Avståndet från en punkt till ett plan

1 av 15

A

B

Q

d

A

P B

𝑣𝑣⃗

AVSTÅNDSBERÄKNING

( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM )

Avståndet mellan två punkter

Låt A =(x₁,y₁,z₁) och B =(x₂,y₂,z₂) vara två punkter i rummet.

Avståndet d mellan A och B är

1 2 2 2

1 2 2

1

2 ) ( ) ( )

(

|

|AB x x y y z z

d = ^→ = − + − + − .

===================================================

Avståndet från en punkt till ett plan

Låt π vara ett plan vars ekvation är skriven på formen Ax+By+Cz+D=0 och låt P(x₁,y₁,z₁) vara en given punkt.

Metod1:

Avståndet d från punkten P =(x₁,y₁,z₁) till planet Ax+By+Cz+D=0 är

|

| ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ C B A

D Cz By d Ax

+ +

+ +

= + .

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Metod2:

Linjen L genom P vinkelrät mot planet har ekvationen )

, , ( ) , , ( ) , ,

(x y z = x₁ y₁ z₁ +t A B C .

Om vi betecknar med Q skärningspunkten mellan linjen L och planet

π

===================================================

Avståndet från en punkt till en rät linje

Metod1: Avståndet d från punkten )

, , (x₁ y₁ z₁ A =

till den linje som går genom )

, , (x₀ y₀ z₀ P =

och har riktningsvektorn

2 av 15 )

, , (v_x v_y v_z

v =

är | |

|

| v

PA

d v 

× ^→

= .

Anmärkning: Den här formeln beräknar avståndet d som höjden av parallellogrammen som späns upp av vektorerna v och PA , ^→

P

A

B v

d

dvs | |

|

| v

PA v basen arean

d 

× ^→

=

= .

Metod2: Vi kan bestämma den punkt B på linjen (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+t(A,B,C) som ligger närmast punkten A genom att använda villkoret

0

=

⋅v

som gäller i denna punkt, AB  och därefter beräkna d =| AB|. Exempel:

Beräkna avståndet från punkten A = (2,3,8) till linjen L: (x,y,z)=(2,2,6)+t(1,1,0). Lösning : Låt B vara en punkt på linjen L. Då har B koordinater B=(2+t,2+t,6) Om punkten B ligger på linjen närmast punkten A då gäller ( se bilden ovan)

0

=

⋅v

AB  (*)

Eftersom AB=(t,−1+t,−2) och v=( ,1,10)får vi från (*) 2

/ 1 0

0

1+ + = ⇒ =

− t t

t

Därför , 2)

2 , 1 2 (1 ) 2 , 1 ,

( − + − = − −

= t t

AB

och d =| AB|=.

2 2 3 4 4 18 4 1 4

1+ + = =

Anmärkning: Punkten B = (5/2, 5/2, 6) , kan också beräknas genom att substituera 2

/ 1

t= i B=(2+t,2+t,6)

===================================================

3 av 15

d

A

P B

Π 𝑣𝑣⃗

d

A

P B

𝑣𝑣⃗

Metod3: Vi kan bestämma den punkt B på linjen L: (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+t(A,B,C) som ligger närmast punkten A genom att först bestämma ekvationen för planet Π som går genom A vinkelrät mot L. Därefter bestämmer vi B som skärningspunkt mellan planet Π och linjen L:

Exempel:

Beräkna avståndet från punkten A

= (2,3,8) till linjen L:

) 0 , 1 , 1 ( ) 6 , 2 , 2 ( ) , ,

(x y z = +t . Lösning:

Planet Π har en normalvektor )

0 ,1 ,1 (

=

=v N 

och därför är planets ekvation:

0 ) 8 ( 0 ) 3 ( 1 ) 2 (

1 x− + y− + z− = eller x+y−5 =0.

Vi substituerar linjens ekvationer t

x=2+ , y=2+t och z=6 i planets ekvation och får 2+t+2+t−5=0⇒t=1/2

Skärningspunkten är därför B = (5/2, 5/2, 6).

Härav AB=(1/2,−1/2,−2) och därmed och därmed

2 2

| 3

| =

= AB

d .

Metod4: Vi kan bestämma den punkt B på linjen L:

) , , ( ) , , ( ) , ,

(x y z = x₀ y₀ z₀ +t v_x v_y v_z som ligger närmast punkten A genom

att först bestämma projektionen av vektorn PA ^→ på linjen L , där P= (x₀,y₀,z₀) och

) , , (x₁ y₁ z₁

A = .

