Institutionen för systemteknik
Department of Electrical Engineering
Examensarbete
Optimal bredbandig vågform framtagen genom
syntes av generaliserad osäkerhetsfunktion
Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping
av
Mikael Erninger och Mattias Nordenberg
LITH-ISY-EX–05/3719–SE Linköping 2005
Department of Electrical Engineering Linköpings tekniska högskola
Linköpings universitet Linköpings universitet
Optimal bredbandig vågform framtagen genom
syntes av generaliserad osäkerhetsfunktion
Examensarbete utfört i Reglerteknik
vid Tekniska högskolan i Linköping
av
Mikael Erninger och Mattias Nordenberg
LITH-ISY-EX–05/3719–SE
Handledare: Daniel Axehill
ISY, Linköpings universitet
Kent Falk
Ericsson Microwave Systems Examinator: Fredrik Gustafsson
ISY, Linköpings universitet
Avdelning, Institution
Division, Department
Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Linköpings universitet S-581 83 Linköping, Sweden Datum Date 2005-12-12 Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English ⊠ Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport ⊠
URL för elektronisk version
http://www.control.isy.liu.se http://www.ep.liu.se ISBN — ISRN LITH-ISY-EX–05/3719–SE
Serietitel och serienummer
Title of series, numbering
ISSN
—
Titel
Title Optimal bredbandig vågform framtagen genom syntes av generaliserad osäkerhets-funktion Optimal Wide-Band Wave-Form derived by Synthesis of Generalized Ambiguity Function
Författare
Author Mikael Erninger och Mattias Nordenberg
Sammanfattning
Abstract
The waveform of a radar signal affects the resolution in velocity and distance. The ambiguity function is used as an aid for analysing narrow band radar signals si-multaneously in time and frequency. An analysing tool for wide band radar signals is missing.
This thesis describes a generalised ambiguity function to be utilised for study of wide band signals. Waveforms are further synthesised with help of the developed analysing tool. The aim is to start with a certain ambiguity function and find a waveform that reproduces the same ambiguity function.
Mathematical formulas are presented and implemented in Matlab to produce the wide band ambiguity function. Functions for developing waveforms by synthesis is also implemented.
It turns out that the Hermitian functions used as base functions do not preserve the orthogonality when implemented as wide band signals. The synthesis is not fully successful. Therefore an alternative method with numerical optimisation is used in an attempt to find an optimal waveform.
Nyckelord
Abstract
The waveform of a radar signal affects the resolution in velocity and distance. The ambiguity function is used as an aid for analysing narrow band radar signals si-multaneously in time and frequency. An analysing tool for wide band radar signals is missing.
This thesis describes a generalised ambiguity function to be utilised for study of wide band signals. Waveforms are further synthesised with help of the developed analysing tool. The aim is to start with a certain ambiguity function and find a waveform that reproduces the same ambiguity function.
Mathematical formulas are presented and implemented in Matlab to produce the wide band ambiguity function. Functions for developing waveforms by synthesis is also implemented.
It turns out that the Hermitian functions used as base functions do not preserve the orthogonality when implemented as wide band signals. The synthesis is not fully successful. Therefore an alternative method with numerical optimisation is used in an attempt to find an optimal waveform.
Sammanfattning
Vågformen på en radarsignal påverkar hastighets- och avståndsupplösning i ett radarsytem. Osäkerhetsfunktionen används som ett hjälpmedel för att analysera smalbandiga radarsignaler simultant i tid och frekvens, men ett analysverktyg för bredbandiga radarsignaler saknas.
Den här rapporten beskriver en generalisering av osäkerhetsfunktionen så att bredbandiga radarsignaler kan studeras. Vidare syntetiseras vågformer med hjälp av det framtagna analysverktyget. Syftet är att med en önskad osäkerhetsfunktion finna en vågform som återskapar denna osäkerhetsfunktion.
Matematiska formler är uppställda och implementerade i Matlab för att be-räkna en bredbandig osäkerhetsfunktion. Funktioner för att ta fram vågformer via syntes finns också implementerade.
Det visar sig att de hermitiska funktioner som används till basfunktioner ej bibehåller ortogonaliteten för bredbandiga signaler. Syntesen lyckas inte fullt ut varför en alternativ metod med numerisk optimering används för att finna en optimal vågform.
Tack
Kent Falk, handledare på företaget, för din hjälp och engagemang. Du fick oss
att känna att vi verkligen var välkomna i gruppen.
Daniel Axelhill, handledare på universitetet, för många bra synpunkter på arbetet
och rapporten.
Arne Enqvist, matematiska institutionen, för din hjälp med matematiken. Lennart Voight, kontakt på företaget, för din support i Matlab.
Fredrik Gustafsson, examinator, för din hjälp med arbetet och kloka synpunkter.
Innehåll
1 Inledning 1 1.1 Bakgrund . . . 1 1.2 Syfte . . . 1 1.3 Mål . . . 2 1.4 Disposition . . . 2 2 Radarteknik 3 2.1 Smalbandsvillkoret . . . 3 2.2 Tidsfördröjning . . . 4 2.3 Omskalning . . . 42.4 Skalning och dopplerskift . . . 6
2.5 Bredbandiga signaler . . . 7 2.6 Radarvågformer . . . 7 2.7 Fyrkantspuls . . . 8 2.8 Pulskompression . . . 8 2.9 Linjär Frekvensmodulation (LFM ) . . . . 8 2.10 LFM och pulskompression . . . 11 3 Osäkerhetsfunktion 13 3.1 Beskrivning i tids- och frekvensplanet . . . 14
3.2 Woodwards osäkerhetsfunktion . . . 14
3.3 Bredbandig osäkerhetsfunktion . . . 15
3.3.1 Omskrivning av bredbandig osäkerhetsfunktion . . . 15
3.4 Målfunktion . . . 18
3.5 Basfunktioner . . . 20
3.5.1 Hermitiska funktioner . . . 20
4 Generaliserad syntes 23 4.1 Algoritm . . . 23
4.2 Ny ansats till en lösning på problemet . . . 28
4.3 Optimering . . . 31
4.3.1 Problemformulering . . . 31
4.3.2 Implementering i Matlab . . . 31
4.3.3 Begränsningar . . . 31 ix
5.1 Utvärdering av den generaliserade syntesen . . . 33 5.2 Utvärdering av optimeringen . . . 35 5.3 Diskussion . . . 37
Litteraturförteckning 39
A Syntes enligt Sussman och Vakman 41
B Implementation i Matlab 46 B.1 Skapa matrisen U . . . 46 B.1.1 Skapa matrisen U∗ α. . . 48 B.2 Skapa matrisen F . . . 51 B.3 Skapa matrisen F∗ α . . . 51 B.4 Skapa matrisen K . . . 52 B.5 Övrig kod . . . 52 C Omformulering av osäkerhetsfunktionen 53 C.1 Implementering av osäkerhetsfunktionen . . . 53 D Matlab-kod 56 D.1 Generaliserad syntes . . . 56 D.2 Optimering . . . 63
Kapitel 1
Inledning
Rapporten redovisar ett examensarbete utfört på Ericsson Microwave Systems (EMW) i Mölndal. I detta kapitel beskrivs bakgrund, syfte och mål med arbetet samt disposition i rapporten. Läsaren bör ha goda ingenjörskunskaper i fysik och matematik för att tillgodose sig rapporten fullt ut.
1.1 Bakgrund
Studier gjorda av EMW har påvisat stora möjligheter med att använda bred-bandiga bruslika signaler i radarsammanhang. De har flera fördelar jämfört med traditionella smalbandiga radarsignaler, såsom hög störtålighet och låg sannolikhet för upptäckt m.m.
Med friheten som den ökade bandbredden ger uppstår behovet att på nytt finna optimala vågformer till givna situationer. Modern signalbehandling med bredbandiga radarsignaler ställer nya krav på tekniken. Verktyg som används för att analysera vågformer måste modifieras. Den sk. osäkerhetsfunktionen eller tvetydighetsfunktionen är ett analysverktyg för att studera vågformer i tid och frekvens som nu måste modifieras.
Utgående från Woodwards [16] osäkerhetsfunktion har Sussman [9] utvecklat en syntesmetod att beräkna den vågform som genererar en viss osäkerhetsfunktion. Sussmans syntes kan användas till att finna den optimala vågformen till givna önskemål, men den är liksom Woodwards osäkerhetsfunktion begränsad till att endast gälla för smalbandiga signaler. Med en syntesmetod som även fungerar för bredbandiga signaler tas ett stort steg inom radartekniken.
1.2 Syfte
Syftet med den här rapporten är att skapa ett analysverktyg för bredbandiga radarsignaler. Detta genom att implementera en bredbandig osäkerhetsfunktion.
Med hjälp av en önskad uppställd osäkerhetsfunktion ska en optimal vågform kunna syntetiseras fram. Sussmans syntesalgoritm ska generaliseras så att den fungerar för bredbandiga radarsignaler.
1.3 Mål
Syftet i rapporten kan delas upp i tre delmål. Första delen är att göra en stor litte-raturundersökning för att finna rapporter som stödjer eller motsäger Sussman [9]. Vid motsägelse till Sussmans resultat ska alternativa metoder undersökas. Det andra delen är att skapa ett analysverktyg som fungerar för bredbandiga signaler och implementera det i Matlab. Tredje delen är att modifiera Sussmans algoritm för att användas på bredbandiga signaler. Fungerar inte syntesen önskvärt, pröva med att numeriskt optimera fram en lösning.
