DETERMINANTER
A) Determinanter av andra ordningen
Determinanten av en matris
A
=
22 21
12 11
a a
a
a är ett tal som betecknas det(A) eller
22 21
12 11
a a
a
a och definieras enligt följande
Exempel: 5 4 3 2 20 6 14 4
3 2
5 = ⋅ − ⋅ = − = .
Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.
Betrakta ett kvadratiskt linjärt system med två ekvationer och två obekanta.
2 2 22 1 21
1 2 12 1 11
b x a x a
b x a x a
= +
=
+ (sys 1)
som vi kan skriva på matrisformen AX=B , där
=
22 21
12 11
a a
a
A a ,
=
2 1
x
X x och
=
2 1
b B b .
Vi vill undersöka för vilka värden på koefficienterna systemet har precis en lösning.
Om alla koefficienter aij är 0 så har systemet uppenbart antingen oändligt många eller ingen lösning. Anta att t ex a11≠0. Vi kan lösa systemet med substitutionsmetoden. Från första ekvationen har vi
11 2 12 1
1 a
x a
x = b − (*) som vi substituerar i andra ekvationen och får
2 2 22 11
2 12 1
21 a x b
a x a
a ⋅b − + = (multiplicera med a11≠0 och förenkla)
1 21 2 11 2 21 12 22
11 )
(a a −a a x =a b −a b (**)
Om och endast om (a11a22−a12a21)≠0 for vi precis en lösning för
21 12 22 11
1 21 2 11
2 a a a a
b a b x a
−
= −
som efter substitutionen i (*) och förenkling ger precis en lösning
21 12 22 11
2 12 1 22
1 a a a a
b a b x a
−
= − .
Alltså har systemet (sys 1) precis en lösning om och endast om (a11a22−a12a21)≠0. Uttrycket (a11a22−a12a21) som bestämmer (=determinerar) om systemet har exakt en lösning kallas determinanten och betecknas det(A) eller
22 21
12 11
a a
a
a . Därmed har systemet precis en lösning om och endast om det(A)≠0.
12 21 22 11 22 21
12
11 a a a a
a a
a
a = −
Sida 1 av 13
Uppgift 1. Beräkna följande determinanter:
a) c d b
a b) 4 3
2
1 c)
4 5
2
−2
d) 4 3
2 0
e) a a a a 2
3 f)
) 1 ( 1
2 + x
x g)
) 1 (
2 + x x
x h)
1 1 a3
a
Svar: a) ad −bc b) -2 c) –18 d) –6 e) −5a2 f) x2 + x−2 g) x2 − x h) 1 a− 4
Uppgift 2. Lös följande ekvationer med avseende på x
a) 4
) 3 ( 1
2 =−
− x
x b) 6
) 3 (
2 =−
− x x x
Lösning: a) x2 −3x−2=−4⇒ x2 −3x+2=0⇒ x1 =1,x2 =2 Svar: a) x1 = x1, 2 =2
b) x1 =2,x2 =3
Uppgift 3. Lös följande ekvation med avseende på x
x
x x
x x
1 2 1 1
2
2 =
Svar: x1 =−1,x2 =0,x3 =1
Uppgift 4. För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z)
=
−
= +
1 3
7 y a x
y a ax
A) en entydig lösning (dvs exakt en lösning= en unik lösning =precis en lösning) B) oändligt många lösningar
C) ingen lösning
Lösning: Koefficientmatrisen är
= −
a a A a
3 och motsvarande determinant a
a a a
A a 3
) 3
det( =− 2−
= − .
) 3 eller 0 ( 0 3 0
)
det(A = ⇔−a2− a= ⇔ a= a=− .
i) Om det(A)≠0, dvs (a≠0 och a≠−3) har systemet exakt en lösning.
