Lärande och samhälle
Skolutveckling och ledarskap
Examensarbete
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Relevansen av ett nationellt
bedömningsstöd i matematikundervisning
- ur ett specialpedagogiskt perspektiv
The Relevance of a national assessment support in Mathematics
education – from a special educational perspective
Emelie Nyman
Speciallärarexamen 90 hp Matematikutveckling Slutseminarium 2020-01-13
Examinator: Jöran Petersson Handledare: Birgitta Lansheim
3
Sammanfattning/Abstract
Nyman, Emelie (2020). Relevansen av ett nationellt bedömningsstöd i matematikundervisningen – ur ett specialpedagogiskt perspektiv. Speciallärarprogrammet,
Matematikutveckling, Institutionen för skolutveckling och ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö universitet, 90 hp.
Förväntat kunskapsbidrag
Studiens förväntade kunskapsbidrag är att undersöka vilka missuppfattningar det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) kan påvisa och ifall dessa överensstämmer med elevens faktiska missuppfattningar. Studien söker även svar på vilka uppfattningar elever i matematiska sårbarheter har om skolämnet och vilka matematiska strategier de använder för att lösa uppgifter.
Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att undersöka några matematiska missuppfattningar inom den tidiga taluppfattningen hos elever i matematisk sårbarhet och samtidigt ta reda på huruvida ett nationellt bedömningsstöd fångar in dessa missuppfattningar. Studien försöker även få syn på några matematiska strategier som används för att lösa uppgifter.
- Vilka missuppfattningar inom den tidiga taluppfattningen kan upptäckas genom att använda ett nationellt bedömningsstöd inom matematikundervisningen?
- På vilket sätt överensstämmer de missuppfattningar som bedömningsstödet visar med elevens faktiska kunskaper?
4
Teori och tidigare forskning
Aunio och Räsänen (2016) och Stock m.fl. (2007) framhåller att det går att förutspå senare matematikinlärning med hjälp av screeningverktyg. En annan uppfattning presenteras av Clarke m.fl. (2002) som framhåller att det inte går att förutspå att en elev även skulle kunna ha en matematisk sårbarhet inom ett annat aritmetiskt område. Aunio och Räsänen (2016) presenterar fyra avgörande faktorer för att tidigt kunna ta reda på elevers utveckling av matematiska färdigheter inom taluppfattning. Stock m.fl. (2007) framhåller sex specifika förnumeriska kunskaper som visat sig kunna förutspå ungefär hälften av variationen inom taluppfattning i årskurs ett, redan i förskoleklass.
Metod
En kvalitativ metod har använts i studien, där semistrukturerade intervjuer har genomförts, och studien har även varit inspirerad av en fenomenologisk forskningsansats. Sex elever har intervjuats och de har fått beräkna uppgifter ur det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) som de tidigare visat en matematisk sårbarhet inom. Analysarbetet är inspirerat av en induktiv tematisk ansats.
Resultat
I analysen av intervjuerna framkom tre teman; förståelse, additionsstrategier och platsvärde. Vikten av förståelse, uppkom genom att merparten av informanterna beskrev att det som de förstår i matematik också är det som är roligt. Nästa tema som uppkom var additionsstrategier, där det blev tydligt att ett fåtal ur undersökningsgruppen använde sig av flera olika strategier för liknande uppgifter. Merparten av informanterna använde en tydlig arbetsgång och hade generaliserat kunskaperna för att kunna lösa uppgifterna mer strategiskt. Det tredje och sista temat som uppkom var platsvärde. I studien tydliggjordes det att en matematisk sårbarhet inom platsvärde kan ställa till det för eleven även inom andra områden inom den tidiga taluppfattningen.
Specialpedagogiska implikationer
En specialpedagogisk implikation har varit att använda resultatet av det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) som en förebyggande insats genom att se hur resultatet påverkar undervisningen. En annan förebyggande insats, för att utesluta missförstånd gällande
5
elevernas kunskaper, är att komplettera de skriftliga bedömningsstöden (Skolverket, 2019a) med enskilda samtal med de elever som har påvisat en sårbarhet inom något eller några områden.
Nyckelord
Bedömningsstöd, matematiska missuppfattningar, matematiska strategier, taluppfattning, sårbarhet.
6
Innehållsförteckning
INLEDNING ... 8 BEGREPP ... 9 Bedömningsstöd ... 9 Tidig taluppfattning ... 9Matematiska missuppfattningar och matematisk sårbarhet ... 10
Matematiska strategier ... 10
SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 11
TEORETISKA PERSPEKTIV OCH TIDIGARE FORSKNING ... 12
ATT FÖRUTSPÅ BARNS SENARE MATEMATIKINLÄRNING ... 12
DEN TIDIGA TALUPPFATTNINGEN ... 14 TIDIGA INSATSER ... 15 SAMMANFATTNING ... 16 METOD ... 17 METODVAL ... 17 UNDERSÖKNINGSGRUPP ... 18 GENOMFÖRANDE ... 19
ANALYS OCH BEARBETNING ... 20
TROVÄRDIGHET OCH GILTIGHET ... 21
ETISKA ÖVERVÄGANDEN ... 21
RESULTAT OCH ANALYS ... 23
ADDITIONSSTRATEGIER ... 24 Delanalys ... 25 PLATSVÄRDE ... 26 Delanalys ... 27 SAMMANFATTANDE ANALYS ... 28 DISKUSSION ... 29 RESULTATDISKUSSION ... 29
Relevansen av bedömningsstöd i skolämnet matematik ... 30
SPECIALPEDAGOGISKA IMPLIKATIONER ... 33
METODDISKUSSION ... 34
FÖRSLAG PÅ FORTSATT FORSKNING ... 36
REFERENSER ... 37
7
8
Inledning
McIntosh, Reys och Reys (1992) framhåller att taluppfattning är en vital kunskap som alla behöver för att kunna fungera i samhället. Vidare beskriver de även taluppfattning som en central kunskap som finns inom all matematik. Clarke, Cheeseman, Gervasoni, Gronn, Horne, McDonough, Montgomery, Roche, Sullivan, Clarke och Rowley (2002) poängterar att det är viktigt att identifiera de elever som efter ett års skolgång inte har utvecklats inom den grundläggande taluppfattningen. För att elever inte ska hamna i en riskzon för att inte uppnå kunskapskraven så krävs det att eleverna erbjuds en undervisning som kan utveckla deras matematiska förmågor (2002).
Skolverket (2019a) har via PRIM-gruppen vid Stockholms universitet gett ut ett nationellt bedömningsstöd i taluppfattning i syfte att stödja lärare i att skapa en likvärdig och rättvis bedömning av elevers kunskaper. Bedömningsstödet utgår ifrån grundtanken att en god taluppfattning är väsentlig för en fortsatt matematikinlärning. Ambitionen är att alla elever ska ha uppnått en grundläggande taluppfattning vid slutet av årskurs ett. Sedan juli 2016 är det obligatoriskt för huvudmän att använda bedömningsstödet i årskurs ett (Skolverket, 2019a) och sedan juli 2019 är det även obligatoriskt att använda sig av ett kartläggningsmaterial i förskoleklass (Skolverket, 2019c). Det sistnämnda ingår i Läsa-skriva-räkna-garantin som innefattar ändringar gällande tidiga insatser och särskilt stöd i Skollagen (2010:800, 3 kap. 5 §). Det har även tydliggjorts att elever har rätt att få tidiga insatser och att dessa stödinsatser ska ske i samråd med personal med specialpedagogisk kompetens (Skollagen 2010:800, 3 kap. 4 a §).
Under min utbildning till speciallärare har jag intresserat mig för på vilket sätt lärare anser att det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) är ett verktyg för att upptäcka elevers missuppfattningar inom taluppfattning. Då fick jag möjlighet att intervjua lärare som beskrev att det är ett bra kartläggningsmaterial för att göra upptäckter som leder till riktade insatser i deras undervisning. Lärarna menade att tidsåtgången i årskurs ett var den främsta nackdelen med bedömningsstödet (Skolverket, 2019a), på grund av att det både är individuellt och utförs muntligt. Några av lärarna ställde sig även frågade till om resultatet av bedömningsstödet verkligen kan motiveras av att flera veckors matematiklektioner uteblir för att istället användas till både individuell och muntlig bedömning.
