Parenteser i samband med
prioriteringsregler
Hur de uppfattas och används av elever i årskurs 8
AnnaSara Karlsson
Examensarbete 15 hp Handledare
Inom Lärande Robert Gunnarsson
Lärarutbildningen Examinator
HÖGSKOLAN FÖR LÄRANDE OCH KOMMUNIKATION (HLK) Högskolan i Jönköping Examensarbete 15 hp inom Lärande Lärarutbildningen Höstterminen 2011
SAMMANFATTNING
AnnaSara KarlssonParenteser i samband med prioriteringsregler Hur de uppfattas och används av elever i årskurs 8
Antal sidor: 42
Tidigare studier har beskrivit en stark koppling mellan aritmetik och algebra och flera av de svårigheter som elever har med algebra antas därför grunda sig i svårigheter i aritmetiken. En sådan svårighet är parenteser och forskning har funnit att elever har en statisk syn på dessa då de endast ser den som en signal på vad som ska beräknas först i ett tal.
Syftet med denna studie var att undersöka och beskriva vilka uppfattningar elever i årskurs 8 har då det gäller parentesen som matematisk symbol såväl som parentesens funktion. De
frågeställningar som studien avsåg att besvara var hur elever uppfattar parentessymbolen i matematik, hur elever uppfattar att beräkningar kan struktureras med parenteser och hur elever uppfattar situationer där parenteser är nödvändiga.
Ett individuellt skriftligt arbetsblad innehållande både uppgifter med och utan svarsalternativ användes som utgångspunkt för analys och detta delades ut till 84 elever i fem olika klasser i årskurs 8. Efter analysen framkom tre kategorisystem kopplade till var sin frågeställning, i vilka elevernas skilda uppfattningar representeras. Resultaten av denna studie visade att elevers uppfattningar och användande av parenteser påverkas av såväl deras förståelse för parentesbegreppet samt deras förståelse för prioriteringsregler.
Sökord: matematik, prioriteringsregler, parenteser, struktur, uppfattningar, elever
Postadress Högskolan för lärande och kommunikation (HLK) Box 1026 551 11 JÖNKÖPING Gatuadress Gjuterigatan 5 Telefon 036–101000 Fax 036162585
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
2 Bakgrund ... 3
2.1 Definitioner av begrepp ... 3
2.2 Övergången från aritmetik till algebra ... 3
2.3 Parentesbegreppet ... 4
2.4 Parenteser i samband med prioriteringsregler ... 5
2.5 Parenteser och struktur ... 7
2.6 Tänkta parenteser ... 9
3 Syfte och frågeställningar ... 11
4 Metod ... 12 4.1 Vetenskaplig forskningsansats ...12 4.2 Metodval ...12 4.3 Utformning av arbetsblad ...13 4.4 Urval ...14 4.5 Forskningsetiska överväganden ...15
4.6 Genomförande och bortfall ...15
4.7 Dataanalys och redovisning av data ...16
4.8 Giltighet och tillförlitlighet ...16
5 Resultat och diskussion ... 19
5.1 Elevers uppfattning av parentessymbolen i matematik ...19
5.1.1 Som ett par ...19
5.1.2 Inte som ett par ...20
5.1.3 Skapar nya par ...22
5.2 Elevers uppfattning av hur beräkningar kan struktureras med parenteser ...23
5.2.1 Grupperar efter prioritering ...23
5.2.2 Grupperar subtraktion ...25
5.2.3 Grupperar sekventiellt ...26
5.2.4 Flyttar fram parentes ...27
5.2.5 Avskiljning ...28
5.3 Elevers uppfattning av situationer där parenteser är nödvändiga ...29
5.3.1 Använder onödiga parenteser ...30
5.3.2 Använder prioriterande parenteser ...31
5.3.3 Använder parenteser utan matematisk funktion ...31
5.3.4 Använder parenteser som multiplikation...33
5.3.5 Använder inga parenteser ...33
5.4 Övergripande diskussion ...34 5.5 Metoddiskussion ...37 6 Fortsatt forskning ... 38 7 Referenser ... 39 Bilagor: Bilaga 1: Arbetsblad Bilaga 2: Informationsbrev
1
1 Inledning
Svenska elevers resultat i matematik i årskurs 8 följer en negativ trend då deras resultat ständigt försämras. Detta visar resultaten från 1995, 2003 och 2007 års versioner av den internationella studien TIMSS1, som
jämför elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap (Skolverket, 2008). Även PISA2, som också den
är en internationellt jämförande studie, visar att det svenska resultatet i matematik har försämrats då undersökningarna från år 2003 och 2009 jämförs (Skolverket, 2010). Utbildningsminister Jan Björklund menar att Sverige halkar efter och att denna utveckling måste stoppas för att vi ska kunna få duktiga ingenjörer, forskare och ekonomer i vårt land. Regeringen satsar nu därför ekonomiska resurser för att på olika sätt försöka lyfta matematikämnet (Utbildningsdepartementet, 2011) vilket tyder på att matematiken ses som ett viktigt ämne i skolan.
Ett område inom matematiken som TIMSS pekar ut som speciellt svårt för svenska elever är algebra (Skolverket, 2008). Problem inom algebra är dock inte specifikt för svenska elever utan svårigheter i samband med inlärning av algebra har undersökts både nationellt och internationellt (Booth, 1988; Herscovics & Linchevski, 1994; Persson, 2005). Enligt Persson (2005) kan elevers brister i algebra delas in i tre olika kategorier där en av dem är brister i aritmetiska färdigheter. De aritmetiska områden Persson (2005) räknar in i detta är prioritetsregler för räknesätten, parentesers betydelse och ”osynliga” parenteser, bråktal och bråkräkning, negativa tal och minustecknets betydelse. Även Herscovics och Linchevski (1994) menar att en del av problemen i tidig algebra har sin uppkomst i elevernas aritmetiska bakgrund. De menar att det är svårt att uppfatta dessa problem på en aritmetisk nivå men att detta kan vara svårigheter som blir till stora kognitiva hinder i elevernas kommande algebrainlärning.
Aritmetikens betydelse för algebrainlärning betonas alltså av flera studier (Booth, 1988; Breiteig & Grevholm, 2006; Chun-Ip & Ah-Chee, 1997; Herscovics & Linchevski, 1994; Persson, 2005) och studier visar även att många av de svårigheter som uppkommer i algebra även förekommer i en aritmetisk kontext (Linchevski & Livneh, 1999). Banerjee och Subramanian (2011) trycker särskilt på förmågan att handskas med parenteser som en kritisk komponent i förståelsen för algebra. Detta exemplifieras i studien av Pillay, Wilss och Boulton-Lewis (1998) som visade indikationer på att elever i årskurs 7 saknade förståelse för parentesens betydelse vid ekvationslösning.
Studien som ligger till grund för detta examensarbete är inriktad mot att undersöka och kartlägga vilka uppfattningar elever har kring parenteser och deras funktion samt hur de använder dem. För att kunna undersöka om problem med parenteser även existerar inom aritmetiken avgränsades studien genom att den utgår från en rent aritmetisk kontext. Studien avgränsades även då den endast inriktar sig på parenteser i samband med prioriteringsregler eftersom det är i samband med dessa som eleverna först
1 Trends in International Mathematics and Science Study 2 Programme for International Student Assessment
2 kommer i kontakt med parenteser i matematiken. Denna typ av kartläggning har inte gjorts tidigare, vilket gör valet av problemområde aktuellt.
I kunskapskraven för elever i årskurs 9 i matematikämnet nämns det att elever ska kunna lösa rutinuppgifter inom bland annat aritmetik och algebra (Skolverket, 2011). Enligt ovanstående resonemang är förståelse för parentesbegreppet en viktig del för att eleverna ska kunna uppnå detta kunskapskrav. Det är därför betydelsefullt att studera elevers uppfattningar av parentesens betydelse och funktion i matematik eftersom förståelse för hur parenteser ska hanteras är en grundläggande aritmetisk färdighet. Att redan i den aritmetiska kontexten ha en korrekt uppfattning om parenteser är oerhört väsentligt för att undvika att missuppfattningar om dessa blir till ett hinder då de möter parenteser i mer avancerad matematik såsom algebra. Genom att kartlägga elevers olika uppfattningar och användande av parenteser kan förhoppningsvis faktorer som medverkar till elevers svårigheter inom det nämnda området gå att finna. Detta skulle i sin tur kunna innebära att undervisningen kan anpassas för att eliminera svårigheterna eftersom kunskapen kan vara till stöd i lärarens enligt läroplanens uppdrag att ta hänsyn till varje elevs individuella behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande (Skolverket, 2011). Genom att kategorisera elevers uppfattningar kring parenteser kan även förhoppningsvis en pusselbit i förståelsen för elevers svårigheter i algebra läggas på plats.
