersom läromedelsförfattarna troligtvis bygger upp läromedlen på olika sätt och därför fördelar antalet uppgifter olika. Area fick en stor del i läromedlet Matte direkt bogen, 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014) och en mindre plats i Mera Favorit Matematik, 6A (Asikainen, 2016). Dock finns möjligheten att area får en större plats i en annan bok i serien Mera Favorit Matematik.
Slutligen påverkar även tiden arbetets resultat och analys. Tiden räckte inte till för att analysera alla de uppgifter som ansågs vara rika problem utifrån resultatet. Därför användes ett slumpmässigt urval genom att lotta uppgifterna från ett läromedel i taget.
Valet av hur många uppgifter som användes till frågeställning 2 var med anledning av att antalet uppgifter skilde mycket. Därför fick också Matte direkt borgen, 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014) större plats i arbetet då det läromedlet hade flest uppgifter.
Genomförande
Med hänsyn till Boréus och Kohls (2018) beskrivning av vilka val och vad det är som ska finnas med har denna studie valt att ta inspiration till hur resultatet framställs och vilka moment som gjorts.
Resultatredovisning till frågeställning 1
Första steget i framställningen av resultatet och till frågeställning 1 är att presentera hur textbaserade problemlösningsuppgifter förekommer i de båda läromedlen. Därför används Taflins (2007) beskrivningar om olika uppgifter för att stegvis kunna kategorisera dessa. Detta sker genom att undersöka alla uppgifter inom delmomentet area i respektive läromedel för att sedan börja kategorisera. Sålunda delas uppgifterna först in efter kategorierna textuppgifter och rutinuppgifter.
Bok Rutinuppgifter Textuppgifter
Avsnitt i boken och sida/sidor
Tabell 1. Vilka uppgifterna går under vilken typ av uppgift.
En överläggning inträffade vid undersökningen med vad som anses vara en rutinuppgift och tillsammans med Taflins (2007) beskrivning av rutinuppgifter. De uppgifter som anses vara rutinuppgifter till detta arbete är:
• Räkna ut figurens area (om alla mått finns markerade inuti uppgiften eller om eleverna ska mäta måtten själva på figuren/figurerna).
• Uppgiften anses ha en given standardmetod.
• Mät figurens bas och höjd.
• Rimlighetsbedömning när måtten finns eller visa/bestäm enheterna (exempel: en bok är x kvadratcentimeter stor).
Om uppgiften inte har en given standardmetod eller stämmer överens med de andra punkterna klassas uppgiften som en textuppgift för att i nästa steg undersökas på nytt.
Det andra steget presenteras i tabell 2. Tabellen visar om textuppgifter anses klassas som rika problem utifrån Taflins (2007) sju kriterier. Om textuppgiften inte uppfyller alla kriterier fortsätter den att kategoriseras som en textuppgift.
Bok Textuppgifter Rika problem
Avsnitt i boken och sida/sidor
Tabell 2. Antalet textuppgifter och rika problem i respektive läromedel.
Slutligen till resultatredovisningen till frågeställning 1 är det essentiellt att poängtera att alla elever inte upplever indelningarna likadant. En rutinuppgift kan vara ett problem för en elev som inte har arbetat med just sådana uppgifter tidigare, likväl kan ett rikt problem vara en rutinuppgift för en annan elev. Dessutom är resultatet framtaget utifrån beskrivningar från litteraturen där bland annat Taflin (2007) beskrivningar är centrala. Vilket gör att det kan variera från individ till individ i verkligheten.
Resultatredovisning till frågeställning 2
För att synliggöra elevers möjligheter till lärande har de olika författarna Hong, et al., (2018), Murphy (2016) och Wijaya, Van den Heuvel-Panhuizen och Doorman (2015) frågor gett en inblick av vilka typer av frågor som är rimliga att ställa och för att synliggöra vilka möjligheter elever ges till lärande.
Frågorna som skapades till arbetet är:
• Hur många uppgifter finns det till ämnet area?
• I vilken ordning presenteras innehållet kring delmomentet area och hur ser instruktionerna ut?
• Hur är läromedlet (i relation till area) uppbyggt med textbaserade problemlösningar?