Exempel:

a) Bestäm den punkt B på linjen L: (x,y,z)=(2,2,6)+t(1,1,0) som ligger närmast punkten A = (2,3,8) .

b) Beräkna därefter avståndet från punkten A till linjen L.

Lösning:

a) Vi har P=(2,2,6) och A= (2,3,8) , v=(1,1,0)

Låt u=PA^→ =(0, ,12). då gäller, enligt projektionsformeln

) 0 2, ,1 2 (1 ) 0 , 1 , 1 2( ) 1

(  = =



 





⋅

= ⋅

→ =

v v v

v u u

proj

PB _v 







 



Därför ,6)

2 ,5 2 (5 ) 0 2, ,1 2 (1 ) 6 , 2 , 2

( + =

= +

= ^{→ →}

→ OP PB

OB ;

4 av 15 L2

L1

d

P2

L2

L1

P1 d med andra ord B= ,6)

2 ,5 2

(5 .

b) Eftersom , 2)

2 , 1 2 (1 − −

→ =

AB har vi

2 2 3 4 4 18 4 1 4

| 1

|AB^→ = + + = = .

Avståndet mellan två parallella räta linjer

Välj en punkt A på t ex linjen L1

och beräkna avståndet från punkten A till linjen L2.

===================================================

Avståndet mellan två icke-parallella räta linjer

Låt L1 och L2 vara två räta linjer genom P1 och P2 med riktningsvektorer v och ₁ v . ₂ Låt N

vara en normalvektor till både L1 och L2 , t ex N =v₁×v₂. Avståndet mellan linjerna är

||

| _{1 2} | N P N P

d 



⋅

= ^→ .

5 av 15 Uppgift 1.

Låt x+y+2 =z 3 vara en ekvation till planet Π . Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten A=(5,3,4).

Lösning:

Låt L vara den linje som går genom punkten A vinkelrät mot planet Π . Låt Q vara skärningspunkten L och Π . Då är Q den punkt i planet som ligger närmast punkten A.

A

Q P

En riktningsvektor till L är v=(1,1,2) (dvs. planets normalvektor).

Linjens ekvation: (x,y,z)=(5,3,4)+t(1,1,2). Skärningspunkten:

t z

t y

t x

2 4

3 5 +

= +

= +

=

substitueras i x+ y+2 =z 3. Vi får 3

) 2 4 ( 2 3

5+t+ +t+ + t = eller 13

6t =− som ger t=−13/6. Därmed

3 1 6 2 13 4 2 4

6 5 6 3 13 3

6 17 6 5 13 5

−

=

⋅

−

= +

=

=

−

= +

=

=

−

= +

=

t z

t y

t x

Alltså är (17/6, 5/6, – 1/3) den punkt i planet ^Π som ligger närmast punkten A.

Svar: (17/6, 5/6, – 1/3)

Uppgift 2.

Planet 6x+2y+3z =6 skär koordinataxlarna i punkterna A, B och C.

Bestäm omkretsen av triangeln ABC.

Lösning:

Skärningen med x-axeln får vi om vi substituerar 0

y = och z=0 i ekvationen:

1 6

0 0

6x+ + = ⇒ x= . Alltså är A=(1, 0, 0).

På samma sätt får vi B= (0, 3, 0) och C=( 0,0, 2).

Härav:

) 0 , 3 , 1 (−

→ =

AB och |AB^→ |= 10,

x

y z

A

C

B

6 av 15 )

2 , 0 , 1 (−

→ =

AC och |AC^→ |= 5, )

2 , 3 , 0 ( −

→ =

BC och |BC^→ |= 13.

Därmed är omkretsen av triangeln ABC lika med 10+ 5+ 13. Svar: 10 + 5+ 13

Uppgift 3.

Bestäm avståndet från punkten A = (1,–2, 3) till planet 2x+5y =−4z−2. Lösning:

Först skriver vi planets ekvation på formen Ax+By+Cz+D=0. Alltså 2x+5y+4z+2=0.

Avståndet från punkten A till planet är

|

| 2 2 2

1 1 1

C B A

D Cz By d Ax

+ +

+ +

= +

5 2 5 3

6 45

| 6 4

5 2

2 3 4 ) 2 ( 5 1

|2

2 2

2 = = =

+ +

+

⋅ +

−

⋅ +

= ⋅ .