3
2 Bakgrund
2.1 Definitioner av begrepp
För att förtydliga innebörden av vissa begrepp som kommer att användas i denna studie följer här en beskrivning som definierar dessa. Det första ordet är parentes. Det finns flera sorters parenteser (rundparenteser, hakparenteser, klammerparenteser osv.) men i denna studie avses tecknet ( ). Inom matematiken har parentesen en grupperande och prioriterande funktion då den används för att ange grupper av termer eller tal som ska räknas ut först. Nästa begrepp är onödiga parenteser vilket syftar på parenteser som inte ändrar den övriga prioriteringen av räknesätt i ett uttryck. Detta är en fri översättning av begreppet ”useless brackets” som används i studien av Marchini och Papadopoulos (2011). Exempel på onödiga parenteser är yttre parenteser som omger hela uttryck, parenteser kring ental som endast omger en siffra och förstärkande parenteser som förstärker en prioritering i ett uttryck. Motsatsen till onödiga parenteser är prioriterande parenteser vilka syftar till parenteser som ändrar prioriteringen i ett tal. De prioriterande parenteserna kan vara nödvändiga parenteser då de krävs för att ett uttryck (till exempel en likhet) ska vara matematiskt korrekt.
Andra begrepp som kommer att användas är vänster- och högerparentes vilka syftar till endast en del av parentestecknen och då antingen den vänstra halvan eller den högra halvan. Med avskiljning menas i denna studie de fall där elever av någon anledning delar av ett uttryck vid ett minustecken. Detta är en fri översättning av begreppet ”detachment” som används av Herscovics och Linchevski (1994) och Linchevski och Livneh (1999).
Ytterligare två återkommande begrepp är struktur och symbol. Med struktur menas i denna studie på vilket sätt en matematisk enhet består av dess delar vilket innefattar kopplingarna och förhållandena mellan beståndsdelarna (Hoch & Dreyfus, 2004). Ordet symbol kan stå för såväl det rent visuella som dess funktion (Sällström, 1991). I denna studie syftar symbol endast till på vilket sätt något betecknas och innefattar alltså inte den funktion som symbolen har.
2.2 Övergången från aritmetik till algebra
Algebra kan enligt Booth (1988) ses som generaliserad aritmetik vilket innebär att elevers prestationer inom algebra kan påverkas om elever inte greppar olika matematiska procedurer och förhållanden inom den aritmetiska kontexten. Ett exempel på detta är att många elever tror att det är ordningen i vilken operationer är skrivna som bestämmer i vilken ordning som delberäkningar i ett uttryck ska göras och att ett värde på ett uttryck är oförändrat även om ordningen på beräkningarna ändras (Booth, 1988). Även Chun-Ip & Ah-Chee (1997) ser en stark koppling mellan aritmetik och algebra och anser att aritmetiken, förutom att ge grundläggande färdigheter som kan användas i det vardagliga livet, även ligger till grund för
4 algebra. De menar att inlärning av matematik är en oavbruten process av abstraktion och generalisering och att nya begrepp som introduceras grundar sig på redan existerande begrepp. Elevers inlärning av tal i de första klasserna i skolan är på detta sätt starkt beroende av deras upplevelser av manipulationer med konkreta objekt och på samma sätt är grunderna i algebra starkt beroende av elevernas förståelse för egenskaper hos tal som de utvecklar under de första åren i skolan.
I övergången mellan aritmetik och algebra är det viktigt att ge eleverna en riktig uppfattning av parentesers roll då denna är djupt relaterad till den strukturella uppfattningen av uttryck (Okazaki, 2006). Enligt Linchevski (1995) ser dock många elever endast parenteser som en statisk signal som visar vilken operation som ska utföras först. Hon menar därför att eleverna måste förberedas på den mer flexibla användningen av parenteser som krävs i algebra genom att utöka elevers uppfattningar samt ge en mer dynamisk dimension till användandet av parenteser. Andra forskare föreslår även att såväl kunskap kring användning av parenteser som kunskap kring operationslagar ska repeteras och om nödvändigt förstärkas innan algebra påbörjas, så att en utvidgad aritmetisk kunskap kan förbereda eleverna på komplexiteten i algebra (Pillay et al., 1998). Elever behöver alltså förutom att ha kunskap om parentesens prioriterande funktion även förstå behovet av parenteser samt förstå hur ett uttryck påverkas av dem. De behöver också förmågan att använda och hantera dem på ett korrekt sätt.
2.3 Parentesbegreppet
En förståelse för parenteser är alltså viktig i övergången mellan aritmetik och algebra då de bland annat indikerar räkneordning och är väsentliga för den strukturella uppfattningen av ett uttryck (Okazaki, 2006). De är även väsentliga då de hjälper eleven att markera rytm och rörelse i sin räkning (Radford, 2003). Att elever har en statisk syn på parenteser och endast ser dem som en indikation på vad som ska räknas först i ett uttryck (Linchevski, 1995) stöds av Okazaki (2006) som genomförde ett undervisningsexperiment med elever som var av just denna uppfattning. Resultatet av studien visade dock att eleverna tenderade att till slut kunna läsa av såväl ordning som struktur av hela uttryck med hjälp av parenteser. Att elever har en statisk syn på parenteser styrks även av resultatet Warren (2003) fick då förståelse för kommutativa lagen3 och associativa lagen4 undersöktes hos elever som hade gått ut primary
school. Undersökningen visade att eleverna hade större svårigheter gällande den associativa lagen. Eftersom huvudskillnaden mellan de två lagarna är just inkluderingen av parenteser och att positionen på parenteserna ändras istället för att positionen hos talen ändras, menar Warren (2003) att hennes studie tyder på eleverna har en statisk syn på parenteser.
3 Om och är reella tal gäller det att: och (Weisstein, 2003).
5 Även Subramaniam (2004) tar upp att förmågan att kunna hantera parenteser på ett riktigt sätt är en väsentlig komponent i områden där algebra används men att det dock ger upphov till många svårigheter för elever. Han skriver att det traditionella tillvägagångssättet i undervisning kring parenteser, nämligen att visa en uppsättning av regler för hur parenteser ska ”öppnas upp”, kanske inte är tillräckligt för att säkerhetsställa att elever lär sig att hantera parenteser. I sin studie fann Subramaniam (2004) bland annat att elever lättare kan tänka kring den operationella betydelsen vid uttryck på formen än då de är på formen – . Forskning har även visat att elevers svårigheter med parenteser kan bero på att de inte ser ekvivalensen mellan att använda parenteser som en indikation på vad som ska beräknas först och regler för att öppna upp parenteser (Banerjee & Subramaniam, 2004).
Elevers begränsade syn på parenteser visas även i studien av Hewitt (2005) där elever i årskurs sju till elva ombads att översätta uttryck från ord till ekvation och vice versa. Resultatet visade att eleverna verkade lägga betoningen på de visuella symbolerna eller ord de såg snarare än de matematiska operationerna som representerades eller som medfördes genom dessa symboler eller ord. Ett exempel på detta är i fall parentesen i talet endast ses som en parentes eller även som en indikation på räkneordning eller att en multiplikation tar plats. Hewitt (2005) fann att reglerna att översätta från ord till ekvation och tvärtom verkade dominera över om ekvationen som eleverna skrev var matematiskt korrekt eller inte. Ett exempel på detta är då ”eight minus brackets two + three equals three” översattes med . Detta tyder enligt Hewitt (2005) på att eleven har översatt varje ord med en symbol, vilket har tagit över synen på vad parentesen spelar för roll i ett matematiskt uttryck och den matematiska meningen av ekvationen som helhet. Detta är dock inte en perfekt en-till-en översättning då ”brackets” är i plural och endast den ena delen av parentesen är med i översättningen. I och med att pluralitetet uppges finns det en konflikt mellan att följa grammatiken i uttrycket och den konventionella restriktionen för formell beteckning. Detta då parentesens början och slut vanligtvis inte skrivs bredvid varandra i ett matematiskt uttryck samt då ordet ”bracket” eller ”brackets” inte återkommer i meningen vilket gör att flera vänsterparenteser inte kan stängas senare med tillhörande högerparenteser. Ett annat exempel från studien som visar på en mycket begränsad medvetenhet av beteckningskonventionerna och den matematiska roll som parenteser spelar i uttryck är då ”three bracket four plus two bracket equals eighty” översattes med (Hewitt, 2005).
