Linköpings universitet | Institutionen för beteendevetenskap och lärande Examensarbete, grundläggande nivå, 15 hp | Lärarprogrammet Vårterminen 2021 | LIU-LÄR-L-EX--21/28—SE
Analys av läroböcker
i matematik för lågstadiet
- med fokus på geometriska begrepp
Analysis of textbooks in mathematics
for primary school
- with a focus on geometric concepts
Kornelija Gros Alen Kurtovic
Examinator: Elisabeth Eriksson Handledare: Mats Bevemyr
Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden
Sammanfattning
Syftet med denna studie var att ge förståelse för vilka möjligheter för elevers begreppsutveckling och lärande inom området geometri som finns i elevers matematikläroböcker. Begreppsinlärningen, med hjälp av läroboken, belystes utifrån olika representationsformer som hittades i läroböckernas uppgifter. En läromedelsanalys gjordes med hjälp av den kvalitativa innehållsanalysen. De olika representationsformerna som är bildmodell, språk, konkret modell, symbol och verklighet, användes för att analysera geometriska begrepp i två olika matematikläroböcker för åk 1, 2 och 3.
I resultat kom det fram att matematikläroböckerna Prima Matematik och Mästerkatten genom sitt upplägg och sin variation av representationsformer till stor del ger möjlighet till begreppsutveckling av tvådimensionella geometriska begrepp. Mest förekommande representationsformer av
geometriska begrepp var dock i bildform vilket tyder på att begreppsutveckling enligt
matematikläroboken sker mest via bilder. Om begreppsutvecklingen ska ske på tillfredsställande sätt behöver begreppen angripas utifrån olika representationsformer som verklighetsanknytning, kommunikation mellan elever samt laboration.
Nyckelord
INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. INLEDNING……….………. 4 1.1. Syfte……… 5 1.2. Frågeställning……….5 2. BAKGRUND………….………...………...………...… 6 2.1. Vad är begrepp?………..…6 2.2. Barns begreppsinlärning………...………..6
2.3. Begreppsinnehåll och begreppsuttryck………...………...…..…..7
2.4. Geometri i undervisningen……….………...…….7 2.5. Läroboken………..…….8 2.6. Styrdokument………...………..……….…9 2.7. Representationer av begrepp……….…....……10 3. TEORETISKT RAMVERK…..………...…12 3.1. Sociokulturell teori………...…12 3.2. Variationsteori…....………...………..…….13 3.3. Lesh’s modell………..……….15 4. TIDIGARE FORSKNING………..………..…...…………17
4.1. Matematik och läroboken………..………..17
4.2. Matematik och språk………..…..18
4.3. Konkretisering………..…....20
4.4. Hjälpmedel och verktyg………..…….21
4.5. Sammanfattning av tidigare forskning……….22
5. METOD……….………..………... 23
5.1. Kvalitativ metod och innehållsanalys……….……….…….23
5.2. Datainsamling……..…...………..24
5.3. Urval………..……….….…...24
5.4. Avgränsningar….………..25
5.5. Genomförande………...….…..25
5.6. Forskningsetiska överväganden….………..…………..…...…26
6. RESULTAT OCH ANALYS………...………..….27
6.1. Geometriska begrepp som förekommer i matematikläroböckerna………..27
6.1.1. Prima Matematik……….……..27
6.1.2. Mästerkatten………...…...29
6.2. Hur geometriska begrepp representeras i matematikläroböckerna………..31
6.2.1. Prima Matematik………..…….31
6.2.2. Mästerkatten………...…………...32
7. DISKUSSION………..………....…..34
7.1. Resultatdiskussion………….………..………...34
7.1.1. Diskussion med anknytning till variations teori………..………..……..….34
7.1.2. Diskussion med anknytning till läroplanen……….……….35
7.1.3. Lärobokens koppling till olika typer av verksamhet………...……….35
7.1.4. Slutsats……….……….…..………..………...………….36
7.2. Metoddiskussion……….……….37
1.Inledning
I matematikundervisningen ställs elever ofta i olika sammanhang där de bemöts av olika matematiska begrepp. För att kunna hjälpa eleverna med begreppsförståelsen måste vi först ha kunskaper om vad matematiska begrepp är och hur dessa kommuniceras i undervisningen och i synnerhet via läroboken. Val av läroböcker kan ha stor påverkan på undervisningsinnehåll enligt vår mening och därför anses vara angeläget att undersökas vidare.
Under vår verksamhetsförlagda utbildning samt våra egna verksamma år som lärare såg vi att ganska många lärare förlitade sig på matematikboken och dess innehåll. Ganska ofta såg vi elever jobba enskilt i matematikboken, vilket ofta ansågs vara oproblematiskt av lärarna. Många lärare motiverade användandet av matematikboken genom att hänvisa till bokens innehåll som ansågs följa matematikkursplanen.
Om elever ska kunna ta till sig begreppens innebörd och kunna se koppling mellan olika
matematiska begrepp krävs det att de ställs i olika situationer där en variation av förekomsten av begreppen görs synlig (Solem et al., 2011). Denna aspekt av begreppsutvecklingen anses vara viktigt att vara medveten om som matematiklärare. Enligt rapporten av Skolverket som heter ”Tid
för matematik” (2011) framkommer det att matematikundervisningen är ganska styrd av läroboken
men att orsaken till detta sällan diskuteras. Vidare står det att detta kan bero på att många lärare har otillräckliga kunskaper inom matematik och matematikdidaktik. Det menas att de otillräckliga kunskaperna hos lärarna tros påverka matematikundervisningen på ett sätt där läroboken används i aktivitetssyfte och ska hålla elever sysselsatta. Vidare påstås att det är viktigt att ett tydligt
innehållsmål finns med i undervisningen. Variationen i arbetssättet är bra att ha men även att vara uppmärksam på att den variation och det arbetsmaterialet som används inte ska ha en överordnad roll och att fokus ligger kvar på begreppen och det som ska läras in. För att se hur den variationen kan speglas i matematikläroboken för årskurs 1–3, valde vi att göra en innehållsanalys av några utvalda matematikläroböcker.
Denna studie analyserar matematikläroboken och dess innehåll utifrån hur geometriska begrepp presenteras i några utvalda läroböcker och undersöker om det finns en möjlighet för eleverna att utveckla sin begreppsförståelse när det kommer till geometriska begrepp inom tvådimensionella figurer. Området geometri, och i vårt fall tvådimensionella figurer, har valts ut för att få en bättre
insikt i hur dessa delområden presenteras i läroböckerna för att de ofta anses vara ett problemområde för många lärare och elever.
1.1. Syfte
Syftet med studien är att ge förståelse för vilka möjligheter det finns för elevers begreppsutveckling och lärande inom området geometri i elevers matematikläroböcker. Vi kommer att utgå från ett elevperspektiv och har begränsat oss till att studera elevernas matematikläroböcker och inte hela läromedelspaketet.
Studien vill belysa vilka tvådimensionella geometriska begrepp som förekommer och hur dessa representeras i matematikläroböckerna för åk 1-3. För att lärande ska kunna ta plats och en lyckad förståelse av uppgifterna ska ske mellan eleven och läroboken så är det viktigt att de förstår geometriska begrepps innebörd och uttryck.
1.2. Frågeställningar
• Vilka tvådimensionella geometriska begrepp förekommer i läroböckerna för åk 1-3?
• Hur representeras tvådimensionella geometriska begrepp i läroböckerna för åk 1-3?
2. Bakgrund
I detta avsnitt kommer vi att ta upp bakgrund om begrepp och begreppsinlärning hos elever samt en översikt över hur undervisningen i geometri bedrevs och hur den förändrades över tid. Lärobokens roll tas även upp samt vilken påverkan den har i undervisningen. Vi kommer även att ta upp
betydelse av styrdokumentet som kan påverka innehållet i matematikläroboken och kunskapskrav som är kopplade till kommunikationsförmåga inom matematik samt begreppsförståelse inom geometri. Sist beskrivs representationsformerna och deras betydelse för begreppsinlärning som i sin tur påverkar elevernas möjligheter till ett allsidigt begreppskunnande.
2.1. Vad är ett begrepp?
Begrepp har en central roll i vår studie och vi anser att det måste finnas ett kunnande om
begreppens utveckling och hur dessa kan framställas i matematikläroboken. Därför är det angeläget i vår studie att skriva vidare om begrepps mångtydighet och hur inlärningen av dessa begrepp kan te sig hos eleverna via matematikläroboken.
