LINJÄRA AVBILDNINGAR AV PUNKTER OCH PUNKTMÄNGDER
Avbildning av en punkt.
Vi har definierat linjära avbildningar mellan två vektorrum. Vi kan formellt betrakta punkter som ortsvektorer och därmed betrakta avbildningar mellan punkter i givna vektorrum.
Låt T:Rn →Rm vara en linjär avbildning vars matris i standardbasen är
=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
.
Låt
=
an
a a
P
2 1
{eller P=(a1,a2,2,an)} vara en punkt i Rn.
Tillhörande ortsvektor
=
= →
an
a a OP
p
2
1
har samma koordinater som punkten P.
Bilden av punkten P vid avbildningen T definierar vi som bilden av punktens ortvektor
p A OP
T
→ = )
( =
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
an
a a
2 1
.
Trots att "punkt" och "vektor" är två olika begrepp, beräknar vi formellt bilden av en punkt på samma sätt som bilden av tillhörande ortsvektor
→
OP. Därför betecknar vi bilden av P som L(P).
Alltså om Q är bilden av punkten
=
an
a a
P
2 1
då är
=
=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a P L Q
...
...
...
...
...
...
...
) (
2 1
2 22
21
1 12
11
an
a a
2 1
.
1 av 8
Exempel 1. Låt T:R3 →R3vara en linjär avbildning med matrisen
−
=
0 0 10
0 1 2
1 0 1 A
Låt Bestäm bilden av punkten P=(2,−1,3) vid denna avbildning.
Lösning:
−
=
−
−
=
=
20 3
1 3
1 2 0 0 10
0 1 2
1 0 1 )
(P Ap
L
Svar:
−
= 20
3 1 ) (P
L (ellerL(P)= (-1, 3, 20))
Avbildning av en punktmängd.
Definition. Låt T:Rn →Rm vara en linjär avbildning och låt M vara en punktmängd i R . Bilden av M betecknar vi T(M) och definierar, på ett naturligt sätt, som mängden i n
R vars element är bilder av alla punkter i M dvs m
} :
) ( { )
(M T P P M
T = ∈
Exempel 2. Låt T:R2→R2 vara den linjär avbildning vars avbildningsmatris är
= 0 1
1
A 2 . Bestäm bilden av punktmängden M då
a) }
3 , 2 0
{ 2
=
M , dvs M består av två punkter
3 2 och 0 2
b) , }
2
{ t 1 t R
M ∈
= + , dvs M består av oändligt många punkter.
c) , och1 3}
2
{ 1 ∈ ≤ ≤
= +t t R t
M , dvs M består av oändligt många punkter.
Lösning:
a) Först bestämmer vi bilderna av enstaka punkter:
=
=
2 4 0 2 0 1
1 ) 2
0 ( 2 T
=
=
2 7 3 2 0 1
1 ) 2
3 ( 2 T
2 av 8
Därmed är T(M)={
2 4 ,
2
7 } (dvs en mängd med två element).
b) För varje t∈ har vi en punktR
+ 2 1
t som ligger i M.
Vi beräknar
+
= +
+
=
+
1 4 2 2
1 0 1
1 ) 2
2 ( 1
t t t
T t
Därmed T(M)={ , } 1
4
2 t R
t
t ∈
+
+ (detta är en rät linje).
c) För varje t i intervallet 1≤ t≤3 har vi en punkt
+ 2 1
t som ligger i M.
Vi beräknar
+
= +
+
=
+
1 4 2 2
1 0 1
1 ) 2
2 ( 1
t t t
T t
Därmed T(M)={ , och1 3} 1
4
2 ∈ ≤ ≤
+
+ t R t
t
t (Detta är en sträcka (en del av rät linje)
vars ändpunkter är
2
6 och
4 10 .
Svar: a) T(M)={
2 4 ,
2 7 }
b) T(M)= , }
1 4
{ 2 t R
t
t ∈
+
+
c) T(M)={ , och1 3} 1
4
2 ∈ ≤ ≤
+
+ t R t
t
t .