2.4 Parenteser i samband med prioriteringsregler
En viktig skillnad mellan aritmetik och algebra är att konventionen relaterad till algebraisk struktur ofta kan kringgås i aritmetiken. Om det till exempel hade blivit överenskommet att varje möjligt parentespar skulle sättas in i varje aritmetiskt uttryck så hade behovet av en konvention för i vilken ordning de olika räknesätten ska räknas kunnat undvikas i de flesta fall. Detta skiljer sig från metoden i algebra, där inte ens
6 lösning av enkla ekvationer kan hanteras utan en konvention kring räkneordning (Liebenberg, Linchevski, Olivier & Sasman, 1998).
När det gäller undervisning kring räkneordning är det typiska sätt som matematikböcker tar upp prioriteringsregler på att uppge följande ordning på räknesätten: parenteser, exponenter, multiplikation och division (från vänster till höger) och addition och subtraktion (från vänster till höger) (Glidden, 2008). Många elever använder även olika minnesregler för att komma ihåg i vilken ordning räknesätten ska räknas, exempelvis ”Please Excuse My Dear Aunt Sally” eller “PEMDAS” (parentheses, exponents, multiplication, division, addition, and subtraction) (Glidden, 2008). Svenska varianter av dessa minnesregler är PEMDAS (Parenteser, Exponenter, Multiplikation, Division, Addition och Subtraktion) och PaMuDiAS (Parenteser, Multiplikation, Division, Addition och Subtraktion). Att prioriteringsregler ofta presenteras som en regel som eleverna förväntas memorera är enligt Gardella (2009) en typ av lärande som många elever har svårt med. Att det i många böcker även presenteras som en överenskommelse mellan matematiker hjälper inte eleverna då det ännu mer tydligt blir ännu en regel att komma ihåg. Istället måste matematiklärare göra matematiken begriplig för eleverna även när det gäller prioriteringsregler (Gardella, 2009). Detta menar även Kieran (1979) som anser att elever måste utveckla ett behov av parenteser för att de ska acceptera och använda dem. Det hjälper inte att bara veta vilken regel som ska användas och varför den fungerar utan eleverna måste först förstå nödvändigheten med regeln. Detta resonemang kopplar hon samman med relationell förståelse som enligt Skemp (1976) definieras som förmågan att både veta vad som ska göras och varför. Den relationella förståelsen för enligt honom med sig att elever har lättare för att komma ihåg regler och använda sin befintliga kunskap på nya områden. I sin studie fann Kieran (1979) att elever tenderade att lösa uppgifter från vänster till höger precis som de läser och skriver trots att de undervisats kring parenteser och prioriteringsregler sedan tidigare. Resultatet i hennes studie visade även att elever på grund av detta ansåg det vara onödigt att sätta parentes kring den första operationen då de likväl räknade från vänster till höger. Ett exempel på detta var att elever inte såg behovet av att använda en parentes kring då det skulle multipliceras med . Istället sågs en parentes kring en multiplikation liksom i uttrycket som nödvändig. En annan konsekvens av att en del elever ville räkna från vänster till höger visade sig då de arrangerade om i uttrycken så att parentesen skrevs först. Detta visade på en missuppfattning av regeln att parenteser ska räknas först då den inte bara räknades först utan även placerades först.
I en annan studie som berörde förståelsen för prioriteringsregler hos elever i årskurs 7, 8 och 9 visade resultatet att de flesta eleverna i årskurs 8 och 9 förklarade räkneordning på ett tillfredsställande sätt medan andelen var lägre i årskurs 7. Eleverna i årskurs 7 hade dock ännu inte undervisats kring prioriteringsregler och användning av parenteser. Resultatet tolkades som att elevers förståelse för prioriteringsregler utvecklas sekventiellt och att eleverna i årskurs 9 i studien hade nått tillräcklig förståelse för att operera algebraiskt (Pillay et al., 1998). Herscovic och Linchevski (1994) och Linchevski och
7 Livneh (1999) undersökte elevers förståelse för prioriteringsregler i årskurs sex och sju. De fann att många elever utförde additionen före multiplikationen i uttrycket , att betydligt fler elever utförde räkneoperationerna i rätt ordning i uttrycket samt att ingen av eleverna beräknade uttrycket på fel sätt. Även studier av Falle (2007) och Norton och Cooper (2001) visar att flertalet elever är medvetna om parentesernas roll i prioriteringsreglerna och att dessa ska prioriteras först. Detta förklaras av Norton och Cooper (2001), som även fann att elever i årskurs 9 och 10 i secondary school visade en dålig förståelse för prioriteringsreglerna då parenteser inte är centrala, med att parenteserna drar till sig elevernas uppmärksamhet på vad som ska räknas först.
I en studie av Liebenberg, Linchevski, Sasman och Olivier (1999) skulle elever i årskurs sex själva finna regeln för i vilken ordning räkneoperationerna ska utföras i ett tal. Regeln som eleverna fann formulerades på två något skilda sätt där den ena formuleringen var ”dela upp i delar, räkna multiplikation och addera sedan” och den andra var ”sätt parenteser runt multiplikationssumman först och addera sedan”. Båda dessa formuleringar ledde dock till feltolkningar och studien visade att identifikationen av multiplikation som en enhet är ett tydligt problem hos många elever. Möjliga förklaringar till detta som ges är betoningen av att räkna multiplikation först samt inblandning av övergeneraliseringar av tidigare inlärda regler. Ett exempel på en sådan är då talet räknas genom att ta , vilket visar på att övergeneraliseras till . Andra problem som Liebenberg et al. (1999) fann var att en del elever misstolkade regeln att först multiplicera och sedan addera, då uttrycket innehöll mer än en multiplikationsenhet, till att när en multiplikation har gjorts så har regeln använts De fann även att elever räknade sekventiellt och att de parade ihop tal på fel sätt, till exempel två och två utan hänsyn till vilka operationer som fanns i uttrycket.
2.5 Parenteser och struktur
Som tidigare nämnts är parenteser starkt relaterade till den strukturella uppfattningen av ett uttryck (Okazaki, 2006) och Banerjee och Subramaniam (2011) föreslår att stöttning av elevernas medvetenhet av den strukturella likheten mellan aritmetiska och algebriska uttryck är ett bra utgångsläge för att introducera symbolisk algebra.
Struktur inom matematiken kan ses som en vidsynt analys av sättet på vilket en helhet består av dess delar och att denna analys beskriver systemen av kopplingar eller relationer mellan beståndsdelarna (Hoch & Dreyfus, 2004). Warren (2003) använder definitionen på kunskap om matematisk struktur som kunskap om matematiska objekt samt förhållanden mellan dessa objekt och deras egenskaper. Mer specifikt förhållandet mellan kvantiteter (till exempel större/mindre än eller likhet), gruppegenskaper hos operationer (till exempel associativ och/eller kommutativ), förhållandet mellan operationer (till exempel
8 om en operation klassificeras över en annan) samt förhållanden över kvantiteter (till exempel transitivitet5
av likhet och olikhet). Warren (2003) menar att det i den traditionella introduktionen av algebra tas för givet att elever har bekantat sig med de ovan beskrivna begreppen i aritmetiken och att elever kommer till en förståelse av aritmetikens struktur genom induktiv generalisering.
Förmågan att kunna se strukturellt på ett uttryck inbegriper enligt Liebenberg et al. (1998) bland annat att kunna se både den ytliga såväl som den gömda strukturen i ett uttryck. Som ett exempel på detta omnämns att många elever då de ser ett uttryck på formen ser sex tal (dess ytstruktur) medan andra elever ser uttrycket som bestående av endast tre tal (dess dolda struktur). De elever som kan se uttrycket som tre tal kan se som ett enda objekt ( ) och kan då även uppfatta uttryckets struktur på formen med addition som den dominanta operationen. Förmågan att kunna se dolda strukturer i komplexa algebraiska uttryck och att kunna relatera dessa till uttryckets ekvivalenta ”förenklade” form är ett av huvudhindren som elever konfronteras med då de ska hantera uttryck på denna form (Liebenberg et al., 1998).