Utifrån frågorna som skapades kommer resultatet först att presentera antalet uppgifter som förekommer i de båda läromedlen. Detta med hjälp av en tabell. Tabellen visar läromedlen och antalet uppgifter, se tabell 3.
Läromedel Antal totala uppgifter Mera Favorit Matematik, 6A
Matte direkt borgen, 6A Tabell 3. Antal uppgifter i respektive bok.
Andra steget är att titta på i vilken ordning innehållet presenteras och hur instruktionerna ser ut i respektive läromedel. Därefter går det över till tredje frågan.
Den blir besvarad utifrån vad som framställs i resultatet till frågeställning 1 och vad som framförs i tabell 2. Där syns antalet textbaserade problemlösningsuppgifter och som benämns som rika problem. Därnäst kommer de rika problemen att analyseras i relation till teorin. Slutligen i relation till resultatredovisningen till frågeställning 2 kommer de rika textbaserade problemlösningsuppgifterna att slumpmässigt lottas från en skål och från ett läromedel i taget eftersom tiden inte varit tillräcklig för att undersöka alla rika problem i de båda läromedlen.
Validitet och reliabilitet
Ordet valid betyder giltigt och validitet handlar om vad som skiljer tillförlitlig forskning mot opålitlig. När forskningen använder begreppet validitet är det när flera källor eller påståenden talar för samma sak och motsäger inte varandra (Allwood &
Erikson, 2017). Reliabilitet handlar om att när en annan forskare ska gör samma arbete och med samma förutsättningar skulle den personen även komma fram till samma resultat (Johansson & Sveder, 2007). Därför är genomförandet i arbetet väl genomtänkt och skrivet för att en annan forskare ska kunna göra arbetet på nytt.
Samtidigt är alla sidor och uppgifter med i tabellerna från respektive läromedel för att skapa gynnsamma förutsättningar för att kunna granska dem på nytt.
Etiskt övervägande
I detta arbete förekommer ingen kontakt med deltagare. Detta gör att det etiska övervägandet förhåller sig till den litteratur och de två läromedel som undersökts.
Denscombe (2018) skriver att forskning inte ska plagiera andra forskares resultat (Denscombe, 2018). Sohlberg och Sohlberg (2019) skriver att vi inte ska stjäla andra forskares utlåtande utan vi kan låna det om vi ger erkännande för lånet (Sohlberg &
Sohlberg, 2019). Arbetet formas på så sätt av att referenserna är korrekt hanterade på ett ansvarsfullt sätt.
Denscombe (2018), Sohlberg och Sohlberg (2019) beskrivelser att inte stjäla forskning eller material påverkar arbetet med att det inte förekommer några bilder från läromedlen i resultatet eftersom arbetet saknar samtycke av författare och förlag.
Däremot finns det kompletterande figurer till uppgiftsbeskrivningarna. Dock är dessa bilder inte helt överensstämmande i relation till bilderna som förekommer i läromedlen då 1) skalan inte stämmer i figuren, 2) proportionerna är fel eller 3) bilder har skapats som liknar läromedelsförfattarna fast det kan vara andra mått utskrivna.
Det blir även mer förklarat i resultatet vad som skiljer läromedelsförfattarnas bilder/figurer gentemot arbetets.
Resultat
I detta avsnitt kommer resultatet att presenteras utifrån de två frågeställningarna och utifrån de båda läromedlen.
Resultat utifrån frågeställning 1
För att visa resultatet används de olika stegen som beskrivs i metoden. Till frågeställning 1 är första steget att undersöka textuppgifter och rutinuppgifter. Steg 2 undersöker om textuppgifterna existerar som rika problem eller om de kvarstår som textuppgifter.
Hur framställs textbaserade problemlösningsuppgifter i de båda läromedlen inom avsnittet som behandlar area?
Steg 1. Vilka uppgifter är rutinuppgifter och vilka är textuppgifter?