Som framtida speciallärare inom matematikutveckling blir det spännande att studera detta område vidare genom att fokusera på vilka missuppfattningar de nationella bedömningsstöden (Skolverket, 2019a) kan påvisa och ifall dessa överensstämmer med elevens faktiska kunskaper.
9
En vidare aspekt är också att få syn på några insatser som skulle kunna vara förebyggande eller åtgärdande för att motverka dessa missuppfattningar.
Begrepp
BedömningsstödPRIM-gruppen vid Stockholms universitet har på uppdrag av Skolverket (2019a) gett ut ett nationellt bedömningsstöd i taluppfattning i syfte att stödja lärare i att skapa en likvärdig och rättvis bedömning av elevernas kunskaper. Bedömningsstödet är obligatoriskt att utföra i förskoleklass och i årskurs ett.
För att testa elevers taluppfattning finns det en tydlig progression i kartläggningsmaterialet med både muntliga och skriftliga uppgifter (på låg, medel och hög nivå). Materialet testar elevers kunskaper inom olika räkneprinciper så som abstraktionsprincipen, ett-till-ett-principen, principen om godtycklig ordning, principen om räkneordens ordning och antalsprincipen (Skolverket, 2019a). Bedömningsstödet för höstterminen i årskurs två består av skriftliga uppgifter inom taluppfattning och berör olika aritmetiska områden. Dessa områden är: talrad, tals värde, tallinje, dela upp tal, storleksordna tal, beräkna addition, beräkna subtraktion, likhetstecknet – addition (tidig algebra) samt problemlösning (ibid).
Efter att testerna är genomförda fyller läraren i en matris för att skapa en tydlig översikt av elevernas kunskaper. Utifrån resultatet ska sedan läraren skapa en hållbar plan för utbildningen av taluppfattning under hela skolåret (Skolverket, 2019b).
I denna studie benämns materialet som bedömningsstödet eller det nationella bedömningsstödet och syftar då till det inom taluppfattning i årskurs två.
Tidig taluppfattning
Det finns många begrepp för taluppfattning; tidig taluppfattning, number sense, fundamental number sense och fundamental taluppfattning. Med alla dessa begrepp blir det tydligt att det är ett omdebatterat ämne samtidigt som att begreppet är inte särskilt väl definierat (Andrews & Sayers, 2015) och därför får många forskare definiera sin version av taluppfattning. Det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) utgår ifrån grundtanken att en god taluppfattning är avgörande för en fortsatt matematikinlärning.
10
Matematiska missuppfattningar och matematisk sårbarhet
I denna studie innebär matematiska missuppfattningar återkommande fel som inte verkar vara slumpmässiga. McIntosh (2008) förklarar att sådana fel är ett resultat av att eleven har försökt att förstå fenomenet på egen hand men eftersom det inte har uppmärksammats av en lärare så kan felet bli inbitet och bestå upp i vuxen ålder. Clarke m.fl. (2002) har benämnt dessa missuppfattningar som en matematisk sårbarhet (eng: vulnerable).
Matematiska strategier
I denna studie innebär matematiska strategier de tillvägagångssätt som eleverna väljer att använda sig av för att lösa en uppgift. Det finns så kallade hållbara och icke hållbara strategier inom matematiken. Olsson och Forsbäck (2008) betonar att strategin att räkna på fingrarna inte är hållbar i längden eftersom att eleven ofta stöter på problem då fingrarna inte längre räcker till för att lösa uppgiften. En annan negativ aspekt av strategin är att den kan belasta arbetsminnet vilket skulle kunna överbelasta och leda till att eleven inte löser uppgiften på ett korrekt sätt. En hållbar strategi däremot enligt Olsson och Forsbäck (2008) är då talkamraterna är automatiserade, vilket innebär att denna del av matematikuppgiften inte kommer att belasta korttidsminnet och på så vis kan eleven istället göra generaliseringar (Olsson & Forsbäck, 2008).
11
Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att undersöka några matematiska missuppfattningar inom den tidiga taluppfattningen hos elever i matematisk sårbarhet och samtidigt ta reda på huruvida ett nationellt bedömningsstöd fångar in dessa missuppfattningar. Studien försöker även få syn på några matematiska strategier som används för att lösa uppgifter.
- Vilka missuppfattningar inom den tidiga taluppfattningen kan upptäckas genom att använda ett nationellt bedömningsstöd inom matematikundervisningen?
- På vilket sätt överensstämmer de missuppfattningar som bedömningsstödet visar med elevens faktiska kunskaper?
12
Teoretiska perspektiv och tidigare forskning
Att förutspå barns senare matematikinlärning
Aunio och Räsänen (2016) har analyserat fyra internationella matematiktester inom den grundläggande taluppfattningen för elever i åldern fem till åtta år. Syftet med studien var att ta reda på de färdigheter som är mest centrala i utvecklingen av barns matematiska kunskaper. De kom fram till att det finns fyra avgörande kunskapsområden för en god utveckling av matematiska färdigheter inom aritmetiken. Det första kunskapsområdet är förmågan att snabbt kunna uppfatta små mängder och att förstå representationer av tals storlek (symbolisk och icke-symbolisk taluppfattning). Den andra förmågan är att sortera objekt utifrån olikheter, göra klassificeringar, förstå aritmetiska principer, matematiska symboler, platsvärde och tiobassystem (förståelse av matematiska relationer). Den tredje förmågan är att visa förståelse för talraden, talens namn och att kunna räkna antalet i en mängd med konkret material (att kunna räkna antal). Den fjärde och sista förmågan är att kunna lösa uppgifter med addition och subtraktion, och till viss del även multiplikation och division (aritmetiska baskunskaper). Dessa fyra områden beskrivs inneha en förutsägande kraft för barns senare matematikinlärning. Likaså beskriver Andrew och Sayers (2015) att grundläggande taluppfattning har en förutsägande kraft gällande unga barns senare matematiska prestationer.
Även Stock, Desoete och Roeyers (2007) har kommit fram till att det går att förutspå elevers aritmetiska kunskaper. De undersökte och analyserade 108 elevers aritmetiska kunskaper i förskoleklass i Belgien. Syftet var att ta reda på ifall de kunde förutspå elevers aritmetiska kunskaper i årskurs ett (sexåringar) baserat på deras testresultat från förskoleklass (femåringar). Studien visade, till skillnad från Aunio och Räsänens (2016) fyra färdigheter, att det finns sex förnumeriska kunskaper för att förutspå variationen inom taluppfattning; förmågan att utföra en aritmetisk uppgift, förståelsen av varför en matematisk strategi fungerar, förmågan att sortera objekt utifrån olikheter (seriation), förmågan att sortera objekt utifrån likheter, förståelsen av att en mängd förändras då objekt läggs till eller tas bort och slutligen förmågan att snabbt uppfatta små mängder och representationer av tals storlek (förmågan att kunna jämföra tals storlek). Stock m.fl. (2007) menade att två av dessa sex förnumeriska kunskaper kan ses som en lämplig indikator för att förutspå elevers senare aritmetiska sårbarhet; förståelsen av varför en matematisk strategi fungerar och förmågan att kunna sortera objekt utifrån dess olikheter.
Både Aunio och Räsänen (2016) och Stock m.fl. (2007) framhåller med olika begrepp vikten av förmågan att snabbt kunna uppfatta små mängder, subitisering, och representationer
13
av tals storlek för en god utveckling inom taluppfattning. De framhåller även vikten av seriation och principen om räkneordens ordning och antalsprincipen i utvecklingen av en god taluppfattning (Aunio & Räsänen, 2016; Stock m.fl., 2007).