Hoch och Dreyfus (2004) utförde en studie som undersökte hur förekomsten och avsaknaden av parenteser påverkar strukturkänslan hos elever i high school. Parenteserna i de uttryck som användes i studien hade bara en grupperingsfunktion och kunde på så sätt anses som ”onödiga”. De elever som kategoriserades med strukturkänsla kunde upptäcka samma struktur (understrukturer) i ett uttryck vilka kunde ta ut varandra. De elever som använde sig av metoder som att öppna upp parenteser och/eller hitta minsta gemensamma nämnare kategoriserades som att de saknade strukturkänsla. Studien visade att närvaron av parenteser hjälpte eleverna att se struktur, fokuserade deras uppmärksamhet på lika termer och delade upp den långa följden av symboler. Det fanns dock även de elever som verkade föredra att eliminera parenteserna från ekvationen. Hoch och Dreyfus (2004) föreslår att parenteserna ger eleverna en ledtråd om var de ska titta och gör dem uppmärksamma på att likadana termer kan finnas samtidigt som frånvaro av parenteser ger känslan av ett långt och ostrukturerat uttryck. I studien framkom även att en del elever inte ser på ekvationer som en helhet utan tittar på varje sida separat och flyttar sedan runt termer samt gör sig av med parenteserna.
En annan studie som har undersökt effekten av ”onödiga” parenteser gjordes av Marchini och Papadopoulos (2011) då de undersökte om närvaron av ”useless brackets” (onödiga parenteser) påverkar elevers prestationer vid enkla likhetsuttryck såväl som om de påverkar förståelsen för den symmetriska egenskapen hos likheter. Studien gjordes i årskurs två och tre innan eleverna undervisats kring användningen av parenteser. Resultatet visade att elevernas resultat generellt blev bättre då de arbetade med parenteser samt att parentesen skapade en enhet av de olika termer som kopplades samman med ett
5 En relation för en mängd är transitiv om det för alla , och i gäller att och medför att (Weisstein, 2003).
9 operationstecken. Parenteserna förenklade för eleverna då det gällde att kunna se den symetriska egenskapen hos en likhet och de var även användbara för en korrekt förståelse för likhetstecknet eftersom det lätt kan missförstås som ett annat operationstecken. Ett exempel som lyfts upp är talet där elever föreslog vilket är svaret på . Det var dock ingen elev som föreslog i versionen med parenteser . Marchini och Papadopoulos (2011) menar att parenteser som yttre komponenter förenklar igenkännandet av inre komponenter och eftersom parenteser är ett vanligt inslag i tidig algebra kan onödiga parenteser därmed vara ett värdefullt undervisningsverktyg för att utveckla tidigt algebraiskt tänkande hos väldigt unga elever. De kan även hjälpa till i förståelsen av likhet både i termer av prestationer och i att erhålla ett relationellt tänkande som innebär att elevers tänkande använder sig av relationer mellan element i uttryck och att uttryck uppfattas som helheter istället för processer som ska utföras steg för steg (Marchini & Papadopoulos, 2011).
Även Löwing (2008) nämner onödiga stödparenteser och menar att de kanske borde användas för att understryka vilken operation som ska gå först i ett uttryck med flera olika räknesätt. Detta eftersom prioriteringsregeln, som säger att multiplikation och division alltid ska utföras före addition och subtraktion förutsatt att det inte finns några parenteser som styr ordningen, ställer till med en hel del problem för elever. Löwing (2008) menar dock även att eleverna måste kunna tolka det vanliga skrivsättet utan stödparenteser innan de börjar med algebra. Alla studier visar dock inte på fördelar med onödiga parenteser. I en studie med elever i första året på gymnasiet visade det sig att onödiga parenteser gav upphov till en osäkerhet då fler elever svarade fel på talet i jämförelse med talet (Ekenstam & Nilsson, 1979).
2.6 Tänkta parenteser
Som tidigare nämnt fann både Linchevski och Livneh (1999) och Herscovics och Linchevski (1994) i sina studier att betydligt fler elever använde prioriteringsreglerna på ett korrekt sätt i uppgiften än i uppgiften trots uppgifternas liknande struktur. Detta kan enligt Herscovics och Linchevski (1994) förklaras med att eleverna gör en avskiljning av tal från föregående minustecken och då de fann en hög frekvens avskiljningar menar de att detta eventuellt reflekterar oväntade kognitiva hinder.
Även Linchevski och Livneh (1999) fann i sin studie, med elever som hade undervisats om prioriteringsregler men inte om negativa tal, flera exempel på avskiljningar. De menar att en av anledningarna till att elever inte ser att och är ekvivalenta, är att de tänker sig parenteser kring och därmed ser det senare talet som . Detta visade sig då eleverna istället parade ihop och . En del elever uppfattade inte heller ekvivalensen mellan och då de ignorerade parentesens roll och ansåg att talen inte kunde vara lika då det är två subtraktioner i det ena och en subtraktion och en addition i det andra. Att en del elever ignorerade parentesens roll visade sig även då en
10 del elever parade ihop med . Att så få spontant parade ihop med indikerar enligt Linchevski och Livneh (1999) en väldigt begränsad förståelse för användning av parenteser. De menar att detta beror på att parenteser endast presenteras som att något som ska göras först då de introduceras och att det kanske läggs för lite fokus på parentesers påverkan på det underuttryck som de omger.
Förklaringar som ges till att elever sätter dit tänkta parenteser är för det första att avskiljningen grundar sig i introduktionen av prioriteringsregler. Elever lär sig då att multiplikation och division föregår addition och subtraktion vilket kan leda till att de även drar den felaktiga slutsatsen att multiplikation föregår division och addition föregår subtraktion (Herscovic & Linchevski, 1994; Linchevski & Livneh, 1999). För det andra kan det även bero på undervisningen kring prioriteringsregler som indirekt kan uppmuntra till avskiljning. Ett exempel på detta är då parenteser används som ett mellansteg i uträkningen av då de sätts kring och sexan avskiljs från den angivna additionen, vilket sedan kan leda till en övergeneralisering (Linchevski och Livneh, 1999). Avskiljningen kan även enligt bero på en övergeneralisering av tidigare kunskaper då exempelvis ses som eftersom eleverna har uppmuntrats till att använda en lösningsprocedur där och grupperas till då de ska räkna ut uttryck som (Linchevski & Livneh, 1999). Den sista möjliga förklaringen är att avskiljningen beror på att eleverna väljer att börja med den operation som ser enklast ut i de fall då operationerna i talet har samma prioriteringsgrad. Detta kan vara en av förklaringarna till att elever då de ska lösa uppgiften först adderar och sedan subtraherar vilket ger samt då eleverna i talet räknar först. Det senare exemplet tyder även på att avskiljning inte bara är ett resultat av övergeneralisering av prioriteringsregler eftersom samma räknesätt återkommer två gånger (Linchevski & Livneh, 1999).
Linchevski och Livneh (1999) fann att ett ansenligt antal elever konsekvent gjorde avskiljningar samtidigt som det fanns elever som endast gjorde det i vissa uppgifter. Detta kan ha sin grund i att elever inte använder någon regel utan beroende på hur uppgiften ser ut så görs det som är enklast först. Studien visade även att samma struktur på uppgift kan utlösa olika frekvens av avskiljning vilket förmodas bero på att eleverna ibland tolkar den matematiska strukturen av ett uttryck korrekt, medan de misslyckas i andra fall med specifika talkombinationer som uppmuntrar till att dela av uttrycket vid fel ställen (Linchevski & Livneh, 1999).
11
3 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att i en aritmetisk kontext undersöka på vilka sätt elever uppfattar och använder sig utav parenteser i samband med prioriteringsregler. Syftet ska uppnås genom att besvara följande frågeställningar:
Hur uppfattar elever parentessymbolen i matematik?
Hur uppfattar elever att beräkningar kan struktureras med parenteser?
Hur uppfattar elever situationer där parenteser är nödvändiga?