Om vi slår upp ordet ”begrepp” i Nationalencyklopedin så kan vi läsa att ett begrepp är ”det
abstrakta innehållet hos en språklig term”. Med denna definition i tanken kan vi vidare skriva att
ett matematiskt begrepp skulle vara en språklig term med abstrakt matematiskt innehåll och ett geometriskt begrepp är en term som innehåller abstrakt geometriskt innehåll. Enligt Roos och Trygg (2018) kan ett matematiskt begrepp, av geometrisk karaktär i det här fallet, vara ett objekt som kvadrat, en process som mätning eller en egenskap som lång. Vidare menar de att ett begrepp är flexibel på så sätt att det kan grupperas, sättas i olika sammanhang och samband och inte är definitivt, exakt och klart avgränsat. Begrepp innehåller olika nivåer och kan klassas på olika sätt (Roos & Trygg, 2018).
2.2. Barns begreppsinlärning
Genom sin uppväxt möter barn på den fysiska världen i sin näromgivning med mycket nyfikenhet och utforskar lust. De ägnar sig åt att upptäcka världen med sinnen för att kunna så småningom förstå den. Med hjälp av andra människor runt omkring sig och sina egna upptäckter börjar de förstå sin omvärld och lära sig olika begrepp som omfattar den fysiska världen (Solem et al., 2011).
Upptäckterna leder sedan till att förstå att den fysiska världen är indelad i olika klasser. För att detta ska blir möjligt och det ska finnas struktur och ordning, måste barn först förstå att saker i den fysiska världen har egenskaper och kännetecken som är karakteristiska för dem. Den klassificering som förekommer inom den fysiska världen kommer göra möjligt för barn att upptäcka och arbeta med matematiken och i synnerhet geometrin (Solem et al., 2011). I början kan det handla om en visuell igenkänning till att leta efter likheter och skillnader i det barnet betraktar. Efter att barnet har träffat på en rad olika variationer av ett föremål eller en sak och insett att det går att urskilja
egenskaperna hos dessa, kommer det kunna skilja växter från djur, pennor från tuschpennor etcetera i en hierarkisk följd. Vidare skriver de att denna klassificeringsförmåga som barn utvecklar kan lärare använda sig av när det kommer till geometriska begrepp. Till exempel kan de titta på en grupp månghörningar som har olika egenskaper som går att sortera. De kan titta på vinklar, sidor och deras längd, för att kunna göra avvägande för sortering, argumentation och föra matematiska resonemang (Solem et al., 2011).
2.3. Begreppsinnehåll och begreppsuttryck
I sin bok ”Matematik som språk” skriver Hoines (2013) att begrepp är dubbelsidiga. Begreppens ena sidan syftar till begreppsinnehåll och andra till begreppsuttryck. Med begreppsinnehåll menas det tankar, åsikter och bilder av ett föremål eller någon person man har i huvudet och med ett begreppsuttryck menas det ett språk eller symbol för de tankarna. Den innebörd vi ger föremål runtomkring oss är specifika för tingen själva och dessa relationer emellan. För att kunna ta till sig begrepps innebörd och kunna se koppling mellan olika matematiska begrepp krävs det att de tas upp i olika situationer där en variation av förekomsten av begreppen görs synlig (Hoines, 2013).
2.4. Geometri i undervisningen
Skolans geometri präglades av Euklides Elementa mer än 2000 år där geometrins uppbyggnad utgick från ett antal axiom och definitioner som på ett logistiskt sätt bevisar centrala satser och formler. Det betyder att i skolan lärde sig elever dessa satser och formler men ofta utantill utan att förstå deras innebörd. Denna teoretiska syn på geometrin försvann i stor del med införandet av grundskolan och ersattes med mer praktisk syn med varierande tillämpningar. I slutet av 1960-talet försökte man genom fortbildningsprojektet ”Deltaprojektet” införa avbildningsgeometri som inte riktigt slog igenom på grund av en saknad kompetensutveckling hos lärare (Löwing, 2011).
Löwing (2011) förklarar vidare att lärare bör vara medvetna om elevers förkunskaper och utifrån detta hitta förenklade förklaringar, ofta med hjälp av olika metaforer. Detta är en process som bör successivt bygga upp elevers begreppsuppfattning från enklare och konkret till mer abstrakt och generell uppfattning.
Holmberg (2011) anser dock att mer laborationer med olika analyser och kommunikation med elever kan främja elevers kunskapsutveckling inom geometri. Löwing och Kilborn (2010) samtycker och skriver vidare att om elever inte får möjlighet att utveckla sina kunskaper inom geometri och bygga upp förståelse för geometriska begrepp i tidigare årskurser riskerar de att sakna matematiskt språk och begrepp som kan leda till att de inte kan föra enkla resonemang.
Under sin tid i skolan kommer elever att stötta på olika sorters figurer så som trianglar, kvadrater och rektanglar. De har kanske lärt sig några igenkännings egenskaper som att en kvadrat har lika långa sidor eller att en rektangel har två, men det är inte lika väsentligt som att de lär sig figurens egenskaper och hur de bygger upp underlag för klassificering av figurerna. Det de behöver lära sig att trianglar och kvadrater tillhör gruppen månghörningar eller att kvadraten är en specialvariant av rektangeln (Solem et al. 2011).
När vi beskriver olika figurer är det viktigt att se till att elever förstår vad dessa olika begrepp innebär. Om vi säger att en grupp figurer kallas för fyrsidiga, då är det viktigt att visa elever olika sorters figurer som klassas i denna kategori och inte bara de som elever stöter på i vardagen. Det är också viktigt att elever får chans att fråga och prova sig fram när de konfronteras med okända figurer. Vid ställandet av frågor måste läraren se till att elever förstår begreppen som används vid beskrivningen och hjälpa dem i sitt fortsatta tänkande. Ibland kan bästa sättet att förstå något vara icke verbalt. Alltså eleverna får erfara med egna händer och prova sig fram genom att vrida och vända, sätta ihop och dra isär olika figurer, för att kunna lära sig förstå begreppen (Solem et al. 2011).
2.5. Läroboken
Med läroboken menas det resurs för lärande och undervisning; traditionellt främst läroböcker,
Nationalencyklopedin. Vi definierar matematikläroboken som en bok som redogör för ett matematiskt innehåll i form av olika uppgifter där de olika matematiska förmågorna ska tränas.
I en rapport skriven av Skolinspektionen i samarbete med Nationellt centrum för
matematikutbildning (NCM) och Umeå forskningscentrum för matematikdidaktik (UFM)
granskades bland annat ” […] I vilken utsträckning är innehållet i skolans läromedel kopplade till
läroplanen och kursplanen i matematik och hur används de i lärarens praktik? […] (Bergqvist et al.
2010, s.4). I kvalitetsgranskningen använde sig författarna av intervjuer, observationer och enkäter utifrån lärarperspektiv. I en fråga skulle lärarna förklara i vilken utsträckning de använde sig av kursplanens olika delar. Hos vissa lärare kom det fram att de inte använde sig av kursplanen så mycket utan att de litade på att läroboken behandlade de delområden som var viktiga att kunna inom en viss årskurs (Bergqvist et al., 2010).
I frågan om lärobokens urval och vilka grunder ligger för detta svarade en del lärare att detta görs oftast i samråd med andra kollegor eller att det fanns en grupp i skolan som arbetade med detta. Kriterierna vid lärobokens urval varierade enligt Bergqvist et al. (2010) och kunde påverkas allt från den ekonomiska aspekten till att läromedlet skulle täcka det som ansågs vara
grundkunskaperna i matematik och att läroböckerna skulle överensstämma med kursplanen. Några lärare ansåg att valet av läroboken påverkades av hur lätt det skulle vara för eleverna att jobba själva i läroboken (Bergqvist et al., 2010).
2.6. Styrdokument
I ett försök att utveckla elevernas förmåga att resonera och föra matematiska diskussioner på ett adekvat sätt, har riksdagen och regeringen tagit fram den nya reviderade versionen av läroplanen, Lgr11. Vissa kunskapsmål har ändrats eller lagts till och elevens kommunikativa förmåga inom ämnet matematik blev uttryckt mer tydligt.
I den nuvarande kursplanen för matematik står det att eleven ska ges ” […] förutsättningar att
utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp […]. […] ges möjlighet att utveckla kunskaper i att använda digitala verktyg och programmering för att kunna undersöka problemställningar och matematiska begrepp […]. […] Vidare skall eleven utveckla förmåga att
argumentera och föra matematiska resonemang vilket förutsätter att eleven har fått tillräckliga kunskaper inom matematiska begrepp och dess innebörd […]” (Skolverket, 2020).
I kommentarmaterial till kursplanen i matematik står det mer detaljerat om hur matematiska begrepp och begreppsförståelsen kan vara av central roll för fortsatt matematikinlärning. Förmåga att förstå matematiska begrepp och kunna använda dem i olika matematiska sammanhang ligger lika ställt med förmågan att kunna använda lämpliga metoder och procedurer (Skolverket, 2011).