Matte direkt borgen, 6A Rutinuppgifter Textuppgifter
“Vanliga” uppgifter i kapitel 3 s. 68–80
1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 22, 23, 24, 25, 33
5, 6, 7, 8, 14, 15, 18, 19, 20, 21
Sant eller falsk s.81 1, 2, 3
Diagnos s. 82–83 3, 5 1, 2, 4
Blå sidor s.84–89 43, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 55, 56
47, 48, 53, 54, 57
Röda sidor s.90–93 76, 78, 79, 80, 83 67, 68, 69, 70, 71, 72, 77, 81, 82, 85, 87
Utmaning s. 96–97 3, 4, 5, 6, 7, 11
Repetition s. 154–155 1, 5 2, 3, 4
Tabell 4. Vilka uppgifter som är textuppgifter och rutinuppgifter i Matte Direkt borgen 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014).
I Matte direkt borgen 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014) förekommer det rutinuppgifter och textuppgifter. Dessa uppgifter är uppdelade under olika avsnitt där antalet varierar. Alla uppgifter berör area finns med i tabell 4.
Uppgifterna 10 och 11 i läromedlet handlar om att eleverna ska beräkna den färgade delen av en figur och det är 3 figurer i respektive uppgift. Båda uppgifterna anses därför vara rutinuppgifter. Ett exempel som är skapad på liknande avseende är följande: ”Hur stor area har den rödfärgade triangeln?”
Figur 5. En rutinuppgift skapad med inspiration från uppgifterna 10 och 11 i läromedlet av Carlsson, Liljegren & Picetti, (2014:72).
Uppgifterna 22 och 23 (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014:75) anses även vara rutinuppgifter där eleverna ska beräkna arean av minst två sammansatta figurer.
Nedan kommer en nyskapad exempelfigur och som inte förekommer i uppgifterna.
Dock har den tagit inspiration från uppgift 22 och 23 figurer.
Figur 6. En rutinuppgift med två sammansatta figurer.
I Mera Favorit Matematik, 6A (Asikainen, 2016) förekommer det också en variation på rutin- och textuppgifter. Även dessa uppgifter är uppdelade under olika avsnitt och behandlar area.
Mera Favorit Matematik, 6A Rutinuppgifter Textuppgifter
Öva s. 126–127 1, 2, 3 4
Träna (ruta) s. 128 1 2
Öva s. 129 6 7, 8
Favoritsidor s. 130–131 1, 2, 3
Träna s. 132 1, 2
Öva s. 132 5, 6, 7
Vi övar s. 138 2
Kapitel 3, vad har jag lärt mig? s. 142 3
Repetition s. 144–145 1, 1, 1
Tabell 5. Vilka uppgifter som är textuppgifter och rutinuppgifter i Mera Favorit Matematik, 6A (Asikainen, 2016).
En rutinuppgift från Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016) är uppgift nummer 2 som förekommer på sida 127. Där ska eleverna beräkna arean på tre figurer i huvudet och de ska skriva svaret i både kvadratcentimeter och kvadratmillimeter.
Figurerna har i uppgift 2 även rutor/rutnät i sig som utgör 1 kvadratmillimeter vardera.
Därför har figur 7 skapats med inspiration till uppgiften 2 även om måtten är utbytta och där rutorna istället utgör storleken av 1 kvadratcentimeter. I samband med att måtten förändrats i figur 7 skulle eleverna i stället kunna ge likvärdiga svar på figurens area fast i kvadratdecimeter och kvadratcentimeter.
Figur 7. Rutinuppgift. Räkna ut figurens area i kvadratcentimeter och kvadratdecimeter. Figuren är inte i skala eller proportionerlig.
Steg 2. Vilka uppgifter kvarstår som textuppgifter eller anses vara rika problem?
Matte direkt borgen 6A Textuppgifter Rika problem
“Vanliga” uppgifter i kapitel 3 s. 68–
80 5, 6, 7, 15, 18, 19, 20 8, 14, 21
Sant eller falsk s.81 1, 2, 3
Diagnos s. 82–83 1, 2, 4
Blå sidor s.84–89 47, 48, 53 54, 57
Röda sidor s.90–93 67, 68, 77, 81, 85 69, 70, 71, 72, 82, 87
Utmaning s. 96–97 6 3, 4, 5, 7, 11
Repetition s. 154–155 2, 3, 4
Tabell 6. Textuppgifter eller rika problem i Matte direkt borgen, 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014).
