Prov i matematik för X2 Ordinära dierentialekvationer, 2 poäng Skrivtid: 1419

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Leo Larsson

tel. 018-471 32 90

Prov i matematik för X2

Ordinära dierentialekvationer, 2 poäng

2003-03-07

Skrivtid: 1419. Tillåtna hjälpmedel: Inga. Maximalskrivningspoäng:40. Maxpoäng på respek- tive uppgift anges inom parantes  för att denna ska erhållas krävs att lösningen åtföljs av tydliga förklaringar. För betyg 3, 4 och 5 krävs (minst) 18, 25 resp. 32 poäng. Skriv tydligt och använd ej rödpenna i lösningarna.

LYCKA TILL

1. Bestäm den lösningskurva till ekvationen

(4x²− 3y²) dx + 2xy dy = 0

som passerar punkten (1, 3) . (5p)

2. Låt n > 0 . Hitta den ortogonala kurvfamiljen till

y = cxⁿ. (5p)

3. Lös begynnelsevärdesproblemet

( x⁰ = −3x + 5y y⁰ = −10x + 7y

x(0) = 1 y(0) = 2 .

Bestäm också typ och grad av stabilitetet hos den kritiska punkten (0, 0) . (6p)

4. Betrakta dierentialekvationen x²y⁰⁰− 4xy⁰+ 6y = 0 , x > 0.

Visa att y(x) = x² är en lösning och lös sedan ekvationen fullständigt. (6p)

5. Hitta alla stationära funktioner till integralen Z π/√

2 0

(y⁰)²+ xyy^0 dx som uppfyller randvillkoren y(0) = 0 och y^ π

√2



= 1. (6p)

6. Skissa ett fasporträtt till det autonoma systemet

( x⁰ = (y²− 4)(1 + x²) y⁰ = 2xy³− 8xy .

Ange, speciellt, alla kritiska punkter samt banornas riktningar. (6p) 7. Lös dierentialekvationen (x²+ xy + y²+ 2x + y) dx + (x²+ xy + y²+ x + 2y) dy = 0.

Ledtråd: Ekvationen har en integrerande faktor på formen µ(x, y) = g(x + y) . (6p)

Svar till tentamen i Ordinära dierentialekvationer, 2 poäng 2003-03-07

1. (y + 2x)(y − 2x) = 5x³. 2. x²+ ny² = C.

3.

"

x(t) y(t)

#

= e^2t

"

cos 5t + sin 5t 2 cos 5t

#

. Origo är en instabil spiral.

4. y(x) = c1x²+ c2x³. 5. y(x) = sin x

√2.

6. Linjerna y = 2 och y = −2 består av kritiska punkter. Fasporträtt ges av kurvorna

y = c(1 + x²). Innanför kritiska linjer dvs. då |y| < 2 banorna är riktade åt vänster. Utanför detta område, banorna är riktade åt höger.

7. e^x+y(x²+ xy + y²) = c.

2

Lösningar till tentamen i Ordinära dierentialekvationer, 2 poäng 2003-03-07

Lösning till problem 1.

Ekvationen är homogen och substitutionen y = xz ger den separabla ekvationen xdz

dx = z²− 4

2z ⇔ 2z

z²− 4 dz dx = 1

x.

Integrering av vänstraledet m.a.p. z ger ln(z²− 4) och integrering av högra ledet m.a.p. x ger ln(Cx), (alternativt, partialbråksuppdelning visar att 2z

z²− 4 = 1

z + 2+ 1

z − 2), så lösningen blir ln(z + 2) + ln(z − 2) = ln(Cx) ⇔ ln(z² − 4) = ln(Cx).Med återsubstitutionen z = y

x fås allmänna lösningen (y + 2x)(y − 2x) = Cx³. Insättningen av x = 1 och y = 3 ger C = 5 och den sökta lösningskurvan är (y + 2x)(y − 2x) = 5x³.

ösningen kan fås även med den integrerande faktorn µ(x) = 1 x⁴. Lösning till problem 2.

Derivering av ekvationen för den givna familjen ger dy

dx = ncxⁿ⁻¹= ncxⁿ x = ny

x . Ortogonala kurvfamiljen löser alltså ekvationen dy

dx = − x

ny. Denna ekvation är separabel, ty nydy

dx = −x varvid n

2y² = −1

2x²+ C₁ eller x²+ ny² = C. Lösning till problem 3.