Eleven ska ges möjlighet att utveckla förtrogenhet med de grundläggande matematiska begrepp som i sin tur utvecklas genom erfarenhet av begreppen som presenteras via olika aktiviteter eller
uppgifter. Vidare skall eleven ges möjlighet till att kunna analysera och använda matematiska begrepp och kunna se samband mellan dessa. Olika uttrycksformer ska hjälpa eleven komma till större begreppsförståelsen (Skolverket, 2020).
När det kommer till geometriska begrepp skall eleven enligt Lgr11 för att få godtagbara kunskaper inom matematik i slutet av åk 3 kunna ”[...]använda grundläggande geometriska begrepp och
vanliga lägesord för att beskriva geometriska objekts egenskaper, läge och inbördes relationer. Eleven kan även använda och ge exempel på enkla proportionella samband i elevnära situationer”
(Skolverket, 2020).
2.7. Representationer av begrepp
För att elever ska uppfatta ett matematiskt problem eller begrepp på rätt sätt behöver lärare använda olika representationer av dessa begrepp för att elever ska kunna hitta kopplingar mellan det
konkreta och abstrakta språket. Med hjälp av olika representationer som vardagsspråk, diagram, symboler och skriftspråk ska eleverna få en variation mellan praktiska tillämpningar och konkreta upplevelser av den abstrakta matematiken. Representationer kan ha dubbla roller. De kan föreställa en konkretisering av abstrakta matematiska begrepp eller representera verkliga objekt. Om man arbetar med markörer kan de fungera som modell för abstrakta tal samt kan de användas för att representera en verklig situation t.ex. ett visst antal markörer representerar motsvarande antal personer. (Wittmann, 2005).
Rystedt och Trygg (2010) lyfter fram två kategorier av representationer, interna och externa. Interna representationer föreställer bilder, figurer, symboler och elevens vardagliga språk medan externa representationer utgår från matematikens konventionella symbolspråk t.ex. hur tallinje och
koordinationssystem används. För att lärande i matematiken ska vara effektivt som möjligt behöver lärare lägga mer fokus på samspelet mellan interna och externa representationer. Detta samspel kan göra att fler elever lyckas med matematiken.
Representationer av geometriska begrepp kan ske med symboler, bilder, ord eller med hjälp av konkreta materialet samt variationen av innehållet av uppgifterna. Häggblom (2013) delar in representationer i fem kategorier: verklighet, bildmodell, symboler, språk och konkret modell.
Konkret modell betyder ett fysiskt utförande t.ex. när eleverna mäter och bildmodell när uppgifterna
visas med hjälp av olika bilder. Symboliska representationer är matematiska symboler som inte behöver ha en verklighetsanknytning, veklighet föreställer koppling till vardagen och språk innefattar tankar som uttrycks muntligt eller skriftligt. Vilken av kategorier ska användas i undervisningen beror på vad den ska användas till och vilka kunskaper elever redan har i
matematiken. Vidare lyfter han att talade språket ses också en representation som hjälper eleverna att utforska, kontrastera och se sambandet mellan olika representationer. De fem nämnda
representationsformerna för begrepp kommer att förklaras mer djupgående i kommande kapitel. Modellen kommer att användas för att få svar på andra frågeställningen.
3. Teoretiskt ramverk
Med hänsyn till studiens syfte som var att ge förståelse för vilka möjligheter det finns för elevers begreppsutveckling och lärande inom området geometri i elevernas matematikläroböcker på lågstadiet har vi valt att lyfta fram den sociokulturella teorin av Lev Vygotskij och variationsteori. Andra frågeställningen kommer att analyseras och besvaras med hjälp av Lesh’s modell som består av fem olika representationsformer av ett begrepp.
I sociokulturella teorin kommer vi att titta närmare på några viktiga begrepp som mediering och artefakter samt ”intersubjektiva rum” och sätta dem i relation till begreppsutveckling hos elever (Säljö, 2014).
Variationsteori bygger på forskning kring urskiljning, simultanitet och variation. Lärandeobjekt och variationsmönster (kontrast, separation, generalisering och fusion) som centrala begrepp kommer att behandlas och sättas i relation till det valda syftet (Lo, 2014).
3.1. Sociokulturell teori
Den sociokulturella teorin utvecklades av Lev Vygotskij och han menade att människans lärande främjas mest i sociala sammanhang och genom interaktion med andra människor. Utan social kommunikation sker ingen utveckling av språk och till skillnad från Piaget som menar att barn från början är autistiska, påstår Vygotskij att barn är från början sociala och genom andra människor lär de känna sig själva. När det kommer till begreppsutveckling skriver Vygotskij att det är viktigt hur ordens betydelse sätts i relation till olika föremål i omgivningen. Han skiljer mellan tre faser i begreppsutvecklingen: synkretistisk, komplex och begreppslig fas. I den synkretistiska fasen har barnet en subjektiv relation till olika föremål och i komplexa fasen börjar relationer bli konkreta med hänsyn till olika egenskaper hos föremål. I den sista fasen försöker man förena vardagsbegrepp med vetenskapliga begrepp på ett sätt där man låter elevers erfarenheter konfronteras med dessa begrepp (Vygotskij, 2001).
Ett av centrala begrepp i den sociokulturella teorin mediering kommer från tyska ordet Vermittlung och förklarar samverkan mellan människan och kulturella redskap. Säljö (2014) menar att
människor tolkar omvärlden med hjälp av olika fysiska, intellektuella och språkliga redskap och på ett sådant sätt skapar betydelse och bättre förståelse. Dessa kulturella redskap kallas artefakter.
Jakobsson (2012) definierar mediering som lärande genom att fokusera på interaktionen mellan medierande resurser, vårt tänkande och våra handlingar. Med mediering i denna studie menas ett samspel mellan elever och matematikläroböcker samt elevers tänkande och handlingar i samband med matematikuppgifter. Läroboken kan ses som en artefakt som utgör ett intellektuellt och språkligt redskap som kan hjälpa elever med begreppsutveckling. Han skriver också att det sociokulturella perspektivet kan främja elevers begreppsutveckling och hjälper elever att utveckla förmågan att förstå innebörden av dessa begrepp och hur man kan använda dem. Vidare skriver han att vårt tänkande och föreställningsvärld påverkas av vår kultur och dess intellektuella och fysiska redskap. Kommunikation och språk utgör en viktig punkt i sociokulturella teorin eftersom denna gör att människor är mer delaktiga och skapar ett samspel med varandra. I arbetet med matematiska begrepp kan detta perspektiv hjälpa att inkludera alla elever i lärande och få dem att lättare uttrycka sig med ett matematiskt språk. Även artefakter tar en stor plats i arbetet med matematiska begrepp.
Hundeide (2003) tar upp ”intersubjektiva rum” som föreställer styrmekanismer och klimatet i klassrummet samt normer om hur man ska tala och bete sig i klassrummet. Han påpekar att en emotionell inkludering och bekräftelse av elever är viktigt för att få med sig dem till
”intersubjektiva rummet”. Mer dominerande lärare i samtal kan få en motsatt effekt och skapa en atmosfär präglad av ångest och misslyckande som kan leda till en mer distanserad relation mellan elever och lärare. Däremot skapar en bra lärare ett intersubjektivt rum där alla elever är inkluderade och känner sig trygga i sin kommunikation. ”Intersubjektiva rum” kan ha en stor betydelse när man arbetar med konkretisering av matematiska begrepp eftersom kommunikationen och tryggheten i undervisningen påverkar elevernas arbete och motivationen. Det intersubjektiva rummet blir aktuellt för studien då läroboken föreställer en styrmekanism med sina uppgifters upplägg som kan leda till kommunikation mellan elever. Denna sorts kommunikation kan krävas då en bestämd matematikuppgift ska lösas.
3.2. Variationsteori
Variationsteori är en vetenskaplig teori om lärande som utvecklades från fenomenografi där lärande skapas genom variation av det givna undervisningsmomentet och ses ofta som en teoretisering av fenomenografi (Wernberg, 2005). Genom learning study som en plattform kan lärare använda sig av variationsteori och med hjälp av denna teori planera, genomföra och utvärdera undervisningen. Detta ger möjlighet till lärare att skapa ett gemensamt språk men även gemensamma normer och standarder i arbetet (Lo, 2014).
Lärandeobjekt är en viktig term inom variationsteori och till skillnad från lärandemål fokuserar
lärandeobjekt på början av en lärandeprocess. När ett lärandeobjekt presenteras för eleverna är det viktigt att fokusera på vissa drag (de kallas ”kritiska drag”) som ger möjlighet till eleverna att se på lärandeobjektet på ett speciellt sätt. Det är viktigt att lärare urskiljer dessa ”kritiska drag” och identifierar de saker som elever har svårare att förstå (Lo, 2014).