1.4 Disposition
För att sätta in läsaren i ämnet inleds rapporten med ett teoriavsnitt där grundläg-gande radarteknik beskrivs tillsammans med begrepp vitala för rapporten. I kapit-let om osäkerhetsfunktionen beskrivs den smalbandiga och den bredbandiga osä-kerhetsfunktionen. Den smalbandiga kan ses som ett rent teoriavsnitt. Avsnittet om bredbandig osäkerhetsfunktion beskriver hur den smalbandig och bredbandig osäkerhetsfunktion skiljer sig. Vidare behandlas hur den bredbandiga osäkerhets-funktionen omformuleras så att den går att implementeras i Matlab. I kapitel 4 presenteras generaliseringen av Sussmans syntesalgoritm, de motstridigheter som dyker upp och en numerisk optimering som ett alternativ till syntesalgoritmen. Sista kapitlet utvärderar och diskuterar de framtagna resultaten.
Som bilagor finns Sussmans algoritm och ett sidospår som undersöktes samt Matlab-kod inklusive förklaringar till implementationen.
Kapitel 2
Radarteknik
För att förstå rapportens ämne bör läsaren ha en grundläggande förståelse i radar-teknik. I det här kapitlet ges en kort presentation av hur radartekniken fungerar. Ordet radar är en förkortning av engelskans radio detection and ranging, vilket fritt översatt blir radiovågor för detektering och avståndsmätning. En närbesläk-tad teknik kallas sonar, sound navigation and ranging. Här används ljudvågor istället för radiovågor men annars är teknikerna helt jämförbara.
Radartekniken används ofta till avstånds- och hastighetsmätning. Det går till så att en elektromagnetisk våg (eller puls) sänds ut, träffar ett målobjekt och re-flekteras tillbaka som ett eko, se figur 2.1. Med hjälp av ekot från de mål som den utsända vågen träffar, bestäms storheter som avstånd och hastighet. Varierande tekniker finns för hur man beräknar dessa storheter. Ett sätt är att kombinera den utsända vågen med den returnerade. Signalerna korreleras1eller matchas efter
gemensamma egenskaper. Denna teknik brukar kallas för en korrelationsprocess eller för en filtermatchning och är optimal för signaler i additivt gaussiskt vitt brus [10]. Modellen som skapas för att beräkna avstånd och hastighet beror på antaganden om hur den mottagna (reflekterade) signalen ser ut. Signalerna delas vanligtvis upp i två grupper beroende på om de är smalbandiga eller bredbandiga. Definitionen för smalbandig respektive bredbandig signal behandlas i kommande stycken. Smalbandiga signaler är enklare att implementera då vissa approximatio-ner kan tillåtas göras. Smalbandsmodellen är därför mer vanligt förekommande i radartillämpningar än motsvarande bredbandsmodell.
2.1 Smalbandsvillkoret
Det finns ett villkor som en signal måste uppfylla för att smalbandsapproximatio-ner ska vara tillåtna som tex. dopplerskift [11]. Det formuleras i följande ekvation.
2v c <<
1
T B (2.1)
1
Utsänd signal jämförs med inkommen signal. När in- och utsignal är lika blir svaret av korrelationen stort.
Figur 2.1. Radarantennen sänder ut en elektromagnetisk våg, den reflekteras i målet och sänds tillbaka.
T B är produkten av signalens pulslängd T och signalens bandbredd B. v är målets hastighet och c är signalens utbredningshastighet. Uppfylls inte villkoret bör signalen betraktas som bredbandig.
2.2 Tidsfördröjning
När en radar sänder ut en signal f(t) och träffar ett objekt, genereras den reflek-terade signalen g(t). Antag att objektet befinner sig på ett avstånd R från radarn. Både objektet och radarn antas vara stillastående. Tiden det tar för signalen att nå objektet blir då R/c, där c är signalens hastighet. Den tid τ det tar för sig-nalen att färdas från radarn till objektet och tillbaka kan beräknas ur det enkla sambandet:
τ = 2R
c (2.2)
Om brusets inverkan på signalen ignoreras, kan g(t) approximativt skrivas som g(t) ≈ f(t − τ), där τ är tidsfördröjningen. För en mer utförlig beskrivning hänvisas läsaren till [11].
2.3 Omskalning
Objekt i rörelse påverkar utseendet på den reflekterade signalen g(t). Då den ut-sända signalen träffar ett mål med hastighet v, förändras utseendet. Den
skalför-2.3 Omskalning 5 Tid A vståndtillmåletnormaliseratmedljushastigheten Närma ndemå l me d ko nst antra dia lhastig het Fjärmande målmed konstant radialhastighet Mål med varierande radialhastighet
Utsänd vågform Mottagna vågformer
Figur 2.2. Illustration av tids- och frekvensomskalningen. Källa: Kent Falk
ändras med avseende på tiden. Fenomenet är allmänt känt som ett sk. dopplerskift eller frekvensskift, vilket är ekvivalent så länge |v| < c [5]. Tidsskalning innebär att argumentet till f(t) omskalas med en faktor α så att f(t) → f(αt). Figur 2.2 visar just vad som händer med en våg då den reflekteras mot ett rörligt föremål. Den utsända vågen träffar ett föremål som närmar sig, vågen tryckas ihop och band-bredden ökar. Tvärtom då en utsänd våg träffar ett mål som fjärmar (avlägsnar) sig, kommer bandbredden istället att minska.
Smalbandiga signaler har en bärvågsfrekvens ωc, som hela frekvensbandet är
centrerat kring. För smalbandiga signaler kan tidsskalningen approximeras med ett dopplerskift för hela signalen. Skaltermen α verkar på ωc, resterande frekvenser
antas påverkas lika mycket. Därför kan α approximeras med dopplerskiftet ωdsom
bryts ut och läggs i en exponentialterm enligt ekvation (2.3).
g(t) ≈ f(t − τ)ejωd(t−τ ) (2.3)
Approximationen gör att alla frekvenser skiftas likvärdigt. Det fungerar för sig-naler med relativt liten bandbredd. Dopplerskiftet ωd förhåller sig till
bärvågsfre-kvensen och skaltermen enligt följande:
ωd≈ (α − 1)ωc (2.4)
För bredbandiga signaler gäller att den reflekterade signalen g(t) approximativt kan skrivas som:
Termen√α är en normeringsfaktor som ser till att signalens energi bevaras.
2.4 Skalning och dopplerskift
Signaler med en stor fraktionerad bandbredd2 kan inte approximeras som rena
dopplerskift [11]. För att göra detta tydligt exemplifieras påståendet.
Exempel: Betrakta en signal som består av fyra toner 300 Hz, 1700 Hz, 4000 Hz
och 10.000 Hz med en bandbredd B på 9700 Hz. Signalens centerfrekvens blir då fc= 4000 Hz och dess fraktionerade bandbredd blir B/fc≈ 2,4.
Signalen skalas nu om med faktorn α = 1,05 enligt ekvation (2.5), vilket leder till att tonerna förflyttas upp i spektrat till 315 Hz, 1785 Hz, 4200 samt 10500 Hz. Bandbredden har ökat till α · B = 10185 Hz.
Använd nu istället smalbandsapproximationen i ekvation (2.3). Dopplerskiftet blir 200 Hz och det resulterar i tonerna 500 Hz, 1900 Hz, 4200 och 10200 Hz. Notera att bandbredden inte har förändrats från ursprungssignalen.
frekvens [Hz] am pl it ud Opåverkad signal Signalen omskalad Signalen dopplerskiftad 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 1 2
Figur 2.3. Graf över frekvensspektrat för signalerna.
Som synes i figur 2.3 blir resultaten från de båda metoderna annorlunda. Dopp-lerskiften avviker markant för frekvenser långt ifrån centerfrekvensen pga. den stora bandbredden i signalen. För så här bredbandiga signaler blir centerfrekven-sen oklar och dopplerskiftsapproximation är inte att rekommendera. Notera att oavsett metod3 blir resultatet det samma för tonen med frekvens f = f
c.
När den fraktionerade bandbredden minskar kommer skillnaden mellan de två metoderna att minska. Skalningsmetoden är den korrekta, men smalbandsapprox-imationen är vanligt förekommande för den är enkel och fungerar i de flesta fall mycket bra.
2
Signalens bandbredd B dividerat med dess center frekvens fc 3
2.5 Bredbandiga signaler 7
2.5 Bredbandiga signaler
För tillfällen då smalbandsvillkoret från ekvation (2.1) inte gäller är det lämpligt att använda den bredbandiga uppställningen från ekvation (2.5). Två sätt att bryta smalbandsvillkoret visas. Det första sättet är om målets hastighet v närmar sig signalens hastighet c. Det andra sättet är när T B-produkten är stor vilket medför att 1
T B är liten. För att exemplifiera visas två fall. Ett exempel när signalen inte
kan betraktas som smalbandig och ett då det går bra.
Exempel: Antag att polisen testar att använda en typ av sonar för
hastighets-övervakning i Östergötland. Längs E4:an kommer en Ferrari i 300 km/h, vilket motsvarar nästan 85 m/s. I ett sonar-system sänds ljudvågor ut med en hastighet c = 340 m/s. Låt T B ≈ 1 vilket ger 2vc ≈
1
2 dvs. produkten är inte mycket mindre
än ett.