12
4 Metod
4.1 Vetenskaplig forskningsansats
Då syftet med denna studie var att finna och kategorisera elevers uppfattningar kring den matematiska parentesen har flera delar i studiens upplägg inspirerats av den fenomenografiska metodansatsen. Fenomenografi är väl lämpad för beskrivning och analys av människors tankar kring olika fenomen i deras omvärld (Dahlgren & Johansson, 2009) och strävar efter att beskriva variationen i kvalitativt skilda uppfattningar av ett fenomen (Larsson, 1986). Syftet med fenomenografi är att försöka bidra till en fördjupad förståelse för det mänskliga lärandet såväl som olika sätt att förstå omvärlden på, vilket i sin tur är ett resultat av lärandet (Dahlgren & Johansson, 2009). Förståelse för hur elever uppfattar de fenomen de möter i undervisningen, i detta fall parentesen, är enligt Larsson (1986) en viktig grund i en lärares kompetens. Detta då insikten i tänkbara föreställningar ger bättre möjligheter för identifikation av enskilda elevers föreställningar. De fenomenografiska studierna är tänkta att ge stöd för detta (Larsson, 1986).
4.2 Metodval
Den vanligaste metoden för att samla in data i en fenomenografisk studie är att utföra intervjuer. Enligt Marton och Booth (2000) finns det dock i princip inga hinder mot att använda data som samlats in med en annan metod, så länge den på något sätt visar på människors sätt att uppfatta något specifikt fenomen. Då syftet med denna studie var att finna variationen av uppfattningar som elever kan ha kring parenteser i matematiken, blev valet av undersökningsmetod att utgå från ett arbetsblad som deltagarna i studien fick arbeta med. Att detta inte benämns som test eller prov beror på att det inte var av intresse att undersöka i fall eleverna svarade rätt eller fel. Arbetsbladet skapades så att en analys av elevernas svar skulle kunna avslöja olika existerande uppfattningar. Förmågan att handla på ett visst sätt reflekterar enligt Marton och Booth (2000) en förmåga att uppfatta någonting på ett visst sätt och skillnader i hur människor hanterar olika situationer och fenomen förutsätter skillnader i hur de uppfattar dem. Därför kan de sätt på vilka elever hanterar och använder parenteser spegla deras uppfattningar kring olika aspekter av parenteser i matematiken.
En alternativ metod hade varit att genomföra en intervjustudie, vilket är en är en bra metod då en djup insikt i elevers tänkande är önskvärd (Kihlström, 2007a), eftersom den ger större utrymme för mer ingående resonemang. Det är även som tidigare nämnt en vanligare metod i den fenomenografiska forskningsansatsen. En intervjustudie ger även möjlighet för både följdfrågor och förtydligande av såväl frågor som deltagarnas svar och risken som finns med att elever inte slutför arbetsbladet minimeras även (Bryman, 2011). Vid valet av metod vägde dock de fördelar som finns med ett arbetsblad tyngre än de fördelar som finns med en intervjustudie. I en intervjusituation är det större chans att eleven känner sig pressad eftersom eleven hamnar i fokus till skillnad från då ett arbetsblad fylls i bland övriga deltagare i
13 klassrummet. Sättet på vilket en fråga blir ställd och i vilket sammanhang den ställs påverkar de enskilda svaren såväl som total insamlad data (Gomm, 2004) men till skillnad från en intervjustudie får dock alla deltagare i denna typ av studie exakt samma information och frågorna blir ställda på exakt samma sätt. Vid en intervjustudie är risken alltså större att intervjuaren antingen medvetet eller omedvetet styr den riktning i vilken intervjun utvecklar sig under tiden som intervjun fortlöper och att frågorna kan bli ställda på olika sätt till olika elever. Detta gör att svar riskerar att formas av forskaren själv (Bryman, 2008).
Valet att använda ett arbetsblad att utgå ifrån som undersökningsmetod grundande sig även på tidsaspekten, då den möjliggör analys av fler elevers uppfattningar än vid en intervjustudie. Det går aldrig att fullt ut säkerhetsställa att alla tänkbara sätt att uppfatta ett visst fenomen kommer fram i en undersökning (Dahlgren & Johansson, 2009) men ju större urval som undersöks desto större är sannolikheten att urvalet är representativt för den målgrupp som urvalet är hämtat ifrån (Befring, 1994) och ju större är chansen att mättnad nås.
En blandning av uppgifter med och utan förutbestämda svarsalternativ valdes till arbetsbladet för att möjliggöra att alla uppfattningar skulle komma fram. Uppgifterna utan svarsalternativ valdes för att de ger eleverna möjlighet att svara hur de vill och med egna ord istället för att välja ett passande svar bland bestämda alternativ. De öppnar även upp för ovanliga svar som kanske inte skulle ha funnits med bland alternativen vilket gör att alla elevers enskilda uppfattningar kommer fram (Bryman, 2011). Dessa uppgifter kan även ge en djupare insikt i elevernas resonemang eftersom det vid ikryssning av färdiga svarsalternativ inte går att se det bakomliggande resonemanget till elevernas val, om de blev ledda av svarsalternativen, använde en uteslutningsmetod eller bara chansade. Uppgifterna med bestämda svarsalternativ valdes på grund av att de möjliggjorde att uppfattningar skulle kunna komma fram som hade varit svåra att upptäcka med uppgifter utan svarsalternativ. Det är även mindre krävande för deltagarna att svara på dessa då eleverna inte måste skriva lika mycket, vilket i sin tur minskar tiden det tar för eleverna att arbeta igenom arbetsbladet. Detta minimerar även risken att de avstår från att besvara frågor för att de är för krävande (Bryman, 2011).
4.3 Utformning av arbetsblad
Då det är av intresse att finna undersökningsdeltagares uppfattningar av ett fenomen kan det hävdas att frågor av typen ”Vad innebär parentesen i matematiken” får svar som mer eller mindre är oreflekterat memorerat från en lärobok. För att kunna ställa frågor som kommer åt en elevs verkliga uppfattning av ett fenomen, i detta fall uppfattningar kring parenteser, har en frågemetod som kallas projektion använts i denna studie, vilket innebär att fenomenet bäddas in i frågorna. (Dahlgren och Johansson, 2009).
I utformningen av arbetsbladet återanvändes och omkonstruerades uppgifter från tidigare forskning. Eftersom det inte finns mycket forskning inom området för denna studie har det krävts en omarbetning
14 av de flesta uppgifterna för att de ska passa syftet med denna studie. Nya uppgifter konstruerades även för att få fram fler infallsvinklar kring parenteser. Arbetsbladet går att finna i sin helhet i bilaga 1.
Uppgift 1 är en omarbetad version av en uppgift som återfinns i studien av Falle (2007). Då denna studie undersökte algebraisk förståelse anpassades uppgiften efter syftet med denna studie, vilket innebar att den inblandade bokstavsvariabeln byttes ut mot en tvåa, en omformulering gjordes och d-uppgiften lades till för att bredda uppgiften. Uppgift 2 är en omarbetad version av en uppgift som återfinns i studien av Liebenberg et al., (1999). Omarbetningen bestod i att lägre siffror användes för att minska chansen att otillräckliga kunskaper i multiplikationstabellen skulle påverka hur många elever som utförde uppgiften. Inspiration till uppgift 3 kom från studien av Hewitt (2005) och uppgift 6 är en omarbetad version av en uppgift som Chun-Ip och Ah-Chee (1997) fann i en av de läroböcker de analyserade i sin studie. Uppgiften är korrigerad så att siffrorna ska passa svensk valuta. Uppgift 8 är hämtad från studien av Linchevski och Livneh (1999) och så även vissa delar av uppgift 9. Uppgift 4, 5, 7 och 10 är egentillverkade eller framdiskuterade i samråd med personer med erfarenhet av matematikundervisning. I tabell 1 finns en sammanställning över vilka uppgifter som är kopplade till vilka frågeställningar. Uppgift 5 finns inte direkt kopplad till någon av frågeställningarna eftersom den haft som syfte att ge stöd i tolkningen av de andra uppgifterna då den bland annat gav information kring alternativa uppfattningar av prioriteringsreglerna.
Tabell 1. Sammanställning över hur uppgifterna i arbetsbladet är kopplade till frågeställningarna i studien.
Frågeställning Uppgifter
Hur uppfattar elever parentessymbolen i matematik? 3, 4, 7, 10
Hur uppfattar elever att beräkningar kan struktureras med parenteser? 1, 2, 6, 8, 9 Hur uppfattar elever situationer där parenteser är nödvändiga? 1, 3, 7
4.4 Urval
Målgruppen för denna studie var elever i årskurs åtta och arbetsbladet gjordes av 84 elever fördelade på fem klasser utspridda på fyra olika skolor belägna i södra Sverige. Eftersom parenteser och prioriteringsregler vanligtvis introduceras i årskurs sju ansågs elever i årskurs åtta vara en lämplig målgrupp för att vara säker på att de mött de för studien aktuella områdena i sin matematikundervisning.