Svar:

2 (=5 5

5 2 )

Uppgift 4.

Linjen (x,y,z)=(1,1,1)+t(2,1,1) skär planet x+ y+z−7 =0 i en punkt A.

Bestäm avståndet från punkten A till planet 2x+3y+4z+10=0. Lösning:

Vi substituerar x=1+2t, y=1+t, z =1+t i ekvationen x+ y+z−7 =0 och får .

1

t= Alltså är skärningspunkten A=(3,2,2).

Avståndet från punkten A till det andra planet 2x+3y+4z+10=0är

|

| 2 2 2

1 1 1

C B A

D Cz By d Ax

+ +

+ +

= +

29

| 30 4

3 2

10 2 4 2 3 3

|2

2 2

2 =

+ +

+

⋅ +

⋅ +

= ⋅ .

Svar:

30 29 Uppgift 5.

Bestäm avståndet mellan följande (parallella) plan 2x + 2y + z = 5 och 2x + 2y +z = 0

Lösning:

Ovanstående plan är parallella eftersom de har parallella normalvektorer, ( faktisk samma normalvektor (2, 2,1). den här gången)

Vi väljer en punkt på första planet t ex P(1,1,1) och använder formeln Avståndet d från punkten A =(x₁,y₁,z₁)

till planet Ax+By+Cz+D=0 är | |

2 2 2

1 1 1

C B A

D Cz By d Ax

+ +

+ +

= + .

7 av 15 I vårt fall

3

| 5 1 2 2

0 1 1 1 2 1

|2

|

| ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ _{2 2 2 2} =

+ +

+

⋅ +

⋅ +

= ⋅ +

+

+ +

= +

C B A

D Cz By d Ax

Svar:

3

=5 d Uppgift 6.

Linjen (x,y,z)=(0,1,2)+t(1,1,3) skär planet x+ y+z−13 =0 i en punkt A.

Bestäm avståndet från punkten A till linjen (x,y,z)=(2,2,6)+t(1,1,0). Lösning:

Vi substituerar x=0+t, y=1+t, z=2+3t i ekvationen x+ y+z−13 =0 och får .

2

t= Skärningspunkten är A=(2,3,8).

För att beräkna avståndet från punkten A till linjen (x,y,z)=(2,2,6)+t(1,1,0) använder vi formeln

|

|

|

| v

PA

d v 

× ^→

= .

Vi väljer en punkt på den andra linjen t ex P=(2,2,6) och bildar vektornPA^→ =(0, ,12). Linjens riktningsvektor är v=(1,1,0).

=

×PA^→

v (2,–2,1).

Avståndet från punkten A till linjen (x,y,z)=(2,2,6)+t(1,1,0) är

2 3 2 9

|

|

|

| × = =

=

→

v PA

d v 

 .

Svar:

2 3 (=

2 2 3 )

Uppgift 7.

Bestäm avståndet från punkten A =(1,2,3) till skärningslinjen mellan två plan 2

= + + y z

x och x+2y+2z =3. Lösning:

först bestämmer vi skärningen mellan planen:





= +

= +

⇒ +

+

⋅

 −



= + +

= + +

1 2

] 2 1 ) 1 [(

3 2 2

2

z y

z y x

ekv z ekv

y x

z y x

Vi betraktar z som en frivariabel, betecknar z=t och får

t z

t y x

=

−

=

= 1 1

Alltså skär de två plan längs en linje.

För att beräkna avståndet från punkten A =(1,2,3) till linjen (x,y,z)=(1,1,0)+t(0,−1,1) använder vi formeln

8 av 15

|

|

|

| v

PA

d v 

× ^→

=

där P=(1,1,0) och v=( −0, 1,1).

Härav PA^→ =(0, ,13) och v×PA^→ =(-4,0,0).

Avståndet från punkten A till linjen är 2

2 2 4

|

|

|

| × = =

=

→

v PA

d v 

 .

Svar: 2 2

Uppgift 8.

Bestäm avståndet mellan följande linjer

L1: (x,y,z)=(1,1,4)+t(1,1,3) och L2: (x,y,z)=(1,1,1)+t(2,2,6). Lösning:

Linjernas riktningsvektorer v = ( 1,1,3) och 1 v = ( 2,2,6) är parallella eftersom 2

v =2 2v . Därför väljer vi en ( vilken som helst) punkt på en linje och beräknar avståndet från ₁ denna punkt till den andra linje.

