Fanos Teorem

Institutionen för medicin och hälsa

Avdelningen för radiologiska vetenskaper

Medicinsk radiofysik

Hälsouniversitetet

Fanos Teorem

Gudrun Alm Carlsson

Department of Medical and Health Science

Division of Radiological Sciences

Radio Physics

Series: Report / Institutionen för radiologi, Universitetet i Linköping

Publishing year: 2002

FANOS TEOREM

Gudrun Alm Carlsson Avd för Radiofysik, IMV

Hälsouniversiteten, 581 85 LINKÖPING

Transportekvationen för den differentiella fluensen av joniserande partiklar ges, för det fall att strålkällorna är påkopplade under begränsad tid och fluensraten integrerad över denna tid, av (den tidsoberoende transportekvationen):

Ω Ω Ω ∞ Ω Ω

=

−

Ω

Φ

+

Ω

Ω

Ω

Φ

+

Φ

r

r

r

∫

∫

r

r

r

r r , ' ,' , 4 , ,

(

,

)

'

'

T

(

'

,

'

:

,

)

T T T T T

T

d

dT

T

T

S

div

cut

µ

µ

π (1)

Transportekvationen, ekv (1), är en funktion av sex oberoende variabler: tre variabler x,

y, z för läget r r , två variabler θ,ϕ för riktningen Ω r och en, T, för kinetiska energin. Den

är svår att lösa exakt utom i vissa specialfall. Källtermen, S, anger hur många källpartiklar per volymsenhet som emitteras från radioaktiva källor.

I ett oändligt, homogent medium, homogent till såväl densitet som atomär

sammansättning, med en uniformt fördelad strålkälla råder strålningsjämvikt. Vid strålningsjämvikt är fluensen av de joniserande partiklarna densamma i alla punkter och divergensen av den differetiella vektoriella fluensen i ekv (1) lika med noll.

Transportekvationen antar då utseendet

Ω Ω Ω ∞ Ω

=

Ω

Ω

Ω

Φ

+

Φ

Ω

r

∫

∫

r

r

r

r r , ' ,' , 4 ,

'

'

(

'

,

'

:

,

)

)

,

(

_{T T T} T T

d

dT

T

T

S

T

cut

µ

µ

π (2)

Genom att integrera över rörelseriktningen i ekv (2) erhålles för den med avseende på kinetiska energin differentiella fluensen

)

(

)

;

'

(

'

)

(

T

dT

T

T

_T'

S

_T

T

T T T cut

+

Φ

=

Φ

∫

∞

µ

µ

(3)

(Resultatet i ekv (3) förutsätter att

₍

_'

_,

_'

_:

_,

₎

,Ω

Ω

Ω

r

r

r

_T

_T

T

µ

endast beror av vinkeln mellan

Ω r och Ω r ' .)

Ekv (3) är en funktion av endast en variabel, T, och innebär matematiskt en avsevärd förenkling av transportekvationen.

Vid laddad partikeljämvikt gäller ekv (2) och (3) för fluensen av de laddade partiklarna. Ofta är dessa av endast ett slag, nämligen elektroner. Ekv (2) och (3) gäller för fluensen

av elektroner vid elektronjämvikt. Med tunga laddade partiklar genereras alltid även

elektroner i form av δ-partiklar och Auger elektroner.

Transportekvationen, ekv (3), för ett oändligt homogent medium med en uniformt fördelad strålkälla har varit av avsevärd användbarhet inom dosimetrin, jfr kavitetsteorierna för

"infinitesimalt" små kaviteter i ett medium där laddad partikeljämvikt (elektronjämvikt) råder.

Vanligen vänds emellertid intresset snart mot problem där mediet är inhomogent i densitet eller atomär sammansättning eller där strålkällan är icke-uniformt fördelad.

Fanos teorem gäller för ett oändligt medium, homogent i atomär sammansätting men med varierande densitet och lyder.

FANOS TEOREM: I ett oändligt medium, av homogen atomär sammansättning,

innehållande en strålkälla, som per volymsenhet emitterar joniserande partiklar proportionellt mot mediets densitet, är differentiella fluensen av joniserande partiklar konstant i alla punkter oberoende av densitetsskillnader från punkt till punkt.