I steg två har textuppgifterna som förekom i tabell 5 blivit uppdelade i rika problem eller kvarstå de som textuppgifter. Detta med hjälp av Taflins (2007) sju kriterier.
Nedanför finns exempel på hur ett rikt problem framställs i Matte direkt borgen, 6A av Carlsson, Liljegren och Picetti (2014).
Ett rikt problem är uppgift 70. Uppgiften är beskriven på följande sätt:
”Mayaindianerna använder hängmatta i stället för säng. De spände hängmattan mellan väggarna. a) Hur lång är hängmattan i verkligheten? b) Hängmattan är 0,7 m bred. Räkna ut hängmattans area” (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014:90). Uppgiften har en kompletterande bild där skala är på följande sätt: 1 cm på bilden utgör 1 meter i verkligheten. Därtill är figur 8 skapad för att få en ungefärlig avbildning av hur läromedlet framställer rummet och hängmattan. Däremot är figuren inte i skala eller proportionerlig.
Figur 8. Ungefärlig uppbyggnad av rummet och hängmattan.
Vidare har även Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016) rutin- och textuppgifter som finns i tabell 6 blivit undersökta för att kunna kategoriseras som rika problem eller kvarstå som textuppgifter. Nedanför finns resultatet i tabell 7.
Mera Favorit Matematik, 6A Textuppgifter Rika problem
Öva s. 126–127 4
Träna (ruta) s. 128 2
Öva s. 129 7, 8
Favoritsidor s. 130–131 1, 2, 3
Tabell 7. Textuppgifter eller rika problem i Mera Favorit Matematik, 6A (Asikainen, 2016).
Tabell 7 visar vilka uppgifter som anses vara textuppgifter eller rika problem från läromedlet Mera Favorit Matematik, 6A (Asikainen, 2016). Uppgift nummer 7 anses vara en textuppgift då den inte uppfyller alla Taflins (2007) kriterier. Uppgiften är beskriven på följande sätt och har en kompletterande bild med utskrivna mått. ”7.
Titta på bilden och räkna. Den sammanlagda arean för husets fönster och dörrar är 9,5 𝑚,. a) Vad är den sammanlagda arean för husets väggar? b) Hur många liter (𝑑𝑚2) målarfärg behöver man för att måla väggarna, om det går åt 3 dl målarfärg per kvadratmeter?” (Asikainen, 2016:129).
Uppgiftens bild ser ungefär ut på följande sätt:
Figur 9. En ungefärlig bild på hur huset ser ut.
Tabell 7 visar även vilka av uppgifterna som anses vara rika problem. Ett av dessa rika problem är uppgift 1 som förekommer på sida 130 (Asikainen, 2016). Uppgiften är undersökande och uppdelad i flera steg. Den undersöker rätblock samt kuber och kan även anses vara laborativ.
”1. Vi undersöker rätblock och kuber.
a) Bygg ihop rätblocket. b) Av hur många sidoytor består rätblocket av? c) Vad har sidoytan 1 för area? d) Vilken annan sidoyta har samma area som sidoyta 1? e) Vad har sidoyta 2 för area? f) Vilken annan sidoyta har samma area som sidoyta 2? g) Vad har sidoyta 3 för area? h) Vilken annan sidoyta har samma area som sidoyta 3? i) Vad är den sammanlagda arean för rätblocket? ” (Asikainen, 2016:130).
Till uppgiften får eleverna en liknande bild som återfinns i figur 10 på rätblockets sidoytor och tejp. Dock saknar figuren nedanför ett rutnät inuti sig som återfinns på figuren i läromedlet. Figur 10 är heller inte i skala eller proportionerlig.
Figur 10. Rätblockets sidoytor, en egenskapad figur med inspiration från figuren som återfinns i läromedlet.
Resultat utifrån frågeställning 2
Med hänsyn till Hong, et al. (2018), Murphy (2016) och Wijaya, Van den Heuvel- Panhuizen och Doormans (2015) frågor skapades tre nya frågor. Dessa tre frågor är anpassade till frågeställningen samt resultatet.