En polisbil följer efter och vid ett vägarbete längre fram hinner polisen ifatt Ferraribilen. Nu har Ferrarin bromsat in till 40 km/h, dvs. drygt 11 m/s. Det ger att 2v
c ≈ 0, 07 och smalbandsberäkningar borde vara tillåten. Men om nu
den utsända signalen har en T B-produkt som är mycket större än ett, kommer smalbandsvillkoret ej uppfyllas. På samma sätt kan T B-produkten minskas för att anpassas till hastigheten på det objekt som mäts.
Notera att smalbandsapproximationen skulle varit giltig ifall radiovågor hade används istället för ljudvågor, dvs. om c hade varit ljusets hastighet.
Slutsats: Mål i snabb rörelse och/eller signaler som har stor T B-produkt leder till att reflekterade signaler ej kan hanteras som smalbandiga. Hur informationen om målets hastighet och avstånd extraheras beror alltså på om det är en smalban-dig eller bredbansmalban-dig signal.
2.6 Radarvågformer
Radarvågor moduleras typiskt4som:¯
u(t) = a(t) sin[ωct + θ(t)] (2.6)
ωc-termen är bärvågsfrekvensen mätt i radianer per sekund. a(t) är
amplitudmo-dulationen av bärvågen och θ(t) modulerar fasen. Strecket över u indikerar att bärvågen är inkluderad i uttrycket. Ekvationen (2.6) är reellvärd men vanligtvis används istället det komplexa uttrycket:
¯
u(t) = a(t)ej[ωct+θ(t)] (2.7)
Den komplexa vågformen som fås efter demodulationen (signal utan bärvåg) är:
u(t) = a(t)ejθ(t) (2.8)
Det är den här ekvationen (2.8) som beskriver själva vågformen (amplitud- och fasmodulationen utan applicerad bärvåg).
4
2.7 Fyrkantspuls
Antag att en enkel fyrkantspuls med konstant frekvens används i en radarappli-kation för målobservering. Fyrkantspulsen har enbart två designparametrar, dess amplitud a(t) = A och pulsens utsträckning i tiden T . Bandbredden är omvänt proportionell mot pulslängden (B = 1/T Hz), och ses därför inte som en oberoen-de oberoen-designparameter. Avståndsupplösningen cT/2 är direkt proportionell med T . Bredden på pulsen kommer att avgöra energin i signalen. En bredare puls är ener-girikare och kräver mer effekt. Mer utsänd effekt gör att observerbarheten ökar, men en bredare puls ger samtidigt en minskning i dess momentana bandbredd, vilket resulterar i en försämring i avståndsupplösning.
Bättre avståndsupplösning kräver en kortare puls. För en ökad hastighetsupp-lösning krävs istället en längre puls. Det resulterar i att det egentligen endast finns en designparameter för en fyrkantspuls, nämligen amplituden A. Alternativt kan pulskomprimerade vågformer vara en lösning.
2.8 Pulskompression
Pulskomprimerade vågformer är inte sammankopplade i tid och frekvens som vanli-ga vågformer. Utsträckningen i tiden påverkar inte signalens bandbredd. Den puls-komprimerade vågformen har en bandbredd β ≫ 1/T och en pulslängd T ≫ 1/β. Tillsammans gäller alltså att: T B-produkten är mycket större än 1 för pulskom-primerade vågformer. Det ska ses i kontrast till en enkel fyrkantspuls som har T B = 1.
Pulskompressionen gör det möjligt att välja pulsbredd och bandbredd fritt. Det kan åstadkommas genom att istället för att använda konstanta fyrkantspulser låta fas- och/eller amplitudmodulera pulserna. Linjär frekvensmodulation är en pulskomprimerad vågform som är vanligt förekommande. Vågformen benämns ofta som en LFM- eller chirp-signal.
2.9 Linjär Frekvensmodulation (LFM )
En linjär frekvensmodulerad vågform definieras som:u(t) = cos(πβ Tt
2), −T/2 ≤ t ≤ T/2 (2.9)
där T är pulsens utsträckning i tiden. Den komplexa motsvarigheten skrivs:
u(t) = ejπβt2T (2.10)
I figur 2.5 visas realdelen av vågformen då T B = 50. Momentan frekvens av vågformen (se figur 2.4) fås genom att derivera fasfunktionen med avseende på tiden t: F (t) = 1 2π dθ(t) dt = β Tt (2.11)
2.9 Linjär Frekvensmodulation (LFM ) 9 tid [s] M om en ta n fr ek vens , F [H z] -0.5 0 0.5 -20 0 20
Figur 2.4. Den momentana frekvensen sveper linjärt över hela bandbredden under en
T sekunders puls.
Frekvenssvepet kan starta från låga till höga frekvenser eller från höga till låga. Utseendet styrs med tecknet på β termen. Positiva β ger ett frekvenssvep som går från låga till höga frekvenser. För en LFM-puls motsvarar βT den sk. T
B-R ea ldel en tid [s] -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 -1 0 1
Figur 2.5. Utseendet på en LFM-signal (T B = 50).
produkten. T ≫ 1 måste vara uppfyllt för att en LFM puls ska kvalificeras som en pulskomprimerad vågform. Figur 2.6 visar magnituden av en LFM puls med en relativt liten T B-produkt (βT = 10) och figur 2.7 en med högre T B-produkt (βT = 100).
Normerad frekvens [Hz] M ag ni tuden -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 0 2 4 6 8 10 12
Figur 2.6. Graf av magnituden för en LFM-puls då T B = 10.
Normerad frekvens [Hz] M ag ni tuden -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 0 5 10 15 20 25 30 35
Figur 2.7. Graf av magnituden för en LFM-puls då T B = 100.
När T B-produkten ökar blir spektrat allt mer rektangelformat. Det är intui-tivt riktigt då vågformens energi sprids ut jämnt över alla frekvenser. Figur 2.8 och 2.9 visar autokorrelationen för respektive vågform. Som en jämförelse visas även autokorrelationen för en fyrkantspuls i båda figurerna (den streckade triang-eln). Om pulsen är T sekunder lång blir filtersvaret 2T sekunder. Utseendet i figur 2.9 påminner om en sinc-funktion5, vilket inte är så konstigt. I figur 2.7
ses att spektrat är rektangelformat. Inversa fouriertransformen av en rektangel blir en sinc. Notera att bredden på huvudloben är ungefär 1/β i båda figurerna. Det ska jämföras med den streckade kurvan, som visar filtersvaret från en enkel fyrkantspuls. LFM -pulsen har högre upplösning än en fyrkantspuls med en faktor ungefär lika stor som T B-produkten.
5
2.10 LFM och pulskompression 11 t [s] N or m er ad am pl it ud -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figur 2.8. Autokorrelationen av en LFM, T B = 10. t [s] N or m er ad am pl it ud -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figur 2.9. Autokorrelationen av en LFM, T B = 100.
2.10 LFM och pulskompression
Pulskompression är en process att konstruera en vågform som ger ett så högt filtersvar (vid filtermatchningen) som möjligt. Helst ska filtersvaret koncentrera energin i en enda kort puls, vilket ger en god hastighetsupplösning. LFM är en vågform som ofta används vid pulskompression.
Med en LFM -vågform erhålls en separat kontroll av dess energi (via längden T på pulsen) och avståndsupplösning (via pulsens bandbredd β). Om det går att designa en vågform med en lång utsträckning i tiden men med en kort koncentrerad autokorrelation, erhålls både en god upplösning i avstånd och i hastighet. Det kan åstadkommas genom att modulera en lång puls så att en högre bandbredd fås (större än 1/T ). Spektrat från autokorrelationsfunktionen (som är lika med vågformens magnitud i kvadrat) får en huvudlob som är ungefär 1/β sekunder bred.
Kapitel 3
Osäkerhetsfunktion
Valet av vågform för en radartillämpning är inte så kritiskt, i jämförelse med annan luftburen telekommunikation. Vågen innehåller i sig ingen information. Inte förrän en utsänd våg har reflekterats tillbaka till mottagaren finns det relevant information att behandla.
Det finns en stor skillnad mellan radar- och telekommunikation. Skillnaden är vad mottagaren kan förvänta sig av en mottagen vågform. Mottagaren i radarn har ingen aning om hur den reflekterade vågen ser ut. Det finns ingen kontroll på hur tidsskiften och frekvensskiften påverkar radarvågornas utseende. För att exemplifiera:
Exempel: Antag att en radarantenn sänder ut en våg med en viss bandbredd,
som reflekteras i ett punktformigt mål. Den returnerade signalen kommer att vara en tidsskiftad kopia av den utsända vågen samt innehålla en viss mängd brus. Om nu målets avstånd från radarn ska bestämmas, korreleras den inkommande vågen med den utsända. Matematisk formuleras det med hjälp av den komplexa autokorrelationsfunktionen.
c(τ ) = Z
u(t)u∗(t + τ ) dt (3.1)
u(t) är en godtycklig mottagen signalen som korreleras med en tidsskiftad och komplex konjugerad kopia.
Under förutsättning att det finns oändligt med energi att sända ut kan (i alla fall teoretiskt) avståndet till ett godtyckligt mål beräknas. Men det finns många brister i resonemanget. Vad händer om en utsänd våg reflekteras i flera mål samtidigt? Vad händer om målet befinner sig i rörelse? Dessutom är uteffekten begränsad och den vill man försöka minimera.