Sida 2 av 13
Vi analyserar (med Gaussmetoden) antalet lösningar i fall a=0 eller a=−3. ii) Om a=0 får vi systemet
=
= 1 3
7 0
x dvs ingen lösning i detta fall.
iii) Om a=−3 får vi systemet
=
=
−
⇔ −
= +
=
−
−
8 0
7 3 3 1
3 3
7 3
3 x y
y x
y
x dvs ingen lösning
i detta fall.
Svar:
A) en entydig lösning om a≠0 och a≠−3
B) Fallet oändligt många lösningar kan inte förekomma i denna uppgift C) ingen lösning om a=0 eller a=−3.
B) Determinanter av tredje ordningen
Utveckling efter första raden
32 31
22 21 13 33 31
23 21 12 33 32
23 22 11 33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a
+
−
=
Utveckling efter en rad eller en kolonn.
Låt
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
D= .
För att beräkna determinanten kan vi använda en av följande metoder:
1. Utveckling efter rad nummer i
3 3 3 2
2 2 1
1
1 ( 1) ( 1)
) 1
( i ai Ai i ai Ai i ai Ai
D= − + + − + + − +
2. Utveckling efter kollon nummer k
k k k k
k k k
k
ka A a A a A
D=(−1)1+ 1 1 +(−1)2+ 2 2 +(−1)3+ 3 3
I dessa utvecklingar är A underdeterminanten m a p platsen (i,k) ik
som vi får om vi tar bort rad nummer i och kolonn nummer k från determinanten D . Teckenschema för (− )1 i+k.
+
− +
− +
−
+
− +
Uppgift 5. Beräkna följande determinanter:
a)
0 1 2
0 3 1
3 2 1
b)
5 5 2
1 3 1
3 2 1
c)
4 5 5
1 3 1
3 2 4
Lösning a)
Sida 3 av 13
Vi använder och jämför två metoder, utveckling efter rad 1 och utveckling efter kolonn 3.
Metod 1) Utveckling efter rad 1.
15 ) 6 1 ( 3 ) 0 0 ( 2 ) 0 0 ( 1 1 2
3 3 1
0 2
0 2 1
0 1
0 1 3
0 1 2
0 3 1
3 2 1
−
=
− +
−
−
−
=
⋅ +
⋅
−
⋅
=
Metod 2) Utveckling efter kolonn 3 ( där vi har två 0-element).
15 ) 6 1 ( 3 0 1 0
2 3 3 1
0 1 2
0 3 1
3 2 1
−
=
−
= + +
⋅
=
Det är enklast att utveckla en determinant efter den rad eller kollon med flera 0-element.
Svar: a) -15 b) 1 c) 0
C) Determinanter av n:te ordningen.
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a D
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
Utveckling efter en rad eller en kolonn.
Låt
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a D
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
= .
För att beräkna determinanten kan vi använda en av följande metoder:
1. Utveckling efter rad nummer i
in in n i i
i i i
i
i a A a A a A
D=(−1)+1 1 1+(−1)+2 2 2 ++(−1)+ 2. Utveckling efter kollon nummer k
nk nk k n k
k k k
k
ka A a A a A
D=(−1)1+ 1 1 +(−1)2+ 2 2 ++(−1) +
I dessa utvecklingar är Aikunderdeterminanten m a p platsen (i,k)
som vi får om vi tar bort rad nummer i och kolonn nummer k från determinanten D . Teckenschema för (− )1 i+k.
+
− +
− +
−
+
− +
Enkla egenskaper hos determinanter:
E1. Värdet av en determinant ändras inte om raderna görs till kolonner och vice versa.
det(AT)=det(A).
Sida 4 av 13
Bevis för determinanter av andra ordningen:
Låt
= d c
b
A a och därmed
= d b
c
AT a . Då gäller
bc d ad
c b
A)= a = − det(
bc d ad
b c
AT)= a = − det(
Alltså det(A)=det(AT) för 2x2 matriser.