För att de kritiska dragen ska bli upptäckta hos ett lärandeobjekt behövs det en variation med samma innehåll. Detta får man genom variationsmönster som bygger på fyra viktiga begrepp:
kontrast, separation, generalisering och fusion.
Kontrast betyder att elever ska uppfatta skillnaden mellan två värden som kontrasteras mot
varandra. Lo (2014) menar att de kritiska dragen hos ett lärandeobjekt kan identifieras lättare om man ställer det i kontrast mot ett annat objekt. Ett exempel kan vara att visa elever några olika trianglar som har olika egenskaper (likbent, rätvinklig, liksidig) och på sådant sätt variera
begreppsbilder i undervisningen. Man kan säga att läraren använde variation genom att kontrastera och ge elever strategi för hur de ska urskilja och därmed förbättra sin förståelse inom geometri.
Separation uppstår när eleven har blivit medveten om ett värde och genom att ställa det mot ett
annat värde t.ex. stor mot liten eller röd mot grön. På ett sådant sätt bildas en ny dimension av variation hos elever inom begreppen som storlek eller färg. Det är viktigt att lärare urskiljer lärandeobjekt som en helhet för att senare undervisa om de kritiska dragen. Lo (2014) tar upp ett exempel av textskrivandet där lärare visar två texter för elever och andra texten redogör mer tankar och känslor. Detta gör att man kan separera en ny dimension av variation i detta fall ”skriva med hjälp av tankar och känslor”. Efter att eleverna uppfattar skillnaden mellan de två texter är det sannolikt att de kan själva visa mer variation och kontrast i sina texter.
Generalisering betyder att man fokuserar på ett värde och varierar med andra aspekter som inte är i
fokus. En lärare kan visa en triangel på papper, på tavlan eller som en bild samt kan visa olika sorters trianglar. På så sätt behåller läraren fokus på triangeln och varierar med andra aspekter som storlek, färg eller typ av triangel. Man säger då att det fokuserade värdet generaliseras och andra aspekter separeras (Lo, 2014).
deras förhållande till varandra samt till objektet som en helhet. Fusion används när vi vill ena begrepp som triangel, kvadrat, rektangel till en mer komplex förståelse, i det här fallet
tvådimensionella figurer. Här behärskar eleverna samtliga delar av lärandeobjektet och kan hantera de flesta kritiska aspekter (Holmqvist, 2006).
3.3. Lesh’s modell
För att kunna belysa de olika representationsformerna använde vi oss av Lesh modell (Skolverket, 2018, Behr et al, 1992, Häggblom, 2013) som består av fem olika representationsformer. Dessa är
bildmodell, konkret modell, symboler, språk och verklighet. Syftet med detta är att kunna på bästa
möjliga sätt tydliggöra och förklara de olika representationerna i matematikläroböckerna. Mellan varje representationsform finns pilar som belyser hur man kan gå från en representation till en annan.
Figur 1. Representationsformer enligt Lesh modell (1992, s.301)
Uttrycksformen som betecknas med språk i modellen kan syfta till både informellt vardagsspråk och formella matematiska begrepp som förekommer i matematikläroboken. Språket kan också syfta till elevens muntliga och skriftliga förmåga att uttrycka sig med kring egenskaper hos en
tvådimensionell geometrisk figur (Häggblom, 2013).
Uppgifter som innehåller bilder kan hjälpa eleven identifiera egenskaper eller olika former i den
verkliga världen. Symboler brukar uttrycka den abstrakta matematik som visar sig ofta vara svårast
av alla uttrycksformer och brukar därför ha en stark koppling till konkretisering av begreppen som oftast görs med hjälp av verklighetsanknytningar. Konkreta modeller brukar innefatta olika sorters
laborationer. Laborationsuppgifter i matematikläroboken bör ge eleverna möjlighet att prova sig fram, utforska, jämföra och använda sig aktivt av kommunikationen i syftet att lösa olika
matematiska problem (Roos & Trygg, 2018).
Enligt Bergius och Emanuelsson (2008) ger olika uttrycksformer stöd för förståelse av matematiska begrepp. Vidare anser de att variationen av olika representationsformer bör anpassas efter varje elev, begrepp och sammanhang. Ju fler representationsformer läroboken innehåller desto större möjlighet öppnas för elever att få en fördjupad förståelse for tvådimensionella geometriska begrepp.
4. Tidigare forskning
I detta avsnitt kommer tidigare forskning redovisas och tyngdpunkt läggs vid fyra viktiga delar:
matematik och läroboken där vi lyfter vilken roll läroboken spelar i matematikundervisningen, matematik och språk som betonar ett samspel mellan språket och undervisningen av matematiska
begrepp, konkretisering där vi tar upp problematik kring arbetet med matematiska begrepp och
hjälpmedel och verktyg i vilken redovisas hur man kan arbeta med olika hjälpmedel att förmedla
matematiska begrepp. I denna del användes originallitteratur i form av doktorsavhandlingar och vetenskapliga artiklar.
4.1. Matematik och läroboken
Läroboken har en betydande roll i matematikundervisning och enligt en granskning från Skolverket (2003) visade sig att en stor majoritet av matematiklärarna använde läroboken i hög grad och inte varierade med andra läromedel. Detta läroboksanvändande kan leda till en ensidig utformning av undervisningen som i sin tur leder till att elever tappar motivation. Vidare visade granskningen en dominerande roll av läroboken i undervisningen där både innehåll och upplägg styrs mycket av läroboken. Enligt lärare är anledning till att läroboken dominerar i matematikundervisningen en rädsla att undervisningen inte skulle fungera på samma sätt som med läroboken, framförallt med icke erfarna lärare (Skolverket, 2003).
I sin avhandling påpekade Johansson (2006) också att läroboken har en stark ställning i matematikundervisningen. I en studie med tre lärare om deras sätt att organisera
matematikundervisningen kom Johansson fram till att den största delen av uppgifter som elever arbetar med i skolan och hemma kommer från läroboken. Hon ifrågasätter vilka effekter det här arbetssättet har på elever och hur deras inställning till matematiken formas. Vidare lyfter hon relationen mellan läroboken och kursplanen i matematik och eftersom läroboken styr alltför mycket matematikundervisningen, frågan är, vilka mål från läroplanen prioriteras och vilka får en
underordnad roll. Även Runesson (1996) rapporterar i sin vetenskapliga artikel om undersökningar gjorda på 1990-talet där det visade sig att läroboken användes i 75–80 procent av tiden i
matematikundervisningen.
I en kvalitetsgranskning redovisas att det finns en stor skillnad i användning av matematik
kompetensaktiviteter. Det leder till att lärare måste komplettera uppgifterna från läroboken med andra medel som arbetsblad. Vidare anses att det inte är det enda problemet att
matematikundervisning är bunden starkt till läroboken utan att läroboken inte är bra i sig från ett kompetensmålsperspektiv (Bergqvist et al., 2010).
Samtidigt vill Johansson (2006) i sin avhandling lyfta fram att man ganska ofta fokuserar på negativa sidor när man analyserar hur läroboken i matematik styr och formar
matematikundervisningen. Johansson (2006) menar i stället att läroboken kan ses som ett viktigt redskap som hjälper lärarna att organisera matematikundervisningen. Vidare menar hon att lärare ska vara medvetna om att undervisning kan vara begränsad om de litar alltför mycket på läroboken.
I sin artikel hänvisar Brändström (2003) till en avhandling av Hellström (1985) som även visade en styrande roll av läroboken i matematikundervisningen. Hon fortsätter att dagens undervisning inte har ändrats mycket och refererar till rapporten Lusten att lära – med fokus på matematik (2003) där granskningen även visar en lärobokens dominerande roll.
4.2. Matematik och språk
Man kan höra ofta att ”matematik är ett språk” och fraser som ”nu ska vi tala matematik”. Löwing och Kilborn (2002) skriver att lärare behöver vara extra försiktiga när de introducerar nya begrepp som har en annan betydelse i matematiken än i vardagsspråket. De påpekar vidare att det är viktigt att konkretisera dessa begrepp och genom samtal och diskussioner få elever att förstå deras
innebörd och kunna använda dem som ett komplement till vardagsspråket.
Engvall (2013) har i sin doktorsavhandling genomfört en fältstudie i syftet att urskilja vad som är kännetecknande för lärares och elevers handlingar i fyra olika klassrum. Fokus låg på additions och subtraktions räknemetoder och hur dessa kunde ses utifrån elevers och lärarens handlingar. Lärarens handlingar visade tydligt att uppmärksamheten riktades mot procedurer men att lärarna ändå behåll väsentliga begrepp och deras relationer till varandra levande. Eleverna uppmuntrades att föra matematiska samtal och visa felaktigheter förbisågs för att bevara den egna tilltron till sin
matematiska förmåga hos eleverna. När det kommer till elevers handlingar såg man tydligt att de riktade sin uppmärksamhet mot procedurer och matematiska begrepp. Eleverna tillämpade kommunikation i samtal med läraren och klasskamraterna då läraren uppmuntrade det. En del initiativtagande hade uppmärksammats från elevernas sida när det kom till att lösa uppgifterna i
grupp och tilltro till sitt eget kunnande kunde påpekas.