Precis som att avståndet mäts i tidsfördröjningen τ, mäts den radiella has-tigheten på målet i frekvensskiftet Φ. Om bandbredden på den utsända vågen är relativt liten jämfört med bärvågsfrekvensen fc, kan dopplereffekten
behand-las med god approximation som ett vanligt frekvensskift. Det bör understrykas att detta gäller för smalbandiga signaler. Givet att signalen är smalbandig kan
hastigheten på ett mål beräknas med hjälp av Φ ur sambandet κ(Φ) =
Z
U∗(f )U (f + Φ) df (3.2)
3.1 Beskrivning i tids- och frekvensplanet
För att analysera vilka egenskaper en viss vågform har behövs ett lämpligt ana-lysverktyg. En radar används oftast för avstånds- och hastighetsinmätning på något objekt. Eftersom dessa storheter är kopplade till tidsfördröjning respektive frekvens på den mottagna signalen är en funktion som simultant hanterar just tidsfördröjningar och frekvens ett lämpligt analysverktyg.
3.2 Woodwards osäkerhetsfunktion
Det finns ett behov av att finna en kombinerad autokorrelationsfunktion för olika tids- och frekvensskift. En matematiker vid namn P.M. Woodward, har skapat den sk. osäkerhetsfunktionen1 [16] även kallad för tvetydighetsfunktionen. För
en godtycklig smalbandig signal u(t) kan tidsskiften och frekvensskiften simultant beräknas. χ(τ, Φ) = Z u(t)u∗(t + τ )exp(−2πiΦt) dt = Z U∗(f )U (f + Φ)exp(−2πiΦτ) df (3.3) I uttrycket korreleras en mottagen signal u(t) med en skiftad och komplexkon-jugerad kopia u∗(t + τ ) av den utsända signalen. χ(τ, Φ) bildar en ytfunktion och
har följande egenskaper: • χ = c(τ), då Φ = 0 • χ = κ(Φ), då τ = 0
• χ(0, 0) = 1, förutsatt att u(t) är normerad enligtR |u(t)|2dt =R|U(f)|2df = 1
• RR|χ(τ, Φ)|dτdΦ = 1
Woodward konstaterade att med hjälp av osäkerhetsfunktionen från en utsänd signal f(t), kan osäkerheten i ekot g(t) mätas simultant i avstånd och hastighet. Därav namnet osäkerhetsfunktionen. Såsom Woodward definierar osäkerhetsfunk-tionen [16], finns kopplingar med den sk. Wignerdistribuosäkerhetsfunk-tionen [1]. Båda är i sin tur starkt kopplade till Heisenbergs osäkerhetsprincip inom kvantmekaniken. Mer ingående beskrivning av Heisenbergs osäkerhetsprincip finns att läsa [4].
1
3.3 Bredbandig osäkerhetsfunktion 15
3.3 Bredbandig osäkerhetsfunktion
Osäkerhetsfunktionen χ för bredbandiga signaler är formulerad som en osäkerhet i hastighet och avstånd. Bredbandig osäkerhetsfunktion syftar till att inga smal-bandsapproximationer används. För bredbandiga signaler kan inte kompressioner och expansioner av vågformer approximeras lika enkelt som vanliga dopplerskift. Uppställningen är mer generell än Woodwards definition av osäkerhetsfunktionen. Nu beskrivs osäkerhetsfunktionen istället av χ(Rt, Rf, vt, vf). Målet antas ligga
på ett avstånd Rt meter och färdas med en hastighet vtmeter per sekund (index
t syftar till engelska ordet target). Ekosignalen som fås från målet, korreleras med utsänd signal i ett sk. matchningsfilter. Filtret är inställt för ett avstånd Rf
meter och med en hastighet vf meter per sekund (index f syftar till filter). Det
matematiska uttrycket på osäkerhetsfunktionen: χ(Rt, Rf, vt, vf) = = 1 E ∞ Z −∞ u c0− vt c0+ vt t −2Rc t 0 · u∗ cc0− vf 0+ vf t − 2Rc f 0 dt (3.4) u c0−vt c0+vt t −2Rt c0 är insignalen och u ∗ c0−vf c0+vf t −2Rf c0 är
matchnings-filtret. Uttrycket är uppställt så att positiva hastigheter motsvarar att målet fjärmar sig. Det leder till att den mottagna signalen minskar i bandbredd jämfört med den utsända. I tidsplanet har utsänd signal expanderats. 2Rt
c0 och
2Rf
c0 är
de tidsfördröjningar som fås då en utsänd signal reflekteras på målet och tillbaka till mottagaren, dvs den tid det tar för en utsänd signal att färdas sträckan R. R beräknas enkelt ur sambandet
t = 2R c0
(3.5) För att täcka ett visst område med en viss hastighetsupplösning kommer det att krävas en bank av filter, som är inställda för att ge en bra matchning med insignalen. Om insignalen ej ligger inom det område som täcks upp, fås alltså inget starkt filtersvar. Figur 3.1 är en principskiss på en filterbank. Från vänster syns inkommande LFM -signal2. Signalen filtreras med en bank av filter för att
täcka upp ett visst hastighetsområde. Filtersvaret med störst amplitud kommer ligga närmast målets hastighet. Enligt figur 3.1 ger filtret i mitten starkast svar.
3.3.1 Omskrivning av bredbandig osäkerhetsfunktion
Rt och vt är målets parametrar. Utgångspunkten är att det som sänds ut från
radarn och vad som händer på mottagarsidan kan påverkas, men inte hur överfö-ringen ser ut däremellan. Därför ses målets parametrar som konstanter under en simulering, och osäkerhetsfunktionens mitt läggs i punkten (Rt, vt). Rf och vf är
2
Figur 3.1. Filterbank med N st filter som täcker upp ett begränsat hastighetsområde.
filtrets egenskaper, vars parametrar kan ändras för att finna målets egenskaper. Sätt
R = Rf− Rt, R ∈ [−Rfmax+ Rt, Rfmax+ Rt] (3.6)
och
v = vf− vt, v ∈ [−vfmax+ vt, vfmax+ vt] (3.7)
där positivt R och v gäller för radiell riktning bort från radarn. Ett vanligt för-farande är att sätta Rt= vt= 0, vilket gör att osäkerhetsfunktionens mittpunkt
är förlagd i origo. Därför gäller nu att R = Rf och v = vf, jämför med figur 3.2.
Ekvation (3.4) kan nu skrivas om till: χ(0, Rf, 0, vf) = 1 E ∞ Z −∞ u((c0− 0 c0+ 0)(t − 2 · 0 c0 )) · u ∗((c0− vf c0+ vf)(t − 2Rf c0 )) dt = /vf = v, Rf= R/ = 1 E ∞ Z −∞ u(t) · u∗((c0− v c0+ v)(t − 2R c0 )) dt = χ(R, v) (3.8) För att få en något renare form på χ införs två nya variabler
α = c0− v
c0+ v (3.9)
τ = 2R
c0
(3.10) Hastighetsskillnaden mellan filtret och målet kommer därför att finnas implicit i variabeln α medan avståndsskillnaden mellan mål och filter kan motsvaras av en
3.3 Bredbandig osäkerhetsfunktion 17 vt= Rt= 0 v R vfmax −vfmax −Rfmax Rfmax v R vfmax+ vt −vfmax+ vt −Rfmax+ Rt Rfmax+ Rt
Figur 3.2. Definitionsområde för osäkerhetsfunktionen
tidsskillnad med variabelnamn τ. Med variablerna definierade i (3.9) och (3.10) kan nu χ skrivas som i ekvation (3.11).
1 E ∞ Z −∞ u(t) · u∗((c0− vf c0+ vf) | {z } α (t − 2Rc 0 |{z} τ )) dt = 1 E ∞ Z −∞ u(t) · u∗(α(t − τ)) dt = χ(τ, α) (3.11) Signalen u(t) har vissa egenskaper som kan finnas genom att testa mot en filterbank med en uppsättning olika τ och α. α är definierat enligt ekvation (3.9) och i (3.7) definieras mittpunkten av v till vmitt = vt. På motsvarande sätt
definieras τ i ekvation (3.10) med R taget från ekvation (3.6). Här gäller att Rmitt = Rt. Tidigare i detta stycke är det definierat att Rt = vt = 0, och med
införandet av variablerna τ och α kommer intervallen ligga symmetriskt kring punkten (0, 1) för χ(τ, α) med maxvärdet i mittpunkten.
I den form χ är uppställt nu så kommer u(τ) vara definierad som en vektor och u∗(α(t − τ)) som en 3D-matris3. Ska nu beräkningar göras i Matlab är det
lämpligt att kunna utföra matrismultiplikationer istället för ett antal for-satser.
3
För implementation är det därför bättre med två stycken 2D-matriser istället. Det är möjligt att skapa dessa genom följande två omskrivningar:
χ(τ, α) = 1 E ∞ Z −∞ u(t) · u∗(α(t − τ)) dt = E1 ∞ Z −∞ u(t + τ ) · u∗(αt) dt (3.12) Egentligen är det en variabelsubstitution t − τ = t′ som sker. Men sätts därefter
t′= t så ges resultatet ovan. Efter ovanstående omskrivning sker en diskretisering
för att möjliggöra implementation, och det blir då möjligt att lägga in alla önskade tidsförskjutningar, τ, i en matris U. På samma sätt kan alla signaler givna av α läggas in i en matris U∗ α. χ(τ, α) ≈ E1 ∞ X t=−∞ u[t + τ ] · u∗[αt]
= /u och u∗ är definierade i ett diskret antal punkter./
= 1 E tmax X t=−tmax u[t + τ ] · u∗[αt] = UU∗α (3.13)
Integrationen sker alltså genom skalärmultiplicering längs respektive matris t-axel för ett visst τ och ett visst α. Energin E läggs in i matriserna direkt. Hur ma-triserna U och U∗
α ska ställas upp och dimensioneras för önskat resultat beskrivs
utförligt i bilaga B.