På liknande sätt visar vi att det(A)=det(AT) för 3x3 matriser
=
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
) det(
a a a
a a a
a a a A
32 31
22 21 13 33 31
23 21 12 33 32
23 22
11 a a
a a a
a a
a a a
a a
a
a a − + = (efter förenkling)
31 22 13 33 21 12 32 23 11 32 21 13 31 23 12 33 22
11a a a a a a a a a a a a a a a a a
a + + − − −
= och
=
=
33 23 13
32 22 12
31 21 11
) det(
a a a
a a a
a a a AT
23 13
22 12 31 33 13
32 12 21 33 23
32 22
11 a a
a a a
a a
a a a
a a
a
a a − + =(efter förenkling)
31 22 13 33 21 12 32 23 11 32 21 13 31 23 12 33 22
11a a a a a a a a a a a a a a a a a
a + + − − −
= .
Alltså har vi visat att det(A)=det(AT) för 3x3 matriser.
Exempel:
1 1 3
2 5 1 2
3
5 = =− .
E2. Om alla element i en rad (eller en kolonn) är 0 så är determinantens värde 0.
Exempel:
0
0 1 2
0 3 1
0 2 5
=
E3.
a) Om en determinant har två lika rader (kolonner) så är determinantens värde 0.
b) Om en determinant har två proportionella rader (kolonner) så är determinantens värde 0.
c) Om en rad (kolonn) är en linjär kombination av andra rader så är determinantens värde 0.
Bevis för a-delen och determinanter av andra ordningen: = =ab−ab=0 b
a b
D a
På liknande sätt visar vi satsen för determinanter av tredje (eller högre) ordningen Anta att D är en determinant av tredje ordningen med två lika rader, t ex rad 2 = rad 3.
Sida 5 av 13
0 0 0
0− ⋅ + ⋅ =
⋅
= +
−
=
= a b c
f e
f ce g e
g be g f
g a f g f e
g f e
c b a
D .
Exempel: a) 0
8 5 23
3 2 1
3 2 1
= (två lika rader)
b) 0
8 5 23
3 2 1
3 2 1 10 8 5 23
30 20 10
3 2 1
=
⋅
=
c) 0
33 24 15
30 20 10
3 4 5
= eftersom rad 3 =rad 1 +rad 2
E4. Om man låter två rader (eller två kolonner) i en determinant byta plats så byter determinanten tecken.
Bevis för 2x2 determinanter:
Låt ad bc
d c
b
D1 = a = − . Om vi byter plats på första och andra raden då får vi
2 bc ad D1
b a
d
D = c = − =− .
På liknande sätt visar man att satsen gäller för determinanter av tredje ( eller högre) ordningen.
Exempel:
4 5 2 2
3 2 1
0 0 1
=
Om vi låter rad2 och rad 3 byta plats då får vi 4
3 2 1
5 2 2
0 0 1
−
=
E 5a. Man får bryta ut en gemensam faktor ur en rad (eller en kolonn).
Exempel:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a a
a a a
a a a k a a
a
ka ka
ka
a a
a
=
Bevis för determinanter av andra ordningen. Vi visar t ex att
d c
b ka kd kc
b
a = .
Sida 6 av 13
Vänsterledet=
d c
b ka bc ad k kbc kd kad
kc b
a = − = ( − )= =högerledet
På liknande sätt visar man att satsen gäller för determinanter av tredje ( eller högre) ordningen.
Exempel: I nedanstående exempel bryter vi ut 13 ur andra raden och 10 ur tredje raden.
130 1 130 ...
1 1 1
2 1 1
1 2 1 10 13 10 10 10
26 13 13
1 2 1
=
⋅
=
=
⋅
=
Ovanstående metod kan vi använda om determinanten innehåller en eller flera bråk.
Exempel: I nedanstående exempel skriver vi bråk i en rad med gemensam nämnare.
Därefter bryter vi ut (ur motsvarde rad) faktorn 1/nämnaren.