I denna studie användes ett så kallat ändamålsurval då eleverna som ingick i studien valdes ut med hänsyn till praktiska och ekonomiska aspekter (Befring, 1994). Begränsningarna med detta urval är att en generalisering av resultaten till en nationell nivå är omöjlig att göra eftersom urvalet inte nödvändigtvis är representativt för elever i årskurs åtta i Sverige. För en generalisering hade det krävts ett sannolikhetsurval. (Bryman, 2011) Målet med denna studie är dock inte att generalisera utan att finna de olika uppfattningar som elever kan ha när det gäller parenteser vilket gör att ett bekvämlighetsurval är en godtagbar metod i valet av undersökningsgrupp. Hänsyn till variabler som kan påverka uppfattningar har tagits genom att
15 eleverna i denna studie kom från fem olika klasser med olika matematiklärare och utspridda på fyra olika skolor. Eleverna i studien hade även olika kön, etnicitet, social klass, ekonomiska hemförhållanden och matematisk förförståelse vilket är ett sätt att öka möjligheten att fånga upp fler uppfattningar.
4.5 Forskningsetiska överväganden
I publikationen Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning återfinns riktlinjer för hur forskning ska bedrivas ur ett etiskt perspektiv (Vetenskapsrådet, 2002). I enlighet med informationskravet och samtyckeskravet skickades ett informationsbrev ut till de klasser som undersökningen genomfördes i, för att eleverna och deras vårdnadshavare skulle få information om studien och dess syfte (se bilaga 2). Eftersom deltagarna i studien var minderåriga gavs även möjlighet för vårdnadshavare att förhindra att deras barn ingick i undersökningen. Informationsbrevet avslöjade inte mer om studiens innehåll än att den bestod av ett arbetsblad (diagnos) som behandlade ett område inom matematiken. Detta för att information kring det valda området inte skulle kunna påverka resultatet. Det gavs även upplysning om att det var frivilligt för eleverna att delta och att de kunde avbryta sin medverkan när som helst. Eftersom undersökningen inte innehöll privata eller etiskt känsliga frågor ansågs det med stöd av riktlinjerna från Vetenskapsrådet att föräldrarnas skriftliga medgivande inte var nödvändigt (Vetenskapsrådet, 2002).
Då arbetsbladet inte krävde utlämnande av några personuppgifter behövde inte konfidentialitetskravet, som innebär att obehöriga inte ska kunna ta del av deltagarnas personuppgifter och nyttjandekravet, som innebär att de insamlade personuppgifterna endast får användas för forskningsändamål, tas i beaktande.
4.6 Genomförande och bortfall
Arbetsbladet delades ut till eleverna i klassrumsmiljö och på ordinarie lektionstid. Innan arbetsbladet delades ut gavs information likvärdig med den som gavs i informationsbrevet. Eleverna arbetade med arbetsbladet enskilt och inga hjälpmedel var tillåtna. Forskaren var med vid alla tillfällen som arbetsbladet delades ut och även under den tid som eleverna arbetade med det. Detta för att säkerhetsställa att alla elever fick samma förutsättningar, att allting gick rätt till och för att finnas till hands vid eventuella frågor. Eftersom tiden som krävdes för att fylla i arbetsbladet varierade från elev till elev hämtades de vid elevernas bänkar då de var färdiga för att minimera störningarna för de elever som inte var klara.
Enligt Stukát (2005) finns det två typer av bortfall där externt bortfall är det ena och står för det bortfall som sker vid urvalet av undersökningsgrupp. I denna studie kontaktades från början fler skolor och matematiklärare men då de inte besvarade förfrågan om att ingå i studien ingår de i det externa bortfallet. Här ingår även de elever som av olika anledningar såsom sjukdom och ledighet inte var närvarande vid undersökningstillfället. I det externa bortfallet ingår även de tre närvarande elever som valde att avstå från att delta i studien antingen på grund av föräldrarnas beslut eller för att de själva beslutat att inte delta.
16 Den andra typen av bortfall kallar Stukát (2005) för internt bortfall och i denna grupp ingår bortfallet som kan uppstå efter att undersökningsgruppen är definierad. I denna studie utgörs denna grupp av de svar som inte kunnat analyseras på det sätt som avsågs antingen på grund av att de varit blanka eller inte besvarat den ställda frågan på ett sätt som gav möjlighet till analys inom ramen för denna studie.
4.7 Dataanalys och redovisning av data
Analysen av data i en fenomenografisk studie ska ge upphov till kvalitativt skilda kategorier i vilka uppfattningarna kan beskrivas. Kategorierna ska alltså representera fundamentala skillnader i sätt att uppfatta något och får varken överlappa varandra eller ha glidande övergångar från den ena till den andra (Larsson, 1986). Med syfte att redovisa data från denna studie skapades tre olika kategorisystem som speglar olika infallsvinklar då det gäller elevers uppfattningar och användande av parenteser i samband med prioriteringsregler. Alla uppgifter i arbetsbladet är inte kopplade till alla kategorisystem (se tabell 1.). Inte heller alla de uppgifter som är kopplade till ett visst system kunde ge upphov till alla olika kategorier i det systemet, eftersom uppgifterna är skapade och formulerade för att möjliggöra att specifika kategorier kan synliggöras. När det gäller analysen av hur elever uppfattar att beräkningar kan struktureras med parenteser togs även de fall där elever använde andra typer av markeringar med eftersom de ansågs fylla samma strukturerande funktion som en parentes skulle ha gjort.
Arbetet med att finna kategorierna till systemen grundade sig i den fenomenografiska analysmodell som Dahlgren och Johansson (2009) beskriver. Detta innebar att analysen började med att elevernas svar sammanställdes fråga för fråga samtidigt som anteckningar kring svaren gjordes. Denna sammanställning användes sedan i jämförelsen av elevernas olika svar där ett ständigt sökande efter likheter och skillnader låg som utgångspunkt. För att analysen av uppgifterna skulle vara konsekvent undersöktes en uppgift i taget. Jämförelsen av elevernas svar gjorde att svar kunde grupperas och relateras till varandra. Genom jämförelsen av svaren kunde enskilda uppfattningar och strategier formas och genom att kontrastera dessa mot varandra kunde det karaktäristiska för varje uppfattning och strategi urskiljas och gränserna mellan de olika kategorierna kunde även dras. Därefter namngavs de olika kategorierna. Kategorierna skapades alltså på så sätt att de var väl förankrade i insamlad data och så att varje elevsvar kunde placeras in i kategorisystemen på ett tillförlitligt sätt i enlighet med Larsson (1986). I redovisningen av kategorierna i resultatdelen kompletteras beskrivningarna av varje kategori med elevexempel för att ytterligare förtydliga innebörden av varje uppfattning.
4.8 Giltighet och tillförlitlighet
Giltighet och tillförlitlighet är två begrepp som används för att beskriva kvaliteten i en undersökning. Giltigheten i en studie har att göra med om studien undersöker det som den avser att undersöka och tillförlitligheten har att göra med om det går att lita på resultaten (Kihlström, 2007b).
17 För att öka giltigheten med syftet att kunna rättfärdiga att de beskrivna kategorierna verkligen speglar elevernas uppfattningar krävdes det i denna studie ett arbetsblad som verkligen mätte det den var tänkt att mäta. Därför gjordes en noggrann genomgång av tillgänglig tidigare forskning relaterad till undersökningsområdet, för att kunna skapa uppgifter som skulle kunna generera sådana data som krävdes för att uppnå syftet med denna studie. För att öka giltigheten ytterligare återanvändes även vissa frågor från tidigare studier om än med vissa korrigeringar. Studiens giltighet ökades även genom att en pilottest av arbetsbladet gjordes med elever på samma nivå som målgruppen för studien. Detta för att säkerhetsställa att frågorna i arbetsbladet verkligen kunde ligga till grund för en analys av elevernas uppfattningar och att de gav svar på det som de var avsedda att ge svar på. Pilottestet visade även om frågorna var tillräckligt tydligt formulerade för att andelen misstolkningar skulle minimeras. Pilottestet delades ut i omgångar och korrigerades där emellan. För att minimera missuppfattningar och feltolkningar av frågorna ytterligare fanns även forskaren med vid alla de tillfällen som arbetsbladet delades ut för att finnas till hands vid eventuella frågor. Ännu en fördel med att undertecknad var med vid alla de tillfällen som arbetsbladet delades ut var att det gick att säkerhetsställa att allt gick rätt till. Detta ökar i sin tur tillförlitligheten vid mätningarna som rättfärdigar att proceduren i undersökningen ger trogna beskrivningar av elevernas uppfattningar. För att minimera påverkan på elevernas svar fick varken undervisande lärare eller eleverna någon information i förväg angående innehållet i arbetsbladet mer än att det behandlade ett område inom matematik. I och med detta gavs ingen möjlighet för förberedelser kring det berörda innehållet.