Anmärkning: Då ett medium bestrålas med oladdade partiklar och fluensen av dessa är konstant från punkt till punkt så frigör de oladdade partiklarna, t ex fotoner, ett antal laddade partiklar, t ex elektroner, per volymsenhet, som är proportionellt mot mediets densitet

(förutsatt att växelverkanstvärsnitten är densitetsoberoende). Här kan de oladdade partiklarnas växelverkansprocesser betraktas som strålkällor för laddade partiklar och Fanos teorem tillämpas på fluensen av de laddade partiklarna.

Bevis: I ett oändligt medium, som är homogent till såväl atomär sammansättning som i densitet, innehållande en uniformt fördelad strålkälla råder strålningsjämvikt. Differentiella

fluensen är oberoende av läget r r i mediet och är en lösning till ekv (2). Denna lösning

betecknas här

)

,

(

, ,

Ω

Φ

_Ωr

_T

v

u T (4)

Betrakta nu ett oändligt medium med samma atomära sammansättning men med densitetsvariationer. Enligt förutsättningen skall det gälla att:

( )

u u T T

r

T

S

r

T

S

ρ

ρ

r

r

r

r

r r

₍

_,

_;

₎

₍

_,

₎

, , ,Ω

Ω

=

Ω

Ω

(5) u u T T

r

T

T

r

T

T

ρ

ρ

µ

µ

_,

(

'

,

'

:

,

;

)

_{, ,}

(

'

,

'

:

,

)

(

)

r

r

₌

_Ω

_Ω

Ω

Ω

Ω Ω (6)

Antalet joniserande partiklar emitterade per volymsenhet från strålkällorna skall enligt

förutsättningen vara proportionellt mot densiteten ρ

( )

r r hos mediet. Detta innebär att

antalet joniserande partiklar emitterade från strålkällor per massenhet av mediet skall vara konstant och har här antagits vara lika med antalet emitterade partiklar per

massenhet i mediet med konstant densitet ρ_{u, ekv (5). Vidare förutsätter Fano i sitt}

per längdenhet för växelverkan också är proportionellt mot mediets densitet, ekv 6, där

µu(T,Ω)är sannolikhetenper längdenhetför växelverkani det alltigenom homogena

mediet. Vidare krävs för att beviset skall fungera att utfallet av växelverkansprocesserna skall vara oberoende av mediets densitet.

Vidare bygger Fano på förutsättningen att lösningen av den differentiella fluensen, som

nu inte kan förutsättas vara oberoende av läget r r i mediet utan måste sökas genom att

lösa ekv (1) , är entydig eftersom den är resultatet av givna strålkällor i kombination med givna fysikaliska växelverkanstvärsnitt. Med andra ord: fysiken utgör garant för att

den differentiella fluensen är en entydig funktion av läget r r . Om man därför kan finna

en lösning, som satisfierar ekv (1) så är denna lösning också den sökta.

Pröva om lösningen

₍

_,

₎

,

,

Ω

Φ

_{T Ωu}

T

r

för mediet med konstant densitet ρu duger som

lösning. Om den lägesoberoende funktionen

Φ

_T,Ω,u

(

T

,

Ω

r

)

sättes in i ekv (1) blir

vänstra ledet lika med noll och

u T T T T u T cut

r

T

T

d

dT

r

T

S

T

r

T

_{,' ,'} 4 , , , ,

(

,

)

(

,

;

)

'

'

(

'

,

'

;

,

;

)

)

;

,

(

0

_Ω ∞ Ω Ω Ω

Ω

+

Ω

+

Ω

Ω

Ω

Φ

Φ

Ω

−

=

∫ ∫

π

µ

µ

r

r

r

r

r

r

r

r

(7)

Genom att föra in förutsättningarna uttryckta i ekv (5,6) i ekv (7) erhålles

( )

( )

( )

( )

u u T T T u u T u T u u

r

r

T

T

d

dT

r

T

S

T

r

T

cut

ρ

ρ

µ

ρ

ρ

ρ

ρ

µ

π

r

r

r

r

r

r

r

r

r

,' ,' 4 , , , , ,

)