Vi väljer A=(1,1,4) och använder formeln

|

|

|

| v

PA

d v 

× ^→

= , där P=(1,1,1) och v =v =(2,2,6). 2

Härav PA^→ =(0,0,3) och v×PA^→ =(6,-6,0).

Avståndet från punkten A till linjen är

11 2 3 11 2

2 6

|

|

|

| × = =

=

→

v PA

d v 

 .

Svar:

11 2 3

Uppgift 9.

Bestäm avståndet mellan följande linjer

L1: (x,y,z)=(1,1,1)+t(1,2,1) och L2: (x,y,z)=(1,3,4)+t(2,2,0). Lösning:

Linjerna har riktningsvektorer v = ( 1,2,1) och 1 v = ( 2,2,0) 2

Vektor N v₁ v₂

×

= =(-2,2,-2) är vinkelrät mot båda linjer.

Vi väljer en punkt på varje linje.

Låt P1=(1,1,1) och P2=(1,3,4).

Då P =(0,2,3). ₁^→P₂

9 av 15 Q

L2

L1

d P

Avståndet är |

|

| _{1 2} | N P N P

d 



→ 

= =

3 3 1 = . 3 Svar:

3

= 3 d Uppgift 10.

Vi betraktar två linjer

L1: (x,y,z)=(7,3,4)+t(−2,1,0) och L2: (x,y,z)=(1,0,1)+s(0,−1,1).

a) Bestäm de två punkter P, Q på L1 respektive L2 som ligger närmast.

b) Beräkna därefter (det kortaste) avståndet mellan linjerna L1 och L2

Lösning:

Linjerna har riktningsvektorer v = ₁ (−2,1,0)och v = ₂ ( −0, 1,1).

Punkter P och Q ligger närmast om PQ är vinkelrät mot både ^→ v och ₁ v , ² dvs om

PQ→ ∙v =0 och ₁ ^PQ→ ∙v =0 . ₂

Punkten P ligger på L1 och därför får vi punktens koordinater för ett värde på parameter t.

Alltså

P=( 7 – 2 t, 3 + t, 4)

Punkten Q ligger på L2 och därför har Q koordinater Q=( 1, – s, 1 + s) :

Därmed PQ = (2 t – 6, – s – t –3, s– 3) ^→

Från PQ ∙^→ v =0 har vi –4t + 12 – s – t –3 =0 ( ekv1) ₁ Från PQ ∙^→ v =0 har vi s + t + 3 + s – 3 =0 ( ekv2) ₂ Vi löser systemet:

–5t– s +9=0 ( ekv1) t+2 s =0 ( ekv2)

och får s = –1 och t= 2.

Härav P=( 3,5,4) och Q=( 1,1,0) och PQ = (–2, –4,–4) . ^→

10 av 15 Avståndet d= |PQ^→ |= 4+16+16 =6

Svar: a) P=( 3,5,4) och Q=( 1,1,0) b) d=6

Uppgift 11. Bestäm (det kortaste) avståndet mellan två linjer L1: (x,y,z)=(−t,−t,t) och L2: (x,y,z)=(2+2t,3−2t,−2). Lösning:

Metod 1:

Först väljer vi riktnings vektorer t ex v₁=(− ,1−11,) för L1 och v₂ =(2,−2,0). Då är vektorn n=v₁×v₂ =(2,2,4) vinkelrät mot både v och ₁ v . ₂

Vi väljer en punkt på varje linje, t ex P₁ =(0,0,0) och P₂ =(2,3,−2) och bildar vektorn )

2 , 3 , 2

2 (

1P = −

P .

Den kortaste avståndet mellan linjerna är längden av projektionen proj_nP₁P₂. Alltså

6

| 6 ) 2 ,1 ,1 6(

|1

| ) 4 , 2 , 2 24(

| 2

|

|

|

| _{1 2} ^{1 2} = = =

⋅

= ⋅

= n

n n

n P P P

P proj

d _n 









Svar:

6 6 .

Metod 2:

Låt Q och R vara två punkter som ligger på L1 respekt. L2 så att avståndet mellan de är det kortaste avståndet mellan linjerna. Då är QR vinkelrät mot både v och ₁ v och ₂ därmed.

1=0

⋅v

QR  och QR ⋅v₂ =0 (*) .