Ur första ekvationen kan lösas y(t) = x⁰+ 3x

5 . Derivering ger y⁰ = x⁰⁰+ 3x⁰

5 . Insättningen i andra ekvationen ger x⁰⁰+ 3x⁰

5 = −10x + 7(x⁰+ 3x)

5 ⇔ x⁰⁰− 4x⁰ + 29x = 0. Karakteristiska ekvationen är λ²−4λ+29 = 0 med rötterna λ1 = 2+5i och λ2= 2−5i. Rötterna är egenvärdena till systemets matris, alltså origo är en instabil spiral. Den allmänna lösningen för systemet är x(t) = e²t(A cos 5t + B sin 5t) och y(t) = 1

5(x⁰+ 3x) = e²t((A + B) cos 5t + (B − A) sin 5t). Insättningen av begynnelsevärden ger A = 1 och B = 1 . De sökta lösningar till systemet är:

x(t) = e^2t(cos 5t + sin 5t) och y(t) = 2e^2tcos 5t som på matrisform kan skrivas som

"

x(t) y(t)

#

= e^2t

"

cos 5t + sin 5t 2 cos 5t

# . Lösning till problem 4.

Om y1(x) = x² då y⁰1(x) = 2x och y1⁰⁰(x) = 2, som insatt i ekvationens vänsterled ger x²· 2 − 4x · 2x + 6 · x² = 0.

y1(x) = x² är en lösning till ekvationen. För att hitta en annan, linjärt oberoende lösning ansätter vi:

y₂(x) = x²·v(x), där v(x) är någon funktion, ej konstant. Derivering och insättning i ekvationen ger:

y₂⁰ = 2xv + x²v⁰, y⁰⁰2 = 2v + 4xv⁰+ x²v⁰⁰ och

0 = x²(2v + 4xv⁰+ x²v⁰⁰) − 4x(2xv + x²v⁰) + 6x²·x²v = (2x²−8x²+ 6x²)v + (4x³−4x³)v⁰+ x⁴v⁰⁰ = x⁴v⁰⁰.

3

En icke konstant funktion som uppfyller ekvationen är v(x) = x (+c) . En andra lösning som är linjärt oberoende av y1 = x² är således y2(x) = x²· x = x³.

Den allmänna lösningen ges av: y(x) = c1x²+ c2x³. Lösning till problem 5.

Med f(x, y, y⁰) = (y⁰)²+ xyy⁰ får vi ∂f

∂y = xy⁰ och ∂f

∂y⁰ = 2y⁰+ xy. Vidare d

dx(2y⁰+ xy) = 2y⁰⁰+ y + xy⁰. Eulers ekvation för detta problem blir:

2y⁰⁰+ y + xy⁰− xy⁰ = 0 ⇔ y⁰⁰+ 1 2y = 0 . Denna har lösningarna y(x) = A cos x

√2 + B sin x

√2. Randdvillkoren ger 0 = y(0) = A och 1 = y^ π

√ 2



= B. Sökt lösning är alltså y(x) = sin x

√2. Lösning till problem 6.

Sätt F (x, y) = (y²− 4)(1 + x²) och G(x, y) = 2xy³− 8xy =⁰⁰xy(y²− 4).

Linjerna y = 2 och y = −2 består av kritiska punkter. Lösningsbanorna får vi ur ekvationen dy

dx = G(x, y)

F (x, y) = 2xy

1 + x². Denna ekvation är separabel . 1

y dy

dx = 2x 1 + x² ⇔

Z 1

ydy =

Z 2x

1 + x²dx ⇔ ln y = ln(1 + x²) + C ⇔ y = c(1 + x²). Lösning till problem 7.

Om µ(x, y) = g(x+y) är en integrerande faktor så gäller att ∂g(x + y)M (x, y)

∂y = g(x + y)N (x, y)

∂x

⇔ g⁰(x + y)(x²+ xy + y²+ 2x + y) + g(x + y)(x + 2y + 1) = g⁰(x + y)(x²+ xy + y²+ x + 2y) + g(x + y)(2x + y + 1)

⇔ g⁰(x + y) = g(x + y).

Sätt t = x + y . Ekvationen g⁰(t) = g(t) har en lösning g(t) = e^t. En integrerande faktor är alltså µ(x, y) = e^x+y, och vi får den exakta dierentialekvationen:

e^x+y(x²+ xy + y²+ 2x + y) dx + e^x+y(x²+ xy + y²+ x + 2y) dy = 0 . Denna har lösningen f(x, y) = c där funktionen f uppfyller

∂f

∂x = e^x+y(x²+ xy + y²+ 2x + y) och ∂f

∂y = e^x+y(x²+ xy + y²+ x + y) . Det första av dessa villkor gäller om:

f (x, y) = Z

e^x+y(x²+ xy + y²+ 2x + y) dx + h(y) = e^x+y(x² + xy + y²) + h(y), där h(y) är någon funktion av y . Derivering m.a.p. y ger ∂f

∂y = e^x+y(x²+ xy + y²+ x + 2y) + h⁰(y), alltså om vi väljer h(y) = 0 blir f(x, y) = c lösningen till ekvationen.

e^x+y(x²+ xy + y²) = c är lösningen till dierentialekvationen.

4