Skriv tydligt och motivera dina svar.

1

Tentamen i Fasta tillståndets fysik (FFY012/FYP330)

Tid: 2020-03-19, kl. 14:00-18:00.

Examinator: Eva Olsson.

Lärare vid tentamen:

Frågorna 1 och 2, Eva Olsson (031 772 3247) Fråga 3, Mattias Thuvander (073 143 3709)

Frågorna 4 och 5, Elsebeth Schröder (Skype: eschrodersweden)

Bedömning: Max 20p. Betyg Chalmers: 3 – 10p, 4 – 14p, 5 – 17p. Betyg GU: G – 10p, VG – 15p.

Viktig information:

Skriv tydligt och motivera dina svar.

Var god notera att tentamen inte är anonym. Spara alla papper med lösningar och även pdf-filen som Du skickar in.

Inför inlämningen:

Lösningar till tentamensproblem som kräver beräkningar, härledningar, figurer, diagram och liknande, skall lösas på papper, som vid en vanlig salstentamen, eller läsplatta.

o Märk varje papperssida tydligt med ditt namn, tentamensuppgiftens nummer och sidnummer.

o Scanna eller fotografera dina lösningar. Tänk på att ha god belysning och använd gärna en dokumentskannings-app, t.ex. CamScanner eller Genius Scan.

o Skapa ett dokument för Din tentamen.

o Namnge Ditt textdokument enligt FFY012_DittNamn.pdf.

o Skicka in dina lösningar genom att ladda upp pdf-filen via Canvas innan tentamens sluttid.

o Inlämningen skall vara klar 18:00. Med tanke på att detta är helt nytt och att uppladdningen kan ta lite längre så kommer Canvas-portalen att vara öppen tills 18:30 men inte längre. Tiden är enligt den klocka som Canvas använder, det kan alltså mycket väl vara att det stängs någon minut tidigare, så allt vi kan lova är att det ska gå att lämna in tills kring 18:25. Då stänger Canvas och det går inte att lämna in senare.

I och med att du laddar upp dina tentamenslösningar intygar du att du gjort dessa lösningar själv utan att ta hjälp av någon annan person. Detta innebär att samarbete inte är tillåtet. Kontroll av plagiering kommer att utföras. Du får inte heller visa Dina lösningar för någon annan innan kl. 21:00 den 19e mars 2020.

______________________________________________________________

2

Uppgift 1

Antag att Du har en legering som består av guld (gitterparameter a= 4.078 Å) och koppar (gitterparameter a=3.615 Å) med sammansättningen 25% guld och 75%

koppar. Både guld och koppar är FCC-strukturer. Vid hög temperatur är atomerna slumpvis fördelade över positionerna. Vid en låg temperatur erhålls en ordnad struktur med basen guld i (0,0,0) och koppar i de andra tre positionerna.

a) Rita atomerna placering i det tätpackade planet för strukturerna vid låg och hög temperatur samt markera planet i enhetscellen i det reella rummet. Ange Miller index

för planet. (1p)

b) Beräkna strukturfaktorn för de två fallen. Antag att fi är proportionell mot atomnumret Z, dvs fi = CZ där C är en konstant. (3 p)

Uppgift 2

En stråle faller in mot en wolframkristall (BCC-struktur med a=3.165 Å).

a) Vilken är den längsta våglängden hos strålningen som kan ge diffraktion för wolframkristallen? Vilken planskara är det då som kan ge diffraktion? (1p) b) Rita det reciproka gittret. Markera gitterpunkterna (000), (011), (020), (002) och (002). Antag att strålningen faller in längs [0 1 1]-riktningen. Rita två Ewaldsfärer i det plan som spänns upp av gitterpunkterna (000), (011), (020), (002) och (002). Rita sfärerna för våglängderna lCu = 1.548 Å och le 200keV= 2.51 pm och med korrekta längder på vågvektorerna i förhållande till gittervektorn för (011). När är

diffraktionsvillkoret uppfyllt? Markera i figuren. (2p)

c) Byt ut wolframatomen i mitten av enhetscellen mot en molybdenatom. Vilken är nu den längsta våglängden som kan ge diffraktion? Vilken planskara är det då som kan

ge diffraktion? (1p)

Uppgift 3

Värmekapacitiviteten för kalium (K) är 0,437 mJ/(mol K) vid temperaturen 0,20 K och 1,572 mJ/(mol K) vid 0.55 K.

a) Vad är värmkapacitiviteten vid 1.0 K? (2 p)

b) Beräkna Debye-temperaturen. (1 p)

c) Beräkna Fermi-energin i eV. (1 p)

Uppgift 4.