;

,

;

'

,

'

(

'

'

)

,

(

)

,

(

,

0

Ω ∞ Ω Ω Ω

Φ

Ω

Ω

Ω

+

+

Ω

+

Ω

Φ

Ω

−

=

∫ ∫

(8)

Om båda leden i ekv (8) multipliceras med ρ_u/ρ

( )

r r så erhålles transportekvationen för

det oändliga densitetshomogena mediet, ekv (2) med lösningen

u T,Ω,

Φ

insatt i

ekvationen.

Relationen i ekv (8) är alltså sann och det är därmed bevisat att lösningen till

transportekvationen för det densitetshomogena mediet också är den sökta lösningen till transportekvationen för ett oändligt medium med densitetsvariationen. Den

differentiella fluensen beror alltså endast av det antal partiklar, som strålkällorna emitterar per massenhet av mediet men är oberoende av densitetsvariationer från punkt till punkt i mediet.

Resultatet uttryckt i Fanos teorem beror av att då mediet har högre densitet i en region så emitteras fler partiklar per volymsenhet men samtidigt är räckvidden av

partiklarna i motsvarande grad reducerad. Då mediet har homogen atomär sammansättning påverkar mediets densitet enbart räckvidden men inte spridningsvinklarna längs t ex en laddad partikels spår, fig 1.

Fig 1: Spår av samma laddade partikel i två media av olika täthet, ρ och 2ρ, men med samma atomära sammansättning. Vinkelrelationerna mellan de tre segmenten av spåret är opåverkade av skillnaderna i mediets densitet.

Randvillkor för ändliga medier

Fanos teorem gäller strikt under de givna förutsättningarna. Dessa är emellertid omöjliga att uppfylla i praktiken. Framförallt är det svårt att realisera förutsättningen att mediet är oändligt. Tillämpningar av Fanos teorem gäller alltid ändliga medier och en diskussion av randvillkor blir nödvändig i dessa fall.

Om teoremet tillämpas på ett ändligt medium så kan det inte gälla för de områden av mediet, som ligger på avstånd mindre än en maximal partikelräckvidd från begränsningsytorna (eller flera fria medelväglängder från begränsningsytorna om partiklarna är oladdade partiklar). I beviset utnyttjades att differentiella fluensen av joniserande partiklar i ett densitetshomogent medium kunde förutsättas vara oberoende av läget. I ett ändligt medium kan vid uniform fördelning av strålkällorna detta endast gälla (approximativt) i det inre av mediet. Spencer har gett ett alternativt bevis av Fanos teorem där detta randvillkor för ändliga medier klart

framgår.

Fysikaliska begränsningar i teoremets användbarhet

Fanos teorem har stor praktisk betydelse i dosimetrin för oladdade partiklar, t ex fotoner. Om vägg och gas i en jonkammare har samma atomära sammansättning kan, trots densitetsskillnaden mellan vägg och gas, laddad partikeljämvikt (elektronjämvikt) uppnås i mätkammaren (gasen) om jonkammarens vägg är minst lika tjock som

maximala räckvidden av de frigjorda laddade partiklarna (elektronerna). Det behövs inga restriktioner att kaviteten (gasen) skall vara så tunn att den inte stör fluensen av de laddade partiklarna, relationen för en kavitet, som avviker i atomär sammansättning från sin omgivning.

För att Fanos teorem skall kunna tillämpas vid en jonkammarmätning där vägg och gas har samma atomära sammansättning räcker det inte att väggen är tjock för de laddade partiklarna utan den måste samtidigt vara tunn för de oladdade partiklarna. De oladdade partiklarna får inte nämnvärt attenueras över sträckor jämförbara med de frigjorda laddade partiklarnas maximala räckvidd (jfr förutsättningen att partikelemissionen per volymsenhet från strålkällorna- där de oladdade pariklarnas växelverkansprocesser - skall vara proportionell mot densiteten). Detta begränsar användbarheten vid bestrålning med fotoner till

fotonenergier ≤ 1 MeV.

