Computer Algebra Teaching System
David Waller
Ystad 2013
Handledare: Per-Eskil Persson
INNEHÅLL
1. INLEDNING ... 2
1.1. Bakgrund ...2
1.1.1. Programvarukategorin Computer Algebra Systems ...2
1.1.2. Inspirationen bakom Algebra Explorer ...2
1.1.3. Algebra Explorer ...2
1.1.4. Kriminalvårdens Klientutbildning ...2
2. PROBLEM OCH SYFTE ... 2
3. LITTERATURGENOMGÅNG ... 2
4. METOD ... 2
4.1. Metodval och undersökningsgrupp ...2
4.2. Tillförlitlighet ...2
4.3. Genomförande ...2
5. RESULTAT ... 2
5.1. Matematiklärarmötet ...2
5.2. Det regionala mötet ...2
5.3. Det specialpedagogiska mötet ...2
5.4. Diskussionsgruppen på Facebook ...2
5.5. Högstadietestet ...2
6. ANALYS AV RESULTAT ... 2
6.1. Algebra Explorer och matematiklärarna ...2
6.2. Algebra Explorer och handledarna ...2
6.3. Algebra Explorer och de svaga studenterna ...2
7. DISKUSSION ... 2
7.1. Nästa steg ...2
1. INLEDNING
Som matematikstudent använde jag ofta min miniräknare när jag blev osäker på algebran. Jag skissade då upp en tänkt ekvation, utförde den algebraiska operat-ion jag var tveksam kring, och kollade sedan om det numeriska resultatet på mi-niräknaren stämde med utgångsekvationen. Om inte så hade jag utfört en olaglig operation, och hade därmed fel om vad jag fick och inte fick göra.
När sedan de symbolhanterande miniräknarna kom så trodde jag först att dessa skulle onödiggöra alla sådana frågor som jag tidigare via lite gymnastik lurade min vanliga miniräknare att besvara. Och visst var de till en stor hjälp, men jag frustrerades ganska snabbt över hur de bara presenterade mig med slutresultatet av en förenkling, men inte kunde förklara den tillämpade regeln. Väldigt ofta var jag nyfiken på något delsteg i förenklingen, som räknaren bevisligen måste ha utfört för att landa i slutresultatet, men ändå behöll för sig själv.
Under flera års tid har jag arbetat med att utveckla en didaktisk symbolhante-rande miniräknare, som bättre utnyttjar det digitala mediets nya möjligheter att integrera algebran med de bakomliggande begreppen och räknereglerna. Fram-för allt skall det bli lätt att borra sig ned i delstegen, på det sätt som mitt tidigare studentjag önskade var möjligt.
Detta arbete har äntligen börjat närma sig målet, och i samband med det så har jag lyft blicken för att närmare undersöka hur denna programvara skulle kunna användas i undervisningen rent praktiskt. Det är denna frågeställning som denna uppsats har ambitionen att besvara.
1.1. Bakgrund
1.1.1. Programvarukategorin Computer Algebra Systems
Computer Algebra System, eller CAS, är beteckningen på en programvara som i någon utsträckning kan hantera algebraiska räkneregler. En svensk synonym för begreppet är symbolhanterande miniräknare, eller mer generellt datoralgebrasy-stem.
Den tekniska definitionen för detta begrepp är inte helt självklar, men andeme-ningen är ganska vedertagen. Betrakta exempelvis miniräknaren Texas Instru-ments TI82; den hanterar variabler, men dessa har alltid ett givet värde:
Rad Kommando På skärmen Kommentar
1 3 → x 3 Värdet 3 lagras i variabeln x 2 -2 → y -2 Värdet -2 lagras i variabeln y
3 4x-x-y 13 TI82 gjorde den aritmetiska beräkningen 4·3-3-(-2)
Denna funktionalitet kan förvisso utnyttjas för att härleda algebraiska räknereg-ler, på det sätt som studentDavid gjorde i inledningen, men anses inte i sig vara symbolhanterande. I en symbolhanterande räknare skulle du, vid inmatningen av den tredje kommandoraden, ges “svaret” 3x-y.
Detta är en viktig distinktion; i en miniräknare eller annan programvara med stämpeln “CAS” är förväntningen att du har tillgång just till algebraisk förenk-ling, där variabler, konstanter och uttryck för irrationella tal behålls genom hela förenklingsprocessen.