I bilaga C presenteras en alternativ omskrivning av osäkerhetsfunktionen. Den visade sig bli alldeles för beräkningskrävande och övergavs därför till förmån för ovanstående matrisuppställning.
3.4 Målfunktion
Valet av vågform på radarsignalen samt signalens längd påverkar radarns egen-skaper. Det finns ett antal typer av vågformer där dess egenskaper är välkända. Till exempel kan nämnas LFM och Barkerkodad signal. Dessa vågformer är myc-ket lämpliga i vissa fall, men de är inte alltid de mest optimala. För att hitta en optimal vågform måste först vissa kriterium definieras. Osäkerhetsfunktionen är ett verktyg som används för att analysera vågformens egenskaper. Utgående från en önskad osäkerhetsfunktion, även kallad målfunktion4, kan en radarsignals
önskade egenskaper definieras. Tekniken att specificera en målfunktion behandlas endast övergripande i den här rapporten, men det bör poängteras att det inte är helt trivialt att välja en lämplig målfunktion. I kapitel 4 förklaras detta närmare. I radarsammanhang är det ofta önskvärt att välja en radarsignal som minime-rar osäkerheten i avstånds- och hastighetsled och även uppfyller andra önskade egenskaper. I en flygburen radar kan det till exempel vara önskvärt att helt eller
4
Observera att det som här benämns som målfunktion inte ska förväxlas med det som inom optimering kallas för målfunktion.
3.4 Målfunktion 19
delvis undvika reflektioner från marken, sk. markklotter. I dagsläget hanteras markklotter genom att filtrera bort det på mottagarsidan. Ett annat sätt att hantera problemet kan istället vara att finna en vågform som ger minimalt med markklotter utan att för den skull missa information i övrigt. Det kan finnas myc-ket att vinna på minskad filtrering på mottagarsidan. En vågform som uppfyller detta kriterium skulle ge ett lågt svar längs ett band i osäkerhetsfunktionen.
I figur 3.3 visas en konturplot på hur en målfunktion skulle kunna se ut. I mitten finns en tydlig topp med låga sidlober. Längs en linje ligger ett ”nol-lat” område, som även återfinns i motstående kvadrant. Denna målfunktion kan användas för att finna den vågform som uppfyller önskade egenskaper. Är det inte möjligt att tillgodose alla önskemål kan den vågform som närmast uppfyller önskemålen sökas. Vågformen genererar en osäkerhetsfunktion som jämförs med målfunktionen, och felet mellan de två funktionerna minimeras. Det kallas syntes, och är ett inverst problem i den mening att normalt sett analyseras en vågform med hjälp av osäkerhetsfunktionen. Hur målfunktionen ser ut beror givetvis på
Figur 3.3. Illustration av en möjlig målfunktion. Källa: Kent Falk
vilket tillämpningsområde signalen ska användas inom. För en radar önskas oftast minimal osäkerhet i avstånd och hastighet, alltså det som i denna rapport kallas τ och α. Inom kommunikation kan det istället vara önskvärt med stor osäkerhet i hastighet. En sådan vågform bli därmed dopplerokänslig och kan därför användas när hastighetsskillnaden mellan sändare och mottagare är stor.
För att testa den syntesmetod, se kapitel 4, som är utvecklad vid vid utförandet av detta examensarbete används χ-funktionen för en LFM-signal som målfunktion.
3.5 Basfunktioner
Den metod för syntes som beskrivs i denna rapport bygger till stor del på att signalerna skapas genom viktning av ett antal basfunktioner. Matematiskt kan det skrivas som nedan, där s(t) är signalen, fk(t) är basfunktionen av ordning k
och ck är vikten till respektive basfunktion.
s(t) =X
k
ckfk(t) (3.14)
Om basfunktionerna är ortogonala kan vikterna entydigt lösas ut på ett enkelt sätt. Trunkering av basfunktioner kan förstöra ortogonaliteten och det är inte möjligt att skicka ut oändliga signaler. Därför är det även en fördel om basfunk-tionerna är ändliga i tiden.
Både Vakman [10] och Klauder [6] visar att hermitiska funktioner, hn(t), är
ortogonala, ändliga och kan ge cirkulärsymmetriska osäkerhetsfunktioner. Där-för väljer Vakman dessa som basfunktioner i samband med syntes. För att finna lämpliga alternativa basfunktioner, samt även alternativa syntesmetoder har en stor litteraturundersökning gjorts. Tekniska rapporter i ämnet syntes av
osäker-hetsfunktion([15] och [13] m.fl.) har studerats, samt artiklar ([17] och [12] m.fl.)
som refererar till Sussman [9]. I de studerade rapporterna har vi inte lyckats finna något som motsäger att hermitiska funktioner skulle vara de bäst lämpade bas-funktionerna att använda, eller att någon annan funktion använts i samband med syntes. I rapporterna finns inte några direkta resultat som motsäger användandet av hermitiska funktioner, men i [3] m.fl., konstateras att bruslika vågformer, som växlas från puls till puls, med hög bandbredd ger bra upplösning i avståndsled och hastighetsled. Sådana vågformer kan tänkas vara svåra att skapa med hermitiska funktioner, som är harmoniska i sin uppbyggnad. Syftet med den här rapporten är dock till stor del att studera Sussmans algoritm. Därför testas syntesen i den här rapporten enbart med hermitiska funktioner som basfunktioner. De uppfyller önskemålet om att vara ändliga i tiden och är ortogonala om de inte trunkeras.
3.5.1 Hermitiska funktioner
Den hermitiska funktionen av ordning n byggs upp genom att dämpa det hermi-tiska polynomet av ordning n med en exponentialterm.
Det finns olika definitioner av hermitiska funktioner hn(t) och hermitiska
po-lynom Hn(x). Wilcox [14] har definierat de hermitiska funktionerna enligt nedan:
hn(t) = 21/4 √ n!Hn(2 √ πt)e−πt2 , n = 0, 1, 2, . . . (3.15) Hn(x) = (−1)nex 2 /2 d dx n e−x2/2 (3.16)
3.5 Basfunktioner 21 tid [s] am pl it ud n= 0 n= 1 n= 2 n= 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.15 0 0.15
Figur 3.4. Hermitiska funktioner av ordning 0 till 3
Figur 3.4 visar hermitiska funktioner av ordning 0 till 3.
Ett högre ordningstal på den hermitiska funktionen innebär längre tidsutbred-ning. Wilcox definition av hermitiska polynom och funktionen innebär en något kortare utsträckning i tiden än de definitioner som är vanliga i litteraturen, se ex-emplevis [7]. En kortare utsträckning i tiden gör att matriserna blir något mindre då funktionen implementeras, vilket kan vara önskvärt då datorkraften är begrän-sad. Funktionerna uppfyller ortogonalitetsvillkoret:
∞
Z
−∞
hp(t)hq(t)dt = δpq (3.17)
Det visar sig att ortogonaliteten förstörs i samband med omskrivningen till bredbandig definition av osäkerhetsfunktionen5. Det lämnar valet av
basfunktio-ner mer fritt, eftersom det ändå inte finns mycket till ortogonalitet att ta hänsyn till. Att vi enbart studerat hermitiska funktioner är en begränsning. Exempelvis Wavelets [11] verkar uppfylla många önskvärda egenskaper och bör kunna använ-das i samband med syntes. Tyvärr är inte detta vidare testat, så ingen slutsats kan dras hurvida valet av hermitiska funktioner som basfunktioner nödvändigtvis är det bästa.
5
Kapitel 4
Generaliserad syntes
I radarsammanhang är det ofta önskvärt att välja en radarsignal som minime-rar osäkerheten i avstånds- och hastighetsled och även uppfyller andra önskade egenskaper. Tidigare har det beskrivits hur osäkerhetsfunktionen skapas utifrån en given signal. Syntes av osäkerhetsfunktionen innebär att den vågform som ge-nererat den nämnda osäkerhetsfunktionen eftersöks. Det här kapitlet beskriver en metod att finna den vågformen. Algoritmen som beskrivs i avsnitt 4.1 är en modifiering av den algoritm som först presenterades av Sussman [9] och som finns i bilaga A. Den metod som beskrivs här stöter på vissa problem som inte helt hanteras på önskvärt sätt. Vid användandet av denna metod måste hänsyn tagas till detta.
4.1 Algoritm
Börja med att utgå från en målfunktion G(τ, α), alltså en ytfunktion definierad i τ− och α−led. G(τ, α) beskriver hur det önskas att osäkerhetsfunktionen till den sökta signalen ser ut. Vad målfunktion är har utförligare beskrivits i av-snitt 3.4. Det är inte säkert att målfunktionen är möjlig att återskapa, men det går att finna den osäkerhetsfunktion χs(τ, α) som närmast liknar målfunktionen.
Tekniken är då att ställa upp det kvadratiska felet ǫ mellan G(τ, α) och χs(τ, α).
Det är möjligt att finna den osäkerhetsfunktion som minimerar ǫ. Eftersom det är känt hur χs skapas är det då även möjligt att finna den signal som genererar
osäkerhetsfunktionen.