En str¨om p˚a I = 10 mA leds genom en dopad halvledare, som illustrerat i figuren. Vi antar att i huvudsak en sorts laddningsb¨arare dominerar (se bort fr˚an den andra), antingen h˚al eller ledningselektroner. Str¨ommen orsaker ett sp¨anningsfall p˚a U = 70 mV. Ett kraftigt magnetf¨alt p˚a B = 0, 25 T l¨aggs p˚a vinkelr¨at mot str¨ommen, vilket ger upphov till sp¨anningen V = 8 mV, som illustrerat. Tecken p˚a sp¨anningen V f˚as ur figuren.

a) Ber¨akna laddningsb¨ararnas t¨athet och avg¨or om de ¨ar h˚al eller ledningselektroner. (1,5p) b) Ber¨akna materialets resistivitet och mobilitet. (1,5p)

c) Halvledaren befinnar sig i rumstemperatur (300K). Vi antar att kemiska potentialen µ vid den temperaturen uppfyller att µ Ev = 10 kBT kBT , d¨ar Ev ¨ar valensbandets topp. Hur stor ¨ar laddningsb¨ararnas massa, i enheter av elektronmassan me? (1p)

Uppgift 5.

a) Drudemodellen ¨ar en klassisk modell f¨or elektronerna i ett fast material. Modellen fal- lerar p˚a en eller fler av f¨oljande punkter: Uppfylla Ohm’s lag, ge en rimlig beskrivning av v¨armekapaciteten, beskriva isolatorer.

Vilken/vilka punkter uppfyller inte Drudemodellen? Motivera tydligt med 2-3 meningar och/eller tydlig illustration hur man ser att Drude modellen inte fungerar, f¨or minst en av punkterna ovan. (1p)

b) Ett en-dimensionellt gitter har en en-atomig bas och gitterkonstant a = 3 ˚A. Antag att po- tentialen (U ), men inte gitterperiodiciteten, kan f¨orsummas. Rita med relevanta v¨arden band- strukturen E(k) i f¨orsta Brillouinzonen f¨or den fria elektronmodellen. Elektronernas massa ¨ar me (fria-elektron-massan). (1p)

c) Om jonernas potential i fr˚aga b) ¨okas lite, U > 0, ¨oppnas flera bandgap. Vilken ¨ar den minsta Fermienergi EF som materialet kan ha om det ¨ar en isolator (eller halvledare), och hur m˚anga valenselektroner per atom motsvarar det i genomsnitt? (1p)

d) F¨or det en-dimensionella gittret i fr˚aga c) ska du ber¨akna Blochv˚agornas hastighet i ett antal fall: (i) Vid Fermienergin EF som du tog fram n¨ar potentialen U ¨ar liten men U > 0 (allts˚a n¨ar det finns bandgap), (ii) vid samma EF n¨ar potentialen helt f¨orsummas som i fr˚aga b) (allts˚a n¨ar det inte finns bandgap), samt (iii) vid k = 0 f¨or l¨agsta energibandet. (1p)

x z

y

(1 11 )- pl ane t

Ek viv ale nta pl an: (-111) , (1 -11) , (11 -1) , (- 1-11) , (- 11 -1) , (1 -1 -1) , (- 1-1 -1) Up pg ift 1a

S

= ∑

"

#

= "%

+ "'

#

+ "'

#

+ "'

#

S

= ∑

"

#

= St ruk tur fak to rn S

vi d lå g te m pe ra tu r: FC C m ed A u i (0 ,0 ,0 ) oc h Cu i(½ , ½ , 0 ), (½ , 0 , ½ ) oc h (0 , ½ , ½ ), f

= C 7 9 oc h f

= C 2 9 Up pg ift 1b

St ruk tur fak to rn S

vi d hö g te m pe ra tu r: FC C m ed A u

Cu

i(0 ,0 ,0 ), (½ , ½ , 0 ), (½ , 0 , ½ ) oc h (0 , ½ , ½ ), f

= 0.2 5 C 7 9 + 0.7 5 C 2 9

4 fAu0.25Cu0.75= C 166 om h,k,lallajämnaelleruddaannars0

Up pg ift 2a Lä ng sta vå glä ng de n so m ka n ge di ffr ak tio n ge s av st örst a pl ana vs tå nde t me d ( hk l) so m till åte rdi ffr ak tio n. Fö ren BC C-st ru ktu rär de t {1 10 }. Pl an av stå nd et är

d

= a/ (h

+ k

+ l

)

= 2. 234 Å oc h vå glä nd en är 2d

= 4. 476 Å Up pg ift 2b

(000) (002)

(020) (022)

(011) (000)(020) (011) (022)(002)

Fö rh ålla nd et me lla n lä ng de n av G

oc h k-ve kto rn fö r: rö ntg en str åln in ge n me d l = 1.5 48 Å är 4. 476/1. 548 = 2. 891 El ek tro ns trå le n me d l = 2.5 1 p m är 4. 476/0. 0251 = 178

Ew ald ssf är oc h k-ve kto rfö rl = 1.5 48 Å

Ew ald ssf är oc h k-ve kto rfö rl = 2.5 1 p m Di ffr ak tio n sk er ide ri ktn in ga rav k´ dä r Ew ald ssf äre n sk är en re cip ro k gi tte rp un kt.

Up pg ift 2c Nä rMo er sä tter W ien he tsk ub en s mi tt er hå lls en en kel ku bis k st ru ktu r. Lä ng sta vå glä ng de n so m ka n ge di ffr ak tio n ge s av pl ana vs tå nde tfö r{1 00 }. W oc h Mo h ar gi tte rp ara m etr arn a 3. 16 Å re sp ek tiv e 3. 15 Å. Vå glä ng de n sk all int e va ra lä ng re än 6. 32 Å.