Vilka möjligheter till lärande erbjuds eleverna när de beräknar textbaserade problemlösningsuppgifter som finns tillsammans med area i respektive läromedel?
• Hur många uppgifter finns det i ämnet area?
Avsnitt 7.1 presenterar vilka olika typer av uppgifter som finns. Där kategoriserades uppgifterna utifrån Taflins (2007) kategorier av problem. I tabell 8 synliggörs det hur många uppgifter som sammanlagt finns inom delmomentet area och i respektive läromedel. Dessa är sammanställda genom att räkna alla uppgifter i tabell 4 och 5 som finns i steg 1, avsnittet 7.1.
Läromedel Totala antalet uppgifter
Matte direkt borgen, 6A 76 Mera Favorit Matematik, 6A 22 Tabell 8. Antal uppgifter inom delmomentet area.
• I vilken ordning presenteras innehållet kring delmomentet area och hur ser instruktionerna ut?
Båda läromedlen börjar med en instruktionsruta där begreppet area förklaras men på olika sätt. Instruktionsrutorna skiljer sig åt med mängden information som eleverna får tillgång till. Det som även skiljer läromedlen åt är antalet instruktionsrutor och innehållet i instruktionsrutorna. Den ena boken har endast en instruktionsruta medan den andra läromedlet har tolv rutor, se tabell 9.
Läromedel Antal instruktioner
Mera Favorit Matematik, 6A 1 Matte direkt borgen, 6A 12 Tabell 9. Antal instruktionsrutor i respektive läromedel.
Första instruktionsrutan i Matte direkt borgen, 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014) inleder area på följande sätt: ”Arean talar om hur stort ett område är. En kvadratmeter, 1 𝒎𝟐, är ett område som är lika stort som en kvadrat med sidan 1 m.
För mindre areor använder man mindre enheter” (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014:70). Till instruktionsrutan finns det även några figurer som visar hur en kvadrat med sidorna 1 m ser ut och även utseendet på en kvadratcentimeter. En ytterligare aspekt som instruktionsrutan tar upp är att en kvadratcentimeter kan ha flera former och behöver inte enbart bestå av kvadrater. Nedan i figur 11 finns liknande figurer som förekommer i rutan, den är inte i skala eller proportionerlig.
Figur 11. Liknande figurer som finns med i första informationsrutan.
I den första och enda instruktionsrutan i Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016) förekommer det mer information än i den första instruktionsrutan i Matte direkt borgen 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014). I Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016) instruktionsruta står det om att arean beräknas [A = sida ∙ sida], den ger exempel på hur kvadratmillimeter, kvadratcentimeter och kvadratdecimeter beräknas. Vidare visar informationsrutan hur eleverna omvandlar enheterna A =
1 𝑑𝑚, → 100 𝑐𝑚, → 10 000 𝑚𝑚, och hur olika area skrivs beroende på vilka mått som används. Dessutom finns det ett rutnät där kvadratmillimeter, kvadratcentimeter och kvadratdecimeter är utmärkt. Det näst sista som rutan behandlar är exempel på hur olika figurers area beräknas. Det sista som står i rutan och under figurerna är formler för triangeln samt den gemensamma formeln som används vid rektanglar och parallellogram. Figur 12 utgör ett exempel på hur det ungefär ser ut i läromedlet.
Figur 12. Figurer som förekommer på instruktionsrutan fast med andra mått.
Läromedlet med tolv instruktionsrutor har några rutor som påminner eleverna om vad som de arbetat med tidigare. Då läromedlet är uppdelad med en del för alla, gröna sidor innan diagnosen. Sedan delas uppgifter upp utifrån ”utmaning” i blå (mindre utmanande) eller röda sidor (mer utmanande). Dessa sidor upprepar instruktioner som eleverna fått tidigare vid de gröna sidorna. Den första upprepande instruktionsrutan tar upp ”Arean talar om hur stort ett område är. En kvadratcentimeter, 1 𝑐𝑚, , är ett område som är lika stort som en kvadrat med sidan en centimeter” (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014:84). Informationsrutan visar även en kvadrat där sidorna är markerade med 1 cm och inuti står det 1 𝑐𝑚, .