ρ

2ρ a

Fanos teorem bygger också på förutsättningen att växelverkanstvärsnitten är densitets-oberoende. Detta är en förutsättning, som knappast någonsin är helt uppfylld. Mediets

kemiska form och densitet påverkar valenselektronernas bindningsenergier. Detta kommer att påverka växelverkanstvärsnitten för speciellt lågenergetiska joniserande partiklar. För

elektroner med höga kinetiska energier medför polarisationseffekten att växelverkans-tvärsnitten blir densitetsberoende.

Spencers alternativa bevis för Fanos teorem

Spencers bevis bygger på transportekvationen i integralform och är ett induktionsbevis.

Integralformen av transportekvationen har följande utseende

(

)

(

)

(

)

(

Ω

Ω

−

Ω

) (

Φ

Ω

−

Ω

)

Ω

⋅

+

+

Ω

−

Ω

⋅

=

Ω

Φ

Ω ∞ = Ω Ω ∞ − − Ω Ω ∞ _{− − Ω} Ω

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r r r

s

r

T

s

r

T

T

d

dT

e

ds

s

r

T

S

e

ds

r

T

T T T s r T ds T s r T ds T cut s s

;

'

,

'

;

,

;

'

,

'

'

'

;

,

)

;

,

(

, 4 ' , 0 ' ; ' , 0 ' ; ' , 0 0 π µ µ

µ

(9)

Ekv (9) visar att differentiella fluensen av partiklar med kinetiska energin T och

rörelseriktningen Ω r i punkten r r byggs upp av joniserande partiklar, som emitterats från

strålkällor med denna energi och rörelseriktning eller som framgått med denna energi

och rörelseriktning ur växelverkansprocesser längs punkter r r −s

r

Ω men som attenuerats

på vägen fram till r r .

Ekv (9) kan visas vara identisk med ekv (1) genom att applicera operatorn Ω ⋅r grad på

båda sidorna av ekv (9).

Sätt:

(

)

)

;

,

(

)

;

,

(

_, 0 ' ; ' 0 , ,

Ω

=

0

Ω

−

Ω

Φ

_Ω ∞ _{− − Ω} Ω

∫

∫

r

_r

r

r

r

r r

s

r

T

S

dse

r

T

_T s r T ds T s µ (10) och för n = 1, 2, 3, ....

(

)

(

' '; , ;

)

( ', '; ) ' ' ) ; , ( ,' ,' 1 0 ' 4 , 0 ' ; ' , , Ω = 0 Ω Ω Ω − ΩΦ Ω − Ω Φ Ω − ∞ = Ω Ω ∞ _{− − Ω} Ω

∫

∫

∫

∫ r r _r r r _r r r r r r s r T s r T T d dT dse r T T T n s r T ds n T s π µ µ (11)

Komponenten Φ_{n, n = 1, 2, 3, ..., av fluensen kan identifieras med fluensen av}

joniserande partiklar framkomna ur n:te ordningens växelverkansprocesser. Första ordningens växelverkansprocesser äger rum mellan partiklarna emitterade från strålkällorna och mediet. Andra ordningens växelverkansprocesser äger rum mellan

partiklarna framkomna ur första ordningens växelverkansprocesser och mediet etc.

Komponenten Φ_{0 består av fluensen av partiklar emitterade från strålkällan.}

Ekv (9) kan nu skrivas

∑

∞ = Ω Ω

Ω

=

Φ

Ω

Φ

0 , , ,

(

,

;

)

(

,

;

)

n n T T

T

r

T

r

r

r

r

r

(12)

Fysiken tas som garant för att den oändliga summan i ekv (12) konvergerar.