Clarke, Cheeseman, Gervasoni, Gronn, Horne, McDonough, Montgomery, Roche, Sullivan, Clarke och Rowley (2002) genomförde en analys av Early Numeracy Research Project (ENRP) som hade kartlagt flera tusen elevers matematikinlärning under deras tre första skolår (åldern fem-sju år) i Australien. I analysen identifierades bland annat kategorin aritmetisk kunskap som en avgörande färdighet inom aritmetiken, som här beskrevs innehålla fyra områden; beräkning, platsvärde, addition och subtraktion samt multiplikation och division. Clarke m.fl. (2002) framhåller att när en elev visar matematisk sårbarhet inom ett aritmetiskt område så går det inte att förutspå att denne elev även visar eller kommer att visa en sårbarhet inom ett annat område. Detta grundas i att Clarke m.fl. (2002) inte fann några konsekventa mönster mellan de fyra aritmetiska kunskapsområdena. Det analysen av elevernas resultat visade i ENPR (Clarke et al., 2002) var att 38% av eleverna i årskurs ett (sexåringar) visade en matematisk sårbarhet inom minst ett matematiskt område. I årskurs två visade 43% av eleverna en matematisk sårbarhet inom minst ett matematiskt område (Clarke et al., 2002). Detta skulle generellt sätt innebära att i en klass i årskurs ett (förskoleklass i Sverige) med 24 elever skulle cirka 14 elever av dem (62 %) vara ”på god väg” att nå kunskapskraven. Resterande tio elever (38 %) skulle visa matematisk sårbarhet, där tre av tio inom alla aritmetiska områden (beräkning, platsvärde, addition- och subtraktionsstrategier samt inom multiplikation- och divisionsstrategier) och resterande sju av tio inom multiplikation- och divisionsstrategier.
Clarke m.fl. (2002) framhåller att det inte finns något samband mellan olika aritmetiska områden som förutspår att en elev även skulle kunna ha en matematisk sårbarhet inom ett annat aritmetiskt område. Däremot poängterar både Aunio och Räsänen (2016) och Stock m.fl. (2007) att det går att förutspå senare matematikinlärning. Aunio och Räsänen (2016) betonar att det finns fyra avgörande faktorer för att tidigt kunna ta reda på elevens utveckling av matematiska färdigheter inom taluppfattning. Stock m.fl. (2007) framhåller sex specifika förnumeriska kunskaper som visat sig kunna förutspå ungefär hälften av variationen inom taluppfattning i årskurs ett, redan i förskoleklass. Vidare visar Stock m.fl. (2007) att två tredjedelar av eleverna som var i riskzonen att inte uppnå målen i lågstadiet, redan hade uppvisat matematisk sårbarhet i förskoleklass.
För att förutspå barns senare matematikinlärning används olika tester. Aunio, Hautamäki, Heiskari och Van Luit (2006) översatte det nederländska testet The Early Numeracy Test for Toddlers (ENT; Van Luit, Van de Rijt & Pennings, 1994) och testade över 1000 barn i åldrarna
14
4–7,5 år i Finland (ENT-Fin). Undersökningen gjordes på respektive skola och förskola, vanligtvis i ett avskilt rum med en pedagog där ett barn deltog. Syftet med studien var att etablera ett screeningverktyg för finska pedagoger inom förskola och grundskola. Resultatet visade att ENT-Fin var ett gediget test för elever i åldrarna 4–7,5 år och att det var ett användbart screeningverktyg för elever i åldrarna 6–7,5 år. Aunio m.fl. (2006) upptäckte att ENT-Fin var för enkelt för de högpresterande eleverna och därmed poängterar de att syftet med testet är att identifiera unga barn som visar en matematisk sårbarhet (Aunio m.fl., 2006).
Den tidiga taluppfattningen
Barns utveckling av talbegreppet (Bentley & Bentley, 2011) inleds med att kunna rabbla talraden. Därefter utvecklas en förståelse av att talen är separerade och kan förknippas med objekt, vilket är Gallistel och Gelmans (1978) första av fem grundprinciper inom taluppfattning och benämns som antalsprincipen. Nästa grundprincip, ett-till-ett-principen, innebär att två föremål i olika grupper kan bilda ett par tillsammans. Nu förstår barnet att det finns en specifik ordning, den ordinala egenskapen hos tal (Bentley & Bentley, 2011). Den tredje grundprincipen inom taluppfattning är principen om godtycklig ordning, som innebär att mängden är densamma oavsett i vilken ordning föremålen räknas (Gallistel & Gellman, 1978). Den fjärde principen innebär att föremålen som räknas ihop benämns med räkneorden i en bestämd ordning (Gallistel & Gellman, 1978). Dock lyfter Bentley och Bentley (2011) en diskurs om barn i ett tidigt utvecklingsskede verkligen kan uppfatta talets ordinala egenskaper, eller om det kanske istället handlar om en uppräkning utan en vidare förståelse för talens ordning. Nästa steg är att barnet förstår att det sist uppräknade svarar på antalet i mängden (Bentley & Bentley, 2011), vilket är den femte och sista grundprincipen av Gallistel och Gellman (1978), antals-/kardinaltalsprincipen. Bentley och Bentley (2011) beskriver att räkna från början (3+4: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), att gå från talets ordinalitet till kardinalitet, är ett viktigt steg i barnets utveckling. Nästa utvecklingssteg är att gå från talets kardinalitet till ordinalitet, att räkna från delen (3+4: 3, 4, 5, 6, 7) med konkret material. Därefter uppfattar barnet talets ordinalitet och kardinalitet samtidigt. Detta brukar kännetecknas av att barnet kan räkna från delen utan att använda konkret material (Bentley & Bentley, 2011).
Dyson, Jordan, Beliakoff och Hassinger-Das (2015) poängterar att yngre elever befäster grundläggande begrepp genom samtal. Därav menar de att samtal är en förutsättning för elevers fortsatta utveckling av den tidiga taluppfattningen. Lundberg och Sterner (2009) belyser att
15
elever först efter att ha fått en förståelse i den konkreta nivån kan utveckla den abstrakta nivåns förståelse när de löser beräkningar genom huvudräkning. På ett liknande sätt beskriver Löwing (2008) att det först är när eleverna har lärt sig de grundläggande räknestrategierna som de kan generalisera sin kunskap och använda sig av strategierna inom ett specifikt talområde.
Munn och Reason (2007) beskriver den aritmetiska utvecklingen som multidimensionell, vilket innebär att utvecklingen inte är linjär och behöver på så vis inte följa en specifik ordning. Även Dowkers (2005) studie påvisar att olika komponenter inom aritmetiken är relativt oberoende av varandra. Likaså framhåller Somerville, Ayre, Tunbridge, Cole, Stollery och Sanders (2015) i sin analys av elevers utveckling av de aritmetiska förmågorna, genom en matematikinsats utfärdad av Essex Educational Psychology Service (EPS), att elever inte behöver lära sig ett specifikt aritmetiskt område innan ett annat. Aunio och Räsänen (2016), å andra sidan, betonar att utvecklingen av den tidiga taluppfattningen behöver följa en specifik ordning eftersom att det finns fyra avgörande matematiska färdigheter som utvecklas sammanflätade med varandra.
Aunio och Räsänen (2016) beskriver att processen för att lösa en aritmetisk uppgift utgår ifrån elevens kunskaper av att räkna antal för att senare övergå till att eleverna alltmer kan hämta de grundläggande kunskaperna ur minnet. När processen har övergått till att hämtas ur långtidsminnet menar Bentley och Bentley (2011) att kunskaperna inte längre belastar arbetsminnet, som annars kan bli överbelastat.
Det finns olika uppfattningar om aritmetikens olika delar är sammankopplade eller ej, där Somerville m.fl. (2015) menar att elever inte måste lära sig de grundläggande delarna i någon specifik ordning. Aunio och Räsänen (2016) är av en helt annan uppfattning och menar att grundläggande aritmetiska områden utvecklas sammanflätande.
Tidiga insatser
McIntosh (2008) förklarar att tillfälliga matematiksvårigheter är de fel som uppstår som sällan är slumpartade. Istället är det ett resultat av att eleven har försökt att förstå fenomenet men eftersom att felet inte har uppdagats av läraren kan missuppfattningen bli inbiten och bestå upp i vuxen ålder. I likhet med McIntosh (ibid) menar Lunde (2011) att matematiksvårigheter kan bero på didaktiska förklaringar. Då kan det handla om ett räknefel som inte har upptäckts och därmed inte kompenserats för av läraren i undervisningen (2011).
16
Clarke m.fl. (2002) framhåller att de elever som inte har utvecklats inom taluppfattningen efter ett skolår, inte har fått de möjligheter som krävs för att bygga en matematisk förståelse för att lyckas med skolämnet. För att erbjuda alla elever den erfarenhet som krävs för att utveckla deras matematiska förståelse behövs ett tidigt ingripande i skolan. Risken är annars att eleverna visar matematiska sårbarheter och på så vis även hamnar i riskzonen för att inte nå målen (Clarke m.fl., 2002). Även Lunde (2011) poängterar att elever ska erbjudas olika metoder för att utveckla deras matematiska kunnande, vilket inte görs genom att exempelvis endast låta eleven beräkna fler uppgifter av samma sort (2011). Boaler (2017) menar att i princip alla elever kan lyckas med skolmatematiken så länge eleverna får rätt förutsättningar, instruktioner och feedback.
