AUTONOMA SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER KRITISKA PUNKTER
Innehåll:
Autonoma system.
Kritiska punkter för ett autonomt system.
Autonoma DE av högre ordningen.
Att skriva en ekvation av högre ordningen som ett system av första ordningen.
Kritiska punkter för en autonom ekvation av högre ordningen.
============================================================
Autonoma system.
Definition 1. (Autonomt system) Ett system av ordinära differentialekvationer är autonomt om systemets oberoende variabel inte finns explicit i systemet.
Exempel 1.
Följande system med obekanta funktioner x(t)och y(t) är autonoma
a)
y dt x
dy
y dt x
dx
4 2
2 +
= +
=
b)
8 4 2
5 2
− +
=
+ +
=
y dt x
dy
y dt x
dx
c)
8 4 2
5 2
3 2
− +
=
+ +
=
y dt x
dy
y dt x
dx
eftersom den oberoende variabeln tinte förekommer eplicit i systemet.
Exempel 2.
Följande system med obekanta funktioner x(t)och y(t) är INTE autonoma
a)
y dt x
dy
t y dt x
dx
4 2
2 +
=
+ +
=
b)
et
y dt x
dy
y dt x
dx
8 4 2
2
− +
=
−
=
c)
8 4 2
5 2
3 2 2
− +
=
+ + + +
=
y dt x
dy
t t y dt x
dx
eftersom den oberoende variabeln tfinns explicit i systemet.
Sida 1 av 5
Kritiska punkter för ett autonomt system.
Definition 2. (Kritiska punkter för ett autonomt system). Låt
) , (
) , (
y x dt Q dy
y x dt P dx
=
=
(sys 1)
vara ett autonomt system.
Lösningar till systemet
=
= 0 ) , (
0 ) , (
y x Q
y x
P (sys A)
kallas kritiska punkter till (sys 1).
Anmärkning: Kritiska punkter är uppenbart (konstanta) lösningar till systemet.
Uppgift 1. Bestäm kritiska punkter till följande system
a)
y dt x
dy
y dt x
dx
−
= +
= 2
2
b)
1 4 2
−
−
=
− +
= y dt x
dy
y dt x
dx
c)
1
2 5
2
−
−
=
− +
= y dt x
dy
y dt x
dx
d)
y dt x
dy
y dt x
dx
4 2
2 +
= +
=
e)
y dt x
dy y dt x
dx
−
= + +
= 2 2 5
Lösning:
a)
=
−
= +
0 2
0 2
y x
y x
ger x=0och y=0 (Gaussmetoden eller substitutionen y=2x) Därmed har systemet en kritisk punkt K=(0,0).
b) Från
=
−
−
=
− +
0 1
0 4 2
y x
y
x
får vi x=2 och y=1. Systemet har en kritisk punkt K=(2,1).
Sida 2 av 5
c) Vi löser
=
−
−
=
− +
0 1
0
2 5
2
y x
y
x .
Från andra ekvationen har vi y= x−1 som substitueras i första ekvationen. Vi får
⇒
=
−
−
⇒
=
−
−
⇒
=
−
−
+( 1)2 5 0 2 2 2 4 0 2 2 0
2 x x x x x
x x1=2 , x2 =−1.
Från y= x−1 har vi y1=1 och y2 =−2
Systemet har två kritiska punkter K1=(2,1) och K2=(–1, –2).
d) Från
=
=
⇔ +
= +
= +
0 0
0 2 0
4 2
0
2 x y
y x
y
x
har oändligt många lösningar 2
y=−x där x varierar fritt.
Kritiska punkter är alla punkter ) , 2
( x
x −
där x varierar fritt dvs alla punkter på linjen 2 y= −x.
e)
e) Eftersom
=
−
= + +
0 0
2 5
2
y x
y x
saknar reella lösningar (uppenbart är summan x2+ y2+5≥5 för alla x och y) har systemet inga kritiska punkter.
Autonoma DE av högre ordningen.
Definition. En ekvation av högre ordning är autonom om den oberoende variabel INTE finns i ekvationen.
Exempel 3.
Följande ekvationer med avseende på x(t) är autonoma
a) 2 3 2
2 + −x =
dt dx dt
x
d b) x′′′+x′′−x3+8=0.
Exempel 3.
Följande ekvationer med avseende på y(x) är autonoma
Sida 3 av 5
a) 2 3 5
2
= +
+ y
dx dy dx
y
d b) y′′+(y′)4 −y3+lny+8=0.
Exempel 4.
Följande ekvationer med avseende på x(t) är INTE autonoma
a) 2 + − 3+ +ln( )=
2
t t dt x
dx dt
x
d b) x′′′+t3x′′−t2x3 =0.
============================================
Att skriva en ekvation av högre ordningen som ett system av första ordningen.
Vi kan skriva en ekvation av andra ordningen )
, , (t x x P
x′′= ′ (ekv 1)
som ett system genom att införa en ny variabel y= . x′
Vi använder att y′=x′′ och bildar ett systemet med två DE av första ordningen på följande sätt:
′=
′=
) , , (t x y P y
y x
På liknande sätt gör vi med en ekvation av tredje (eller högre) ordningen )
, , , (t x x x P
x′′′= ′ ′′ .
Vi inför två nya variabler y= , x′ z=x′′ (därför y′=x′′=z) och bildar systemet med tre DE av första ordningen:
′=
′=
=
′
) , , , (t x y z P
z z y
y x
Uppgift 2. Skriv följande ekvationer som ett system med DE av första ordningen a) x′′−3x′+x2+t3 =0 b) x′′+8(x′)3+x2 =0
Lösning: a)Först löser vi ut högsta derivatan, i vårt fall x ′′.
3
3x x2 t x′′= ′− − .
Vi inför en ny variabel x′= y (därmed x′′= y′). Vi får systemet
Sida 4 av 5
−
−
′=
′=
3
3y x2 t y
y x
Svar: a)
−
−
′=
′=
3
3y x2 t y
y
x b)
−
−
′=
′=
2
8y3 x y
y x
Kritiska punkter för en autonom ekvation av högre ordningen.
Med kritiska punkter till en ekvation av högre ordningen menar vi kritiska punkter för tillhörande system av förstaordningens DE.
Uppgift 3. Bestäm kritiska punkter för följande autonoma DE av andra ordningen a) x′′−3x′+x2−4x=0 b) x′′+8(x′)3−8x+5=0
Lösning a)
Vi inför en ny variabel x′= y (därmed x′′= y′). Vi får systemet
+
−
′=
′=
x x y y
y x
4
3 2 (*)
Kritiska punkter får vi ur
= +
−
=
0 4 3
0
2 x
x y
y ,
som ger två kritiska punkter K1=(0,0) och K2=(4,0).
b) Vi inför en ny variabel x′= y (därmed x′′= y′). Vi får systemet
− +
−
′=
′=
5 8 8y3 x y
y
x (*)
Kritiska punkter får vi ur
=
− +
−
=
0 5 8 8
0
3 x
y
y ,
som ger en kritisk punkt K1=(5/8,0).
Sida 5 av 5