Teknologin är någorlunda ung, och forskningen kring hur den skall användas i undervisningen är ännu yngre. Att den har en plats är dock tämligen accepterat; exempelvis skriver Urban Education Institute att “The state of the art in mathe-matical technology is CAS, and that must influence what we teach and how we teach it.” (University of Illinois, 2010-09-09)1
.
Werner Peschek vid universitetet i Klagenfurt i Österrike skriver följande i ett paper:
CAS, and computers in general, can serve as very notable, illus-trative example and models for outsourcing mathematics, and like these simplify reflection and discussion of this basic charac-teristic of our science. I am convinced that such reflections are much more important for the general mathematics education of our students than bothering them with “trivialized” knowledge and skills.2
1.1.2. Inspirationen bakom Algebra Explorer
Den programvara som utvecklats, och vars roll i undervisningen nu skall avgö-ras, hade under utvecklingens gång arbetsnamnet Computer Algebra Teaching
1
https://blogs.uchicago.edu/uei/technology_in_education/the_role_of_computer_algebra_s.shtml
2
System, alltså CAS fast augmenterat med ett T för Teaching. Detta har seder-mera ändrats till Algebra Explorer, och det är så det kommer hänvisas till i denna text.
Algebra Explorer är i grunden en traditionell symbolhanterande miniräknare, men kryddad med ett antal pedagogiska idéer:
Den främsta är kanske idén att låta alla räkneprocesser utgå ifrån ett antal grund-läggande operationer, som sedan kombineras till mer avancerade operationer. I sin utmärkta bok “Grundläggande Aritmetik: matematikdidaktik för lärare” be-skriver Madeleine Löwing de atomiska beståndsdelarna i hur grundläggande aritmetikförståelse byggs upp. Inspirerad av den boken ville jag prova samma tillvägagångssätt med algebra!
Siten Khan Academy har sedermera implementerat samma idé; nedan syns den översta bråkdelen av deras stjärnkarta3 över matematiska operationer:
3
Ralph-Johan Back vid Åbo universitet har utvecklat något han kallar Strukture-rade Härledningar4. Från denna har jag lånat två idéer; för det första att integrera logiken i matematiken. Betrakta exempelvis nedanstående traditionella presen-tation av ett ekvationssystem:
I en strukturerad härledning, istället för att använda en domänspecifik variant med måsvinge, så presenterar vi ekvationssystemet som den konjunktion den i grunden är.
Tanken är att det därmed blir mer intuitivt för studenten vilka operationer som är
4
tillåtna, samtidigt som logiken och därmed logiska operationer blir en mer natur-lig del i universumet.
Den andra idén lånad från strukturerade härledningar är dess fundament, nämli-gen att man i varje led av en uträkning hänvisar till vilka räkneregler som an-vänts.
Slutligen har jag också hämtat inspiration från Per-Eskil Perssons avhandling “Räkna med bokstäver”5
, som påvisar både behovet av en förändring av alge-braundervisning, samt digitala verktygs potentiella roll i denna:
In my opinion, a more common use of calculators or appropriate computer software at all levels could be a way to improve mat-hematics education, particularly in the area of algebra. (Per-Eskil Persson, s. 222)
1.1.3. Algebra Explorer
Vad blev då resultatet av sammankavlandet av dessa idéer? Nedan syns två skärmbilder från Algebra Explorer som får gestalta detta:
5
Till vänster ser vi hur användaren har matat in ett algebraiskt uttryck (ett klots volym delat med volymen för den inskrivande kuben), och överst blir presente-rad med den fullständiga algebraiska förenklingen av detta uttryck. Under detta syns sedan alla sex delstegen i förenklingsprocessen.
Användaren kan sedan “zooma in” på ett delsteg för att få mer information om vilken operation som används, tillsammans med en beskrivande text. Det har gjorts för det första delsteget i bilden till höger. Eftersom den aktuella informat-ionen - att förenkla en kvot där täljaren i sin tur är en kvot - inte är en atomisk process, så ges användaren också möjlighet att se delberäkningarna för detta.
Notera att fackorden är blåmarkerade - detta är länkar till en integrerad ordlista. Användaren kan också genom att klicka på en operations namn komma till en
närmare presentation av denna operation, komplett med länkar till ingående op-erationer, andra operationer som använder denna operation, relaterade ord i ord-listan, etc.:
Det är denna funktionalitet som skiljer Algebra Explorer från traditionella CAS-verktyg; dels möjligheten att se samtliga delsteg, dels integrationen av operat-ions- och begreppsförklaringar.