Det kvadratiska felet är definierat enligt: ǫ = 1
EK
Z Z
|G(τ, α) − χs(τ, α)|2dτ dα (4.1)
Låt s(t) vara den signal som skapas genom syntesen. Den byggs upp av ett antal basfunktioner fk(t) viktade med ck.
s(t) =X
k
ckfk(t) (4.2)
Vikterna ck, även kallade koefficienterna, till signalen kan beräknas enligt ck= ∞ Z −∞ s(t)fk∗(t) dt (4.3)
under förutsättning att basfunktionerna som används är inbördes ortogonala. Or-togonaliteten definieras i ekvation (4.4).
∞ Z −∞ fk(t)fl∗(t) dt = δkl= 1 för k = l 0 för k 6= l (4.4)
Koefficienterna bildar tillsammans vektorn c. Utifrån c bildas dess transpone-rade komplexkonjugat c∗. c= c1 c2 · · · , c∗= c∗ 1 c∗2 . . . (4.5)
För att lösa syntesen måste osäkerhetsfunktionen χs skrivas om på det sätt
som visas i avsnitt 3.3.1.
χs(τ, α) = 1 Ef ∞ Z −∞ s(t + τ )s∗(αt) dt = X p cp X q c∗ q 1 Efpq ∞ Z −∞ fp(t + τ )fq∗(αt) dt = X pq cpc∗qKpq(τ, α) (4.6)
Kpq(τ, α) bildar korsprodukten mellan basfunktionerna av ordning p och q, för
alla tillåtna värden på τ och α. Kpq(τ, α) = 1 Efpq ∞ Z −∞ fp(t + τ )fq∗(αt) dt (4.7)
På samma sätt som koefficienterna löses ut i ekvation (4.3) önskas koeffici-enterna cpc∗q lösas ut ur ekvation (4.6), alltså på det sätt som visas i ekvation
(4.8). 1 EK Z Z χs(τ, α)Kpq∗ dτ dα = X i,j cic∗j 1 EKpq Z Z KijKpq∗ dτ dα (4.8)
4.1 Algoritm 25
där EKpq är en normering enligt nedan.
EKpq =
Z Z
|Kpq(τ, α)|2dτ dα (4.9)
Resultatet från ekvation (4.8) blir inte som önskat termen cpc∗q. Det beror på
att ortogonaliteten som visades i (4.4) inte gäller då tidsförskjutning införs eller basfunktionernas inbördes utsträckning i tiden ändras.
∞
Z
−∞
fk(t + τ )fl∗(αt) dt 6= δkl (4.10)
Att ortogonaliteten mellan basfunktionerna inte bibehålls är en viktig egenskap hos den generaliserade uppställningen som orsakar stora problem för syntesmetoden1.
Utan ortogonalitet mellan basfunktionerna innebär det i sin tur att korsprodukten Kij inte blir ortogonal mot korsprodukten Kpq.
Trots ovanstående slutsats införs matriselement Apq på följande vis:
Apq=
1 EKpq
Z Z
G(τ, α)Kpq∗(τ, α) dτ dα (4.11)
Matriselementen bygger tillsammans upp matrisen A.
A= A11 A12 A13 . . . A21 A22 A23 . . . . . . . Am1 Am2 . . . Amn (4.12)
Med definitionen av χs från (4.6) kan nu ǫ, (4.1), skrivas enligt nedan.
ǫ = 1 EK Z Z (G −X ij cic∗jKij)(G∗− X pq c∗pcqKpq∗) dτ dα (4.13) Minimum för ǫ söks. ck är komplex och anses då oberoende2 av c∗k. Därför kan
koefficienterna ck som gör att integralen får ett minimum beräknas genom att
derivera ǫ med avseende på c∗
k och sätta derivatan till noll.
1
Jämför med bilaga A.
2
δǫ δc∗ k = 1 EK Z Z [−(G∗−X pq c∗ pcqKpq∗ ) · X i ciKik −(G −X ij cic∗jKij) · X q cqKkq] dτ dα = −X i ci 1 EKik Z Z G∗Kikdτ dα | {z } A∗ ik +X i ci X p,q c∗pcq 1 EKik Z Z Kpq∗ Kikdτ dα | {z } d∗ pq(i,k) −X q cq 1 EKkq Z Z GKkq∗ dτ dα | {z } Akq +X q cq X i,j cic∗j 1 EKkq Z Z KijKkq∗ dτ dα | {z } dij(k,q) (4.14)
I ekvationen ovan har dij(k, q) och d∗pq(i, k) införts. De betecknar matriselement
i en blockmatris och införs för att på ett mer överskådligt sätt kunna hantera syntesen. I dij(p, q) indikerar då i, j blockelementen och p, q indikerar elementen
i respektive block.
För att förtydliga ekvation (4.14) kan p, q bytas ut mot j, i samtidigt som i byts mot q på de rader som börjar med Pici. Eftersom δcδǫ∗
k = 0 ger minimum
kan nu ekvation (4.15) ställas upp. X q cq(Akq+ A∗qk) | {z } VL =X q cq( X i,j cic∗j(dij(k, q) + d∗ji(q, k)) | {z } HL (4.15)
Vänsterledet, VL, i ekvation (4.15) kan skrivas på matrisform som
V L = (A + A∗)c (4.16)
Matrisen A′= 1
2(A + A∗) är hermitisk, dvs. uppfyller villkoret att
A′ = A′∗. Det innebär bland annat att talen längs diagonalen på A′ är reella.
Högerledet, HL, i (4.15) måste hanteras på annat sätt. Först diskuteras termen dij(p, q). Den är normerad med EK definierad i ekvation (4.9). Det betyder att
4.1 Algoritm 27 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 0 1
Figur 4.1. Resultat från integral över 5 korsprodukter.
därför införs beteckningen dij(p, q)6⊥ där. dij(p, q) = 1 EKpq Z Z Kij(τ, α)Kpq∗ (τ, α) dτ dα = 1 för i = p och j = q dij(p, q)6⊥ för i 6= p eller j 6= q (4.17)
I idealfallet, vid ortogonalitet, hade värdet i punkterna dij(p, q)6⊥ varit 0. Så hade
det varit ifall korsprodukten Kij vore ortogonal mot Kpq. Därav beteckningen 6⊥.
Det går att dela upp HL i ekvation (4.15) i flera summor enligt de villkor som sätts upp i (4.17). HL = X q cq( X i,j cic∗j(dij(k, q) + d∗ji(q, k)) = 2X i=k ci X q=j |cq|2+ X q cq X i,j cic∗j(dij(k, q)6⊥+ d∗ji(q, k)6⊥) | {z } Q (4.18)
Qär svårberäknad och därför har det testats att försumma denna summa/matris genom att sätta den till noll. Figur 4.1 visar ett exempel på dij(p, q) för i=0,...,4,
j=0,...,4, p=0,...,4 och q=0,...,4.
Figur 4.1 ska nu jämföras med figur 4.2 där ortogonaliteten mellan korsproduk-terna uppfylls, dvs. i dij(p, q)6⊥ = 0 i ekvation (4.17), för samma val av i, j, p och q
som i föregående figur.
Låt Esbeteckna signalens energi. Eftersom basfunktionerna är valda
norme-rade3 gäller E
s=Pq|cq|2. Nu kan VL = HL skrivas på en renare form.
1 2 X i ci(Aki+ A∗ik) = Esck (4.19) 3 Se ekvation (4.4)
0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 0 1
Figur 4.2. Resultat vid ortogonalitet mellan korsprodukter.
Med hjälp av (4.16) skrivs ekvationen nu: 1
2(A + A
∗)c = E
sc (4.20)
Ekvation (4.20) känns igen som ett egenvärdesproblem där Es = λ är
egen-värdet. Den homogena ekvationen i (4.20) är ett egenvärdesproblem till A′, som
beräknas genom att sätta determinanten lika med noll. A′ 11− λ A′12 A′13 . . . A′ 21 A′22− λ A′23 . . . A′ 31 A′32 A′33− λ . . . . . . . . . . . = 0. (4.21)
Resultatet blir ett antal egenvärden (λ1, λ2, . . . , λn), lika många som antalet
kolumner i A′. Varje egenvärde är kopplat till en tillhörande egenvektor. Eftersom
A′är hermitisk är alla egenvärden reella. Det största egenvärdet indikerar att till-hörande egenvektor är den vektor c som närmast kan återskapa målfunktionen med hjälp av valda basfunktioner.
Det har visat sig att trots att Q inte tas med i beräkningarna av egenvektorn så kan bra resultat med syntesen uppnås. Men det är inte önskvärt att hantera problemet på det sättet. Tyvärr ger inte denna rapport ett slutgiltigt svar på hur problemet ska lösas, utan lämnar det med ett konstaterande att det finns termer som vållar problem. I stycke 4.2 presenteras en ansats för att lösa problemet.
4.2 Ny ansats till en lösning på problemet
I ett försök att beräkna bidragen från de försummade korsprodukterna som samlats i Q i ekvation (4.18) testats även att ställa upp syntesen på följande sätt.