Somerville m.fl. (2015) har utvärderat resultatet av en styrd matematikinsats (EPS) med fem- till sexåringar ifrån 17 skolor i Storbritannien. Insatsens utgångspunkt är där eleven befinner sig kunskapsmässigt idag. Både Clarke m.fl. (2002) och Somerville m.fl. (2015) understryker en tidig insats i skolan. Däremot poängterar Somerville m.fl. (2015) att insatsen inte bör fokusera på elevens matematiska sårbarhet utan istället på elevens styrkor för att skapa en positiv utveckling. Dowker (2005) poängterar att det finns många evidensbaserade läsinsatser men att det finns färre evidensbaserade matematikinsatser för skolor att använda sig av. Målet med EPS-insatsen är att skapa ett flyt så att kunskaperna sedan både kan generaliseras och till slut användas självständigt av eleven (Somerville m.fl., 2015). Resultatet av insatsen visade att eleverna gjorde en betydligt större utveckling inom aritmetiken än de elever som inte medverkade. Utöver de aritmetiska kunskaperna så ökade även elevernas matematiska resonemangsförmåga genom insatsen. Resultatet visade även att eleverna i interventionsgruppen behöll sina nyförvärvade kunskaper efter insatsens slut. Däremot fortsatte inte deras utvecklingshastighet i samma grad efter insatsens slut (Somerville m.fl., 2015).
Sammanfattning
Sammanfattningsvis så beskrivs väsentliga komponenter i barns utveckling av den tidiga taluppfattningen genom många olika begrepp och i olika konstellationer och under olika gruppnamn, men vid en närmre inblick går dessa områden in i varandra. Något som också tydliggörs är vikten av att elever utvecklar sin förmåga inom den tidiga taluppfattningen genom att starta i det konkreta samt i samtal med och mellan elever. Slutligen beskrivs vikten av att utgå ifrån det eleverna redan kan, för att sedan brygga över till nya områden inom aritmetiken.
17
Metod
I inledningsskedet av en studie ställs forskaren inför valet av metod, en kvantitativ eller kvalitativ studie, och valet grundas i studiens syfte (Bryman, 2018). Kvalitativa studier har utvecklats inom det humanistiska vetenskaperna, där det viktiga är att skapa en tydlig helhetsbild. I en kvalitativ studie läggs fokus på beskrivning av, förståelse för och tolkning av den empiri som framkommit (Stukát, 2011). I analysen av en studie med kvalitativ ansats försöker forskaren nå en djupare förståelse av ett fenomen (Bryman, 2018).
Metodval
Utifrån studiens syfte att ta reda på elevers förståelse i den grundläggande taluppfattningen så gjordes valet att använda en kvalitativ metod (Bryman, 2018) och det blev naturligt att använda sig av intervjuer eftersom studien söker svar på huruvida det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) stämmer överens med elevers faktiska kunskaper. Kvalitativa intervjuer används för att försöka skapa en förståelse av informantens erfarenheter och uppfattningar (Kvale & Brinkmann, 2014). Kvale och Brinkmann (2014) lyfter fram möjligheterna med att använda sig av en kvalitativ intervju för att gå på djupet inom ett avgränsat område och att på så vis även använda sig av ett färre antal informanter.
Studien inspireras av en fenomenologisk forskningsansats. När syftet med en studie är att ta reda på människors beskrivningar, uppfattningar och attityder kan en fenomenologisk forskningsansats användas (Denscombe, 2016). Valet av ett fenomenologiskt angreppssätt motiveras genom att denna studie både undersökte elevers inställning till skolämnet matematik samt deras beskrivningar då de löser matematikuppgifter för att ta reda på vilka missuppfattningar som kan upptäckas av det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a).
I nästa steg togs valet att använda sig av en semistrukturerad intervjuform (se bilaga 1) då Bryman (2018) betonar att det bör användas i en kvalitativ studie med ett tydligt mål. Bryman (2018) framhåller även vikten av att ställa öppna frågor, vilket även gjordes i intervjuerna (se bilaga 1). Annars, finns det en risk att studien endast svarar på det vi hade för avsikt att se och inte på vad informanterna egentligen hade att berätta. Vidare menar Bryman (2018) att utifrån elevernas utsagor finns det sedan en möjlighet för forskaren att ställa följdfrågor, vilket är en av styrkorna i den semistrukturerade intervjuformen. En annan styrka är att frågornas ordning bestäms utifrån de intervjuades utsagor och på så vis kan intervjun ta en ny riktning och
18
forskaren kan få syn på andra och nya områden än det som svarar på forskarens hypotes (Bryman, 2018).
Undersökningsgrupp
Intervjuerna genomfördes på en F-3 skola i södra Sverige. Undersökningsgruppen bestod av sex elever i årskurs två som alla en månad tidigare hade genomfört det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a). Deltagarna i undersökningsgruppen valdes utifrån vad Bryman (2018) beskriver som ett målstyrt urval, vilket innebär det fanns tydliga kriterier som gjorde varje informant relevant för studien (Bryman, 2018). De kriterier som ställdes var att informanterna skulle gå i årskurs två och att de skulle ha gått ett år i grundskolan och på så vis ha genomfört det obligatoriska bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) i årskurs ett. Informanterna skulle redan ha genomfört terminens bedömningsstöd och ha givit felaktiga lösningar inom minst tre områden av bedömningsstödet (se tabell 1).
Tabell 1: en översikt av elevernas tidigare resultat av bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) för
höstterminen i årskurs två på mellannivå. Antal rätt i procent, där N betyder det är alla rätt eller 100 %.
Elever Nicole Simon Mia Johan Ivar Ceasar Matematiska områden
(antal rätt i procent)
1. Talraden före/efter 33,3 % 83,3 % 83,3% 33,3% 66,6 % 66,6 % 2. Tals värde 0 % N N N 0 % N 3. Tallinje N N N N 0 % N 4. Dela upp tal N N N N 33,3 % N 5. Storleksordna tal N N N 50 % N N 6. Beräkna addition N 75 % 75 % 0 % 75 % 25 % 7. Beräkna subtraktion N N N N N N 8. Likhetstecknet
Addition N N N 75 % 25 % N 9. Problemlösning Svar utan lösning 0 % 0 % 0 % 0 % 0 %
19
Även Denscombe (2016) beskriver att syftet med ett strategiskt urval är att ta reda på och gå på djupet i informanternas erfarenheter och beskrivningar. På så vis ger denna studie en inblick i dessa sex elevers tidiga taluppfattning. Även Bryman (2018) poängterar att en studie med en kvalitativ ansats aldrig har för avsikt att generalisera resultatet utan istället att nå en djupare förståelse av ett fenomen (Bryman, 2018).
Genomförande
Efter att studiens syfte och bakgrund var preciserat blev det tydligt att elever skulle medverka i den kvalitativa studien, i insamling av empiri, i form av semistrukturerade intervjuer. Eleverna skulle både få svara på frågor kring ämnet och beräkna matematikuppgifter samtidigt som ett samtal kring tillvägagångssätt genomfördes. Jag skrev ett missivbrev till vårdnadshavare och ett till elever (se bilaga 2). I samtal med en matematiklärare på skolan fick jag se elevernas tidigare resultat av bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) och valde tillsammans med läraren ut sex elever som skulle få med sig missivbrevet hem.
Efter att eleverna lämnat tillbaka missivbreven påbörjades intervjuerna kort därefter. Det är viktigt att intervjuer sker i en ostörd miljö för att intervjupersonen ska känna sig bekväm i rollen (Lantz, 1993; Trost, 2005) och därför satt vi i ett ostört och för eleverna känt rum, intilliggande det klassrum där klasskamraterna hade lektion. Intervjuerna inleddes med några allmänna frågor om skolan för att göra informanten trygg i samtalet. De blev även informerade om studiens syfte och hur viktigt deras deltagande var för dess resultat. Det poängterades även att deras deltagande var frivilligt och att de när som helst fick lov att avbryta sin medverkan (Vetenskapsrådet, 2017).