1.1.4. Kriminalvårdens Klientutbildning
Den primärt tilltänkta målgruppen för applikationen är studenterna på min ar-betsplats, det vill säga intagna i landets fängelser och häkten. Studier innanför murarna medför lite speciella omständigheter, och då det är sjösättning i detta system som varit mitt mål så följer här en kort förklaring av hur dessa studier är uppbyggda;
• Samtliga fängelser (och några häkten) samarbetar nationellt som en enda skola.
• Klientutbildningen har full betygsrätt, och kan jämställas med ett helt vanligt komvux.
• Alla anställda lärare är behöriga, och undervisar endast i sina egna ämnen.
• All undervisning är helt individuell.
• Om en intagen vill studera ett ämne som de lokala lärarna ej är behöriga i så får de en ämneslärare på distans, och de lokala lärarna fungerar som handle-dare. Den studerande har kontakt med distansläraren per telefon och via ett in-ternt datornätverk.
Kriminalvårdslärarens roll är därmed tredelad:
• Vi arbetar som lokal ämneslärare.
• Vi handleder lokala studerande som läser andra ämnen på distans.
• ...och vi är distanslärare för studerande på andra enheter.
I huvudsak så motiverades jag av att underlätta distansundervisningen, och det är främst här jag ser en möjlighet för Algebra Explorer att underlätta studierna.
2. PROBLEM OCH SYFTE
Under hela utvecklingsarbetet med Algebra Explorer så har jag burit på en med-vetenhet om att jag inte visualiserat exakt hur jag skulle använda detta verktyg i min undervisning när det väl var färdigställt. Jag såg möjligheten att kombinera de tidigare beskrivna idéerna, och insåg att jag själv hade de tekniska förutsätt-ningarna för att realisera det hela, men saknade målbild för hur den färdiga pro-dukten skulle integreras i klassrummet.
Nu när applikationen (nästan) är klar så har jag närmare börjat undersöka vilken roll den skulle kunna ha i klassrummet. Det är denna fråga som jag hoppas få besvarad via detta projekt:
• Hur kan Algebra Explorer användas i undervisningen?
Undersökningen är allmänt hållen, men min egen baktanke är, som tidigare sagts, att använda programmet på min arbetsplats. Till viss del har därmed fäng-elseförutsättningarna färgat min undersökning, men den borde ändå vara tämli-gen allmängiltig, om än vinklad mot distansstudier.
3. LITTERATURGENOMGÅNG
Som sades i inledningen så är det Ralph-Johan Backs texter om strukturerade härledningar (Back, 2008) som är den primära litterära grunden för Algebra Ex-plorer, tillsammans med Per-Eskil Perssons doktorsavhandling (Persson, 2010). Den förstnämnda har format gränssnittet med att exponera delsteg, medan den
sistnämnda tjänat som indirekt advokat om att Algebra Explorer fyller ett behov och har en roll i undervisningen.
Vidare finns två stora indirekta inspirationskällor. Först Löfwings verk där hon delar upp aritmetiken i atomiska delsteg (Löfwing, 2010), en idé som jag lånade och tillämpade på algebra. Sedan också Bergmanns bok om Flipped Classrooms födelse (Bergmann, 2012). I den grundläggande idén om att låta studenterna till-godogöra sig kunskaper innan lektionstillfället istället för att praktisera dem ef-teråt så såg jag en möjlighet att blanda in Algebra Explorer.
4. METOD
I huvudsak kommer min metod bestå i att visa programmet för lärare och stu-denter, låta dem vända och vrida på det, och se vilka tankar de får om huruvida Algebra Explorer skulle kunna ha en plats i deras inlärning/undervisning.
Jag kommer utföra detta i följande fora:
1. Demonstration vid det årliga nationella mötet för samtliga matematiklärare
inom kriminalvården-
2. Demonstration vid regionalt möte för kriminalvårdslärare (i huvudsak
bestå-ende av lärare med andra ämnen än matematik).
3. Samrådsmöte med klientutbildningens specialpedagogiska arbetsgrupp 4. Diskussionsgrupp på Facebook.
5. Klassrumstest på högstadium i Göteborg 6. Klassrumstest på Komvux i Ystad
7. Samarbete med Malmö Högskola och integration i kursen “
Förbered-ande kurs i matematik med digitala resurser“
4.1. Metodval och undersökningsgrupp
I framtagandet av detta upplägg har jag flera olika tankar: Jag vill
• få med både lärare och studerande.