12 ) 1 2 4 ( 1 6 ... 1 4 3 2
1 1 1
1 2 1 4 1 6 1 4 / 4 4 / 3 4 / 2
1 1 1
6 / 1 6 / 2 6 / 1
1 4 / 3 2 / 1
1 1 1
6 / 1 3 / 1 6 / 1
−
=
−
⋅
⋅
=
=
⋅
=
=
E 5b. Spaltning (uppdelning) längs en rad (eller en kolon) Ett exempel med en determinant av andra ordningen:
22 21
12 11 22 21
12 11 22
21
12 12 11
11 ) ( )
(
a a
b b a a
a a a
a
b a b
a + + = +
(*)
Ett exempel med en determinant av tredje ordningen:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
33 32
31
23 22
21
13 13 12
12 11
11 ) ( ) (
(
a a a
a a a
b b b
a a a
a a a
a a a
a a
a
a a
a
b a b a b a
+
= + +
+
(**)
Vi bevisar (*)
VL= 22 11 11 21 12 12 11 22 11 22 12 21 21 12
22 21
12 12 11
11 ) ( ) ( ) ( )
( a a b a a b a a b a a a a b
a a
b a b
a + + = + − + = + − −
HL= + =
22 21
12 11 22 21
12 11
a a
b b a a
a a
12 21 22 11 21 12 22
11a a a b a a b
a − + − = VL .
E6. (VIKTIGT ! !!) Värdet av en determinant ändras inte om man till en rad (eller en kolonn) adderar en annan rad (/kolonn) multiplicerad med ett tal.
Vi bevisar följande fall:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
33 32
31
13 23 12 22 11 21
13 12
11
a a a
a a a
a a a
a a
a
ka a ka a ka a
a a
a
= + +
+
VL= + + + =
33 32
31
13 23 12 22 11 21
13 12
11
a a
a
ka a ka a ka a
a a
a
(spaltning längs rad 2)
Sida 7 av 13
= +
=
33 32 31
13 12 11
13 12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
ka ka ka
a a a
a a a
a a a
a a a
(notera att den andra determinanten är 0 eftersom rad 1 och rad 2 är proportionella)
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
= = HL (V.S.V)
Exempel 6.1.
Beräkna determinanten
7 3 2
3 2 1
2 1 1
=
D .
Lösning: Vi använder egenskapen E6 för att få två 0-element i första kolonn.
3 2 1
1 1 1
3 1 0
1 1 0
2 1 1
r3 (-2) r1
r2 (-1) r1 7 3 2
3 2 1
2 1 1
=
⋅
=
=
+
• +
•
=
= D
Svar: D=2 Exempel 6.2.
Beräkna determinanten
3 0 3 1
5 4 3 2
2 1 2 1
1 0 1 3
= D
Lösning: Vi har redan två 0-element i kolonn nummer 3 och med hjälp av egenskapen E6 får vi ett 0-element till i samma kolon.
3 0 3 1
3 0 5 2
2 1 2 1
1 0 1 3 r3 (-4) r2 3 0 3 1
5 4 3 2
2 1 2 1
1 0 1 3
−
−
= −
+
= •
= D
För att utveckla D efter kolonn 3 använder vi följande teckenschema:
+
− +
−
− +
− +
+
− +
−
− +
− +
och får
16 ) 5 3 ( 3 8 5
1 ) 1
8 ( 1
3) rad efter g (utvecklin
0 0 8
3 5 2
1 1 3 1 r3 (-3) r1 3
3 1
3 5 2
1 1 3 1
= +
−
− =
− −
⋅
−
=
=
−
−
−
−
⋅
−
=
+
•
=
−
−
−
⋅
−
= D
Sida 8 av 13
Svar: D = 16
Exempel 6.3.
Visa att
) )(
)(
( 1
1 1
2 2 2
b c a c a b c c
b b
a a
−
−
−
= .
(Vandermondes determinant) Lösning:
[ ]
).
)(
)(
(
) ( ) ( ) )(
(
ring) (faktorise
) )(
( ) )(
) ( (
) (
) (
) 1 (
) (
) ( 0
) (
) ( 0 1 r3 (-1) r1
r2 (-1) r1 1
1 1
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
b c a c a b
a b a c a c a b
a b a c a c a a b
c a c
a b a b
a c a c
a b a b
a a
c c
b b
a a D
−
−
−
=
+
− +
−
−
=
=
−
−
−
−
−
− =
−
−
⋅ −
=
−
−
−
−
=
+
• +
•
=
=
Exempel 6.4.