Specifika frågor ställdes till alla informanter (se bilaga 1) och eftersom att intervjun var av semistrukturerad karaktär ställdes även följdfrågor utifrån deras specifika utsagor (Bryman, 2018). Frågorna som ställdes var till största delen av öppen karaktär, då det är viktigt att informanterna ges möjlighet att förklara sina tankar med egna ord (Doverborg & Pramling Samuelsson, 2000).
För att få informanterna att berätta om sina strategier och för att kunna bedöma deras matematiska kunskaper, användes det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) som en artefakt under intervjun. Informanterna fick beräkna några utvalda delar av bedömningsstödet, de delar som de tidigare hade angivit felaktiga lösningar på, samtidigt som ett samtal fördes kring deras matematiska strategier.
20
Intervjuerna spelades in med Malmö universitets diktafon. Efter varje intervju var jag noga med att både spara över det inspelade materialet och även transkribera intervjun, både på grund av säkerhetsskäl och för att inte råka radera intervjun. Deltagarnas namn och kön avidentifierades redan i detta skede (Vetenskapsrådet, 2017). Efter studiens examination kommer materialet att förstöras enligt Vetenskapsrådets forskningsetiska principer (2017).
Analys och bearbetning
Analysarbetet inleddes med transkribering, vilket gjordes i direkt anslutning till varje enskild intervju. Att transkribera direkt efter intervjutillfället gav mig en djupare förståelse och större kunskap kring varje informant. Intervjuerna bottnar i ett fenomenologiskt förhållningssätt, med syfte att ta reda på informanternas uppfattningar.
I nästa del av analysarbetet läste jag transkriptionerna noggrant och vid upprepade tillfällen för att komma åt det bakomliggande stoffet i det informanten verkligen menade (Stukát, 2011). Analysarbetet är inspirerat av en induktiv tematisk ansats (Hayes, 2000). I en induktiv tematisk ansats delas information, som uppkommer vid inläsningen och som verkar intressant för studiens syfte, upp i olika enheter (Hayes, 2000). Kvale och Brinkmann (2014) menar att då forskaren delar upp information för att sedan återgå till helheten kan generera en större förståelse hos forskaren för informanternas berättelser. På ett sådant sätt letade jag efter mönster, samband, skillnader och försökte identifiera viktiga begrepp för studien utifrån informanternas utsagor (Kvale & Brinkmann, 2014). Dessa begrepp färgmarkerades och vid varje tillfälle som jag läste om materialet upplevde jag en vidare förståelse för vad informanten hade förmedlat och ett tydligare mönster i informanternas olika utsagor. Därefter skrevs begreppen ned på post-it lappar för att lättare kunna skapa enheter genom att delas in i olika högar (Hayes, 2000). Eftersom att alla informanter fick möjlighet att svara på samma fasta frågor (se bilaga 1), ledde det till att det blev lättare att hitta likheter och skillnader i analysarbetet. Samtidigt blev det också tydligare när jämförelser mellan informanternas utsagor och deras matematiska resultat kunde göras (Bryman, 2018).
Den sista delen av analysarbetet bestod av att pröva att varje enhet faktiskt genomsyrade hela resultatet, vilket gjordes genom ytterligare genomläsningar av transkriptionerna (Hayes, 2000). Detta arbete prövades och omprövades för att verkligen ta reda på om kategorierna höll (Kvale & Brinkmann, 2014) och därefter fastställdes enheterna som studiens teman (Hayes,
21
2000). Enheterna analyserades med ett induktivt förhållningssätt, vilket innebär att underrubrikerna framkom ur det transkriberade materialet och inte utifrån studiens inledande syfte och frågeställningar (Kvale & Brinkmann, 2014).
Trovärdighet och giltighet
I en studie med en kvalitativ ansats används en tolkning av begreppen validitet och reliabilitet, ifrån studier med en kvantitativ ansats, nämligen trovärdighet och giltighet (Kvale & Brinkmann, 2014).
För att skapa en trovärdig studie genomsyras resultatdelen av representativa citat av informanterna. Dessa citat är utvalda för att representera informanterna och deras tankar utifrån intervjuerna (Stukát, 2011). På så vis kan läsaren lära känna informanterna och kunna följa min tolkning och analys av intervjuerna och på så vis själv avgöra om det gjorts en rimlig tolkning av informanternas kunskaper inom den tidiga taluppfattningen (Stukát, 2011).
Bryman (2018) beskriver svårigheten i att replikera en kvalitativ undersökning. Ett steg i att skapa en hög giltighet är att informanterna har fått svara på samma fasta frågor som finnes i intervjumallen (se bilaga 1). Vidare beskriver Bryman (2018) att det kan ses som en överförbarhet och poängterar vikten av att precisera relationen mellan intervjuare och informant, rummet där intervjuerna gjordes och känslan som infann sig. I detta fall fanns det inte tidigare en relation mellan intervjuare och informanter. Rummet där intervjuerna tog plats var närliggande till deras klassrum och eleverna var vana vid att arbeta ostört där. Jag upplevde att merparten av undersökningsgruppen både var intresserade och visade en glädje i att få berätta om deras tankar av skolämnet matematik samt att förklara hur de resonerade när de löste uppgifter. Däremot var det var en informant som upplevdes osäker i intervjun och som valde att avsluta sin medverkan efter cirka 30 minuter och förklarade att hen inte ville lösa den sista uppgiften.
Etiska överväganden
Etiska överväganden bör genomsyra hela forskningsprocessen, beskriver Kvale och Brinkmann (2017) och på så vis har Vetenskapsrådets (2017) fyra allmänna krav för forskningsetiska
22
principer tagits i beaktning. Eleverna som deltagit i studien är omyndiga och därmed har deras vårdnadshavare fått göra ett skriftligt godkännande av elevernas deltagande. I samtyckesblanketten (se bilaga 2) beskrivs studiens syfte, datainsamlingsmetod och vilka personuppgifter som kommer att involveras i studien. Kvale (1997) beskriver tre etiska aspekter på forskarrollen; det vetenskapliga ansvaret för att visa det kunskapsbidrag som både är värt att presenteras och att det ska vara kontrollerat, relationen till undersökningsgruppen så att inte informanterna försätts i dålig dager samt forskarens oberoende och vikten av göra en opartisk studie.
Gällande kravet av konfidentialitet (Vetenskapsrådet, 2017) har både elevernas kön blivit avkodat i studien och eleverna har även fått fiktiva namn genom hela studien. I missivbrevet (se bilaga 2) framhålls det även att eleverna när som helst kan avbryta sin medverkan (Vetenskapsrådet, 2017), vilket återigen tydliggjordes för eleverna vid intervjutillfället. Intervjuerna spelades in med Malmö universitets diktafon och laddades därefter upp på en säker server, efter avslutad kurs kommer materialet att raderas i enlighet med Vetenskapsrådets forskningsetiska principer (2017), vilket både elever och vårdnadshavare är införstådda i (se bilaga 2).
23
Resultat och analys
I analysen av intervjuerna framkom två teman, additionsstrategier och platsvärde, utifrån analysen av elevernas resultat i kombination med deras resonerande när de arbetade med det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a).
Nedan finnes en tabell över elevernas resultat av det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a), både ifrån det första tillfället då det genomfördes i helklass i klassrummet och vid andra tillfället som inföll under studien, i ett avskilt rum tillsammans med en pedagog.
Tabell 2: Antal rätt i procent av det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) för höstterminen i
årskurs två på mellannivå. N betyder det är alla rätt eller 100 %. I fetstil ses de delar som eleverna även fick göra vid det andra tillfället.
Elever Nicole Simon Mia Johan Ivar Ceasar
Första & andra tillfället Första tillfället Andra tillfället Första tillfället Andra tillfället Första tillfället Andra tillfället Första tillfället Andra tillfället Första tillfället Andra tillfället Första tillfället Andra tillfället Matematiska områden 1.Talraden före/efter 33,3 % N 83,3 % N 83,3 % N 33,3% 66,6 % 66,6 % 66,6% 66,6 % N 2.Tals värde 0 % N N N N 0 % N N 3.Tallinje N N N N 0 % N
4.Dela upp tal N N N N 33,3 % N
5.Storleksordna tal N N N 50 % 90 % N N 6.Beräkna addition N 75 % N 75 % N 0 % N 75 % 75 % 25 % 75 % 7.Beräkna subtraktion N N N N N N 8.Likhetstecknet Addition N N N 75 % 25 % N 9. Problemlösning 66,6% Deltog ej 0 % N 0 % N 0 % 0 % 0 % 33,3% 0 % 33,3 %
Merparten av undersökningsgruppen visade en större förståelse vid det andra tillfället gällande talraden, att beräkna addition och vid problemlösningsuppgiften. Vad som gör att eleverna visar en större förståelse har inte undersökts i denna studie men det får tas i beaktande att vid det första tillfället gjordes bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) i helklass medan vid det andra tillfället gjordes det enskilt med en uppmuntrande lärare. Det var också cirka en månad mellan
24
det första och andra tillfället, vilket också kan innebära att eleverna på denna tid har lärt sig mer inom området.