• få med både datorvana och mer ovana användare.
• få input från både matematiklärare och övriga lärare. Dels för att få ett
allmän-pedagogiskt perspektiv, men också för att den handledande läraren kommer ha en nyckelroll när Algebra Explorer skall användas inom kriminalvården.
• få med det specialpedagogiska perspektivet, eftersom vår
studerandepopulat-ion har en överrepresentatstuderandepopulat-ion av individer med neurologiska och andra svårig-heter.
• prova programvaran på flera olika nivåer.
• ha både digital och analog diskussion.
• ha både öppen diskussion och givna frågor.
4.2. Tillförlitlighet
Redan innan arbetet påbörjades så fanns ett gediget skäl att ifrågasätta tillförlit-ligheten av de kommande resultaten; applikationen var ännu inte färdig, utan det som demonstreras var en förvisso långt gången betaversion. Min rädsla var att detta framför allt skulle göra det svårare för matematik- och/eller datorsvaga att tycka och tänka om programmet, eftersom de inte lika lätt kan bortse från de vassa hörnen och höga trösklarna som inte kommer finnas i den färdiga produk-ten.
I efterhand har jag känt att arbetet kanske haft större tillförlitlighet om jag knutit det bättre till befintlig forskning. Å andra sidan var fokus på hur programmet rent praktiskt skall användas i undervisningen, vilket gör att ett mer pragmatiskt förhållningssätt blir ganska naturligt.
Jag har också en farhåga angående det kvantitativa; visserligen är detta en kvali-tativ undersökning, men eftersom antalet individer från respektive grupp är ganska litet så kan man ifrågasätta i vilken utsträckning man kan dra slutsatser från responsen.
4.3. Genomförande
Här följer ett redogörande över genomförandet för var och en av de olika delun-dersökningarna:
• Nationellt matematiklärarmöte: Vid två tillfällen (med ungefär ett halvår emel-lan), när alla kriminalvårdens 25 matematiklärare samlades i Stockholm, så hade jag en livedemonstration av applikationen. Jag föredrog också de bakom-liggande tankarna och de stulna pedagogiska idéerna. Därefter hade vi en ge-mensam diskussion, med utgångspunkt i mitt erkännande att jag saknade vis-ion om exakt hur applikatvis-ionen skall användas.
• Regionalt lärarmöte: Även vid det regionala mötet, som bestod av 16 lärare varav endast en utöver jag själv var matematiklärare, demonstrerade jag först applikationen. Den efterföljande diskussionen tog avstamp i frågeställningen: hur skulle du som handledare av en matematikstuderande kunna använda detta verktyg?
• Möte med specialpedagogiska arbetsgruppen: Här hade jag inget speciellt upp-lägg; jag bjöd in två av våra specialpedagoger till ett möte där jag demonstre-rade applikationen, och därefter diskutedemonstre-rade vi under en eftermiddag olika aspekter av den. Alltmedan jag förde löpande anteckningar.
• Diskussionsgrupp på Facebook: Under programmeringsarbetets gång har jag byggt upp en ganska stor Facebookgrupp som tjänat som betatestargäng och allmänt bollplank för förändringar i applikationen. Gruppen är en smältdegel av människor vad gäller bakgrund, matematisk erfarenhet, pedagogisk erfaren-het, etc. Här slängde jag ut lite öppna frågor om huruvida de personligen skulle använda applikationen, och i så fall hur. Den initiala ambitionen var ett enkät-förfarande, men då den öppna diskussionen snabbt blev väldigt givande och de inblandade spann vidare på varandras tankar, så valde jag att livnära och moni-torera den istället och strunta i enkäten.
• Högstadietest: Här samarbetade jag med en matematik- och fysiklärare på ett Högstadie i Göteborg. Läraren är medlem i testgruppen på Facebook, och har också fått en speciell genomgång av programmet med mig. Vid försökstill-fället så demonstrerade läraren applikationen i klassrummet för sin 8:a, en ganska normal klass om än med något stor andel matematiksvaga studerande. De hade sedan en diskussion om applikationens eventuella användningsområ-den, och fick sedan besvara tre fixa frågor från mig. Läraren tillhandahöll där-efter svaren på frågorna och anteckningar från den öppna diskussionen. Vi skapade också en liten Facebookgrupp där intresserade elever kunde ställa följdfrågor direkt till mig.