Eftersom Q ligger på L1 och R på L2 har vi )

, , ( t t t

Q= − − och R=(2+2s,3−2s,−2). Härav )

2 , 2 3 , 2 2

( s t s t t

QR= + + − + − −

Från (*) och v₁ =(− ,1−11,), v₂ =(2,−2,0) har vi systemet 0

) 2 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) 2 2 (

1 + + − − + + − − =

− s t s t t ekv1

0 ) 2 ( 0 ) 2 3 ( 2 ) 2 2 (

2 + s+t − − s+t + − −t = ekv2 eller förenklad

0 7 3 − =

− t ekv1 0

2

8s− = ekv2

som ger t=−7/3 och s=1/4. Därmed Q=(7/3,7/3,−7/3), R=(5/2,5/2,−2)

och ( ,1 ,12)

6 ) 1 3 / 1, 6 / 1, 6 / 1

( =

QR= .

Härav

6

| 6

|QR = Svar:

66 . Metod 3.

11 av 15

Vi bestämmer en ekvation för planet Π som går genom linjen L2 parallell med linjen L1.

Därmed är planet parallell med linjernas riktningsvektorer v₁=(− ,1−11,) och v₂ =(2,−2,0). Därför är v ₁×v₂ =(2,2,4) vinkelrät mot planet. Vi kan välja n₂ =( ,1,12) som planets normalvektor. Punkten (2,3,-2)ligger på L2 och därmed också i planet.

Planets ekvation: 1(x−2)+1(y−3)+2(z+2)=0 eller 0

1 2 − = +

+ y z x

Eftersom linjen L1 är parallell med planet Π har varje punkt på L1 samma avstånd till planet Π. Vi väljer en punkt på L1, t ex punkten (0,0,0) och bestämmer avståndet till Π .

6 6 6

| 1 2 1 1

1 0 2 0 1 0

|1

|

| ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ _{2 2 2 2} = =

+ +

−

⋅ +

⋅ +

= ⋅ +

+

+ +

= +

C B A

D Cz By d Ax

Svar:

6 6 .

Uppgift 12. ( Spegelbild)

Bestäm spegelbilden av punkten P =(0, 6, 3)− i linjen ( , , ) (2 ,1 2 , 2 )x y z = −t + t − t . Lösning:

Metod 1. Låt O=(0,0,0). Beteckna med S den sökta spegelbilden av punkten P. Låt Q vara den punkt på linjen L som ligger närmast punkten P. Då är Q mittpunkten av sträckan PS. (se figuren nedan).

Q S

O P

L

Först bestämmer vi punkten Q. Planet Π som går genom punkten P =(0, 6, 3)− vinkelrät mot linjen L skär linjen i punkten Q. Linjens riktningsvektor r = − ( 1,2, 2)− kan användas som planets normalvektor. Planets ekvation är

−(x−0)+2(y−6)−2(z+3)=0 eller −x+2y−2z−18=0. För att få Q löser vi systemet









=

−

− +

−

−

= +

=

−

=

0 18 2 2 2

2 1 2

z y x

t z

t y

t x

som ger t=2, x=0, y=5 och z=–4.

12 av 15 Därmed är Q=(0,5,−4)

Nu kan vi bestämma vektorn PQ^→ =(0−1−1)och därmed QS^→ =PQ^→ =(0−1−1). Slutligen

) 5 , 4 , 0 ( ) 1 1 0 ( ) 4 , 5 , 0

( − + − − = −

= +

= ^{→ →}

→ OQ QS

OS

och därmed S=(0,4,−5) Svar:

) 5 , 4 , 0

( −

S =

Metod 2 . (Projektionsformel)

En punkt i linjen P =₀ (2,1, 0). Linjens riktningsvektor är r = − ( 1,2, 2)−

Q S

O P

L P⁰

Projektionen av vektor u P P = ₀ = −( 2, 5, 3)−

på linjen är _{1 0 2} 2 10 6 ( 1, 2, 2)

9 u PQ u rr

r

+ +

= = = − − =

    

 2( 1,2, 2) ( 2,4, 4)− − = − − . Eftersom P P PQ QP  ₀ = ₀ +

har vi QP P P PQ  = ₀ − ₀ eller,

( 2, 5, 3) ( 2, 4, 4) (0,1,1) QP = − − − − − =

Spegelpunkten S uppfyller

2 (0, 6, 3) 2(0,1,1) (0, 6, 3) (0, 2, 2) (0, 4, 5)

OS OP PS OP OS

QP

= + = − = − − =

= − − = −

    



och därmed S=(0,4,−5)

Uppgift 13. En laserstråle som går genom punkten B=(2,3,3) och är parallell med linjen )

1 , 1 , 1 ( ) 6 , 5 , 4 ( ) , ,

(x y z = +t reflekteras i planet Π. Bestäm en ekvation för den reflekterade laserstrålen.