Trots ansträngning med att öka giltigheten och tillförlitligheten i studien kan dock felkällor förekomma. Även om åtgärder för att minimera misstolkningar togs så finns ändå chansen kvar att eleverna kan ha misstolkat frågorna eller att svarsalternativ har tolkats olika av olika elever. De kan även av misstag ha markerat fel svar eller så kan uppfattningar ha missats på grund av att eleverna inte orkat svara alls eller att alla tänkbara svarsalternativ inte fanns med. Andra felkällor är att eleverna kan ha uttryckt uppfattningar som de inte egentligen har (Gomm, 2004) då de hittat på ett svar eller gissat. Speciellt i de uppgifter där det finns svarsalternativ finns möjligheten att elever chansar och därmed visar på uppfattningar som de inte har i verkligheten. Hänsyn till detta måste därför tas i analysen av insamlad data.
Även analysen av elevernas svar kan påverka tillförlitligheten i resultatet genom att kodningen och klassificeringen av ett svar kanske inte stämmer överens med vad eleven haft för intention med sitt svar. Tillförlitligheten minskar även om analysen inte är helt konsekvent. En åtgärd som gjordes för att undvika detta var att arbetsbladet undersöktes med en deluppgift i taget för att elevernas svar skulle analyseras på ett likvärdigt sätt. Då denna studie har en fenomenografisk utgångspunkt användes det i tolkningen av elevernas svar inte heller givna tolkningsregler, vilket enligt Larsson (1986) kan innebära ett problem då vi alla översätter det vi hör och läser till vårt eget sätt att tänka. Larsson menar dock att det är möjligt att tänka kring samma sak på flera sätt och att ytterligare sätt kan utvecklas genom reflektion och förtrogenhet. Därför är det viktigt att skaffa förtrogenhet med de fenomen som ska analyseras och detta
18 gjordes genom en noggrann genomgång av tidigare forskning inom de för denna studie berörda områden. En oberoende bedömare med erfarenhet av matematikundervisning i årskurs 8 togs även med i vissa delar av analysen. Detta skedde genom att en diskussion fördes kring såväl elevers svar, för att möjliggöra att de skulle kunna ses från ytterligare synvinklar, som kring skapandet av de skilda kategorierna. För att ytterligare öka tillförlitligheten av analysen presenteras kategorierna tillsammans med elevexempel i resultatdelen.
Det går aldrig att säkerhetsställa att alla tänkbara sätt att uppfatta något kommer fram i en undersökning. Om antalet försökspersoner höjs eller en annan undersökningsgrupp väljs kan antalet uppfattningar mycket väl utökas (Dahlgren och Johansson, 2009). Ju större urval som undersöks desto större är dock sannolikheten att urvalet är representativt för den målgrupp som urvalet är hämtat ifrån (Befring, 1994) och ju större är även chansen att mättnad nås. I denna studie kan en sannolik mättnad anses ha uppnåtts vilket grundas i att det vid analysen av den sista klassen med elever framgick att deras svar hade mycket hög överensstämmelse med tidigare elevers analyserade svar. I den mån som var möjlig för denna studie togs även en oberoende bedömare med i vissa delar av analysen. Detta för att säkerhetsställa att tolkningen av elevernas svar var rimlig samt minimera risken att ett bättre kategorisystem hade kunnat konstrueras och att uppfattningar försummats.
19
5 Resultat och diskussion
Resultatet för denna studie kommer att presenteras i tre olika kategorisystem som är kopplade till var sin frågeställning i syftet. Kategorisystemen har byggts upp på så sätt att uppfattningar eller tillvägagångssätt grupperats i övergripande kategorier som i sin tur i vissa fall består av underkategorier. Varje kategori exemplifieras med en eller flera elevers svar för att på ett så tydligt sätt som möjligt återspegla variationen i den kategori de representerar. För att kopplingen mellan resultat och diskussion ska bli så tydlig som möjlig kommer även resultatet i samband med att det redovisas att diskuteras och kopplas till tidigare forskning inom området med parenteser. Eftersom det ännu inte forskats så mycket kring det valda problemområdet diskuteras vissa kategorier i stort sett enbart utifrån resultatet från denna studie. I den avslutande övergripande diskussionen där de olika kategorierna i de olika kategorisystemen kopplas samman både med varandra och med tidigare forskning tas dock även dessa kategorier med.
5.1 Elevers uppfattning av parentessymbolen i matematik
De uppgifter i arbetsbladet som speglar hur elever uppfattar parentesen som symbol är uppgift 3 (där eleverna ska översätta ordet ”parentes” till ett tecken i ett uttryck), uppgift 4 (där eleverna ska markera vilket eller vilka alternativ som visar exempel på en parentes), uppgift 7 (där eleverna ska använda en parentes för att rätta till en likhet) och uppgift 10 (där eleverna ska stryka alla de parenteser som anses vara onödiga). Analysen av dessa uppgifter med syftet att undersöka hur elever uppfattar parentesen som symbol gav upphov till kategorisystemet i figur 1.
5.1.1 Som ett par
Denna kategori speglar uppfattningen att en parentes består av ett par tecken och alltså en vänsterparentes som representerar början på parentesen och en högerparentes om representerar slutet på parentesen. Exempel på detta finns i figur 2 samt då svarsalternativet ( ) och/eller (3) är valt i uppgift 4.
Figur 1. Kategorisystem för hur elever uppfattar parentessymbolen i matematik.
Figur 2. I detta exempel har eleven använt sig av såväl det vänstra som det högra tecknet för att representera en parentes, vilket visar på uppfattningen att en parentes består av ett par tecken.
Elevers uppfattning av parentessymbolen
Inte som ett
par Skapar nya par föreställning Ingen Som ett par
20 I analysen framkom även tendenser till att elever antingen ser en parentes som bestående av ett par tecken utan innehåll, vilket visar sig då svarsalternativet ( ) är valt i uppgift 4, eller som ett par tecken med dess
innehåll, vilket det finns exempel på i figur 3 samt då endast svarsalternativet (3) är ikryssat på uppgift 4.
Eftersom denna uppdelning inom kategorin Som ett par delvis grundar sig i de färdiga svarsalternativ som fanns i uppgift 4, finns det i denna studie inte tillräckligt med belägg för att helt konstatera att denna åtskillnad existerar. Tendenserna till den eventuella skillnaden i uppfattning skulle dock kunna kopplas till att tidigare erfarenheter och kunskaper spelar en stor roll då elever konstruerar ny kunskap (Hedrén, 1999). När elever möter parenteser i matematiken har de redan en uppfattning av vad parenteser är ifrån skriftspråket. Skillnaden mellan att uppfatta parentesen som bestående av tecknen utan innehåll och tecknen med innehåll skulle kunna kopplas till att elever delvis överför parentesens betydelse i det skriftliga språket till matematiken, eftersom parentesen i det skriftliga språket ofta syftar till såväl tecknen som dess innehåll. De elever som anser att parentesen endast består av tecknen har istället lyckats att gå över till en matematisk uppfattning av parenteser. Engström (2002) menar att olika personer kan tolka tecken på olika sätt vilket visar sig då elever tolkar tecknet för parentesen på skilda vis. Exemplet i figur 3 är intressant ur ytterligare en synvinkel då strykningen skulle kunna tolkas som att eleven även anser att innehållet i parentesen är onödigt. Detta är dock endast korrekt i de fall där innehållet är lika med noll. En annan möjlig förklaring till denna typ av strykning är att eleverna då de anser att parentesen består av såväl tecknen som innehållet stryker dessa utan en tanke på att även talet i parentesen tas bort eftersom detta innebär att endast en siffra lämnas kvar i uttrycket.
5.1.2 Inte som ett par
I denna kategori uppfattas inte parenteser som existerande i par och exempel på detta är de svar där svarsalternativen ( och/eller ) är valda på uppgift 4. I figur 4 och 5 finns fler exempel på hur elever visar att de inte ser parentesen som ett par.