• Komvuxtest: Jag besökte Komvux i Ystad och hade en session med deras två matematiklärare, där jag introducerade programvaran. Lärarna presenterade i sin tur programmet för sina respektive klasser, och eleverna fick sedan några frågor som skulle besvaras via mail direkt till mig.
• Högskolan i Malmö: Jag hade först ett flertal möten med en matematikdidakti-ker. Målet med dessa var bara att få respons på programvaran, men en följd blev att jag fick vara med i hennes sommarkurs, “Förberedande kurs i matema-tik med digitala resurser”. Detta är en ganska traditionell högskoleförbered-ande kurs, dock med digitala verktyg invävda. Här blev Algebra Explorer ett av dessa. Jag deltog vid ett lektionstillfälle och presenterade programmet för studenterna, som sedan kunde välja att fördjupa sig i det inom ramen för kur-sen.
5. RESULTAT
Överlag är jag nöjd med materialet jag fått in. Nu är visserligen de olika delarna sinsemellan ganska olika, men generellt kunde jag se att:
• Jag fick en låg svarsfrekvens på de fixa frågeställningarna. Här hade jag för-modligen bäddat för dåligt, och/eller var väl naiv i instruktioner och kontext.
• Det spontana tyckandet i fria samtal var däremot väldigt värdefullt, och gav upphov till en lång lista tankar som kommer få direkt koppling antingen till appen och dess funktionalitet, eller hur den kommer användas i undervisning-en.
5.1. Matematiklärarmötet
Båda mötena var väldigt positiva; mina kollegor uttryckte stor iver inför att få använda applikationen i sin undervisning, och det fanns en koncensus om att den kommer bli ett värdefullt stöd framför allt för distansstuderande.
Precis som i mitt eget huvud så fanns det i gruppen många olika tankar om hur detta skulle kunna ske, men också en viss osäkerhet angående detaljerna.
Vid båda mötena så hade vi en lång och livlig gemensam diskussion som flö-dade tämligen fritt, men ur mina anteckningar så destillerade jag fram följande konkreta förslag på användningsområden:
• Många, inklusive jag själv, tror att Algebra Explorer kan ha ett stort värde som lösningsgenererare. Jag och många med mig har erfarenheten att ett häfte med färdiga lösningar är en stor hjälp för många distansstuderande, då bokens ex-empel ofta är för få. Vi upplevde också kollektivt ett stort lyft när vi köpte in ett häfte med lösningar till den tidigare kurslitteraturen. Och för de uppgifter där det gäller att tillämpa räkneregler för att förenkla ett uttryck (inklusive ek-vationslösning) så borde Algebra Explorer vara en ypperlig lösningsgenerator. Däremot blir den mindre behjälplig för problemlösningsuppgifter, eftersom den studerande då själv måste avkoda det algebraiska uttrycket som döljer sig i problemet. Detta framhöll en del dock som en ren fördel, vilket det absolut kan finnas en poäng i.
• I samtalet framkom också möjligheten att mer uttryckligt använda applikation-en som ett bokkomplemapplikation-ent. Man skulle, samtidigt som man hänvisar till ett visst avsnitt i boken, samtidigt kunna tillhandahålla ett antal uttryck som skall slås in i Algebra Explorer, och/eller ord och operationer som skall läsas på däri. Jag är själv lite tveksam till hur väl detta upplägg fungerar i praktiken, då
jag tror det är svårt att hitta korresponderande uttryck och operationer till alla avsnitt i boken. Men även om det inte blir heltäckande så finns det absolut en stor potential i denna tanke.
• Som en variant på ovanstående så var det några kollegor som var nyfikna på att använda programmet som en tillämpning av Flipped Classroom (Bergmann, 2012). Istället för att tillhandahålla filmer som skall konsumeras innan “lekt-ionstillfället” - vilket är väldigt problematiskt för oss innanför murarna av en rad olika anledningar - så get vi våra studerande en lista över uttryck som de ska ha provat i Algebra Explorer innan vårt veckoliga telefonsamtal. Min in-vändning var att denna approach inte skiljer sig från att be dem läsa ett givet avsnitt i boken innan jag ringer, men deras svar var att det inte blir samma sak. Algebra Explorer är mer interaktiv, och eventuellt frikopplad från matematik-boksogillandet som många av våra studerande bär. Daniel Barker, läraren som populariserade metoden i Sverige, är inne på samma spår:
Men för mig handlar inte Flipped Classroom om att göra filmer. Även om de är en del av metoden så är de bara ett verktyg. Min strävan har hela tiden varit att få så stor utväxling som möjligt på lektionerna när det gäller elevernas lärande och då finns det helt enkelt inte plats för mina genomgångar. Istället handlar det om att eleverna ska äga lektionen och vara aktiva så mycket som möjligt.6
• Vi kom också in på hur applikationen potentiellt kan lösa det Moment 22 som många av oss känner när vi skall förklara ett algebraiskt avsnitt: För att ge de studerande en chans att fokusera på det aktuella momentet så gör jag ett urval när jag förklarar kontexten. Samtidigt så gör detta det svårare för dem att för-stå, eftersom jag sopar en del av den bakomliggande sanningen under mattan! Men gjorde jag inte det så skulle de drunkna i information. I Algebra Explorer kan de studerande zooma sig så djupt de önskar i deloperationerna, och läsa på de relevanta begrepp som de själva känner att de saknar förståelse för.