Lösning.

13 av 15

Q

v w s

B T S

R N

Beteckna med R skärningspunkten mellan strålen och planet Π . Låt S vara spegelbilden av B i den linje som går genom R vinkelrät mot planet. Den sökta reflekterade strålen går genom R och S.

Linjen genom B=(2,3,3) som är parallell med den givna linjen har en riktnings vektor (1,1,1).

Alltså går laserstråle längs linjen L2: (x,y,z)=(2,3,3)+t(1,1,1).

Skärningspunkten mellan L2 och planet Π får vi genom att

t z

t y

t x

+

= +

= +

= 3

3 2

substitueras i x+ y+2 =z 3. Vi får 3

2 6 3

2+t+ +t+ + t= som ger t=−2. Därmed är skärningspunkten R=(0,1,1).

Den reflekterade strålen går genom R. Låt v=RB=(2,2,2) och låt N =( ,1 ,12)

(dvs. N är planets normalvektor). För att bestämma RS , dvs. riktningen för den sökta linjen, beräknar vi först projektionen

) 2 ,1 ,1 3( ) 4 2 ,1 ,1 4 ( 1 1

4 2 ) 2

( =

+ +

+

= +

⋅ ⋅

= ⋅

= N

N N

N v v

proj

w _N 





 



 _ .

Då är )

3 ,10 3 ,2 3 (2 ) 2 , 2 , 2 ( ) 2 , 1 , 1 3( 2 8

) (

2

2 = + − + = − = − =

+

=v BT v v w w v

RS       .

Alltså är )

3 ,10 3 ,2 3

(2 en riktningsvektor för den sökta linjen. Vi kan även välja (1,1,5) för linjens riktningsvektor. Den reflekterade strålen går längs linjen

) 5 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 0 ( ) , ,

(x y z = +t

Svar: b) (x,y,z)=(0,1,1)+t(1,1,5) Uppgift 14. T (teori)

Låt vara ett plan vars ekvation är skriven på formen och låt vara en given punkt.

Bevisa formeln

för avståndet d från punkten P =(x₁,y₁,z₁)

π Ax+By+Cz+D=₀

) , , (x₁ y₁ z₁ P

|

| ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ C B A

D Cz By d Ax

+ +

+ +

= +

14 av 15 Lösning:

Linjen L genom P vinkelrät mot planet har ekvationen )

, , ( ) , , ( ) , ,

(x y z = x₁ y₁ z₁ +t A B C som vi kan skriva som tre skalära ekvationer:

tA x

x= ₁+ , y= y₁+tB och z= z₁+tC

För att bestämma skärningspunkten mellan linjen och planet, d.v.s. punkten )

, , (x₀ y₀ z₀

Q = , substituerar vi linjens skalära ekvationer i planets ekvation 0

= + +

+By Cz D

Ax och får

⇒

= + + + + +

+ ) ( ) ( ) 0

(x1 tA B y1 tB C z1 tC D A

⇒

= + + + + +

+ ² ₁ ² ₁ ² 0

1A tA yB tB zC tC D

x

2 2

2 1 1

1 )

(

C B A

D Cz By t Ax

+ +

+ + +

= − .

Beteckna denna lösning med ₀ ^{( 1}₂ ¹_{2 2}^{1 )} C B A

D Cz By t Ax

+ +

+ + +

= − (*)

Punkten Q =(x₀,y₀,z₀) har följande koordinater A

t x

x₀ = ₁+ ₀ , y₀ = y₁+t₀B och z₀ =z₁+t₀C och därför PQ=(t₀A, t₀B, t₀C)=t₀(A,B,C).

Avståndet d =|PQ|=|t₀(A,B,C)|=|t₀|⋅|(A,B,C)|=|t₀ | A² +B² +C² (enligt (*) )

= | ¹ ₂ ¹ ₂ ¹₂ | ^{2 2 2} | ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ | C B A

D Cz By C Ax

B C A

B A

D Cz By Ax

+ +

+ +

= + + + +

+

+ +

+ V.S.B.

Tentamen 9 april 2021, uppgift 4 0

= + +

+By Cz D Ax

15 av 15 Tentamen 11 jan 2021 (Uppgift 1)