Att olika personer tolkar matematiska tecken på olika sätt (Engström, 2002) öppnar för att elever uppfattar parentesen som en skiljevägg. Detta ges det exempel på i det undre exemplet i figur 4 där endast
Figur 3. I detta exempel har eleven strukit parentesen med dess innehåll då de onödiga parenteserna ska strykas.
Figur 4. I dessa elevexempel har endast vänsterparentesen eller högerparentesen strukits, vilket visar på uppfattningen att en parentes inte består av ett par tecken.
21 vänsterparentesen stryks, vilket kan tolkas som att parentesen ses som en skiljevägg som är i vägen för att talet ska kunna räknas. Eleverna anser i så fall att talet ska räknas från vänster till höger men då det inte går att räkna något innan parentesen dyker upp måste den bort för att talet ska kunna beräknas. Tolkningen med skiljevägg kan även användas i det övre exemplet i figur 4 där eleven anser att den vänstra parentesen är onödig men att den högra är nödvändig då den skiljer av vad som ska beräknas först. Om parentesen ses som en skiljevägg krävs endast halva parentesen och parentesen uppfattas därmed inte som bestående av ett par tecken. En annan möjlig förklaring till denna typ av strykningar är att eleverna uppfattar att hela parentesen är onödig och menar att båda parentestecknen ingår i strykningen av det ena tecknet. Detta sätt att tänka motsägs dock vid jämförelse med hur de har hanterat parentestecknen i andra uttryck i samma uppgift. Det går dock inte att fullt ut lita till att eleverna är konsekventa då det gäller hur de stryker parenteser, eftersom analysen av uppgift 10 visade att många elever var inkonsekventa när det gällde vilken typ av parenteser som ströks i de olika deluttrycken (yttre, förstärkande, prioriterande osv.). Denna typ av inkonsekvens skulle även kunna figurera i hur parentestecknen stryks. I så fall stryks båda tecknen i ett par i vissa fall medan endast höger- eller vänsterparentesen stryks i andra fall men då med samma intention som om båda hade blivit strukna. Även Linchevski och Livneh (1999) fann att elever kan vara inkonsekventa. I deras fall handlade det dock om avskiljningar men deras resonemang att elever inte följer någon regel då de besvarar uppgifter skulle även kunna vara en förklaring i detta sammanhang. Trots den eventuella inkonsekvensen styrks dock uppfattningen att elever inte ser parentesen i par av resultatet från uppgift 4 där, som tidigare nämnt, elever har kryssat i halva parenteser. I figur 5 finns fler exempel på hur elever visar att de inte ser parentesen som ett par.
I figur 5 visas exempel på elever som uppfattar två likadana parentestecken bredvid varandra som onödiga. Dessa fall tyder på att eleverna inte har funderat kring om parentesen har någon prioriterande funktion eller inte. Här är det tydligt att eleven inte ser parentesen som ett par då de antingen stryker båda de parentestecken som är bredvid varandra alternativt det yttre utan att stryka tillhörande vänsterparentes. Att vissa elever stryker båda tecknen kan tolkas som att de ser dessa två som en enhet eller symbol som inte finns då de inte är vana vid att se parenteser på detta sätt. Att endast den yttre stryks kan tolkas som att den inte anses ha någon funktion då det redan finns en annan på samma plats. Även här finns möjligheten att eleverna menar att paret av parenteser stryks då endast halva parentesen stryks men precis som i resonemanget ovan kan jämförelsen med hur andra deluttryck i samma uppgift hanterats möjligtvis
Figur 5. I dessa exempel har två parentestecken bredvid varandra uppfattats som onödiga och i det översta elevexemplet har båda dessa tecken strukits medan endast det yttre har strukits i det undre elevexemplet.
22 motsäga detta. Denna sorts strykning kan även kopplas till skillnaden mellan parentesen i matematiken och det skriftliga språket eftersom parenteser ogärna skrivs i en annan parentes i skriftspråket, vilket gör att eleverna är ovana vid beteckningen, medan detta är mycket vanligt i matematiken (Kiselman, 2008). 5.1.3 Skapar nya par
Denna kategori representerar uppfattningen att parenteser inte kommer i stabila par utan de kan brytas upp och eventuellt bilda nya par. Exempel på detta finns i figur 6.
Att olika personer tolkar matematiska tecken på olika sätt (Engström, 2002) öppnar upp för ännu en tolkning av parentestecknen. I denna kategori finns en intressant aspekt då det verkar som att eleverna inte uppfattar och ser vilka parentestecken som hör ihop och bildar ett par. Detta gör att parenteserna inte heller stryks i par men istället har eleverna i denna kategori sparat parenteser så att ett nytt par bildas. Detta gör det svårt att avgöra om eleverna anser att en parentes består av två tecken men att de då inte ser vilka som hör ihop eller om de anser att det inte spelar någon roll vilka tecken som paras samman. Eleverna kan även se parenteserna som bestående av endast ett tecken och att det bara är en tillfällighet att strykningarna resulterar i ett par. En annan intressant iakttagelse i denna kategori är att strykningarna kan resultera i ett par som från början ansågs som onödigt liksom i det undre exemplet i figur 6. Detta skulle kunna styrka det senare resonemanget att det bara är en tillfällighet att ett nytt par parenteser lämnas kvar. 5.1.4 Ingen föreställning
I denna kategori har eleverna ingen bild utav parentesen vilket visar sig då de inte använder sig utav någon parentessymbol alls då de ska översätta ordet parentes till ett tecken. I figur 7 finns exempel på detta.
Eleverna i denna kategori använder alltså inga parentessymboler trots att parenteser i matematiken inte är ett nytt fenomen för dem samt att tecknen även förekommer i skriftspråket och därför inte borde vara obekanta för dem. Det är dock möjligt att de är osäkra på om parenteser har samma symbol i matematiken som i skriftspråket och därför används ingenting eller ett frågetecken istället.
Figur 6. Exemplen ovan visar hur elever har brutit upp parentespar och bildat nya par av helt onödiga parenteser. I det undre exemplet har en ny yttre parentes bildats som från början ansågs onödig.
23 Grupperar
subtraktion Flyttar fram parentes
Hela grupper Tvåochtvå Enskilt tal Tvåochtvå
Grupperar efter prioritering
Elevers sätt att strukturera beräkningar
Avskiljning Utan markering Med markering Tvåochtvå Tvåochtvå Dubbelt Grupperar sekventiellt
5.2 Elevers uppfattning av hur beräkningar kan struktureras med
parenteser
De uppgifter i arbetsbladet som ger möjlighet att analysera hur elever uppfattar att beräkningar kan struktureras i samband med parenteser är uppgift 1 (där ett uttryck ska skrivas ner), uppgift 2 (där ett tal innehållande både multiplikationer och additioner ska beräknas), uppgift 6 (där passande uträkningar ska väljas), uppgift 8 (där ett tal innehållande en subtraktion och flera additioner ska beräknas) samt uppgift 9 (där eleverna med hjälp av beräkningar ska kontrollera likheter). Utifrån data från dessa uppgifter kunde fem huvudkategorier urskiljas som sedan gav upphov till kategorisystemet i figur 8.
5.2.1 Grupperar efter prioritering
I denna kategori visas uppfattningen att någon sorts markering kan användas för att gruppera tal och på så vis förstärka hur räknesätten i ett tal ska prioriteras. Här visas alltså elevernas behov av att på olika sätt strukturera upp tal för att tydligare kunna se vad som ska beräknas först. I de fall där markeringarna består av parenteser avslöjas uppfattningen att parenteser kan användas för att gruppera tal samt att den har en prioriterande funktion. Här ingår både de elever som förstärker prioriteringsreglerna på ett korrekt sätt och de som på grund av missuppfattningar av i vilken ordning olika räknesätt ska prioriteras förstärker på fel sätt. Denna kategori kan delas upp i tre underkategorier i vilka den strukturella förmågan hos elever skiljer något. Hela grupper (se figur 9) är den första underkategorin. Här används parenteser och/eller andra sorters markeringar för att gruppera hela grupper av tal för att på så sätt visa i vilken ordning talet ska beräknas.
Figur 8. Kategorisystem för hur elever strukturerar sina beräkningar.
Figur 9. Elevexemplen visar hur elever med hjälp av olika sorters markeringar delar in talet i dess multiplikationsenheter och visar att dessa ska beräknas först.