Under observationerna av lärarnas kommunikation med elever kunde Engvall se att ett beskrivande språk trädde fram. Med beskrivande språk menas det ett språk som är av matematisk karaktär men som förekommer inom den vardagliga verksamheten, d.v.s. ett matematiskt språk som eleverna behärskar. Ord som ”fattas” och ”kvar” användes ofta inom subtraktionen som ofta kallas för
nyckelord och betraktas som regelstyrda. För några av eleverna kunde nyckelorden fungera som ett
stöd medan andra inte blev hjälpta av dem. En del av lärarna hade använt sig av revoicing metoden där läraren upprepade eller omformulerade det eleven hade sagt för att antingen betona det som eleven sa eller omformulerar elevsvar till det som läraren ansåg vara viktigt för elever att kunna (Engvall,2013).
Efter en sammanställning av resultaten kunde Engvall (2013) dela upp verksamheten i fyra olika typer. De olika verksamhetstyperna speglade förmågor som elever utvecklade i respektive
verksamhet. De fyra typerna av verksamhet var: procedurinriktad, procedur- och begreppsinriktad,
procedur- och kommunikationsinriktad och begrepps och argumentationsinriktad (Engvall, 2013).
Sammanfattningsvis kan vi se att två typer hjälper eleven att utveckla begreppsförmåga inom matematikundervisning. Dess typer är procedur- och begreppsinriktad verksamhet och, den sista och enligt Engvall mest givande för elever, begrepps- och argumentationsinriktad verksamhet. Engvall (2013) menar att genom att främja och uppmuntra elever att föra matematiska diskussioner och jobba på begrepps innebörd inom matematik utan att fokusera alldeles för mycket på
felaktigheter, kan eleven nå en utveckling inom matematiken som sträcker sig över metod och beräkningsförmåga.
I sin rapport skriver Sterner och Lundberg (2002) att språkets betydelse för begreppsbildning i matematik är stor och att en stor del av matematiska problem består av text, instruktioner och symboler. Vidare påpekar de att det finns en skillnad mellan vardagsspråket och det matematiska språket där det sista använder sig av ett speciellt symbolsystem. För att kunna kommunicera via ett matematiskt språk behöver elever förstå relation mellan matematiska begrepp, idéer och symboler.
Riesbeck (2008) påpekar i sin avhandling att arbete med laborationer kan skapa mer förståelse hos elever men lärare behöver hitta svåra moment och ställa utvecklande frågor som förhoppningsvis ska leda till en bättre kommunikation mellan elever och lärare. Denna avhandling är en
lärarstudenter och elever har utvecklat kunskap i samtal om matematiska begrepp och
problemlösning. Video och audio inspelningar användes för att observera i klassrummet. Vidare är det viktigt vilken kunskap lärare besitter när de förmedlar innehållet, framförallt när de ska arbeta med svårare delar i innehållet. Hon lyfter också att lärare bör ta hänsyn till elevers förkunskaper men även att låta elever reflektera över lösningsmetoderna. Bergquist och Österholm (2014) menar att lärare kan med hjälp av elevers matematiska språkbruk fastställa deras förkunskaper och genom att prata mer om språkbruket utveckla elevers matematiska tänkande.
4.3. Konkretisering
En del matematiska begrepp går att konkretisera lättare än andra, framförallt de som har sina rötter i vardagen som t.ex. procenträkning. Löwing och Kilborn (2002) lyfter vikten av att förmedla
begreppens praktiska innebörd till elever och förklara dem med hjälp av vardagen eller ett historiskt perspektiv. Englund och Lahdi (1998) skriver att det är viktigt att använda sig av verklighet som finns omkring oss och låta elever arbeta laborativt och undersökande. De påpekar vidare att språket spelar en stor roll när man förklarar matematiska begrepp samt att skrivna språket måste matcha det talade.
De andra begreppen som inte går att koppla till vardagen kallas för abstrakta och är svårare att förmedla. Detta leder till att lärare experimenterar med olika sätt att förklara dessa begrepp som kan utlösa ett dilemma hos elever. Enligt Löwing och Kilborn (2002) är ett ytterligare problem att en stor del av vardagsmatematiken har flyttats till det abstrakta matematikens område som gör svårare för vissa elever att konkretisera och förstå begreppen. Därför är det viktigt som lärare att kunna hitta en koppling mellan konkret och abstrakt matematik.
Löwing (2004) skriver i sin doktorsavhandling att lärare behöver bygga en bro mellan elevers vardag och det komplexa innehållet som ska förmedlas. Detta ställer stora krav på lärare att använda ett adekvat språk för att kunna förklara innehållet på bästa sättet. Vidare skriver hon att det är viktigt att lärare ska skapa situationer med aktivt deltagande från elevers sida så att de kan använda detta språk vid olika situationer i klassrummet. Löwing (2004) använde observationer för att studera undervisningen under matematiklektioner och valde nio lärare från olika stadier inom grundskolan. Hon gjorde först en intervju med varje lärare och sedan fick lärare bära en liten bandspelare i fickan som spelade in all den kommunikation som hen hade under lektionen. Unenge et al. (1994) lyfter metaforer som ett bra sätt att konkretisera matematiska begrepp och ge en ny dimension av
begreppen. De påpekar även ”helheten” som en utgångspunkt i matematikundervisningen för att väcka elevernas spontana tankar och ha kommunikationen på deras nivå.
I sin forskningsöversikt skriver Rystedt och Trygg (2010) att både nationella och internationella studier visar att skolan måste hitta bättre arbetsformer och sätt i matematikundervisningen för att skapa mer intresse och färdighet i matematik. De betonar vikten av laborativ
matematikundervisning där elever arbetar både mentalt och praktiskt. Den praktiska delen består av olika aktiviteter och undersökningar med speciellt framtaget material. Lesh (1981) menar att det som utmärker den laborativa matematikundervisningen är att det ska finnas en stark koppling mellan konkret och abstrakt matematik samt att den ska hjälpa elever att tillämpa abstrakt matematik i konkreta situationer. Även Löwing och Kilborn (2002) påpekar om länken mellan abstrakt och konkret när de skriver hur lärare ska arbeta med konkretisering av matematiska begrepp.
4.4. Hjälpmedel och verktyg
I sin artikel menar Kairavuo (2010) att elever behöver ta hjälp av speciella hjälpmedel för att kunna få förståelse för matematiska begrepp. Hon förklarar att hjälpmedel kan variera och ser själva språket som ett bra medel att variera med olika sätt att förklara begreppen. Att arbeta med konkret material i matematikundervisningen skapar möjlighet att konstruera öppna frågor med mer utrymme till variation och differentiering. Hon skriver vidare att visualisering kan vara ett bra sätt att arbeta med matematiska begrepp och ger ett exempel att använda färgknappar för att konkretisera när man arbetar med talen. Med två olika färger på knappar kan man lätt förklara för elever varför summan av två udda tal är alltid ett jämnt tal. Ett sätt att förklara att vart tredje tal är delbart med 3 är att använda Toblerone ask med nummer ihop klistrade på sidorna. Kairavuo (2010) visar även hur man kan förmedla kvadratrots begrepp med hjälp av färggranna och transparenta knappar som ger mycket utrymme för eleverna att experimentera. Även tangrampussel som består av fem rätvinkliga trianglar, en kvadrat och en parallellogram kan vara ett bra sätt att introducera kvadratrot.
I sin doktorsavhandling skriver Taflin (2007) hur viktigt det är att lärare besitter en kompetens om begreppshjälpmedel d.v.s. att de har kunskap om de olika verktyg och att de redan har provat och utvärderat hjälpmedel som förklarar matematiska begrepp. Detta gör att lärare kan arbeta med dessa verktyg på ett tryggare sätt som även ger en säkerhet till eleverna när de använder dessa hjälpmedel.
4.5. Sammanfattning av tidigare forskning
Det som framkommit i tidigare forskningen visar på hur begreppsinlärning kan se ut hos elever utifrån olika undervisningsmetoder. I första delen beskrivs lärobokens roll för
matematikundervisningen och dess styrande roll som i sin tur påverkar elevernas möjlighet att förstå det matematiska språket. Det matematiska språket spelar en stor roll för att eleverna ska kunna gå från det konkreta språket till det mer abstrakta. Även användning av det adekvata språket påpekas i litteraturen som en väg i rätt riktning att arbeta framgångsrik med konkretisering av matematiska begrepp. Som ett stöd i arbetet med matematiska begrepp lyfts olika verktyg och hjälpmedel som underlättar undervisningen och hjälper lärare att förklara dessa begrepp på ett sätt som elever kan förstå.
