1. Använd Laplacetransformering för att bestämma lösningen y (t ) till

Institutionen för matematik

Tentamen i: Linjära system Ämneskod M0010M

Tentamensdatum 2009-08-21

Totala antalet uppgifter: 5 Skrivtid 09.00-14.00

Lärare: Lars Bergström

Jourhavande lärare: Lars Bergström Tel: 0920-492057 Resultatet meddelas via

studentportalen senast:

15 arbetsdagar efter tentamensdagen

Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare, BETA, formelsamling i Linjära system (utdelas av skrivvakterna och återlämnas efter tentamen).

Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.

1. Använd Laplacetransformering för att bestämma lösningen y (t ) _till

differentialekvationen

y ' ' + 4 y ' + 3 y = f ( t )

där

är definierad enligt

f (t ) = {

0 , 0

1 , 2

1 0

, 2

<

≥

<

<

t t

t t

och y ( 0 − ) = 3 , y ' ( 0 − ) = 0 . 5p.

2. Ett linjärt, tidsinvariant och kausalt system har impulssvaret

g (t ) = { ^{1 −} ₀ ^cos _{, t <} ^{t , t} ₀ ^{≥ 0}

Bestäm den insignal som ger utsignalen

y (t ) = { ^{2 sin t} ₀ ⁻ _, ^sin _{t <} ² ₀ ^{t , t ≥ 0}

(Start från vila vid tiden t = 0 ) 5p.

3. Använd någon annan metod än Laplacetransformering för att bestämma den allmänna lösningen till systemet

'

+ 2

'

= 6

− 3

y '

+ y '

= 2 y

− y

5p.

4. Utnyttja Laplacetransformering för att bestämma lösningen till systemet

x '

= − x

+ x

2 1

'

x x x = − −

1 ) 0

1

( =

x x

( 0 ) = 0 5p.

5. Visa att matrisen

definierad enligt

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

= +

Ω ⁻

t t

t

t t

e t

t ^t

sin 2 cos sin

5

sin cos

sin ) 2

( ²

är en exponentialmatris och bestäm matrisen

som uppfyller

= Ω (t ) . 5p.