5.2. Det regionala mötet
Närvarande vid detta möte var samtliga 16 lärare i Kriminalvårdens Region Syd, där den överväldigande majoriteten alltså utgjordes av lärare i andra ämnen. Jag fick en starkt positiv respons på min demonstration av programmet, men den
6
terföljande diskussionen blev ganska konturlös. En del uttryckte åsikten att de studerande förmodligen själva skulle kunna leka sig fram till kunskap i applikat-ionen, eftersom den integrerar begrepp och operationsdefinitioner i uträkningar-na. Detta är intressant, eftersom detta inte var något matematiklärarna trodde på!
5.3. Det specialpedagogiska mötet
Samtalet med specialpedagogerna var oerhört givande! De pekade på ett antal faktorer som jag inte tänkt på, men som jag tar med mig och kommer ha i beak-tande när applikationen färdigställs:
• Både för studerande med koncentrationsproblematik och för dem med inlär-ningssvårigheter så är det av stor vikt att själva kunna styra vilken information de utsätts för. Specialpedagogerna uttryckte därför stort gillande för hur uträk-ningarna redovisas: en sammanfattning överst, och sedan varje delsteg naket. Vill du ha mer information om ett delsteg så måste du aktivt klicka på knappen som expanderar delsteget. Detta var något jag lade till i koden utan större efter-tanke, så tidigare visade applikationen hela tiden alla detaljer om varje steg. Specialpedagogerna menar att denna informationsbegränsning är ett absolut måste, och att jag bör leta efter möjligheter att tillämpa den approachen på så många ställen som möjligt.
• De trodde också att den integrerade ordlistan har ett ännu större värde än vad jag själv insett. Att använda ett exakt språk är väldigt viktigt för dessa indivi-der, men samtidigt har de ofta svårt att ta in och hålla isär definitioner. Om jag lyckas hålla en konsekvens i hur jag formulerar mig i de förklarande texterna i applikationen, så menar specialpedagogerna att ordlistan kommer vara “en sjuhelvetes resurs för våra killar” (direkt citat).
5.4. Diskussionsgruppen på Facebook
Som tidigare påpekats blev det aldrig någon enkät här, då jag inte ville störa den blommande diskussionen. Då jag valde en mer passiv, avlyssnande roll så svä-vade diskussionen ofta utanför ramarna - allmän erfarenhet av digitala hjälpme-del i matematikstudier, problemet med många andra mjukvaruprodukter, etc. Men jag tror ändå att detta var rätt val, då det under diskussionens lopp kom upp många intressanta citat.
En av de saker som intresserade sig mest var att ett flertal personer (4) uttryckte att de upplevde att de kunde leka sig fram till förståelse, på precis det sätt som icke-matematiklärarna förutspådde att våra studenter skulle kunna göra. Av sva-ren på mina följdfrågor att döma så handlade detta både om grundläggande
(ad-dition av bråk med olika nämnare) och mer avancerade (lösning av andragrads-ekvationer) operationer, men då det sammanlagt endast handlar om 4 individer, som dessutom i utgångsläget hade ett intresse av att testa applikationen, så är det svårt att dra några djupare slutsatser. Jag är ändå hoppfull att en generell använ-dare skulle kunna uppleva applikationen på samma sätt, om jag ser till att inve-stera den nödvändiga tiden för att sänka applikationens trösklar.
Det fanns också exempel på personer som inte alls förstod tanken bakom appli-kationen, vilket ytterligare understryker behovet av en solid introduktion.