Additionsstrategier
Det första temat i studien framkom när eleverna beräknade additionsuppgifter och det blev tydligt att de använde sig av många olika strategier för att lösa uppgifterna. Ett fåtal av informanterna i undersökningsgruppen använde sig av olika strategier vid alla uppgifter, ibland mer konkreta och ibland mer abstrakta strategier och kunde inte beskriva varför de använde de olika strategierna. Detta fåtal av undersökningsgruppen representeras av Johan i nedanstående citat:
Uppgift 6a. Beräkna. 6+5=__ ”Eh, … Får jag rita?” ”Okej, då gör jag fem här…och sex. En, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta, nio, tio, elva. Elva...? Nej, jag får räkna om”. Då markerar Johan varje ring han har ritat, medan han räknar ihop dem igen och kommer igen fram till talet elva igen.
Uppgift 6b. Beräkna. 13+7=__ Tar upp sju fingrar och börjar räkna: ”14, 15, …20. Det är 20.”
Uppgift 6c. Beräkna. 3+4=__ Tar upp tre fingrar och sedan ytterligare fyra och tar snabbt ned fingrarna och utbrister ”sju.” och skriver talet.
Ett flertal av eleverna använde sig av huvudräkningsstrategier för att lösa talen istället för att ta hjälp av externa artefakter, vilket representeras av Mia:
Uppgift 6a. Beräkna. 6+5. ”Fem plus fem är ju tio och tio plus ett, elva.” Uppgift 6b. Beräkna. 13+7. ”Tre och sju, tio plus tio. Tjugo.”
Uppgift 6c. Beräkna. 3+4. ”Fyra minus ett är tre, tre och tre är sex och sex plus ett, sju.”
Vid problemlösningsuppgiften använde de flesta av undersökningsgruppen sig av samma strategi, där de först adderade tiotalen och därefter entalen. Simon får representera merparten av undersökningsgruppen:
25 Uppgift 9. 22+73.
20+70+2+3=95 skriver Simon och förklarar: ”Jag plussar tiotalen till 90 och sen entalen, då blir det 95.”
Här tydliggjorde även Simon, som representerar gruppen, hur strategin fungerar.
Delanalys
Vid den första uppgiften (6a) räknar Johan från talets ordinalitet till kardinalitet, därmed räknar han från början (Bentley & Bentley, 2011). Aunio och Räsänen (2016) beskriver att processen att lösa en aritmetisk uppgift ofta inleds med att räkna antal, för att senare i utvecklingen övergå till att eleven istället hämtar kunskaperna från minnet. På uppgift 6b och 6c räknar Johan istället från talets kardinalitet till ordinalitet och räknar på så vis från delen tillsammans med konkret material (Bentley & Bentley, 2011). Johan använder sig av strategin att räkna på fingrarna, som Olsson och Forsbäck (2008) beskriver som inte hållbar. Strategin är inte hållbar i längden eftersom att elever ofta stöter på problem då fingrarna inte längre räcker till för att lösa uppgiften. Dessutom betonar Olsson och Forsbäck (2008) att en sådan strategi belastar elevens arbetsminne istället för att vissa delar av uppgiften, så som talkamraterna, skulle tas från långtidsminnet.
Johan kunde inte beskriva varför han använde de olika strategierna, vilket Stock m.fl. (2007) beskriver som en lämplig indikator för att förutspå elevers senare aritmetiska sårbarhet. Även Aunio och Räsänen (2016) beskriver beräkning med addition och subtraktion som en av fyra avgörande färdigheterna inom aritmetiken för att förutspå elevers senare matematikinlärning, vilket skulle kunna indikera på att ett fåtal av undersökningsgruppen är i behov av stöd inom den tidiga taluppfattningen. Bentley och Bentley (2011) beskriver att nästa utvecklingssteg inom den tidiga taluppfattningen då skulle vara att kunna uppfatta talets ordinalitet och kardinalitet samtidigt och på så vis räkna från delen utan konkret material.
Mia, som representerar ett flertal av undersökningsgruppen, använde strategin dubbelt så många och därefter adderat med ett, både vid uppgift 6a och 6c. Vid uppgift 6b användes strategin att först addera entalen för att därefter även lägga ihop det med tiotalet. Här har Mia generaliserat kunskaperna inom den tidiga taluppfattningen, eftersom att kunskapen blir funktionell och kan användas och överföras för att lösa uppgifter även inom andra talområden (Löwing, 2008). Med strategin dubbelt så många belastas inte korttidsminnet vid additionen av
26
talet (Olsson & Forsbäck, 2008), vilket leder till att processen har övergått till att hämta kunskaperna från långtidsminnet (Bentley & Bentley, 2011; Aunio & Räsänen, 2016). Här har kunskaperna övergått till det abstrakta (Lundberg & Sterner, 2009) eftersom att olika matematiska strategier behärskas av eleverna och de behöver därmed inte räkna antalet.
Vid problemlösningsuppgiften, där Simon representerade ett större antal av undersökningsgruppen, användes en strategi som är hållbar i längden, eftersom att den inte är beroende av exempelvis antalet fingrar (Olsson & Forsbäck, 2008). Eleverna visade att de kunde uppfatta talets ordinalitet och kardinalitet samtidigt, genom att räkna från delen utan konkret material (Bentley & Bentley, 2011). Både Aunio och Räsänen (2016) och Clarke m.fl. (2002) har med olika begrepp kommit fram till att bland annat beräkning med addition och subtraktion är avgörande färdigheter inom aritmetiken. Där Aunio och Räsänen (2016) även menar att det är en av fyra avgörande faktorer för att förutspå elevers senare matematikinlärning.
Platsvärde
Vid det första tillfället som eleverna utförde det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) upptäcktes en sårbarhet inom området talraden av merparten av undersökningsgruppen. Vid intervjutillfället och i samtal med eleverna uppmärksammades däremot ett tema gällande platsvärde för ett fåtal av undersökningsgruppen. Detta fåtal elever representeras av Ivar i nedanstående citat gällande uppgiften att skriva talets grannar:
Uppgift 1: __ __ 31
”Här står ju tretton, och innan kommer ju tolv och sen elva” sade Ivar och skrev 11 12 31.
Sårbarheten inom platsvärde visade sig på ett liknande sätt vid uppgiften kring att storleksordna tal, vilket representeras av Johan:
Johan utbrister: ”Men oj, jag glömde ju skriva 49” och suddar ut de tal han satt i storleksordning för att börja med talet 94. Sedan fortsätter han ordningen genom 53, 78, 69, 100. Han läser ordningen ”49, 53, 78, 96, 100”.
27
Även vid additionsuppgifterna och vid problemlösningsuppgiften framkom det att en sårbarhet gällande platsvärde kunde ställa till det för elevens uträkning. Här får Johan representera ett fåtal ur gruppen då han beräknade 22+37 istället för 22+73.
Delanalys
En matematisk sårbarhet inom platsvärde visade sig i analysen av resultatet ha påverkat flera olika delar av bedömningsstödet (Skolverket, 2019a). I sammanställningen av elevernas resultat yttrade sig denna sårbarhet istället som en sårbarhet inom talens ordning på talraden, att storleksordna tal, att lösa additionsuppgifter eller att lösa problemlösningsuppgifter. Men i samtal med eleverna så visade det sig att de läste omkastade tal och arbetade sedan utifrån det lästa talet på ett korrekt sätt, och inte det som egentligen stod i uppgiften och därav såg det fel ut i sammanställningen av elevernas resultat. I samtal med eleverna upptäcktes detta missförstånd, vilket normalt inte skulle ha upptäckts direkt eftersom att ett efterföljande samtal med eleverna inte är beskrivet i det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a). Somerville m.fl. (2015) poängterar att en matematiksatsnings utgångspunkt bör vara elevens matematiska färdigheter och inte dess matematiska sårbarhet. Med en sådan utgångspunkt blir det mindre utrymme för missförstånd kring elevernas kunskaper och samtidigt poängteras det att det skapar en positiv utveckling. I dess motsats är Clarke m.fl. (2002) som menar att eleverna bör få en tidig insats gällande de områden som eleverna inte har befäst efter ett år i skolan. Samtidigt poängterar Clarke m.fl. (2002) att lärarna behöver ett bedömningsmaterial som fångar in elevernas nuvarande kunskaper inom taluppfattning för att planera en undervisning som kan utveckla elevernas taluppfattning (Clarke, m.fl., 2002).