5. Metod
Under denna rubrik redogörs vilken metod som användes för att analysera den insamlade data. Metoden valdes med utgångspunkt i studiens syfte som var att ge förståelse för vilka möjligheter det finns för elevers begreppsutveckling och lärande inom området geometri i elevernas
matematikläroböcker. Sedan kommer urval av läroböcker och avgränsningar beskrivas samt genomförande. Slutligen kommer de forskningsetiska överväganden tas upp.
5.1. Kvalitativ metod och innehållsanalys
Den kvalitativa metoden används i syftet att samla in data som analyseras för att komma fram till viktiga samband i vårt fall om förhållandet mellan matematikläroboken och dess innehåll. Med hänsyn till vad man vill analysera kan man dela upp materialet i kvalitativa metoden efter typ, form
och innehåll. Med typ menas det vilken typ av källa materialet klassas som. Det finns tre olika
materialkällor som är: primär, sekundär och tertiär källa. I vår studie används sekundär källa d.v.s. matematikläroboken för att den bygger på forskning och styrdokument. Form syftar till skriftliga, visuella och ljuddokument. I vår studie kommer skriftliga och visuella formen analyseras. När det kommer till innehåll anses läroboken ha faktainnehåll (Johannessen et al., 2020). Fejes &
Thornberg (2019) skriver om olika metodansatser inom kvalitativ forskning som grundad teori, semiotik, fenomenologi eller hermeneutik och varje av dessa metodansatser består av flera steg vid analys av insamlade data.
Eftersom utgångspunkten i vår studie handlar om hur matematiska begrepp av tvådimensionella figurer representeras i matematikläroboken anser vi att det var lämpligt att använda sig av en kvalitativ innehållsanalys. Den kvalitativa innehållsanalysen hjälpte oss på bästa sätt att besvara våra frågeställningar som berör förekomst av geometriska begrepp och deras olika
representationsformer. Eftersom våra frågeställningar är av den karaktär där vår uppfattning om vilka möjligheter matematikläroboken kan erbjuda elever att utveckla begreppsförmågan inom geometri falls det naturligt att välja den kvalitativa metoden. Vi var inte intresserade av att utföra någon kvantifiering i vår studie och därför var inte den kvantitativa metoden relevant.
För att ge svar på våra frågeställningar utförs en läromedelsanalys med hjälp av innehållsanalys. Innehållsanalys är en metod som används att analysera dokument och texter där innehållet på ett
systematiskt sätt kvantifieras utifrån i förväg utformade kategorier. Enligt Bryman (2018) har innehållsanalysen två viktiga egenskaper: objektivitet och systematik. Med objektivitet menar han att alla kategorier av insamlade data ska vara tydlig specificerade medan subjektivitet syftar till att alla regler för undersökningen följs noggrant av forskaren. Vi har valt att kategorisera begreppen utifrån beskrivningen som syftar till objektets namn, begrepp som beskriver en process och begrepp som beskriver egenskaper.
5.2. Datainsamling
Datainsamlingen utfördes på följande sätt: att göra en innehållsanalys utifrån kvalitativ metod har inneburit en grundlig analys av matematikläroböckerna med fokus på tvådimensionella geometriska begrepp. Vi tittade på varje uppgift i matematikläroböcker i sig och när vi hittade uppgifter som behandlade temat kring tvådimensionella figurer och deras egenskaper, antecknades dessa utifrån vilka begrepp förekom i uppgifter. Dessa begrepp kategoriserades utifrån deras funktion och representation. Funktionen av begreppen delades in i tre grupper som var objekt, process och egenskap. Meningen med kategoriseringen var att lättare kunna se begreppens olika former samt vilken aktivitet de speglade. Denna sammanställning i tabellerna 1 och 2 användes sedan för att tolka, jämföra och komma till förståelse i uppgifternas innehåll. När det kommer till den andra frågeställningen där analysen av de olika representationsformerna av begreppen skulle göras togs bilderna och den skrivna texten i betänk. I andra frågeställningen analyserades uppgifternas innehåll utifrån olika aktiviteter som eleven erbjöds i samband med uppgifterna.
5.3. Urval
I denna studie användes tolv läroböcker av två olika läroboksuppsättningar av samma förlag för årskurs 1–3 och urvalet byggdes på ett bekvämlighetsurval som innebär att urvalet funnits lätt tillgängligt för forskaren. Dessa matematikläroböcker anser vi vara relevanta för studien eftersom många skolor använder dem i sin undervisning och att läroböckerna behandlar tvådimensionella figurer som är av intresse för vår studie. Anledning att vi använde tolv olika läroböcker är att få en variation och kunna jämföra dem med varandra. I denna studie har vi använt bara tryckta läroböcker och valt bort att använda lärarhandledningar, digitala läromedel och övningsböcker. Detta urval gjordes på grund av studiens syfte som hade elevperspektiv samt att dessa matematikläroböcker används väldigt ofta av lärare i matematikundervisningen. Dessa läroböcker är Prima Matematik 1A,
1B, 2A, 2B, 3A och 3B och Mästerkatten 1A, 1B, 2A, 2B, 3A och 3B.
Prima Matematik 1A, 1B, 2A, 2B, 3A och 3B är ett läromedel i matematik för årskurs 1–3 med
tydlig förankring i läroplanen. Boken är utgiven av förlaget Gleerups och skriven av Åsa Brorsson. Läroböckerna 1A, 2A och 3A används på höstterminen och 1B, 2B och 3B används på vårterminen.
Mästerkatten 1A, 1B, 2A, 2B, 3A och 3B är läroböcker för matematikundervisning i åk 1–3 som har
en tydlig koppling i läroplanen. Läroböckerna är utgivna 2013 av förlaget Gleerups och skrivna av Curt Öreberg. Läroböckerna 1A, 2A och 3A används på höstterminen och 1B, 2B och 3B används på vårterminen.
5.4. Avgränsningar
Vi har valt att avgränsa studien till matematikläroböcker för årskurs 1–3 framtagna av samma förlag. Vidare har vi avgränsat oss till tvådimensionella geometriska begrepp. Med tvådimensionella
geometriska begrepp menar vi triangel, kvadrat, cirkel, rektangel etc. samt deras egenskaper som hörn, sida, parallell etc.
5.5. Genomförande
Studie påbörjades med att samla information om matematiska begrepp. Genom tidigare erfarenheter och genom VFU i matematik hade vi förkunskaper om vilka läroböcker som används i
matematikundervisning och kunde ganska fort hitta vilka vi kommer använda i läromedelsanalysen. Arbete genomfördes i en iterativ process där vi gick igenom läroböcker flera gånger för att
identifiera de centrala geometriska begreppen i uppgifter (Bryman, 2018
).
Läroböcker analyserades i följande steg. Först gjordes en inventering av alla geometriska begrepp inom tvådimensionella figurer. Vi gick tillsammans igenom varje bok och antecknade relevant data för studien. Därefter gjordes en sammanställning av geometriska begrepp av tvådimensionella figurer i en tabell. Begreppen kategoriserades enligt begreppens karaktär, d.v.s. begrepp som beskriver ett objekt, en process och en egenskap.Andra frågeställningen analyserades utifrån representationsformer från Lesh’s modell. Modellen behandlar begreppens olika perspektiv som är det språkliga, det verklighetsbaserade, det
förekomst i uppgifter i syftet att se vilken möjlighet dessa gav upphov till begreppsutveckling hos elever. Representationsformen bild analyserades så att vi gick igenom varje bok för sig och tittade på bilder som representerade olika tvådimensionella figurer. Anknytning till vardagen analyserades utifrån texter och bilder samt uppgifternas innehåll syftade till aktiviteter som är välbekanta för elever. Konkretiseringen av geometriska begrepp uppmärksammades i samband med uppgifterna där elever skulle rita själva olika tvådimensionella geometriska figurer och sedan förklara deras egenskaper. Dessa uppgifter innehöll både laborativ och språklig aspekt. Uppgifter om area och omkrets innehöll symboler d.v.s. siffror som uttryck för längd och yta samt enheter som centimeter och meter.
5.6. Forskningsetiska överväganden
Enligt Vetenskapsrådet (2002) finns det fyra krav som forskaren ska uppfylla rörande hur man ska hantera forskningsmaterial. Dessa är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Eftersom inga personer ingick i vår studie är vår bedömning att inget av dessa krav är tillämpbara för vår studie.