Efter instruktionsrutorna är de första uppgifterna i respektive bok rutinuppgifter som eleverna arbetar med. De båda läromedlen tar upp area i kvadrater, rektanglar, parallellogram och trianglar samt formler till figurerna. Läromedlen tar upp olika saker i respektive kapitel. Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016) tar även upp skala, avstånd, mönster och volym. Matte direkt borgen, 6A (Carlsson, Liljegren &
Picetti, 2014) tar upp area och geometriska figurer. Det läromedlet har ingen anknytning till volym eller omkrets. Läromedlen har således olika strukturer.
Undersöks böckerna ytterligare finns det inte några ”sammansatta figurer” i Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016), vilket förekommer i Matte direkt borgen, 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014), se figur 6 för exempel på sammansatta figurer. I Mera Favorit Matematik 6A (Asikainen, 2016) finns det dock undersökningssidor, vilket inte finns i Matte direkt borgen, 6A (Carlsson, Liljegren
& Picetti, 2014). Se uppgiftsbeskrivningen till uppgift 1 på sida 130 (Asikainen, 2016) med tillhörande figur 10 för förklaring av hur en undersökande uppgift är upplagd (uppgiften om rätblocket). Slutligen har de båda läromedlen varsin sammanfattning efter kapitlet och även repetitionsuppgifter.
• Hur är läromedlet (i relation till area) uppbyggt med textbaserade problemlösningar?
De båda läromedlen har olika många textbaserade problemlösningsuppgifter. Antalet uppgifter under respektive kategori är:
Läromedel Textuppgifter Rika uppgifter
Matte direkt borgen, 6A 25 17
Mera Favorit Matematik 6A 2 5
Tabell 10. Antalet textuppgifter och rika uppgifter i respektive läromedel.
Nedanför kommer ytterligare uppgifter som anses vara rika problem och som således är textbaserade problemlösningsuppgifter. De uppgifter som finns nedanför har slumpmässigt lottats för att i analysen kunna undersöka vilka möjligheter till lärande de textbaserade problemlösningsuppgifter ger eleverna.
Två uppgifter som anses vara rika problem är uppgift 14 från läromedlet Matte direkt borgen 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014). Uppgifterna är beskrivna på följande sätt:
”14. Rita två olika trianglar som har basen 5 cm och höjden 3 cm. Rita först basen och sträcka sedan höjden. Därefter är det lätt att rita färdigt triangeln. ” (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014:73). Likväl kan uppgift 14 även anses vara en rutinuppgift eftersom alla mått är utskrivna. I detta arbete anses den dock tillhöra rika uppgifter då den uppfyller Taflins (2007) sju kriterier. Därför att uppgiften ger eleverna möjligheten att utveckla en viktig matematisk idé om att trianglar kan se olika ut.
Uppgifterna är lätta att förstå och kan upplevas som en utmaning för att komma på flera olika trianglar med samma mått. Uppgifterna kan även skapa diskussioner kring utseendet på olika trianglar och på så sätt kan den upplevas som en brobyggare för att bygga vidare på olika sorters trianglar. Slutligen upplevs uppgiften skapa ett intresse om att undersöka hur många olika trianglar som kan skapas utifrån samma mått. Sist till uppgift 14 finns det även en bild som vägleder eleverna när de ritar sina trianglar.
Figur 13. Triangel till uppgift 14.
Från samma läromedel bedöms även uppgift 21 att vara ett rikt problem. Uppgiften går ut på att eleverna ska ”rita en triangel med arean 12 𝑐𝑚,” (Carlsson, Liljegren &
Picetti, 2014:74). Uppgiften har ingen bild och består sålunda enbart av text.
I Matte direkt Borgen, 6A (Carlsson, Liljegren & Picetti, 2014) bedöms uppgift 69 vara ett rikt problem. Uppgiften är följande: ”Chel Chan har sytt en vimpel som är 10 dm lång. Vimpelns area är 15 𝑑𝑚,. Hur lång är den korta sidan? ” (Carlsson, Liljegren
& Picetti, 2014:90). I figur 15 finns det ett exempel på hur en vimpel är formad. Dock är inte vimpeln i skala.
Figur 14. Ett exempel på hur en vimpel kan se ut.