=========================================================
OVNINGAR
Uppgift 1. Låt T :R2 →R2 vara den linjär avbildning vars avbildningsmatris är
−
= 1 2
1
A 1 . Bestäm bilder av punkterna: O=(0,0), B=(1,0), C=(1,1)och D=(0,1). Lösning:
Beteckna bilderna med O1, B1, C1 och D1. Då gäller:
=
−
= 0
0 0 0 2 1
1 1
O1 (eller O1=(0,0) )
=
−
= 1
1 0 1 2 1
1 1
B1 (eller B1=(1,1) )
3 av 8
=
−
= 3
0 1 1 2 1
1 1
C1 (eller C1=(0,3) )
=−
−
= 2
1 1
0 2 1
1 1
D1 (eller D1=(-1,2) )
Uppgift 2. (En viktig egenskap för en linjär avbildning)
Låt T:Rn →Rm vara en linjär avbildning. Visa att en rät linje i R avbildas på en rät n linje eller en punkt i R . m
Lösning:
Notera att ekvationen x =x0 +tv, t∈R,
beskriver antingen en rät linje (om v≠0 ) eller en punkt,x (om 0 v =0).
Låt nu x= x0+tv, t∈R,
vara en rät linje i R . Då gäller n )
( ) ( ) (
)
(x T x0 tv T x0 tT v
T = + = + .
Då har vi två möjliga fall:
i) Om T(v)≠0
då bildar punkter T(x0) tT(v)
+ en linje i R med riktningsvektor m T(v) . ii) Om T(v)=0
då är T(x0)+tT(v)=T(x0)
dvs en punkt i R . m
--- Anmärkning 1: På samma sätt visar vi att bilden av en sträcka som ges av
x= x0+tv, t∈R, t1 ≤t≤t2 är {T(x0)+tT(v), t∈R, t1≤t≤t2}
som är
i) en sträcka i R om m T(v)≠0 eller
ii) en punkt i R om m T(v)=0
Anmärkning 2: (Konsekvens av ovanstående.) Ett sätt att avbilda en månghörning är att att avbilda hörnpunkter och därefter dra sträckor mellan dem.
Uppgift 3. Låt T:R2→R2 vara den linjär avbildning vars avbildningsmatris är
−
= 1 2
1
A 2 . Bestäm bilden av den linje vars ekvation är 2x+ y=3.
Lösning:
Vi skriver linjens ekvation på parameterform genom att välja x=t som gör y=3−2t.
Därmed är , }
2
{ 3 t R
t
t ∈
− linjen på parameterform.
4 av 8
Metod 1. Vi bestämmer bilden av linjen genom att direkt använda avbildningens matris på linjens punkter:
+ −
=
− 2
1 3
( 0 2
3 A t
t
A t )=
+ −
2 1 3
0 tA
A =
+ −
=−
−
−
+
−
3 4 6
3 2
1 2 1
1 2 3 0 2 1
1
2 t t där t∈ R
Alltså är linjen , }
3 4 6
{ 3 t t∈R
+ −
− bilden av den linje vars ekvation är 2x+ y=3.
Vi kan också ange linjens ekvation på formen y=kx+m:
Från x=−3+4t och y=6+3thar vi först t= x( +3)/4 och därefter 4
33 4 4 3
/ ) 3 ( 3
6+ + ⇒ = +
= x y x
y .
Svar:
4 33 43 +
= x
y eller t t R
y
x ∈
+ −
=−
,
3 4 6
3 .
Uppgift 4. Låt T:R2→R2 vara den linjär avbildning vars avbildningsmatris är
= 2 4
1
A 2 .
Bestäm bilden av den linjen vars ekvation på parameter form är.
R t y t
x ∈
+ −
=
,
2 1 2
1 .
Lösning.
Låt L beteckna linjen } 2 1 2
{ 1
+ −
t .
2 )}
) 1 2 ( 1 { 2 )}
1 2
( 1 { )
(
⋅ −
+
=
+ −
= T t T t T
L T
=
−
+
2 1 2 4
1 2 2 1 2 4
1
2 t
=
+
=
8 4 0 0 8
4 t (Den här gången avbildas givna linje på en punkt.)
Svar: T(L)
= 8 4 .
5 av 8
Uppgift 5. (Tentamen 17 mars 2016)
Låt TA:R2 →R2 vara den linjär avbildning som har standardsmatris
−
= −
6 2
3
A 1 .