4.2 Ny ansats till en lösning på problemet 29
Ansätt en målfunktion G(τ, α) enligt nedan G(τ, α) =X
p,q
BpqKpq(τ, α) (4.22)
som är fullständigt beskriven i magnitud och i fas. G(τ, α) är skapad i vald bas och där B= B11 B12 B13 . . . B21 B22 B23 . . . . . . . Bm1 Bm2 . . . Bmn (4.23)
Antag att det finns en signal u(t): u(t) =X
k
bkfk(t) (4.24)
som kan användas för att för att konstruera G(τ, α) på samma sätt som s(t) används för att skapa χs(τ, α). Om målfunktionen G är skapad på det sättet
leder det till att Bij uppfyller kravet:
Bij= bib∗j (4.25)
Det betyder att G(τ, α) är en osäkerhetsfunktion om och endast om koefficienterna Bij är på samma form som i ekvation (4.25). Är så inte fallet går det inte att finna
någon signal u(t) för att skapa G(τ, α) och alltså kan inte syntesen lösas exakt. Det pekar på en svårighet i valet av målfunktion, men behöver inte hindra att syntesen blir tillräckligt bra.
Kom ihåg formuleringen av osäkerhetsfunktionen χs(τ, α) från ekvation (4.6).
Utveckla nu det kvadratiska felet och skriv om det på formen:
ǫ = 1 EK Z Z (G −X ij cic∗jKij)(G∗− X pq c∗pcqKpq∗) dτ dα = 1 EK Z Z (X ij Bij· Kij− X ij cic∗jKij)( X pq Bpq∗ · Kpq∗ − X pq c∗pcqKpq∗) dτ dα = 1 EK Z Z (X ij (Bij− cic∗j) · Kij)( X pq (Bpq∗ − c∗pcq) · Kpq∗ ) dτ dα (4.26)
minimum. Derivera ǫ med avseende på c∗ k. δǫ δc∗ k = 1 EK Z Z [−(X pq (B∗pq− c∗pcq) · Kpq∗ ) X i ciKik −(X ij (Bij− cic∗j) · Kij) X q cqKkq] dτ dα = −X i ci X pq (B∗pq− c∗pcq) · 1 Eik Z Z Kpq∗Kikdτ dα −X q cq X ij (Bij− cic∗j) · 1 Ekq Z Z KijKkq∗ dτ dα (4.27)
Ekvation (4.27) visar att det rimligen blir minimum för Bij = cic∗j. Alltså måste
Bvara en hermitisk matris, dvs. uppfylla kravet att B = B∗. Den här metoden är inte fullständig, utan kan ses som ett förslag på alternativ lösningsgång.
4.3 Optimering 31
4.3 Optimering
Syftet med optimeringen är att finna en alternativ lösning till den syntesmetod som beskrivits i avsnitt 4.1. När bredbandiga signaler studeras visar det sig att ortogonaliteten i basfunktionernas korsprodukter (se bilaga A) inte bibehålls på samma sätt som för smalbandiga signaler. En alternativ metod måste därför användas för att gå vidare i beräkningen. Ett enkelt optimeringsproblem studeras för att undersöka om det går att hitta en optimal lösning.
4.3.1 Problemformulering
Givet en uppställd målfunktion G(τ, α) önskas den signal s(t) vars osäkerhetsfunk-tion approximativt återskapar målfunkosäkerhetsfunk-tionen. s(t) kan beskrivas som en summa av basfunktioner fk och tillhörande koordinater ck.
s(t) =X
k
ckfk(t) (4.28)
Antag nu att χs(τ, α) är den osäkerhetsfunktion som skall optimeras. χs(τ, α) ska
i så stor utsträckning som möjligt efterlikna målfunktionen G(τ, α). G(τ, α) antas vara fullständigt beskriven både i fas och amplitud över hela (τ, α) -planet. En felfunktion ǫ införs.
ǫ = 1 2π
Z Z
|G(τ, α) − χs(τ, α)|2dΩ dt (4.29)
Den ska minimeras med avseende på (τ, α).
4.3.2 Implementering i Matlab
Felfunktionen implementeras i Matlab med hjälp av optimeringsverktyget Optimization Toolbox. Optimeringsverktyget har flera färdiga funktioner som kan utföra beräkningarna. För den här optimeringen har fminunc används. Mer information om hur fminunc och andra optimeringsfunktioner fungerar finns i manualen för Optimization Toolbox. Matlab-koden som räknar ut ett ǫ finns att beskåda i bilaga D.2.
4.3.3 Begränsningar
Minimeringsproblemets lösning kommer förhoppningsvis att resultera i en signal s(t) vars osäkerhetsfunktion efterliknar målfunktionen. Det finns inga garantier att en global optimal lösning finns till problemet. Optimeringsproblemet har med all sannolikhet flera lokala minimum. Hur det ska tolkas finns ej beskrivet i den här rapporten. Målet är enbart att finna en lösning som nöjaktigt kan återskapa målfunktionen.
Kapitel 5
Resultat och diskussion
I det här kapitlet presenteras rapportens resultat. Ett syfte med rapporten är att skapa en syntesalgoritm och testa denna. En förutsättning för en lyckad syntes med bredbandiga signaler är generaliseringen av osäkerhetsfunktionen. Det visas i avsnitt 3.3.1 och är även ett av syftena i rapporten.
5.1 Utvärdering av den generaliserade syntesen
Den generaliserade syntesen som presenteras i kapitel 4 har testats för en LFM-signal. Syntesen är testad genom att beräkna osäkerhetsfunktionen χs(τ, α) förden valda LFM-signalen och sedan ansätta denna osäkerhetsfunktion som funktionen G(τ, α). Tanken är då att i ett första skede testa syntesen på en mål-funktion som är realiserbar1. Fungerar syntesen tillfredställande så kan den testas
för nya målfunktioner. Figur 5.1 visar konturerna av målfunktionen. Motsvarande konturer för den genom syntes beräknade osäkerhetsfunktionen visas i figur 5.2. Observera nivåskillnaden mellan de båda figurerna. Målfunktionen är normerad så att dess högsta värde är 1. I den andra figuren är energinivån mycket lägre. Vad det beror på diskuteras mer i avsnitt 5.3.
I figur 5.3 och 5.4 visas realdel respektive imaginärdel av LFM-signalen samt syntes, och i figur 5.5 visas real- och imaginärdel ihop i det komplexa talplanet. Vid skapandet av LFM-signalen finns möjlighet att välja fasen på signalen. Genom att anpassa fasen kan syntesen komma att efterlikna signalen ännu mer. Hur detta ska göras på ett mer raffinerat sätt än att pröva sig fram beskrivs bland annat av Vakman [10].
1
I de fall då basfunktionerna inte kan bygga upp LFM-signalen är målfunktionen inte reali-serbar.
α τ 0.8 1 1.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2.5 0 2.5
Figur 5.1. Målfunktion till syntesen.
α τ 0.8 1 1.2 4 6 8 10 12 14×10−5 -2.5 0 2.5
Figur 5.2. Kontur av χsefter syntes.
tid [s] am pl it ud realdel av original realdel av syntes -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Figur 5.3. Realdel av signal och syntetiserad signal.
tid [s] am pl it ud imaginärdel av original imaginärdel av syntes -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
5.2 Utvärdering av optimeringen 35 Realdel Im ag inä rdel original syntes -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Figur 5.5. Signal och syntes i komplexa talplanet.
5.2 Utvärdering av optimeringen
En målfunktion baserad på en LFM -signal används i optimeringen, se figur 5.6. Följande värden användes för att generera LFM -signalen.
• Pulslängd, T = 2 [s] • Bandbredd, B = 2 [Hz] • Bärvågsfrekvens, fc= 2 [Hz] α τ 0.85 1 1.15 -4 0 4 0 0.5 1 α τ 0.85 1 1.15 0.4 0.6 0.8 -1.5 0 1.5
Figur 5.6. Målfunktion G(τ, α). Till vänster visas en graf av ytfunktionen och till höger
Figur 5.7 visar resultatet av optimeringen, dvs. den osäkerhetsfunktion som efterliknar målfunktionen allra bäst. Beräkningen utfördes på en vanlig PC och tog ca 70 minuter att utföra.
α τ 0.85 1 1.15 -4 0 4 0 0.5 1 α τ 0.85 1 1.15 0.4 0.6 0.8 -1.5 0 1.5
Figur 5.7. Osäkerhetsfunktionen χs(τ, α). Till vänster visas en graf av ytfunktionen
och till höger en graf av konturen.
α τ 0.85 1 1.15 -4 0 4 0 0.5 1
Figur 5.8. Differensen mellan målfunktionen G och osäkerhetsfunktionen χs.
Kommentar Valet av initieringsvektor c, dvs den vektor som innehåller alla
koordinater, är avgörande för att erhålla ett bra resultat med optimeringen. Om c-vektorn initieras med slumptal kan det resultera i att optimeringen aldrig ter-minerar alternativt stannar vid ett lokalt minimum. Felet är betydligt större än då en smartare initiering av c-vektorn används.
Vidare utvärdering I rapporten har endast en målfunktion baserad på en
LFM -signal studerats. Det har gjorts av flera anledningar som beskrivs i rap-portens inledning. Det vore intressant att studera andra målfunktioner, där den är uppställd efter vissa önskemål (som beskrivs i avsnitt 3.4).
5.3 Diskussion 37
Betänk att syntes med hjälp av optimering ej är lika begränsad som Sussmans generaliserade metod (avsnitt 4.1) har visat sig vara. Dock finns ingen garanti att metoden kan uppnå realtidsprestanda.