6. Resultat och analys
I detta kapitel presenteras en översikt av vilka geometriska begrepp som förekommer i
matematikläroböckerna Prima Matematik och Mästerkatten samt en analys och beskrivning av den insamlade data. Vidare följer en analys av hur geometriska begreppen presenteras och vilka olika representationsformer används i läroböckernas uppgifter.
I första delen av resultatet kommer den första frågeställningen som var vilka tvådimensionella geometriska förekommer i matematikläroböckerna för åk 1–3, besvaras med hjälp av en tabell där en kategorisering av begreppen syftar till objektets namn, begrepp som beskriver en process och begrepp som beskriver egenskaper hos tvådimensionella figurer. Den andra frågeställningen analyserades med hjälp av Lesh’s modell utifrån begreppens olika representationsformer. Dessa representationsformer är bildmodell, konkret modell, symboler, språk och verklighet.
6.1. Geometriska begrepp som förekommer i matematikläroböckerna
Nedan i varsin tabell redovisas dessa olika begrepp som hittades i matematikläroböcker Prima Matematik och Mästerkatten. I resultatet kommer vi att gå igenom varje läroboksinnehåll utifrån begreppen som hittades och sammanställdes i tabellerna nedan. Vi vill förtydliga att med begreppets objekt syftar till tvådimensionell geometriska figurer.
6.1.1. Prima Matematik
I den här delen utförs analys med utgångspunkt från tabellen nedan där olika begrepp kommer knytas till frågeställningen. Första frågeställningen var vilka geometriska begrepp förekom i Prima Matematik 1A, 1B, 2A, 2B, 3A och 3B samt hur dessa begrepp kan ge elever bättre förståelse för geometrin. Läroboken Prima Matematik 1A hittades inga uppgifter som innehöll geometriska begrepp.
Tabell 1. Begrepp i läroboken Prima Matematik Prima
Matematik
Objekt Process Egenskap
1A Inga Inga Inga
1B rektangeln, kvadrat, triangel, cirkel, månghörningar, femhörning, sexhörning
rita, beskriva, måla, skriva, dra streck, bilda
Tvådimensionell, parallell, hörn, sida
2A punkt, skärningspunkt, linje, sträcka
Måla, rita, mäta, mötas, markera, dra sträck
rak, böjd, längd 2B månghörningar, triangel,
rektangel, cirkel, symmetrilinje
Beskriva, sortera, förklara, dela in, sätta prickar, skriva, måla, sätta kryss, vika, klippa ut, rita, veckla ut, färglägga
hörn, sida, symmetrisk, likadan, halva
3A omkrets, area, kvadrat, linje, klippa, jämföra, mäta, rita, klistra in, skriva, räkna, uppskatta, måla
Yta, lång, störst, längst
3B Vinkel, månghörning, parallelltrapets, sträcka, rektangel, parallellogram, kvadrat, hexagon, triangel, linjerar
beskriva, måla, mötas, använda
Parallell, sida, hörn, parvis, 90 grader, rät, trubbig, spetsig
Vad gäller läroboken Prima Matematik 1B såg vi att området geometri presenterades i form av tvådimensionella figurer. Tvådimensionella figurer som först presenterades var rektangel, kvadrat,
triangel, cirkel, månghörningar, femhörning och sexhörning. Egenskaper som ansågs viktiga enligt
läroboken var hörn, sida, tvådimensionell och parallell. Begreppen sida och hörn presenterades inom en ruta som satt överst på sidan där figurer som rektangel och triangel visades och hörn och sida markerades med röd färg i form av sträck och punkter. Bilderna och textrutor användes också för att förklara meningen av dessa begrepp. Färgen röd används ofta i matematikläroböcker för att markera det som anses vara viktig information att lägga uppmärksamhet vid. Enligt läroboken ska begreppen befästas via olika processer eller handlingar som är att: rita, beskriva, måla, skriva, dra
sträck och bilda. Om vi tittar på vilka processer som används i uppgifterna kan vi komma fram till
att inlärning av tvådimensionella figurer är kopplad till aktiviteter som framhäver den bildliga representationen av begrepp. Bara en uppgift uppmuntrar elever att muntlig beskriva begreppen där de ska använda kommunikativa förmågan som är en del av centrala innehållet i matematik
kursplanen för år 1–3.
I läroboken 2A presenteras för eleven nya begrepp av geometrisk karaktär som beskriver vad en punkt, en skärningspunkt, en linje och en sträcka är. Dessa förklaras också i en ruta där röd färg, bilder och förklaringar i textform används för att markera de viktiga aspekterna av begreppen.
Egenskaperna som kopplas till de begreppen är: rak, böjd och längd. Processer som knyts till begreppen för att få bättre förståelse för begreppens egenskaper är: måla, rita, mäta, mötas,
markera och dra sträck.
I läroboken 2B återkommer en del begrepp från 1B läroboken samt utökas innehållet i uppgifterna och ämnet geometri med ett nytt begrepp som är symmetrilinje. Om vi tittar på begrepp som beskriver en process uppmuntras elever att använda mer kommunikativa förmågan i form av
beskrivningar och förklaringar av geometriska figurer. Processerna som ska hjälpa eleven att befästa begreppen och förbättra förståelse är numera av laborativ karaktär när eleven nu uppmuntras att rita,
klippa ut, vika, sortera och färglägga olika figurer. Egenskaper som anses vara viktiga i denna
lärobok är återigen hörn och sida samt presenteras tre nya egenskaper som är: symmetrisk, likadan
och halv. Sista tre begrepp ska hjälpa eleven förstå vad symmetri är enligt uppgifterna.
Läroboken 3A tar upp två nya begrepp, omkrets och area. Egenskaper som yta, lång, störst och
längst förknippas med begreppen omkrets och area. Förutom de begreppen som presenterades i
förra läroboken som syftar till processer presenteras nya processer som att: jämföra, räkna och
uppskatta. Det förekommer fortfarande laborativa inslag där eleven uppmuntras genom att rita,
klippa, klistra in och måla att skaffa sig bättre förståelse för geometriska begrepp.
Innehållet i 3B introducerar nya begrepp för läroboken som är vinkel, parallelltrapets,
parallellogram och hexagon. Egenskapen parallell som dök upp först i läroboken 1B förklaras nu
mer utförligt med bilder av parallellogram och parallelltrapets där de parallella sidorna markeras med röd färg. En till ruta innehåller förklaringar av samma karaktär där olika sorters vinklar presenteras och förklaras. I sambandet med begreppet vinkel förekommer nya egenskaper av detta begrepp som rät, trubbig och spetsig. Som en beskrivning av en rät vinkel används symboler i form av grader där 90 grader syftar till rät vinkel. Det är den enda representationen av vinklarnas storlek och dess förklaring som visas för eleverna. Det är dock otydligt var de 90 grader kommer ifrån och hur den storleken fås fram.
6.1.2. Mästerkatten
I denna del görs en analys av tabellen ovan där olika begrepp kommer knytas till frågeställningen som var vilka geometriska begrepp förekom i Mästerkatten 1A, 1B, 2A, 2B, 3A och 3B samt hur dessa begrepp ge elever bättre förståelse för geometrin.
Tabell 2. Begrepp i läroboken Mästerkatten
Mästerkatten Objekt Process Egenskap
1A cirkel, triangel, rektangel, kvadrat
måla, dela, förstora, dra sträck,
Dubbelt så lång, sida
1B cirkel, triangel, kvadrat, rektangel
måla hel, halv
2A kvadrat, rektangel, cirkel, triangel, månghörning, pentagon, omkrets
Måla, mäta, rama in, rita Lång, sida, hörn, liksidig
2B cirkel, rektangel, triangel, kvadrat, månghörning, omkrets, symmetrilinje, linjal, spegel
rita, dela Hörn, sida, spegelbild
3A omkrets, symmetrilinje, månghörning, kvadraten, triangel, stjärna, parallellogram, sexhörning, parallelltrapets, area, platta, romb
jämföra, mäta, gissa, räkna, rita av, klippa ut, hur många får plats, sätta ut, generalisera, ordna
störst, flest, ungefär, lika lång, längst, kortast, minst, likadan,
3B kvadraten, rektangel, cirkel, triangel, linje, sträcka, punkt, romb, åttahörning,
parallellogram, omkrets, area, tabell, romb, punkt, symmetrilinje
måla, rita, mäta, ringa in, gissa, förlänga, berätta, skriva, prata, förändra, fördubbla, halvera, räkna, markera, kalla
Parallella, sida, hörn, kortast, stor, symmetrisk, osymmetrisk
Läroboken Mästerkatten 1A och 1B behandlar området geometri i några enstaka uppgifter som är inbakade i andra uppgifter där eleven ska med hjälp av geometriska figurer som cirkel, rektangel, triangel och kvadrat lära sig vad egenskaper som dubbelt, hel och halv betyder. Figurer används i instrumentellt syfte för att förklara för eleverna vad menas med dubbelt, hel och halv. Den enda egenskapen som tas upp är sida hos nämnda geometriska figurer. Processer rörs kring att eleven ska måla, dra sträck och dela.