(a) Låt L vara linjen som ges av 2x− y3 =−11. Visa att TA avbildar linjen L på en linje TA(L).
(b) Hitta en linje L′ så att TA(L′)är en punkt. Ange ekvation för L′ . Lösning: (Jämför med ovanstående uppgift 2).
Låt nu L={x0+tv, t∈R},
vara en rät linje i R och n T:Rn →Rm en linjär avbildning . Då gäller
)}
( ) ( { )}
( { )
(L T x0 tv T x0 tT v
T
+
= +
= .
För T(L) har vi två möjliga fall:
i) Om T(v)≠0
då är {T(x0)+tT(v)} en linje i Rm som går genom T(x0)och har riktningsvektor T(v)
. ii) Om T(v)=0
då är {T(x0)+tT(v)}={T(x0)}
dvs en punkt i Rm.
a) Först skriver vi linjens ekvation på parameter form. Vi väljer x=t och beräknar
3 2 11 t
y +
= . Därmed ges L av följande ekvation
= +
3 / ) 2 11
( t
t y
x , t∈ . R
Alltså är L=
+
3 / 2
1 3
/ 11
{ 0 t , t∈ }. R
2 }.
1 22
{ 11
3 } / 2
1 6 2
3 1 3
/ 11
0 6 2
3 { 1
3 } / 2
1 3
/ 11 { 0
3 )}
/ 2
1 3
/ 11 ( 0 { 3 )}
/ 2
1 3
/ 11 ( 0 { ) (
+ −
= −
− + −
−
= −
+
=
+
=
+
=
t
t tA A
t A
t T
L
TA A
Alltså är TA(L)={
+ −
− 2
1 22
11 t , t∈ } som är en rät linje i RR 2 (med riktningsvektor
− 2 1 ).
6 av 8
(b) En linje x=x0+tv, t∈R,
avbildas på en punkt om och endast om riktningsvektor v
uppfyller TA(v)=0 . dvs om Av =0.
Beteckna den sökta riktningsvektorv
=
b
a . Vi löser ekvationen
=
−
−
0 0 6
2 3 1
b
a och
väljer en lösning.
=
⇒ =
=
= +
⇒ −
=
−
= +
⇒ −
=
−
−
0 0
3 0
0
0 3 0
6 2
0 3 0
0 6
2 3
1 a b a b
b a
b a b
a
Vi väljer en lösning, t ex b=1, a=3 och därmed v
=
1 3 . Med denna riktnings vektor avbildas linjen L' som ges av
R t y t
x y
x ∈
+
=
,
1 3
0 0
på en punkt, för varje val av
0 0
y
x . Vi väljer t ex.
=
0 0
0 0
y
x och får linjens ekv på parameterform:
R t y t
x ∈
=
,
1
3 .
Om vi eliminerar t då har vi x− y3 =0.
Svar: x− y3 =0 är en linje som avbildas på en punkt
(Anmärkning: Varje linje av typ x− 3y=Cavbildas också på en punkt).
Uppgift 6. Låt T:R2 →R2 vara den linjär avbildning som har standardsmatris
= 0 2
3
A 1 .
Bestäm bilden av triangeln vars hörn är i P1,P2,P3 där P1=(2,0) , P2=(2,2), P3=(0,2).
Rita grafen av triangelns bild.
Svar:
Beteckna med Q1, Q2, och Q3 bilderna av P1,P2,P3. Då är Q1=(2,4) , Q2=(8,4), Q3=(6,0).
Grafen:
7 av 8
Uppgift 7. Låt T:R2 →R2 vara den linjär avbildning som har standardsmatris
−
= 2 1
3
A 1 .
Bestäm bilden av kvadraten vars hörn är i P1,P2,P3 , P4 där P1=(1,2) , P2=(2,2), P3=(2,3) och P4=(1,3)
Rita grafen av kvadratens bild.
Svar:
Beteckna med Q1, Q2, , Q3 och Q4 bilderna av P1,P2,P3 och P4 Då är Q1=(–5,4) , Q2=(–4,6), Q3=(–7,7) och Q4=(-8,5) . Grafen:
8 av 8