5.3 Diskussion
I avsnitt 5.1 presenteras resultaten från den generaliserade syntesen som beskrivs i kapitel 4. Resultaten av syntesen ligger inte helt i linje med önskemålen. För det första så är χs(τ, α) i figur 5.2 ingen exakt kopia av målfunktionen i figur 5.1, men
likheter finns. En viktig detalj är att det är en skalskillnad på ungefär 104mellan
syntesen och målfunktionen. Den energiförlust som sker under syntesen antas här-stamma från förenklingen som görs efter ekvation (4.18), då Q försummas i vidare beräkningar. Q innehåller i själva verket en betydande energi då ortogonaliteten mellan basfunktionernas korsprodukter inte uppfylls.
Det hade varit önskvärt att presentera en algoritm som hanterar problemet med ortogonaliteten, och det bör inte vara omöjligt att skapa en sådan algoritm. Däremot blir den väldigt beräkningskrävande. Under implementationen har be-räkningskapaciteten varit en kraftigt begränsande faktor. För att ge förståelse i hur problemet växer görs här ett enkelt räkneexempel.
Exempel: Antag att tio basfunktioner används. Dessa basfunktioner används
till att bygga upp korsprodukterna definierade av ekvation (4.7). Tio basfunktioner resulterar i 100 korsprodukter. Alla korsprodukter ska kombineras med varandra och integreras enligt ekvation (4.17). Det ger 100 ·100 = 10000 kombinationer. Av de 10000 olika kombinationerna är endast 100 stycken relevanta vid ortogonalitet mellan korsprodukterna. Alla övriga kombinationer blir lika med noll. Eftersom basfunktionerna inte är ortogonala är inte heller korsprodukterna ortogonala. Det betyder att i det bredbandiga fallet blir beräkningarna betydligt större och kräver mycket mer minne eftersom alla 10000 kombinationer mellan korsprodukterna bör vara med i beräkningarna.
Den bedömning som gjordes var att resultaten av en algoritm som tar hän-syn till alla kombinationer av korsprodukter inte skulle vara möjlig att testa på önskvärt sätt med ett stort antal basfunktioner. Fokus har därför legat på att studera om den begränsning som gjorts ändå ger användbara resultat. Begräns-ningen syftar till att korsprodukterna hanteras som ortogonala trots att de inte är det.
Energinivåerna är helt olika i målfunktionen och den beräknade osäkerhets-funktionen, och det är enkelt att hitta fall där syntesen fungerar sämre än i det exempel som visas i rapporten. Därför är bedömningen att den syntesmetod som presenteras i rapporten inte är tillräckligt bra för att användas självständigt. Där-emot kan den inte avskrivas som helt obrukbar. Den bör vidareutvecklas, eller testas med andra basfunktioner. Om det finns basfunktioner som ger låga svar i alla oönskade punkter fungerar den presenterade syntesen bra. Ett tillväga-gångssätt är att använda den från syntesen beräknade c-vektorn, se figur 5.9, till
startvärde för en numerisk optimering. |c | ordningstal 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4
Figur 5.9. c-vektor efter syntes.
Då en exakt analytisk syntes ansågs för beräkningskrävande för att imple-menteras har istället en numerisk optimering testats. I bilaga D.2 beskrivs den numeriska optimering som följde den analytiska syntesen. Resultaten från opti-meringen är en förfining av den analytiska syntesen. Felet mellan målfunktion och osäkerhetsfunktion minskar.
Slutsats Omskrivningen av den bredbandiga osäkerhetsfunktionen samt hur
be-räkningarna kan ställas upp i matrisform är rapportens viktigaste resultat. Det kan ligga till grund för fortsatta studier av bredbandiga signaler. Den analytis-ka syntesen som presenteras i rapporten fungerar inte helt tillfredställande, men metoden bör inte förkastas. Det finns delar av syntesalgoritmen som kan förfinas, och det är då troligt att metoden kan bli användbar. För den uppställning av osäkerhetsfunktionen som presenteras blir beräkningsbördan stor. En numerisk optimering är en lämplig fortsättning för ett förfinat resultat.
Litteraturförteckning
[1] Wigner distribution and FM radar signal design, band 136, april 1989. [2] R.A. Altes. Methods of Wideband Signal Design for Radar and Sonar
Systems. Doktorsavhandling, The University of Rechester, 1971.
[3] S. R. J. Axelsson. Analysis of ultra-wide-band noise radar. RadioVetenskap
och Kommunikation, Linköping, juni 2005.
[4] D. Cassidy. Quantum mechanics: The uncertainty principle. Ameri-can Institute of Physics, 2005. Elektronisk källa, hämtat 2005-09-23: http://www.aip.org/history/heisenberg/p08.htm
[5] E. J. Kelly och R. P. Wishner. Matched-filter theroy for high-velocity. IEEE
Transaction on military electronics, jan 1965.
[6] J. R. Klauder. The design of radar having both high range resolution and high velocity resolution. The Bell System Technicak Journal, juli 1960. [7] L. Råde och B. Westergren. Mathematics Handbook for Science and
Engine-ering. Studentlitteratur, Lund, 2001.
[8] M. A. Richards. Fundamentals of Radar Signal Processing. McGraw-Hill, 2005.
[9] S.M. Sussman. Least-square synthesis of radar ambiguity functions. IRE
Transactions on Information Theory, IT-8(3):246–254, april 1962.
[10] D.E. Vakman. Sophisticated Signals and the Uncertainty Principle in Radar. Springer-Verlag, 1968.
[11] L. G. Weiss. Wavelets and wideband correlation processing. IEEE Signal
Processing Magazine, jan 1994.
[12] J. Wexler och S. Raz. Synthesis of discrete time signals from distributions.
Electronics Letter, 25(2), jan 1989.
[13] L. B. White. The wide band ambiguity function and altes q-distribution: Constrained synthesis and time-scale filtering. IEEE Transactions on
Infor-mation Theory, 38(2), mars 1992.
[14] C.H. Wilcox. The synthesis problem for radar ambiguity functions. IMA
volumes in mathematics and its applications, 32:229–260, 1991.
[15] K. M. Wong. Design of optimum signals for the simultaneous estimation of time delay and doppler shif. IEEE Transactions om Signal Processing, 41(6), juni 1993.
[16] P.M. Woodward. Probability and information theory, with application to
radar. Pergamon Press Ltd., 1964.
[17] K.B. Yu och S. Cheng. Signal synthesis from pseudo wigner distribution and applications. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP-35(9), sep 1987.
Bilaga A
Syntes enligt Sussman och
Vakman
Sussman [9] beskrev en syntesmetod för smalbandiga signaler som har legat till grund för många av efterföljande syntesmetoder inom området för högfrekventa signaler. Följande algoritm är hämtad från Vakman [10], men är här förkortad och även något omskriven för att göra den mer lättläst. Vakman har i sin tur kompletterat Sussmans resultat med kommentarer som gör texten lättare att förstå än Sussmans.
I stycke 3.4 introducerades begreppet målfunktion som önskad osäkerhetsfunk-tion och i stycke 3.3 definieras osäkerhetsfunkosäkerhetsfunk-tionen. Syntesen syftar till att finna den signal s(t) som minimerar det kvadratiska felet ǫ mellan målfunktion G(t, Ω) och osäkerhetsfunktionen χs(t, Ω):
ǫ = 1 2π
Z Z
|G − χs|2dtdΩ (A.1)
Signalen s(t) byggs upp genom att vikta ihop ett antal ortonormala basfunk-tioner fk(t) med hjälp av koefficienterna ck där k = 1, 2, . . . , n.
s(t) =X
k
ckfk(t) (A.2)
Ortonormaliteten på basfunktionerna kan skrivas som:
∞ Z −∞ fk(t)fl∗(t)dt = δkl= 1 för k = l 0 för k 6= l (A.3)
Koefficienterna kan beräknas enligt ck = ∞ Z −∞ s(t)fk∗(t)dt (A.4) 41
Vakman skriver om osäkerhetsfunktionen χsså att det går att bryta ut
koeffi-cienterna till basfunktionerna enligt ekvation (A.5). χs(t, Ω) = ∞ Z −∞ s(t′+ t 2)s ∗(t′ −2t)ejΩt′dt′ = X i ci X j c∗j ∞ Z −∞ fi(t′+t 2)f ∗ j(t′− t 2)e jΩt′ dt′ = X ij cic∗jKij(t, Ω) (A.5)
Basfunktionerna av ordning i och j bildar korsprodukten Kij(t, Ω), dvs. Kij
innehåller information om vald bas. Produkten cic∗j fungerar som vikt till Kij,
och kommer från uttrycket för signalen s(t) från ekvation (A.2).
Kij(t, Ω) = ∞ Z −∞ fi(t′+t 2)f ∗ j(t′− t 2)e jΩt′ dt′ (A.6)
En viktig egenskap hos korsprodukten Kij är att den är ortogonal mot Kpq.
Det kommer visa sig vara av avgörande betydelse framöver. Liknande ortogonali-tetsvillkoret för basfunktionerna fk ger att
1 2π Z Z KijKpq∗ dtdΩ = δqjδpi = 1 för i = p och j = q
0 för alla andra kombinationer av i och j(A.7) För mer utförlig uträkning hänvisas till [10], s 214.
Koordinaterna ci och c∗j bildar vektorerna c respektive c∗.
c= c1 c2 · · · , c∗= c∗1 c∗2 . . .
För att minimera ekvation (A.1) behövs ett uttryck för målfunktionen. Ansätt en målfunktion G(t, Ω) enligt nedan
G(t, Ω) =X
i,j