5.5. Högstadietestet
På traditionellt högstadiemanér så hade min lärarkollega väldigt svårt att få sina studerande att besvara min enkät, och endast ett fåtal svar inkom. Däremot var merparten av eleverna delaktig i den diskussion som följde på demonstrationen, vilket läraren redogjorde för mig. Det blev också en bra efterföljande diskussion i den för tillfället skapade Facebookgruppen, där de hade chans att ställa frågor direkt till mig och jag till dem.
Någon uttryckte en undran om det inte var fusk att använda Algebra Explorer, vilket jag uppfattade som positivt. Hon hade en förväntan att boken och mi-niräknaren på något sätt skall vara ogenomträngliga, och att ett hjälpmedel av-siktligt skall lämna luckor som hon själv måste fylla i. Med Algebra Explorer så finns ju hela sanningen om hur ekvationen skall lösas, och därmed kan hon “sätta sin egen hjärna på autopilot”, som hon uttryckte sig. Min invändning var att det ändå krävs en förståelse för att tillgodogöra sig förklaringen Algebra Ex-plorer ger, och att om hon har den förståelsen så är slaget vunnet. Ur detta föd-des en väldigt livlig diskussion, som slutade med allmänt medhåll om att Alge-bra Explorer inte var fusk “men tufft ändå”.
5.6. Komvuxtestet
De två matematiklärarna vid Komvux Ystad förevisade applikationen för var sin klass (kurserna Matematik 1a och Matematik 1c), och uppmanade sedan sina studerande att via en länk besvara en kort enkät. Detta från min sida oerhört na-iva upplägg fick ett väldigt magert resultat vad gäller svarsfrekvens. Däremot var det flertalet av de studerande som återkopplade respons utanför enkätfrå-gorna, och uttryckte ett intresse av att följa applikationens fortsatta utveckling.
Volymen var dock allmänt alltför liten för att tillåta några slutsatser vad gäller vuxna studerandes användning av applikationen.
5.7. Högskoletestet
Tyvärr valde ingen student att fördjupa sig i applikationen, som utgjorde ett fri-villigt alternativ bland många andra. Överlag var det enligt kursansvarig väldigt få som intresserade sig för de digitala verktygen (där en fördjupning gav extra-poäng på tenta).
Däremot var det många som var intresserade både vid lektionstillfället när jag demonstrerade applikationen, och som också tog kontakt i efterhand. Med andra ord, ett mönster väldigt likt det från högstadietestet och komvuxtestet.
Föga förvånande så var en återkommande kommentar att man efterfrågade högre matematik såsom derivator och integraler och gränsvärden, medan Alge-bra Explorer vid tillfället stannar vid andragradsekvationer, ekvationssystem och olikheter. Och i förlängningen har jag absolut ambitionen att möta detta behov, men fokus är i första hand på att bli ett hjälpmedel på lägre nivå.
6. ANALYS AV RESULTAT
6.1. Algebra Explorer och matematiklärarna
Det allmänna gillandet var positivt, men de konkreta idéerna om användning var få. Delvis med hänvisning till individualiseringen, vilket jag kan sympatisera med; eftersom vi inom kriminalvården ändå har individuella studier så behöver det inte finnas en generell plan för hur applikationen skall användas. Så länge vi undervisande lärare har lite ramtankar så kan varje studerande i samråd med oss hitta sitt eget sätt att få stöd av programmet i undervisningen.
En sak som förvånade mig var att den allmänna kunskapen om digitala matema-tikhjälpmedel verkade ganska låg, åtminstone vad gäller specifik programvara. Kanske underskattar jag den exotiska graden av min egen kunskap, som blivit väldigt omfattande då jag noga kartlagt “konkurrensen” vid framtagandet av Al-gebra Explorer, för att kunna parasitera på deras goda idéer.
6.2. Algebra Explorer och handledarna
Denna rubrik syftar främst till kriminalvårdslärarkollegorna på det regionala mötet, men det fanns också ett antal icke-matematiklärare i den stora
Facebook-gruppen. Min frågeställning till dessa handlade om hur de tror sig kunna an-vända applikationen när de handleder en matematikstuderande.
Den frågan i sig visade sig vara ganska naiv; framför allt för de lärare som själva inte är bekväma med matten så är det väldigt vanligt att de håller sig isolerade från ämnet, även i handledarskapet. De fokuserar istället helt på studieteknik, planering, att den studerande går framåt, hantering av prov, etc.