Beräkna följande determinanter determinanten
a)
3 0 3 2
5 4 3 2
0 0 2 1
0 0 3 3
1 =
D b)
3 0 3 1
0 4 3 2
0 0 2 1
0 0 0 5
2 =
D c)
3 0 3 1
2 3 3 4
0 0 2 1
2 3 1 3
3 = D
d)
5 0 0 0
3 2 0 0 0
4
z y x
d c b a
D = e)
d c b a
d c b a
d c b a
d c b a D
−
−
−
−
−
= −
5
f)
) 1 ( )
1 (
) 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 (
6
+
−
− +
− +
=
n n
n
n n
n
n n
n D
Lösning a)
kolonn1) (kolonn2
3 0 3 2
5 4 3 2
0 0 2 1
0 0 3 3
1= −
D (utvecklingefter rad1)
3 0 1 2
5 4 1 2
0 0 1 1
0 0 0 3
=
36 12 1 3 3 0
5 1 4 3 rad1) efter g (utvecklin
3 0 1
5 4 1
0 0 1
3⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
=
Sida 9 av 13
Svar 6.4. a) D1 =36 b) D2 =120 c) D3 =0 d) D4 =10ax e) D5 =8abcd f) D =6 −9n Exempel 6.5. Visa att determinanten
x b a
a b
b a
2 2
3 1
är delbart med (a+b).
Lösning: Kolonn 2 lägger vi till kolonn 1 och bryter ut (a+b):
x b a b b a x b b a
a b a
b b a
x b a
a b
b a
2 2
3 1
1 1
) ( 2
) ( 2
3 )
(
1 )
(
2 2
3 1
+
= +
+ +
=
Exempel 6.6. Visa att determinanten
y x z
x z y
z y x
d c b a
2 0
2 0
2
0
är delbart med (x+y+2z).
Lösning: Rader 2 och 3 lägger vi till rad 4 och bryter ut (x+y+2z):
= + + +
+ +
+
=
) 2 (
) 2 (
) 2 (
0
2 0
2 0
2 0
2 0
2 0
z y x z y x z y x
x z
y
z y
x
d c
b a
y x z
x z y
z y x
d c b a
1 1 1 0
2 0
2 )0
2
( y z x
z y x
d c b a z y x+ +
=
E7a
Determinanten av en diagonal matris är produkten av diagonalelementen. Vi upprepar att matrisen kallas diagonal om alla element som ligger utanför matrisens HUVUD DIAGONAL år lika med 0.
Detta kan ses genom att man utvecklar efter första rad eller kolonn flera gånger.
Exempel 7.1
abc c b a
= 0 0
0 0
0 0
, 30
3 0 0
0 5 0
0 0 2
= , 0
3 0 0
0 0 0
0 0 2
= abcd
d c b a
= 0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
Exempel 7.2 Beräkna följande determinant (lägg märke till att determinanten inte är diagonal)
Sida 10 av 13
i)
0 0 1
0 5 0
4 0 0
ii)
0 0 0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
d c
b a
Låsning: Vi kan enkelt beräkna direkt med hjälp av utveckling efter en rad eller kolon men vi väljer att byta platser på rader och få en diagonal matris. Vid varje radbyte ändras
determinantens tecken : i)
0 0 1
0 5 0
4 0 0
= (vi byter plats på rad1 och rad 3) = 20 4 0 0
0 5 0
0 0 1
−
=
−
ii) =
0 0 0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
d c
b a
(vi byter plats på rad 1 och rad 4)=
a c
b d
0 0 0
0 0 0
0 0
0
0 0 0 ) (−1
= (vi byter plats på rad2 och rad 3) abcd a
b c d
=
−
−
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0 ) 1 )(
1
( .