Induktionsbeviset startar nu med antagandet att Fanos teorem gäller för den differentiella fluensen av ordningen n-1, dvs det antas att den är lägesoberoende

)

,

(

)

;

,

(

_{, , 1} 1 , ,

Ω

=

Φ

Ω

Φ

_TΩn−

T

r

r

r

_{T Ωn−}

T

r

(13)

Ekv (13) insättes i ekv (11) som ger

(

)

(

'

,

'

;

,

;

)

(

'

,

'

)

'

'

)

;

,

(

_{,' ,' 1} 4 ' , 0 ' ; ' , ,

Ω

=

0

Ω

Ω

Ω

−

Ω

Φ

Ω

Φ

_{Ω −} ∞ = Ω Ω ∞ _{− − Ω} Ω

∫

∫

∫

∫

r

r

_r

r

r

r

r

r r

T

s

r

T

T

d

dT

dse

r

T

_{T n} T T s r T ds n T cut s π µ

µ

(14)

I ekv (14) införes nu förutsättningen i ekv (6). Inför vidare variabeln

(

Ω

)

=

_∫

(

−

Ω

)

s o u u

s

r

ds

s

r

T

u

,

r

;

r

,

1

µ

'

ρ

r

'

r

ρ

(15)

)

,

;

'

,

'

(

)

(

)

,

;

'

,

'

(

_{, ,} , ,Ωu

T

Ω

T

Ω

=

u

T

k

T Ωu

T

Ω

T

Ω

T

r

r

µ

µ

(16) varvid

(

−

Ω

)

=

r

r

s

r

ds

du

u u

ρ

µ

ρ

1

(17)

och ekv (14) kan skrivas

















Ω

Φ

Ω

Ω

Ω

=

Ω

Φ

∫

∫

∫

∞ − Ω Ω = Ω ∞ − Ω cut T n T u T u n T

(

T

,

;

r

)

due

dT

'

d

'

k

, ,

(

T

'

,

'

;

T

,

)

,' ,' 1

(

T

'

,

'

)

4 ' 0 , ,

r

r

r

r

π (18)

Eftersom uttrycket i parentesen i högra ledet av ekv (18) är en konstant vid integrationen över u erhålles

)

'

,

'

(

)

,

;

'

,

'

(

'

'

)

;

,

(

_{,' ,' 1} 0 ' 4 , , , ,

Ω

=

Ω

Ω

Ω

Φ

Ω

Φ

_{Ω −} ∞ = Ω Ω Ω

∫ ∫

r

r

r

r

T

T

T

k

d

dT

r

T

_{T u T n} n T π (19)

Ekv (19) visar att även

₍

_,

_;

₎

, , n

T

r

T

r

r

Ω

Φ

_Ω är oberoende av läget r r . Beviset är klart om

man även kan visa att

₍

_,

_;

₎

0 , ,

T

r

T

r

r

Ω

Φ

_Ω är oberoende av läget r r . Detta visas på samma

sätt genom att utnyttja förutsättningarna i ekv (5) och (6), varvid erhålles

( )

(

,

)

1

, 0 , ,

=

Ω

Φ

_Ω

S

_Ω

T

r

T

T u T

_µ

(20)

Ur integralformen av transportekvationen framgår explicit att differentiella fluensen i en

given punkt r r får bidrag från alla strålkällor och växelverkansprocessser, som ligger på

mindre än en "räckvidds" (= många fria medelväglängder) avstånd från den betraktade punkten. (Laddade partiklars fria medelväglängder är mycket korta så att man kan tala om en begränsad räckvidd för dessa partiklar). Beviset av Fanos teorem bygger explicit

på en integration över s från s = 0 till s = ∞.

I ett oändligt medium erhålles en fullt uppbyggd fluens i alla punkter av mediet. I ett ändligt medium erhålles inte full uppbyggnad av fluensen på avstånd mindre än en maximal "partikelräckvidd" från begränsningsytorna. Fanos teorem har visats gälla för alla punkter i ett oändligt medium men kan endast gälla i det inre av ett ändligt medium där förhållandena är ekvivalenta med dem i det oändliga mediet.

Referenser:

1. U Fano: "Note on the Bragg-Gray cavity principle for measuring energy dissipation. Radiat Res 1 (1954), 237-240

2. L V Spencer: "Some comments on Fano's theorem" Radiat Res 63. (1975), 191-199

3. D Harder: "Fano's theorem and the multiple scattering correction" In fourth Symposium on Microdosimetry (HG Ebert, ED) pp677-694, Euratom, Brussels, 1973.