Clarke m.fl. (2002) definierade begreppet aritmetisk kunskap som bland annat platsvärde och addition och subtraktion, vilket tyder på att det finns ett tydligt samband mellan dessa områden. Aunio och Räsänen (2016) har framhållit platsvärde som en av de mest avgörande färdigheterna inom aritmetiken. Dock, platsvärde i kombination med seriation, klassificering, aritmetiska principer, matematiska symboler och tiobassystem som en del i färdigheten som Aunio och Räsänen (2016) benämner som förståelse av matematiska relationer. I det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) höstterminen i årskurs två kontrolleras dock inte resterande delar ur Aunio och Räsänen (2016) färdighet matematiska relationer.
28
Sammanfattande analys
Sammanfattningsvis har två teman uppkommit ur studiens resultat. Där det första temat är additionsstrategier. Det blev tydligt att ett fåtal av undersökningsgruppen använde sig av flera olika strategier. Merparten av undersökningsgruppen visade att de använde sig av en tydlig arbetsgång och hade generaliserat kunskaperna (Löwing, 2008; Olsson & Forsbäck, 2008; Bentley & Bentley, 2011; Aunio & Räsänen, 2016). Både Aunio och Räsänen (2016) och Clarke m.fl. (2002) betonar beräkning med addition och subtraktion som avgörande färdigheter inom aritmetiken, vilket tydliggörs genom det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a). Aunio och Räsänen (2016) menar dessutom att det är en av fyra indikationer på elevers fortsatta matematikinlärning, vilket i detta fall skulle betyda att resultatet tyder på att ett fåtal av eleverna behöver tydliga insatser för att inte ha bestående missuppfattningar inom området.
Det andra temat som uppstod i studien var vikten av att eleverna har en god förståelse inom det matematiska området platsvärde. Både Clarke m.fl. (2002) och Aunio och Räsänen (2016) benämner platsvärde som en av de mest avgörande faktorerna inom aritmetiken. Detta tydliggjordes genom att elevernas sårbarhet inom platsvärde ställde till det för eleven även inom andra områden i den tidiga taluppfattningen och i flera delar av det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a). En matematisk sårbarhet inom platsvärde kan således utge sig för att vara en annan sårbarhet, eftersom att det är svårt att upptäcka den om inte ett samtal förs med eleven gällande elevens resonemang och strategier för att lösa uppgifterna.
29
Diskussion
Både Aunio och Räsänen (2016) och Clarke m.fl. (2002) har med olika begrepp framhållit platsvärde, beräkning med addition och subtraktion som avgörande färdigheter inom aritmetiken. Dessa områden har även visat sig vara de områden som informanterna i undersökningsgruppen i denna studie fick arbeta med i det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a).
Resultatdiskussion
Frågeställningen angående vilka strategier elever använder inom den tidiga taluppfattningen, besvaras i resultatdelen där det framkom att ett mindre antal av eleverna inte verkade veta vilka strategier som är mest effektiva för den specifika uppgiften. Denna slutsats dras från resultatet då samma elev kunde använda sig av tre olika strategier för att lösa liknande huvudräkningsuppgifter. Stock m.fl. (2007) beskriver att förståelsen av varför en matematisk strategi fungerar kan ses som en lämplig indikator för att förutspå elevers senare aritmetiska sårbarhet. Johan (se resultat) som blandade mellan strategierna att rita upp båda talen som skulle adderas för att räkna ihop alla föremål och vid nästa tillfälle visade han endast det tal som skulle adderas med hjälp av fingrarna, visade inte en förståelse för varför en strategi fungerade eller vilken som var mest lämplig för uppgiften. Johan beräknade ibland från början och ibland från delen (Bentley och Bentley, 2011). Aunio och Räsänen (2016) poängterar dock att beräkna uppgifter är en process från att endast använda sina kunskaper om att räkna antal, vilket Johan gjorde i exemplet, till att istället hämta kunskaperna från minnet så som Mia gjorde (se resultat). När elever utnyttjar kunskapen om exempelvis talkamraterna så görs generaliseringar som avlastar arbetsminnet vid arbetet med matematikuppgifter (Bentley & Bentley, 2011; Lundberg & Sterner, 2009; Löwing, 2008; Olsson & Forsbäck, 2008). När det synliggörs att eleverna inte har en tydlig tanke i valet av en matematisk strategi för att lösa en uppgift, blir mitt kunskapsbidrag som framtida speciallärare att undervisa eleverna i detta, för att förtydliga vilka strategier som är lämpliga för uppgiften och/eller vilka strategier som är hållbara eller inte hållbara exempelvis.
Med utgångspunkt i analysen fångar studien in den andra frågeställningen gällande på vilket sätt de missuppfattningar som bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) visar överensstämmer med elevens faktiska kunskaper. Till största del så verkar de missuppfattningar
30
som syns i översikten av elevernas resultat (se tabell 2) överensstämma med elevernas faktiska kunskaper. Däremot så framkom det att ett fåtal av undersökningsgruppen visade en matematisk sårbarhet för talens ordning på talraden, att storleksordna tal och att lösa additionsuppgifter. Men, genom samtal med eleverna framkom det att eleverna gjorde rätt beräkning med de tal som de hade läst men trots det så blev det felaktiga lösningar eftersom att de hade läst omkastade tal. Det framkom även att sårbarheten istället var inom platsvärde vilket det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) varken testar eller preciserar. Här blev det tydligt att om ett test ska kunna ge en korrekt bild av elevers faktiska kunskaper utan missförstånd bör en komplettering göras i form av ett samtal med de elever som givit felaktiga lösningar.
Platsvärde beskrivs som en avgörande komponent inom aritmetiken både av Aunio och Räsänen (2016) och Clarke m.fl. (2002) och av den anledningen så skapas en tanke om att det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) även bör testa elevernas kunskaper inom detta område. I resultatet av studien tydliggjordes det att sårbarhet inom platsvärde även kan ha en stor inverkan på andra väsentliga delar i elevers tidiga taluppfattning. Kanske finns det ett samband mellan aritmetiska områden, precis som Aunio och Räsänen (2016) framhåller. Där de beskriver vikten av att utveckla de fyra avgörande kunskapsområden tillsammans, för att skapa en god utveckling av matematiska färdigheter inom aritmetiken, eftersom att färdigheterna utvecklas sammanflätande. Detta är dock i rak motsats till Clarke m.fl. (2002) studie, där de inte kunde komma fram till några sådana samband. Clarke m.fl. (2002) menade därmed att det är svårt att dra slutsatser mellan olika aritmetiska sårbarheter.
Relevansen av bedömningsstöd i skolämnet matematik
I denna studie fick eleverna arbeta med samma test vid två tillfällen, en gång i helklass och en gång i ett avskilt rum tillsammans med specialläraren i matematikutveckling. Mellan dessa två tillfällen hade det gått en månad och i samtal med läraren då eleverna skulle väljas ut framgick det att de inte hade fått några specifika insatser kopplade till resultatet än. De flesta av eleverna gjorde ett bättre resultat vid det andra tillfället, vilket skulle kunna bero på att de fick arbeta med samma uppgifter igen eller att de lärt sig detta under den månad som hade passerat. Det finns även en möjlighet att provsituationen kan ha påverkat resultatet. Eleverna är inte vana vid provsituationer i helklass, utan kanske presterade de bättre då de hade en pedagog bredvid som både uppmuntrade och bekräftade arbetet. Alla elever mådde dock inte bättre av att sitta med en främmande pedagog och tala matematik, vilket blev tydligt då en elev ville avbryta sin
31
medverkan tidigare och därmed inte beräknade den sista uppgiften av bedömningsstödet (Skolverket, 2019a).