E7b Determinanten av en triangulär matris är produkten av diagonalelementen. Detta kan ses genom att man utvecklar efter första rad eller kolonn flera gånger.
Exempel 7.2 Beräkna determinanter
a)
3 0 0
3 5 0
1 2 b
b)
y x z
z y x
d c b a
0 0 0
2 0 0
2 5
0 c)
c b a
8 5
0 1
0 0
d)
d c
y x b a
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
Svar: a) 30 b) 10axyz c) abc d) abcd
E8
Produktregler:
i) Låt A vara en kvadratisk matris av typ 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 och k ett tal. Då gäller det(𝑘𝑘𝑘𝑘) = 𝑘𝑘𝑛𝑛det(𝑘𝑘)
ii) Låt A och B vara två kvadratiska matriser av samma typ. Då gäller
det(𝑘𝑘𝐵𝐵) = det(𝑘𝑘) det(𝐵𝐵) Exempel 8.1
i) Använd matriser A=
d c
b
a och kA =
kd kc
kb
ka för att testa regeln i)
ii) Använd matriser A=
7 3
2
1 och B =
1 0
1
2 för att testa regeln ii)
Sida 11 av 13
Exempel 8.2 Låt A vara en kvadratisk matris av typ 4 × 4 och det(A)=10 . Använd E8 för att beräkna
a) det(3𝑘𝑘) b) det(–2A) Lösning: b)
det(𝑘𝑘𝑘𝑘) = 𝑘𝑘𝑛𝑛det(𝑘𝑘) ⇒ det(−2𝑘𝑘) = (−2)410 = 160
Svar: a) 810 b) 160
Exempel 8.3 Låt A vara en kvadratisk matris av typ 99 × 99 och det(A)=5 . Beräkna det(–A)
Lösning:
det(𝑘𝑘𝑘𝑘) = 𝑘𝑘𝑛𝑛det(𝑘𝑘) ⇒ det(−𝑘𝑘) = (−1)99det(A) = −5 Svar: –5
Determinanter och inverterbarhet.
Låt A vara en kvadratisk matris av typ n×n. Då ör följande påstående ekvivalenta:
1. det(A) ≠ 0 2. A är inverterbar.
3. rang(A)=n Med andra ord:
A är inverterbar om och endast om det(A) ≠ 0.
Exempel 9.1
För vilka värden på den reella parametern a är matrisen A inverterbar om
i)
−
= −
a A a
2 1 ) 3
( ii )
−
=
2 0 5
1 1 2
1 1 a A
Lösning: i) det(A)= a2 − a3 +2.
Härav det(A)=0⇔a2 −3a+2=0⇔a=1 eller a =2. Matrisen är inverterbar om a≠1 och a≠2.
ii) det(A)=6−2a
Alltså, det(A)=0⇔6−2a =0⇔a=3. Matrisen är inverterbar om a≠3 .
Exempel 9.2 Låt A vara en inverterbar kvadratisk matris. Visa att det(A–1) =
) det(
1 A .
Tips: Använd egenskapen det(𝑘𝑘𝐵𝐵) = det(𝑘𝑘) det(𝐵𝐵) Lösning:
Vi använder egenskapen
Sida 12 av 13
Eftersom A–1A=I med hjälp av regeln det(𝑘𝑘𝐵𝐵) = det(𝑘𝑘) det(𝐵𝐵) får vi det(A–1A)=det(I)
⇒ det(A–1) det(A)=1
⇒ det(A–1) = ) det(
1
A (VSB)
Exempel 9.3 Låt A och B vara två similära matriser.
Visa att deras determinanter är lika.
Lösning:
Enligt definitionen två matriser är similära om och endast om det finns en inverterbar matris P så att A= PBP–1.
Därför det(A) = det( PBP–1) = det( P)det(B) det(P–1) = det( P)det(B) ) det(
1
P )= det(B) Alltså det(A)= det(B) ( vilket skulle bevisas)
Sida 13 av 13