Utifrån tabellen kan vi se att nya begrepp som månghörning, pentagon och omkrets tas upp i läroboken 2A. Egenskaperna som beskriver geometriska begrepp är sida, hörn, lång och liksidig. Begreppen sida och hörn förklaras med hjälp av en bild där sidorna markeras med grön färg och hörn markeras med röd färg. Text som är knuten till förklaringen står i en pratbubbla. Denna gång förväntas elever befästa begreppen med hjälp av att rita, måla, mäta och rama in.
I läroboken 2B förekommer en repetition av geometriska begrepp som triangel, rektangel, kvadrat, cirkel och månghörning men även nya begrepp introduceras. Det nya begreppet är symmetrilinje och processer som används i uppgifterna är rita och dela. Här ska elever använda sig av hjälpredor som linjal och spegel. Egenskaperna som knyts till begreppen är hörn, sida och spegelbild.
Om vi tittar på tabell 2 och läroböckerna åk 1 och 2 och jämför dem med läroböckerna 3A och 3B kan vi se en tydlig skillnad i begreppens förekomst. Enligt tabell 2 framgår det att området kring tvådimensionella figurer utökas och innehåller flera nya geometriska begrepp. Dessa begrepp är:
stjärna, parallellogram, sexhörning, parallelltrapets, romb, åttahörning, punkt och area. Förutom
att eleven ska rita, måla, klippa ut och kunna jämföra geometriska figurer utifrån deras storlek antal sidor och hörn, uppmuntras eleverna att generalisera, ordna, förlänga, fördubbla, halvera och gissa. Egenskaperna som kopplas till processen där eleven ska jämföra i läroboken 3A och 3B är störst,
lika lång, längst, kortast, minst, likadan och flest. När det kommer till den kommunikativa
förmågan uppmuntras eleven att berätta, prata och skriva kring figurernas egenskaper. Eleven ska lära sig vad symmetri är genom att känna igen nya egenskaper symmetrisk och osymmetrisk med hjälp av att rita färdigt olika bilder som framställs i ett rutnät.
6.2. Hur geometriska begrepp representeras i matematikläroböckerna
I detta avsnitt kommer begreppen belysas utifrån de olika representationsformerna som
läroböckerna använder sig av. Som vi redan skrev i teoretiskt ramverk kan begrepp presenteras ur flera perspektiv som har koppling till verkligheten, bilder, konkreta modeller, symboler och språk. Både Häggblom (2013) och Behr et al. (1992) tar upp s.k. Lesh’s modell.
6.2.1. Prima Matematik
Matematikläroboken Prima Matematik består av olika rubriker som Mattelabbet, blandad träning, diagnos och repetition/utmaning. Mattelabbet uppmanar elever att bygga konkreta modeller av tvådimensionella figurer. I andra delen som blandad träning uppmanas elever genom aktiviteter som måla, skriva och rita att lära sig känna igen olika figurernas utseende. Denna del kan knytas till den bildliga aspekten av ett begrepp. Vidare utvecklas uppgifterna genom att kombinera det bildliga och språkliga perspektivet av begreppet.
Som ett exempel på dessa olika perspektiv kan vi titta på en figur som rektangel vars egenskaper sätts i fokus med hjälp av bilder, text och laborativa aktiviteter. Dessa representationer gäller alla tvådimensionella figurer som förekommer i läroböckerna. När area och omkrets tas upp i
läroböckerna kan vi se att ett nytt perspektiv träder fram där eleven uppmuntras att arbeta med symboler i form av olika uträkningar. Verklighetsanknytningar förekommer väldigt sällan i
matematikläroböcker som kan göra svårare för elever att konkretisera dessa begrepp. För att förstå bättre geometriska begrepp behöver elever koppla ihop begrepp med vardagliga situationer. Detta utgör en förutsättning att senare kunna förstå abstrakta matematiken.
6.2.2. Mästerkatten
I läroböckernas upplägg framgår att uppgifter består av problemlösning, laboration, stjärnsidor och repetitionsuppgifter. Mästerkatten har inte ett kapitel som enbart handlar om geometri utan
uppgifterna finns i olika kapitel som behandlar olika matematikområden. Varje kapitel använder sig av olika ritade figurer som man får följa på olika uppdrag. En del av dessa uppdrag har innehåll som behandlar områden inom geometri.
Läroböcker 1A och 1B behandlar området geometri kring tvådimensionella figurer övervägande i bildform. Detta betyder att det inte finns någon stor variation hur geometriska begrepp presenteras. Språkligt inslag förekommer enbart i syftet att benämna figurerna. Egenskaperna av geometriska figurer tas inte upp och processer kring hur eleverna ska arbeta med begrepp är i form att måla, dela och dra sträck. Uppgifternas inslag handlar mest om identifiering av geometriska figurer.
Läroböckerna för åk 2 utökar antal begrepp av geometriska figurer men fortfarande finns det få begrepp som beskriver figurernas egenskaper och processer. När det kommer till processer har uppgifter en mer laborativ karaktär som uppmanar eleverna att mäta, rama in och dela figurerna. Inom uppgifterna som behandlar omkrets visas det att en verklighetsanknytning görs via bilder som föreställer en bild som ska ramas in eller en åker där ska dras rep runt. I samband med omkrets begreppet används också matematiska symboler som centimeter och meter samt siffror.
I en av uppgifter som handlar om omkrets hittar vi alla fem perspektiv av begreppet. I uppgiften får eleven mätta omkrets av kompisen huvud och sitt eget där de får avrunda talet till hel centimeter om det behövs. I en lista presenteras andra kroppsdelar som ska mätas. Efter mätningen ska de skriva omkretsens storlek av de olika kroppsdelarna och uppmanas till att prata om vad omkrets är, hur de
kan räkna ut den samt när är det bra att veta ett föremåls omkrets. Denna uppgift visar på hur begreppet omkrets belyses utifrån alla fem perspektiv som Lesh presenterar i sin modell.
Läroboken Mästerkatten innehåller några uppgifter som uppmuntrar eleverna att abstrahera. I uppgiften uppmanas eleven att använda en triangel som måttstock istället för linjal för att se i vilken figur får triangel flest plats. Figurer som ska mättas är parallellogram, rektangel, sexhörning och parallelltrapets. Detta exempel är bevis på hur abstraktion som ska leda till identifiering av ett mönster kan tas upp i syftet att få elever att tänka bort vissa egenskaper hos de nämnda figurerna för att genom företeelsen kunna lyfta fram egenskaperna hos en triangel.
7. Diskussion
I detta kapitel diskuteras resultat slutsatser från vår resultatanalys samt diskuterar vi metoder som vi använt för att samla och analysera den insamlade data. Sist kommer ett förslag på vidare forskning.
7.1. Resultatdiskussion
I denna del tas upp en diskussion kring möjligheter som finns för elevers begreppsutveckling inom området geometri med hjälp av matematikläroböcker. Dessa möjligheter belyses utifrån
variationsteorin där representationsformernas variation i matematikläroböcker diskuteras samt i vilken utsträckning lärobokens uppgifter anknyts till centrala innehållet i läroplanen för åk 1–3. I sista delen diskuteras betydelse av olika verksamhetstyper som erbjuds i läroboken utifrån Engvalls doktorsavhandling.
7.1.1. Diskussion med anknytning till variationsteori
NCM rapport visar att matematikläroboken har fått en mer styrande roll i undervisningen. Detta ställer krav på lärare i deras val av vilka läroböcker ska användas i samband med
matematikundervisningen. Det förutsätter att läroböcker fyller upp vissa krav som att innehållet följer kursplanen i matematik och samtidigt att uppgifter erbjuder olika variationer av
färdighetsträning inom matematik (Bergquist et al., 2010).
Matematikläroböckerna i den här studien innehåller en viss variation av representationsformer av tvådimensionella figurer men ändå hittar vi övervägande uppgifter som består av bilder. Variationen i själva bildrepresentationen är ganska stor där vi kan hitta uppgifter som har direkt koppling till variations teori som belyses utifrån kontrast, separation och generalisering. I vissa uppgifter hittar vi t.ex. likbenta, rätvinkliga och liksidiga trianglar som ställs i kontrast till varandra vars egenskaper kan generaliseras. Några uppgifter visar tvådimensionella geometriska figurer i olika färger och storlek och på ett sådant sätt bildas en ny dimension av variation hos elever som Lo (2014) skriver om när hon förklarar hur lärare kan urskilja lärandeobjekt som en helhet.