Bedömningsstödets syfte (Skolverket, 2019b) är att läraren ska upptäcka tendenser av matematisk sårbarhet inom den tidiga taluppfattningen och därefter planera en matematikundervisning utefter resultatet. Vidare förklarar Bentley och Bentley (2011) att hur matematikundervisningen bedrivs påverkar på vilket sätt elever utvecklar en matematisk förståelse. Medan Lunde (2011) tar det ett steg längre genom att framhäva att vissa matematiksvårigheter faktiskt kan grundas i didaktiska förklaringar. Även McIntosh (2008) belyser tillfälliga matematiksvårigheter som innebär att felen som uppstår är ett resultat av att eleven har försökt förstå situationen och eftersom att missuppfattningarna inte har uppdagats av läraren blir de inbitna och kan bestå upp i vuxen ålder. Clarke m.fl. (2002) framhäver att undervisa elever i matematiksvårigheter inte är enkelt och även att det är svårt att hitta samband mellan elevers matematiska sårbarhet. Därav betonar Clarke m.fl. (2002) att lärarna behöver ett bedömningsmaterial som kan fånga in elevernas nuvarande kunskaper och eventuellt matematisk sårbarhet inom taluppfattning. Med denna översikt bör läraren bedöma elevernas kunskaper och planera en undervisning som kan utveckla elevernas taluppfattning (Clarke, m.fl., 2002). Medan Somerville m.fl. (2015) istället betonar att insatserna bör utgå ifrån elevernas styrkor för att skapa en positiv utveckling. Samtidigt menar Munn och Reason (2007) och Somerville m.fl. (2015) att undervisningen av aritmetik inte behöver följa en specifik ordning. Dowker (2005) tar det dessutom ett steg längre genom att beskriva att komponenter inom aritmetiken är relativt oberoende av varandra. Därav skulle kanske en insats grundad i elevernas matematiska styrkor istället för dess sårbarhet ge en sådan positiv utveckling utan att eleverna missar någon viktig del av matematikundervisningen. Det skulle innebära att insatser görs utifrån elevernas styrkor för att brygga över kunskapen till det som de visar matematisk sårbarhet inom, och på så vis samtidigt även skapa en positiv inställning till ämnet.
Det framgår att det obligatoriska bedömningsstödet för årskurs ett (Skolverket, 2019a) är väl förankrat i forskning som gjorts kring den tidiga taluppfattningens utveckling. Uppgifternas matematikområden är kopplade till bland annat Gallistel och Gellmans fem grundläggande räkneprinciper (1978). Det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) för höstterminen i årskurs två består däremot endast av skriftliga uppgifter och innehåller därmed endast ett av Stock m.fl. (2007) sex förnumeriska kunskapsområden för att förutspå variationen inom taluppfattning, förmågan att utföra en aritmetisk uppgift (eng: procedural counting knowledge). Resterande fem områden undersöks med fördel genom muntliga samtal. Av de fyra avgörande färdigheterna för en god utveckling av aritmetiska kunskaper som Aunio och Räsänen (2016)
32
har kommit fram till, ingår färdigheten aritmetiska baskunskaper i det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) och till viss del även färdigheten förståelse av matematiska relationer. Resterande två färdigheter undersöks även dem med fördel genom muntliga samtal (Aunio & Räsänen, 2016).
Däremot, så framgår det inte att matematikuppgifternas utformning har blivit granskade så att uppgifternas resultat verkligen kan visa ifall eleven har en god taluppfattning och/eller vilka eventuella delar som eleven visar en sårbarhet inom. Många aritmetiska områden som är vitala för att upptäcka om eleverna har en god taluppfattning (Aunio & Räsänen, 2016; Stock m.fl., 2007) bör kontrolleras genom muntliga tester, vilket endast utförs höstterminen i årskurs ett i det obligatoriska bedömningsstödet (Skolverket, 2019a).
När bedömningsstödet (Skolverket, 2019b) är genomfört ska resultatet ligga till grund för planeringen av undervisningen. De elever som visar en matematisk sårbarhet ska få insatser i form av extra anpassningar och kanske till och med särskilt stöd i undervisningen. I dagsläget läggs det mycket ansvar på den undervisande läraren att både utföra och tolka resultatet av bedömningsstödet för att se vilka insatser som bör sättas in för att eleven ska uppnå kunskapskraven samtidigt som den ordinarie undervisningen ska planeras. Kanske bör speciallärarens roll bli större gällande vilka extra anpassningar som kan göras för att främja elevens utveckling. Detta har tydliggjorts i Skollagen (SFS 2010:800) där det beskrivs att en pedagog med specialpedagogisk kompetens ska vara med i arbetet kring de extra anpassningar som görs för elever i undervisningen (SFS 2010:800, 3 kap. 4 a §). Det beskrivs även att elever har rätt till tidigt stöd (SFS 2010:800, 3 kap. 5 §), men hur stödet kan utformas är upp till varje skola att bestämma.
Clarke m.fl. (2002) har kommit fram till att de elever som efter ett års skolgång inte har utvecklats inom den grundläggande taluppfattningen måste identifieras. De menar även att eleverna måste få en undervisning som kan utveckla deras matematiska förmågor för att inte hamna i riskzonen att inte nå målen längre fram. Somerville m.fl. (2015) har av en liknande inställning till tidiga insatser. De utvärderade en särskild matematikinsats och kom fram till att de elever som fick denna insats gjorde betydligt större framsteg än de som fick den ordinära insatsen som skolan alltid ger.
När Aunio m.fl. (2006) analyserade ENT-Fin, kom de fram till att det var ett användbart screeningverktyg för att identifiera unga barn som visar en matematisk sårbarhet. Mot denna bakgrund så väcks en tanke om att istället för att utgå ifrån att det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) fångar in hela bilden av elevers kunskaper inom den tidiga
33
taluppfattningen, kanske materialet hellre bör ses som ett verktyg för lärare att få syn på viktiga matematiska funktioner i barns tidiga taluppfattning.
Specialpedagogiska implikationer
Genom att läsa tidigare forskning har det blivit tydligt att det inte verkar finnas bestämda begrepp för grupper av matematiska områden. Olika forskare använder sig av egna begrepp för områden eller begrepp på egna grupper av områden, exempelvis så har både Aunio och Räsänen (2016) och Stock m.fl. (2007) kommit fram till betydelsen av förmågan att snabbt kunna uppfatta små mängder, subitisering, och representationer av tals storlek för en god utveckling inom taluppfattning. Men Aunio och Räsänen (2016) benämner denna grupp som symbolisk och icke-symbolisk taluppfattning medan Stock m.fl. (2007) benämner gruppen som förmågan att kunna jämföra tals storlek (eng: magnitude comparison). Att det inte finns tydliga namn på grupper av begrepp gör att det blir svårt att tillgängliggöra den forskning som finns, för alla. Speciallärarens roll på en skola är bland annat att fortbilda övriga lärare och pedagoger, vilket skulle kunna innebära att berätta om den senaste forskningen för att tillgängliggöra den för alla. En stark specialpedagogisk implikation som har genomsyrat hela min studie är att det är viktigt att elevernas grundläggande kunskaper följs upp systematiskt både för att kontrollera att resultaten av bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) överensstämmer med elevens faktiska matematikkunskaper och för att undervisningen möter eleven i dennes närmsta utvecklingszon. En förebyggande insats utifrån studiens resultat skulle kunna vara att komplettera de skriftliga bedömningsstöden (Skolverket, 2019a) med enskilda samtal med de elever som har påvisat en sårbarhet inom något eller några områden. Genom samtalet kan sedan ett åtgärdande arbete utföras genom att läraren förstår hur eleven har tänkt och därmed även avgöra om det handlar om den matematiska sårbarhet som bedömningsstödet har påvisat eller om det kanske handlar om en helt annan missuppfattning, så som i fallet med platsvärde i denna studie.
En annan specialpedagogisk implikation efter att ha gjort denna studie är att ta reda på hur resultatet av det nationella bedömningsstödet (Skolverket, 2019a) faktiskt påverkar undervisningen. Används resultatet som det är tänkt som en utgångspunkt för läraren i planeringen av undervisningen och på så vis blir en förebyggande insats, eller används det mer som ett konstaterande att elever kan eller inte kan vissa aritmetiska områden. Som speciallärare skulle jag vilja stötta lärare i att följa upp elevers kunskaper, som ett åtgärdande arbete genom att säkerställa att undervisningen sker inom elevernas närmsta utvecklingszon. I ett sådant