Även för de handledare som besitter ett matematiskt kunnande och deltar mer aktivt i själva ämnesstudierna, så är det svårt att besvara frågan. De kunde se kraften i programmet och uttryckte åsikter om att detta kunde vara ett stort stöd för studerande, men hade svårt att gestalta exakt hur.
Det jag tar med mig ifrån denna del av undersökningen är just denna lite kontur-lösa "tummen upp", tillsammans med en än starkare egen förvissning om att det är av stor vikt att jag kan konkretisera hur programmet skall användas när det väl blir dags att sjösätta det i klientutbildningen. Förmodligen hade det varit värdefullt med en instruktion dedikerad till blivande studenter, men också en riktad direkt till handledarna.
6.3. Algebra Explorer och de svaga studenterna
Redan från början bar jag på en farhåga att applikationen skulle bli en tacksam leksak för de matematikbevandrade men vara alltför ogenomtränglig för de som inte är så algebraiskt bevandrade. Tyvärr bekräftades detta av undersökningen. Om jag delar in de studenter (högstadie-, komvux och högskola) som svarat i trygga och otrygga vad gäller deras självupplevda förhållande till matematik, och sedan gör en egen subjektiv indelning i förvirrade kontra förstående ifråga hur de verkar ha förstått applikationen, så får jag näst intill exakt samma grupp-indelning.
Det betyder att i befintligt skick så är domen mot applikationen ganska hård; de lågpresterande förstår helt enkelt inte hur den hänger ihop. Visserligen har mycket av det förmodligen (förhoppningsvis) att göra med att applikationen ännu inte är klar och ännu inte har någon introduktion eller interaktiv hjälp-funktion. Men faktum kvarstår - det är bevisligen av yttersta vikt att sänka trös-keln till applikationen för att den skall kunna nå fram till de som behöver den bäst.
Koppling kan också göras mot den iakttagelse som återkom i samtal med andra matematiklärare. Programmet kommer förmodligen endast i undantagsfall kunna stå på egna ben som en källa till lärdom, utan dess primära användning
kommer vara som ett komplement till ett befintligt lärarlett upplägg.
En iakttagelse delades av tre olika individer bland de svaga studenterna. De ut-tryckte tacksamhet över den integrerade ordlistan. En av dem konkretiserade att det matematiska vokabuläret i sig ofta blir en del av ogenomtränglighetsmuren, och att det var en trygghet att ha de exakta definitionerna blott ett klick bort.
7. DISKUSSION
När jag sammanfattar allt ovanstående så kommer jag fram till följande egentli-gen självklara realisation: Det är av största vikt att applikationen blir självinstru-erande i den mån det är möjligt, och väldigt enkel att använda. Detta är något jag känner stor beslutsamhet inför, inte minst för att det finns så många antiexempel på området. En bra matematikdidaktisk programvara kräver en duktig program-merare, en bra interaktionsdesigner och en inspirerad matematiklärare, och allt som oftast så saknas minst en av dessa kockar. Att hävda att alla tre ryms i mig må vara osvenskt och svårt, men jag har åtminstone en medvetenhet om att alla tre skicklighetsområdena är direkt nödvändiga.
Jag tar också med mig specialpedagogernas perspektiv, och deras understry-kande av vikten att användaren i möjligaste mån skall kunna styra i vilken grad de utsätts för informationen.
7.1. Nästa steg
Nu när denna undersökning är genomförd, så har jag använt den välsignelse till projektet som jag tycker mig ha fått till att ta tjänstledigt för att helt kunna foku-sera på att färdigställa utvecklingen av Algebra Explorer. Därefter kommer det dels sjösättas inom Klientutbildningen, men också i någon form göras tillgänglig för världen utanför murarna.
Väl medveten om att jag aldrig hittade ett konkret svar på min frågeställning om exakt hur programmet skall användas så kommer jag därefter "ha örat mot mar-ken" och noga följa vad mina matematiklärarkollegor - både fängslade och fria - hittar på!
8. REFERENSER
Löfwing, Madeleine. (2010). Grundläggande aritmetik (upplaga 1:6). Lund: Studentlitteratur.
Back, Ralph-Johan. (2008). Introduktion till strukturerade härledningar. Åbo: TUCS Lecture Notes IMPEd.
Persson, Per-Eskil. (2010). Räkna med bokstäver! Luleå: Universitetstryckeriet.
Bergmann, Jonathan & Sams, Aaron. (2012). Flip your classroom! International Society for Technology in Education
